信号与系统常用公式

常用

公式

第一章

判断周期信号方法

两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβ

πβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性，

1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。

2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。

信号的能量 def

2

()E f t dt +∞

-∞=⎰

信号的平均功率 def

2

/2

/2

1lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性

'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=

()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞

-∞

=⎰

()()()f t t a dt f a δ∞

-∞

-=⎰

()()11()()n n n

at t a a δδ=

001

()()t at t t a a

δδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-

()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞

∞

=-⎰

- ''()()(0)t f t dt f δ∞

∞

=-⎰-

动态系统是线性系统的条件

可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x •=•+•=•+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=•+•⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦

判断系统时不变、因果、稳定的方法。

线性时不变的微分和积分特性。

第二章

微分方程的经典解：()()()()()()h p y t y t y t =+完全解齐次解特解 齐次解 ()

(1)(1)110()()...()()0n n n y

t a y t a y t a y t --++++＝

特解的函数形式与激励函数的形式有关。 初始状态和初始值。

零输入和零状态响应 ()()()x f y t y t y t =+

()()

()()()

()(0)(0)(0)

(0)(0)(0)j j j j j j x f x f y y y y y y -=-+-+=+++

()()

()(0)(0)(0)j j j x x y y y +=-=- ()(0)0j f y -=

冲激响应 ()[{0},()]h t T t δ= 卷积 1212()()()()f t f t f f t d τττ∞

-∞*=-⎰

1221()()()()f t f t f t f t *=* 1231213()[()()]()()()()f t f t f t f t f t f t f t *+=*+* 123123[()()]()()[()()]f t f t f t f t f t f t **=**

卷积积分特性

1.()()()()()f t t t f t f t δδ *=*=

2.()'()'()f t t f t δ *= ()()()()()n n f t t f t δ*= ()

3.()(()())t

f t d f d f t t τεττττε∞∞

∞

*-=⎰

⎰

－－＝

卷积微分特性

121221()()1.[()()]()()n n n

n n n d f t d f t d f t f t f t f t dt dt dt *=*=* 1212122.()()[()]()()[()]t t

t

f f d f d f t f t f d τττττττ∞

∞

∞

*=*=*⎰

⎰

⎰

－－－

(1)

(1)12

12123.()0()0()()'()()f f f t f t f t f t -- -∞=∞=*=*在或时，

卷积的时移性质

1212121212121212()()()()()()()()()()

f t f t f t f t f t t t t t t t f t f t f t f t f t t t --- =**=----*=*=-若，则

第四章

周期信号f(t)的傅立叶级数

011

()cos()sin()2n n n n a f t a n t b n t ∞

∞

===+Ω+Ω∑∑

/2/22()cos()T n T a f t n t dt T -=Ω⎰ /2

/2

2()sin()T n T b f t n t dt T -=Ω⎰

a n 是n 的偶函数，

b n 是n 的奇函数

01

()cos()2n n n A f t A n t ϕ∞

==+Ω+∑

00A a =

n A =arctan n

n n

b a ϕ=- n n A n n ϕ是的偶函数，是的奇函数 cos sin ,1,2,...n n n n n n a A b A n ϕϕ =- ==

波形的对称性与谐波特性

1. f(t)为偶函数－－对称纵坐标：b n =0，展开为余弦级数。

2. f(t)为奇函数－－对称原点：a n =0，展开为正弦级数。

3. f(t)为奇谐函数()(/2)f t f t T =-±：a 0=a 2=…=b 2=b 4=…=0

4. f(t)为偶谐函数()(/2)f t f t T =±：a 1=a 3=…=b 1=b 3=…=0

傅立叶级数的指数形式

1()2n j jn t n n f t A e e ϕ∞

Ω=-∞

=∑ 000000j j t A A e e ϕϕΩ= =，

12n n

j j n n n A e F e F ϕϕ== ()jn t n n f t F e ∞

Ω=-∞

=∑ /2/21()T jn t n T F f t e dt T -Ω-=⎰

F 0=A 0/2为直流分量

周期信号的功率—Parseval 等式