常微分方程计算题word
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常微分方程习题集（3）
（三）、计算题
1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ；
2. 解方程：
024=++xy xy dx
dy
； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ；
4. 解方程：y x '=y y x +-22；
5. 解方程：；
6. 解方程： x
y x y y x tan =-'； 7. 解方程：
；
8. 解方程：y
y x e y '
='；
9. 解方程：xy
x y y x dx dy 3225423++-=；
10. 解方程：y
x y y xy dx dy 22
++-=；
11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='；
13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程：
x
x x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3
432842y xy x y
y x x dx dy ++++-= ；
16. 解方程：02=+'-'y y x y ；
17. 解方程： ；
18. 解方程：04)4(=+x x ；
19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ；
21. 解方程： ； 22. 解方程：6244x y y x =+' ；
23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ； 24. 解方程：
；
25. 解方程：021
212
2=++'x
y y ； 26. 解方程：04)3()
5(=-x x ；
27. 解方程：0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y ；
28. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 29. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 30. 求方程
2y x dx
dy
+=经过（0，0）的第三次近似解.
（三）、计算题参考答案
1、0)(22=-++xydy dx x y x 解：原方程可化为：
y
x y y x dx dy 1
++= 令ux y =整理得：
dx x
x
udu )1
1(2+
=， 积分：
C x x u +-=1ln 2
12，
将ux y =代入，原方程的通解为： x Cx x x y 22ln 2222-+=，
,0=x 是原方程的常数解.
2、
024=++xy xy dx
dy
解：0=y 是方程的特解，0≠y 时，
令3-=y z 得
x xz dx
dz
36=-， 解之得
2
12
3-=x Ce z ，
故原方程的通解为：
2
1233-=-x Ce y .
3、0)(22=+++xydy dx x y x
解：因为
y x N
y y M =∂∂=∂∂,2 ，x
N x N
y M 1=∂∂-
∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：
02223=+++ydy x dx x xdx y dx x ，
所以 0)3
12141
(3224=++x x y x d ， 故原方程的通解为：
C y x x x =++2234643.
4、y x '=y y x +-22 解：原方程可化为：
x y
x
y y +-='221，
令ux y =整理得：
x
dx
u du =
-2
1， 积分得：
Cx u ln arcsin =，
将ux y =代入，原方程的通解为：
)sin(ln Cx x y =.
5. 解方程：
解一：令ux y =，则xdu udx dy +=，原方程可化为：
x
dx
u du =
+1， 积分得：
cx u =+1.
将ux y =代回得原方程的通解为：
x cx y -=2.
解二：因为
1,2-=∂∂=∂∂x N
y M ，x
N x N
y M 3-=∂∂-
∂∂， 所以3-=x μ为积分因子，两边乘以3-x 得：
02232=-+---dy x dx yx dx x ，
所以 0)(21=+---yx x d ， 故原方程的通解为：
x Cx y -=2.
6. x
y x y y x tan =-' 解：原方程可化为：
x
y x
y
y +='tan ，
令ux y =整理得：
x
dx
u du =
tan ， 积分得：
Cx u =sin ，
将ux y =代入，原方程的通解为：
.
7.
解：令1-=y z ，原方程可化为：
x x z dx
dz
cos sin -=-， 由一阶线性方程的通解公式
⎰⎰+⎰
=-),)(()()(dx e x f C e z dx
x p dx x p 得： ⎰⎰-+⎰=---))cos (sin (11dx e x x C e z dx
dx
)cos sin (⎰⎰---+=xdx e xdx e C e x x x
x Ce x +-=sin ， 原方程的通解为：
8. y
y x e y '='
解：原方程可化为：
1)(ln -''=y y x y ，
令p y ='得