上海2021年九年级数学·一模考试(金山)

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2021年上海市初三数学一模25题汇编

一：函数解析式问题（2021年宝山25）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC ，点D 、E 在边AB 上，∠DCE =45°，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD. （1）求证：DE BE CE ⋅=2；（2）当AC = 3， AD =2 BD 时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F . 设x BCBD=，y FMD =∠tan ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.解：（1）∵Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC = BC ，∠DCE =45∴ ∠B =∠DCE = 45°. 又∵∠BEC =∠CED ,∴△BEC ∽ △CED . ∴ CEDE BECE =,∴DE BE CE ⋅=2.（2）∵∠ACD = 45°+∠ACE =∠BEC ∠B =∠BAC∴△BEC ∽ △ACD .∴ACBE ADBC =.又AC = BC =3 ，∠ACB =90°， ∴23=AB . ∵ AD =2 BD ，∴2=BD ,22=AD . 可得429=BE ，∴425=DE（3）延长BC 交MA 延长线于点G.∵MA ⊥AB ，∠B = 45°，可得∠G =∠B= ∠DCE.又∵∠MCB =∠B +∠BCD ，∠MCB =∠G +∠GMC ， ∴∠GMC =∠BCD.∴△BCD ∽△GMC .∴CMCDCG BD =，∴CM CG CD BD =. ∵∠B =∠DCM = 45°，∴△BCD ∽△CMD .∵ MF ⊥FC ，∴CF CM 2=. ∴x CFCD CM CD BC BD ===2， ∴x CFCD2=. ∴tan ∠FMD =x CFFD21-=，）（22021<<-=x x y .（2021年静安25）已知∠MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，∠EBD =∠MAN ，且CE //BD ，sin ∠MAN=35，AB =5，AC =9．（1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE=BC ·BE ；（2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在∠MAN 外部时，设AD =x ，△BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．解：（1）∵ CE //BD ，∴ ∠CEB =∠DBE ，∠DBA =∠BCE ．∵∠A=∠DBE ，∴ ∠A =∠BEC ．∴ △ABD ∽△ECB ． ∴AD EBAB EC ＝． ∵AD DFAB BC=， ∴EB DFEC BC =，∴ DF ·CE=BC ·BE ．（2）过点B 作BH ⊥AN ，垂足为H ． ∵ CE//BD ，∴∠CEB ＝∠EB D ＝∠A ，又∵∠BCE ＝∠ECA ，∴△CEB ∽△CAE . ∴CE CACB CE =，∴2CE =CB CA ⋅，∵AB =5，AC =9，∴BC =4，∴24936CE ==⨯，∴CE =6. ∵BD ABCE AC=，∴561093AB CE BD ==AC ⋅⨯=. （第25题图）（备用图）BC （图1）FABDC E NM在Rt △ABH 中，3sin 535BH AB A =⋅=⨯=，∴ AH4=． DH=．AD=43±. （3）过点B 作BH ⊥AN ，垂足为H ．BH =4，AH =3，DH =4x -．2222224)3825BD =DH +BH x x x =-+=-+（．∵△ECB ∽△ABD ，∴22EBC ADB S BC S BD△△＝． ∵322ABD S AD BH x =⋅△１＝，∴21638252y x x x =-+， ∴224825x y x x =-+．定义域为44x <<．二：相似三角形问题（2021年闵行25）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ，联结EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：△ADE ∽△CDF ，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结BG ．当△BGE 与△DEH 相似时，求x 的值．解：（1）在矩形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =∠BCD = 90°，AB = CD ．又∵∠BCD +∠DCF = 180°，∴∠DCF = 90°，∴∠DCF =∠BAD ． ∵DF ⊥DE ，∴∠EDF = 90°，（第25题（备用图）∴∠EDF =∠ADC = 90°，∴EDF EDH ADC EDH ∠-∠=∠-∠． ∴∠ADE =∠CDF ．∴△ADE ∽△CDF ．∴AD DECD DF=．又∵AD = 1，CD = AB = 2，∴12DE DF =．在Rt △DEF 中，∠EDF = 90°，∴1tan 2DE EFD DF ∠==．（2）∵△ADE ∽△CDF ，∴12AE AD CF CD ==． ∵AE = x ，∴2CF x =．在矩形ABCD 中，AB // CD ，AD = BC ．由AB // CD ，得CH CFBE BF=．又∵21BF x =+，2CH y =-，2BE x =-，∴22221y xx x -=-+． ∴ y 关于x 的函数解析式为22221x y x +=+．其定义域为02x <<．（3）延长BG ，交射线CD 于点P ．由AB // CD ，得∠BEG =∠DHE ．∴当△EDH ∽△BEG 时，可以有以下两种情况：① 当∠DEH =∠BGE 时，ED // BG ，又∵AB // CD ，∴四边形BEDP 是平行四边形．∴2EB DP x ==-，∴PC x =．∵DH y =，∴2222(2)222121x x x HC y x x +-=-=-=++． ∵AB // CD ，∴HC HG AE GE =，HG PG GE GB =，PG PC GB AB =．∴HC PC AE AB=．即2(2)212x x x x x -+= 02x <<（），解得x =∴x =． ② 当∠DEH =∠GBE 时，∵EB // DH ，∴∠DEH =∠GBE =∠BPC ．∴tan 2BCBPC PC∠==． ∴14HC PC AE AB ==．即2(2)1214x x x x -+= 02x <<（），解得32x =．∴32x =．综上所述，x =或32x =．（2021年杨浦25）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，∠EDB =∠ADC ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点G ，交射线AC 于点F .（1）如果点D 为边BC 的中点，求∠DAB 的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD =x ，CF =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF ，如果△CDF 与△AGE 相似，求线段CD 的长.解：（1）过D 作DH AB ⊥，垂足为点H.在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AC =BC =4，∴AB ==在Rt △BDH 中，∵BD =2，∴BH DH =在Rt △ADH中，AH =1tan 3DH DAB AH ∠==. （2）过A 作AH //DE 交BC 的延长线于H ，垂足为点M.∵EF ⊥AD ，∴∠AFG+∠CAD =90°. ∵∠ACB =90°，∴∠ADC +∠CAD=90°. ∴∠AFG=∠ADC . 又∵∠EDB =∠ADC ，∴∠AFG=∠EDB. ∵AC =BC =4，∴∠BAC=∠B=45°.∴△AEF ∽△BED .备用图AC第25题图 ABCEDG F∴AE AFBE BD=. ∵AH //DE ，∴AE DHBE BD=. ∴AF =DH .∵AH //DE ，∴∠H =∠EDB. 又∵∠EDB =∠ADC ，∴∠H=∠ADC . ∴AD =AH .∵AC ⊥DH ，∴HC =CD . ∵CD=x ，∴HC =x . ∴AF =DH =2x .42y x =-（02x <≤）.（3）i ）当点F 在边AC 上时，∵∠FCD =∠AGE =90°，∴当△CDF 与△AGE 相似时，∠DFC =∠GAE 或∠FDC =∠GAE . 过D 作DH AB ⊥，垂足为点H.在Rt △ADH中，)4tan 4x DH x GAE AH x --∠===+. ①当∠DFC =∠GAE 时，∴tan tan DFC GAE ∠=∠.∴44x xy x-=+.∴8x =-（1分） ②当∠FDC =∠GAE 时，∴tan tan FDC GAE ∠=∠.∴44y xx x-=+.∴4x = . ii ）当点F 在边AC的延长线上时，同理可得CD . 综上所述：如果△CDF 与△AGE 相似，线段CD的长为84-、（2021年松江25）如图，已知在等腰△ABC 中，AB =AC=，tan ∠ABC =2，BF ⊥AC ，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）. （1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG=4，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，联结DF ，如果△DQF 和△ABC 相似，求线段BD 的长.解：（1）过点A 作AH ⊥B C ，垂足为H ∵AB =AC ，∴BH=HC在Rt △ABH 中，tan ∠ABC ==2AHBH∴cos ∠ABC==5BH AB ，∵AB= ∴BH=5 ∴BC=10（2）过点A 作AM ∥BG 交GD 的延长线于点M ∴AM AF CG FC =，AM ADBG BD=在Rt △BFC 中，cos ∠ACB =cos ∠ACB=，BC=10 ∴FC=∴AF=CG=4，∴AM=6∴614=，∴AD=2D·BAFC（图1）DBA FC（图2）G BAF（备用图）H（图BA DFCM（图GDFCBA（3）∵BF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠BFC=∠DEB=90°，∴∠BQE=∠ACB ∵∠BQE=∠DQF ，∴∠DQF=∠ACB ∵△DQF 和△ABC 相似，∴DQ QF AC BC =或DQ FQBC AC=2DEBE = ∵tan ∠BQE=tan ∠ACB = tan ∠ABC =2，∴2BEQE=,设BE=x ，QE=2x ，则DE=4x ∴，BD=，DQ=3x ∵BF=2CF=QF= （ⅰ）当DQ QF AC BC =10=，解得x=85 ∴BD==5（ⅱ）当DQ FQ BC AC =时，则，310x ，解得x=2011 ∴BD==11综上所述，BD=5或BD=11三：等腰三角形问题（2021年崇明25）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．点D 为斜边AB 的中点，ED ⊥AB ，交边BC 于点E ．点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：△ADP ∽△EDQ ；（2）设AP x =，BQ y =．求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ ，交线段ED 于点F ．当△PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．解：（1）证明：∵ED ⊥AB ，PD ⊥QD ，∴∠ADP =∠EDQ=90°—∠PDEAD BCPEQ第25题图AD BCP EQ第25题备用图F（图3）BA DFCQ∵∠ACB= 90°，ED ⊥AB ，∴∠A =∠DEQ=90°—∠B∴△ADP ∽△EDQ（2）∵∠ACB= 90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，tan B =34∵点D 为AB 的中点，∴AD = DB= 5 ∴DE =154，BE =254∵△ADP ∽△EDQ ，∴EQ DEAP AD =，即2515445x = ∴32544y x =-+定义域：0≤x ≤253（3）∵ED ⊥AB ，PD ⊥QD ，∴∠PDE =∠QDB=90°—∠EDQ ∵tan ∠QPD =34DQ DE PD AD ==，∴∠QPD=∠B ∴△ADP ∽△EDQ①当PD=PF 时，BD=BQ∴5y =，即325544x -+=，∴53x =②当FP=FD 时，QD=QB ，∴12BQ BE = ∴258y =，即32525448x -+=，∴256x = ③当DP=DF 时，DQ=DB=DC ，即点Q 在点C 处，∴点P 不在射线AC 上，舍去.综上所述，AP 的长为53或256（2021年虹口25）如图12，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，过点A 作射线AM //BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），联结BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，∠DBE =∠C ．（1）当AD =1时，求FB 的长；（2）设AD =x ，FG =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果△DBH 是等腰三角形，请直接写出AD 的长．∴BC FB=．∴．（2）∵∠ABC =90°，AB =3，BC =4，∴AC=5．∵∠BAD =90°，AB =3，AD x =，∴． ∵AD //BC ，∴4FA FD AD x FCFBBC===． ∴可得 204FC x =+，4FB x =+．∵∠DBE =∠C ，∠BFG =∠CFB ， ∴△FBG ∽△FCB ． ∴2FB FG FC =⋅． ∴220(44y x x =⋅++．即2436520x y x +=+（04x <<）．（3）AD 的长为78或32或94．四：圆为背景问题（2021年奉贤25）已知⊙O 的直径AB =4，点P 为弧AB 上一点，联结PA 、PO ，点C 为劣弧AP 上一点（点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA 、PO 于点D 、E . （1）如图10，当cos ∠CBO =87时，求BC 的长；（2）当点C 为劣弧AP 的中点，且△EDP 与△AOP 相似时，求∠ABC 的度数；（3）当AD =2DP ，且△BEO 为直角三角形时，求四边形AOED 的面积.解（1）过点O 作OF ⊥BC ，垂足为点F ∵OF ⊥BC ，∴BF=CF=21BC 在Rt △BOF 中，cos ∠CBO =OBBF，87=2BF ∴BF=47，BC=27（2）联结OC ，设∠B 的大小为x ∵OB=OC ∴∠B=∠C= x ，∴∠AOC= 2x 又∵点C 为劣弧AP 的中点，CO 为半径，OA=OP ∴OC ⊥AP ，∴∠AOC=∠POC= 2x ∴∠A=∠P=90°-2x ，∠PEC= 3x ∵△EDP ∽△AOP ，∠PDE >∠A∴∠PED =∠A ∴3x=90°-2x ，x=18°，即∠ABC=18° （3）过点O 作OG ∥AP 交BC 于点G备用图备用图BO图10P A B C DE OAB O∵OG ∥AP ∴21==AB OB AD OG , PE OEDP OG =∴ AD =2OG 又∵AD =2DP ∴OG = DP ∴OE = PE =1 ∵△BEO 为直角三角形①当∠BOE=90°时，过点D 作DM ∥AB 交PO 于点M∵DM ∥AB ∴PAPDAO DM =，∠PMD =∠POA=90° ∵AD =2DP ，PO = AO=2 ∴DM=32∴S AOED = S △AOP - S △PDE =DM PE OP AO ××21××21-=312-=35②当∠BEO=90°时，联结OD∵OE =1，OB =2，∴∠B =30°，∠BOP=60°，BE =3 ∴∠P =∠A =30°∴∠A =∠B =30°，∴AD =BD ∴OD ⊥AB ，OD =332=3OB ∴S AOED = S △ABD - S △OBE =BE OE OD AB ××21××21-=23334-=365（2021年金山25）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如图1中，O A ∠=∠21. 已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射线AO于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，43tan =∠OAC .(1)求弦AC 的长.(2)当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值. (3)当1=OE 时，.BOBOA解（1）作AC OH ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，由垂径定理得：AC CH AH 21==；∵在OAH R ∆t 中43tan ==∠AH OH OAC ，设x AH x OH 4,3==， ∴在OAH R ∆t 中，可得：222OA AH OH =+，由⊙O 的半径为5可得：()()222543=+x x ，解得：1±=x ，（1-=x 舍去）∴4,3==AH OH , ∴82==AH AC . (2)∵AEC DEO ∠=∠，∴当DOE ∆与AEC ∆相似时可得：A DOE ∠=∠或者ACD DOE ∠=∠；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.可知：DOE ACD ∠=∠21，∴DOE ACD ∠≠∠∴当DOE ∆与AEC ∆相似时不存在ACD DOE ∠=∠情况. ∴当DOE ∆与AEC ∆相似时，A DOE ∠=∠， ∴AC OD //，∴AEOEAC OD =； ∵8,5===AC OA OD ，得AE AE -=585,∴1340=AE ；作AC EG ⊥垂足为G ，可得： 90=∠=∠AHO AGE ,∴OH GE //，∴AH AGOH EG AO AE ==即4351340AG EG ==, ∴1324=EG ，1332=AG ，137213328=-=CG ,∴在CEG R ∆t 中，3113721324tan ===∠CG EG DCA .（3）当1=OE 时，AD 的长是52或1452918. 五：定值问题（2021年黄浦25）如图10，四边形ABCD 中，AB =AD =4，CB =CD =3，∠ABC =∠ADC =90°，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且∠MCN =∠BCD ，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q .（1）求sin ∠MCN 的值；（2）当DN =DC 时，求∠CNM 的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相应的位置.解：（1）联结AC ，由AB =AD ，CB =CD ，AC =AC ，得△ABC ≌△ADC ，即∠ACB =∠ACD =12∠BCD =∠MCN . 12PQMNP NMDBAQ（图10）于是在△ABC 中，∠ABC=90°，5AC ==，则sin ∠ACB 45AB AC ==，即sin ∠MCN 45=. （2）在△CDN 中，∠CDN =90°，DN =DC ，可得∠DNC =∠DCN =45°.作∠BCS =∠NCD 交边AB 的延长线于点S .又CB =CD ，∠CBS =∠CDN =90°，得△CBS ≌△CDN . 得CS =CN ，∠CSB =∠CND .于是∠MCS =∠MCB +∠BCS =∠MCB +∠DCN =12∠BCD =∠MCN ，又CM =CM ，所以△MCS ≌△MCN ，得∠CNM =∠MSC =∠CND =45°. （3）不变.易知∠ADB =∠ACD =∠MCN ，由（2）知∠CNM =∠CND ，得∠CMN =∠DQN =CQP ，又∠MCN =∠PCQ ，得△CNM ∽△CPQ ，则△CSM ∽△CPQ . 设AC 与BD 的交点为H ，易知CH ⊥PQ ，又CB ⊥MS ，所以PQ CHMN CB=. 在△BCH 中，∠BHC =90°，sin ∠HCB 45=，易知cos ∠HCB 35=，即35PQ CH MN CB ==. 六：线段长度问题（2021年黄浦25）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF.（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长；（2）如图12，如果12CF BC =，①求证：∠CFE =∠DAE ；图11DD②求线段EF 的长.解：（1）过点F 作FH ⊥AB ，垂足为H .得FH ∥BC ∥AD ，∠BFH =∠CBF ，∠AFH =∠DAE. ∵1tan 2EAD ∠=，3tan 4CBF ∠=，∴1tan 2AFH ∠=，3tan 4BFH ∠=.在Rt △BFH 中，设BH =3k ，由3tan 4BFH ∠=易得FH =4k .在Rt △AFH 中，由FH =4k ，1tan 2AFH ∠=易得AH =2k，AF = 又∵AB =6，∴2k+3k=6，解得65k =.∴125AH =，AF =（2）如图12-1，延长AE 交BC 的延长线于G .易得AD ∥BG ，DAE G ∠=∠,AD DE CGCE=在Rt ADE △中，∵90D ∠=︒，1tan 2EAD ∠=，8AD =，∴tan 4DE AD EAD =⋅∠=，642CE CD DE =-=-=.备用图H图11D图13-1G图12-∴842CG=.解得4CG =又∵1=42CF BC =，∴CG CF =，∴CFG G ∠=∠.∴∠CFE =∠DAE.（3）如图13-1，联结BD 交AE 于P ，类似（1）可求AP =∵AB CD ∥，∴DP AB BP DE =.将6AB =，4DE =代入，得32DP BP =.又∵10BD =，∴4DP DE ==. ∴DPE DEP ∠=∠.又∵180-180-APD DPE CEF DEP ∠=︒∠∠=︒∠，，∴APD CEF ∠=∠ 又∵∠CFE =∠DAE ，∴△CEF ∽△APD . ∴AP DP EF CE=.将AP ==4DP 、=-=2CE CD DE代入，得EF =（2021年浦东25）四边形ABCD 是菱形，∠B ≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF ⊥AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC =3CF ．（1）如图1，当∠B =90°时，求ABE S △与ECF S △的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE =∠B 且CF =2时，求菱形的边长．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∠B =90°，∴∠C =90°，∠CFE +∠CEF =90°．∵EF ⊥AE ，∴∠AEB +∠CEF =90°．∴∠CFE =∠BEA ． ∴△ABE ∽△ECF ．FDCBA （第25题图3）（第25题图2）FDCBA（第25题图1）FEDCBA∴AB BE EC CF =．∵EC =3CF ．∴3AB ECBE CF==．∴AB =BC =3BE ．∴32AB EC=．∴2239()()24ABE ECFS ABSEC ===，即94ABE ECFS S =．（2）由（1）中结论可知当E 为BC 中点时，∠B 不为90°．分别过点A 、F 作AG ⊥BC 、 FH ⊥BC ，垂足分别为点G 、H ．∴∠AGE =∠EHF =90°． ∵∠AEG =∠EFH ， ∴△AGE ∽△EHF ．∴AG GE EHHF=．设CF =k ，CH =x ．由题意得 CE =BE =3k ，AB =6k ，EH =3k +x ，HF 由△ABG ∽△FCH ，可得66BG AB k CHFCk===．∴BG =6x．∴AG GE =3k -6x3k x+．化简可得 k =5x ．在Rt △ABG 中，cos B =BG AB =6165x x k k ==．即cos B =15．（3）由于∠B =∠AFE ，所以∠B 不为90°．在DC 的延长线上取点P ，使得EP =EC ． ∴∠P =∠ECP =∠D =∠B =∠AFE ．∵∠AFP =∠EFP +∠AFE =∠D +∠FAD ， ∴∠EFP =∠FAD ．∴△EFP ∽△FAD ．∴cos EP PF EF AFE FDDAFA===∠．∵CF =2，EC =3CF ， ∴EC =EP =6．设菱形ABCD 的边长为m ．∴62cos 2PC AFE m m+==∠-．∴4(1)2m PC m +=-．∴cos P =1123(2)PC m EP m +=-． ∵∠AFE =∠P ，∴cos ∠AFE =cos P．∴6123(2)m m m +=--，解得 m =17．经检验m =17是方程的解． ∴菱形ABCD 的边长是17．（2021年普陀25）如图14，矩形ABCD 中，1AB =，，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=；（2）当点G 在△ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当∠FGD =∠AFE 时，求线段BE 的长．解：（1）∵矩形ABCD ，∴90BAD B C CDA ∠=∠=∠=∠=︒，3AD BC ==，1CD AB ==．由90BAD ∠=︒，可得90BAE EAD ∠+∠=︒．由AE AF ⊥，可得90DAF EAD ∠+∠=︒． ∴BAE DAF ∠=∠．3BC =F图14CBADE G备用图C BAD由90CDA ∠=︒，可得90ADF ∠=︒． ∴B ADF ∠=∠． ∴△ABE ∽△ADF ． ∴AD DFAB BE=．（2）由AD AB 可得3DF x =．过点G 作GH DF ⊥，H 为垂足．可证GH //EC ，∴GH FH FGEC FC FE==．由:FG GE =在Rt △DGH 中，3cot 61GH xDGH DH x -∠==-． ∵GH //AD ，3cot cot 61xADG DGH x -∠=∠=-．（3）解法一：过点G 作GH DF ⊥，H 为垂足．同第（2 ∵FGD AFE ∠=∠，∴GD //AF ． ∴FAD ADG ∠=∠．又∵AD //GH ．∴DGH ADG ∠=∠．∴DGH FAD ∠=∠． ∴tan tan DGH FAD ∠=∠．得 12331313x x x -=-，解得 x =．即 BE =．AB CD GF HEAB CD GF M E解法二：过点G 作GM //AF ． ∵FGD AFE ∠=∠，∴GD //AF ．证90AEM ∠=︒，可得 BAE CEM ∠=∠．得1631x xx -=-，解得x =．（2021年徐汇25）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，12=AC ，5=BC ，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC ∆外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当BE AE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH ∆和ABG ∆相似，求ABE ∠sin 的值；（3）当AE AG =时，求CD 的长．解：（1）∵四边形CDEF 是正方形，∴CF EF DE CD ===，︒=∠90DEF ；∵BE AE ⊥，∴DEF AEB ∠=︒=∠90；∴FEG DEG DEG AED ∠+∠=∠+∠；∴FEG AED ∠=∠；又︒=∠=∠90F ADE ，∴EFB ADE ∆≅∆；∴BF AD =；设x CD =，则x EF CF ==，x AD -=12； ∴x x +=-512；解得27=x ∴4492==CD S CDEF 正方形．（2）当BEH ∆和ABG ∆相似时，又EBH ABG ∠=∠，所以分两种情况考虑：︒1 ∵︒+∠=∠+∠=∠90BAG ADH BAG BHE ； ∴BAG BHE ∠≠∠；（备用图）BAC（第25题G FE D BAC︒2 当BAG BEH ∠=∠时，∵BC DE //，∴CBG BEH ∠=∠；∴BAG CBG ∠=∠；∴ACBCBAG BC CG CBG =∠==∠tan tan ； ∴1255=CG ；得1225=CG ；∴12119=AG ；过点A 作BE AM ⊥，垂足为M ．在AMG Rt ∆中，︒=∠90AMG ；1312sin sin sin =∠=∠==∠ABC BGC AG AM AGM ；可得13119=AM ；在AMB Rt ∆中，︒=∠90AMB ，169119sin ==∠AB AM ABE ；综合︒1、︒2，如果BEH ∆和ABG ∆相似，ABE ∠sin 的值是169119．（3）同（2），过点A 作BE AM ⊥，垂足为M ．设x CD =．∵EF CD //，∴BF BC EF CG =；即x x CG +=55；解得xxCG +=55； ∴x x AG ++=5760，x x DG +=52；∵AE AG =，∴GE GM 21=；由AGM EGD ∠=∠，︒=∠=∠90AMG EDG ，∴EDG ∆∽AMG ∆； ∴AGGMGE GD =；得AG GD GE ⋅=22；即AG GD DE DG ⋅=+222；即x x x x x x x ++⋅+⨯=++576052)5(2224；化简，得095422=--x x ；解得21942±=x （负值舍去） ∴21942+=CD ．（2021年长宁25）已知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A B 、不重合），联结CM ，作90CMF ︒∠=，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ，点G 为线段MF 的中点，联结DG .（1）如图1，如果4AD AM ==，当点E 与点G 重合时，求MFC ∆的面积；（2）如图2，如果2AM =，4BM =，当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD x =，2DG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果6AM =，8CD =，F EDG ∠=∠，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）解：（1）四边形ABCD 是矩形，90//.A AB CD ∴∠=︒，//.AG MGAB CD GD GF∴=， 4MG FG AD ==，， 2.AG ∴=在Rt AMG ∆中, 24A AG AM ∠︒===90，，， 1tan .2AG AMG AM ∴∠==MG ==2MG FG MF MG =∴==，//AB CD ，F AMG ∴∠=∠， 1tan tan .2F AMG ∴∠=∠= 在Rt CMF ∆中, 90CMF ︒∠=，tan MC MF F ∴==120.2MFC S MC MF ∆∴=⋅⋅=（2）分别过点G 、点M 作GK CF MH CF ⊥⊥，，垂足分别为点K 、点.H 9090GKF MHF MHC ︒∴∠=︒∠=∠=，，四边形ABCD 是矩形，90ADC A MHF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ADHM 是矩形，2DH AM ∴==， MH AD x ==，同理可得 4.CH BM ==90CMF ∠=︒ 90F MCF ∴∠+∠=︒ 90MHC ∠=︒90MCF CMH ∴∠+∠=︒F CMH ∴∠=∠， FMH CMH ∴∆∆∽，.MH CH FH MH ∴=2.4x FH ∴=GK CF MH CF ⊥⊥，，//GK MH ∴，.FG GK FK FM MH FH∴== ABCDEF(G ) M图1 CDFM 图2第25题图2FM FG =2x GK ∴=，2.8x KH FK ==22.8x DK DH KH ∴=-=-在Rt GKD ∆中,22290GKD GK DK GK ︒∠=∴=+，，2GK y =424644x x y ∴=-+（4x <<）（3）七：取值范围问题（2021年青浦25）在△ABC 中，∠C= 90°，AC =2，BC=D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ=2BP ，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ ⊥AB ；（2）如果点P 在线段BC 上，当△PQD 是直角三角形时，求BP 的长；（3）将△PQD 沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于△ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．解：（1）∵∠C= 90°，AC =2，BC=∴AB4=．∴=BC AB ． ∵BQ=2BP，∴=BQ BP ∴=BQ BC BP AB． DPABCD Q（第25题图）（备用图）又∵∠B =∠B ，∴△BQP ∽△BCA ． ∴∠BQP =∠BCA ．∵∠C= 90°，∴∠BQP =90°．即PQ ⊥AB ．（2）（i ）当∠PQD =90°时，∵∠PQD < ∠PQA =90°， ∴此种情况不存在．（ii ）当∠QPD =90°时， ∵∠PQB =∠QPD =90°，∴AB ∥PD ，∴=CP CDBP DA． ∵CD =DA ， ∴BP =CP ．∵BC =BP = （iii ）当∠QDP =90°时，过点Q 作QH ⊥AC ，垂足为点H ．设BP =2x ，则BQ x ，PC =2x ，QA =4．∴AH =22-x ，QH =32-x，HD =12-x ．∵∠QDC =∠CDP +90°，∠QDC =∠DQH +90°， ∴∠CDP =∠DQH ． ∴tan ∠CDP =tan ∠DQH ． ∴=CP HD DC QH ．2=x ．解得1x ，2x∴BP ．综上所述，当△PQD 是直角三角形时，线段BP 的长为．（3）33<<BP ．。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题10锐角三角函数(解析版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题10锐角三角函数一、单选题1．（2021·上海金山区·九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=，那么锐角A 的正弦等于（）A ．A A 锐角的对边锐角的邻边B ．A 锐角的对边斜边C ．A 锐角的邻边斜边D ．A A 锐角的邻边锐角的对边．【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．【详解】在Rt ABC ∆中，90C ∠=，那么锐角A 的正弦=A 锐角的对边斜边，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义．2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在ABC 中，如果1sin 2A =，cot 3=B ，那么这个三角形一定是（） A ．等腰三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A ＝30°，∠B ＝60°，即可判断三角形的形状．【详解】∠ 1sin 2A =，cot 3=B ，∠∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠ ∠A ＋∠B ＝90°， ∠ 这个三角形一定是直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，那么sin A 的值为（）．A ．35B ．34C ．45D ．43【答案】A【分析】根据正弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt∠ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=35BC AB =，故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．4．（2021·上海奉贤区·九年级一模）在 Rt ABC ∆中，90C =∠，如果33,4AC cosA == ，那么 AB 的长为（）A ．94B ．4C ．5D ．254【答案】B【分析】根据cosA 34==AC AB ，即可得出AB 的值【详解】解：在Rt∠ABC 中，∠C=90°，AC=3，又∠,osA 34c ==AC AB ∠AB=4故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2021·上海虹口区·九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，那么tan A 的值等于（）A ．34B ．43C ．35D ．45【答案】A【分析】在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，由此可得tan A . 【详解】解：如图90C ∠=︒，3tan 4BC A AC ∴==.故选：A. 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正切，熟练掌握正切的表示是解题的关键.6．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知海面上一艘货轮A 在灯塔B 的北偏东30方向，海监船C 在灯塔B 的正东方向5海里处，此时海监船C 发现货轮A 在它的正北方向，那么海监船C 与货轮A 的距离是（）A ．10海里B ．C ．5海里D 【答案】B【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可．【详解】根据题意建立如图所示Rt∠ABC ，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，∠560AC BC tan B tan ==⨯︒=B ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确根据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键．7．（2021·上海徐汇区·九年级一模）在Rt ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，那么下列结论正确的是（）A．4tan3C=B．4cot5C=C．3sin4C=D．4cos5C=【答案】D【分析】先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．【详解】根据勾股定理可得：8AC==，则3tan4ABCAC==；4cot3ACCAB==；3sin5ABCBC==；4cos5ACCBC==；故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键．8．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知在∠ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（）A．10cos50°B．10sin50°C．10tan50°D．10cot50°【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：∠cosB＝BCAB，∠BC＝ABcosB＝10cos50°．故选：A．【点睛】此题主要考查三角函数的定义．余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝bc．9．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】A【分析】根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，即可得出答案．【详解】解：根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，可知，点B 处小明看点A 处小丽的仰角是35°，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确理解是解题的关键． 10．（2021·上海黄浦区·九年级一模）对于锐角α，下列等式中成立的是（） A ．sin cos tan ααα=⋅ B ．cos tan cot ααα=⋅ C ．tan cot sin ααα=⋅ D ．cot sin cos ααα=⋅【答案】A【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可．【详解】解：A ．sin cos tan ααα=⋅，故本选项正确； B ．tan cot 1cos ααα⋅=≠，故本选项错误； C ．cot sin cos tan αααα⋅=≠ ，故本选项错误； D ．cos cot sin cos sin ααααα=≠⋅ ，故本选项错误．故选A ．【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键．11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，一艘船从A 处向北偏东30°的方向行驶10千米到B 处，再从B 处向正西方向行驶20千米到C 处，这时这艘船与A 的距离（）A ．15千米B ．10千米C ．D ．千米【答案】C【分析】根据题意，利用30BAD ∠=︒，根据锐角三角函数求出AD 和BD 的长，从而得到CD 的长，再用勾股定理求出AC 的长．【详解】解：如图，根据题意，10AB km =，30BAD ∠=︒，∠1sin 301052BD AB km =⋅︒=⨯=，cos30102AD AB =⋅︒=⨯=，∠20BC km =，∠15CD km =，∠AC ==．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．12．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，,2A BC α∠==，那么AB 的长等于（）A ．2sin αB ．2sin αC ．2cos αD ．2cos α【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA ＝BCAB，代入求出即可．【详解】解：∠在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，∠sinA ＝BCAB， ∠AB ＝sin BC A =2sin α，故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．13．（2021·上海金山区·九年级一模）若α是锐角，()2sin 152α+=，那么锐角α等于（） A ．15 B ．30 C ．45D ．60【答案】B【分析】由sin45°=2可得()15α+=45°即可确定α．【详解】解：∠sin45°=2，()2sin 152α+=，α是锐角∠()15α+=45°，即α=30°．故选：B ．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定()15α+=45°成为解答本题的关键．14．（2021·上海九年级一模）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，那么cosA 等于（） A ．BCABB ．ACABC ．BCACD ．ACBC【答案】B【分析】作出草图，根据锐角的正弦=邻边斜边列式即可．【详解】解：如图，∠∠C=90°，∠cosA=ACAB．故选：B ．．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．15．（2021·上海静安区·九年级一模）在Rt∠ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α，那么CD 的长为（）A ．sin tan m αα⋅⋅B ．sin cos m αα⋅⋅C ．cos tan m αα⋅⋅D ．cos cot m αα⋅⋅【答案】B【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC ，再表示出CD 即可求出结果．【详解】解：根据题意作图如下：由题意知：AB =m ，∠A =α，∠cos AC AB α=⋅，∠sin cos sin CD AC AB ααα=⋅=⋅⋅，即cos sin CD m αα=⋅⋅，故选：B ．【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．16．（2021·上海静安区·九年级一模）如果锐角α ） A ．30α=︒ B ．60α=︒ C ．3045α︒<<︒D ．4560α︒<<︒【答案】C【分析】利用30度角和45度角的正切值与角α的正切值比较，即可得到答案．【详解】∠tan 30tan tan 451α︒==︒=，22213,1134===，而13134<<，∠3045α︒<<︒，故选：C ．【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键．17．（2021·上海崇明区·九年级一模）倍，那么这个正多边形的边数是（） A ．3 B ．4C ．5D ．无法确定【答案】B【分析】如图，画出简图，根据切线的性质可得∠OCA=90°，根据∠AOC 的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多边形的中心角为90°，即可求出多边形的边数．【详解】如图，OA 、OC 分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB 为边长，∠OC∠AB ，∠∠OCA=90°，∠倍，∠cos∠AOC=OC OA =2， ∠∠AOC=45°，∠∠AOB=90°，即此多边形的中心角为90°，∠此多边形的边数=360°÷90°=4，故选：B ．【点睛】本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．18．（2021·上海崇明区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，如果8AC =，6BC =，那么A ∠的正弦值为（）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A【分析】利用勾股定理可求出AB 的长，根据正弦函数的定义即可得答案．【详解】∠90C ∠=︒，8AC =，6BC =，，∠sinA=BC AB =35，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型． 19．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，过D 作DF AB ⊥交边BC 于点E ，交AC 的延长线于点F ，联结AE ，如果1tan 3EAC ∠=，1CEFS=，那么ABCS的值是（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】证明∠BAC∠∠FEC ，得219EFC BAC S EC S AC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，进一步得出结论．【详解】解：∠90ACB ∠=︒，DF∠AB ，∠∠ACB=∠FCE=∠BDE=90° 又∠FEC=∠BED∠∠F=∠B∠∠ABC∠∠EFC∠()22211tan 39EFC BAC S EC EAC S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫==∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠1CEFS =∠99BAC FEC S S ∆∆== 故选：C【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．20．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，在∠ABC 中，∠C ＝90°．若AB ＝3，BC ＝2，则sin A 的值为（）A ．23BCD 【答案】A【分析】根据在直角三角形中，正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】解：∠ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，得sin A ＝2 3BC AB ＝，故选A ．【点睛】本题考查三角函数，熟记公式是解题关键.21．（2021·上海松江区·九年级一模）已知在Rt∠ABC 中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC 的长为（） A ．2sinαB ．2cosαC ．2tanαD ．2cotα【答案】D 试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∠在Rt∠ABC 中，∠C=90°， ∠cotA=，∠BC=2，∠A=α，∠AC=2cotα，故选D ．考点：锐角三角函数的定义．二、填空题22．（2021·上海九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，如果cot 2A ∠=，3BC =，那么AC =________________．【答案】6 【分析】直接根据cot AC A BC∠=，将已知条件代入，便可求出AC.【详解】∠cot AC A BC∠==2，3BC =，∠cot 326AC BC A =⋅∠=⨯=，故答案为：6. 【点睛】本题考查余切的定义，正确掌握余切的公式是解题的关键.23．（2021·上海九年级专题练习）已知某斜坡的坡度1:3,当铅垂高度为3米时，水平宽度为_________________米【答案】9【分析】根据斜坡是铅垂高度与水平距离的比值，而这个斜坡的坡度为1:3，铅垂高度为3米，从而求出斜坡的水平宽度．【详解】解：∠斜坡的坡度为1:3，其铅垂高度为3米，∠这个斜坡的水平宽度为：3×3=9米，故答案为：9．【点睛】本题考查解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度是指斜坡的铅直高度与水平距离的比值．24．（2021·上海松江区·九年级一模）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，3cos 4A =，那么AB 的长为__．【答案】8【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．【详解】解：∠3cos 4AC A AB ==，∠AB=34AC ＝634＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了余弦函数的定义，是所邻的直角边与斜边的比，理解定义是关键．25．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥， CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =， 1tan 2C =，那么 DP 的长是 _____ ．【答案】5【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得APB C ∠=∠，根据1tan 2C =得1tan 2AB APB BP ==∠，求出4BP =，得出6PC =，利用1tan 2C =和勾股定理即可得DP 的长．【详解】解：∠AB BC ⊥，DP AP ⊥，CD DP ⊥，∠90B APD PDC ∠=∠=∠=︒，90C DPC ∠+∠=︒，90APB DPC ∠+∠︒=，∠APB C ∠=∠， ∠1tan 2C =，∠1tan tan 2AB APB C BP ===∠，∠2AB =，10BC =，∠4BP =，6PC =，设DP 的长是x ，∠1tan 2DP C CD ==，∠22CD DP x ==，∠222PC DP CD =+，即()22262x x =+，解得x =（舍去负值）．【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 26．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如果小明沿着坡度为1:2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了______米．【答案】3256【分析】设高度上升了h ，则水平前进了2.4h ，然后根据勾股定理解答即可．【详解】解：设高度上升了h ，则水平前进了2.4h ，130= ，解得h=50．故答案为50．【点睛】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h 的方程成为解答本题的关键．27．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如果视线与水平线之间的夹角为36°，那么该视线与铅垂线之间的夹角为________度．【答案】126°或54°【分析】根据仰角或俯角是36°分类讨论，画出图形即可分别求出结论．【详解】解：当仰角是36°时，如下图所示由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为36°＋90°=126°；当俯角是36°时，如下图所示由图可知：该视线与铅垂线之间的夹角为90°－36°=54°；综上：该视线与铅垂线之间的夹角为126°或54°.故答案为：126°或54°．【点睛】此题考查的是仰角和俯角的定义，根据仰角或俯角是36°分类讨论是解题关键．OP ，且OP与x轴负半轴夹角的正切28．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知点P位于第二象限内，5值为2，则点P的坐标是________．【答案】（【分析】根据题意，画出图形，过点P 作PA∠x 轴于A ，根据正切值可知2PA OA=，设OA=x ，则PA=2x ，利用勾股定理列出方程即可求出x ，从而求出OA 和PA ，即可求出结论．【详解】解：如下图所示，过点P 作PA∠x 轴于A由题意可知：tan∠POA=2∠2PA OA=设OA=x ，则PA=2x∠OA 2＋PA 2=OP 2∠x 2＋（2x ）2=52 解得：x=PA=∠点P 在第二象限∠点P的坐标为（（．【点睛】此题考查的是解直角三角形和求点的坐标，掌握利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解题关键．29．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是133，则这个锐角的正切值为________．【答案】3【分析】设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：1tan cot 33tan cot 1αααα⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩，解方程即可．【详解】解：设这个锐角为α，∠1tan cot 33tan cot 1αααα⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩①②由①，得10cot tan 3αα=-③将③代入②，得tan tan 0131αα⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭解得：1tan 3α=或tan 3α= 当1tan 3α=时，∠cot α=3＞tan α∠α的正切值比余切值大∠此时不符合题意，舍去；当tan 3α=时，cot α=13＜tan α∠此时符合题意．故答案为：3．【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．30．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是______度．【答案】36【分析】根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可．【详解】解：如图所示：∠甲处看乙处为俯角∠DBA=36°，//AC BD ，∠乙处看甲处为：仰角∠CAB=∠DBA=36°．故答案为：36．【点睛】此题主要考查了仰角、俯角的定义以及平行线的性质，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．31．（2021·上海嘉定区·九年级一模）已知一个斜坡的坡度i =______．【答案】30【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．【详解】解：∠3tan α==，∠坡角=30°．【点睛】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．32．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，一辆汽车沿着坡度为1:i =50米，则它距离地面的垂直高度下降了米.【答案】25【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设垂直高度下降了x 米．根据勾股定理可得：x 2+）2=502．解得x=25，即它距离地面的垂直高度下降了25米．【点睛】此题考查三角函数的应用.关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．33．（2021·上海金山区·九年级一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=，15AB =，4sin 5A =，那么BC =______．【答案】12【分析】直接利用正弦的定义列式求解即可．【详解】解：∠90C ∠=︒，4sin 5A =，∠4sin 5CB A AB == ∠15AB =∠4155CB =，解得：BC=12．故填：12．【点睛】本题主要考查了正弦的定义，正确理解正弦的定义是解答本题的关键．34．（2021·上海金山区·九年级一模）在ABC ∆中，::1:2AB AC BC =tan B =______．【答案】2【分析】先由勾股定理逆定理判断出ABC ∆是直角三角形，再根据正切的定义求解即可.【详解】设2AB x AC x BC ===，，，则()22222225AB AC x x x BC +=+==， ABC ∆∴是直角三角形，且90A ∠=︒，2tan 2AC x B AB x∴===，故答案为：2 【点睛】此题考查了正切的定义.再直角三角形中锐角的正切值等于对边和邻边的比是解答此题的关键. 35．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABC 中，120ABC ∠=︒，12AB =，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，4sin 5ADE ∠=，5ED =，如果ECD 的面积是6，那么BC 的长是_____．【答案】6【分析】过点F 作EF AC ⊥交AC 于F ，过点A 作BC 的垂线交CB 的延长线于点H ，通过解直角三角形、勾股定理及三角形面积公式求出CF ，再通过解直角三角形求出CH ，即可解得答案．【详解】解；过点F 作EF AC ⊥交AC 于F ，∠4sin =5EF ADE ED∠=，又∠5ED =，∠4EF =，∠3DF ==，又∠114622ECD S CD EF CD =⋅=⋅=，∠3CD =，6CF =，过点A 作BC 的垂线交CB 的延长线于点H ，∠90AHB ∠=︒，又∠120ABC ∠=︒，∠60ABH ∠=︒，∠12AB =，∠1cos602BH AB ︒==，∠6BH =，sin 602AH AB ︒==AH =在CEF △和ACH 中，tan EF AH ACH CF CH ∠== 即46=CH =6BC CH BH =-=【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理，解题的关键是根据题意做出辅助线．36．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，已知ABC 是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点,D E 分别在边,AC AB 上，点,F G 在边BC 上，那么AD 的长是_____．【答案】6【分析】根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt∠CDG 中运用正弦的定义建立方程求解即可．【详解】根据题可知，∠ADE 为等边三角形，即：AD=DE ，根据正方形的性质可知DE=DG ，DG∠BC ，∠C=60°，设AD=x ，则DG=x ，DC=AC -AD=2-x ，∠在Rt∠CDG 中，DG sinC CD =，即：602DG x sinC sin CD x =︒===-解得：6=x ，经检验6=x 是上述分式方程的解，故答案为：6．【点睛】本题考查正方形和等边三角形的性质，以及利用锐角三角函数解直角三角形，灵活根据题意找准合适的直角三角形是解题关键．37．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45︒，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30，那么甲楼高是_____米．【答案】(30-【分析】先依据题意画出图形，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得30AB BC ==米，再根据解直角三角形可得CF 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】由题意，画出图形如下，其中AD 长表示甲楼的高度，BC 长表示乙楼的高度，AB 表示地面，且,,AD AB BC AB EC BC ⊥⊥⊥，45,30BAC ECD ∠=︒∠=︒，30AB =米，过点D 作DF BC ⊥于点F ，则四边形ABFD 是矩形，AD BF ∴=，30DF AB ==米，,45BC AB BAC ⊥∠=︒，Rt ABC ∴是等腰三角形，30AB BC ∴==米，30,ECD EC BC ∠=︒⊥，60DCF ∴∠=︒，在Rt CDF 中，30tan tan 60DF CF DCF ===∠︒（米），30BF BC CF ∴=-=-，则甲楼高30AD =-，故答案为：(30-．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，依据题意，正确画出图形，并通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．38．（2021·上海九年级一模）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么BAC ∠的正弦值为_________________．【答案】2【分析】连接BC ，根据网格求出AB,BC,AC ，得到∠ABC 是直角三角形，再进行求解.【详解】∠每个小正方形的边长均为1，∠AB =BC =AC =∠AB 2＝BC 2＋AC 2，∠∠ABC 是直角三角形，∠sin∠BAC ＝2BC AB ==，故答案为2．【点睛】此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用.39．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，点G 是ABC 的重心，2CG =，4BC =，那么cos GCB ∠=______．【答案】23【分析】根据重心的性质和余弦函数的定义可以得到解答．【详解】解：如图，延长CG 与AB 交于点D ，过D 作DE∠CB 于点E ，∠G是∠ABC 的重心，∠CG=2GD，∠CG=2，∠GD=1，∠CD=2+1=3，∠∠ACB=90°，∠AC∠CB，∠AC∠DE，∠D是AB中点，∠E是CB中点，∠CE=122CB=，∠cos∠GCB=23CECD=，故答案为23．【点睛】本题考查三角形的综合运用，熟练掌握重心的性质和余弦函数的定义是解题关键．40．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为______米．【答案】15【分析】过点B作BC∠AC于C，由迎水坡的坡度为1:0.75，得到tan∠BAC=43=BCAC，求出AC=9米，再利用勾股定理求出答案．【详解】过点B作BC∠AC于C，∠迎水坡的坡度为1:0.75，∠tan∠BAC=43=BCAC，∠BC=12米，∠AC=9米，=15(米)，故答案为：15．．【点睛】此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为1:0.75得到tan∠BAC=43=BC AC 是解题的关键． 41．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为35，那么其周长为______．【答案】26 【分析】作DF∠BC 于F ，AE∠BC 于E ，根据等腰梯形的性质就可以得出∠AEB∠∠DFC 就可以求出FC=BE ，然后根据底角的余弦值为35，求得BE ，AB ，从而求出周长．【详解】解：如图示，作DF∠BC 于F ，AE∠BC 于E ，∠四边形ABCD 是等腰梯形，∠∠B=∠C ，AB=CD ，AD∠BC ，∠∠ADF=∠DFC=90°，∠∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，∠四边形AEFD 是矩形，5EF AD ，在∠AEB 和∠DFC 中 ∠∠AEB∠∠DFC （AAS ），∠BE=CF ；∠35cos E AB B B ，设3BE x =，则5AB x =，根据勾股定理，有：2222534AEAB BE x x ，解之得：1x =（取正值）， ∠3BE =，5AB =，∠3FCBE ，5DC AB ==， ∠周长AB BE EF FC CDAD 53535526，故答案是：26．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质的运用，三角函数，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，能熟练应用相关性质是解题的关键．42．（2021·上海闵行区·九年级一模）在直角坐标平面内有一点(12,5)A ，点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么cos θ=_________．【答案】1213【分析】根据锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解即可．【详解】解：∠在直角坐标平面内有一点A （12,5）=13∠cos θ=1213．故答案为：1213．【点睛】本题主要考査了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理等知识点，掌握锐角三角函数的定义成为解答本题的关键．43．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，ABC 在边长为1个单位的方格纸中，ABC 的顶点在小正方形顶点位置，那么ABC ∠的正弦值为_____．【分析】利用勾股定理可求出AC 、BC 、AB 的值，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，根据正弦的等于即可得答案．【详解】∠ABC 在边长为1个单位的方格纸中，ABC 的顶点在小正方形顶点位置，，BC=，∠（2+）2=2，∠∠ACB=90°，∠sin∠ABC=ACAB 【点睛】本题考查网格的特征、勾股定理及正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．44．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如图，正方形ABEF 和正方形BCDE 的边长相等，点A 、B 、C 在同一条直线上．连接AD 、BD ，那么cot ADB ∠的值为______．【答案】3【分析】先构造以∠ADB 为内角的直角三角形，根据余切的定义求解即可．【详解】解：如图，作正方形ABEF 关于直线AB 对称的正方形ABGH ，连接AG ，BH ，相交于点O ；∠正方形ABGH ，∠∠AOD=90°，OA=OB=12AG ， ∠正方形ABEF 和正方形BCDE 的边长相等，∠正方形ABGH 和正方形BCDE 的边长相等，∠AG=BD=2OA ，∠OD=OB+BD=3OA ，∠在Rt∠AOD 中，cot ADB ∠=3OD OA OA OA==3．故答案为3．【点睛】本题考查了求角的余切值，掌握相关知识是解题的关键．45．（2021·上海金山区·九年级一模）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=，1BC =，2AC =，以点C 为直角顶点的Rt DCE ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若1tan 2CED ∠=，CE GE =，那么BD 的长等于______．【答案】2【分析】根据题意画图，作AH∠CE 于H ，根据1tan tan 2CED BAC ∠==∠得出E BAC ∠=∠，由等边对等角得CGE ECG ∠=∠，根据三角形的内角和可得出AKC ECG ∠=∠，得出AK=AC ，利用等腰三角形三线合一得KH=CH ，再证出AH 为KCD △的中位线，可得出AK ，AD 的长，利用勾股定理求出AB ，AB+AD 即可得BD 的长．【详解】解：如图，作AH∠CE 于H ，∠1tan tan 2CED BAC ∠==∠，∠E BAC ∠=∠，∠CE GE =，∠CGE ECG ∠=∠， ∠AKC ECG ∠=∠，∠AK=AC=2，∠AH∠CE ，90ECD ∠=，∠KH=CH ，//AH CD ，∠AH 为KCD △的中位线，∠A 为DK 的中点，DK=2AK=4，AD=AK=2，∠90ACB ∠=，1BC =，2AC =，=∠BD=AD+AB=2+．故答案为：2．【点睛】本题考查三角函数-正切，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作垂线构造三角形的中位线是解题的关键．。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题13二次函数综合(解析版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题13二次函数综合1．（2021·上海黄浦区·九年级一模）将二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式：请结合以上两个函数图像，指出当自变量x 在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的．【答案】246y x x =-+，12x -≤≤．【分析】由二次函数的平移规律：左加右减，可得平移后的解析式，再画出两个函数的图像，利用图像可得答案．【详解】解：把二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位可得：()()23233y x x =-+-+，246y x x ∴=-+，又()222312,y x x x =++=++∴函数图像的顶点坐标为：()1,2,-而()224622,y x x x =-+=-+∴函数图像的顶点坐标为：()2,2,函数223y x x =++与246y x x =-+的图像如图示；∴由图像可得：当12x -≤≤时，函数223y x x =++的函数图像是上升的，而函数246y x x =-+的函数图像是下降的．【点睛】本题考查的是二次函数的图像的平移，二次函数的增减性，掌握以上知识是解题的关键．2．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知抛物线223y x x m =++-的顶点在第二象限，求m 的取值范围．【答案】m ＞1【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(-1，m-1)，再利用第二象限点的坐标特征得到m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：∵y=x 2+2x+m=(x+1)2+m-1，∴抛物线的顶点坐标为(-1，m-1)，∵抛物线y=x 2+2x+m 顶点在第二象限，∴m-1＞0，∴m ＞1．故答案为m ＞1．【点睛】本题考查了配方法，以及二次函数y =a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k 的性质是解答本题的关键．y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，k )，对称轴是x =h ．3．（2021·上海松江区·九年级一模）用配方法把二次函数2365y x x =-+化为2()y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】化为23(1)2y x =-+，开口方向：向上；对称轴：直线1x =；顶点坐标：()1,2P 【分析】先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．【详解】解：y =3x 2-6x +5=3（x 2-2x +1）+2=3（x -1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x =1，顶点P （1，2）．【点睛】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．4．（2021·上海金山区·九年级一模）已知抛物线22y x bx c =-++经过点()01A ,、()1,5B -．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成()22y x m k =-++的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【答案】（1）2241y x x =--+；（2）()2213y x =-++，顶点坐标为：()1,3-，对称轴为：直线1x =-．【分析】（1）直接将A 、B 的坐标代入22y x bx c =-++求得b 、c 即可；（2）通过配方将（1）求得的解析式化成顶点式，然后直接写出顶点坐标和对称轴即可．【详解】解：（1）由抛物线22y x bx c =-++经过点()01A ,、()1,5B -两点可得：125c b c =⎧⎨-++=-⎩，解得：41b c =-⎧⎨=⎩；∴抛物线的解析式为：2241y x x =--+；（2）2241y x x =--+()2213x =-++；∴()2213y x =-++，∴顶点坐标为：()1,3-，对称轴为：直线1x =-．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，将二次函数的一般式化成顶点式成为解答本题的关键．5．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为M ，对称轴是直线1x =-．（1）求此抛物线的表达式及点M 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移(0)m m >个单位，所得新抛物线经过原点O ，设新抛物线的顶点为N ，请判断MON △的形状，并说明理由．【答案】（1）222=++y x x ，(1,1)-；（2）△MON 是等腰直角三角形．【分析】（1）根据对称轴是直线1x =-，可求b ，再代入点C ，可求抛物线解析式，把1x =-，代入解析式，可求M 点坐标；（2）由原抛物线与y 轴交点可知，抛物线向下平移2个单位，可求新顶点坐标，再求出MO 、ON 、MN 的长，可判断三角形形状．【详解】解：（1）∵抛物线对称轴是直线1x =-，∴121b -=-⨯，解得b=2，把(0,2)C 代入2y x bx c =++得，2c =，∴抛物线解析式为：222=++y x x ；把1x =-代入222=++y x x 得，2(1)2(1)2y =-+⨯-+，1y =，点M 的坐标为：(1,1)-．（2）抛物线222=++y x x 与y 轴交点为(0,2)C ，向下平移(0)m m >个单位后经过原点，∴m=2，新抛物线的顶点N 的坐标为：(1,1)--，∴22112ON =+=，22112OM =+=，MN=2，∴222MN OM ON =+，∴△MON 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和函数的平移以及勾股定理逆定理，灵活运用已知条件，准确把握函数图象平移特征，根据三边长判断三角形形状是解题关键．6．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知二次函数21722y x x =--+．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为()2y a x m k =++的形式；（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y 随自变量x 的变化而变化的情况．【答案】（1）()21142y x =-++；（2）开口向下，顶点()1,4-，对称轴直线1x =-，x≤-1时，y 随x 增大而增大；x ＞-1时，y 随x 增大而减小．【分析】（1）根据配方法，先提取12-，然后配成完全平方式，整理即可；（2）根据a 是负数以及顶点式解析式分别求解即可．【详解】解:(1)()()22171214222y x x x =-++=-++（2）①二次函数开口方向向下，②顶点坐标()1,4-，对称轴直线1x =-，③x≤-1时，y 随x 增大而增大；x ＞-1时，y 随x 增大而减小．【点睛】本题考查化一般式为顶点式和二次函数的性质．熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．7．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知一个二次函数的图像经过点()1,0A -、()0,3B 、()2,3C ．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点()11,P x y 、()22,Q x y 在这个二次函数图像上，且120x x <<，那么1y _____2y ．（填“<”或者“>”）【答案】（1）2y x 2x 3=-++，x=1；（2）<【分析】（1）直接用待定系数法代入三点求出函数解析式，运用对称轴公式可求出对称轴；（2）通过判断二次函数增减性可得出结果．【详解】解：（1）设二次函数的表达式为2y ax bx c =++，已知二次函数经过A 、B 、C 三点，将三点坐标代入二次函数表达式中，03423a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，可得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则这个函数的解析式为2y x 2x 3=-++，其对称轴为直线12b x a=-=；（2）0a < ，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴x<1时，y 随x 的增大而增大，又本题120x x <<，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，包括求解析式，求对称轴以及二次函数增减性，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．8．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知二次函数()20y ax ax a =-≠的图像经过点()1,2-．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线2132y x x =++？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．【答案】（1）2y x x =-，顶点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）可以，先向左平移2个单位，再向下平移32个单位【分析】（1）把点()1,2-代入函数解析式，求出a 的值即可得到解析式，再把一般式写成顶点式得到顶点坐标；（2）把所给的函数解析式化为顶点式，根据函数图象的平移法则进行求解．【详解】解：（1）把点()1,2-代入函数解析式，得2a a +=，解得1a =，∴2y x x =-，写成顶点式：21124y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴顶点坐标是11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）将2132y x x =++也写成顶点式，得23724y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，31222⎛⎫--= ⎪⎝⎭，713442-=，∴把原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移32个单位．【点睛】本题考查二次函数解析式的求解和图象的平移，解题的关键是掌握解析式的求解方法和函数图象的平移方法．9．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知二次函数的解析式为2122y x x =-．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为()2y a x m k =++的形式；（2）选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系xOy 内描点，画出该函数的图像．x …………y …………【答案】（1）()21222y x =--；（2）见解析．【分析】（1）直接利用配方法即可把该二次函数的解析式化为顶点式；（2）列表、描点、连线，画出函数的图象即可．【详解】解：（1）2122y x x =-21(4)2x x =-21(444)2x x =-+-()21222x =--∴()21222y x =--；（2）填表如下：x……-20246……y……60-206……图像如下：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确掌握配方法以及画二次函数图象的步骤是解题关键．。

2020-2021学年上海市金山区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为()A. y=x2+2xB. y=x2−2xC. y=x2−2D. y=x2−4x2.下列各点中，在二次函数y=−x2的图象上的是()A. (1,−1)B. (2,−2)C. (−2,4)D. (2,4)3.已知Rt△ABC中，∠A=90°，则bc是∠B的()A. 正切B. 余切C. 正弦D. 余弦4.已知α是锐角，且满足2sin(α+20°)=√3，则α的度数为()A. 80°B. 60°C. 40°D. 10°5.如果a⃗=2b⃗ (a⃗,b⃗ 均为非零向量)，那么下列结论错误的是()A. a⃗//b⃗B. a⃗−2b⃗ =0C. b⃗ =12a⃗ D. |a⃗|=2|b⃗ |6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是()A. 5≥r≥3B. 3<r<5C. r=3或r=5D. 0<r<3或r>5第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：32a⃗−(a⃗−32b⃗ )=______．8.已知函数f(x)=x−22x，那么f(3)=______．9. 如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于(3,0)，对称轴是直线x =1，当函数值y >0时，自变量x 的取值范围是____．10. 正五边形的中心角的度数是______ ．11. 已知⊙O 1的半径长为4，⊙O 2的半径长为r ，圆心距O 1O 2=6，当⊙O 1与⊙O 2外切时，r 的长为______．12. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =6，sinA =35，则AB =______． 13. 如图，在△ABC 中，∠B =45°，tanC =12，AB =√2，则AC =______．14. 如图．△ABC 的中线AD 、BE 相交于点G ，过点G 作GH//AC 交BC 于点H ，如果GH =2，那么AC =______．15. 如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD =2AD.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(结果用向量a ⃗ 、b ⃗ 的式子表示)16.如图，B，C，D，E为⊙A上的点，DE=5，∠BAC+∠DAE=180°，则圆心A到弦BC的距离为______．17.如图所示，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为______．18.如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=4，AD=√65，CD=13，则7线段AC的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上一点，tan∠DBC=4，且BC=6，3 AD=4.求cos A的值．20.如图，已知AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=OB．求证：OC=OD．21.如图，已知二次函数y=ax2−4x+c的图象经过点A和点B．(1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)若点P(m,m)在该函数图象上，求m的值．22.如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB//DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i=1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°(点F、D、C在一直线上)，求铁塔AB的高度．(参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6)23.如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，连接AC，DE.DE分别交BC，AC于点F，G，且CD·AE=AC·AG．求证：(1)△ABC∽△AGE；(2)AB2=DE·DG．<a<0) 24.如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2−2amx+am2+2m−5(其中−14上，AB//x轴，∠ABC=135°，且AB=4．(1)填空：抛物线的顶点坐标为_____(用含m 的代数式表示)； (2)求△ABC 的面积(用含a 的代数式表示)；(3)若△ABC 的面积为2，当2m −5≤x ≤2m −2时，y 的最大值为2，求m 的值．25. 如图①，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交AC 于点D ，过点D 的直线交BC 于点E ，交AB 的延长线于点P ，∠A =∠PDB ． (1)求证：PD 是⊙O 的切线；(2)若AB =4，DA =DP ，试求弧BD 的长；(3)如图②，点M 是AB ⏜的中点，连结DM ，交AB 于点N.若tanA =12，求DNMN的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=x2+2x=(x+1)2−1，∴y=x2+2x的对称轴是直线x=−1，故选项A不符合题意；∵y=x2−2x=(x−1)2−1，∴y=x2−2x的对称轴是直线x=1，故选项B符合题意；y=x2−2的对称轴是直线x=0，故选项C不符合题意，∵y=x2−4x=(x−2)2−4，∴y=x2−4x的对称轴是直线x=2，故选项D不符合题意；故选：B．根据各个选项中的函数解析式可以得到相应的对称轴，从而可以解答本题．本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.【答案】A【解析】解：当x=1时，y=−x2=−1，当x=−2时，y=−x2=−4，当x=2时，y=−x2=−4，所以点(1,−1)在二次函数y=−x2的图象上．故选：A．分别计算自变量为1和−2、2所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3.【答案】A【解析】解：如图，tanB=b．c故选A．根据题意画出直角三角形，根据锐角三角函数的定义便可直接解答．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4.【答案】C【解析】解：∵2sin(α+20°)=√3，∴sin(α+20°)=√3，2∴α+20°=60°，∴α=40°．故选C．首先利用特殊角的三角函数值求出α+20°的值，进而求出α即可．此题主要考查了特殊角的三角函数值，得出α+20°的值是解题关键．5.【答案】B【解析】解：A、正确．因为a⃗=2b⃗ (a⃗,b⃗ 均为非零向量)，所以a⃗与b⃗ 是方向相同的向量，即a⃗//b⃗ ；B、错误．应该是a⃗−2b⃗ =0⃗；a⃗；C、正确．由a⃗=2b⃗ 可得b⃗ =12D、正确．因为a⃗=2b⃗ 所以|a⃗|=2|b⃗ |；故选B．根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．6.【答案】D【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心作圆，当圆A的半径0<r<3或r>5时，圆A与线段BC没有公共点；故选：D．根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形即可得出答案．此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案．7.【答案】12a⃗+32b⃗【解析】解：原式=32a⃗−a⃗+32b⃗ =12a⃗+32b⃗ ．故答案是：12a⃗+32b⃗ ．平面向量的加减计算法则与实数的加减计算法则相同．考查了平面向量，解答此类题目时，直接去括号，然后计算加减法即可．8.【答案】16【解析】解：当x=3时，f(3)=3−22×3=16．故答案为：16．【分析】把x=3代入函数关系式，计算求值即可．本题考查求函数值.题目比较简单，已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．9.【答案】−1<x<3【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(3,0)，对称轴是直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为：(−1,0)，故当函数值y>0时，自变量x的取值范围是：−1<x<3．故答案为：−1<x<3．直接利用二次函数的对称性得出图象与x轴的另一个交点，进而得出答案．此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，正确利用数形结合分析是解题关键．10.【答案】72°【解析】解：正五边形的中心角为：360°5=72°．故答案为：72°．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为360°n，则代入求解即可．此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．11.【答案】2【解析】解：∵⊙O1的半径长为4，⊙O2的半径长为r，圆心距O1O2=6，当⊙O1与⊙O2外切时，∴r+4=6，解得：r=2，故答案为：2；根据两圆的位置关系和数量之间的联系解答即可．本题考查的是圆与圆的位置关系与数量之间的联系，关键是根据两圆外切⇔d=R+r 解答．12.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握正弦函数的定义．由sinA=BCAB 知AB=BCsinA，代入计算可得．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinA=BCAB，BC=6，∴AB=BCsinA =635=10，故答案为10．13.【答案】√5【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足是点D，∵AB=√2，∴AD2+BD2=AB2=2，∵∠B=45°，∴∠BAD=∠B=45°，∴AD=BD，∴AD2=BD2=1，∴AD=BD=1，∵tanC=12，∴ADCD =12，∴CD=2，∴AC=√AD2+CD2=√12+22=√5．故答案为：√5．先过点A作AD⊥BC，垂足是点D，得出AD2+BD2=AB2=2，再根据∠B=45°，得出AD=BD=1，然后根据tanC=12，得出ADCD=12，CD=2，最后根据勾股定理即可求出AC．此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、解直角三角形等，关键是作出辅助线，构造直角三角形．14.【答案】6【解析】解：∵△ABC的中线AD、BE相交于点G，∴AGGD=2，∵GH//AC，∴GHAC =GDAD=13，∵GH=2∴AC=6，故答案为：6根据三角形重心的性质和平行线分线段成比例解答即可．本题考查的是平行线分线段成比例和三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15.【答案】13b⃗ −a⃗【解析】解：∵CD =2AD ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ ，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +13b ⃗ ，故答案为：13b⃗ −a ⃗ ．求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求解即可．本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】52【解析】【分析】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理、圆心角、弧、弦之间的关系，掌握垂径定理、三角形中位线定理是解题的关键．延长CA 交⊙A 于F ，连接BF ，作AH ⊥BC 于H ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出BF ，根据垂径定理得到CH =HB ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长CA 交⊙A 于F ，连接BF ，作AH ⊥BC 于H ，∵∠BAC +∠DAE =180°，∠BAC +∠BAF =180°， ∴∠BAF =∠DAE ， ∴BF⏜=DE ⏜， ∴BF =DE =5， ∵AH ⊥BC ，∴CH =HB ，又CA =AF ， ∴AH =12BF =52，故答案为：52．17.【答案】9：16【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC//AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故答案为：9：16．18.【答案】4√13【解析】解：作∠DAE=∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．∵∠C+∠BAD=∠DAC，∴∠CAE=∠ACB，∴AE=EC，∵tan∠BAD=4，7∴设DF=4x，则AF=7x，在Rt△ADF中，AD2=DF2+AF2，即(√65)2=(4x)2+(7x)2，解得x1=−1(不合题意舍去)，x2=1，∴DF=4，AF=7，设EF=y，则CE=7+y，则DE=6−y，在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，即(6−y)2=42+y2，，解得y=53∴DE =6−y =133，AE =263，∴设DG =z ，则EG =133−z ，则(√65)2−z 2=(263)2−(133−z)2，解得z =1， ∴CG =12，在Rt △ADG 中，AG =√AD 2−DG 2=8，在Rt △ACG 中，AC =2+CG 2=4√13．故答案为：4√13．作∠DAE =∠BAD 交BC 于E ，作AF ⊥BC 交BC 于F ，作AG ⊥BC 交BC 于G.根据三角函数设DF =4x ，则AF =7x ，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得到DF =4，AF =7，设EF =y ，则CE =7+y ，则DE =6−y ，在Rt △DEF 中，根据勾股定理得到DE =133，AE =263，设DG =z ，则EG =133−z ，则(√65)2−z 2=(263)2−(133−z)2，依此可得CG =12，在Rt △ADG 中，据勾股定理得到AG =8，在Rt △ACG 中，据勾股定理得到AC =4√13．考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得到AG 和CG 的长．19.【答案】解：在Rt △DBC 中，∵∠C =90°，BC =6，∴tan∠DBC =CD BC=43． ∴CD =8．∴AC =AD +CD =12．在Rt △ABC 中，由勾股定理得， AB =√AC 2+BC 2=√122+62=6√5， ∴cosA =ACAB =65=25√5．【解析】先解Rt △DBC ，求出DC 的长，然后根据AC =AD +DC 即可求得AC ，再由勾股定理得到AB ，最后再求cos A 的值即可．本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．20.【答案】证明：∵AB//DC ，∴∠A =∠C ，∠B =∠D ， ∵OA =OB ， ∴∠A =∠B ，∴∠C =∠D ， ∴OC =OD ．【解析】利用平行线的性质可求得∠A =∠C ，∠B =∠D ，利用OA =OB ，可求得∠A =∠B ，则可求得∠C =∠D ，则可证得OC =OD ．本题主要考查等腰三角形的判定和性质及平行线的性质，利用平行线的性质及等腰三角形的性质证得∠C =∠D 是解题的关键．21.【答案】解：(1)将A(−1,−1)，B(3,−9)代入，得{a +4+c =−19a −12+c =−9， ∴a =1，c =−6， ∴y =x 2−4x −6；(2)由y =x 2−4x −6=(x −2)2−10，对称轴：直线x =2，顶点坐标：(2,−10)；(3)∵点P(m,m)在函数图象上， ∴m 2−4m −6=m ， ∴m =6或−1．【解析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的对称轴、顶点坐标，掌握二次函数的性质及待定系数法是解题的关键．(1)由条件可知点A 和点B 的坐标，代入解析式可得到关于a 和c 的二元一次方程组，解得a 和c ，可写出二次函数的解析式；(2)利用配方法写出把二次函数写成顶点式，即可得其对称轴与顶点坐标； (3)把点的坐标代入可求得m 的值．22.【答案】解：延长AB 交DC 于G ，过E 作EH ⊥CD 于H ，则四边形EHGB 是矩形，∵斜坡DE 的坡长为13米，坡度i =1：2.4， ∴设EH =5x ，则DH =12x ，∵EH2+DH2=DE2，∴(5x)2+(12x)2=132，∴x=1(负值舍去)，∴EH=5，DH=12，∵EB//DC，∴∠ABE=∠AGH=90°，∵∠AEB=45°，∴AB=BE，∴HG=AB，∴FG=5+12+AB，AG=AB+5，∵∠F=31°，∴tanF=tan31°=AGFG =AB+517+AB=0.6，∴AB=13米，答：铁塔AB的高度是13米．【解析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定理得到EH=5，DH=12，根据三角函数的定义解直角三角形，然后列方程可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】证明：(1)∵CD⋅AE=AC⋅AG．∴CDAG =ACAE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，∴ABAG =ACAE，∵∠BAC=∠GAE，∴△ABC∽△AGE；(2)∵△ABC∽△AGE，∴∠ACB=∠E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，BC//AD，∴∠ACB =∠CAD =∠E ， ∵∠ADG =∠ADE ， ∴△ADG∽△EDA ， ∴AD DE=DG AD，∴AD 2=DE ⋅DG ， ∴AB 2=DE ⋅DG ．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)只要证明ABAG =ACAE ，又∠BAC =∠GAE ，即可证明△ABC∽△AGE ； (2)只要证明△ADG∽△EDA ，可得ADDE =DGAD ，推出AD 2=DE ⋅DG 即可证明．24.【答案】(1)(m,2m −5)；(2)S △ABC =−8a+2a；(3)72或10+2√10．【解析】[分析](1)利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；(2)过点C 作直线AB 的垂线，交线段AB 的延长线于点D ，由AB//x 轴且AB =4，可得出点B 的坐标为(m +2,4a +2m −5)，设BD =t ，则点C 的坐标为(m +2+t,4a +2m −5−t)，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t 的一元二次方程，解之取其正值即可得出t 值，再利用三角形的面积公式即可得出S △ABC 的值；(3)由(2)的结论结合S △ABC =2可求出a 值，分三种情况考虑：①当m >2m −2，即m <2时，x =2m −2时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元二次方程，解之可求出m 的值；②当2m −5≤m ≤2m −2，即2≤m ≤5时，x =m 时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次方程，解之可求出m 的值；③当m <2m −5，即m >5时，x =2m −5时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m 的一元一次方程，解之可求出m 的值．综上即可得出结论． [详解]解：(1)∵y =ax 2−2amx +am 2+2m −5=a(x −m)2+2m −5， ∴抛物线的顶点坐标为(m,2m −5)，故答案为：(m,2m −5)；(2)过点C 作直线AB 的垂线，交线段AB 的延长线于点D ，如图所示，∵AB//x轴，且AB=4，∴点B的坐标为(m+2,4a+2m−5)，∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为(m+2+t,4a+2m−5−t)，∵点C在抛物线y=a(x−m)2+2m−5上，∴4a+2m−5−t=a(2+t)2+2m−5，整理，得：at2+(4a+1)t=0，解得：t1=0(舍去)，t2=−4a+1a，∴S△ABC=12AB⋅CD=−8a+2a；(3)∵△ABC的面积为2，∴−8a+2a=2，解得：a=−15，∴抛物线的解析式为y=−15(x−m)2+2m−5．分三种情况考虑：①当m>2m−2，即m<2时，则当x=2m−2时，y取最大值，有−15(2m−2−m)2+2m−5=2，整理，得：m2−14m+39=0，解得：m1=7−√10(舍去)，m2=7+√10(舍去)；②当2m−5≤m≤2m−2，即2≤m≤5时，则当x=m时，y取最大值，有2m−5=2，解得：m=72；③当m<2m−5，即m>5时，则当x=2m−5时，y取最大值，(2m−5−m)2+2m−5=2，有−15整理，得：m2−20m+60=0，解得：m3=10−2√10(舍去)，m4=10+2√10．或10+2√10．综上所述：m的值为72[点睛]本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：(1)利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；(2)利用等腰直角三角形的性质找出点C的坐标；(3)分m<2、2≤m≤5及m>5三种情况考虑．25.【答案】证明：(1)连结OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，又∵OA=OB=OD，∴∠BDO=∠ABD，又∵∠A=∠PDB，∴∠PDB+∠BDO=90°，即∠PDO=90°，且D在圆上，∴PD是⊙O的切线(2)设∠A=x°，∵DA=DP，∴∠A=∠P=x°，∴∠DBA=∠P+∠BDP=x°+x°=2x°，在△ABD中，∠A+∠ABD=90°，∴x°+2x°=90o，即x=30，∴∠DOB=60°，∴弧BD长=60°×π×2180∘=23π(3)连结OM，过D作DF⊥AB于点F，∴点M是的AB⏜的中点，∴OM⊥AB，∵tanA=12=BDAD，∴设BD=x，则AD=2x，AB=√5x=2OM，∴OM=√5x2，在Rt△BDF中，S△ADB=12×AB×DF=12×AD×DB∴DF=2√55x，∵∠MON=∠DFN=90°，∠DNF=∠MNO ∴△OMN∽△FDN∴DNMN =DFOM=2√55x√52x=45．【解析】(1)由圆周角的定理可得∠ADB=90°，可得∠A+∠ABD=90°，可求∠PDB+∠BDO=90°，可得结论；(2)设∠A=x，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠DBA=∠P+∠BDP= x+x=2x，由三角形内角和可求x的值，由弧长公式可求弧BD的长；(3)连结OM，过D作DF⊥AB于点F，设BD=x，则AD=2x，AB=√5x=2OM，可求OM，DF的长，通过证明△OMN∽△FDN，可求DNMN的值．本题是圆的综合题，考查了圆的知识，弧长公式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．。

上海市金山初级中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题

解：由题意得：
，
∵AB=4，
∴ ；
故答案为．
本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
11.在△ABC中，中线AD和中线CE相交于G，则AG：AD＝___．
2：3
由三角形重心的概念可知，再根据重心的性质即可求得AG=2GD，AD=3GD，即可求得AG：AD．
解：∵AD、AE分别是三角形的中线，
22.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．
证明见解析
由∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°得∠BAF=∠C；由∠ABO+∠AOB=90°，∠AOB+∠COE=90°得∠ABF=∠COE．由两对角对应相等判定三角形相似．
12
首先证明，，利用等高模型解决问题即可．
解：四边形是平行四边形，
，，，
∴ ，
，
，，
的面积是2，
的面积为4，的面积为8，
的面积为．
故答案为12．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.如图，已知正方形DEFG的边EF在 ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，BC＝15，高AH＝10，则正方形DEFG的边长等于___．
6
设正方形的边长为，则，所以，再证明，则根据相似三角形的对应高之比等于相似比得到，由此计算即可求得答案．
解：设正方形的边长为，则，
又∵高AH＝10，
，
∵四边形DEFG 正方形，
∴ ，

2021上海初三数学一模试题分类整理(几何综合题)

2021上海初三数学一模试题分类整理（几何综合题）1．（长宁）已知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A B 、不重合），联结CM ，作90CMF ︒∠=，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ，点G 为线段MF 的中点，联结DG .（1）如图1，如果4AD AM ==，当点E 与点G 重合时，求MFC ∆的面积；（2）如图2，如果2AM =，4BM =，当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD x =，2DG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果6AM =，8CD =，F EDG ∠=∠，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）ABCDEF(G )M图1ABCDEFGM图2第25题图2．（杨浦）如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，∠EDB =∠ADC ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点G ，交射线AC 于点F .（1）如果点D 为边BC 的中点，求∠DAB 的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD =x ，CF =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF ，如果△CDF 与△AGE 相似，求线段CD 的长.备用图ABC第25题图ABCEDG F3．（徐汇）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，12=AC ，5=BC ，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC ∆外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当BE AE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH ∆和ABG ∆相似，求ABE ∠sin 的值；（3）当AE AG =时，求CD 的长．（备用图）BAC（第25题图）GFED BAC4．（松江）如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC=，tan∠ABC=2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）.（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG=4，求线段AD的长；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长.D·B AFC（图1）DBAFC（图2）G BAFC（备用图）5．（普陀）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=；（2）当点G 在△ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当∠FGD =∠AFE 时，求线段BE 的长．F图14CB A DE G备用图CBAD6．（浦东）四边形ABCD 是菱形，∠B ≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF ⊥AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC =3CF ．（1）如图1，当∠B =90°时，求ABE S △与ECF S △的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE =∠B 且CF =2时，求菱形的边长．（第25题图3）（第25题图2）（第25题图1）7．（闵行）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ，联结EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：△ADE ∽△CDF ，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结BG ．当△BGE 与△DEH 相似时，求x 的值．（第25题图）B A CF ED GH（备用图）B A CFEDGH8．（静安）已知∠MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，∠EBD =∠MAN ，且CE //BD ，sin∠MAN=35，AB =5，AC =9．（1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE=BC ·BE ；（2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在∠MAN 外部时，设AD =x ，△BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，写出定义域．（第25题图）（备用图）（图1）FAB DCE NM9.（嘉定）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF.（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长；（2）如图12，如果12CF BC =，①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.图11图12备用图10．（黄浦）如图10，四边形ABCD 中，AB =AD =4，CB =CD =3，∠ABC =∠ADC =90°，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且∠MCN =12∠BCD ，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q .（1）求sin∠MCN 的值；（2）当DN =DC 时，求∠CNM 的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQMN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相应的位置.P NM DC BAQ（图10）11．（虹口）如图12，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，过点A 作射线AM //BC ，点D、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），联结BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，∠DBE =∠C ．（1）当AD =1时，求FB 的长；（2）设AD =x ，FG =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果△DBH 是等腰三角形，请直接写出AD 的长．C FGE D A B 图12C A B 备用图MM12.（奉贤）已知⊙O 的直径AB =4，点P 为弧AB 上一点，联结PA 、PO ，点C 为劣弧AP 上一点（点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA 、PO 于点D 、E .（1）如图10，当cos∠CBO =87时，求BC 的长；（2）当点C 为劣弧AP 的中点，且△EDP 与△AOP 相似时，求∠ABC 的度数；（3）当AD =2DP ，且△BEO 为直角三角形时，求四边形AOED 的面积.备用图备用图A B图10PA BC D EO A B13．（崇明）如图，Rt△ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．点D 为斜边AB 的中点，ED ⊥AB ，交边BC 于点E ．点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：△ADP ∽△EDQ ；（2）设AP x =，BQ y =．求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ ，交线段ED 于点F ．当△PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．A D BCPEQ 第25题图A D B C P E Q 第25题备用图F14.（宝山）如图3，已知Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D、E 在边AB 上，∠DCE =45°，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD.（1）求证：DE BE CE ⋅=2；（2）当AC =3，AD =2BD 时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F .设x BCBD =，y FMD =∠tan ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.EM DCAB （图3）15．（青浦）在△ABC 中，∠C=90°，AC =2，BC =23，点D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ =32BP ，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ ⊥AB ；（2）如果点P 在线段BC 上，当△PQD 是直角三角形时，求BP 的长；（3）将△PQD 沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于△ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．（第25题图）（备用图）A C O 第25题备用图16.（金山）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如图1中，O A ∠=∠21.已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射线AO 于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，43tan =∠OAC .(1)求弦AC 的长.(2)当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值.(3)当1=OE 时，求点A 与点D 之间的距离（直接写出答案）.AB CO第25题图1第25题图2E D C A O。

上海2020-2021学年初三数学一模考1-17题（二次函数汇编）学生版

知识回顾考点①二次函数图像 ②二次函数图像的性质 ③几种二次函数之间的图像变换规律④解析式-通过二次函数过的点的坐标求解析式 ⑤一般式，顶点式，配方法转换 ⑥图像顶点，对称轴，开口方向，最大最小值 ⑦一次函数与二次函数结合的图像问题，求解析式问题一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数.二次函数2y ax bx c =++的定义域是一切实数.2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．（2）,,a b c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数2y ax bx c =++的图像和性质1.二次函数()2y a x m k =++与2y ax bx c =++的比较配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2b m a =-，244ac b k a -=．2.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.三、抛物线与坐标轴的交点（1）与y 轴的交点为()0,c .令0,x y c == （2）与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.四、二次函数的图像平移平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：左加右减，上加下减五、二次函数2y ax bx c =++的性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．对称轴左侧，y 随x 的增大而减小；对称轴右侧，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；对称轴右侧，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、待定系数法求解析式题型一、二次函数的概念（2021虹口一模3）下列函数中，属于二次函数的是（）A ．212y x =-； B ．y C ．22y x =-； D ．22 (2)y x x --=．（2021闵行一模1）下列函数中，是二次函数的是（）（A ）223y x x =--；（B ）22(1)y x x =--+；（C ）21129y x x =+；（D ）2y ax bx c =++．（2021浦东新区一模3）下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（）（A ）2(1)3y k x =-+；（B ）211y x=+；（C ）2(1)(2)y x x x =+--；（D ）227y x x =-．（2021普陀一模1）下列函数中，y 关于x 的二次函数是（）（A ）2y ax bx c =++；（B ）211y x =+；（C ）(1)y x x =+；（D ）()222y x x =+-．（2021奉贤一模9）如果二次函数1+2+=2-m x mx y 的图像经过点P （1，2），那么m 的值为．（2021虹口一模9）如果抛物线2y x a =-经过点()2 0，，那么a 的值是．（2021金山一模2）下列各点在抛物线22x y =上的是（）（A ）()2,2；（B ）()42，；（C ）)(8,2；（D ）()16,2. （2021金山一模8）已知()x x x f 32+=，那么()=-2f ．（2021浦东新区一模6）已知点A （1，2）、B （2，3）、C （2，1），那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（）（A ）点A 、B 、C ；（B ）点A 、B ；（C ）点A 、C ；（D ）点B 、C ．题型二、开口方向（2021静安一模10）二次函数223y x x =-图像的开口方向是．（2021宝山一模13）如果抛物线()m x m y ++=21（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向 .（2021虹口一模10）如果抛物线2(+1)y k x =有最高点，那么k 的取值范围是_____ （2021嘉定一模13）如果抛物线2(21)y a x =-的开口向下，那么实数a 的取值范围是．（2021杨浦一模13）已知抛物线2(1)1y a x =-+的开口向上，那么a 的取值范围是．（2021浦东新区一模13）如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向．（填“向上”或“向下”）题型三、对称轴（2021虹口一模11）如果抛物线l 经过点A (2-，0)和B (5，0)，那么该抛物线的对称轴是直线．（2021黄浦一模14）已知二次函数图像经过点（3,4）和（7,4），那么该二次函数图像的对称轴是直线．（2021金山一模1）已知二次函数()122--=x y ，那么该二次函数图像的对称轴是（）（A ）直线2=x ；（B ）直线2-=x ；（C ）直线1=x ；（D ）直线1-=x .（2021嘉定一模16）如果抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，那么2a b + 0. （从＜，=，＞中选择）（2021静安一模13）在二次函数223y x x =-+图像的上升部分所对应的自变量x 的取值范围是．（2021青浦一模12）二次函数2+2y x x m =+图像上的最低点的横坐标为．（2021徐汇一模3）已知抛物线c x x y ++-=42经过点)3,4(，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）（A ）)2,0(；（B ）)3,0(；（C ）)4,0(；（D ）)5,0(．题型四、顶点（2021嘉定一模3）抛物线223y x =-的顶点坐标是（）（A ）23-（，）；（B ）23（，）；（C ）03-（，）；（D ）03（，）．（2021静安一模11）抛物线236y x =-的顶点坐标为．（2021普陀一模10）二次函数224y x x =+图像的顶点坐标为．（2021崇明一模5）抛物线2()y a x k k =-+的顶点总在（）(A)第一象限；(B)第二象限；(C)直线y x =上； (D)直线y x =-上．（2021黄浦一模17）如果抛物线()232y x b x c =+++的顶点为（b ，c ），那么该抛物线的顶点坐标是．（2021嘉定一模15）如果抛物线2()2y x m k =++-的顶点在x 轴上，那么常数k 为．（2021青浦一模4）抛物线 ()322---=x y 的顶点坐标是（）（A ）（2，-3）；（B ）（-2，-3）；（C ）（2，3）；（D ）（-2，3）．题型五、与x y 、轴交点（2021崇明一模13）函数2245y x x =+-的图像与y 轴的交点的坐标为．（2021嘉定一模14）二次函数2(+1)3y x =-的图像与y 轴的交点坐标为．题型六、增减性（2021虹口一模12）沿着x 轴正方向看，抛物线22y x =-在y 轴左侧的部分是的（填“上升”或“下降”）．（2021金山一模9）抛物线22x y -=沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）（2021闵行一模9）抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是的（填“上升”或“下降”）．（2021青浦一模11）抛物线223y x =-在y 轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）（2021徐汇一模10）已知二次函数1)23(2-+=x a y 的图像在直线23-=x 的左侧部分是下降的，那么a 的取值范围是_____．（2021普陀一模9）沿着x 轴正方向看，如果抛物线()22y a x =-在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 的取值范围是．（2021奉贤一模10）如果二次函数21=）-（x y 的图像上有两点（2，y 1）和（4，y 2），那么y 1 _y 2（填“>”、“=”或“<”）．（2021浦东新区一模14）如果（2，1y ）、（3，2y ）是抛物线()21y x =+上两点，那么1y ___2y ．（填“>”或“<”）（2021松江一模12）已知点()12,A y 、()23,B y 在抛物线22y x x c =-+（c 为常数）上，则1y _____2y ．（填“>”、“=”或“<”）（2021长宁一模13）已知抛物线22y x x c =-+经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y 2y （填“>”，“<”或“=”）．（2021普陀一模8）如果正比例函数y kx =的图像经过第一、三象限，那么y 的值随着x 的值增大而．（填“增大”或“减小”）题型七、函数的平移（2021宝山一模5）将抛物线2x y =先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，两次平移后得到的抛物线的表达式为（）（A ）()212--=x y ；（B ）()212-+=x y ；（B ）()212+-=x y ；（D ）()212++=x y .（2021崇明一模14）如果将抛物线2(1)y x =-先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为．（2021奉贤一模1）将抛物线22=x y 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（）（A ）12=2-x y ；（B ）1+2=2x y ；（C ）21+2=）（x y ；（D ）212=）-（x y .（2021虹口一模4）将抛物线23y x =-向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是（）A ．21y x =-；B ．25y x =-；C ．2+23y x =-（）；D ．223y x =--（）．（2021静安一模3）将抛物线3)1(22-+=x y 平移后与抛物线22x y =重合，那么平移的方法可以是（）（A ）向右平移1个单位，再向上平移3个单位；（B ）向右平移1个单位，再向下平移3个单位；（C ）向左平移1个单位，再向上平移3个单位；（D ）向左平移1个单位，再向下平移3个单位．（2021闵行一模10）将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为．（2021青浦一模10）将抛物线2y x =-向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是．（2021松江一模3）抛物线22y x =向右平移3个单位后得到的抛物线是（）（A ）223y x =+；（B ）223y x =-；（C ）22(3)y x =+；（D ）22(3)y x =-．（2021徐汇一模1）将抛物线2)1(2+=x y 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）（A ）2)2(22--=x y ；（B ）2)2(22+-=x y ；（C ）2)4(22-+=x y ；（D ）2)4(22++=x y ．（2021杨浦一模12）已知抛物线2y x =，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2，2），那么平移后的抛物线的表达式是．（2021长宁一模11）将抛物线221y x =- 向下平移3个单位后，得到新抛物线的表达式为．题型八、a b c 、、符号的判定（2021宝山一模6）如图所示是二次函数()02≠++=a c bx ax y 图像的一部分，那么下列说法中不正确．．．的是（）（A ）0<ac ；（B ）抛物线的对称轴为直线1=x ；（C ）0=+-c b a ；（D ）点（-2，1y ）和（2，2y ）在抛物线上，则21y y >.（2021闵行一模3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y a x b x c =++图像经过点O（0，0），那么根据图像，下列判断中正确的是（）（A ）0a <；（B ）0b >；（C ）0ab >；（D ）0c =．x 3-1 o 1y（第3题图）yx O（2021嘉定一模6）二次函数2()y a x m k =++的图像如图1所示，下列四个选项中，正确的是（）（A ）00m k <<，；（B ）00m k <>，；（C ）00m k ><，；（D ）00m k >>，.（2021长宁一模4）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，那么a c 、满足（）（A ） 0a >，0c >；（B ）0a >，0c < ；（C ） 0a <，0c >；（D ）0a <，0c <．题型九、二次函数的应用（2021奉贤一模11）如图2，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米．设垂直于墙的一段篱笆长为x 米，可列出方程为．（2021松江一模11）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x （x >0）厘米，则面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式为_______________________．（2021黄浦一模15）如图2，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x 分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y 平方分米，那么y 关于x 的函数解析式是．（不必写定义域）（2021杨浦一模13）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．题型十、图像与性质综合（2021普陀一模11）如图2，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()1,0A ，那么()1f - 0．（填“＞”、“＜”或“=”）（2021黄浦一模2）抛物线243y x x =-+-不经过（）（A ）第一象限；（B ）第二象限；（C ）第三象限；（D ）第四象限．（2021静安一模12）如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为．（2021宝山一模14）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式： . （2021黄浦一模5）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（）（A ）-1；（B ）3；（C ）4；（D ）0．（2021长宁一模15）已知二次函数2()f x ax bx c =++的部分对应值如下表，那么(3)f -的值为．（2021普陀一模4）在下列对抛物线2(1)y x =--的描述中，正确的是（）（A ）开口向上；（B ）顶点在x 轴上；（C ）对称轴是直线1x =-；（D ）与y 轴的交点是（0，1）．（2021杨浦一模1）关于抛物线2y x x =-，下列说法中，正确的是（）（A ）经过坐标原点；（B ）顶点是坐标原点；（C ）有最高点；（D ）对称轴是直线x =1．（2021奉贤一模17）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线．如果抛物线C 1：x x y 2=2-与抛物线C 2是关于直线x =-1的对称曲线，那么抛物线C 2的表达式为．（2021杨浦一模11）已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，那么△ABC的面积等于．。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题05 圆(解析版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题05 圆一、单选题1．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=，3AC =，4BC =，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是（）A ．1205r ≤≤B ．1235r ≤≤C ．1245r ≤≤D ．34r ≤≤【答案】C 【分析】作CD⊙AB 于D ，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出125CD =然后根据直线与圆的位置关系得到当1254≤≤r 时，以C 为圆心、r 为半径作的圆与斜边AB 有公共点．【详解】解：作CD⊙AB 于D ，如图，⊙⊙C=90°，AC=3，BC=4，⊙22AB 5AC BC =+=1122⋅=⋅CD AB BC AC ⊙CD 125= ⊙以C 为圆心、r 为半径作的圆与斜边AB 有公共点时，r 的取值范围为1254≤≤r故选：C【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ：直线l 和⊙O 相交⊙d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⊙d=r ；直线l 和⊙O 相离⊙d ＞r ．2．（2021·上海闵行区·九年级一模）已知A 与B 的半径分别是6和8，圆心距2AB =，那么A 与B 的位置关系是（）A ．相交B ．内切C ．外切D ．内含【答案】B【分析】根据圆心距等于两圆半径的差，判断两圆的位置关系即可解题．【详解】A 与B 的半径分别是6和8，圆心距2AB =，又8-6=2AB =∴A 与B 的位置关系是内切，故选:B ．【点睛】本题考查两圆的位置关系，涉及圆心距，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．（2021·上海崇明区·边形的边数是（）A ．3B ．4C ．5D ．无法确定【答案】B【分析】如图，画出简图，根据切线的性质可得⊙OCA=90°，根据⊙AOC 的余弦可得⊙AOC=45°，即可得出此多边形的中心角为90°，即可求出多边形的边数．【详解】如图，OA 、OC 分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB 为边长，⊙OC⊙AB ，⊙⊙OCA=90°，⊙倍，⊙cos⊙AOC=OC OA =2， ⊙⊙AOC=45°，⊙⊙AOB=90°，即此多边形的中心角为90°，⊙此多边形的边数=360°÷90°=4，故选：B ．【点睛】本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．4．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果1O 和2 O 内含，圆心距12 4O O =，1O 的半径长是6，那么2 O 的半径r 的取值范围是（）．A ．02r <<B ．24r <<C ．10r >D ．02r <<或10r >【答案】D 【分析】根据题意得1206OO r ≤<-，结合124O O =，通过求解不等式，即可得到答案．【详解】根据题意得：1206OO r ≤<-，0r >⊙124O O =⊙46r <-⊙64r ->或64r -<-⊙02r <<或10r >⊙2O 的半径r 的取值范围是：02r <<或10r > 故选：D ．【点睛】本题考查圆与圆内含、绝对值、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆内含、绝对值、一元一次不等式的性质，从而完成求解．二、填空题5．（2021·上海金山区·九年级一模）正十边形的中心角等于______度．【答案】36【分析】根据正多边形的中心角的定义即可求解．【详解】正十边形的中心角等于360°÷10=36°。

上海市金山区2020-2021学年初三上学期数学一模及参考答案

上海市金山区2020-2021学年初三上学期数学一模学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知二次函数()221y x =--，那么该二次函数图像的对称轴是（） A ．直线2x = B ．直线2x =- C ．直线1x= D ．直线1x =- 2．下列各点在抛物线22y x =上的是（）A ．()2,2B ．()24，C ．)(2,8D ．()2,16 3．在Rt ABC ∆中，90C ∠=，那么锐角A 的正弦等于（）A ．A A 锐角的对边锐角的邻边B ．A 锐角的对边斜边C ．A 锐角的邻边斜边D ．A A 锐角的邻边锐角的对边． 4．若α是锐角，()2sin 152α+=，那么锐角α等于（）A ．15B ．30C ．45D ．60 5．如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，2AD =，3BD =，BC a =，那么ED 等于（）A ．23aB ．23a -C ．25aD ．25a - 6．如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=，3AC =，4BC =，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是（）A ．1205r ≤≤B ．1235r ≤≤C ．1245r ≤≤D ．34r ≤≤二、填空题7．计算：322a a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭______． 8．已知()23f x x x =+，那么()2f -=______．9．抛物线22y x =-沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是______．（填“上升”或“下降”）10．正十边形的中心角等于______度．11．已知⊙1O 和⊙2O 的半径长分别为3和4，若⊙1O 和⊙2O 内切，那么圆心距12O O 的长等于______． 12．在Rt ABC ∆中，90C ∠=，15AB =，4sin 5A =，那么BC =______．13．在ABC ∆中，::1:2AB AC BC =tan B =______．14．已知：如图，ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，//DF AE 交BC 于F ，那么DF AG=______．15．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，设AB a =，AD b =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为______．16．如图，已知⊙O 中，120AOB ∠=，弦18AB =，那么⊙O 的半径长等于______．17．如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若2CE BE =，ABC ∆的面积等于15，那么FEC ∆的面积等于______．18．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=，1BC =，2AC =，以点C 为直角顶点的Rt DCE ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若1tan 2CED ∠=，CE GE =，那么BD 的长等于______．三、解答题19．如图，已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =．求：2tan tan sin 1cos 4tan 30A B A B ⋅+-+︒的值．20．已知：如图，⊙1O 与⊙2O 外切于点T ，经过点T 的直线与⊙1O 、⊙2O 分别相交于点A 和点B ．（1）求证：12//O A O B ；（2）若12O A =，23O B =，7AB =，求AT 的长．21．已知抛物线22y x bx c 经过点()01A ,、()1,5B -．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成()22y x m k =-++的形式，并写出顶点坐标与对称轴．22．如图，在距某输电铁塔GH （GH 垂直地面）的底部点H 左侧水平距离60米的点B 处有一个山坡，山坡AB 的坡度i =B 到坡顶A 的距离AB 等于40米，在坡顶A 处测得铁塔顶点G 的仰角为30（铁塔GH 与山坡AB 在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH ．（结果保留根号）23．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且MAN ABD ∠=∠．（1）求证：2AB BF DE =⋅；（2）若BE DN DE DC=，求证：//EF MN ．24．在平面直角坐标系xoy 中，直线324y x =-+与直线132y x =-相交于点A ，抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ．（1）求点A 的坐标；（2）若抛物线21y ax bx =+-向上平移两个单位后，经过点()1,2-，求抛物线21y ax bx =+-的表达式；（3）若抛物线2y a x b x c =+'+'()0a '<与21y ax bx =+-关于x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P '与点P ，当3OPP S ∆'=时，求抛物线21y ax bx =+-的表达式．25．定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1中，12A O ∠=∠．已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射线AO 于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，3tan 4OAC ∠=．（1）求弦AC 的长．（2）当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值．（3）当1OE =时，求点A 与点D 之间的距离（直接写出答案）．参考答案1．A【分析】根据顶点式坐标直接得到二次函数图象的对称轴．【详解】解：∵二次函数的顶点式是()221y x =--，∴函数图象的对称轴是直线2x =．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴的求解方法． 2．C【分析】将四个选项中的坐标代入抛物线的解析式中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．【详解】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在抛物线上．B.4≠2×4，故（2，4）不在抛物线上．C.8=2×4，故（2，8）在抛物线上．D.16≠2×4，故（2，16）不在抛物线上．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 3．B【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．【详解】在Rt ABC ∆中，90C ∠=，那么锐角A 的正弦=A 锐角的对边斜边，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义． 4．B【分析】由sin45°=2可得()15α+=45°即可确定α．【详解】解：∵sin45°=2，()2sin 152α+=，α是锐角 ∴()15α+=45°，即α=30°．故选：B ．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定()15α+=45°成为解答本题的关键．5．D【分析】先根据相似三角形的判定与性质求出DE 与BC 的数量关系，再根据向量的定义即可求出ED 的值．【详解】解：∵//DE BC ，∴DE AD BC AB=， ∵2AD =，3BD =，∴223DE BC =+， ∴25DE BC =． ∵BC a =，∴ED =25a -．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的定义，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．6．C【分析】作CD ⊥AB 于D ，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出125CD =然后根据直线与圆的位置关系得到当1254≤≤r 时，以C 为圆心、r 为半径作的圆与斜边AB 有公共点．【详解】解：作CD ⊥AB 于D ，如图，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB 5== 1122⋅=⋅CD AB BC AC ∴CD 125= ∴以C 为圆心、r 为半径作的圆与斜边AB 有公共点时，r 的取值范围为1254≤≤r 故选：C【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ：直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⇔d=r ；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ． 7．42a b - 【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【详解】解：323-2=4-22⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭a ab a a b a b故答案为：4-2a b【点睛】此题考查了平面向量的运算，注意去括号时的符号变化，熟练掌握法则是解题的关键，属于基础题8．2-【分析】计算自变量为-2对应的函数值即可．【详解】把2x =-代入()23f x x x =+得()22(2)3(2)2f -=-+⨯-=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了求函数的值，简单题，正确计算是关键．9．上升【分析】根据二次函数的增减性即可解答．【详解】解：∵当x ＜0时，y 随x 的增大而增大∴在y 轴的左侧部分是上升的．故填：上升．【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键． 10．36【分析】根据正多边形的中心角的定义即可求解．【详解】正十边形的中心角等于360°÷10=36°故答案为：36．【点睛】此题主要考查中心角，解题的关键是熟知正n 边形的中心角等于360n︒． 11．1【分析】根据圆心距和两圆半径之间的关系即可得出两圆内切时的圆心距．【详解】∵⊙1O 和⊙2O 内切，∴圆心距12O O 为：4-3=1，故答案为：1．【点睛】本题考察两圆的位置关系，熟练掌握两圆位置关系的判断方法是解题关键．12．12【分析】直接利用正弦的定义列式求解即可．【详解】解：∵90C ∠=︒，4sin 5A =， ∴4sin 5CB A AB == ∵15AB = ∴4155CB =，解得：BC=12．故填：12．【点睛】本题主要考查了正弦的定义，正确理解正弦的定义是解答本题的关键．13．2【分析】先由勾股定理逆定理判断出ABC ∆是直角三角形，再根据正切的定义求解即可.【详解】设2AB x AC x BC ===，，，则()22222225AB AC x x x BC +=+==，ABC ∆∴是直角三角形，且90A ∠=︒，2tan 2AC x B AB x∴===，故答案为：2【点睛】此题考查了正切的定义.再直角三角形中锐角的正切值等于对边和邻边的比是解答此题的关键.14．34【分析】根据已知条件得出G 点是重心，再通过证明BEG ∼BFD △得出比例关系即可．【详解】∵ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，∴G 为ABC ∆的重心， ∴DG BG =12，GE AE =13； ∴BG BD =23 ∵DF //AE ，∴BEG ∼BFD △ ∴EG DF =23∵GE AE =13∴DF AG =34．故答案为34．【点睛】本题考查了重心的判定和性质与相似三角形的判定与性质，找到重心和两个相似三角形是解题的关键．15．a b --【分析】根据题意得2BC b =，再求出2CA a b =--，由CD CA AD =+即可求出结果．解：∵2BC AD =，AD b =，//AD BC ，∴2BC b =，∵()()22CA AC AB BC a b a b =-=-+=-+=--，∴2CD CA AD a b b a b =+=--+=--．故答案是：a b --．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算方法．16．【分析】过O 作OC ⊥AB 于C ，由垂径定理可得AC=12AB=6；再由120AOB ∠=可得∠OAC=30°；则OC=12AO,最后在Rt △AOC 中应用勾股定理列式求出OA 即可．【详解】解：如图：过O 作OC ⊥AB 于C ，∴AC=12AB=6 ∵120AOB ∠=，OA=OB∴∠OAC=30°∴OC=12AO在Rt △AOC 中，由勾股定理可得：222OA OC AC -=,即22262OA OA ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得OA=故答案为：本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．17．4【分析】由□ABCD 可得AD=BC 、AD//BC,由2CE BE =可得AD=BC=3BE,过F 作FN ⊥BC 、FM ⊥AD,则△ABC 的高为MN,△AFD 的高为FM,再说明△ADF ∽△CEF 和△ENF ∽△DMF 进而得到53MN FM =,进而求得△AFD 的面积，最后根据相似三角形的性质求得△EFC 的面积即可．【详解】解：∵□ABCD∴AD=BC 、AD//BC∵2CE BE =∴AD=BC=CE+BE=3BE如图：过F 作FN ⊥BC 交BC 于N ，交AD 于M ，∵AD//BC ，∴FM ⊥AD ，∴△ADF ∽△CEF ，△ENF ∽△DMF ∴23EF EC DF AD ==，23FN EF FM DF ==, ∴53MN FM = ∵AD=BC ∴35AFD ABC S S =,即3155AFD S =，解得AFD S △=9 ∴2AFD CEF S AD S EC ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即2932CEF S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得CEF S △=4 故填：4．．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答本题的关键．18．2+【分析】根据题意画图，作AH ⊥CE 于H ，根据1tan tan 2CED BAC ∠==∠得出E BAC ∠=∠，由等边对等角得CGE ECG ∠=∠，根据三角形的内角和可得出AKC ECG ∠=∠，得出AK=AC ，利用等腰三角形三线合一得KH=CH ，再证出AH 为KCD △的中位线，可得出AK ，AD 的长，利用勾股定理求出AB ，AB+AD 即可得BD 的长．【详解】解：如图，作AH ⊥CE 于H ，∵1tan tan 2CED BAC ∠==∠， ∴E BAC ∠=∠，∵CE GE =，∴CGE ECG ∠=∠，∴AKC ECG ∠=∠，∴AK=AC=2，∵AH ⊥CE ，90ECD ∠=，∴KH=CH ，//AH CD ，∴AH 为KCD △的中位线，∴A 为DK 的中点，DK=2AK=4，AD=AK=2，∵90ACB ∠=，1BC =，2AC =，∴=∴BD=AD+AB=2故答案为：2．【点睛】本题考查三角函数-正切，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作垂线构造三角形的中位线是解题的关键．19．95【分析】根据勾股定理求出AB ，再根据三角函数的意义求出三角函数值，结合特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，由勾股定理得，AB 5==； ∴3tan 4AC B BC ==； 4sin 5BC A AB ==； 4cos 5BC B AB ==； 4tan 3BC A AC ==， ∴原式24344314554=⨯+-+⨯⎝⎭，415=+， 95=．【点睛】本题考查了三角函数的意义以及特殊角的三角函数值，会利用直角三角形求锐角的三角函数值是解题关键．20．（1）见解析；（2）145AT =【分析】（1）联结12O O ，即12O O 为连心线，根据⊙1O 与⊙2O 外切于点T ，推出12O O 经过点T ，由12,A O TA B O TB ∠=∠∠=∠求出A B ∠=∠，即可得到结论；（2）利用12//O A O B ，得到12AO AT BO BT =，代入数值得237AT AT=-，计算即可．【详解】（1）证明：联结12O O ，即12O O 为连心线，又∵⊙1O 与⊙2O 外切于点T ，∴12O O 经过点T ；∵1122,O A O T O B O T ==,∴12,A O TA B O TB ∠=∠∠=∠,∵12O TA O TB ∠=∠，∴A B ∠=∠，∴12//O A O B ．（2）∵12//O A O B ， ∴12AO AT BO BT=； ∵12O A =，23O B =，7AB =， ∴237AT AT=-，解得：145AT =．【点睛】此题考查两圆外切的性质，平行线的判定定理平行线截线段成比例，熟记两圆外切的性质是解题的关键．21．（1）2241y x x =--+；（2）()2213y x =-++，顶点坐标为：()1,3-，对称轴为：直线1x =-．【分析】（1）直接将A 、B 的坐标代入22y x bx c 求得b 、c 即可；（2）通过配方将（1）求得的解析式化成顶点式，然后直接写出顶点坐标和对称轴即可．【详解】解：（1）由抛物线22y x bx c 经过点()01A ,、()1,5B -两点可得： 125c b c =⎧⎨-++=-⎩解得：41b c =-⎧⎨=⎩；∴抛物线的解析式为：2241y x x =--+；（2）2241y x x =--+()2213x =-++； ∴()2213y x =-++，∴顶点坐标为：()1,3-，对称轴为：直线1x =-．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，将二次函数的一般式化成顶点式成为解答本题的关键．22．（1）山坡的高度为20米；（2）铁塔的高度GH 为(40+米．【分析】（1）过点A 作AD 垂直HB ，构造直角三角形，利用坡比的意义和勾股定理，求出AD ；（2）作//AE BH 交GH 于点E ，根据矩形的性质，三角函数等知识，求出GE ，再与EH 相加即可．【详解】解：（1）过点A 作AD 垂直HB ，交HB 的延长线于点D ．即90ADB ∠=︒，由题意得：i =60AB =（米），∴AD BD =BD =，又∵222AB AD BD =+，即)22240AD =+， ∴20AD =（米）．答：山坡的高度为20米．（2）作//AE BH 交GH 于点E ．∵AD BH ⊥，GH BH ⊥，∴//AD GH ，即：四边形ADHE 是矩形，由题意可知：30GAE ∠=︒，60BH =（米），∵BD ==，∴60AE DH ==+，在t R AGE ∆中，tan GE GAE AE∠=，∴20GE =+，又∵20EH AD ==（米），∴40GH GE EH =+=+（米），答：铁塔的高度GH 为40+（米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过已知构造直角三角形是解题关键．23．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）先根据菱形的性质和角的和差可证AED ∆∽FAB ∆，再根据相似的性质得到AD DE BF AB=结合AB AD =即可证明；（2）先根据菱形的性质得到AD BC =、//AD BC ，再根据平行线分线段成比例定理可得BE BM DE AD =，再结合BE DN DE DC =可得BM DN AD DC =即BM DN BC DC=即可证明．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形；∴AB AD =；∴ABD ADB ∠=∠；∵AED ABD BAE ∠=∠+∠，BAF MAN BAE ∠=∠+∠；又∵MAN ABD ∠=∠；∴AED BAF ∠=∠；∴AED ∆∽FAB ∆； ∴AD DE BF AB=，即AD AB BF DE ⋅=⋅； ∴2AB BF DE =⋅；（2）∵四边形ABCD 是菱形；∴AD BC =，//AD BC ； ∴BE BM DE AD=； ∵BE DN DE DC=； ∴BM DN AD DC=， ∴BM DN BC DC =； ∴//MN BD ，即//EF MN ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及菱形的性质，灵活应用相关性质定理成为解答本题的关键．24．（1）点A 的坐标为()41-，；（2）241y x x =--；（3）211182y x x =--．【分析】（1）联立324y x =-+和132y x =-解二元一次方程组即可；（2）先将A 点坐标代入21(0)y ax bx a =+-≠得到4b a =-，即函数解析式可写成241y ax ax =--，然后再将()1,2-代入求出a 即可；（3）先确定241y ax ax =--的顶点坐标，再根据对称性确定2y a x b x c =+'+'的顶点坐标，进一步得到82P P a '=+，再结合3OPP S ∆'=求出a 的值即可．【详解】解：（1）∵直线324y x =-+与直线132y x =-相交于点A ， ∴324132y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：41x y =⎧⎨=-⎩； ∴点A 的坐标为()41-，；（2）∵抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ()41-，， ∴16411a b +-=-即4b a =-∴241y ax ax =--∴平移后的抛物线的表达式是241y ax ax =-+；∴241a a -=-+，解得：1a =∴抛物线21y ax bx =+-的表达式是：241y x x =--；（3）∵241y ax ax =--()2241a x a =--- ∴()241P a --，,即OD=2 ∵如图：抛物线()20y a x b x c a ''++'=<与241y ax ax =--关于x 轴对称， ∴()241P a '+，∵0a '<，∴0a >；∴82P P a '=+；又∵2OD =，12OPP S OD PP ∆'=⋅'⋅； ∴()128232a ⨯⨯+=，解得：18a =． ∴抛物线21y ax bx =+-的表达式是211182y x x =--．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与二元一次方程组的关系以及求函数解析式，其中灵活应用二次函数的性质成为解答本题的关键．25．（1）8；（2）1tan 3DCA ∠=；（3）当1OE =时，AD 的长是【分析】（1）如图1，作OH AC ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，由垂径定理得：12AH CH AC ==，运用勾股定理和3tan 4OAC ∠=可求解出结果；（2）由相似和一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半可得到DOE A ∠=∠，//OD AC ，通过相似比可求出AE 的长，作EG AC ⊥垂足为G ，得到//GE OH ，再运用相似比求出EG 和CG 的长，即求出最终结果；（3）如图5，当点E 在线段OA 上时，延长AO 交⊙O 于M ，通过3tan 4OAC ∠=得到AG 和EG ，再通过勾股定理求出CE 的长，通过MDE CAE 求出DE 的长，最后在运用勾股定理运算即可；如图6，当E 在AO 延长线上时，EG AC ⊥，连接DM ，AD ，运用同样的方法可求出第二个结果．【详解】（1）解：如图3，作OH AC ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，由垂径定理得：12AH CH AC ==， ∵在t R OAH ∆中3tan 4OH OAC AH ∠==，设3,4OH x AH x ==， ∴在t R OAH ∆中，可得：222OH AH OA +=，由⊙O 的半径为5可得：()()222345x x +=，解得：1x =±，（1x =-舍去）∴3,4OH AH ==，∴28AC AH ==．(2)∵DEO AEC ∠=∠，∴当DOE ∆与AEC ∆相似时可得：DOE A ∠=∠或者DOE ACD ∠=∠；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：12ACD DOE ∠=∠， ∴ACD DOE ∠≠∠∴当DOE ∆与AEC ∆相似时不存在DOE ACD ∠=∠情况．∴当DOE ∆与AEC ∆相似时，DOE A ∠=∠， ∴//OD AC ，∴OD OE AC AE=； ∵5,8OD OA AC ===，得558AE AE -=，∴4013AE =；）作EG AC ⊥垂足为G ，可得：90AGE AHO ∠=∠=，∴//GE OH ， ∴AE EG AG AO OH AH ==即4013534EG AG ==， ∴2413EG =， 3213AG =，327281313CG =-=， ∴在t R CEG ∆中，24113tan 72313EG DCA CG ∠===．（3）如图5，当点E 在线段OA 上时，延长AO 交⊙O 于M ，连接DM ，AD ，EG AC ⊥，OE=1，∴AE=4，ME=6，又3tan 4OAC ∠==EG AG，同（1）中的计算方法，AG=165，125EG =， ∴1624855CG =-=，∴5CE ==，又DME ECA MDE EAC ∠=∠∠=∠，，MDE CAE ∴，MD ME AC CE∴=，∴8MD =，∴MD=AD ∴===如图6，当E 在AO 延长线上时，EG AC ⊥，连接DM ，AD ，3tan 4OAC ∠==EG AG， OE=1，AE=6，ME=4，同理可得，AG=245，185EG =， 2416855CG ∴=-=，5EC ∴==，同理DME ACE ，ME DM CE AC∴=，8DM，DM ∴=，29AD ∴===，∴OE=时，AD的长是当1【点睛】本题考查圆的综合运用，难度比较大，涉及圆的基本性质，相似三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，需要有较强的数形结合能力，根据条件添加适当的辅助线是和解决本题的关键．。

2022年上海市金山区九年级上学期期末中考数学一模试卷带讲解

∵四边形DEFG为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与的面积分别为1和2，且高相等，
∴ ，
设，，，则，的高为，，
，
整理得： ①，
，
∴ ②，
将②代入①可得：，
∴ 或（舍去），
∴矩形的面积为6，
故答案为：6．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，理解题意，熟练运用相似三角形的性质是解题关键．
【答案】1
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AD//BC，推出△EAF∽△EBC，然后根据相似三角形的性质列比例式，即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴ ，
∵ ，，，
∴BE=3，
∴ ，
∴AF=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15.如图，，，，，那么 ______．
【答案】5
【分析】如图所示，过点A作AH∥CD交EF于G，交BC于H，先证明四边形ADCH是平行四边形，得到CH=AD=2，同理得到GF=AD=2，再证明△AEG∽△ABH，得到，由AE=2BE，得到AB=AE+BE=3BE，则，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作AH∥CD交EF于G，交BC于H，
20.如图，已知：四边形ABCD中，点、分别在边BC、CD上，，设，．
求向量关于、的分解式．
【答案】
【分析】连接BD，先证明，由可得向量关于、的分解式．
【详解】解：连接BD．

上海2020-2021学年初三数学一模考1-17题(锐角三角比+解直角三角形汇编)教师版

锐角三角比一、锐角三角比的定义如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，A B C∠∠∠、、所对的边分别记为a b c、、（1）把锐角A的对边与邻边的比叫做A∠的正切，记作：tan AtanA a AA b∠==∠的对边的邻边（2）把锐角A的邻边与对边的比叫做A∠的余切，记作：cot AcotA b AA a∠==∠的邻边的对边（3）把锐角A的对边与邻边的比叫做A∠的正弦，记作：sin AsinA a Ac ∠==的对边斜边（4）把锐角A的邻边与对边的比叫做A∠的余弦，记作：cos AcosA b Ac ∠==的邻边斜边二、特殊角的锐角三角比值（2021金山一模3）在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，那么锐角A 的正弦等于（）（A ）的邻边锐角的对边锐角A A ；（B ）斜边的对边锐角A ；（C ）斜边的邻边锐角A ；（D ）的对边锐角的邻边锐角A A .【参考答案】B（2021虹口一模1）在△ABC 中，∠C =90°，如果BC =3，AC =4，那么tan A 的值是（）A ．34； B ．43； C ．35； D ．45．【参考答案】A（2021宝山一模2）在ABC △Rt 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，那么A sin 的值为（）（A ）53；（B ）43；（C ）54；（D ）34. 【参考答案】A（2021崇明一模4）在△ABC 中，90C =︒∠，如果8AC =，6BC =，那么A ∠的正弦值为（） (A)35； (B)45；(C)34；(D)43．【参考答案】A（2021奉贤一模4）在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =3，43=cos A ，那么AB 的长为（）（A ）49；（B ）4；（C ）5；（D ）425. 【参考答案】B（2021闵行一模2）已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，B β∠=，AB = 5，那么AC 的长为（）（A ）5cos β；（B ）5sin β；（C ）5cos β；（D ）5sin β．【参考答案】B（2021崇明一模12）已知锐角△ABC 中，5AB =，7BC =，4sin 5B =，那么C =∠ 度．【参考答案】45（2021金山一模4）若α是锐角，()2215sin =+α，那么锐角α等于（）（A ） 15；（B ） 30；（C ） 45；（D ） 60. 【参考答案】B（2021金山一模12）在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，15=AB ，54in =A s ，那么=BC ．【参考答案】12（2021普陀一模3）已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，2BC =，那么tan B 的值等于（）（A ）23；（B ）；（C ；（D ．【参考答案】C（2021浦东新区一模2）已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B=α，AC =2，那么AB 的长等于（）（A ）2sin α；（B ）2sin α；（C ）2cos α；（D ）2cos α．【参考答案】A（2021青浦一模3）在Rt △ABC 中，∠C =90º，那么cos A 等于（）（A ）BC AB；（B ）AC AB；（C ）BCAC；（D ）AC BC．【参考答案】B（2021青浦一模13）在△ABC 中，∠C =90º，如果cot ∠A=2，BC =3，那么AC = ．【参考答案】6（2021松江一模10）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=6，cos A =34，那么AB 的长为________．【参考答案】8（2021长宁一模1）已知在ABC ∆中，90C ∠=，50B ∠=，10AB =，那么BC 的长为（）（A ）10cos50；（B ）10sin 50；（C ）10tan50；（D ）10cot 50︒．【参考答案】A（2021闵行一模13）在直角坐标平面内有一点A （12，5），点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么cos θ= ．【参考答案】1312 （2021嘉定一模2）在平面直角坐标系xOy 中，已知点,3P （1），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为(090)αα︒<<︒，那么tan α的值是（）（A ）10；（B ）13；（C 10；（D ）3．【参考答案】D（2021静安一模5）如果锐角α，那么下列结论中正确的是（）（A ）︒=30α；（B ）︒=60α；（C ）︒<<︒4530α；（D ）︒<<︒6045α．【参考答案】C（2021杨浦一模2）在△ABC 中，如果sin A =12，cot B ，那么这个三角形一定是（）（A ）等腰三角形；（B ）锐角三角形；（C ）钝角三角形；（D ）直角三角形. 【参考答案】D（2021松江一模2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A=α，BC =2，那么AC 的长为（）（A ）2sin α；（B ）2cos α；（C ）2tan α；（D ）2cot α.【参考答案】D（2021徐汇一模2）在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ，6=AB ，10=BC ，那么下列结论正确的是（）（A ）34tan =C ；（B ）54cot =C ；（C ）43sin =C ；（D ）54cos =C ．【参考答案】D（2021浦东新区一模9）计算：2sin30tan 45-= ．【参考答案】0（2021松江一模9）计算：sin30cot 60︒⋅︒=___________．【参考答案】63（2021长宁一模9245sin 60︒︒+= ．【参考答案】47解直角三角形的类型与解法：知二求三，至少一边类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）=sinA ctanB=tanA=tanAcotB 类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）2b+a（2021黄浦一模12）已知点P 位于第二象限内，OP =5，且OP 与x 轴负半轴夹角的正切值为 2，则点P 的坐标是．【参考答案】()52,5-（2021嘉定一模5）在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D .下列四个选项中，不正确的是（）（A ）2AC AB=；（B ）2BC CD=（C ）3BD CD=（D ）3BC AC=.【参考答案】B（2021黄浦一模11）在△ABC 中，AB =5，BC =8，∠B =60°，则△ABC 的面积是．【参考答案】310（2021黄浦一模3）对于锐角α，下列等式中成立的是（）（A ）sin cos tan ααα=⋅；（B ）cos tan cot ααα=⋅；（C ）tan cot sin ααα=⋅；（D ）cot sin cos ααα=⋅．【参考答案】A（2021金山一模13）在ABC ∆中，5:2:1::=BC AC AB ，那么=B tan ．【参考答案】2（2021宝山一模11）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为53，那么其周长为______【参考答案】26（2021黄浦一模10）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是133，则这个锐角的正切值为．【参考答案】3（2021静安一模6）在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α, 那么CD 的长为_______（A ）sin tan m αα⋅⋅；（B ）sin cos m αα⋅⋅；（C ）cos tan m αα⋅⋅；（D ）cos cot m αα⋅⋅．【参考答案】B（2021徐汇一模14）如图，点P 在线段BC 上，BC AB ⊥，AP DP ⊥，DP CD ⊥，如果10=BC ，2=AB ，21tan =C ，那么DP 的长是_____．【参考答案】556（2021嘉定一模17）如图4，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A、B、C 三个点在同一条直线上.联结AD BD、，那么cot ADB的值为．【参考答案】3（2021青浦一模16）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么∠BAC的正弦值为．CBA【参考答案】22（2021松江一模14）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为___ _____．【参考答案】55图4BA（2021虹口一模6）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 上一点，过D 作DF ⊥AB交边BC 于点E ，交AC 的延长线于点F ，联结AE ．如果1tan 3EAC ∠=，1CEF S =△，那么ABC S △的值是（）A ．3；B ．6；C ．9；D ．12．【参考答案】C（2021虹口一模17）如图5，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt △ABC ，使∠C=90°，∠ABC =30°，再延长CB 到点D ，使BD =BA ，联结AD ，即可得∠D =15°．如果设AC =t ，则可得(23)CD t =+，那么cot15°= cot D ==2+3CDAC．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是．【参考答案】12+（2021普陀一模17）勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形ABCD ，同时留下一个小正方形EFGH 的空隙（如图7），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形EFGH 的面积是4，10sin GBC ∠，那么大正方形ABCD 的面积等于．【参考答案】10（2021徐汇一模16）《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么ABE∠的余切值是_____．【参考答案】23（2021杨浦一模16）如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB=10，cot12B=，正方形DEFG的顶点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为 .【参考答案】720。

[试卷合集3套]上海市金山区2021届中考数学毕业生学业模拟试题

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图直线y＝mx与双曲线y=kx交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=1S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝1S△AOM＝1，S△AOM＝12|k|＝1，则k＝±1．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝1．故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．2．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（）A．B． C． D．【答案】D【解析】A选项：∠1+∠2=360°－90°×2=180°；B选项：∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°；C选项：∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；D选项：∠1和∠2不一定互补.故选D.点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系. 3．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是()A．x x10060100-=B．x x10010060-=C．x x10060100+=D．x x10010060+=【答案】B【解析】解：设走路快的人要走x 步才能追上走路慢的人，根据题意得：10010060x x-=．故选B．点睛：本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，列方程是关键．4．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得．【详解】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，所以其主视图为：故选C ．【点睛】考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣5 【答案】B【解析】根据关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m ，∴-2+m=−31，解得，m=-1，故选B ．6．已知关于x 的不等式3x ﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m 的取值范围是（）A ．4≤m ＜7B ．4＜m ＜7C ．4≤m≤7D ．4＜m≤7 【答案】A【解析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m 的不等式组，解之即可求得m 的取值范围．【详解】解:解不等式3x ﹣m+1＞0，得：x ＞13m -， ∵不等式有最小整数解2，∴1≤13m -＜2，解得：4≤m ＜7，故选A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，正确解不等式，熟练掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．7．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°【答案】C【解析】解：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1=∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2=∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意，C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3=∠5，不能得到a∥b，∴符合题意，D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b，∴不符合题意，故选C．【点睛】本题考查平行线的判定，难度不大．8．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有()个〇．A．6055 B．6056 C．6057 D．6058【答案】D【解析】设第n个图形有a n个O(n为正整数),观察图形,根据各图形中O的个数的变化可找出"a n=1+3n(n 为正整数)",再代入a=2019即可得出结论【详解】设第n个图形有a n个〇(n为正整数)，观察图形，可知：a1＝1+3×1，a2＝1+3×2，a3＝1+3×3，a4＝1+3×4，…，∴a n＝1+3n(n为正整数)，∴a2019＝1+3×2019＝1．故选：D．【点睛】此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到规律9．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．1806x+=1206x-B．1806x-=1206x+C．1806x+=120xD．180x=1206x-【答案】A【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x+=1206x-．故选A．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．10．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2-2B．3C．3-1D．1【答案】C【解析】延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解.【详解】解：延长BC′交AB′于D，连接BB＇，如图，在Rt△AC′B′中，2AC′=2，∵BC′垂直平分AB′，∴C′D=12AB=1， ∵BD 为等边三角形△ABB′的高，∴BD=3AB′=3， ∴BC′=BD -C′D=3-1．故本题选择C.【点睛】熟练掌握勾股定理以及由旋转60°得到△ABB′是等边三角形是解本题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）11．因式分解：x 2y-4y 3=________.【答案】y （x++2y ）（x-2y ）【解析】首先提公因式y ，再利用平方差进行分解即可．【详解】原式()224(2)(2)y x y y x y x y =-=-+．故答案是：y （x+2y ）（x-2y ）．【点睛】考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么阴影部分的面积为_____．【答案】3-1【解析】设两个正方形的边长是x 、y （x ＜y ），得出方程x 2＝1，y 2＝9，求出x 3y ＝1，代入阴影部分的面积是（y ﹣x ）x 求出即可．【详解】设两个正方形的边长是x 、y （x ＜y ），则x 2＝1，y 2＝9，x 3=y ＝1，则阴影部分的面积是（y ﹣x ）x ＝（13333=）1．故答案为31．【点睛】本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力．13．如图，长方形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则△AFC 的面积等于___．【答案】263【解析】由矩形的性质可得AB=CD=4，BC=AD=6，AD//BC ，由平行线的性质和折叠的性质可得∠DAC=∠ACE ，可得AF=CF ，由勾股定理可求AF 的长，即可求△AFC 的面积．【详解】解：四边形ABCD 是矩形AB CD 4∴==，BC AD 6==，AD//BCDAC ACB ∠∠∴=，折叠ACB ACE ∠∠∴=，DAC ACE ∠∠∴=AF CF ∴=在Rt CDF 中，222CF CD DF =+，22AF 16(6AF)∴=+-，13AF 3∴= AFC 111326S AF CD 42233∴=⨯⨯=⨯⨯=. 故答案为：263. 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求AF 的长是本题的关键．144的算术平方根为______． 2 4，再求2的算术平方根即可．【详解】∵4=2， ∴42【点睛】本题考查了算术平方根,属于简单题,熟悉算数平方根的概念是解题关键.15．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（10≤x≤20且x 为整数）出售，可卖出（20﹣x ）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．【答案】1【解析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【详解】解：设利润为w 元，则w ＝（20﹣x ）（x ﹣10）＝﹣（x ﹣1）2+25，∵10≤x≤20，∴当x ＝1时，二次函数有最大值25，故答案是：1．【点睛】本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．16．三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是．【答案】6或2或12【解析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，进行分情况计算．【详解】由方程2680x x -+=，得x =2或1．当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；当三角形的三边是1，1，1时，则周长是12；当三角形的三边长是2，2，1时，2+2=1，不符合三角形的三边关系，应舍去；当三角形的三边是1，1，2时，则三角形的周长是1+1+2=2．综上所述此三角形的周长是6或12或2．17．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为_______米（结果保留根号）．【答案】3 4【解析】分析:利用特殊三角函数值，解直角三角形,AM=MD,再用正切函数，利用MB 求CM,作差可求DC.【详解】因为∠MAD=45°, AM=4,所以MD=4，因为AB=8，所以MB=12,因为∠MBC=30°，所以CM=MBtan30°=43.所以CD=43-4.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的相关定义以及变形是解题的关键.18．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD CD=．若∠CAB=40°，则∠CAD=_____．【答案】25°【解析】连接BC，BD, 根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠CBD，从而可得到∠BAD的度数．【详解】如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵AD CD=，∴∠ABD=∠CBD=1∠ABC=25°，2∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案为25°．【点睛】本题考查了圆周角定理及直径所对的圆周角是直角的知识点，解题的关键是正确作出辅助线.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．求证：△BDE≌△BCE；试判断四边形ABED的形状，并说明理由．【答案】证明见解析.【解析】（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED 为菱形．【详解】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，∵AB⊥EC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，在△BDE和△BCE中，∵DB CBDBE CBE BE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△BCE；（2）四边形ABED为菱形；由（1）得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，又∵BE=CE，∴BA=BE=ED= AD∴四边形ABED为菱形．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．20．某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？【答案】（1）A种品牌套装每套进价为1元，B种品牌套装每套进价为7.5元；（2）最少购进A品牌工具套装2套．【解析】试题分析：（1）利用两种套装的套数作为等量关系列方程求解.(2)利用总获利大于等于120,解不等式.试题解析：（1）解：设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元．根据题意得：2002.5x+=2×75x，解得：x=7.5，经检验，x=7.5为分式方程的解，∴x+2.5=1．答：A种品牌套装每套进价为1元，B种品牌套装每套进价为7.5元．（2）解：设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套，根据题意得：（13﹣1）a+（9.5﹣7.5）（2a+4）＞120，解得：a＞16，∵a为正整数，∴a取最小值2．答：最少购进A品牌工具套装2套．点睛：分式方程应用题：一设，一般题里有两个有关联的未知量，先设出一个未知量，并找出两个未知量的联系；二列，找等量关系，列方程，这个时候应该注意的是和差分倍关系：三解，正确解分式方程；四验，应用题要双检验；五答，应用题要写答.21．重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A 商品和5件B种商品所得利润为1100元．求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？由于需求量大A、B两种商品很快售完，重百商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么重百商场至少购进多少件A种商品？【答案】（1）200元和100元（2）至少6件【解析】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即可．【详解】解：（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由题意，得4600351100x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：200100xy=⎧⎨=⎩，答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元．（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得200a+100（34﹣a）≥4000，解得：a≥6答：威丽商场至少需购进6件A种商品．22．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C 处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度．（测角仪高度忽略不计）【答案】3031)米【解析】设AD＝xm，在Rt△ACD中，根据正切的概念用x表示出CD，在Rt△ABD中，根据正切的概念列出方程求出x的值即可．【详解】由题意得，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，BC＝60m，设AD＝xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝AD CD，∴CD＝AD＝x，∴BD＝BC+CD＝x+60，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝AD BD，∴360)x x=+，∴30(31)x=米，答：山高AD为3031)米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．先化简代数式222x x 11x x x 2x 1-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，再从12x -≤≤范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值。

学长宁、金山区初三数学一模试卷

2021 学年长宁、金山区调研测试九年级数学〔总分值 150 分，考试时间100 分钟〕考生注意：1．本试卷含三个大题，共 25 题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定位置上作答，在草稿纸、本试卷上大题一律无效。

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题〔本大题共6 题，每题 4 分，总分值24 分〕1.在平面直角坐标系中，抛物线y x 122 的顶点坐标是〔〕A. 〔 -1， 2〕B. 〔 1， 2〕C. 〔 2， -1〕D. 〔 2， 1〕E D2.在 ABC 中，C 90 ， AB5 ， BC 4 ，那么A 的正弦值是〔〕343D.4A.B.C.A43 553.如图，以下能判断 BC ∥ ED 的条件是〔〕ED ADED AEA. ABB. AC BCBC BCAD AEAD AC第3题图C.ACD.AEABAB4.O 1 与 O 2 的半径分别是 2 和 6，假设O 1 与 O 2 相交，那么圆心距 O 1O 2 的取值范围是〔〕A. 2< O 1O 2 <4B.2< O 1O 2 <6C. 4< O 1O 2 <8D. 4< O 1O 2 <105.非零向量 a 与 b ，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 如果 ab ，那么 a b ；B. 如果C. 如果 a ∥b ，那么 ab ；D. 如果ab ，那么 a ∥ba b ，那么 ab6.等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为 4 cm ，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心 5 cm 为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是〔〕A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定二、填空题〔本大题共 12 题，每题 4 分，总分值 48 分〕7. 如果 3x4y x 0 ，那么x=__________.y8.二次函数 yx 2 2x 1，那么该二次函数的图像的对称轴是__________.9. 抛物线y 3x 2 x c 与 y 轴的交点坐标是〔， -3 〕，那么c =__________.10. 抛物线 y1 x2 3x 经过点〔 -2， m 〕，那么 m =___________.211. 设是锐角，如果 tan 2 ，那么 cot =___________.12. 在直角坐标平面中，将抛物线 y 2x 2 先向上平移 1 个单位，再向右平移1 个单位，那么平移后的抛物线解析式是 __________.13.A 的半径是 2，如果B 是 A 外一点，那么线段 AB 长度的取值范围是 __________.14. 如图，点 G 是 ABC 的重心，联结 AG 并延长交 BC 于点 D ， GE ∥ AB 交 BC 与 E ，假设AB 6，那么 GE =___________.15. 如图，在地面上离旗杆BC 底部 18 米的 A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为 30°，测角仪AD 的高度为 1.5 米，那么旗杆BC 的高度为 _________米 .ACAA DGDO 1O 2OBEDCABBEBC第14题图第 15题图第 16题图第17题图16. 如图， O 1 与O 2 相交于 A 、B 两点， O 1 与O 2 的半径分别是1 和 3 ， O 1O2 =2 ，那么两圆公共弦 AB 的长为 ___________.17. 如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AC与 BD交于O点，DO : BO1: 2 ，点 E 在 CB 的延长线上，如果S AOD: SABE =1:3 ，那么BC : BE =_________.18.沿如图，在ABC 中， C DE 翻折，使得点 A 落在点90 A ' ， AC 处，当8 ， BC A ' E AC6 ， D 是 AB 的中点，点时， A ' B =___________.E 在边AC上，将ADEBAC第18题图三、解答题〔本大题共 7 题，总分值 78 分〕19 . 〔此题总分值 10 分〕计算： sin 30 tan 301cos60 cot 30tan 453sin 2 4520.〔此题总分值10 分，第〔1〕小题总分值4 分，第〔2〕小题总分值6 分〕如图，在ABC 中，D 是AB中点，联结CD.〔 1〕假设AB10 且ACD B ，求AC的长 .〔 2〕过D点作BC 的平行线交AC于点E ，设DE a ， DC b ，请用向量 a 、 b 表示AC 和AB 〔直接写出结果〕ADB C第20题图21.〔此题总分值10 分，第〔 1〕小题总分值5 分，第〔 2〕小题总分值 5 分〕如图， ABC中，CD AB 于点D， D 经过点 B ，与 BC 交于点 E ，与 AB 交与点 F . tan A 1，2cot ABC 38.， AD4求〔 1〕 D 的半径；CE 〔 2〕CE的长 .A F D B第21 题图22.〔此题总分值10 分，第〔 1〕小题总分值 5 分，第〔 2〕小题总分值如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ， AB∥ CD ，坝顶宽 DC5 分〕为 6 米，坝高DG为 2 米，迎水坡BC的坡角为30°，坝底宽AB为〔 8+2 3 〕米.（1〕求背水坡AD的坡度；（2〕为了加固拦水坝，需将水坝加高 2 米，并保持坝顶宽度不变，迎水坡和背水坡的坡度也不变，求加高后坝底 HB 的宽度.MED CHN A GFB第 22题图23.〔此题总分值 12 分，第〔 1〕小题总分值 6 分，第〔 2〕小题总分值 6 分〕如图，正方形 ABCD ，点 E 在 CB 的延长线上，联结 AE 、 DE ，DE 与边 AB 交于点 F ，FG ∥ BE 且与AE 交于点 G.（ 1〕求证： GF =BF .〔 2〕在 BC 边上取点 M ，使得 BMBE ，联结 AM 交 DE 于点 O .求证： FO ED OD EFADGFE BC第 23题图24.〔此题总分值 12 分，第〔 1〕小题总分值4 分，第〔 2〕小题总分值 4 分，第〔 3〕小题总分值 4 分〕在平面直角坐标系中，抛物线y x 2 2bx c 与 x 轴交于点 A 、 B 〔点 A 在点 B 的右侧〕，且与 y 轴正半轴交于点 C ， A 〔 2， 0〕〔 1〕当 B 〔 -4， 0〕时，求抛物线的解析式；〔 2〕 O 为坐标原点，抛物线的顶点为P ，当 tan OAP 3时，求此抛物线的解析式；〔 3〕 O 为坐标原点，以 A 为圆心 OA 长为半径画A ，以 C 为圆心， 1OC 长为半径画圆C ，当 A2与C 外切时，求此抛物线的解析式.y10987654321A-5-4-3-2-1O123456x-1-2-3第24题图25.〔此题总分值14 分，第〔 1〕小题总分值4 分，第〔 2〕小题总分值 4 分，第〔 3〕小题总分值6 分〕ABC ， AB AC 5， BC 8，PDQ 的顶点D在BC边上， DP 交 AB 边于点 E ，DQ 交 AB 边于点 O 且交 CA 的延长线于点 F 〔点 F 与点 A 不重合〕，设PDQB ， BD 3 .〔 1〕求证：BDE∽ CFD ；〔 2〕设BE x ， OA y ，求 y 关于x的函数关系式，并写出定义域；〔 3〕当AOF 是等腰三角形时，求BE 的长.QFA APOEB DC BD C第 25题图第 25题备用图参考答案：1-6： BDCCDA417、38、直线x19、 -310、411、2、 y 2 x 2121113、AB 214、 215、16、317、 2： 118、7 2或219、220〔1〕5 2〔 2〕AC2a2b, AB4a 2b7 21〔 1〕 3〔 2〕522〔 1〕i1:1 〔2〕104 3 米23、略2 x 8 〔3〕y x22824〔 1〕yx22x 8 〔2〕 y x2 3x3 y7525 x 0 x31211225〔 1〕略〔 2〕245x〔 3〕5或 65。

2021年上海市金山区初三数学一模试卷

2021年上海市金山区初三数学一模试卷金山区2020学年第一学期期末质量检测初三数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.已知二次函数$y=(x-2)^2-1$，那么该二次函数图像的对称轴是（）。

A）直线$x=2$；（B）直线$x=-2$；（C）直线$x=1$；（D）直线$x=-1$.2.下列各点在抛物线$y=2x^2$上的是（）。

A）$(2,2)$；（B）$(4,16)$；（C）$(2,8)$；（D）$(2,16)$.3.在Rt$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，那么锐角A的正弦等于（）。

A）$\frac{\text{锐角A的对边}}{\text{斜边}}$；（B）$\frac{\text{锐角A的邻边}}{\text{斜边}}$；（C）$\frac{\text{锐角A的对边}}{\text{锐角A的邻边}}$；（D）$\frac{\text{锐角A的邻边}}{\text{锐角A的对边}}$.4.若$\alpha$是锐角，$\sin(\alpha+15^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}$，那么锐角$\alpha$等于（）。

A）$15^{\circ}$；（B）$30^{\circ}$；（C）$45^{\circ}$；（D）$60^{\circ}$.5.如图，已知点D、E分别在$\triangle ABC$的边AB、AC上，DE//BC，AD=2，BD=3，BC=a，那么ED等于（）。

A）$\frac{2}{5}a$；（B）$-\frac{3}{5}a$；（C）$\frac{3}{5}a$；（D）$-\frac{2}{5}a$.6.如图，已知Rt$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题05圆(学生版)

5. （2021・上海金山区•九年级一模）正十边形的中心角等于度.2021年上海市16区中考数学一模汇编一、单选题L （2021・上海金山区•九年级一模）如图，己知必AA3C 中，ZC = 90 , AC = 3, 8c = 4,如果以点C 为圆心的圆与斜边43有公共点，那么回C 的半径，,的取值范围是（）12 B. —<r<3 5 2 . （2021 ・上海闵行区,九年级一模）己知。

A 与。

8的半径分别是6和8,圆心距A3 = 2,那么。

A 与的位置关系是（） A.相交 B.内切 C.外切 D.内含3 .（2021 ・上海崇明区•九年级一模）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的四倍，那么这个正多边形的边数是（） A. 3 B. 4 C. 5 D.无法确定 4.（2021 ・上海奉贤区•九年级一模）如果和内含，圆心距。

2 = 4,的半径长是6,那么。

? 的半径，•的取值范围是（）.A. 0<r<2B. 2<r<4C. r>10D. 0<r<2或厂>10二、填空题专题05圆12 C. — < r < 45 D. 3<r<412 A. 0<r< — 56.（2021・上海崇明区,九年级一模）如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为厘米.7.（2021・上海金山区•九年级一模）已知日和同。

2的半径长分别为3和4,若回01和回。

2内切，那么圆心距Op.的长等于.8.（2021・上海崇明区•九年级一模）如图，在直角坐标系中，以点尸为圆心的弧与X轴交于A、3两点，已知点。

的坐标为（l,y）,点A的坐标为（-L0）,那么点8的坐标为.9.（2021 •上海闵行区•九年级一模）正六边形的边心距与半径的比值为（结果保留根号）.10.（2021•上海金山区•九年级一模）如图，已知目。

2021届金山区中考数学一模(含答案)

上海市金山区2021届初三一模数学试卷2021.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 已知二次函数2(2)1y x ，那么该二次函数图像的对称轴是（）A. 直线2xB. 直线2xC. 直线1xD. 直线1x 2. 下列各点在抛物线22y x 上的是（）A. (2,2)B. (2,4)C. (2,8)D. (2,16) 3. 在Rt △ABC 中，90C ，那么锐角A 的正弦等于（） A.A A 锐角的对边锐角的斜边 B. A 锐角的对边斜边 C. A 锐角的邻边斜边D.A A 锐角的邻边锐角的对边4. 若是锐角，sin(15)2，那么锐角等于（） A. 15° B. 30° C. 45°°5. 如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，2AD ，3BD ，BC a ，那么ED等于（）A. 23aB. 23aC. 25aD. 25a6. 如图，已知Rt △ABC 中，90C ，3AC ，4BC ，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有公共点，那么C 的半径r 的取值范围是（） A. 1205r B. 1235r C. 1245r D. 34r二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 计算：32()2a a b8. 已知2()3f x x x ，那么(2)f9. 抛物线22y x 沿着x 轴正方向看，在y 轴左侧部分的是（填“上升”或“下降”）10. 正十边形的中心角等于度11. 已知1O 和2O 的半径长分别为3和4，若1O 和2O 内切，那么圆心距12O O 的长等于12. 在Rt △ABC 中，90C ，15AB ，4sin 5A，那么BC13. 在Rt △ABC 中，::1:2AB AC BC tan B14. 已知：如图，△ABC 的中线AE 与BD 交于点G ，DF ∥AE 交BC 于F ，那么DFAG15. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2BC AD ，设AB a ，AD b ，那么向量CD 用向量a 、b表示为16. 如图，已知O 中，120AOB ，弦18AB ，那么O 的半径长等于 17. 如图，在ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若2CE BE ， △ABC 的面积等于15，那么△FEC 的面积等于18. 已知在Rt △ABC 中，90C ，1BC ，2AC ，以点C 为直角顶点的 Rt △DCE 的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若1tan 2CED， CE GE ，那么BD 的长等于三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19. 如图，已知在Rt △ABC 中，90C ，3AC ，4BC ，求2tan tan sin |1cos |4tan 30AB A B的值.20. 已知：如图，1O 与2O 外切于点T ，经过点T 的直线与1O 、2O 分别相交于点A 和点B .（1）求证：1O A ∥2O B ；（2）若12O A ，23O B ，7AB ，求AT 的长.21. 已知抛物线22y x bx c 经过点(0,1)A 、(1,5)B . （1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成22()y x m k 的形式，并写出顶点坐标与对称轴.22. 如图，在距某输电铁塔GH （GH 垂直地面）的底部点H 左侧水平距离60米的点B 处有一个山坡，山坡AB 的坡度1:i ，山坡坡底点B 到坡顶A 的距离AB 等于40米，在坡顶A 处测得铁塔顶点G 的仰角30°（铁塔GH 与山坡AB 在同一平行面内）. （1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH .（结果保留根号）23. 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且MAN ABD . （1）求证：2AB BF DE ；（2）若BE DNDE DC，求证：EF ∥MN .24. 在平面直角坐标系xOy 中，直线324y x 与直线132y x相交于点A ，抛物线 21y ax bx （0a ）经过点A .（1）求点A 的坐标；（2）若抛物线21y ax bx 向上平移两个单位后，经过点(1,2) ，求抛物线21y ax bx 的表达式；（3）若抛物线2y a x b x c （0a ）与21y ax bx 关于x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P 与点P ，当3OPP S 时，求抛物线21y ax bx 的表达式.25. 定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，如图1中，12A O. 已知：如图2，AC 是O 的一条弦，点D 在O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射线AO 于点E ，联结OD ，O 的半径为5，3tan 4OAC . （1）求弦AC 的长；（2）当点E 在线段OA 上时，若△DOE 与△AEC 相似，求DCA 的正切值；（3）当1OE 时，求点A 与点D 之间的距离.（直接写出答案）参考答案一. 选择题1. A2. C3. B4. B5. D6. C二. 填空题7. 42a b8. 2 9. 上升 10. 3611. 1 12. 12 13. 2 14.3415. a b16. 17. 4 18. 2三. 解答题 19.95. 20.（1）证明略；（2）145AT. 21.（1）2241y x x ；（2）22(1)3y x ，顶点坐标为：(1,3) ，对称轴为：直线1x .22.（1）山坡的高度为20米；（2）铁塔的高度GH 为(40 米. 23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）(4,1) ；（2）241y x x ；（3）211182y x x .25.（1）8AC ；（2）1tan 3DCA ；（3）AD 的长是.。

2021年上海市长宁区、金山区中考数学一模试题

A． B． C． D．
3．将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）
A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+3）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5
4．下列命题正确的是（）
A．如果| |＝| |，那么＝
B．如果、都是单位向量，那么＝
C．如果＝k （k≠0），那么 ∥
D．如果m＝0或＝，那么m ＝0
5．已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）
A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切
C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内
6．如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）
将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）
23．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．
解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，
B.y＝（x+3）2﹣x2Biblioteka 6x+9,化简后为一次函数；
D.y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，为二次函数；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．
2．B
【分析】
过点A作AB⊥x轴，构造直角三角形，由坐标得出OB=2，AB=3，再根据余切的意义求出结果即可．

(数学3份试卷)2021年上海市金山区中考一模化学试题

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（）cmA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题意得到DA′＝DA，EA′＝EA，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题．【详解】如图，由题意得：DA′＝DA,EA′＝EA，∴阴影部分的周长＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE)＝AB＋BC＋AC＝1＋1＋1＝3(cm)故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系.2．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）A．12B．13C．310D．15【答案】D【解析】一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，共有10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案.【详解】根据题意：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=210=15.故答案为D【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n.3．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．故选D．【点睛】本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．一、单选题在反比例函数4yx=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据反比例函数kyx=中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．【详解】解：A、图形面积为|k|=1；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（12|k|）=1．故选B．【点睛】主要考查了反比例函数kyx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．5．某商品价格为a元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（）A．0.96a元B．0.972a元C．1.08a元D．a元【答案】B【解析】提价后这种商品的价格=原价×（1-降低的百分比）（1-百分比）×（1+增长的百分比），把相关数值代入求值即可．【详解】第一次降价后的价格为a×（1-10%）=0.9a元，第二次降价后的价格为0.9a×（1-10%）=0.81a元，∴提价20%的价格为0.81a×（1+20%）=0.972a元，故选B．【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商品的价格的等量关系是解决本题的关键．6．下列图形中，周长不是32 m的图形是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．【详解】A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.采用排除法即可选出B故选B.【点睛】此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.7．甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零件．设乙每天完成x 个零件，依题意下面所列方程正确的是（）A ．2402008x x =- B ．2402008x x =+ C ．2402008x x =+ D ．2402008x x =- 【答案】B 【解析】根据题意设出未知数，根据甲所用的时间＝乙所用的时间，用时间列出分式方程即可.【详解】设乙每天完成x 个零件，则甲每天完成(x+8)个.即得，2402008x x+＝，故选B. 【点睛】找出甲所用的时间＝乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.8．已知关于x 的一元二次方程2230x kx -+=有两个相等的实根，则k 的值为（）A ．±B ．C ．2或3D 【答案】A【解析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．【详解】∵方程2230x kx -+=有两个相等的实根，∴△=k 2-4×2×3=k 2-24=0，解得：k=±故选A ．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键． 9．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根【答案】C 【解析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2b a -=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误；∵对称轴x=2b a-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误；当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确；∵抛物线的顶点为（1，3），∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．10．若ab ＜0，则正比例函数y=ax 与反比例函数y=b x在同一坐标系中的大致图象可能是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】根据ab ＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0两方面分类讨论得出答案．【详解】解：∵ab＜0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合．故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．二、填空题（本题包括8个小题）11．袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是_____．【答案】1 9【解析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次都摸到红球的概率是19，故答案为19．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．12．一个两位数，个位数字比十位数字大4，且个位数字与十位数字的和为10，则这个两位数为_______．【答案】37【解析】根据题意列出一元一次方程即可求解.【详解】解：设十位上的数字为a,则个位上的数为（a+4）,依题意得：a+a+4=10,解得：a=3,∴这个两位数为：37【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,属于简单题,找到等量关系是解题关键.13．如图，CE 是▱ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E ．连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论：①四边形ACBE 是菱形；②∠ACD ＝∠BAE ；③AF ：BE ＝2：1；④S 四边形AFOE ：S △COD ＝2：1．其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④．【解析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∵EC 垂直平分AB ，∴OA=OB=12AB=12DC ，CD ⊥CE ， ∵OA ∥DC ， ∴EA EO OA ED EC CD ===12， ∴AE=AD ，OE=OC ，∵OA=OB ，OE=OC ，∴四边形ACBE 是平行四边形，∵AB ⊥EC ，∴四边形ACBE 是菱形，故①正确，∵∠DCE=90°，DA=AE ，∴AC=AD=AE ，∴∠ACD=∠ADC=∠BAE ，故②正确，∵OA ∥CD ，∴AF OA 1CF CD 2==， ∴AF AF 1AC BE 3==，故③错误，设△AOF 的面积为a ，则△OFC 的面积为2a ，△CDF 的面积为4a ，△AOC 的面积=△AOE 的面积=1a ， ∴四边形AFOE 的面积为4a ，△ODC 的面积为6a∴S 四边形AFOE ：S △COD =2：1．故④正确.故答案是：①②④．【点睛】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题.14．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B 的大小是_____．【答案】40°【解析】根据外角的概念求出∠ADC 的度数，再根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°进行求解即可得.【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD ⊥AB ，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C ﹣∠ADC ﹣∠A=40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．15．将23x =代入函数1y x =-中，所得函数值记为1y ，又将11x y =+代入函数1y x=-中，所得的函数值记为2y ，再将21x y =+代入函数中，所得函数值记为3y …，继续下去．1y =________；2y =________；3y =________；2006y =________．【答案】32- 213- 2【解析】根据数量关系分别求出y1，y2，y3，y4，…，不难发现，每3次计算为一个循环组依次循环，用2006除以3，根据商和余数的情况确定y2006的值即可．【详解】y1=32 -，y2=−1312-+=2，y3=−112+=13-，y4=−1113-+=32-，…，∴每3次计算为一个循环组依次循环，∵2006÷3=668余2，∴y2006为第669循环组的第2次计算，与y2的值相同，∴y2006=2，故答案为32-；2；13-；2.【点睛】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是多运算找规律.16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将△PCD 沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）【答案】C【解析】先证明△BPE∽△CDP，再根据相似三角形对应边成比例列出式子变形可得.【详解】由已知可知∠EPD=90°，∴∠BPE+∠DPC=90°，∵∠DPC+∠PDC=90°，∴∠CDP=∠BPE ，∵∠B=∠C=90°，∴△BPE ∽△CDP ，∴BP ：CD ＝BE ：CP ，即ｘ：3＝ｙ：（5-ｘ），∴ｙ＝253x x -+（0＜ｘ＜5）；故选C ．考点：1．折叠问题；2．相似三角形的判定和性质；3．二次函数的图象．17．对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b=a 2﹣ab ，例如，5※3=52﹣5×3=1．若（x+1）※（x ﹣2）=6，则x 的值为_____．【答案】2【解析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x 的方程，解方程即可得解.【详解】由题意得，（x+2）2﹣（x+2）（x ﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=2，故答案为2．【点睛】本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．18．16的算术平方根是．【答案】4【解析】正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根 ∵2(4)16±=∴16的平方根为4和-4∴16的算术平方根为4三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知抛物线的顶点为A （1，4)，抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点.点P 是x 轴上的一个动点．求此抛物线的解析式；求C、D两点坐标及△BCD的面积；若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=12S△BCD，求点P的坐标.【答案】(1)y=﹣（x﹣1）2+4；(2)C（﹣1，0），D（3，0）；6；(3)P（10，32），或P（110，32）【解析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；（2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；（3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．【详解】解：(1)、∵抛物线的顶点为A（1，4），∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，把点B（0，3）代入得，a+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；令y=0，则0=﹣（x﹣1）2+4，∴x=﹣1或x=3，∴C（﹣1，0），D（3，0）；∴CD=4，∴S△BCD=12CD×|y B|=12×4×3=6；(3)由(2)知，S△BCD=12CD×|y B|=12×4×3=6；CD=4，∵S△PCD=12S△BCD，∴S△PCD=12CD×|y P|=12×4×|y P|=3，∴|y P|= 32，∵点P在x轴上方的抛物线上，∴y P＞0，∴y P= 32，∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；∴32=﹣（x﹣1）2+4，∴x=1±102，∴P（1+ 102，32），或P（1﹣102，32）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且AD CD CD BD=．求证：△ACD∽△CBD；求∠ACB的大小．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°．【解析】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．试题解析：（1）∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵AD CDCD BD=．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．考点：相似三角形的判定与性质．21．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a＝12(m2﹣n2)，b＝mn，c＝12(m2+n2)(m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．【答案】(1)证明见解析；(2)当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，1．【解析】（1）根据题意只需要证明a2+b2＝c2，即可解答（2）根据题意将n＝5代入得到a＝12(m2﹣52)，b＝5m，c＝12(m2+25)，再将直角三角形的一边长为37，分别分三种情况代入a＝12(m2﹣52)，b＝5m，c＝12(m2+25)，即可解答【详解】(1)∵a2+b2＝(2n+1)2+(2n2+2n)2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，c2＝(2n2+2n+1)2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，∴a2+b2＝c2，∵n为正整数，∴a、b、c是一组勾股数；(2)解：∵n＝5∴a＝12(m2﹣52)，b＝5m，c＝12(m2+25)，∵直角三角形的一边长为37，∴分三种情况讨论，①当a＝37时，12(m2﹣52)＝37，解得m＝(不合题意，舍去) ②当y＝37时，5m＝37，解得m＝375(不合题意舍去)；③当z＝37时，37＝12(m2+n2)，解得m＝±7，∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，∴m＝7，把m＝7代入①②得，x＝12，y＝1．综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，1．【点睛】此题考查了勾股数和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键22．关于x的一元二次方程20x m +=有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．m≤1B ．m ＜1C ．﹣3≤m≤1D ．﹣3＜m ＜1【答案】C 【解析】利用二次根式有意义的条件和判别式的意义得到230(3)40m m m +≥⎧⎪⎨+-≥⎪⎩＝，然后解不等式组即可．【详解】根据题意得230(3)40m m m +≥⎧⎪⎨+-≥⎪⎩＝，解得-3≤m≤1．故选C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．23．计算：11|12sin 60(2016)3π-︒︒⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭先化简，再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =．【答案】 (1)1；（2）【解析】（1）分别计算负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根；（2）先把括号内通分相减，再计算分式的除法，除以一个分式，等于乘它的分子、分母交换位置.【详解】(1)原式1﹣﹣﹣1﹣2=1．（2）原式=[31x +﹣(1)(1)1x x x +-+]•21(2)x x ++ =(2)(2)1x x x -+-+•21(2)x x ++=22x x -+，当2时，原式-1. 【点睛】本题考查负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根以及分式的化简求值，解题关键是熟练掌握以上性质和分式的混合运算.24．计算532224m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭. 【答案】26m + 【解析】分析：先计算522m m +--，再做除法，结果化为整式或最简分式. 详解： 532224m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭()()()2252423m m m m m +---=⋅-- ()222923m m m m --=⋅-- ()()()332223m m m m m -+-=⋅-- 26m =+.点睛：本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和.25．在平面直角坐标系中，一次函数34y x b =-+的图象与反比例函数k y x=（k≠0）图象交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，其中A 点坐标为（﹣2，3）．求一次函数和反比例函数解析式．若将点C 沿y 轴向下平移4个单位长度至点F ，连接AF 、BF ，求△ABF 的面积．根据图象，直接写出不等式34k x b x-+>的解集．【答案】（1）y ＝﹣34x+32，y ＝-6x ;(2)12;(3) x ＜﹣2或0＜x ＜4. 【解析】（1）将点A 坐标代入解析式，可求解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点B 坐标，即可求△ABF 的面积；（3）直接根据图象可得．【详解】（1）∵一次函数y ＝﹣34x+b 的图象与反比例函数y ＝ k x （k≠0）图象交于A （﹣3，2）、B 两点， ∴3＝﹣34×（﹣2）+b ，k ＝﹣2×3＝﹣6∴b ＝32，k ＝﹣6 ∴一次函数解析式y ＝﹣3342x +，反比例函数解析式y ＝6x -. （2）根据题意得：33426y x y x ⎧+⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＝﹣＝，解得：211242,332x x y y ⎧=⎧=-⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩， ∴S △ABF ＝12×4×（4+2）＝12 （3）由图象可得：x ＜﹣2或0＜x ＜4【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求解析式，熟练运用函数图象解决问题是本题的关键．26．在□ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.求证：四边形BFDE 是矩形；若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB 与CD 的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB ，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA ，根据角平分线的判定，可得答案．试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ．∵BE ∥DF ，BE=DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∵DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE 是矩形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠DFA=∠FAB ．在Rt△BCF中，由勾股定理，得=，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．不等式组12342x x +>⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据题意先解出12342x x +>⎧⎨-≤⎩的解集是，把此解集表示在数轴上要注意表示时要注意起始标记为空心圆圈，方向向右；表示时要注意方向向左，起始的标记为实心圆点，综上所述C 的表示符合这些条件.故应选C.2．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD 的长（）A ．16cmB ．13cm C ．12cm D ．1cm【答案】D【解析】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，由CD//AB 可得△OAB ∽△OCD ，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD 的值即可.【详解】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，∵AB//CD ，∴OF ⊥CD ，OE=12，OF=2，∴△OAB ∽△OCD ，∵OE 、OF 分别是△OAB 和△OCD 的高， ∴OF CD OE AB =，即2126CD =，解得：CD=1.故选D.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.3．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，则tanB等于()A．43B．34C．35D．45【答案】B【解析】法一，依题意△ABC为直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=45，∵22cos sin1B B+=，∴sinB=35,∵tanB=sincosBB=34故选B法2，依题意可设a=4,b=3,则c=5，∵tanb=34ba故选B4．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A．（0，0）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（0，﹣1）【答案】C【解析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O 的坐标为（﹣2，﹣1）．故选C ．5．如图，已知11(,)3A y ，2(3,)B y为反比例函数1y x=图象上的两点，动点(,0)P x 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A ．1(,0)3B ．4(,0)3C ．8(,0)3D ．10(,0)3【答案】D【解析】求出AB 的坐标，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP-BP|＜AB ，延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可．【详解】把11(,)3A y ，2(3,)B y 代入反比例函数1y x =，得：13y =，213y =， 11(,3),(3,)33A B ∴，在ABP ∆中，由三角形的三边关系定理得：AP BP AB -<，∴延长AB 交x 轴于P'，当P 在P'点时，PA PB AB -=，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y kx b =+，把A ，B 的坐标代入得：133133k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：101,3k b =-=， 1215x ->∴直线AB 的解析式是103y x =-+，当0y =时，103x =，即10(,0)3P ，故选D. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P 点的位置，题目比较好，但有一定的难度．6．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A→D→C→E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可知，当03x ≤≤时，11222y AP AB x x =⋅=⨯=；当35x <≤时，ABE ADP EPC ABCD y S S S S ∆∆∆=---矩形()()11123123325222x x =⨯-⨯⨯-⨯--⨯-1922x =-+；当57x <≤时，()1127722y AB EP x x =⋅=⨯⨯-=-.∵3x =时，3y =；5x =时，2y =.∴结合函数解析式，可知选项B 正确. 【点睛】考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积．7．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C 所对应的实数是( )A ．3B ．3C ．3 1D ．3【答案】D【解析】设点C 所对应的实数是x ．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有()x 3=31-，解得x=23+1.故选D.8．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A．91032π⎛⎫-⎪⎝⎭米2B．932π⎛⎫-⎪⎝⎭米2C．9632π⎛⎫-⎪⎝⎭米2D．()693π-米2【答案】C【解析】连接OD，∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=12OA=12×6=1．∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA．在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=1，∴2222CD OD OC6333=-=-=．又∵CD333sin DOCOD62∠===，∴∠DOC=60°．∴2606193336336022DOCAODS S Sππ∆⋅⋅=-=-⨯⨯=-阴影扇形（米2）．故选C．9．对于一组统计数据1，1，6，5，1．下列说法错误的是（）A．众数是1 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是6【答案】D【解析】根据中位数、众数、方差等的概念计算即可得解.【详解】A、这组数据中1都出现了1次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，此选项正确；B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；C、S2=15[（1﹣4）2+（1﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（1﹣4）2]=1.6，故此选项正确；D、将这组数据按从大到校的顺序排列，第1个数是1，故中位数为1，故此选项错误；故选D．考点：1.众数；2.平均数；1.方差；4.中位数.10．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2【答案】C【解析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求得△PBC的面积．【详解】延长AP交BC于E．∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°．在△APB和△EPB中，∵，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，∴△APC 和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE S△ABC＝4cm1．故选C．【点睛】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC＝S△PBE+S△PCE S△ABC．二、填空题（本题包括8个小题）11．亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为_____．【答案】4.4×1【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：44000000=4.4×1，故答案为4.4×1．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n 个图形需_____根火柴棒．【答案】2n+1．【解析】解：根据图形可得出：当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为9； ……由此可以看出：当三角形的个数为n 时，火柴棒的根数为3+2（n ﹣1）=2n+1．故答案为：2n+1．13．如图所示，点C 在反比例函数ky (x 0)x=>的图象上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且AB BC =，已知AOB 的面积为1，则k 的值为______．【答案】1【解析】根据题意可以设出点A 的坐标，从而以得到点C 和点B 的坐标，再根据AOB 的面积为1，即可求得k 的值．【详解】解：设点A 的坐标为()a,0-，过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且AB BC =，AOB 的面积为1，∴点k C a,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点B 的坐标为k 0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，1k a 122a∴⋅⋅=，解得，k 4=，故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 14．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s 2：甲乙丙丁平均数（cm ） 561 560 561 560 方差s 2（cm 2）3.53.515.516.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择_____．【答案】甲【解析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【详解】∵==x x x x 甲乙丁丙＞， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵22S S 甲丙＜， ∴选择甲参赛，故答案为甲．【点睛】此题考查了平均数和方差，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15．如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线21y x k 2=+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .【答案】－2＜k ＜12。