第四章 简单桁架的弹塑性分析

第四章 简单桁架的弹塑性分析 §4．1 理想弹塑性材料的简单桁架

图4.1

图4.1（a ）所示为由AB ，AC ，AD 三杆组成的简单桁架，在结点A 上受有竖向力P ，各杆截

面积均为A ，②杆长度为l ，则①③杠长度为l 1=θ

cos l

。用N 1、N 2、N 3表示诸杆内力，则平衡方

程为：

N 1=N 3。

。 N 1cos θ+N 2+N 3cos θ=P ， 消去N 3，并用截面积A 通除各项，得以应力表示的平衡方程为：

2ζ1cos θ+ζ2=A

P

（4—1）

又由几何关系（由对称性可知结点A 只有竖向位移δy 而移至A '点）可知

δy =ε2l=θ

εθε2111cos cos l

l =，

故有谐调方程 ε1=ε2cos 2θ （4—2）

下面根据加载的不同阶段列出应力—应变关系，问题即可求解。当P 从零开始增长时，起始是弹性阶段。

（1）弹性阶段：应力—应变关系为：

⎭

⎬⎫

==2211εσεσE E （4—3）

代入（4—2）式得到以应力表示的谐调方程为：

ζ1=ζ2cos 2θ （4—4）

联立（4—1）（4—4）解得：

⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫+=

=+=θθσσθσ32

3132cos 21cos cos 211A P A P （4—5） 当P 较小时，各杆处于弹性阶段，由（4—5）式可见，②杆应力大于①③杆应力，因此当ζ=ζs 时桁架将开始进入塑性状态。由（4—5）式可得此时对应的P 值为：

P=P e =ζs A (1+2 cos 3θ) (4—6)

此P e 即为桁架能承受的最大弹性荷载，称为弹性极限荷载。于是（4—5）式可写为：

⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬⎫===θσσσσσ2312cos s e s

e P P

P P （4—5'）

此时对应的A 点竖向位移为： δe =ε2l=E

l

s σ （4—7）

这里，δe 表示与弹性极限荷载相对应的结点A 的竖向位移。

（2）P ＞P e ，弹塑性阶段： 这时（4—3）式中的第一式仍然成立，但第二式应换为： 以（4—8）式代入（4—1）式得：

θ

σσcos 21s

A P -= （4—9） 应当注意，这时虽然②杆屈服了，可以产生很大的变形，但由于它必须和①③杆的变形相谐调，而①③杆这时尚未屈服，所以②杆的变形受到限制。在这种情况下就说桁架处在有限制塑性变形阶段，或称为约束塑性变形阶段。随着P 的进一步增大，②杆应力已不能增长，增加的外载必须由①③杆来平衡，所以①③杆的应力增长较弹性阶段快，桁架的变形增长也比弹性阶段快。当P 增加到一定程度，达到ζ1=ζ3=ζs 时，三杆全部进入塑性（由于对称，①、③杆一定同时进入塑性），变形不再受约束，成为无限制塑性变形，桁架就失去进一步承载的能力，这时的荷载称为塑性极限荷载，以P T 表示。在（4—1）式中以ζ1=ζs ，ζ2=ζs 代入得：

P T =ζs A (1+2 cos θ) （4—10）

这时结点A 的位移δT 只能利用几何关系由①③杆的伸长求解，而不能用②杆的伸长求解，因为这时①③杆刚达到屈服，虎克定律仍能应用，而②杆则早已屈服（当P=P e 时，②杆就已屈服），所以，当P=P T 时，②杆的伸长无法由虎克定律求得。

θ

δθσθεθεδ222111cos cos cos cos e s T l

E l l ==== （4—11）

比较弹性极限载荷与塑性极限载荷得

θ

θ

3

cos 21cos 21++=e T P P （4—12） 当θ=30©时，e T δδ=1.33，e T P P =1.19，θ=45©时，e T δδ=2，e

T P P

=1.41。这说明考虑塑性对承载能力

可以有不小的提高，而变形仍和弹性变形在同一量级。桁架的载荷—挠度曲线入图4.2中的实线所示。

（3）卸载：若加载到P *

值（P s ＜P *

＜P T ）后卸载，卸载按弹性规律，各杆内应力变化可按（4—5）式或（4—5'）式计算，若载荷变化为P ∆ ，则各杆的应力变化为：

θσσσσ212cos s e

s e P P P P ∆=∆∆=∆， （4—13）

又有：E

E 1

122σεσε∆=∆∆=∆， （4—14） 若将P *

全部卸除，则应对加载到P *时的应力（对应（4—8）式及（4—9）式）减去P ∆= P *的卸载应力值（即（4—13）式中P ∆以P *代入），即得残余应力及残余应变为：

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎬⎫==∆-=∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆-=0

＞ cos /0

＞ 0 ＜ 10 ＞ cos 2/1 cos cos 2/20102011*11*

101*

2*

202*2

**1*101θεεσσσεεεσσσσθσθσθσσσσE E E P P P P P P A P s e s e s e s （4—15） 注意，②杆内残余应力为压应力，而残余应变为伸长。

（4）重复加载 若在卸载以后再重新加载，既然从P *卸载到零是弹性变形过程，从零再加到P *也仍是弹性过程，这是因为②杆现在是从某个压应力开始，它的弹性范围是这个压应力的绝对值加上ζs ，扩大了，从而使得桁架的弹性范围也扩大了（注意：桁架的塑性极限荷载在理想塑性材料的情形是不能扩大的）。如将桁架加载到P T 后卸载，则以后的弹性范围可以扩大到P T 。

在结构内部产生某种有利的残余应力状态，可以提高它的弹性范围，这种状态称为安定状态