利用割补法解几何题

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立体几何中的割补法解题技巧

⽴体⼏何中的割补法解题技巧
⽴体⼏何中的割补法解题技巧
※⾼考提⽰
⽴体⼏何中常⽤割补法解题.特别是⾼考中的⽴体⼏何题很多可⽤割补法解,有时解起来还⽐较容易.
[规律⼩结]
割补法是割分形法即割法与补加形法即补法的总称。

补法是把不熟悉的或复杂的⼏何体延伸或补加成熟悉的或简单的⼏何体，把不完整的图形补成完整的图形。

割法是把复杂的或不熟悉的⼏何体，割分为简单的或熟悉的⼏何体。

这样对此解起题来就有好处。

割补法中的割与补是⼀个问题中的相反两个⽅⾯，是对⽴统⼀的⼀对⽭盾。

解决⼀个问题，是割是补？这要看问题的性质，宜补就补，宜割就割，不可割补就不割补，就是宜割补，也要讲究如何割补，不要盲⽬⾏动，否则就会导致⿇烦，使问题复杂化，使得其反，甚⾄问题还不能解决。

⽴体⼏何中需得三棱柱补成平⾏六⾯体，将三棱维补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱维等等这些我们很熟悉，其实，割补法不仅仅使⽤于⽴体⼏何，将上述概念中的⼏何体或图形改为代数式，那么在数学的其它⽅⾯使割补法也就很多了，⽐如运算中的添项减项，重新组合另⾏考虑，考虑问题的对⽴⾯等等均可视为割补法，因此，割补法不只是⼀种⽅法，可把它上升为⼀种思想——⼀种数学思想。

关于我们：。

割补法在高中立体几何解题中的应用

将通过教学过程中的常见实例来谈谈割补法在
正方体棱长为１，从而外接球半径Ｒ一，得Ｓ球
一
３．故选Ａ．变式１三棱锥Ｐ～ＡＢＣ满足ＰＡ—ＰＢ —
ＰＣ＝＝＝２， △ ＡＢＣ为正三角形，其边长为２ √ ２，四个
仙 ∞ ＥＦ — 棱柱～棱锥一．
ＡＥＦ的面积为丢ｓ．
由于ＶＡＥｎｃ：专・＾・（鲁＋ｓ＋导）一
Ｓｈ，则剩余不规则几何体的体积为Ｖ一Ｖ —
Ｖ — Ｓｈ一７Ｓｈ
变式３过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ作ＰＡＪ Ⅲ 平面ＡＢＣＤ，设ＰＡ —ＡＢ，求平面ＰＡＢ和平面
关键词割补法；立体几何；解题
割补法就是通过几何体的分割或补形进而发现未知几何体和已知几何体内在联系的一种方法．这种方法蕴含了一种构造思想，同时也反应了对立统一的辩证思想．掌握这种方法对培养学生的数学素养及创新意识都有重要意义．本文
体积．
一
ＡＰＢ＝
ＡＰｃ
ＢＰＣ一６０。求：
国
图３图４
三棱锥Ｐ— ＡＢＣ的
体
４分析１作ＢＣＮ６口
的中点Ｄ，连接ＰＤ、ＡＤ，过Ｐ作ＰＨｊＩＡＤ，易证

割补法求面积经典例题

割补法求面积经典例题当涉及到计算面积的经典例题时，割补法是一种常用且有效的方法。

下面割补法求面积的经典例题：1. 一个矩形的长为10cm，宽为5cm，求其面积。

解：面积= 长×宽= 10cm ×5cm = 50cm²2. 一个正方形的边长为7cm，求其面积。

解：面积= 边长×边长= 7cm ×7cm = 49cm²3. 一个圆的半径为3cm，求其面积（取π=3.14）。

解：面积= π×半径²= 3.14 ×3cm ×3cm = 28.26cm²4. 一个梯形的上底长为6cm，下底长为8cm，高为4cm，求其面积。

解：面积= （上底长+ 下底长）×高÷2 = （6cm + 8cm）×4cm ÷2 = 28cm²5. 一个三角形的底边长为9cm，高为12cm，求其面积。

解：面积= 底边长×高÷2 = 9cm ×12cm ÷2 = 54cm²6. 一个平行四边形的底边长为10cm，高为6cm，求其面积。

解：面积= 底边长×高= 10cm ×6cm = 60cm²7. 一个等边三角形的边长为5cm，求其面积。

解：面积= （边长²×√3）÷4 = （5cm ×5cm ×√3）÷4 ≈10.83cm ²8. 一个正五边形的边长为8cm，求其面积。

解：面积= （5 ×边长²×√5）÷4 = （5 ×8cm ×8cm ×√5）÷4 ≈110.85cm²9. 一个正六边形的边长为12cm，求其面积。

解：面积= （6 ×边长²×√3）÷4 = （6 ×12cm ×12cm ×√3）÷4 ≈374.12cm²10. 一个扇形的半径为5cm，圆心角为60°，求其面积（取π=3.14）。

(完整版)用割补法求面积

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

用割补法求几何体的体积

用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。

关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。

特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。

那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。

空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。

本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。

由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。

针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。

② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。

一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。

【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高，由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得三棱锥ABC P -的体积。

割补法在高中立体几何解题中的应用_方清

锥．故只要求出其中一个三棱锥的体积即可．由
图可知，ＶＡ′－ＢＥＤ′ ＝ＶＤ′－Ａ′ＢＥ＝１３·ＳΔＡ′ＢＥ·Ａ′Ｄ′＝
１３
·１２·ａ２·ａ·ａ＝１１２ａ３
．故ＶＡ′－ＥＢＦＤ′
＝２ＶＡ′－ＢＥＤ′
＝
１ａ３．６
以上各例说明，在解决某些几何问题时，若
利用部分与整体的关系来解题．
例６已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ，其中ＰＡ＝４，ＰＢ＝ＰＣ＝２，
∠ＡＰＢ＝ ∠ＡＰＣ＝ ∠ＢＰＣ＝６０°求：
三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的
体积．
分析１作ＢＣ
分析如图４，将一个完全相同的几何体与已知的几何体拼在一起组成一个高为５的圆柱，
那么所求几何体的体积就是这个圆柱体积的
例８如图１０，已
知正方体ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 的棱长为ａ，
Ｅ、Ｆ分别是棱ＡＡ′ 和
ＣＣ′ 的中点，求四棱锥
Ａ′－ＥＢＦＤ′ 的体积．
分析本题要想直接求出四棱锥的高还是比较困难的．但是四棱锥的底面是菱形，所以连
结对角线把四棱Leabharlann 分割成体积相等的两个三棱Ａ．３π Ｂ．４π Ｃ．３槡３π Ｄ．６π
分析１设ΔＡＣＤ的重心为Ｅ，则球心在线段ＢＥ上，可在直角三角形中求解，但计算较麻烦．
分析２将正四面体ＡＢＣＤ补成正方体，则正四面体、正方体的外接
球为同一个球．因为正四面体的棱长为槡２，所以
（收稿日期：２０１３－０８－１６）

三角形面积割补法

三角形面积割补法在几何学中，我们经常需要计算三角形的面积。

三角形是最基本的几何形状之一，其面积计算方法也非常重要。

除了传统的高乘以底再除以2的方法，还有一种称为“三角形面积割补法”的计算方法。

本文将详细介绍三角形面积割补法的原理和应用。

让我们回顾一下传统的计算三角形面积的方法。

传统方法是根据三角形的高和底边来计算面积。

假设三角形的底边长为b，高为h，则三角形的面积S等于底乘以高再除以2，即S = (b * h) / 2。

这是最常见的计算三角形面积的方法。

然而，在某些情况下，我们可能无法直接测量三角形的高和底边。

这时，三角形面积割补法就派上用场了。

三角形面积割补法的原理是将三角形割补成一个或多个可以直接计算面积的几何形状，再将这些形状的面积相加得到三角形的总面积。

具体来说，我们可以将三角形割补成两个直角三角形或一个直角三角形和一个梯形。

接下来，我们将详细介绍这两种情况下的计算方法。

第一种情况是将三角形割补成两个直角三角形。

假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。

我们可以通过以下步骤来计算三角形的面积：1. 首先，根据三角形的两个边长和夹角，使用三角函数计算三角形的高。

例如，可以使用正弦函数计算出高h = b * sin(θ)。

2. 接下来，计算第一个直角三角形的面积，使用传统的计算方法：S1 = (b * h) / 2。

3. 然后，计算第二个直角三角形的面积，使用传统的计算方法：S2 = (a * h) / 2。

4. 最后，将两个直角三角形的面积相加，得到三角形的总面积：S = S1 + S2。

第二种情况是将三角形割补成一个直角三角形和一个梯形。

假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。

我们可以通过以下步骤来计算三角形的面积：1. 首先，根据三角形的两个边长和夹角，使用三角函数计算三角形的高。

例如，可以使用正弦函数计算出高h = b * sin(θ)。

2. 接下来，计算直角三角形的面积，使用传统的计算方法：S1 =(a * h) / 2。

立体几何巧思妙解之割补法

立体几何巧思妙解之割补法在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。

一、求异面直线所成的角例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）000090604530A B C D分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。

如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。

若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。

巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH ACB S -，1//,EF AA ∴异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。

故选C 。

二、体积问题例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC，10,PA BC PB AC PC AB ======锥子P —ABC 的体积为（）。

4080160240A B C D分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。

若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。

巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。

PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩，从而知 416810468101606P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEBV V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。

利用割补法巧解几何题

利用割补法巧解几何题割补法在初中数学竞赛中经常用到，实际上它也广泛应用于一般几何证明题中。

下面我就从四个方面来说明割补法在几何证明中的重要性：一．利用垂直与特殊角割补成特殊三角形例1：四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=2，BC=6 H求四边形ABCD面积解：由题意知：∵∠C=45°，利用∠B=90° D∠C=45°，延长BA、CD交于H，将图形割补成特殊△HBC（等腰Rt三角形） A易求：HD=AD=2 HB=BC=6 ，∴S四边形ABCD=1/2·6·6—1/2·2·2=16B C 例2：四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB H =30°，∠ABC=60°，四边形ABCD面积为5√３， D求AD长 C解：由题意知：∠A=30°，∠B=60°利用已知延长AD、BC交于H，将图形割补成特殊三角形。

B ∵∠A=30°，AB=8∴BH=4，AH=4√３，CH=3 A∴S△ABH=8√３，S△HDC=3√３=1/2HC·DH∴DH=2√３AD=2√３D思考题：1．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=1， C ∠A=60°，∠B=∠D=90°求四边形ABCD面积A B2．四边形ABCD中，∠ABC =135°， D∠BCD=120°，AB=2√６，BC=5√３，CD=6求AD长 AC B二．利用角平分线与垂直割补全等例1：△ABC是等腰Rt三角形，∠A=90°，AB=AC， F BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于 E求证：BD=2CE解：∵BD平分∠ABC，且CE⊥BE， A∴延长BA、CE交于F，将图形割补成 E轴对称图形△BCF即：△FBE≌△CBE， D易证：△ABD≌△ACF∴BD=CF=2CE B C思考题：1．已知：AB=3AC，AD平分∠BAC，BD⊥AD，AD交于BC于O C D求证：OA=OD OA B2．已知：锐角△ABC中，∠B=2∠C A∠B的平分线与AD垂直求证：AC=2BDDB C三．利用互补割补全等例1：五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED C D =90°AB=CD=AE=BC+DE=1求五边形ABCDE面积 B解：延长CB到F，使BF=DE连AD、AF、AC E 易证：△AED≌△ABF， F△ADC≌△AFC，∴五边形ABCDE面积为△ACF面积的2倍，即等于 1 A例2：在四边形ABCD中，已知：AB= A E AD,∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC，且AH=1求四边形ABCD面积 D 解：过A作AE⊥AH交CD延长线于E易证：△ABH≌△ADE∴AH=AE=1∴四边形ABCD面积为正方形AHCE面积等于 1 B H C 思考题：1．五边形ABCDE中，AB=AE， ABC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，连AD E求证：AD平分∠CDEDBC。

小升初几何-用割补法巧求面积

小升初几何之---用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。

就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。

可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。

我们用三种方法解答。

（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。

将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。

也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。

求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。

割补法在高中立体几何解题中的应用分析

积是多少？
图４
对于这道题目，学生绘制图４的图像，分析这几种情况：
（１）取ＢＣ的中点为Ｄ，连接ＤＡ和ＤＰ，过Ｐ作ＨＰ ⊥ ＤＡ，易证 △ＡＢＣ的垂足为Ｈ，则三棱锥ＰＡＢＣ的高为
ＨＰ，由棱锥体积公式Ｖ
＝
图１学生可以这样分析：这道题目可以将图形补充成一个正
方体，设这个正方体为ＡＢＣＤＰＱＲＳ，如图１所示那么求二面角就是求正方体的侧面ＡＢＱＰ与对面角ＰＱＣＤ所成的角，这个角为４５°，因此，我们所求的二面角大小就是４５°。
再将这个特殊的几何体分割为若干部分。
（一）从 “形上割补 ”
例５设ｍ、ｌ为两条直线，α 为一个平面，那么以下命题
正确的选项为
（）
Ａ．若ｌ ⊥ ｍ，ｍａ，则ｌ ⊥α
Ｂ．若ｌ ⊥α，ｌ ∥ ｍ，则ｍ ⊥α
Ｃ．若ｌ ∥α，ｍａ，则１∥ ｍＤ．若ｌ ∥α，ｍ ∥ａ，则ｌ ∥ ｍ
周刊
割补法在高中立体几何解题中的应用分析
高博扬
摘要：高中数学中的立体几何是一门逻辑性和实用性都很强的科目，对于高中生而言，学习起来是比较吃力的，因此，高中生要懂得灵活运用数学中的各种方法来研究题目并使问题最终得到解决。割补法就是立体几何中一种非常实用的解题方法，学生可以利用割补几何体的方法来找出已知的几何体和未知几何体之间的内在联系。割补法是解决空间问题最常用的方法之一，掌握好这种几何方法对于学生的学习来说有着非常重要的帮助。本文分析探究了学生在高中立体几何学习中割补法的应用，希望对高中生立体几何解题能力的提升提供一定的参考和建议。

六年级数学割补法求圆与扇形的面积(含答案)

圆与扇形———割补法课前预习彩虹的传说一个圆的故事（又名：彩虹的传说）从前，有一个非常完美的圆，没有任何缺口和毛刺，甚至连一点点划痕在它身上都找不到。

圆长得非常可爱，胖鼓隆冬的，从小就特别招人喜欢，时间久了，就自然觉得自己是世界上最完美的。

圆有很多好朋友：三角（快速灵活）、方块（稳重平和）、平行四边形（勇敢自信）、五角星（理性谦卑）、六边形（经验丰富）、心形（牺牲成全）。

它们每天在一起玩儿得很开心。

有一天，圆遇上了月亮姐姐，它对月亮姐姐说：“姐姐、姐姐，你挂在天空上可真漂亮啊！不过，为什么一定要有时圆有时缺呢？嘿嘿！如果我能像你一样挂在天空上，也放出光芒那该多好啊！”月亮姐姐淡淡地笑了，对圆说：“我告诉你一个地方，到了那里你就找到了智慧。

”圆迟疑地问道：“智慧是什么？我为什么要找它？”月亮姐姐说：“因为只有找到了智慧才能够回答你提出的这些问题，帮你实现愿望啊！”圆似懂非懂地点了点头，把这个消息告诉了它的好朋友们。

突然，三角大声地号召：“不如我们一起去月亮姐姐说的那个地方吧，人多力量大，我们这么多人一定能找到那个叫智慧的东西。

”于是大家都纷纷响应，收拾起行囊浩浩荡荡地上路了。

它们经历了千辛万苦，淌过了虚荣河，越过了贪婪海，走过了嗔恨桥，翻过了愚痴山。

有一天，终于来到了智慧门前。

这是一扇看起来很普通的门，长方形的门框没有任何修饰。

不同的是，这道门很矮小，也很窄。

几个小伙伴只能调整好最佳的位置，否则很难钻进去。

圆有些失望地对大家说：“我们经历了这么多坎坷，就是为了进这么一个门啊！”三角、方块、平行四边形、五角星、六边形、心形纷纷点头，觉得不可思议。

三角总是最有主意，行动最快的一个。

它放下所有行李跟大家说：“无论如何，我们费了这么大劲儿才找到这扇门，我的身体最小，我先进去。

”话音刚落，它哧溜一下，钻进了门里。

方块的为人正像它的体形，正直稳重。

它沉着冷静地紧跟其后，也顺利进入门内。

平行四边形的棱角比较尖锐，它自信地说了一句：“不成功就成仁！”，稍微一侧身，勇敢地冲进门里。

割补法推导梯形面积

割补法推导梯形面积要推导梯形的面积，我们可以使用割补法。

首先，让我们考虑一个梯形，其上底为a，下底为b，高为h。

我们可以将这个梯形分割成n个小矩形，每个小矩形的宽度为Δx。

接下来，我们将这些小矩形的面积相加，然后取极限，即令n趋向于无穷大，得到梯形的面积。

首先，我们需要确定每个小矩形的高度。

由于梯形的两边是不平行的，我们需要找到一种方法来确定每个小矩形的高度。

我们可以使用割补法来解决这个问题。

我们将梯形的两边延长，使它们相交于一点O。

然后，我们从O 点向上作一条平行于底边的线段，与梯形的上底相交于点A。

接下来，我们将梯形的下底延长至与这条平行线相交于点B。

这样，我们得到了一个平行四边形OABD。

现在，我们可以观察到，每个小矩形的高度可以表示为梯形上底与平行四边形上底之间的距离。

记为Δh。

根据几何性质，我们可以得到Δh与Δx之间的关系，Δh = (h/AB) Δx。

现在，我们可以计算每个小矩形的面积。

小矩形的宽度为Δx，高度为Δh，因此每个小矩形的面积为ΔA = aΔh。

接下来，我们将所有小矩形的面积相加，即ΣΔA。

根据割补法，我们可以得到梯形的面积为A = lim(ΣΔA)。

当n趋向于无穷大时，ΣΔA趋向于积分∫abdx，因此梯形的面积可以表示为A =∫abdx。

最后，我们可以对上底a和下底b之间的x进行积分，得到梯形的面积公式为A = (1/2) (a + b) h。

这就是使用割补法推导梯形面积的过程。

希望我能够全面回答你的问题。

如果你还有其他问题，请随时提问。

题解求动点P点坐标,全面讲解二次函数中,三角形面积最值问题

二次函数，是中考的一个重点，也是一个难点。

特别是压轴大题，代数几何综合题型，更是考试常见。

但是，很多同学觉得这类题型实在太难，望而生畏。

比如二次函数图像中，抛物线先上是否存点动点P，使得三角形面积最大，然后求出动点P此时的坐标。

这就是最经典最常见的二次函数图像面积最值问题。

今天，通过一道中考真题，用四种不同的方法来一起探讨这一类题型。

希望同学们认真体会，理解透彻，举一反三。

解法一，割补法。

就是把通过图形割和补的方式，把三角形的面积求法表达出来。

这个方法，最简单最常用。

解法一，方法1，设动点P的坐标，△PBC的面积等于△PBE面积加梯形的面积，再减去三角形BOC的面积。

把三角形PBC的面积表达出来，得到一个二次函数的顶点式。

即可求出面积最大值。

解法一，方法2。

连接PO，三角形PBC的面积等于三角形BOP面积加三角形COP的面积，再减去三角形BOC的面积。

和方法1一样，最后得到一个二次函数的顶点式，即可求出三角形面积的最大值。

解法二、铅垂定理法。

上面这个图片，就是铅垂定理的基本知识点。

铅垂定理的求法公式就是，三角形的面积等于水平宽度与铅垂高度乘积的一半。

任何一个三角形，都可以用这个方法来求面积。

在直角坐标系中，只要求出一个三角形水平宽度，和铅垂高度，那么这个三角形的面积就出来了。

这个题目，作PE⊥x轴交BC于F，则水平宽度就是OB的长度，铅垂高度就是PF的长度。

后面的就是直接套用铅垂定理的公式，经过化简，得出二次函数的顶点式，即可求出三角形面积最大值。

请看详细解题过程，铅垂定理真的很重要。

很多题型中，铅垂定理求面积更简单。

解法三，切线法。

切线法，就是过点P做BC的平行线，当这个平行线与二次函数的图像只有一个交点时，则BC边上的高就是最大值。

底一定，高最大，当然面积最大。

请看详细解题过程。

有问题，欢迎评论区留言。

解法四、三角函数法。

这个方法看起来好像很难，其实也很简单。

详细请看解题过程。

同学们也可以通过这个方法，来练习和巩固一下三角函数知识和相关题型。

第3讲：割补法解图形问题

第三讲割补法解图形问题知识清单有些非特殊图形不能直接求解，通过“割补”后成为特殊图形易解；有些图形面积直接计算，计算量很大，耗时耗力还易错，通过“割补”变为简单图形，计算量小，准确度大大提高。

另外有些图形没有可供“割补”的多余部分，又无法用“分”的思想解，则需要用“补”的思想求解，“添补”成特殊图形，再计算。

典例解析模块一：割补法解曲面图形问题例题1：求阴影部分的面积。

例题2：求阴影部分的面积。

例题3：已知△ABC是直角三角形，AB长20厘米，∠BAC的度数是45度，求阴影部分的面积。

例题4：如图，正方形的边长为6cm，求阴影部分的面积。

模块二：割补法解多边形问题例题1：在直角△ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=5，DB=6，则△ADE与△BDF的面积之和为多少？例题2：已知一个五边形的三条边的长和四个角的度数，如图所得，那么它的面积是多少？针对演练1、如图，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）2、如图，三个边长分别为5cm，6cm，4cm的正方形拼在一起，求阴影部分的面积。

3、求右图阴影部分的面积。

4、求右图阴影部分的面积。

5、如图，4个圆的半径相等。

求阴影部分的面积。

6、如图，正方形的边长和三个半圆的直径都为12cm，那么图中阴影部分的面积是cm²。

7、如图，阴影部分的面积是。

（结果保留π）8、如图，求阴影部分的面积。

9、如图，四个圆的半径都是2cm，则阴影部分的面积为多少？10、如图，OA、OB分别是小半圆的直径，且OA=OB=6cm，∠BOA为直角，则阴影部分的面积是多少？11、如图，求阴影部分的面积。

（单位：cm）12、如图，三个圆的半径都是4cm，三个圆两两相交于圆心，阴影部分的面积是多少？13、如图，大圆直角为30cm，4个小圆的直径都是大圆直径的一半，求阴影部分的面积。

14、计算下图阴影部分的面积。

15、如下图，四边形ABCD是平行四边形，圆的半径是4cm，求阴影部分的面积。

割补法

“割补法”求解不规则几何体体积我们通常把不是棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等的几何体，称为不规则几何体．而解决不规则几何体的方法，常用割补法，即通过分割或补形，将它变成规则的几何体．我们可以从不规则几何体的来源上，即它是由何种常见的几何体所截得的来分类．一、来自三棱柱的截体例1 如图1，正四面体A BCD -中，E F G H ，，，分别是棱AB AC BD CD ，，，的中点，求证：平面EFHG 把正四面体分割成的两部分几何体的体积相等．分析：显然正四面体被分割成的两部分都是不规则的几何体，因此我们可使用割补法来推导．那么我们应选择割，还是补呢？如果选择补，那么补成什么样子呢？显然只能是正四面体，这就说明我们应该选择割．证明：连结CE CG AG AH ，，，，左右两个不规则几何体都被分割成了一个四棱锥和一个三棱锥，如图1．易证左右的两个四棱锥的体积相等，两个三棱锥的体积也相等，于是两部分体积相等．当然此题还有其他的分割方法，比如分成一个三棱柱和一个三棱锥等，也同样好证．二、来自正方体的截体例2 如图2，已知多面体ABC DEFG -中，AB AC AD ，，两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，2AB AD DC ===，1AC EF ==，则该多面体的体积为（）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8解法一（割）：如图3，过点C 作CH DG ⊥于H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三棱柱BEF CHG -．于是所求几何体的体积为：DEH BEF V S AD S DE =⨯+⨯△△11212212422⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法二（补）：如图4，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半．于是所求几何体的体积为31242V =⨯=．三、来自圆柱的截体例3 如图5，如图5，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的最长侧面母线长为4，最短侧面母线长为1，且圆柱底面半径长为2，则该几何体的体积等于_______．解法一（割）：如图6，该几何体的体积等于下面的圆柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和．下面的圆柱的高就是该几何体的最短侧面母线长1，而上面的圆柱的高为3．于是所求几何体的体积为221π212310π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=．解法二（补）：如图7，将一个与已知的几何体完全相同的几何体，与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱，那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半．于是21π2510π2V =⨯⨯⨯=．。

用割补法巧解一类几何题

用割补法巧解一类几何题大家都知道，几何的研究和解决能力对于学习数学、物理学和其他科学等学科至关重要。

几何是数学的一个重要分支，它的研究可以让我们更熟悉数学的结构和定律，并且可以应用到实际生活中，这也是这门课程之所以受欢迎的原因。

几何有许多种类的题目，考生在解决这些题目时，可以使用不同的方法。

其中最常见的方法之一就是割补法，这种方法可以把一个几何题目分解为两个或多个小问题，相互补充和解决，以达到解决整个问题的目的。

割补法是一种有效的解决几何题目的方法，它可以使用较少的步骤来解决复杂的几何题目，这样可以减少解决题目的时间，提高解题的效率。

割补法是一种有效的几何解答技术，它基本上是一个分解法。

在割补法中，可以先把一个几何题目分解为几个小问题，然后再把小问题按照特定的顺序进行解答，最终形成几何题目的解。

尤其是有些复杂的几何题目，如果用普通的解法分析，可能需要很长时间，而采用割补法可以把复杂的几何问题简单化，可以有效减少解决几何问题的时间。

例如，有一道几何习题：求梯形ABCD的面积，梯形ABCD的两条对角线AB和CD的长度分别为4cm和6cm，边AB和边CD的中点为E 点。

使用割补法，把此梯形分为两个三角形，即三角形ABE和CDE，其中三角形ABE的面积为AE×BE÷2，其中AE和BE分别为AB边上的中线和半径，它们的乘积再除以2，即为三角形ABE的面积。

三角形CDE的面积同理，其面积为CE×DE÷2。

把三角形ABE和CDE的面积和，即为梯形ABCD的面积。

总之，割补法在解决几何题目时拥有很强的灵活性，可以有效的利用简单的步骤解决复杂的几何题目，也可以把一些复杂的问题分解为更容易理解的子问题，以便更好的理解几何题目背后的一切。

因此，割补法为学习几何提供了一种有效、可靠的方法，是解决几何题目的一种重要手段，值得我们深入学习和研究。

几何4个园割补法例题解析

几何4个园割补法例题解析篇一：几何学中的园割补法是一种解决几何问题的常用方法。

它基于一个简单的观察：如果将一个圆割成几块，并且能够重新拼接成一个完整的圆，那么这些割开的部分就是互补的。

下面我们来看几个关于园割补法的例题解析。

例题1：已知圆O的半径为r，线段AB是圆O上的一条弦，且垂直于直径CD，证明线段AB的长度恒定。

解析：首先连接OC和OD，将圆O割成两个部分。

我们可以发现，当弦AB垂直于直径CD时，弧AC和弧BD是互补的。

因此，当弦AB垂直于直径CD时，弧AC 的长度等于弧BD的长度。

由于弧AC和弧BD的长度与弧上的角度成正比，所以当弦AB垂直于直径CD时，角ACD的度数等于角BCD的度数。

再考虑三角形ACD和三角形BCD，它们有一个公共边CD和一个共同的角ACD/BCD。

根据正弦定理，我们可以得到：sin(ACD) = sin(BCD)因为ACD和BCD的度数相等，所以它们的正弦值也相等。

由于两个角的正弦值相等，我们可以得出三角形ACD和三角形BCD的高分别相等，即线段AD和线段BC 的长度相等。

因此，线段AB的长度恒定。

例题2：已知圆O的半径为r，弦MN与直径CD垂直，并且与直径CD的交点为E，证明弦MN的长度恒定。

解析：同样地，我们将圆O割成两个部分。

由于弦MN与直径CD垂直，弧ME和弧NE是互补的。

因此，当弦MN与直径CD垂直时，弧ME的长度等于弧NE的长度。

同样地，根据弧的长度与角度成正比的关系，我们可以得出弧ME和弧NE的度数相等。

考虑三角形MCE和三角形NCE，它们有一个公共边CE和一个共同的角MEC/NEC。

根据正弦定理，我们可以得到：sin(MEC) = sin(NEC)因为MEC和NEC的度数相等，所以它们的正弦值也相等。

由于两个角的正弦值相等，我们可以推断出三角形MCE和三角形NCE的高分别相等，即线段ME和线段NE的长度相等。

因此，弦MN的长度恒定。

园割补法是解决几何问题的一种简单而有效的方法。

初中几何题解题技巧(带例题)

初中几何题解题技巧在小学阶段，我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。

在计算几何图形面积时，除了能正确运用面积计算公式外，还需要掌握一定的解题技巧。

一、割补法割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。

例1如图1，已知正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：如图2所示，连接正方形的对角线，可以将阴影I分割成I1和I2两部分，然后将阴影I1移至空白I1′处，将阴影I2移至空白I2′处，这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。

要求阴影部分的面积，只要求出这个等腰直角三角形的面积即可，列式为：6×6÷2＝18（平方厘米）。

练一练1：如图3，已知AB＝BC＝4厘米，求阴影部分的面积。

二、平移法平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。

例2如图4，已知长方形的长是12厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：如图5所示，连结长方形两条长的中点，把阴影部分分成左右两部分，然后把左边的阴影部分向右平移至空白处，这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。

要求阴影部分的面积，只要求出这个正方形的面积，列式为：6×6＝36（平方厘米）。

练一练2：如图6，求阴影部分的面积（单位：分米）。

三、旋转法旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针（或逆时针）方向转动一定的角度，使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。

例3如图7，已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝20厘米，D是AB的中点，扇形DAE和DBF都是圆的，求阴影部分的面积。

分析与解：如图8所示，把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后，扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆，两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形，要求阴影部分的面积，只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可，列式为：3.14×（20÷2）2÷2－（20÷2）2÷2＝107（平方厘米）。

初中数学割补法例题

割补法例题例1如图所示是一个长方形．（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；（2）若x=2，求S的值．分析：由于阴影部分不规则，所以可考虑利用割补法，用长方形的面积减去两个三角形的面积，即可表示出阴影部分面积，然后代入数据进行计算。

解：（1）S阴影部分=S长方形-S三角形ABC-S三角形DEF=1/2×6-12×1/2×6-1/2×6×（6-x）=72-36-18+3x=18+3x；（2）当x=2时，S=18+3×2=24．当所求图形为不规则图形时，需要利用割补法，将其转化为常见几何图形。

比如例题2将阴影部分补全为矩形进行计算，也可以分割成两个三角形，连接EC，将其分解为△AEC和△CEF，两个三角形都是规则三角形，可以直接选择面积公式进行计算。

例2如图所示，三个圆的半径都是10厘米，三个圆两两相交于圆心，求三块阴影部分的面积之和。

看看这三块阴影，每一块都不好计算。

好在题目看多了，就知道还是有套路，八成要把这些散的拼到一块儿去。

第一步很容易想到，把圆O1和圆O2重合的阴影部分移到三个圆重合的部分，可以得到如下的图形：现在三块阴影部分连在了一起，但是还是不规则。

在三圆重合部分凹了一块进去，相当于少了两个弓形。

而在圆O3里又凸出了两个弓形。

那凹进去的部分和凸出的部分会不会正好相等呢？要证明相等是比较容易的，这几个弓形都是全等的等边三角形对应的弓形。

所以，把凸出的部分移到凹进去的部分，正好可以填满，得到下图：这个阴影部分是一个以O3为圆心的半圆，面积等于3.14×10×10÷2=157平方厘米。

这样做题目的方法，一般叫做割补法，我觉得还是很形象的。

就是出题老师把一块大的阴影面积割成几块，扔得到处都是，让你去拣回来，再补成整块。