信号与系统(第二章)
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23
2. 结合律:
24
结论： • 两个LTI系统级联可以等效为一个单一系统，该系 统的单位脉冲响应等于两个级联系统的单位脉冲响 应的卷积
1
k
0
n
y(n) x(n)h(n)
x(k)h(nk) ku(k)u(nk)
k
k
n k 1n1 u(n)
k0
1
13
图解法
将一个信号 x ( k ) 不动，另一个信号经反转后为 h ( k ) ,
再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况下，将 x ( k ) 与
h(n k )对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到
aku(k)u(k4 ) aiu(k)u(k4i) i
k 4
u (k 4 ) a i (1 a a 2 ... a k 4 )u (k 4 ) i 0
ak4 1u(k 4)
பைடு நூலகம்a 1
12
例： x(n)nu(n) 01 h(n)u(n)
x(k) ku(k)
1
0
k ...
h(nk)u(nk)
（1）换元：k换为i→ 得f1(i)，f2(i) （2）反转平移：由f2(i) 反转→f2(–i)，再右移k →f2(k –i)
16
（3）乘积：f1(i) f2(k –i) （4）求和：i 从–∞到∞ 对乘积项求和
17
1
k
0
① n 0 时，
②
时，
所以
18
例3：
19
① n 0 时，
② 0n4 时，
k
h[n ]
LTI
h[n k]
LTI
x[k]h[nk]
LTI
x[k]h[n k]
k
8
LTI系统对任何输入信号 的响应：
上面这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（The convolution sum） 这表明：一个LTI系统对任意输入的响应都可以由它 的单位脉冲响应来表示 卷积的意义：
单位脉冲响应完全表征LTI系统的特性
n 时刻的 y ( n )
可分解为四步，对f (n) =x(n) ＊h(n)
（1）换元：n换为k→得x(k)，h(k)
（2）反转平移：由h(k)反转→h(–k)右移n位 →h(n –k)
（3）乘积：x(k) h(n –k)
（4）求和：k 从–∞到∞对乘积项求和
注意：n 为参变量
14
15
例2：
解：
21
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。
四. 卷积和运算的性质 1. 交换律：
结论： 一个单位冲激响应是h[n]的LTI系统对输入信
号x[n]所产生的响应，与一个单位冲激响应是x[n] 的LTI系统对输入信号h[n]所产生的响应相同。
大家好
1
第2章 线性时不变系统
主要内容： • 信号的时域分解——用 表示离散时间信号 用 ( t ) 表示连续时间信号
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和 • LTI系统的微分方程及差分方程表示 • LTI系统的框图结构表示 • 奇异函数
引言 ( Introduction )
LTI系统特点: 齐次性和可加性，具有时不变性 信号与系统分析理论与方法的基础
三. 卷积和的计算
计算方法：
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）
10
解析法
例： f (k)aku(k) h(k)bku(k) 求 y f ( k )
yf(k)f(k)*h(k)f(i)h(ki) i aiu(i)bkiu(ki) i
当 i 0 ,u ( i) 0 ;当 i k ,u ( k i) 0
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
离散时间信号中,最简单的是 ,可以由它的线性组
合构成
，即：
对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一个 点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可 以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲
作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) aixi(t)
i
则 y(t) aiyi(t)
i
分析方法：
xi(t)yi(t)
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应
yf(k)[i k0aibki]u(k)bk[i k0(b a)i]u(k) bk11(b a (b a)k)1u(k),ab
bk(k1)u(k),ab 11
例：求 u(k)*u(k)
u(k)*u(k)u(i)*u(ki) i
k
u(k)1(k1)u(k) i0
例：求 aku(k)u(k4)
③ 4n6 时，
④ 6n10时，
⑤ n 10 时，
20
列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x ( n ) 与 h ( n ) 的所有各点都要遍乘一次
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
参与相加的各点都具有 x ( k ) 与 h(n k ) 的宗量之
和为 n 的特点。
x (0 ) x (1 ) x (2 ) x (3 )
h(n) x(n) 1 0 2 1
h(1) 1
1021
y (1)
h (0) 2
2042
h (1 ) 0 y (0 ) 0 0 0 0
h ( 2 ) 3 y (1 ) 3 0 6 3
h (3) 1 y (2) 1 0 2 1
y (3) y (4 ) y (5) y (6 )
于是有：
上式把任意一个序列 表示成一串移位的单位
脉冲序列
的线性组合，其中 是权因子
二. 卷积和（Convolution sum）
定义： 离散时间LTI系统的单位脉冲响应( impulse
response )
[n]
LTI
h[n ]
时不变性
[n]
[n k]
齐次性
x[k][nk]
可加性
x[k][n k]
2. 结合律:
24
结论： • 两个LTI系统级联可以等效为一个单一系统，该系 统的单位脉冲响应等于两个级联系统的单位脉冲响 应的卷积
1
k
0
n
y(n) x(n)h(n)
x(k)h(nk) ku(k)u(nk)
k
k
n k 1n1 u(n)
k0
1
13
图解法
将一个信号 x ( k ) 不动，另一个信号经反转后为 h ( k ) ,
再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况下，将 x ( k ) 与
h(n k )对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到
aku(k)u(k4 ) aiu(k)u(k4i) i
k 4
u (k 4 ) a i (1 a a 2 ... a k 4 )u (k 4 ) i 0
ak4 1u(k 4)
பைடு நூலகம்a 1
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例： x(n)nu(n) 01 h(n)u(n)
x(k) ku(k)
1
0
k ...
h(nk)u(nk)
（1）换元：k换为i→ 得f1(i)，f2(i) （2）反转平移：由f2(i) 反转→f2(–i)，再右移k →f2(k –i)
16
（3）乘积：f1(i) f2(k –i) （4）求和：i 从–∞到∞ 对乘积项求和
17
1
k
0
① n 0 时，
②
时，
所以
18
例3：
19
① n 0 时，
② 0n4 时，
k
h[n ]
LTI
h[n k]
LTI
x[k]h[nk]
LTI
x[k]h[n k]
k
8
LTI系统对任何输入信号 的响应：
上面这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（The convolution sum） 这表明：一个LTI系统对任意输入的响应都可以由它 的单位脉冲响应来表示 卷积的意义：
单位脉冲响应完全表征LTI系统的特性
n 时刻的 y ( n )
可分解为四步，对f (n) =x(n) ＊h(n)
（1）换元：n换为k→得x(k)，h(k)
（2）反转平移：由h(k)反转→h(–k)右移n位 →h(n –k)
（3）乘积：x(k) h(n –k)
（4）求和：k 从–∞到∞对乘积项求和
注意：n 为参变量
14
15
例2：
解：
21
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。
四. 卷积和运算的性质 1. 交换律：
结论： 一个单位冲激响应是h[n]的LTI系统对输入信
号x[n]所产生的响应，与一个单位冲激响应是x[n] 的LTI系统对输入信号h[n]所产生的响应相同。
大家好
1
第2章 线性时不变系统
主要内容： • 信号的时域分解——用 表示离散时间信号 用 ( t ) 表示连续时间信号
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和 • LTI系统的微分方程及差分方程表示 • LTI系统的框图结构表示 • 奇异函数
引言 ( Introduction )
LTI系统特点: 齐次性和可加性，具有时不变性 信号与系统分析理论与方法的基础
三. 卷积和的计算
计算方法：
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）
10
解析法
例： f (k)aku(k) h(k)bku(k) 求 y f ( k )
yf(k)f(k)*h(k)f(i)h(ki) i aiu(i)bkiu(ki) i
当 i 0 ,u ( i) 0 ;当 i k ,u ( k i) 0
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
离散时间信号中,最简单的是 ,可以由它的线性组
合构成
，即：
对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一个 点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可 以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲
作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) aixi(t)
i
则 y(t) aiyi(t)
i
分析方法：
xi(t)yi(t)
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应
yf(k)[i k0aibki]u(k)bk[i k0(b a)i]u(k) bk11(b a (b a)k)1u(k),ab
bk(k1)u(k),ab 11
例：求 u(k)*u(k)
u(k)*u(k)u(i)*u(ki) i
k
u(k)1(k1)u(k) i0
例：求 aku(k)u(k4)
③ 4n6 时，
④ 6n10时，
⑤ n 10 时，
20
列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x ( n ) 与 h ( n ) 的所有各点都要遍乘一次
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
参与相加的各点都具有 x ( k ) 与 h(n k ) 的宗量之
和为 n 的特点。
x (0 ) x (1 ) x (2 ) x (3 )
h(n) x(n) 1 0 2 1
h(1) 1
1021
y (1)
h (0) 2
2042
h (1 ) 0 y (0 ) 0 0 0 0
h ( 2 ) 3 y (1 ) 3 0 6 3
h (3) 1 y (2) 1 0 2 1
y (3) y (4 ) y (5) y (6 )
于是有：
上式把任意一个序列 表示成一串移位的单位
脉冲序列
的线性组合，其中 是权因子
二. 卷积和（Convolution sum）
定义： 离散时间LTI系统的单位脉冲响应( impulse
response )
[n]
LTI
h[n ]
时不变性
[n]
[n k]
齐次性
x[k][nk]
可加性
x[k][n k]