完全平方数特征知识点总结
平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=5. -+2)(b a ab 4=2)(b a -6. +2)-(b a ab 4=2)(b a +灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．例2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（二）、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6 计算(2x+y-3)2（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．四、怎样熟练运用公式：熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．常见的几种变化是：1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．2、符号变化 如（－2m －7n ）（2m －7n ）变为－（2m +7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．4、系数变化 如（4m +2n ）（2m －4n ）变为2（2m +4n ）（2m －4n ）后即可用平方差公式进行计算了．（四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2+1）2·（a 2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2+1）（a 2－1）]2=（a 4－1）2=a 8－2a 4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－221）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－2101），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．即原式=（1－21）（1+21）（1－31）（1+31）×…×（1－101）（1+101）=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=2011． 有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a 2+b 2=（a +b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m +n =7，mn =－18，求m 2+n 2，m 2－mn + n 2的值．面对这样的问题就可用上述变式来解，即m 2+n 2=（m +n ）2－2mn =72－2×（－18）=49+36=85，m 2－mn + n 2= （m +n ）2－3mn =72－3×（－18）=103．下列各题，难不倒你吧？！1、若a +a 1=5，求（1）a 2+21a ，（2）（a －a 1）2的值．2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：(a ＋b)(a －b)=a 2－b 2，(a ±b)=a 2±2ab ＋b 2，(a ±b)(a 2±ab ＋b 2)=a 3±b 3．第一层次──正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用． 例1计算(－2x －y)(2x －y)．．第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用． 例2计算 简析：第一个整式1122-⎛⎝ ⎫⎭⎪可表示为11222-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。
初中数学《完全平方公式》知识点归纳
初中数学《完全平方公式》知识点归纳初中数学《完全平方公式》知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。
帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
（a b）2=a 2ab b ，（a-b）2=a -2ab b 。
（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。
（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
结构特征：1左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2左边两项符号相同时，右边各项全用“ ”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。
使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可以是数，单项式，多项式。
3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x 3)（2）(-a-b)分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原公式中的a，将(-b)看成原公式中的b，即可直接套用公式计算。
第 9 讲 完全平方数(学习指导)
第9讲完全平方数第一部分基本知识点——这是重中之重一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。
观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。
推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。
性质3：完全平方数除以3余0或1；完全平方数除以4余0或1；。
性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。
性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。
性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。
一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。
约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。
性质7：平方差公式A2－B2＝（A＋B）（A－B），其中A＋B与A－B的奇偶性相同。
第二部分学案[学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？分析：⑴两位数从10到99共90个，其中偶数90÷2＝45（个）。
⑵两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9＝54（个），其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个，伪平方数有54－6＝48个。
⑶两位数中偶数45个，伪平方数48个，伪平方数比偶数多。
[学案2] 将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？分析：⑴要使这些质数的乘积是完全平方数，那么质数必须成对出现，我们把16分成8＋8的两组，每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
二、完全平方数的等价条件：奇数个因数
注：计算一个数的因数先把这个数分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:12=2×2×3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:(2+1)×(1+1)=6个
180=2×2×3×3×5
2．完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3. 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
（二）一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
巩固、已知m，n都是自然数，且n2 126m，则n的最小值为。
四、“平方族”成员典型特征二：除以3或4只能余0或1
注：奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除
例1、形如11，111，1111，11111，…的数中有没有完全平方数？
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数，即444444……（2018个4），A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．
961、 3364、1111111、1521、 1234321、 1849、 89234
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
初中数学重点梳理：完全平方数
完全平方数知识定位完全平方数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答完全平方数问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，完全平方数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关完全平方数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的完全平方数问题。
知识梳理1、完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
2、完全平方数特征（1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
（2）除以3余0或余1；反之不成立。
（3）除以4余0或余1；反之不成立。
（4）约数个数为奇数；反之成立。
（5）奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
（6）奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
（7）两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y23、完全平方数的性质性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
平方数、奇偶性、位值原理（ABC级）.学生版
平⽅数、奇偶性、位值原理（ABC级）.学⽣版⼀、完全平⽅数常⽤性质1. 特征1.完全平⽅数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平⽅数之间不存在完全平⽅数。
3.完全平⽅数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的⾃然数是完全平⽅数。
4.若质数p 整除完全平⽅数2a ，则p 能被a 整除。
2. 性质性质1：完全平⽅数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平⽅数被3，4，5，8，16除的余数⼀定是完全平⽅数．性质3：⾃然数N 为完全平⽅数?⾃然数N 约数的个数为奇数．因为完全平⽅数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是⾃然数，N 是完全平⽅数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平⽅数的个位是6?它的⼗位是奇数．性质5：如果⼀个完全平⽅数的个位是0，则它后⾯连续的0的个数⼀定是偶数．如果⼀个完全平⽅数的个位是5，则其⼗位⼀定是2，且其百位⼀定是0，2，6中的⼀个．性质6：如果⼀个⾃然数介于两个连续的完全平⽅数之间，则它不是完全平⽅数．3. ⼀些重要的推论1.任何偶数的平⽅⼀定能被4整除；任何奇数的平⽅被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数⼀定不是完全平⽅数。
2.⼀个完全平⽅数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数⼀定不是完全平⽅数。
3.⾃然数的平⽅末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平⽅数个位数字是奇数（1，5，9）时，其⼗位上的数字必为偶数。
5.完全平⽅数个位数字是偶数（0，4）时，其⼗位上的数字必为偶数。
知识框架平⽅数、奇偶性、位值原理7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的⾃然数不是完全平⽅数；末尾只有奇数个“0”的⾃然数不是完全平⽅数；个位数字为1，4，9⽽⼗位数字为奇数的⾃然数不是完全平⽅数。
小学奥数知识点讲解：完全平方数及分数大小比较
⼩学奥数知识点讲解：完全平⽅数及分数⼤⼩⽐较 ⼩升初是孩⼦最重要的起步⽅向，我们需要关注怎样的信息才能对孩⼦的未来有帮助呢?店铺⽹⼩编告诉⼤家! ⼩学奥数知识点解析：分数⼤⼩的⽐较 基本⽅法： ①通分分⼦法：使所有分数的分⼦相同，根据同分⼦分数⼤⼩和分母的关系⽐较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数⼤⼩和分⼦的关系⽐较。
③基准数法：确定⼀个标准，使所有的分数都和它进⾏⽐较。
④分⼦和分母⼤⼩⽐较法：当分⼦和分母的差⼀定时，分⼦或分母越⼤的分数值越⼤。
⑤倍率⽐较法：当⽐较两个分⼦或分母同时变化时分数的⼤⼩，除了运⽤以上⽅法外，可以⽤同倍率的变化关系⽐较分数的⼤⼩。
(具体运⽤见同倍率变化规律) ⑥转化⽐较⽅法：把所有分数转化成⼩数(求出分数的值)后进⾏⽐较。
⑦倍数⽐较法：⽤⼀个数除以另⼀个数，结果得数和1进⾏⽐较。
⑧⼤⼩⽐较法：⽤⼀个分数减去另⼀个分数，得出的数和0⽐较。
⑨倒数⽐较法：利⽤倒数⽐较⼤⼩，然后确定原数的⼤⼩。
⑩基准数⽐较法：确定⼀个基准数，每⼀个数与基准数⽐较。
⼩学奥数知识点讲解：完全平⽅数 完全平⽅数特征： 1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成⽴。
2.除以3余0或余1;反之不成⽴。
3.除以4余0或余1;反之不成⽴。
4.约数个数为奇数;反之成⽴。
5.奇数的平⽅的⼗位数字为偶数;反之不成⽴。
6.奇数平⽅个位数字是奇数;偶数平⽅个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平⽅之间不可能再有平⽅数。
平⽅差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平⽅和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平⽅差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2。
(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
初二数学完全平方公式的知识点总结
初二数学完全平方公式的知识点总结完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解的重要公式方法。
常见错误有：①漏下了一次项②混淆公式③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2以上两个公式可合并成一个公式：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2。
(注意：后面一定是加号)上述的知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
初中数学知识点：点的坐标的性质下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。
建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。
反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对叫做点C的坐标。
初二数学完全平方公式的知识点总结
初二数学完全平方公式的知识点总结初二数学完全平方公式的知识点总结完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解的重要公式方法。
完全平方公式常见错误有：①漏下了一次项②混淆公式③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2以上两个公式可合并成一个公式：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2。
(注意：后面一定是加号)上述的知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
初中数学知识点精讲精析 完全平方公式
1·8完全平方公式1. 完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a—b）2=a2—2ab+b22．解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2+b2=(a+b)2-2ab，a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)等，则求解十分简单、明快．将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2综合，可得 (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；(a+b)2-(a-b)2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.所谓综合运用公式，就是把几个乘法公式采用某种运算合起来，得出一个派生公式，利用这个派生公式往往可以巧妙地解决一类问题．例如，把完全平方和与完全平方差公式相加则有(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)， (1)把完全平方和与完全平方差公式相减则有(a+b)2-(a-b)2=4ab (2)3．实际的计算中还有下面两个乘法公式：①多项式的平方公式利用完全平方公式计算：(a+b+c)2分析：把a+b+c中任意两项看成一项，按完全平方公式展开．解：(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc文字叙述：多项式的平方等于每一项的平方和与每两项积的二倍的代数和．②两数和与两数差的立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3文字叙述：两数和的立方等于第一个数的立方，加上第一个数的平方与第二个数积的三倍，加上第二个数的平方与第一个数积的三倍，加上第二个数的立方．1．（利用完全平方公式计算）（1）（2x-3）2【解析】（2x-3）2=（2x）2- 2·（2x）·3 + 32=4x – 12x +92．计算(1)19982-1998·3994+19972；【解析】(1)原式=19982-2·1998·1997+19972=(1998-1997)2=13．已知a+b=9，ab=14，求2a2+2b2和a3+b3的值．【解析】∵a+b=9，ab=14，∴ 2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]=2(92-2·14)=106，a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=93-3·14·9=3514．计算：(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．（课本P152第3(1)题）【解析】=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z21.23452+0.76552+2.469×0.7655(2)原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=45．已知a-b=4，ab=5，求a2+b2的值．【解析】∵(a-b)2=a2+b2-2ab，∴a2+b2=(a-b)2+2ab=42+2×5=26．6．计算(a+b+c-d)2+(b+c+d-a)2．简析本题若按一般方法，将不胜其烦，但是，若巧妙地将两个括号变形为[(b+c)+(a-d)]和[(b+c)-(a-d)]，再注意公式(1)的运用，则可简解如下：【解析】原式=[(b+c)+(a-d)]2+[(b+c)-(a-d)]2=2[(b+c)2+(a-d)2]=2a2+2b2+2c2+2d2+4bc-4ad7．a=1998x+1997，b=1998x+1998，c=1998x+1999，那么a2 +b2 +c2 -ab-bc-ca的值是______．分析：注意到所求式的2培具有完全平方公式的特征，因而先变换所求式然后应用公式计算．【解析】由已知，得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，则8．若(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=0，则x+z-2y+1999=_______．分析：注意到已知式中4(x-y)(y-z)具有完全平方公式中2ab的形式，因而在(z-x)2中添项“-y+y”，把它变形为[(z-y)+(y-x)]2，然后运用公式计算．【解析】∵(z-x)2 -4(x-y)(y-z)=[(z-y)+(y-z)]2 -4(z-y)(y-x)=(z-y)2 -2(z-y)(y-x)+(y-x)2=[(z-y)-(y-x)]2 =(x+z-2y)2 =0，∴x+z-2y=0．∴x+z-2y+1999=0+1999=1999．9．计算(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)．分析：注意到1+4=2+3这个特征，因而可先换元然后运用公式计算．【解析】原式=(x+1)(x+4)](x+2)(x+3)]=(x2 +5x+4)(x2 +5x+6)设a=x2 +5x+5，则原式=(a-1)(a+1)=a2 -1=(x2 +5x+5)2 -1=x4 +10x3 +35x2 +50x+24．说明：本解法用到了公式(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc．10．计算1.23452+0.76552+2.469×0.7655【解析】原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=411．已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，则a2+b2+c2-ab-b c-c a的值是_______．【解析】逆用完全平方公式得12．若a=19952+19952·19962+19962求证：a是一个完全平方数．（96年北京市竞赛）证明a=19952+19952×19962+19962=19952×19962+19952-1+19962+1=19952×19962+1996×1994+19962+1=19952×19962+1996(1994+1996)+1=(1995×1996)2+2·1995·1996+1=(1995×1996+1)2∴a是一个完全平方数13．计算(2x+y-3)2【解析】原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．14． (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．【解析】(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，∴xy =30故x 2+y 2=(x +y )2-2xy =102-2×30=40．(2)(x -2y )2=(x +2y )2-8xy =72-8×6=1．15． 计算(a +b +c )2+(a +b -c )2+(a -b +c )+(b -a +c )2．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a +b )2+(a -b )2=2(a 2+b 2)，因而问题容易解决．【解析】原式=[(a +b )+c ]2+[(a +b )-c ]2+[c +(a -b )]2+[c -(a -b )]2=2[(a +b )2+c 2]+2[c 2+(a -b )2]=2[(a +b )2+(a -b )2]+4c 2=4a 2+4b 2+4c 2 16．计算(2a +3b )2-2(2a +3b )(5b -4a )+(4a -5b )2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．【解析】原式=(2a +3b )2+2(2a +3b )(4a -5b )+(4a -5b )2=[(2a +3b )+(4a -5b )]2=(6a -2b )2=36a 2-24ab +4b2 17. 计算：【解析】（）14122()x y -（）22()x y z ++（）339122()（）原式··1424121222=-+()()x x y y =-+1641422x xy y （）原式22=++[()]x y z =++++()()x y x y z z 222··18．计算：【解析】=+++++x xy y xz yz z 222222=+++++x y z xy xz yz 222222（）原式340122=-()=-+40240121222××()=-+16004014=+156014=156014（）13535()()x y x y -+++（）232329422()()()a b a b a b -+-（）33322()()x y x y +-（）原式13535=+-++[()][()]x y x y =+-()3522x y =++-()32355222x x y ··=++-9302522x x y （）原式294942222=--()()a b a b =-()94222a b =-+()()92944222222a a b b ··=-+8172164224a ab b （）原式3332=+-[()()]x y x y =-()9222x y19. 【解析】20. 的值。
平方差公式与完全平方公式知识点总结
平方差公式与完全平方公式知识点总结一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2② 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③ 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤ 换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥ 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦ 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)] =2x(-2y+2z)=-4xy+4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1、已知，，求的值。
例2、已知，，求的值。
解：∵ ∴ ∴=∵，∴ 例3 已知，求的值。
解：三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”、例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b、例2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b、（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)、分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式、例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)、分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简、（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc、可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍、例6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+22xy+22x(-3)+2y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y、（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值、例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便、四、怎样熟练运用公式：熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点、常见的几种变化是：1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了、2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化如98102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了、4、系数变化如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了、（四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便、如计算（a2+1）2（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便、即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1、对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用、如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错、若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题、即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）…（1－）（1+）=… ==、有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等、用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效、如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+ n2的值、面对这样的问题就可用上述变式来解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2（－18）=49+36=85，m2－mn+ n2= （m+n）2－3mn=72－3（－18）=103、下列各题，难不倒你吧？！1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值、2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字、（答案：1、（1）23；（2）21、2、6 ）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(ab)=a22ab＋b2，(ab)(a2ab＋b2)=a3b3、第一层次──正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用、例1计算 (－2x－y)(2x－y)、、第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用、例2计算第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式、例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1、分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解、解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216、第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a ＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解分简单、明快、例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2的值、解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－214)=106，第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综合，可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷、例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)、解：原式=[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2乘法公式的使用技巧：①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
初一人教版七年级下册数学完全平方公式
初一人教版七年级下册数学完全平方公式知识点归纳总结一、完全平方公式的概念完全平方公式是数学中一种重要的恒等式，它描述了一个二次多项式如何表示为一个平方的形式。
具体地说，完全平方公式是形如a²±2ab+b²=(a±b)²的等式。
其中，a和b 是任意实数或代数式，它们可以是数字、字母、单项式或多项式。
二、完全平方公式的定义完全平方公式可以定义为：一个二次多项式，如果它可以表示为(a±b)²的形式，则称该二次多项式为完全平方公式。
其中，a和b可以是任意实数或代数式。
三、完全平方公式的性质唯一性：对于给定的a和b，完全平方公式(a±b)²是唯一的。
这意味着没有其他形式的二次多项式可以表示为完全平方。
展开性：完全平方公式可以展开为a²±2ab+b²的形式。
这是完全平方公式的一个重要性质，它允许我们将一个看似复杂的二次多项式简化为一个更简单的形式。
对称性：完全平方公式具有对称性，即(a+b)²=(b+a)²和(a-b)²=(b-a)²。
这意味着在完全平方公式中，a和b的位置可以互换而不影响公式的值。
四、完全平方公式的特点平方项：完全平方公式的第一项和最后一项都是平方项，即a²和b²。
这两项代表了公式中的主要部分，它们决定了公式的整体形状。
乘积项：完全平方公式的中间项是a和b的乘积的两倍，即±2ab。
这项是公式中的关键部分，它连接了平方项并使整个公式成为一个整体。
正负号：完全平方公式中的正负号取决于中间项是正是负。
如果中间项是正数，则公式为(a+b)²；如果中间项是负数，则公式为(a-b)²。
五、完全平方公式的规律二次项和一次项的关系：在完全平方公式中，二次项（a ²）和一次项（±2ab）之间存在密切的关系。
完全平方数的性质
完全平方数的性质完全平方数及其性质能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
一、平方数有以下性质：【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；100，10000，1000000是完全平方数，10，1000，100000等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。
【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
完全平方知识点总结
完全平方知识点总结完全平方数具有一些特殊的性质和规律，下面我们就来详细总结一下完全平方数的知识点。
一、完全平方数的定义完全平方数是指一个数能够被另一个数整除，并且商也是一个整数，这两个数就是完全平方数。
比如4就是一个完全平方数，因为它可以被2整除，而商也是2。
二、完全平方数的性质1. 完全平方数的性质（1）完全平方数的个位数只能是0, 1, 4, 5, 6或9。
（2）如果一个数是完全平方数，那么它的个数为1、4、9、6或5。
2. 完全平方数的判定法一个数是否是完全平方数，可以通过取其个位数判断。
若个位数为1、4、9、6或5，则这个数是一个完全平方数，否则不是。
3. 完全平方数的性质（1）若一个自然数的个位数是1、4、9、6或5，则这个数是完全平方数。
（2）一个完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。
（3）若一个数能被n(n为自然数)个连续奇数相加的和表示，那么它一定是个完全平方数。
4. 完全平方数的几何意义一个完全平方数可以表示成一个正方形的面积，这也是完全平方数的几何意义。
比如，9就可以表示成一个边长为3的正方形的面积。
5. 完全平方数的规律完全平方数的规律：一个完全平方数后面的完全平方数可以用前一个完全平方数的差来表示。
比如25是5的平方，36是25加11的平方，49是36加13的平方。
三、完全平方根的概念1. 完全平方根的定义一个数的完全平方根就是这个数的一个因数。
2. 完全平方根的性质（1）一个数的完全平方根的值一定是一个整数。
（2）一个完全平方数一定有正整数的完全平方根。
3. 完全平方根的求法求一个数的完全平方根，可以用试除法或开平方的方法进行求解。
四、完全平方数的应用1. 完全平方数在数学中的应用完全平方数在数学中有着广泛的应用，比如在因式分解中，完全平方数可以用来简化复杂的因式分解式子，简化计算。
2. 完全平方数在几何中的应用完全平方数在几何中也有着重要的应用，可以表示成一个正方形的面积，可以用来计算图形的面积等。
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完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.约数个数为奇数;反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
ห้องสมุดไป่ตู้证明：设这四个整数之积加上1为m，则
m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
(2)-(1)可得 n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
例2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2
经典例题：
例1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m^2................(1)
x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)