齿轮渐开线方程讲解
渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程及精确建模
渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程及精确建模一、引言在机械设计领域中，渐开线齿轮被广泛应用于传动装置中。
它具有传动平稳、传动比准确、噪音小等优点，因此备受青睐。
为了更深入地了解渐开线齿轮，我们需要探索其完整齿廓曲线方程及精确建模。
二、了解渐开线齿轮1.渐开线齿轮的概念渐开线齿轮是一种特殊的齿轮，其齿廓曲线定义为齿廓曲线上任意一点到齿轮轴线的距离，均等于该点切线方向与齿轮轴线之间的夹角的正切值乘以该点到轴线的距离。
这种设计使得渐开线齿轮在传动过程中具有更加稳定的性能。
2.渐开线齿轮的应用渐开线齿轮被广泛应用于各种机械传动装置中，如汽车变速箱、工业机械设备等。
其传动平稳、传动比准确的特点，使其在高速、大扭矩传动系统中具有重要的地位。
对其完整齿廓曲线方程及精确建模的研究具有重要意义。
三、渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程1.齿廓曲线方程的推导渐开线齿轮的完整齿廓曲线是由渐开线和圆弧段组成的，因此其完整齿廓曲线方程可以分段推导。
在渐开线段上，齿廓曲线可以表示为直线段，而在圆弧段上，齿廓曲线可以表示为圆弧段。
将两者组合起来，即可得到渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程。
2.完整齿廓曲线方程的数学表达根据上述推导过程，我们可以得到渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程，该方程包含了渐开线段和圆弧段的数学表达式。
这个方程的推导过程相对复杂，但是对于深入理解渐开线齿轮的齿廓曲线具有重要意义。
四、渐开线齿轮的精确建模1.建立渐开线齿轮的三维模型在实际应用中，我们需要对渐开线齿轮进行精确建模。
建立渐开线齿轮的三维模型是一个复杂而重要的工作，需要结合完整齿廓曲线方程，使用CAD软件进行精确建模。
2.精确建模的意义精确建模能够帮助工程师更全面、准确地了解渐开线齿轮的结构和性能特点，有助于优化设计，提高传动效率和可靠性。
五、个人观点和理解对于渐开线齿轮的研究，我深刻地认识到它在机械设计中的重要性。
作为传动装置的核心部件，渐开线齿轮的完整齿廓曲线方程及精确建模对于提高机械传动系统的性能至关重要。
齿轮渐开线方程公式
齿轮渐开线方程
两个方程如下：
方程一
angle=t*45
x=r*cos(angle)+pi*r*angle*sin(angle)/180
y=r*sin(angle)-pi*r*angle*cos(angle)/180
z=0
方程二
afa=60*t
x=r*cos(afa)+pi*r*afa/180 * sin(afa)
y=r*sin(afa)-pi*r*afa/180 * cos(afa)
z=0
问：在两个方程中angle=t*45、afa=60*t是干什么用的，是不是调整“45、60”数值来调整渐开线的长度，但渐开线也就是齿轮形状是不变的，改变的只是渐开线的延伸长度：假如数值设置较小，可能出现渐开线无法与齿顶圆相交时改变数值后可以使其相交，但渐开线的形状不变。
答: t是proe中的系统变量表示从0到1的这么一个过程，t*45 意思就是说渐开线的展角为从0到45度，角度的大小只是决定了渐开线的长度，与其形状是没有关系的。
渐开线标准直齿轮几何尺寸计算公式
渐开线标准直齿轮几何尺寸计算公式渐开线标准直齿轮几何尺寸计算公式基本参数名称符号公式分度圆直径 d 齿顶高 h a齿根高 h f 全齿高 h 齿顶圆直径 d a (参照注释1) 齿根圆直径 d f (参照注释1) 基圆直径 d b 齿距 p齿厚 s槽宽 e中心距 a (参照注释1) 顶隙 c基圆齿距 p b (参照注释2) 法向齿距 p n注释:1、上面的符号用于外齿轮，下面的符号用于内齿轮;中心距计算公式上面符号用于外啮合齿轮传动,下面符号用于内啮合齿轮传动。
2、因为，所以。
齿轮基本参数:螺纹计算公式1、齿数Z闭式齿轮传动一般转速较高，为了提高传动的平稳性，减小冲击振动，以齿数多一些为好，小一些为好，小齿轮的齿数可取为z1=20~40。
开式(半开式)齿轮传动，由于轮齿主要为磨损失效，为使齿轮不致过小，故小齿轮不亦选用过多的齿数，一般可取z1=17~20。
为使齿轮免于根切，对于α=20o的标准支持圆柱齿轮，应取z1?17。
Z2=u?z1。
2、压力角α rb=rcosα=1/2mzcosα在两齿轮节圆相切点P处，两齿廓曲线的公法线(即齿廓的受力方向)与两节圆的公切线(即P点处的瞬时运动方向)所夹的锐角称为压力角，也称啮合角。
对单个齿轮即为齿形角。
标准齿轮的压力角一般为20”。
在某些场合也有采用α,14.5? 、15? 、22.50?及25?等情况。
3、模数m=p/ π齿轮的分度圆是设计、计算齿轮各部分尺寸的基准，而齿轮分度圆的周长,πd,z p模数m是决定齿轮尺寸的一个基本参数。
齿数相同的齿轮模数大，则其尺寸也大。
4、齿顶高系数和顶隙系数—h*a 、C*两齿轮啮合时，总是一个齿轮的齿顶进入另一个齿轮的齿根，为了防止热膨胀顶死和具有储成润滑油的空间，要求齿根高大于齿顶高。
为次引入了齿顶高系数和顶隙系数。
正常齿:h*a =1; C*=0.25 短齿:h*a =0.8; C*=0.3一般的直齿圆柱齿轮,啮合的条件是:模数相等,压力角相等一、 60?牙型的外螺纹中径计算及公差(国标GB 197/196)a. 中径基本尺寸计算:螺纹中径的基本尺寸=螺纹大径-螺距×系数值公式表示:d/D-P×0.6495例:外螺纹M8螺纹中径的计算8-1.25×0.6495=8-0.8119?7.188b.常用的6h外螺纹中径公差(以螺距为基准)上限值为”0”下限值为P0.8-0.095 P1.00-0.112 P1.25-0.118 P1.5-0.132 P1.75-0.150 P2.0-0.16 P2.5-0.17上限计算公式即基本尺寸,下限值计算公式d2-hes-Td2即中径基本尺寸-偏差-公差M8的6h级中径公差值:上限值7.188 下限值:7.188-0.118=7.07C常用的6g级外螺纹中径基本偏差: (以螺距为基准)P 0.80-0.024 P 1.00-0.026 P1.25-0.028 P1.5-0.032P1.75-0.034 P2-0.038 P2.5-0.042 上限值计算公式d2-ges即基本尺寸-偏差下限值计算公式d2-ges-Td2即基本尺寸-偏差-公差例M8的6g级中径公差值:上限值7.188-0.028=7.16下限值:7.188-0.028-0.118=7.042 注:?以上的螺纹公差是以粗牙为准,对细牙的螺纹公差相应有些变化,但均只是公差变大,所以按此控制不会越出规范界限,故在上述中未一一标出.?螺纹的光杆坯径尺寸在生产实际中根据设计要求的精度和螺纹加工设备的挤压力的不同而相应比设计螺纹中径尺寸加大0.04—0.08之间,为螺纹光杆坯径值,例我们公司的M8外螺纹6g级的螺纹光杆坯径实在7.08—7.13即在此范围.?考虑到生产过程的需要外螺纹在实际生产的未进行热处理和表面处理的中径控制下限应尽量保持在6h级为准二、 60?内螺纹中径计算及公差(GB 197 /196)a. 6H级螺纹中径公差(以螺距为基准)上限值:P0.8+0.125 P1.00+0.150 P1.25+0.16 P1.5+0.180P1.25+0.00 P2.0+0.212 P2.5+0.224 下限值为”0”,上限值计算公式2+TD2即基本尺寸+公差例:M8-6H内螺纹中径为:7.188+0.160=7.348 上限值:7.188为下限值b. 内螺纹的中径基本尺寸计算公式与外螺纹相同即D2=D-P×0.6495即内螺纹中径螺纹大径-螺距×系数值c. 6G级螺纹中径基本偏差E1(以螺距为基准)P0.8+0.024 P1.00+0.026 P1.25+0.028 P1.5+0.032P1.75+0.034 P1.00+0.026 P2.5+0.042例:M8 6G级内螺纹中径上限值:7.188+0.026+0.16=7.374下限值:7.188+0.026=7.214上限值公式2+GE1+TD2即中径基本尺寸+偏差+公差下限值公式2+GE1即中径尺寸+偏差三、外螺纹大径的计算及公差(GB 197/196)a. 外螺纹的6h大径上限值即螺纹直径值例M8为φ8.00上限值公差为”0”b. 外螺纹的6h级大径下限值公差(以螺距为基准)P0.8-0.15 P1.00-0.18 P1.25-0.212 P1.5-0.236 P1.75-0.265P2.0-0.28 P2.5-0.335大径下限计算公式:d-Td 即螺纹大径基本尺寸-公差例:M8外螺纹6h大径尺寸:上限为φ8,下限为φ8-0.212=φ7.788c. 外螺纹6g级大径的计算与公差6g级外螺纹的基准偏差(以螺距为基准)P0.8-0.024 P1.00-0.026 P1.25-0.028 P1.5-0.032 P1.25-0.024 P1.75 –0.034 P2.0-0.038 P2.5-0.042上限计算公式 d-ges 即螺纹大径基本尺寸-基准偏差下限计算公式 d-ges,Td 即螺纹大径基本尺寸-基准偏差-公差例: M8 外螺纹6g级大径上限值φ8-0.028=φ7.972下限值φ8-0.028-0.212=φ7.76注:?螺纹的大径是由螺纹光杆坯径及搓丝板/滚丝轮的牙型磨损程度来决定的,而且其数值在同样毛坯及螺纹加工工具的基础上与螺纹中径成反比出现即中径小则大径大,反之中径大则大径小.?对需进行热处理和表面处理等加工的零件,考虑到加工过程的关系实际生产时应将螺纹大径控制在6h级的下限值加0.04mm以上,如M8的外螺纹在搓(滚)丝的大径应保证在φ7.83以上和7.95以下为宜.四、内螺纹小径的计算与公差a. 内螺纹小径的基本尺寸计算(D1)径基本尺寸=内螺纹基本尺寸-螺距×系数例:内螺纹M8的小径基本尺寸 8-1.25×1.0825=6.646875?6.647b. 内螺纹6H级的小径公差(以螺距为基准)及小径值计算P0.8 +0. 2 P1.0 +0. 236 P1.25 +0.265 P1.5 +0.3 P1.75 +0.335P2.0 +0.375 P2.5 +0.48内螺纹6H级的下限偏差公式D1+HE1即内螺纹小径基本尺寸+偏差注:6H级的下偏值为“0”内螺纹6H级的上限值计算公式=D1+HE1+TD1即内螺纹小径基本尺寸+偏差+公差例:6H级M8内螺纹小径的上限值 6.647+0=6.6476H级M8内螺纹小径的下限值 6.647+0+0.265=6.912c. 内螺纹6G级的小径基本偏差(以螺距为基准)及小径值计算P0.8 +0.024 P1.0 +0.026 P1.25 +0.028 P1.5 +0.032 P1.75 +0.034P2.0 +0.038 P2.5 +0.042内螺纹6G级的小径下限值公式=D1+GE1即内螺纹基本尺寸+偏差例: 6G级M8内螺纹小径的下限值 6.647+0.028=6.6756G级M8内螺纹小径的上限值公式D1+GE1+TD1即内螺纹基本尺寸+偏差+公差例: 6G级M8内螺纹小径的上限值是6.647+0.028+0.265=6.94注:?内螺纹的牙高直接关系到内螺纹的承载力矩的大小,故在毛坯生产中应尽量在其6H级上限值以内?在内螺纹的加工过程中,内螺纹小径越小会给加工具——丝锥的使用效益有所影响.从使用的角度讲是小径越小越好,但综合考虑时一般采用小径的在中限至上限值之间,如果是铸铁或铝件时应采用小径的下限值至中限值之间 ?内螺纹6G级的小径在毛坯生产中可按6H级执行,其精度等级主要考虑螺纹中径的镀层,故只在螺纹加工时考虑丝锥的中径尺寸而不必考虑光孔的小径。
齿轮渐开线方程图解
齿轮渐开线方程渐开线的形成原理：渐开线就像一个有破断点的圆形展开成一条直线的过程中，圆上的破断点运动的轨迹，如图所示，从破断点A展平到K点，运动轨迹AK就是渐开线的一段，继续展平可至B点或更远。
随着ω不断增大，渐开线曲率会越来越小，渐开线会越来越平直，如图所示。
渐开线方程的推理过程：如图所示，圆O为渐开线AB的基圆，半径为Rb,K为渐开线AB上的任一点；展平段KN为渐开线AB的发生线。
根据渐开线形成的原理可知，NO⊥NK，NK= N⌒A, ONK构成一个直角三角形。
以下过程将滚动角α（rad）作为已知变量进行推导：根据渐开线的形成原理可得N⌒A = NK，圆心角ω所对应的弧长：N⌒A =Rb*ω* PI /180, R=Rb/COS(α)。
先计算出OK与OX的夹角θ，根据渐开线函数公式θ=TAN(α)-α。
因为TAN(α)是N⌒A与Rb之比，相当于弧度值，所以此时α应换算为弧度值。
用PRO/E绘制方程曲线时，应将其转换为十进制角度。
即：θ=TAN(α)*180/PI-α，在PRO/E极坐标表示的方程中，θ用THETA表示。
A. 设α为压力角参数，将α用个人习惯的字母符号代替，如FAI。
设定一个参数值，如45°，即可写成：1. 压力角为参数“极坐标”表示的渐开线方程：FAI=T*45Rb=DB/2R=Rb/COS(FAI)THETA=TAN(FAI)*180/PI-FAIZ=0以上方程式是以压力角∠α作为变量参数。
若想使渐开线的长度控制在齿轮外径DW以内，就必须使渐开线K点与齿轮外径DW的边缘共线约束，可用∠α来控制。
因为齿轮的外径等于2*R=DW，基圆直径等于2*Rd=DB，渐开线K点与R的端点重合。
所以∠α应等于DB/DW的反余弦函数，即：∠α=ACOS(DB/DW)，此角就可使渐开线K点落在齿顶圆边缘的位置。
将其作为变量代入方程，即可写成：2. 齿顶圆压力角为参数控制的“极坐标”表示的渐开线方程A：以ACOS(DB/DW)作为已知变量进行推导，方程如下：FAI=T*ACOS(DB/DW)Rb=DB/2R=Rb/COS(FAI)THETA=TAN(FAI)*180/PI-FAIZ=0如果方程式是以滚角∠ω作为变量参数。
creo齿轮渐开线曲线方程
creo齿轮渐开线曲线方程摘要：1.Creo 齿轮渐开线曲线方程概述2.渐开线曲线的定义及特点3.Creo 软件中齿轮参数化设计的流程4.渐开线曲线方程在Creo 中的应用5.参数化设计对齿轮制造的重要性正文：一、Creo 齿轮渐开线曲线方程概述Creo 是一款由PTC 公司推出的计算机辅助设计（CAD）软件，广泛应用于各类工程领域。
在机械制造领域，Creo 可以进行参数化设计，使得设计过程更加高效、精确。
本文将详细介绍如何在Creo 中利用渐开线曲线方程进行齿轮参数化设计。
二、渐开线曲线的定义及特点渐开线曲线，又称为渐变线曲线，是一种在平面上随着参数变化而逐渐展开的曲线。
在齿轮设计中，渐开线曲线常用于描述齿轮齿廓的形状，具有以下特点：1.齿廓曲线的形状取决于基圆的大小。
2.具有角速不变的优点，即在齿轮啮合过程中，齿轮的角速度保持不变。
三、Creo 软件中齿轮参数化设计的流程在Creo 中进行齿轮参数化设计，需要遵循以下步骤：1.创建齿轮的基本参数，包括齿数、模数、压力角等。
2.绘制齿轮的渐开线曲线，可以使用Creo 中的曲线命令，通过调整参数来控制曲线的形状。
3.利用渐开线曲线方程，生成齿轮的齿廓曲线。
4.根据齿廓曲线，创建齿轮的三维模型。
四、渐开线曲线方程在Creo 中的应用在Creo 中，渐开线曲线方程通常用于齿轮参数化设计中的齿廓曲线生成。
通过调整方程中的参数，可以控制齿廓曲线的形状，从而满足不同设计需求。
五、参数化设计对齿轮制造的重要性参数化设计在齿轮制造中的应用，可以提高设计效率和精度，降低生产成本。
通过参数化设计，可以快速生成齿轮的三维模型，减少设计过程中的重复劳动。
同时，参数化设计可以确保齿轮的设计和制造满足相关标准和要求，提高产品质量。
渐开线齿轮详解
渐开线齿轮参数测定
五、思考题
1.决定齿廓形状的基本参数有哪些？ ` 2.测量公法线长度时，卡尺的卡脚若放在渐开线齿廓 的不同位置上，对所测定的公法线长度Wk和Wk+1有无影 响？为什么？ 3.在测量齿根圆直径df时，对偶数齿轮和奇数齿轮在 测量方法上有什么不同？
部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
W k m [2 .95 (k 2 0 .5 )1 0 .0z 1 ] 4 kz0.50.11z10.5 9
渐开线齿轮参数测定
W k(k1)P bSb W k1kbPSb
W k1W kPb
P b P co s m cos
m P b W k 1W k cos cos 式中的α可能是20°，也可能是15°(我国常用的是20°)。
感谢您的关注！
x(W k 'W k)/2m si n
若x>0，则被测齿轮为正变位齿轮。 若x<0，则被测齿轮为负变位齿轮。
渐开线齿轮参数测定
3.齿顶高系数ha*、顶隙系数c*测定
通过测量齿根圆直径关系知：
h f m h a * c * x d d f/2
分别用15°和20°代入上式，算出两个模数，其模数最接近标 准模数值的一组m和α，即为所求齿轮的模数和压力角。
渐开线齿轮参数测定
2.变位系数的测定
变位直齿圆柱齿轮公法线长度的计算公式为：
W k' W k2xm si n
若 Wk' Wk ，则被测齿轮为标准齿轮。
若 Wk' Wk ，则被测齿轮为变位齿轮。 变位齿轮的变位系数为：
渐开线齿轮 参数测定
渐开线齿轮参数测定
一、实验目的
1.培养学生运用所学知识解决齿轮参数测定这一 生产实际问题的动手能力 。
渐开线方程
α
标准齿轮为20°
模数
m
m=p／π
齿厚
s
s=p／2
齿槽宽
e
e=p／2
齿距
p
p=mπ
基圆齿距
pb
pb=pcosα
齿顶高
ha
ha=ha*m=m
齿根高
hf
hf=（ha*+c*）m=1.25m
齿高
h
h=ha+hf=2.25m
分度圆直径
d
d=mz
齿顶圆直径
da
da=m(z+2)
齿根圆直径
渐开线方程为：
x=r×cos(θ+α)+(θ+α)×r×sin(θ+α)
y=r×sin(θ+α)-(θ+α)×r×cos(θ+α)
z=0
式中，r为基圆半径；θ为展角，其单位为弧度
展角θ和压力角α之间的关系称为渐开线函数
θ=inv(α)=tan(α)-α
式中，inv为渐开线involute的缩写
外啮合标准直径圆柱齿轮的几何尺寸的计算公式
df
df=d-2hf=m(z-2.5)
基圆直径
db
db=dcosα
标准中心距
a
a=m（z1+z2）/2
齿数
Z
举例：
模数m：4
齿数z：10
压力角：20
D=mz=40
Da=48
Df=30
为展角其单位为弧度invtan式中inv为渐开线involute的缩写外啮合标准直径圆柱齿轮的几何尺寸的计算公式代号计算公式齿形角标准齿轮为20模数pbpbhaha齿根高hfhfhahahf225m分度圆直径mz齿顶圆直径dadamz2齿根圆直径dfdfd2hfmz25基圆直径dbdbcos标准中心距举例
渐开线方程式推导
渐开线齿轮方程
下图为渐开线在极坐标下的推导：所以渐开线的圆柱座标方程为：R=Rb*sqrt(1+ω^2)θ=ω-atan(ω)注意此方程的角度为弧度制在Pro/E中若以Datum Curve=>From Equation绘出渐开线的话，应该将ω转成十进制。
于是有:A= t * 45 ----假设滚动角ω为0-45度，要留意滚动角也就是以后齿轮的压力角了R= Rb * sqrt( 1+ ( A*pi/180)^2 )theta = A- atan ( A* pi/180 )z = 0上面是推导上最简单的方法，下面是输入最省事的方法。
m=3（模数）z=20（齿数）alfa=20（压力角）rb=m*z*cos(alfa)/2（基圆半径）ang(angle简写，尽量用自己能看懂的简写命名变量，所有规则与C语言一样)=t*90（基圆半径生成角度即第一图中的w）s=pi*rb*t/2(指得是弧BC，也等于直线AB，约分之前为s=(pi*2*rb)*(ang/360))xc=rb*cos(ang)（）yc=rb*sin(ang)（以B为基点，确定渐开线上点A，线就是点集，而w是按角度增加变化的，不同角度对应不同的点，整个角度变化完后，所有点生成完毕，集合成为所描绘的曲线。
我们只需确定A相对与B的横纵坐标的增量与W间规律。
如图所标出的两个角度，推出横坐标增量为+s*sin(ang))注意为正。
纵坐标增量为-s*cos(ang)注意为负）x=xc+s*sin(ang)（最终的A点的横坐标）y=yc-s*cos(ang)（最终的A点的横坐标）z=0（平面上故z=0）将上程序合并一下为：m=3z=20alfa=20rb=m*z*cos(alfa)/2ang=t*90s=pi*rb*t/2x= rb*cos(ang)+s*sin(ang)y= rb*sin(ang)-s*cos(ang)z=0下面是进入输入程序界面的介绍/* For cartesian coordinate system（笛卡尔坐标系）, enter parametric equation（输入坐标方程）/* in terms of t (which will vary from 0 to 1) for x, y and z （这里的意思是t是一个软件已设好的变量，范围是0 ~ 1如：x=t*2，表示X从0~2变化。
渐开线齿轮几何参数学习总结
渐开线齿轮几何参数学习总结一．渐开线1.1 渐开线的形成一条动直线（发生线）沿着一个固定圆（基圆）作纯滚动时，和该动直线固连点的轨迹线称渐开线。
由图一可知，固连点在动直线上的位置可分为A ，B ，C 三种情况。
A 点的轨迹线称缩短渐开线；C 点的渐开线称延伸渐开线；若C 点与基圆圆心重合，则延伸渐开线演变成了阿基米德螺旋线；B 点的轨迹线称圆的渐开线，简称渐开线。
三种渐开线总称广义渐开线。
A BC发生线基圆图一 基圆的形成现在工业上常用的渐开线齿轮齿形是圆的渐开线。
如未特别说明，下面提到的渐开线均指此类渐开线。
1.2 与渐开线有关的各种名称（1） 基圆—直线在其上滚动的定圆称为渐开线的基圆。
基圆的半径与直径分别用b r ，b d 表示。
（2） 发生线—沿基圆作纯滚动的直线称为渐开线的发生线（3） 压力角—渐开线齿形上任意一点K 的受力方向线与速度方向线之间的夹角称为K 点的压力角（4） 渐开角—渐开线上任意一点K 的向量半径与渐开线的起点的向量半径之间的夹角1.3 渐开线的性质（1） 发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度。
即：⌒AN KN（2） 渐开线上任一点的法线一定是基圆的切线。
（3） 同一基圆所生成的任意两条反向渐开线间的公法线处处相等。
（4） 发生线与基圆的切点N 是渐开线K 点曲率中心，而发生线NK 是渐开线上K 点的曲率半径。
渐开线离基圆越圆的部分，其曲率越小，即渐开线越平直，渐开线越靠近基圆，其曲率越大，即渐开线越弯曲，曲率半径越小。
（5） 渐开线的形状与基圆大小有关。
基圆半径相等则渐开线完全相同，基圆半径越小，则渐开线越弯曲，基圆半径越大，则渐开线越平直，基圆半径为无穷大时，则渐开线变为一条直线。
（6） 基圆内无渐开线。
A1A2B1B2N1N212图二 渐开线的公法线 1.4 渐开线的方程 (1) 渐开线的极坐标方程k k k inv k kb r kαααθα-===tan cos r（2）渐开线的直角坐标方程αθααθcos cos cos sin x b r kinv y b r ===图三1.5 基于MATLAB 的渐开线齿轮齿廓建模 （1）程序流程图：输入ra,m,z,x,alpha将每个齿形视为三部分求出每部分极角范围采用极坐标分别绘制每段齿形采用循环绘制Z个齿（2）源程序function y=getinvolute(ra,m,z,x,alpha)rb=m*z*cosd(alpha)/2;for theta=0:0.1:2*pipolar(theta,rb);endhold onalpha1=acos(rb/ra);theta1=tan(alpha1)-alpha1;for i=0:zfor alpha2=0:0.01:alpha1theta2=tan(alpha2)-alpha2;rx=rb/cos(alpha2);polar(theta2+2*i*pi/z,rx);endendhold onfaib=(pi+4*x*tand(alpha))/z+2*(tand(alpha)-alpha/180*pi); x1=ra*cos(theta1);y1=ra*sin(theta1);x2=ra*cos(faib-theta1);y2=ra*sin(faib-theta1);k=(y2-y1)/(x2-x1);b=y1-k*x1;for i=0:zfor theta3=theta1:0.001:(faib-theta1)rzx=b/(sin(theta3)-k*cos(theta3));polar(theta3+2*i*pi/z,rzx);hold onendendfor i=0:zfor alpha4=0:0.01:alpha1theta4=faib-(tan(alpha4)-alpha4);rx2=rb/cos(alpha4);polar(theta4+2*i*pi/z,rx2);endendhold onaxis tightend（3）渐开线生成实例利用程序绘制的齿数为20，齿顶圆半径为22，模数为2，变位系数为0，20的齿轮齿廓曲线如下：压力角为二．渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数及几何计算2.1 齿轮的基本参数h，径向间隙齿轮的基本参数为：齿数Z，模数m,压力角α，齿顶高系数*a系数*c，根据上述基本参数可推算出齿轮的几何尺寸。
(完整word版)渐开线齿轮
4.2 渐开线齿轮一、渐开线的形成及其特性1、渐开线齿廓的形成直线BK沿半径为r b的圆作纯滚动时，直线上任一点K 的轨迹称为该圆的渐开线。
该圆称为渐开线的基圆。
r b--- 基圆半径；BK --- 渐开线发生线；--- 渐开线上K点的展角。
A为渐开线的起始点，K为渐开线上任一点，其向径用r k表示。
渐开线齿轮的齿廓曲线是渐开线。
2、渐开线的特性1）发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度。
由于发生线BK在基圆上作纯滚动，故2）渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。
发生线BK沿基圆作纯滚动，它与基圆的切点B即为其速度瞬心，所以发生线BK即为渐开线在K点的法线。
又由于发生线恒切于基圆，故渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。
3）渐开线上离基圆愈远的部分，其曲率半径愈大，渐开线愈平直。
发生线BK与基圆的切点B是渐开线在点K的曲率中心，而线段KB是相应的曲率半径，故渐开线上离基圆愈远的部分，其曲率半径愈大，渐开线愈平直；渐开线初始点A处的曲率半径为零。
4）基圆内无渐开线。
5）渐开线的形状取决于基圆的大小。
基圆愈小，渐开线愈弯曲；基圆愈大，渐开线愈平直。
当基圆半径为无穷大时，其渐开线将成为一条直线。
二、渐开线齿廓的啮合特点一对齿轮传动，是依靠主动轮的齿廓依次推动从动轮的齿廓来实现的。
因此，要能实现预定的传动比，一个齿轮最关键的部位是轮齿的齿廓曲线。
图示为一对分别属于齿轮1和齿轮2的两条齿廓曲线G1、G2在点K 啮合接触的情况。
齿廓曲线G1绕O1点转动,G2绕O2 转动。
过K点所作的两齿廓的公法线nn与连心线O1O2 相交于点C。
由三心定理知，点C是两齿廓的相对速度瞬心,齿廓曲线G1和齿廓曲线G2在该点有相同的速度：由此可得我们称点C为两齿廓的啮合节点，简称节点。
齿廓啮合基本定律：两齿廓在任一位置啮合接触时，过接触点所作的两齿廓的公法线必通过节点C，它们的传动比等于连心线O1O2被节点C所分成的两条线段的反比。
齿轮渐开线公式推导过程
2012-2-27最近我在研究渐开线齿轮的参数化建模问题。
经过一番搜索，在网上发现了一篇文章中关于用CATIA V5参数化建模的齿轮参数列表和计算公式。
序号参数类型或单位公式描述1 a 角度(deg) 标准值：20deg 压力角：（10deg≤a≤20deg）2 m 长度(mm) ——模数3 z 整数——齿数（5≤z≤200）4 p 长度(mm) m * π齿距5 ha 长度(mm) m 齿顶高=齿顶到分度圆的高度6 hf 长度(mm) if m > ，hf = m * ；else hf = m *齿根高=齿根到分度圆的深度7 rp 长度(mm) m * z / 2 分度圆半径8 ra 长度(mm) rp + ha 齿顶圆半径9 rf 长度(mm) rp - hf 齿根圆半径10 rb 长度(mm) rp * cos( a ) 基圆半径11 rr 长度(mm) m * 齿根圆角半径12 t 实数0≤t≤1渐开线变量13 xd 长度(mm) rb * ( cos(t * π) +sin(t * π) * t * π ) 基于变量t的齿廓渐开线X坐标14 yd 长度(mm) rb * ( sin(t * π) -cos(t * π) * t *π )基于变量t的齿廓渐开线X坐标15 b 角度(deg) ——斜齿轮的分度圆螺旋角16 L 长度(mm) ——齿轮的厚度此表来自网络，多谢网友分享。
（使用时个别地方还是要参考一下机械设计手册）我觉得，干咱们这一行的不仅要知其然，更要知其所以然。
下面我将渐开线的坐标公式做如下推导：渐开线的形成及其性质：如图1所示，当直线BK沿半径为br的圆周作纯滚动时，直线上任一点K的轨迹»AK就是该圆的渐开线。
这个圆称为渐开线的基圆，半径b r 称为基圆半径，直线BK 称为渐开线的发生线，k θ=AOK ∠称为渐开线上点K 的展角。
由渐开线的形成过程，可得渐开线的性质如下：（1） 发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过圆弧的长度，即»KB AB =。
渐开线齿轮的画法
UG4.0中渐开线齿轮（花键）的画法利用UG中Curve模块和Expression模块直接绘制法：首先圆的渐开线公式为x=a(cost+t*sint)y=a(sint-t*cost)其中a为基圆半径，t为角度（弧度制）。
利用Expression将其转化为UG能识别的表达式形式。
这样就可以通过Curve中的Law Curve功能绘制渐开线。
例如：要绘制一个齿轮，参数如下分度圆直径=m*z=4×24=96齿顶圆直径=4×（24+2）=104齿根圆直径=4×（24-2.5）=86基圆直径=4×24×cos20=90.2分度圆齿槽角=360÷24÷2=7.5 方法：1、以齿顶圆直径绘制一圆，拉伸35厚。
2、建立表达式如下其中a为渐开线起始角度，b为终止角度，r为基圆半径，t为系统变量可取0——1不等。
u为弧度转换。
xt是变量x的函数表达式，yt是变量y的函数表达式。
3、插入曲线-规律曲线-【根据方程f(x):定义x、定义y；根据恒定值定义z，这里z坐标的变化规律为恒定值0（可根据情况任意确定）】，最后点确定。
生成渐开线如下图：4、插入曲线：分别以直径96（分度圆直径）、86（齿根圆直径）、105（比齿顶圆直径稍大）绘制圆。
再插入直线:以坐标原点和渐开线与分度圆的交点作直线。
最后通过<变换>将直线绕Z轴旋转复制-3.75度（齿槽角一半），将渐开线绕它镜像复制。
如图5、通过拉伸，选取刚绘制的齿槽截面，对实体进行裁剪，如图6、创建全部轮齿：插入/关联复制/实例/环形阵列，选取刚才建立的齿槽特征为对象，以15度为阵列角度，复制24个（包含原有的一个）。
如图，。
渐开线方程的推导
渐开线方程推导性质1：渐开线的形状仅取决于基圆；Propertyof the involute：推论1：齿轮的渐开线形状仅取决于m、z、a，即模数、齿数、压力角；性质2：基圆内无渐开线；性质3：发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的长度，即KN AN；性质4：渐开线上任一点的法线恒与基圆相切；Illumination：图1渐开线方程推导青色带箭头的线――构成正交直角坐标系，O点为坐标原点；图中，绿色的圆――基圆、即渐开线发生圆，KN为渐开线发生线，基圆半径为rb；蓝色曲线AKB――渐开线，A为始端，B为终端，K为渐开线上任一动点；蓝色直线OK――连接基圆圆心O与动点K的矢径，OK；蓝色直线KV――动点K的速度矢量KV，垂直于矢径OK；绿色直线 KN――动点 K 的法线，根据渐开线的性质 4，设法线与基圆相切于 N ，连接 NO ；法线方向即为两齿轮啮合传动时、力矢的方向 KF ；紫色直线 NQ――切点 N 向 X 轴作垂线，垂足为 Q ； 紫色直线 KP――动点 K 向直线 NQ 作垂线，垂足为 P ； Definition ：KOA 称为展角，记为 κ；NOA 称为滚动角，记为 κ ；速度矢 KV 与力矢 KF 的夹角称为压力角，记为 κ ， 即图 1 中 VKN ；BecauseVKN OKN 90AndNOK OKN 90That isNOK VKN k滚动角＝展角+压力角；Evolution in polar coordinates ：在极坐标系中，渐开线方程可写为：r k OK br / cos(κ) k kkAN r b KN k r b k tan( κ)k即，r k br / cos(κ) κ τan( κ) kEvolution in Cartesian coordinates ：在直角坐标系中，渐开线方程可写为（关键是两条紫色的辅助线，注意：KNP 90 ONQ k）：x k OQ P Ky k NQ N P ON *cos( κ) N K *sin( κ) ON *cos( κ) A N *sin( κ) br *cos( κ) br * κ * sin( κ)即，x k br *cos(κ) βr * κ* sin( κ)ON *sin( κ) N K *cos( κ) ON *sin( κ) A N *cos( κ) br *sin( κ) br * κ * cos( κ)y k br *sin( κ) βr * κ* cos( κ)Supplement ：由以上推导可得出展角、滚动角、压力角三者之间的关系：κ τan( κ)kκ τan( κ)κ κ ktan( κ) κk即， 展角 滚动角滚动角；；＝ 压力角的正切－压力角； ＝ 压力角的正切；＝ 压力角+展角；压力角的正切 ＝ 压力角+展角；注 1：本文角度单位为弧度制；注 2：图 1 中的角 a ，b ，c 分别对应正文中的 κ, κ, κ ， 即压力角，展角，滚动角。
solidworks渐开线方程式驱动齿轮画法
插入方程式驱动的曲线
式中：R*cos(20°*Pi/180°)=30*cos（pi/9）
如图填写
生成曲线如图所示
画直线后，右击选线型
选择点划线作为镜像的对称线
选镜像实体
如图所示，分别选取实体和镜像点。
修剪实体
标注分度圆上面的齿厚s=p/2=πm/2=πபைடு நூலகம்
式中m=2；
添加几何关系（约束）将红圈中两点分别重合在渐开线上。
Solidworks 2012渐开线齿轮
以模数m=2，齿数z=30，齿顶高系数ha*=1，顶隙系数c*=0.25,压力角α=20。。
（1）画分度圆D
（2）画基圆Db
双击画的第二个圆的尺寸
输入等号
点这里
输入乘号后再在方框内左键单击一下
输入压力角20后点确定
（4）齿根圆Df根据数据直接画不在赘述
（5）齿顶圆Da
注意：圆弧标注要在两个端点和分度圆弧线上依次单击一下
输入：=pi
若不进行添加几何关系，标注时将出现出现下面错误情况
（7）绘制齿根圆弧
以渐开线为起点绘制任意半径为0.5的圆弧
添加工具---几何关系---添加，令圆弧与基圆相切
剪裁多余部分
绘制另一侧圆弧
删除除了齿根圆外的尺寸和对称线
（8）拉伸
阵列，选项如图所示:
完成