常微分方程计算题word
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。
2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。
二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。
3、求方程的隐式解。
4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。
常微分方程试题库
常微分方程试题库二、计算题（每题6分）1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ；2. 解方程：x y xye 2d d =+； 3. 解方程：；4. 解方程：t e x dtdx23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ；6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy；7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ；8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；12. 解方程：y y dx dyln =； 13. 解方程：y x e dxdy-=；14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ；15. 解方程：x y dxdycos 2=；16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+；17. 解方程：x xy dx dy42=+；18. 解方程：23=+ρθρd d ；19. 解方程：22x y xe dxdy+=；20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx解： ,2,1,0,2,±±=+==k k x k y πππ是原方程的常数解， （2分）当2,πππ+≠≠k x k y 时，原方程可化为：0cos sin sin cos =-dx xxdy y y ，（2分） 积分得原方程的通解为：C x y =cos sin . （2分）2. 解方程：x y xye 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e y dxx p dxx p （2分）x xx xdxx dx e Cedx e C edx e e C e 31)()(23222+=+=⎰+⎰=---⎰⎰分）（分）（223. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x f C e y dxx p dx x p （2分）=⎰⎰+⎰-)sec (tan tan dx xe C e xdxxdx（2分）⎰+=)sec (cos 2xdx C xx x C sin cos +=. （2分）4. 解方程：t e x dtdx23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dt e t f C e x dtt p dt t p （2分）=⎰⎰+⎰-)(323dt e e C e dtt dt （2分）⎰+=-)(53dt e C e t t t t e Ce 2351+=-. （2分） 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y解：原方程可化为：02=+---y y xde ydy dx e ， （2分） 即 0)(2=--y xe d y ， （2分） 原方程的通解为：C y xe y =--2. （2分）6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy解：原方程可化为：0ln )(ln 3=++xdy dy y x yd ， （2分） 即 0)41ln (4=+y x y d ， （2分） 原方程的通解为：C y x y =+441ln . （2分）7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy解：因为xNx x y M ∂∂=+=∂∂62，所以原方程为全微分方程， （2分） 由 02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ， （1分） 得: 0)()(232=+y x d y x d ， （2分） 故原方程的通解为：C y x y x =+232. （1分）8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x 解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ， （1分） 特征根为2=λ为2重根，1=λ. （2分） 所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， （2分） 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=. （1分）9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ， （1分） 特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.（2分） 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， （2分） 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321. （1分）10. 解方程：02=-''+'''x x x 解：其特征方程为：0)22)(1(2223=++-=-+λλλλλ， （1分） 特征根为：i ±-==11321，，λλ. （2分） 所以其实基本解组为： t e t e e t t t s i n ,c o s ,--，（2分） 原方程的通解为： t e C t e C e C y t t t sin cos 321--++=. （1分）11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 解：原方程可化为：21,21-='='y x ， （2分）积分得通解为：212,2c t y c t x +-=+=. （4分）12. 解方程：y y dxdyln = 解：原方程可化为：0ln 1=-dx dy yy ， （3分）积分得原方程的通解为：C y x =ln ln . （3分）13. 解方程：y x e dxdy-= 解：原方程可化为： dx e dy e x y =， （3分） 积分得原方程的通解为：c x y +=. （3分）14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：012122=-+dx x xdy y ， （2分）积分得原方程的通解为：c x y +-=-1ln 21. （3分） 15. 解方程：x y dxdycos 2= 解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：xdx dy ycos 12=， （2分） 积分得原方程的通解为：x c y sin 1-=-. （3分）16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+解：0=y ，0=x 是原方程的常数解， （1分） 当,0≠x 0≠y 时，原方程可化为：dx xx dy y y )11()11(22+=+，（2分） 积分得原方程的通解为：c x x y y +-=---11ln ln . （3分）17. 解方程：x xy dxdy42=+ 解：分析可知2=y 是其特解. （2分）对应齐方程的02=+xy dxdy通解为：2x ce y -=， （2分） 故原方程的通解为：22+=-x ce y . （2分）18. 解方程：23=+ρθρd d 解：分析可知32=ρ是其特解. （2分）对应齐方程03=+ρθρd d 的通解为：θρ3-=ce ， （2分）故原方程的通解为：323+=-θρce . （2分）19. 解方程：22x y xe dxdy+= 解：原方程可化为： dx xe dy e x y 22=-， （3分） 积分得原方程的通解为：c e e x y =+-22. （3分）20. 解方程：422x y y x =-' 解：分析可知4x y =是其特解. （2分） 又对应齐方程02=-'y y x 的通解为：2cx y =， （2分） 故原方程的通解为：42x cx y +=. （2分）。
(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)
常微分方程期末考试试卷(6)学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求dxdy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。
5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。
8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
1、求解方程：dx dy =312+++-y x y x2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dtdy by ax dtdx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。
常微分方程 (1)精选全文完整版
10002# 常微分方程试题 第1页(共2页)可编辑修改精选全文完整版浙江省2012年4月高等教育自学考试常微分方程试题课程代码：10002一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.微分方程y ″=2x 的通解为______.2.(y －x )d x +y (ln y －ln x )d y =0是______阶微分方程.3.求微分方程满足初始条件的解的问题称为______.4.满足通解为y =ce x （c 为任意常数）的微分方程是______.5.连续可微函数μ(x,y )≠0使得μ(x ,y )M (x ,y )d x +μ(x ,y )N (x ,y )d y =0为全微分方程，则称μ(x ,y )是微分方程M (x ,y )d x +N (x ,y )d y =0的______.6.若ψ(t )是x ′=A (t )x 的基解矩阵，则x ′=A (t )x +f (t )满足x (t 0)=η的解t ϕ（）=______. 7.设λ0是n 阶常系数齐次线性方程特征方程的k 重根，则该方程相应于λ0的k 个线性无关解为______.8.如果方程组的零解x =0稳定,且存在这样的σ>0，使得‖x 0‖<σ时，满足初始条件x (t 0)=x 0的解x (t )均有______时，则称x =0为渐进稳定.9.若()()12,y x y x ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们______(有或无)共同零点.10.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解存在惟一的______条件.二、计算题(本大题共8小题，每小题7分，共56分)11.求方程2d 2d y x x y x y=+的通解. 12.求方程5sin5y y x "'=－的通解.13.求方程2(3)d (4)d 0y x x y x y =－－－的通解.14.已知方程34x y ay y e "+'=－有一个解()1xy x xe =，试求该方程的通解.10002# 常微分方程试题 第2页(共2页) 15.求方程422xy y x '=－的通解. 16.求方程组d d d 4d x x y t y x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的通解.17.方程22d d y x y x=+定义在矩形域R:－1≤x ≤1,－1≤y ≤1上，试利用存在唯一性定理确定经过点（0，0）的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式.18.用李雅普诺夫函数，确定方程组22d d ,d d x y xy yx t t==－－零解的稳定性. 三、证明题(本大题共2小题，每小题7分，共14分)19.试验证()221t t t t ⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦是方程组20122x x tt ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭－，12x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，在任何不包含原点的区间a ≤t ≤b 上的基解矩阵. 20.假设方程()(),d ,d 0M x y x N x y y +=中函数M(x,y)，N(x,y)满足()()M N Nf x Mg y y y∂∂=∂∂－－,其中f(x),g(y)分别为x,y 的连续函数，试证明：此方程有积分因子()()e f x dx g y dy μ+⎰⎰=.。
《常微分方程》题库计算题
故方程的通解为 y Y y1 c1ex c2e-2x e-x
8、解：由方程解出 y，得 y x 2 1 p x ， 代入 dx 1 dy 得 dx dp 即 p cx
2x 2p
p
xp
故通解为 y c (x2 1) 1
2
2c
9、解：方程化为 y 2 y 2x3 x
对应的齐次方程 y 2 y 0 的通解为 y=cx2 (4¹) x
6、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过点(1,0)的第二次近似解。 dx
7、求解方程 y y 2y 2ex 的通解
8、求方程组
dx dt dy dt
2x y 3x 4y
的通解
9、求解微分方程 xy 2y 2x4
10、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过(0,0)的第三次近似解. dx
75、利用代换 y u 将方程 ycos x 2ysin x 3y cos x ex 化简，并求出原方程的 cos x
通解。
76、求下列线性微分方程组
dx
dt dy
2x 2x
4y 2y
4e2t
(1) (2)
dt
dy1
dx
2 y1
2 y2
77、解下列微分方程组
dy2 dx
y2
58、 x x sin at, a 0
59、 2y 5y cos2 x
60、 y 4y xsin 2x
61、 y 2y 3 4sin 2x
62、 y 2y 2y 4ex cos x
63、 y 9y 18cos3x 30sin 3x
64、 x x sin t cos 2t
11、求解方程 y y 2y 4ex 的通解
常微分方程试题库试卷库2
常微分方程期终考试试卷 (1)一、填空题( 30%)1、方程 M (x, y)dx N(x,y)dy 0有只含 x 的积分因子的充要条件是( )。
有只含 y 的积分因子的充要条件是 ___________________________________ 。
２、 _______________ 称为黎卡提方程，它有积分因子 _____________ 。
３、 ____________________ 称为伯努利方程，它有积分因子 _______ 。
４、若 X 1(t), X 2(t),L ,X n (t) 为n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件 ５、形如 _____________________ 的方程称为欧拉方程。
６、若 (t)和 (t)都是 x' A(t)x 的基解矩阵，则 (t)和 (t)具有的关系是７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为 ______ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 ____________ 。
二、计算题(６０％) 1、 ydx (x y 3)dy 0２、 xx sint cos2t211A1 4 试求方程组 x(t), (0)３、若Ax 的解2 并求 expAt(d d y x )3 4xy dy 8y 2 0dyx y 2４、 dxdx５、求方程 dx 经过0，0)的第三次似解三、证明题(１０％)１、 n 阶齐线性方程一定存在 n 个线性无关解。
常微分方程期终试卷 (2)、填空题 30%1、形如 _____________ 的方程，称为变量分离方程，这里 . f (x). (y)分别为 x.y 的连续函数。
2、形如 _______________ 的方程，称为伯努利方程，这里P(x).Q(x)为x的连续函数.n 0.1是常数。
引入变量变换，可化为线性方程。
3、 如 果 存 在 常 数 L 0,使得不等式________________________________________ 对 于 所 有(x,y 1),(x,y 2) R 都成立， L 称为利普希兹常数。
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
常微分方程复习资料(可编辑修改word版)
常微分方程复习资料一、填空题1. 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2. 方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的基本解组是 ．3. 一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． d y4. 方程d x 的常数解是．5. 方程d y = x 2 + y 2 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．d x6. 若 y =(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，则方程 d yd x与 x 轴相交．= (x ) y 的任一非零解7. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，如果 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，那么它的任一非零解在 xoy 平面上 与 x 轴相切．8. 向量函数组Y 1 (x ), Y 2 (x ), , Y n (x ) 在其定义区间 I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式W (x ) = 0 ， x ∈ I ．9. 方程 x ( y 2 - 1)d x + y (x 2 - 1)d y = 0 所有常数解是 ．10. 方程 y ' + 4 y = 0 的基本解组是 ．d y11. 方程= d x+ 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是．12．若 y = 1 (x ), 二、单项选择题y = 2 (x ) 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．d y1. 方程 d x- 1 = x 3 + y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除 y 轴外的全平面 d y2.f ( y ) 连续可微是保证方程 = d xf ( y ) 解存在且唯一的（）条件．（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分3. 二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个 2 维线性空间（B ）构成一个 3 维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性d y 4. 方程d x2= 3y 3过点(0, 0)有（）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解5. n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间． （A ） n 维 （B ） n + 1维 （C ） n - 1维 （D ） n + 2 维d y 6. 方程= d x+ 2 （）奇解．（A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个 7. 若 y = 1 (x ) ， y = 2 (x ) 是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ ）． （A ）1 (x ) -2 (x ) （B ）1 (x ) +2 (x ) （C ） C (1 (x ) - 2 (x )) + 1 (x )（D ） C 1 (x ) +2 (x ) 1 - y 2 y x - y =1 - ( y )2 x ⎪ d y ⎪ d y 8.f ' (x , y ) 连续是方程 d y= y d x f (x , y ) 初值解唯一的（ ）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分d y9. 方程= d x 的奇解是（）．（A ） y = xd y（B ） y = 1（C ） y = -1（D ） y = 010.方程 = d x 过点( 2, 1) 共有（）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三11. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A ） n （B ） n -1 （C ） n +1 （D ） n +2 12. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ） 是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解13. 如果 f (x , y ) ，∂f (x , y )∂yd y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 d x f (x , y ) 的任一解的存在区间（）．（A ）必为(-∞, + ∞) 三、计算题（B ）必为(0, + ∞) （C ）必为(-∞, 0) （D ） 将因解而定 求下列方程的通解或通积分：1.d y = y ln y d x2.d y = + yd x x 3.d y = y + xy 5d x4． 2xy d x + (x 2 - y 2 )d y = 0 5． y = xy ' + 2( y ')36.d y= d x xy 1 + x 27.d y+ 3y = e 2xd x 8. (x 3 + xy 2 )d x + (x 2 y + y 3 )d y = 0 9．e y ' + y ' - x = 0 10． yy ' + ( y ')2 = 011.d y = d x y + tan y x x12.d y = d x y + 1x13. (x 2e y - y )d x + x d y = 014． y '(x - ln y ') = 115． yy ' + y '2 + 2x = 017．求下列方程组的通解．⎧d x= y + d t ⎨⎪ = -x ⎩ d t19．求下列方程组的通解1 sin t 16．求方程 y ' - 5 y ' = -5x2 的通解．18．求方程 y ' - y =1 e x 的通解．2五、证明题⎧d x= -x - 2 y d t⎨． ⎪ = 3x + 4 y ⎩ d ty 1 - y 2=1 - u2 ⎰ ⎰ x1. 设 f (x ) 在[0, + ∞) 上连续，且 limx →+∞ f (x ) = 0 ，求证：方程 d yd x+ y = f (x ) 的一切解 y (x ) ，均有 lim y (x ) = 0 ．x →+∞2. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中， p (x ), q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，求证：若 p (x ) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W (x ) 是(-∞, + ∞) 上的严格单调函数．d y3. 设 f (x , y ) 在整个 xoy 平面上连续可微，且 f (x , y 0 ) ≡ 0 ．求证：方程 d x= f (x , y )的非常数解 y = y (x ) ，当 x → x 0 时，有 y (x ) → y 0 ，那么 x 0 必为- ∞ 或+ ∞ ．4. 设 y = 1 (x ) 和 y = 2 (x ) 是方程 y '' + q (x ) y = 0 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W (x ) ≡ C ， 其中C 为常数．d y5. 在方程 d xf ( y )( y ) 中，已知 f ( y ) ，'(x ) 在(-∞, + ∞) 上连续，且(±1) = 0 ．求证：对任意 x 0 和y 0 < 1 ，满足初值条件 y (x 0 ) = y 0 的解 y (x ) 的存在区间必为(-∞, + ∞) ．6. 在方程 y ' + p (x ) y ' + q (x ) y = 0 中，已知 p (x ) ， q (x ) 在(-∞, + ∞) 上连续．求证：该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切．参考答案一、填空题1．2 2． e x , x e x 3．开 4． y = ±15．xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9． y = ±1, x = ± 1 10． sin 2x , cos 2x 11． D = {(x , y ) ∈ R 2 y > 0}，（或不含 x 轴的上半平面） 12．没有二、单项选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.A7.C8.D 9.D10.B 11.A12.C13.D三、计算题1. 解 当 y ≠ 0 ， y ≠ 1时，分离变量取不定积分，得d y= d x + Cy ln y 通积分为ln y = C e xd y d u2.解 令 y = xu ，则 d xx d u =d x= u + x d x ，代入原方程，得分离变量，取不定积分，得⎰ d u = ⎰ d x + ln C （ C ≠ 0 ）通积分为：arcsin y= ln Cxx3. 解方程两端同乘以 y-5 ，得 y -5 d y= y -4 + xd x令 y -4 = z ，则- 4 y -5 d y = d z，代入上式，得d x d x1 - u2 =⎩通解为 -1 d z- z = x 4 d xz = C e -4x - x + 14原方程通解为y -4 = C e -4x - x + 14∂M 4.解 因为 ∂y = 2x =∂N，所以原方程是全微分方程． ∂x取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为xy 2⎰02xy d x - ⎰y 即x 2 y - 1y 3 = C3 d y = C5. 解 原方程是克莱洛方程，通解为 y = Cx + 2C 36. 解 当 y ≠ 0 时，分离变量得d y = y xd x 1 + x 2等式两端积分得ln y 即通解为= 1 ln(1 + x 2 ) + ln C 2 y = C 7. 解 齐次方程的通解为y = C e -3x令非齐次方程的特解为y = C (x )e -3x代入原方程，确定出原方程的通解为C (x ) = 1 e 5x+ C 5y = C e -3x + 1e 2x5∂M ∂N8.解 由于 ∂y = 2xy =，所以原方程是全微分方程． ∂x取(x 0 , y 0 ) = (0, 0) ，原方程的通积分为 x (x 3 + xy 2 )d x + y y 3d y = C⎰⎰1即x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 = C 9. 解 令 y ' = t ，则原方程的参数形式为⎧x = t + e t⎨y ' = t 由基本关系式1 + x 2y积分有d y = y 'd x = t (1 +e t )d ty = 1t 2 + e t (t - 1) + C2得原方程参数形式通解⎧x = t + e t ⎪ ⎨ y = 1 t 2 + e t(t - 1) + C ⎩⎪ 210. 解 原方程为恰当导数方程，可改写为( yy ')' = 0即分离变量得yy ' = C 1 y d y = C 1d x积分得通积分1 y 2= C x + C2 1 211. 解 令 y = u ，则d y = u + x d u，代入原方程，得x d x d xu + x d u = u + tan u ， x d u = tan ud x d x当tan u ≠ 0 时，分离变量，再积分，得⎰ d u = ⎰ d x + ln C tan u x即通积分为： ln sin u = ln x + ln C sin y = Cx x12. 解 齐次方程的通解为y = Cx令非齐次方程的特解为y = C (x )x代入原方程，确定出原方程的通解为C (x ) = ln x + C y = Cx +x ln x 13. 解 积分因子为(x ) =原方程的通积分为 x (e x-1 x 2y )d x +d y = C⎰1x 2⎰1即e x + y= C , xC = e + C 1）14.解 令 y ' = p ，则原方程的参数形式为⎧x = 1+ ln p⎪ ⎨⎪⎩y ' = p p2 1由基本关系式d y= y ' ，有 d xd y = y 'd x = p ⋅ (- 1p 2 + 1 )d pp积分得= (1 - 1 )d ppy = p - ln p + C 得原方程参数形式通解为 ⎧x = 1+ ln p ⎪⎨⎪⎩y = p - ln p + C 15. 解 原方程可化为( yy ' + x 2 )' = 0 于是y d y+ x 2 = Cd x 1积分得通积分为1y 2 = C x - 1x 3 + C2 13 2（6 分）16. 解对应齐次方程的特征方程为2- 5= 0 ，特征根为1 = 0 ，2 = 5 ，齐次方程的通解为 y = C 1 + C e 5x因为= 0 是特征根。
常微分方程计算题
计 算 题1、求解微分方程2'22xy xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy+=通过点(0,0)的第三次近似解.3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dxdt y dydt x y==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x y dydt x y=+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=2410、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy-=通过(0,0)的第三次近似解.11、求解方程''+-=-y y y e x'24的通解12、求方程组dxdt x y dydt x y=+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x(')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dx dy+=通过点(0,0)的第三次逼近解.15、求解方程''+-=--y y y e x'22的通解16、求解方程xe y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydt dx x y dt dy dt dx 243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ. 20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ϕ与精确解()x ϕ有如下误差估计式：1|()()|(1)!n n n ML x x x x n ϕϕ+-≤-+。
(整理)常微分方程计算题(3)
常微分方程习题集（3）（三）、计算题1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ；2. 解方程：024=++xy xy dxdy； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ； 4. 解方程：y x '=y y x +-22； 5. 解方程：；6. 解方程： xy x y y x tan =-'； 7. 解方程：；8. 解方程：yy x e y '='；9. 解方程：xyx y y x dx dy 3225423++-=；10. 解方程：yx y y xy dx dy 22++-=；11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='；13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程：xx x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3432842yxy x yy x x dx dy ++++-= ； 16. 解方程：02=+'-'y y x y ； 17. 解方程：；18. 解方程：04)4(=+x x ；19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ； 21. 解方程：；22. 解方程：6244x y y x =+' ；23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ；24. 解方程： ；25. 解方程：0212122=++'x y y ； 26. 解方程：04)3()5(=-x x ；27. 解方程：0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y ； 28. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 29. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 30. 求方程2y x dxdy+=经过（0，0）的第三次近似解.（三）、计算题参考答案1、0)(22=-++xydy dx x y x 解：原方程可化为：yx y y x dx dy 1++= 令ux y =整理得：dx xxudu )11(2+=， 积分：C xx u +-=1ln 212， 将ux y =代入，原方程的通解为： x Cx x x y 22ln 2222-+=，,0=x 是原方程的常数解.2、024=++xy xy dxdy解：0=y 是方程的特解，0≠y 时，令3-=y z 得x xz dxdz36=-， 解之得2123-=x Ce z ，故原方程的通解为：21233-=-x Ce y .3、0)(22=+++xydy dx x y x解：因为y x Ny y M =∂∂=∂∂,2 ，xN x Ny M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：02223=+++ydy x dx x xdx y dx x ，所以 0)312141(3224=++x x y x d ， 故原方程的通解为：C y x x x =++2234643.4、y x '=y y x +-22 解：原方程可化为：x yxy y +-='221，令ux y =整理得：xdxu du =-21， 积分得：Cx u ln arcsin =，将ux y =代入，原方程的通解为：)sin(ln Cx x y =.5. 解方程：解一：令ux y =，则xdu udx dy +=，原方程可化为：xdxu du =+1， 积分得：cx u =+1.将ux y =代回得原方程的通解为：x cx y -=2.解二：因为1,2-=∂∂=∂∂x Ny M ，xN x Ny M 3-=∂∂-∂∂， 所以3-=x μ为积分因子，两边乘以3-x 得：02232=-+---dy x dx yx dx x ，所以 0)(21=+---yx x d ， 故原方程的通解为：x Cx y -=2.6. xy x y y x tan =-' 解：原方程可化为：xy xyy +='tan ，令ux y =整理得：xdxu du =tan ， 积分得：Cx u =sin ，将ux y =代入，原方程的通解为：.7.解：令1-=y z ，原方程可化为：x x z dxdzcos sin -=-， 由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e z dxx p dx x p 得： ⎰⎰-+⎰=---))cos (sin (11dx e x x C e z dxdx)cos sin (⎰⎰---+=xdx e xdx e C e x x xx Ce x +-=sin ， 原方程的通解为：8. yy x e y '='解：原方程可化为：1)(ln -''=y y x y ，令p y ='得1)(ln -=p xp y ，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)ln )(ln 1(=--p p dxdpxp . 从0ln 1=-p 得e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的一个特解：ex y =，从0ln =-p p dxdpx解的Cx e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的通解： Cx e Cy 1=.9. xyx y y x dx dy 3225423++-= 解：原方程可化为：0)32()25(423=+++dy xy x dx y y x因为y x xNy x y M 38,4533+=∂∂+=∂∂ ，xy Mx Ny x Ny M 1=-∂∂-∂∂，所以xy =μ为积分因子，两边乘以xy 得：03225225324=+++dy y x ydy x dx xy dx y x ，从而有:0)(3225=+y x y x d ，故原方程的通解为：C y x y x =+3225 .10. yx y y xy dx dy 22++-= 解：原方程可化为：0)2()(2=++--dy y x dx y xy y因为1,21=∂∂--=∂∂x Ny x y M ，1-=∂∂-∂∂Nx Ny M ， 所以x e -=μ为积分因子，两边乘以x e -得：022=++-------dy ye dy xe dx e y dx xye ydx e x x x x x ，所以:0)()(2=+++----dy xe xde dx e y e y d x x x x ，0)(2=+--x x xye e y d ,故原方程的通解为：x Ce xy y =+2.11. 0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x解：因为0,1=∂∂+=∂∂x N e y M y ，1=∂∂-∂∂NxNy M ， 所以x e =μ为积分因子，两边乘以x e 得：0=+++-dy e e dy e dx e e dx ydx e x y x x y x ，所以:0)(=++-y x x y x de e de e dx ye d ，0)(=+-+y x x e x ye d ,故原方程的通解为：C e x e y y x x =+-+.12. 243y x y x +='解：由分析可知 2x y =是该方程的一个解，作变换z x y +=2，原方程可化为322xz z x dx dz +=， 解之得； )ln (21x C x z -=--， 故原方程的通解为：)ln 11(2xC x y -+=. 13. 0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y解：因为x y x Nx y y M 2,32-=∂∂-=∂∂ ，xN x Ny M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：033222=-++-dy x ydy x xdx ydx x dx xy ，所以:0)()21()21(3222=-+y x d x d y x d ，0)2121(2322=+-x y x y x d , 故原方程的通解为：C x y x y x =+-23222121. 14.xx x y xy x x dx dy cos sin cos sin +-= 解：原方程可化为：0)cos sin ()cos sin (=+++-dy x x x y dx x y x x因为x x x x y x Nx y M sin cos cos ,cos -+=∂∂=∂∂，1-=-∂∂-∂∂Mx Ny M ， 所以y e -=μ为积分因子，两边乘以y e -得：0)cos sin ()cos sin (=+++---dy x x x y e dx x y x x e y y ，取000==y x 有:dx x x x y e y x U xy ⎰-=-0)sin cos (),(，)sin cos sin (x x x x y e y -+=-,故原方程的通解为：C x x x x y e y =-+-)sin cos sin (.15. 3432842yxy x y y x x dx dy ++++-= 解：原方程可化为：0)84()2(3432=+++++dy y xy x dx y y x x因为4341,1y xNx y M +=∂∂+=∂∂ ，xy Mx Ny x Ny M +=-∂∂-∂∂21，所以xy +=2μ为积分因子，两边乘以xy +2得：0)84)(2()2)(2(3432=+++++++dy y xy x xy dx y y x x xy ， 取000==y x 有:⎰⎰+++++=yxdy y dx y xy y x y x x y x U 0302243216)244(),(，422254342215134y xy y x y x y x x +++++=, 故原方程的通解为：C y xy y x y x y x x =+++++422254342215134. 16. 02=+'-'y y x y 解：原方程可化为：2y y x y '-'=，令p y ='得2p xp y -=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)2(=-dxdpp x .从02=-p x 得x p 21=，代入2p xp y -=可得原方程的一个特解：241x y =，从0=dxdp解的C p =，代如2p xp y -=可得原方程的通解： 2C Cx y -=.17.解：原方程可化为：3278y y '=， 令p y ='得3278p y =， 两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得01982=-dxdp p . 解之得：)(23C x p +=，代如3278p y =可得原方程的通解： 3)(C x y +=.18. 04)4(=+x x . 解：其特征方程为：044=+λ，特征根为： .1.1,1,1i i i i --+--+ 所以其实基本解组为：,cos t e t ,sin t e t ,cos t e t -,sin t e t - 原方程的通解为：21cos C t e C x t +=3sin C t e t +4cos C t e t +-t e t sin -.19. y e y y '-'=)1(解： 令p y ='得p e p y )1(-=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)1(=-dxdpe p p. 可得：0=p ，与 01=-dxdpe p 解之得:0=p ,与 c x p +=ln代入p e p y )1(-=得: 1-=y 为常数解,与通解：)1(ln -++=c x c x y . 20. 122='+y x解： 令t y cos ='，则t x sin =， 利用dx y dy '=得： tdt dy 2cos =， 积分得： C t t y ++=2s i n 4121， 将x t arcsin =代入得原方程的通解：C x x x y +-+=)1(arcsin 212.21.解： 原方程可化为：0))((221=+-'--'x x ye y y ye y y ，由02=--'x ye y y 得：22xe x Ce y +=， 由02=+-'x ye y y 得：22x ex Cey -=， 故原方程的通解为：22xe x Cey ±=.22. 6244x y y x =+'解：由分析可知 3x y =是该方程的一个解， 作变换z x y +=3，原方程可化为422xz z x dx dz --=， 解之得； 35521515)51(xCx x C x z -=-=-， 故原方程的通解为：)1551(53-+=Cx x y . 23. 033=-'+''-'''y y y y 解：其特征方程为：0)1(133323=-=-+-λλλλ，特征根1=λ为3重根， 所以其基本解组为： x x x x e x e x xe e 32,,,， 原方程的通解为： x x x x e x C e x C xe C e C y 342321+++=.24.解： 显然0=y 是方程的解，当0≠y 时，两边乘以21y原方程可化为022='-'-''y yy y y ， 从而有： 0)(=-'y yy dx d ，1C y yy =-'，解之的：11211-=x C e C C C y ，为原方程的通解.25. 0212122=++'xy y 解：由分析可知 1-=x y 是该方程的一个解， 作变换z x y +=-1，原方程可化为21z z xdx dz --=， 解之得； )ln (1x C x z +=-， 故原方程的通解为：)ln (11x C x x y ++=-.26. 04)3()5(=-x x 解：其特征方程为：0)2)(2(4335=+-=-λλλλλ，特征根0=λ为3重根，2,2-==λλ. 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t e e 22,-， 原方程的通解为： t t e C e C t C t C C y 25242321-++++=.27. 0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y解：因为xy x N xy y M 41,62+=∂∂+=∂∂ ，xN xNy M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ，所以:0)()(232=+y x d y x d ，故原方程的通解为：C y x y x =+232.28. 0485=-'+''-'''x x x x解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ，特征根为2=λ为2重根，1=λ.所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=.29. 02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ，特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321.30. 求方程2y x dxdy+=经过（0，0）的第三次近似解.解：取0)(0=x ϕ，200200121)()(x xdx dx y x y x xx==++=⎰⎰ϕ，dx x x y x x])([)(02102⎰++=ϕϕ5222020121])21([x x dx x x x+=+=⎰，dx x x x y x x])20121([)(252003+++=⎰ϕ = 1185244001160120121x x x x +++.。
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题 1一、填空题 30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。
2、形如 -的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数 -对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、形如 -的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。
二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。
3、求方程的隐式解。
4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题 2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是 .2、方程的通解中含有任意常数的个数为 .3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 (有或无)共同零点．7、设是方程的通解，则 .8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解 .9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是 .10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是 .二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题 5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一 . 解下列方程(80%)1. x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。
常微分方程期末考试题
常微分方程期末考试题以下是某校 ode 期末考试题一：计算题（ 1,2,3,5 各8分，第4题18分，总50分）1） \frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y+1}2) \frac{dy}{dx}+2xy+xy^4=03) x'=Ax,A=\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&3\end{matrix}\right) 求基解矩阵4） x^2y''+xy'-y=x （该题给出3种解法）5) x''+2x'-3x=e^t+cost二：解答题（每题10分，总50分）6）证明：如已知 Riccati 方程的一个特解，则可用初等解法得到它的通解.7）方程 \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 定义在矩形域 \left| x\right|\leq1，\left| y \right|\leq1 试利用存在唯一性定理确定经过 y(0)=0 的解存在区间，并写出 \varphi_n(x) 的迭代序列，求第二次近似解及误差估计。
8）微分方程 \frac{dy}{dx}+ay=f(x)(a>0)\\f(x) 是以 2\pi 为周期的连续函数，试求方程的 2\pi 周期解。
9）设 \phi(x) 是齐次线性微分方程组\frac{dy}{dx}=A(x)y\\ 的一个基解矩阵，并且 n 维向量函数 f(x,y) 在区域 a<x<b,\left| \left| y\right|\right|<+\infty 上连续，试证明：求解初值问题\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x,y),y(x_0)=y_0\\ 等价于求解积分方程 y(x)=\phi (x)\phi^{-1}(x_0)y_0+\int_{x_0}^{x}\phi (x)\phi^{-1}(s)f(s,y(s))ds\\ 其中 x_0\in(a,b)10）证明：方程 y'=\sqrt[5]{\frac{y^4+2}{x^6+2}} 的每条积分曲线有两条水平渐近线。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdt x y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解 13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程习题及答案.[1](可编辑修改word版)
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一、是非题第十二章 常微分方程(A)1. 任意微分方程都有通解。
()2. 微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3. 函数 y = 3sin x - 4 cos x 是微分方程 y ' + y = 0 的解。
()4. 函数 y = x 2 ⋅ e x 是微分方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的解。
()5. 微分方程 xy ' - ln x = 0 的通解是()y =1(ln x )2+ C 2( C 为任意常数)。
6. y ' = sin y 是一阶线性微分方程。
()7. y ' = x 3 y 3 + xy 不是一阶线性微分方程。
()8． y ' - 2 y ' + 5 y = 0 的特征方程为r 2 - 2r + 5 = 0 。
( ) 9． dy= 1 + x + y 2 + xy 2 是可分离变量的微分方程。
()dx二、填空题1. 在横线上填上方程的名称① (y - 3)⋅ ln xdx - xdy = 0 是 。
② (xy 2 + x )dx + (y - x 2 y )dy = 0 是 。
③ x dy = y ⋅ l n y 是。
dx x ④ xy ' = y + x 2 sin x 是。
⑤ y ' + y ' - 2 y = 0 是。
2. y ' + sin xy ' - x = cos x 的通解中应含个独立常数。
3. y ' = e -2x 的通解是。
4. y ' = sin 2x - cos x 的通解是。
5. xy ' + 2x 2 y '2 + x 3 y = x 4 + 1是阶微分方程。
6. 微分方程 y ⋅ y ' - (y ')6= 0 是阶微分方程。
51 2 1 2 7. y = 1所满足的微分方程是。
(完整版)常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷一、填空题。
1.方程 x 3 d2x 10 是阶（线性、非线性）微分方程 .dt 22. 方程 x dyf (xy ) 经变换 _______ ，能够化为变量分别方程.y dx3.微分方程 d 3 y y 2x 0 知足条件 y(0) 1, y (0)2 的解有个 .dx 34. 设 常 系 数 方程 yy*2 xxx，则此方程的系数ye x 的 一个 特解 y ( x) eexe，， .5. 朗斯基队列式 W (t )0是函数组 x 1(t), x 2 (t),L , x n (t ) 在 a x b 上线性有关的条件 .6. 方程 xydx (2 x 2 3y 2 20) dy 0 的只与 y 有关的积分因子为.7. 已知 X A(t) X 的基解矩阵为 (t ) 的，则 A(t ).8. 方程组 x '2 0．0 x 的基解矩阵为59. 可用变换 将伯努利方程化为线性方程 .10 . 是知足方程 y2 y 5y y 1 和初始条件的独一解 .11. 方程的待定特解可取的形式 :12. 三阶常系数齐线性方程 y 2 y y 0 的特点根是二、计算题1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线互相垂直 .dy x y 1 2．求解方程.dxx y 3d 2 x dx 2。
3. 求解方程 x2( )dt dt4．用比较系数法解方程 . .5．求方程y y sin x 的通解.6．考证微分方程(cos x sin x xy 2 )dx y(1 x2 )dy0 是适合方程，并求出它的通解.311A X 的一个基解基解矩阵(t) ，求dXA X7．设 A，，试求方程组dX241dt dt 知足初始条件x(0)的解 .8.求方程dy2x13y2经过点 (1,0)的第二次近似解 . dx9.求dy)34xy dy8y20 的通解(dxdx10. 若A 21试求方程组 x Ax 的解(t ),(0)141,并求expAt2三、证明题1.若(t), (t ) 是 X A(t) X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇怪的常数矩阵 C ，使得(t)(t )C .2.设 ( x) (x0 , x) 是积分方程y(x)y0x2 y( )]d ,x0 , x [ , ] [x0的皮卡逐渐迫近函数序列 {n (x)} 在 [,] 上一致收敛所得的解，而(x) 是这积分方程在 [ ,] 上的连续解，试用逐渐迫近法证明：在[,] 上( x)( x) .3. 设都是区间上的连续函数 ,且是二阶线性方程的一个基本解组 . 试证明 :(i)和都只好有简单零点(即函数值与导函数值不可以在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4. 试证：假如(t ) 是dXAX 知足初始条件(t0 )的解，那么(t) exp A(t t 0 ) dt.答案一 . 填空题。
常微分方程练习题及答案
一、 填空题。
1. 方程23210d xx dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 .3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ．9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程 的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是二、 计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+.3. 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程. .5．求方程 sin y y x'=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解.8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解10.若 试求方程组的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.答案一.填空题。
高等数学微分方程试题(可编辑修改word版)
1 21 2 1 2 第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce 2x (c 的任意常数)是 y ' =2x 的特解。
() 2.y=( y ') 3 是二阶微分方程。
() 3.微分方程的通解包含了所有特解。
( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（）二、填空题1.微分方程.(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是 。
2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线 y=(c +c x)e 2x 中满足 y x=0=0,y 'x=0=1 的曲线是 。
三、选择题 1. 下列方程中是常微分方程2 2 2darctan x∂ 2a ∂ 2a' 2 2（A ）、x +y =a(B)、 y+(e) = 0(C)、+=0 （D ）、 y =x +ydx2. 下列方程中是二阶微分方程∂x 2∂y 2（A ）（ y ' ）+x 2 y ' +x 2=0(B) ( y ' ) 2+3x 2y=x 3 (C) y '' +3 y ' +y=0(D) y ' -y 2=sinx3. 微分方程 d 2 y dx 2+w 2y=0 的通解是其中 c.c 1.c 2 均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx(D)y=c coswx+c sinwx2 4. C 是任意常数，则微分方程 y ' = 3y 3的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1. y = Cx 2 + C 2 （其中C 为任意常数）2. y = C e 2x+ C e 3x （其中C , C 为任意常数）五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
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常微分方程习题集（3）（三）、计算题1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ；2. 解方程：024=++xy xy dxdy； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ；4. 解方程：y x '=y y x +-22；5. 解方程：；6. 解方程： xy x y y x tan =-'； 7. 解方程：；8. 解方程：yy x e y '='；9. 解方程：xyx y y x dx dy 3225423++-=；10. 解方程：yx y y xy dx dy 22++-=；11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='；13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程：xx x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3432842y xy x yy x x dx dy ++++-= ；16. 解方程：02=+'-'y y x y ；17. 解方程： ；18. 解方程：04)4(=+x x ；19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ；21. 解方程： ； 22. 解方程：6244x y y x =+' ；23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ； 24. 解方程：；25. 解方程：0212122=++'xy y ； 26. 解方程：04)3()5(=-x x ；27. 解方程：0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y ；28. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 29. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 30. 求方程2y x dxdy+=经过（0，0）的第三次近似解.（三）、计算题参考答案1、0)(22=-++xydy dx x y x 解：原方程可化为：yx y y x dx dy 1++= 令ux y =整理得：dx xxudu )11(2+=， 积分：C x x u +-=1ln 212，将ux y =代入，原方程的通解为： x Cx x x y 22ln 2222-+=，,0=x 是原方程的常数解.2、024=++xy xy dxdy解：0=y 是方程的特解，0≠y 时，令3-=y z 得x xz dxdz36=-， 解之得2123-=x Ce z ，故原方程的通解为：21233-=-x Ce y .3、0)(22=+++xydy dx x y x解：因为y x Ny y M =∂∂=∂∂,2 ，xN x Ny M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：02223=+++ydy x dx x xdx y dx x ，所以 0)312141(3224=++x x y x d ， 故原方程的通解为：C y x x x =++2234643.4、y x '=y y x +-22 解：原方程可化为：x yxy y +-='221，令ux y =整理得：xdxu du =-21， 积分得：Cx u ln arcsin =，将ux y =代入，原方程的通解为：)sin(ln Cx x y =.5. 解方程：解一：令ux y =，则xdu udx dy +=，原方程可化为：xdxu du =+1， 积分得：cx u =+1.将ux y =代回得原方程的通解为：x cx y -=2.解二：因为1,2-=∂∂=∂∂x Ny M ，xN x Ny M 3-=∂∂-∂∂， 所以3-=x μ为积分因子，两边乘以3-x 得：02232=-+---dy x dx yx dx x ，所以 0)(21=+---yx x d ， 故原方程的通解为：x Cx y -=2.6. xy x y y x tan =-' 解：原方程可化为：xy xyy +='tan ，令ux y =整理得：xdxu du =tan ， 积分得：Cx u =sin ，将ux y =代入，原方程的通解为：.7.解：令1-=y z ，原方程可化为：x x z dxdzcos sin -=-， 由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e z dxx p dx x p 得： ⎰⎰-+⎰=---))cos (sin (11dx e x x C e z dxdx)cos sin (⎰⎰---+=xdx e xdx e C e x x xx Ce x +-=sin ， 原方程的通解为：8. yy x e y '='解：原方程可化为：1)(ln -''=y y x y ，令p y ='得1)(ln -=p xp y ，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)ln )(ln 1(=--p p dxdpxp . 从0ln 1=-p 得e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的一个特解：ex y =，从0ln =-p p dxdpx解的Cx e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的通解： Cx e Cy 1=.9. xyx y y x dx dy 3225423++-=解：原方程可化为：0)32()25(423=+++dy xy x dx y y x因为y x xNy x y M 38,4533+=∂∂+=∂∂ ，xy Mx Ny x Ny M 1=-∂∂-∂∂，所以xy =μ为积分因子，两边乘以xy 得：03225225324=+++dy y x ydy x dx xy dx y x ，从而有:0)(3225=+y x y x d ，故原方程的通解为：C y x y x =+3225 .10. yx y y xy dx dy 22++-=解：原方程可化为：0)2()(2=++--dy y x dx y xy y因为1,21=∂∂--=∂∂x Ny x y M ，1-=∂∂-∂∂Nx Ny M ， 所以x e -=μ为积分因子，两边乘以x e -得：022=++-------dy ye dy xe dx e y dx xye ydx e x x x x x ，所以:0)()(2=+++----dy xe xde dx e y e y d x x x x ，0)(2=+--x x xye e y d ,故原方程的通解为：x Ce xy y =+2.11. 0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x解：因为0,1=∂∂+=∂∂x N e y M y ，1=∂∂-∂∂NxNy M ， 所以x e =μ为积分因子，两边乘以x e 得：0=+++-dy e e dy e dx e e dx ydx e x y x x y x ，所以:0)(=++-y x x y x de e de e dx ye d ，0)(=+-+y x x e x ye d ,故原方程的通解为：C e x e y y x x =+-+.12. 243y x y x +='解：由分析可知 2x y =是该方程的一个解， 作变换z x y +=2，原方程可化为322xz z x dx dz +=，解之得； )ln (21x C x z -=--， 故原方程的通解为：)ln 11(2xC x y -+=. 13. 0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y解：因为x y x N x y y M 2,32-=∂∂-=∂∂ ，xN xNy M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：033222=-++-dy x ydy x xdx ydx x dx xy ，所以:0)()21()21(3222=-+y x d x d y x d ，0)2121(2322=+-x y x y x d , 故原方程的通解为：C x y x y x =+-23222121.14.xx x y xy x x dx dy cos sin cos sin +-= 解：原方程可化为：0)cos sin ()cos sin (=+++-dy x x x y dx x y x x因为x x x x y x Nx y M sin cos cos ,cos -+=∂∂=∂∂，1-=-∂∂-∂∂Mx Ny M ， 所以y e -=μ为积分因子，两边乘以y e -得：0)cos sin ()cos sin (=+++---dy x x x y e dx x y x x e y y ，取000==y x 有:dx x x x y e y x U xy ⎰-=-0)sin cos (),(，)sin cos sin (x x x x y e y -+=-,故原方程的通解为：C x x x x y e y =-+-)sin cos sin (.15. 3432842yxy x y y x x dx dy ++++-= 解：原方程可化为：0)84()2(3432=+++++dy y xy x dx y y x x因为4341,1y xNx y M +=∂∂+=∂∂ ，xy Mx Ny x Ny M +=-∂∂-∂∂21，所以xy +=2μ为积分因子，两边乘以xy +2得：0)84)(2()2)(2(3432=+++++++dy y xy x xy dx y y x x xy ， 取000==y x 有:⎰⎰+++++=yxdy y dx y xy y x y x x y x U 0302243216)244(),(，422254342215134y xy y x y x y x x +++++=, 故原方程的通解为：C y xy y x y x y x x =+++++422254342215134. 16. 02=+'-'y y x y 解：原方程可化为：2y y x y '-'=，令p y ='得2p xp y -=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)2(=-dxdpp x . 从02=-p x 得x p 21=，代入2p xp y -=可得原方程的一个特解：241x y =，从0=dxdp解的C p =，代如2p xp y -=可得原方程的通解： 2C Cx y -=.17.解：原方程可化为：3278y y '=， 令p y ='得3278p y =， 两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得01982=-dxdpp . 解之得：)(23C x p +=，代如3278p y =可得原方程的通解： 3)(C x y +=.18. 04)4(=+x x . 解：其特征方程为：044=+λ，特征根为： .1.1,1,1i i i i --+--+ 所以其实基本解组为：,cos t e t ,sin t e t ,cos t e t -,sin t e t - 原方程的通解为：21cos C t e C x t +=3sin C t e t +4cos C t e t +-t e t sin -.19. y e y y '-'=)1( 解： 令p y ='得p e p y )1(-=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)1(=-dxdpe p p.可得：0=p ，与 01=-dxdpe p 解之得:0=p ,与 c x p +=ln代入p e p y )1(-=得: 1-=y 为常数解,与通解：)1(ln -++=c x c x y . 20. 122='+y x解： 令t y cos ='，则t x sin =， 利用dx y dy '=得： tdt dy 2cos =， 积分得： C t t y ++=2sin 4121， 将x t arcsin =代入得原方程的通解：C x x x y +-+=)1(arcsin 212.21. 解： 原方程可化为：0))((221=+-'--'x x ye y y ye y y ，由02=--'x ye y y 得：22x e x Ce y +=， 由02=+-'x ye y y 得：22x e x Cey -=， 故原方程的通解为：22x ex Cey ±=.22. 6244x y y x =+'解：由分析可知 3x y =是该方程的一个解， 作变换z x y +=3，原方程可化为422xz z x dx dz --=，解之得； 35521515)51(xCx x C x z -=-=-， 故原方程的通解为：)1551(53-+=Cx x y .23. 033=-'+''-'''y y y y 解：其特征方程为：0)1(133323=-=-+-λλλλ，特征根1=λ为3重根， 所以其基本解组为： x x x x e x e x xe e 32,,,， 原方程的通解为： x x x x e x C e x C xe C e C y 342321+++=.24.解： 显然0=y 是方程的解，当0≠y 时，两边乘以21y原方程可化为022='-'-''y yy y y ， 从而有： 0)(=-'y yy dx d ，1C y yy =-'，解之的：11211-=xC e C C C y ， 为原方程的通解.25. 0212122=++'xy y 解：由分析可知 1-=x y 是该方程的一个解， 作变换z x y +=-1，原方程可化为21z z xdx dz --=， 解之得； )ln (1x C x z +=-， 故原方程的通解为：)ln (11x C x x y ++=-.26. 04)3()5(=-x x解：其特征方程为：0)2)(2(4335=+-=-λλλλλ，特征根0=λ为3重根，2,2-==λλ. 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t e e 22,-， 原方程的通解为： t t e C e C t C t C C y 25242321-++++=.27. 0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y解：因为xy x N xy y M 41,62+=∂∂+=∂∂ ，xN xNy M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ，所以:0)()(232=+y x d y x d ，故原方程的通解为：C y x y x =+232.28. 0485=-'+''-'''x x x x解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ，特征根为2=λ为2重根，1=λ. 所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=.29. 02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ，特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根. 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,，原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321.30. 求方程2y x dxdy+=经过（0，0）的第三次近似解. 解：取0)(0=x ϕ，200200121)()(x xdx dx y x y x xx==++=⎰⎰ϕ， dx x x y x x ])([)(02102⎰++=ϕϕ 5222020121])21([x x dx x x x +=+=⎰， dx x x x y x x ])20121([)(252003+++=⎰ϕ = 1185244001160120121x x x x +++.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。