专题质量检测(四)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．直线3x ＋y －5＝0与y ＝2的夹角为( ) A.π

2 B.2π

3 C.π4

D.π3

解析：两直线的斜率分别为－3和0，则夹角的正切值为|－3－01＋0|＝3，故夹角为π

3.

答案：D

2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.82

3 C. 3

D.833

解析：由l 1∥l 2，知

1

a －2＝a 3≠62a

，求得a ＝－1， ∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2

3＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23

|

12＋(－1)2

＝

82

3

. 答案：B

3．(2011·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2

＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，

则此双曲线的渐近线方程是( )

A ．y ＝±5x

B ．y ＝±5

5x

C ．y ＝±3x

D ．y ＝±3

3

x

解析：∵y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)， ∴双曲线x 2a 2－y 2

＝1的半焦距c ＝2.

又虚半轴b ＝1，且a >0， ∴a ＝22－12＝3，

∴双曲线渐近线的方程是y ＝±3

3x .

答案：D

4．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

x ≥0，y ≥0，

x －y ≥－2，

4x ＋3y ≤20表示的平面区域的

公共点有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．无数个

解析：直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．

答案：B

5．(2011·东莞实验中学)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2

b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率

互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．锐角或钝角三角形

解析：双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的离心率e 1＝

1＋b 2

a

2， 椭圆x 2m 2＋y 2

b 2＝1的离心率e 2＝

1－b 2

m

2，

则

1＋b 2a

2· 1－b 2

m

2＝1，即m 2＝a 2＋b 2. 答案：B

6．(2011·河南模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋

b 2，则OM ·

ON (O 为坐标原点)等于( ) A ．－7 B ．－14 C ．7

D ．14

解析：记OM 、ON 的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2

＝1，cos θ＝13，cos2θ＝2cos 2

θ－1＝2×(13)2－1＝－79，OM ·

ON ＝3×3cos2θ＝－7.

答案：A

7．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在双曲线上，且

AF 2⊥x 轴，若|AF 1||AF 2|＝5

3

，则双曲线的离心率等于( )

A ．2

B ．3 C. 2

D. 3

解析： 如图，

设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n .

由双曲线定义可知m －n ＝2a .① 又∵AF 2⊥x 轴， ∴(2c )2＋n 2＝m 2.② 又已知m n ＝5

3

，③

由①③得，m ＝5a ，n ＝3a ，代入②得c ＝2a ，e ＝2. 答案：A

8．(2011·顺德模拟)点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )

A ．5

B ．1

C ．35－5

D ．3 5

解析：圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.

答案：C

9．(2011·镇江模拟)若集合A ＝{(x ，y )|y ＝1＋4－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝k (x －2)＋4}．当集合A ∩B 有4个子集时，实数k 的取值范围是( )

A ．[5

12，＋∞)

B ．(512，34]

C ．[512，34

]

D ．(13，34

]

解析：A ∩B 有四个子集，故A ∩B 有2个元素，即直线与上半圆有两个交点，易求相切时k ＝512，又直线过上半圆的左端点时k ＝34，数形结合知512

4

.

答案：B

10．(2011·滨州模拟)已知圆的方程x 2＋y 2＝4，若抛物线过定点A (0,1)、B (0，－1)，且