八年级上册数学实数知识总结[1]

第一章 实数

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

有理数 零 有限小数和无限循环小数

实数 负有理数

正无理数

无理数 无限不循环小数

负无理数

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如32,7等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3

π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数值，如sin60o 等

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数

如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算

三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号a ”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

0≥a 注意a 的双重非负性：

a ≥0

3、立方根:一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a 、b 是实数，

,0b a b a >⇔>-

,0b a b a =⇔=-

b a b a <⇔<-0

（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b

a b a b a b a b a

<⇔<=⇔=>⇔> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。

（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22。

五、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“

”；被开方数a 必须是非负数。

2、性质：

（1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a

（2）==a a 2

)0(<-a a

（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab （)0,0(≥≥=•b a ab b a ）

（4）)0,0(>≥=b a b a b a （)0,0(>≥=b a b

a b a ） 3、运算结果若含有“a ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

六、实数的运算

（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方

（2）实数的运算顺序:先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号

里面的。

（3）运算律

加法交换律 a b b a +=+ 加法结合律 )()(c b a c b a ++=++

乘法交换律 ba ab = 乘法结合律 )()(bc a c ab =

乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(

实数 同步复习

知识点1 平方根

一、基本知识

1．一般的，如果一个________的平方等于a ，即______，那么这个______叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为______，a 叫做______．

规定：0的算术平方根是______．

2．一般的，如果______，那么这个数叫做a 的平方根．这就是说，如果______，那么x 叫做a 的平方根，a 的平方根记为______．

3．求一个数a 的______的运算，叫做开平方．

4．一个正数有______个平方根，它们______；0的平方根是______；负数______．

5.25的算术平方根是______；______是9的平方根；16的平方根是______．

6．计算：（1）=121______；（2）=-256______；（3）=±212______；

（4）=43______；（5）=-2)3(______；（6）=-412

______． 二、练习

1．下列各数中没有平方根的是（ ）

A ．（－3）2

B ．0

C ．8

1 D ．－63 2．下列说法正确的是（ ）

A ．169的平方根是13

B ．1.69的平方根是±1.3

C ．（－13）2的平方根是－13

D ．－（－13）没有平方根

3．下列语句不正确的是（ ）

A ．0的平方根是0

B ．正数的两个平方根互为相反数

C ．－22的平方根是±2

D ．a 是a 2的一个平方根

4．一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8数是（ ）

A ．a ＋8

B ．a －4

C ．a 2－8

D ．a 2＋8

5. 判断：

3是9的算术平方根．（ ）

3是9的一个平方根．（ ）

9的平方根是－3．（ ）

（－4）2没有平方根．（ ）

－42的平方根是2和－2．（ ）

6. 25

111的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______． 7．2)4(-的算术平方根是______：81的算术平方根的相反数是______．

8．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______．

9．若a 有意义，则a 满足______；若a --有意义，则a 满足______．1

1-+-x x 中的x 的取值范围是______．

10．若3x 2－27＝0，则x ＝______．

11求下列各式的值：

（1）325 （2）3681+ （3）25.004.0- （4）121436.0⋅

12．要切一块面积为16cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？