勾股定理与全等三角形结合难
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理一．勾股定理证明与拓展 模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。
求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
勾股定理与全等三角形
第二章勾股定理与全等三角形
探索直角三角形三边的关系：
观察图中用阴影画出的3个正方形，我们可以知道两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积。
那AC+BC=AB说明，任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
那么，只要是直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方吗？
概括：
数学上可以证明，对于任意的直角三角形都有两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
如果一个直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c则有：a+b=c
例：已知一个直角三角形的一个边长为3c m，斜边长为5c m,求另一直角边的长。
、
解：在RtABC中如图所示B C=3cm AB=5cm
根据勾股定理的：AC+BC=AB
AC=√AC-BC=√25-9=4cm
答：另一直角边的长为4cm.
习题：
1.在RtABC中AB=c BC=b AC=b∠B=90
⑴已知a=6 b=10 求c.⑵已知a=5 c=12,求b.
2直角三角形的斜边比一直角边长2c m，另一直角边长为6cm求它的斜边长？
3如图所示，为了求出湖两岸的两点A B之间的距离。
一个观测者在点C设桩，是三角形AB C恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？
习题：。
一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)问题详解
1．如图1，直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC〔1〕求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．〔2〕如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，假如AD=AC，求证：BE=DE．〔3〕如图3，在〔1〕的条件下，直线AC交x轴于M，P〔，k〕是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？假如存在，请求出点N的坐标；假如不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；〔2〕同〔1〕的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；〔3〕依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C〔﹣3，1〕，由A〔0，2〕，C〔﹣3，1〕可知，直线AC：y=x+2；〔2〕如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；〔3〕如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P〔，k〕是线段BC上一点，∴P〔﹣，〕，由y=x+2知M〔﹣6，0〕，∴BM=5，如此S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，如此BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N〔﹣，0〕．点评：此题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是〔﹣8，0〕，点A的坐标为〔﹣6，0〕〔1〕求k的值．〔2〕假如P〔x，y〕是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围．〔3〕当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
勾股定理与全等三角形
1、已知：如图，△ ABC中，/ C=90° D为AB的中点，E、F分别在AC BC上，且DE丄DF.求ffi： AE2+BF2=EF2.32、如图，△ ACB和^ ECD都是等腰直角三角形，/证：(1 )△ ACE^A BCD; (2) AD2+DB2=D呂.3、如图，△ ABC 中，AB=BC BE丄AC于点E, AD丄BC 于点D,Z BAD=45°, AD 与BE交于点F,连接CF.(1)求证：BF=2AE(2)若CD= 2,求AD 的长.4、如图①，已知点D在AB上, △ ABC和^ ADE都是等腰直角三角形，/ ABC=/ ADE=90°,c1、证明：延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:•/ DF=DE / EDF=Z FDG=90 ,° DG=DE:.△ EDF^A GDF ( SAS ,•••EF=FG又••• D为斜边BC中点•••BD=DC又•/ / BDE=/ CDG, DE=DG•••△ BDE^A CDG (SAS••• BE=CG / B=/ BCG ••• AB// CG ••• / GCA=180-° A=180 -90 =90 在RtA FCG中，由勾股定理得:FG2=CF+CG=CF+BE ••• EF2=FG=Be+CF.3证明：过点A作AM // BC,交FD延长线于点M，连接EM.•/ AM // BC,••• / MAE=/ ACB=90 ,° / MAD= / B.•/ AD=BD, / ADM= / BDF, •••△ ADM^A BDF.••• AM=BF, MD=DF.又DE丄DF, ••• EF=EM.••• AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=E^.2、证明：（1）v/ ACB=^ ECD •••/ ACD+Z BCDK ACD+Z ACE 即/ BCD=^ ACE ••• BC=AC DC=EC(2)v^ ACB是等腰直角三角形,• / B=/ BAC=45度.•••/ B=/ CAE=45 •••/ DAE=^ CAE+Z BAC=45+45°90°, • AD2+AE2=DE2由（1）知AE=DB• AD2+DB2=DE23、解答：(1)证明：T AD丄BC,Z BAD=45,:.△ ABD是等腰直角三角形, /. AD=BD, •/ BE丄AC, AD 丄BC, ：•/ CAD+Z ACD=90 ,/ CBE+/ ACD=90 , ：•/ CAD=/ CBE在^ ADC和^ BDF中,/ CAD=Z CBEAD= BD/ ADC=Z BDF= 90°•: △ ADC^^ BDF (ASA),•: BF=AC •/ AB=BC BE丄AC, •: AC=2AE •: BF=2AE(2)解：•••△ ADC^^ BDF, •: DF=CD=在RtA CDF中，CF=DF+CD22=2,•/ BE丄AC,AE=EC•••AF=CF=2/. AD=AF+DF=2+團①4、解答：（1）证明：延长DM交BC于N,:EDA=Z ABC=90 ,/. DE//BC,•••/ DEM=Z MCB,在^ EMD和^ CMN中/ DEM=Z NCMEM = CM/EMD=Z NMC,.•.△ EMD" CMN, •••CN=DE=DA MN=MD ,•/ BA=BC /. BD=BN, •: △ DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线, ••• BM 丄DM，/ DBM=/ DBN=45=/ BDM ,:.△ BMD为等腰直角三角形.(2)解：△ BMD为等腰直角三角形的结论仍成立, 证明：作CN// DE交DM的延长线于N,连接BN, ：•/ E=Z MCN=4° , vZ DME=Z NMC, EM=CM,：.△ EMDW CMN (ASA),：.CN=DE=DA MN=MD , 在^ DBA和^ NBC中DA= CNZ DAB=Z BCN,BA= BC•••/ DBA=Z NBC, DB=BN, /•Z DBN=Z ABC=90 , •/△ DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线, ••• BM 丄DM , Z DBM=Z DBN=45=Z BDM ,:.△ BMD为等腰直角三角形.。
章勾股定理重难点
第十八章 勾股定理 §18 ． 1 勾股定理（一）一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
（一）阅读课本第 64 页，并完成思考题：1、毕达哥拉斯在地板上的发现：1）图中线条加黑的三个小正方形围成了一个 ；（2）若设两个较小正方形边长均为 a ，则它们的面积都为 ， 设较大的正方形边长为 c ，则它的面积为 。
（ 3）再次观察，可以发现两个小正方形的面积和 较大的正方形面积，即有 ＋ = 。
（4）因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条 边，由 ＋ = 可知，等腰直角三角形的两条 边的平方 等于 边的平方。
2、由第 1 题知等腰三角形具有上述性质，是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢？观察下图，尝试探究 图，每个小方格的面积均为 1）观察图（ 1）正方形 A 中含有 个小方格，即 A 的面积是 个单位面积；正方形 B 中含有 _ 个小方格，即 B 的面积是 _ 个单位面积；正方形 C 中含有 _ 个小方格，即C 的面积是 ____ 个单位面积．图（ 2）正方形 A 中含有 个小方格，即 A 的面积是 个单位面积；正方形 B 中含有 _ 个小方格，即 B 的面积是 _ 个单位面积；正方形 C 中含有 _ 个小方格，即C 的面积是 _________________________________________ 个单位面积．3、根据上述观察分析，你能得出什么结论．（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 四个直角三角形的面积．） （二）归纳：直角三角形三边关系：勾股定理： ；用公式表示为 变式：① ② 。
直角三角形性质归纳： 如图，直角△ ABC 的主要性质是：∠ C=90°，（用几何语言表示）1）两锐角之间的关系： ； 2）若∠ B=30°，则∠ B 的对边和斜边： ；3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
期中难点特训(二)勾股定理与全等结合的压轴题(原卷版)
期中难点特训（二）勾股定理与全等结合的压轴题1．（1）如图1，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（不与点A，C 重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与BC相交于点F，①试猜想线段DE、EF之间的数量关系，并说明理由；②试猜想线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点F落到BC的延长线上时，请直接写出线段CE、CD、CF之间的数量关系．2．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．3．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．(1)如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．(2)如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD 是△ABC的一条双腰分割线．(3)如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．①求∠C的度数．②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．4．如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）请判断△ABC的形状，说明理由．（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之5．如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)如图2，连接CD，若BD=13，CD=5，DE=12，求∠ADC的度数．(3)如图3，取BD，CE的中点M，N，连接AM，AN，MN，判断△AMN的形状，并说明理由．6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．（1）求证：PC＝PD；（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；（3）是否存在点P，使得△P AE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．7．如图，∠MON＝90°，A是射线OM上一点且OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上匀速运动．连接PQ，以PQ为斜边作等腰直角三角形PCQ．设P、Q两点运动时间为ts，其中0＜t＜8．（1）OP＋OQ＝________cm；（2）连接AC，判断OAC的形状，并说明理由；（3）是否存在实数t，使得线段PQ的长度最小？若存在，求出t的值及PQ2的最小值；若不存在，说明理由．8．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=4，EC=3，①求证：AF⊥BD；②AF的长度为直接写出答案）；（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，则∠FCD+∠FEC= （直接写出答案）9．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．思路点拨：考虑到P A，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解答过程．（2）变式拓展：请你利用第（1）问的解答思想方法，解答下面问题：如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．（3）能力提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，请直接写出（OA+OB+OC）2＝．10．已知在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高，且AD ＝A'D'．（1）如图①，当AB＝AC时，求证：△ABC≌△A'B'C'（2）如图②，当AB≠AC时，△ABC与△A'B'C'不一定全等．请画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC不全等．并在图中作出适当的标注或必要的文字说明．（3）在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为．11．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是______；（2）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图3，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN ＝45°．若BM ＝12，CN ＝16，则MN 的长为______ ．12．【情景呈现】画90AOB ∠=︒，并画AOB ∠的平分线OC ．（1）把三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点P 上，使三角尺的两条直角边分别与AOB ∠的两边,OA OB 垂直，垂足为,E F （如图1）．则________PE PF ．（选填：“<”、“>”或“=”） （2）把三角尺绕点P 旋转（如图2），PE 与PF 相等吗？猜想,PE PF 的大小关系，并说明理由．【理解应用】（3）在（2）的条件下，过点P 作直线GH OC ⊥，分别交,OA OB 于点,G H ，如图3． ①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线）②猜想,,GE FH EF 之间的关系为___________．【拓展延伸】（4）如图4，画60AOB ∠=︒，并画AOB ∠的平分线OC ，在OC 上任取一点P ，作120EPF ∠=︒，EPF ∠的两边分别与,OA OB 相交于,E F 两点，PE 与PF 相等吗？请说明理由．13．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．（2）如图1，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 为BC 的中点，90APD ∠=︒．取AD 中点Q ，连接PQ ．求证：PQ 是APD ∆的“周长平分线”．（3）在（2）的基础上，分别取AP ，DP 的中点M ，N ，如图2．请在BC 上找点E ，F ，使EM 为APE ∆的“周长平分线”，FN 为DPF ∆的“周长平分线”．①用无刻度直尺确定点E ，F 的位置（保留画图痕迹）；②若AB =CD =EF 的长．14．如图，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 上一点，作等腰Rt DCE ，且90DCE ∠=︒，连接AE ．(1)求证：CEA CDB△△；≌(2)求证：222+=．BD AD DE15．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是．A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE ＝FE．(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．。
专题三：勾股定理与全等构造
勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45°，135°作等腰直角三角形构造全等1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。
2、如图，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.（1）若点P在△ABD外，且∠APB=45°，求PD的长；（2）若点P在△ABD内，且∠APB=135°，求PD的长.二、遇60 ，120 作等边三角形构造全等3、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为.4、如图，△ABC为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长.三、将角度分解为60 ，90 或45 的特殊角结合全等5、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=2，求PB的长。
.勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45 ，135 作等腰直角三角形构造全等1、如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1， ∠CPB=135°，求AP 的长。
解：将△CPB 绕点C 旋转，使得BC 与AC 重合，点P 与点D 是对应点，∴PC=DC ，∠DCA=∠CBP ，∴∠DCP=∠ACB=90°，∴△CDP 是等腰直角三角形，∴由勾股定理可知：DP=22， ∵PB=AD=1， ∵∠CPB=∠CDA=135°，∠CDP=45°，∴∠ADB=90°∴由勾股定理可求得：AP=3.2、如图，在△ABD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.（1）若点P 在△ABD 外，且∠APB=45°，求PD 的长；（2）若点P 在△ABD 内，且∠APB=135°，求PD 的长.解：（1）如图所示，过点A 作AH ⊥AP ，且使AH=PA=3，连接PH 、BH ，∴∠APH=∠AHP=45°，PH=222233+=+PA AH =32，∵∠HAP=∠BAD=90°，∴∠HAP+∠PAB=∠BAD+∠PAB ，即∠HAB=∠PAD ，在△AHB 与△APD 中，AH=AP ，∠HAB=∠PAD ，AB=AD ，∴△AHB ≌△APD ，∴HB=PD.∵∠APB=45°，∴∠HPB=∠APB+∠APH=90°，在Rt △HPB 中，HB=22PB PH + =224)23(+=34∴PD=HB=34.（2）如图所示，作AH ⊥AP ，且使AH=PA=3，连接PH 、BH ，∴∠APH=∠AHP=45°，PH=222233+=+PA AH =32，∴HB=PD.∵∠APB=135°，∴∠HPB=∠APB-∠APH=135°-45°=90°，∴在Rt △HPB 中， HB=22PB PH +=224)23(+=34∴PD=HB=34.二、遇60 ，120 作等边三角形构造全等3、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC 为边在△ABC 外作正△ACD ，则BD 的长为.解：以AB 为边作等边三角形AEB ，连接CE ，如图所示，∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB ，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC ，即∠EAC=∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中，AE=AB ，∠EAC=∠BAD ，AD=AC ，∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴BD=EC ，∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，∴∠EBC=120°，在△EBC 中，BC=5，EB=3，过点E 做BC 的垂线交BC 于点F ，易知∠EBF=60°，∠FEB=30°，∴EF=233，FB=23，FC=5+23=213， ∴EC 2=FC 2+EF 2=49∴BD=EC=7.4、如图，△ABC 为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD 的长.解：如图，将CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°得CE ，连接DE 、AE ，则△CDE 是等边三角形.∵△ABC 为等边三角形，△CDE 是等边三角形，∴AC=BC=AB ，∠ACB=60°，CD=EC=DE ，∠DCE=∠CDE=60°，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=BC ，∠ACE=∠BCD ，CD=EC ，∴△ACE ≌△BCD ，∴AE=BD=5，∵∠CDE=60°，∠ADC=30°，∴∠ADE=90°.∵∠ADE=90°，AD=3，AE=5，∴DE=22AD AE =4.∵DE=CD ，DE=4，∴CD=4.三、将角度分解为60 ，90 或45 的特殊角结合全等5、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=2，求PB 的长。
全等三角形与勾股定理专题
第一章勾股定理专题练习一．填空题1．一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm ,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ． 2．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
4．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
5．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
6．已知两条线段的长为5c m 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形.7．将一根长为24㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是________________.8．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________.9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC －BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________.10.如图，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的，若150BAC ∠=，则θ∠的度数是 ．ABCD7cmD B C A第3题ABCDAEBθABCDDCBA11．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点C A 、到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长为 .二．选择题1.如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ AC ＝DN 。
教学的难点怎样突破——以勾股定理的逆定理证明为例
的 两个 三 角形 全 等 ”，当然 就 得到 以 ３、
４、５构 成 的三 角形是 直 角三 角形 了。
师 ：很 好 。相 应 地 ，以 ６、８、１０
为边 能 否 构 成 三 角形 ？掏 成 三 角形 是
怎 样 的情 况 呢 ？
生 ：… …
师 ：已知 ａ、ｂ、ｃ，且 满 足 ａ！＋ ｂ
介】
－
；，
教学 的难点怎样突破
以勾股定理 的逆定理证 明为例
文／庞彦 福 绘 图 ／赵 清
无
证 明过 程学生基本 上就想不到 ，不知 道 为什么会这样证明。
在教学设计和摩课 的过程中 ，针 对这节课主要有以下几种观点 ：
观点 １：勾股定理 的逆 定理 的教 学 重点应放在其应 用上。因为考试 基 本 不会 考勾股 定理的逆 定理 的记忆 和 证明过程，而 这方面知识点 的体现 主 要 是在对这 个定理 的运用，因此逆 定 理 的证明只是普通演 示。
为什么会 出现 这样的情况呢 ，是 教师对教材理 解出现了问题 ，是教师 对教学 难点界定出现了 问题 ，是教 师 对学生 的了解 与认识不足 ，还是 另有 原 因 呢 ？
果已知两条直 角边 为 ３、４，则第三边
的长 为
。
生 １：５．．
师 ：怎样 得 出的？
生 １：根据 勾股 定理 算 出来的
观 点 ２：勾股 定理 的逆 定理 的证 明比较难理解 ，讲 了．学 生还 是不理解 ， 干 脆绕过这个难点 ，把教学 的主要精 力和重点放在训练方面。
观 点 ３：因 为勾股定理 的逆定 理 的证明 采取 的 是 “构 造法 ”，学 生不 容易想 到。教 学中．干脆 采用学生 自 学 的方法 ，能理 解的 自然理 解，不理 解只能顺其 自然 。只要记住这 个定理 并且会运用就达到教学 目的了。
沪科版八年级数学勾股定理综合难题
用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
A D在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
练习题1如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形.现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米?答案AB=53、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为BC A B ’ C ’ B ′ A ′ C ′D8cm ，•长BC •为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（）．A ．3B ．4 CD ．56．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ．求AC 的长．7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使 点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折 痕EF 的长为。
勾股定理难题
勾股定理典型例题『例题精讲』1例如图是一个长方体盒子(尺寸如图所示)，在长方体下底部的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B 点的食物(BC=3cm)，需爬行的最短路程是多少？2练如图所示，有一个圆柱形状的建筑物，底面直径为8 m ，高为7 m ．为方便工作人员从底部A 点到达顶部的B 点，要绕建筑物修一螺旋状的梯子．试求梯子最短为多少米？(π取3)5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？『例题精讲』3例一个直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边上的高为 h ，斜边长为c ，则以 c+h ，a+b ，h 为边的三角形的形状是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定『随堂练习』1.直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )A. ab=h2B. a 2+b 2=2h 2C. a 1+b 1=h 1D. 21a +21b =21h2.．以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（B ）． A ．a-1，2a ，a+1 B ．a-1，a+1 C ．a-1a+1 D ．a-1，a+13.．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC 的形状。
4. 若△ABC 三边a 、b 、c 满足 a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c ，△ABC 是直角三角形吗？为什么？实际应用5例如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？『随堂练习』1练如图5所示，一条清水河的同旁有两个村庄A 和B.到河岸l 的距离分别为3千米和5千米，两个村的水平距离CD ＝6千米．问：要在河边修一个水泵站向两个村供水．需要的水管最少应为多少千米？2．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
勾股定理与全等综合题
勾股定理与全等综合题1. 勾股定理的奇妙之旅1.1 什么是勾股定理？说到勾股定理，咱们先来个简单的介绍。
它其实就是一个关于直角三角形的法宝，告诉我们如果你有一个直角三角形，它的两条直角边分别是a和b，那么斜边c的平方就等于这两条边平方的和，也就是 ( c^2 = a^2 + b^2 )。
听上去有点儿高深，但实际上，生活中随处可见！想象一下，你在家里测量沙发到墙壁的距离，利用这个定理，你就能轻松算出沙发斜对角到墙角的距离，简单吧？1.2 为什么它这么重要？勾股定理不仅仅是个数学公式，简直是个万用工具。
比如说，建筑师设计房屋的时候，常常需要用到它来确保墙壁是垂直的，屋顶是平的。
再比如，你去爬山的时候，想知道最近的下山路径，勾股定理也能帮你算出最短距离，真是神奇得很！而且，如果你把它和全等三角形结合起来，那简直是如虎添翼，让你在解决问题时如鱼得水。
2. 全等三角形的魅力2.1 什么是全等三角形？全等三角形就是那种完全一样的三角形，听起来简单，但你知道吗？只要三角形的边长和角度完全一样，它们就是全等的！想象一下，你在折纸，折出两个一模一样的小纸船，它们无论怎么看都像是双胞胎。
这种特性在解决很多数学问题时，能帮你省下不少脑细胞。
2.2 如何判断全等？那么，我们该如何判断两个三角形是否全等呢？其实有好几种方法，比如边边边（SSS）、边角边（SAS）等等，听上去有点复杂，但实际操作起来就像是在玩拼图，拼对了就是对的。
拿出尺子、量一下边长，看看角度，是不是都符合？如果符合，那恭喜你，你成功找到了两个全等的三角形！3. 勾股定理与全等的结合3.1 如何把它们结合起来？现在，咱们来聊聊勾股定理和全等三角形怎么结合使用。
想象一下，一个问题让你找出一个直角三角形的斜边，结果你发现自己还有一个全等的三角形在旁边。
这时候，你可以借助全等的特性，直接得出答案，省时省力。
比如说，你在解决一个实际问题时，先用全等三角形找出直角边的长度，再用勾股定理计算出斜边的长度，简直就是双剑合璧！3.2 生活中的应用在生活中，这种结合也很常见。
数学全等三角形教案：巧用勾股定理,发现全等三角形的潜在特性
《数学全等三角形教案：巧用勾股定理，发现全等三角形的潜在特性》数学中的全等三角形是初中阶段中比较重要的内容之一。
对于全等三角形，许多同学在初学时会有很多疑问。
本文将会介绍如何在掌握勾股定理的基础上，发现全等三角形的潜在特性，从而提高求解全等三角形的效率。
一、勾股定理的掌握勾股定理是三角形中最基本的一个定理。
很多同学在学习勾股定理时往往只是单纯地记忆公式$a^2+b^2=c^2$，而没有深入了解其妙用。
其实，勾股定理是一个非常有用的工具，通过巧妙地运用，我们可以很轻松地找到一个三角形中的角度或边长。
例如，当我们已知三角形的两边长分别为3和4时，如何求出第三边长呢？显然，我们可以直接利用勾股定理。
$c^2=a^2+b^2$，代入已知数值可得$c^2=3^2+4^2=9+16=25$，$c=\sqrt{25}=5$。
我们便成功地求出了三角形的第三边长。
勾股定理还可以用于求解三角形内角的相关问题。
例如，当我们已知直角三角形的两个锐角分别为$30^\circ$和$60^\circ$时，如何求出第三个角的度数呢？通过勾股定理，我们可以得知该直角三角形的斜边等于3的倍数，我们可以假设斜边长为3x。
而在三角形中，直角边对直角的补角之和为$90^\circ$，该直角三角形的第三个角度数为$90^\circ-(30^\circ+60^\circ)=0^\circ$。
二、全等三角形的基本概念在介绍如何巧用勾股定理发现全等三角形的潜在特性之前，我们先来了解全等三角形的基本概念。
什么是全等三角形？简单来说，如果两个三角形的对应角度相等，对应边长相等，这两个三角形就是全等三角形。
例如下图所示，三角形ABC和三角形DEF是全等三角形。
因为$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$，$\angle C=\angle F$，而且$AB=DE$，$BC=EF$，$AC=DF$。
因为全等三角形的对应边长和对应角度都相等，我们可以在解题时直接运用这一特点，而不需要做很多无用功。
勾股定理重难点解决妙招
勾股定理重难点解决妙招：
重点：勾股定理的证明及应用
难点：应用能力
以前求线段的长度有全等法，等边对等角。
而今引入勾股定理来解决求线段长的问题，是生活的需要，它的由来是学生求知的兴趣点，所以克服“证明”的难点就由毕达哥拉斯的故事来引入，从而知识的学习成为了学生主动地参与，并且不仅只有一种证明方法，美国的总统也能证明勾股定理，从而挑战新的证明方法是学生比较有兴趣的。
当然多种方法的得来可以对学生进行课前布置，查查资料丰富自己的视野。
这样课上效果就更好了。
第一阶段的难点克服后，“应用”难点的解决首要的是联系感知应用价值，在经历一段时间的训练后，再用口诀强化，效果会很明显。
口诀的总结很关键，具体如下：直角三角形，数形结合最重要，由直角定斜边，思维定式先不要。
求斜边根号下平方和，求直边根号下平方差（因式分解挺巧妙）；不知求斜还是直，分类讨论要用到!
有了以上的技巧与方法指导，我想学生在理解与应用勾股定理解决时就不会茫然，剩下的事就是熟能生巧了！。
勾股定理与全等△
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
例题 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD 的斜边DE上。 求证：AE2+AD2=2AC2 构造直角三角形， 利用全等三角形将 线段进行转移，再 利用勾股定理解决 问题。 E A D
C
B
巩固 如图，AB=12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于 点A，AD=5，BC=10，E是CD的中点 求AE的长
构造直角三角形， 利用全等三角形将 线段进行转移，再 利用勾股定理解决 问题。
F
例题 (1)如图①，△ABC和△AEF为等边三角形，点 E在△ABC的内部，且E到点A、B、C的距离 分别为3、4、5，求∠AEB的度数 (2)如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC， M、N为BC上的两点，且∠MAN=45°，MN2与 NC2+BM2有何关系？请证明你的结论
O
F
勾股定理与全等三角形
回顾（课时P23 T15） 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为 边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E， 交BC于点F，连接EF，若AE=4，FC=3，求EF的 长 问：求EF的长
引入 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD 的斜边DE上。 求证：△EAC≌△DBC E A D
巩固 如图在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且 A(4,0)，点B在y轴上,且B(0,4) (1)求线段AB的长 (2)若点E在线段AB上,OE⊥OF,OE=OF,求AE+AF (3)在(2)的条件下,过点O作OM⊥EF,交AB于点M, 是确定线段BE、EM、AM的数量关系并证明你的 结论 y B E M A x
用四个全等三角形证明勾股定理
用四个全等三角形证明勾股定理用四个全等三角形来证明勾股定理，听起来就像是在讲一个神奇的故事，是吧？想象一下，在一个简单的直角三角形里，两个短边分别是a和b，而斜边就是c。
这三个边就像是一对好朋友，永远在一起玩耍。
而我们要做的，就是把这个三角形复制成四个一模一样的三角形，把它们拼在一起，创造一个超级大图形。
咱们把这四个三角形整齐地摆成一个大正方形。
嘿，瞧瞧，这大正方形的边长可是a + b哦！想象一下，四个三角形就像是在舞台上表演，围绕着这个正方形转圈圈。
中间的空地，就成了一个小正方形，它的边长就是c。
看起来是不是很有意思？当你仔细一看，这四个三角形的面积可不是白摆的。
每个三角形的面积都是1/2 * a * b，所以四个三角形的总面积就是2ab。
然后我们再算一下整个大正方形的面积。
边长是a + b，所以面积就是(a + b)²。
这时候，如果你用手指头算一算，结果就出来了。
好啦，咱们继续深挖这个故事。
根据平方的展开式，(a + b)² = a² + 2ab + b²。
真是有趣啊！刚才咱们算出的面积2ab，真的是直接可以放进这个公式里。
这样一来，我们就能看出，整个大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个三角形的面积，简直就是绝配。
我们来个小总结。
根据我们上面算出的面积关系，整个大正方形的面积可以写成c² + 2ab。
哦，明白了吧？这样一来，我们就可以说：大正方形的面积也等于小正方形的面积加上四个三角形的面积。
也就是说，c² = a² + b²，这就是经典的勾股定理呀！这时候，你可能会觉得，哇，数学居然可以这么有趣，真是让人眼前一亮。
勾股定理不再是枯燥的公式，而是变成了一场精彩的演出，四个三角形就在这里为我们展示了它们的魔力。
生活中，数学无处不在，就像四个三角形在我们心中翩翩起舞。
所以，谁说数学就一定要严肃？咱们可以用这些有趣的图形、形象的比喻，让它变得轻松有趣。
勾股定理与几何辅助线综合(难) 【答案】
勾股定理与几何辅助线综合（难）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2014•十堰）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（ ）A．2 B． C．2D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，又∵点G为AF的中点，∴DG=AG，∴∠GAD=∠GDA，∴∠CGD=2∠CAD，∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，∴∠ACD=∠CGD，∴CD=DG=3，在Rt△CED中，DE==2．故选：C．【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．2．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（ ）A．10 B．5C．2D．2【分析】设EC=x，DC=y，则直角△BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角△ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，AB=．【解答】解：设EC=x，DC=y，∠ACB=90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角△ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得x=，y=1．在直角△ABC中，AB===2，故选C．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的长度是解题的关键．3．（2015秋•重庆校级期中）如图，已知△ABC中，点D在AB上，且CD=AD=BD，点F 在BC上，过D作DE⊥DF交AC于E，过F作FG⊥AB于G，以下结论：①△ABC为直角三角形，②BF2+DG2=DF2+BG2，③AE2+BF2=CE2+CF2，④AG2=AC2+BG2，其中结论正确的序号是（ ）A．①②B．①④C．①②③ D．①②③④【分析】根据在△ABC中，点D在AB上，且CD=AD=BD，点F在BC上，过D作DE⊥DF交AC于E，过F作FG⊥AB于G，可得∠A=∠DCA，∠DCB=∠B，又根据三角形内角和，可以求得∠ACD=90°，从而判断①；再根据题目中的垂直条件，可以通过转化得到②是否正确；点F在BC上，无法确定BF与CF是否相等，由此可以判断③④是否成立．【解答】解：∵CD=AD=BD，∴∠A=∠DCA，∠DCB=∠B，∵∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180°，∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，∴△ABC为直角三角形，故①正确；∵FG⊥AB，∴BF2﹣BG2=DF2﹣DG2=FG2，∴BF2+DG2=DF2+BG2，故②正确；∵CD=AD=BD，DE⊥AC，FG⊥BA，∴AE=EC，∵点F在BC上，∴CF与BF不一定相等，∴AE2+BF2不一定等于CE2+CF2，故③错误；④AG2=AC2+BG2，∵FG⊥AB，∴AG2=AF2﹣FG2，BG2=BF2﹣GF2∴AC2+BG2=AC2+BF2﹣FG2，∵点F在BC上，∴CF与BF不一定相等，∴AG2不一定等于AC2+BG2，故④错误，故选A．【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用勾股定理和勾股定理的逆定理解答问题．二．填空题（共5小题）4．（2013•江岸区模拟）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2，E是AC上的一点（AE ＞CE），且DE=BE，则AE的长为 ．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，过点D作DF⊥AC于F，根据等腰直角三角形的性质求出DF=CF=AC，设CE=x，表示出EF，然后分别用勾股定理表示出DE2、BE2，再列出方程求解即可．【解答】解：∵AB=2，∠BAC=30°，∴BC=AB=×2=，根据勾股定理，AC===3，过点D作DF⊥AC于F，∵△ACD是等腰直角三角形，∴DF=CF=AC=，设CE=x，则EF=﹣x，在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2=（）2+（﹣x）2，在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2=2+x2，∵DE=BE，∴（）2+（﹣x）2=2+x2，解得x=，所以，AE=AC﹣CE=3﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线，利用勾股定理表示出DE、BE然后列出方程是解题的关键．5．（2012•常熟市模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，AB﹣AC=2，过点B作∠BAC的平分线的垂线，垂足为D，交AC延长线于点E，则△BCE的面积为 ．【分析】由△ABC中，∠BAC=90°，得到此三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，由AB﹣AC=2，表示出AB，将表示出的AB与BC的长代入，得到关于AC的一元二次方程，求出方程的解得到AC的长，进而求出AB的长，再由AD为角平分线，得到一对角相等，AD垂直于BE，得到一对直角相等，以及AD为公共边，利用ASA得出三级爱心哦ABD与三角形AED全等，由全等三角形的对应边相等可得出AB=AE，求出AE的长，由AE﹣AC求出CE的长，此时BA为CE边上的高，利用三角形的面积公式求出三角形BCE的面积即可．【解答】解：由△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，根据勾股定理得：BC2=AB2+AC2，即AB2+AC2=36①，由AB﹣AC=2，得到AB=AC+2②，②代入①得：（AC+2）2+AC2=36，整理得：AC2+2AC﹣16=0，解得：AC=﹣1+或AC=﹣1﹣（舍去），则AB=﹣1++2=+1，∵AD为∠BAE的平分线，∴∠BAD=∠EAD，∵AD⊥BE，∴∠ADB=∠ADE=90°，在△ADB和△ADE中，∵，∴△ADB≌△ADE（ASA），∴AB=AE=+1，∴CE=AE﹣AC=+1﹣（﹣1+）=2，则S△BCE=CE•BA=×2×（+1）=+1．故答案为：+1．【点评】此题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理是解本题的关键．6．（2009•攀枝花）如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为 ．【分析】Rt△ABD中，AE是斜边BD上的中线，则BE=AE=DE，因此∠AEC=2∠B，由此可证得△AEC是等腰三角形，即AE=AC=6.5，由此可得到BD的长，进而可由勾股定理求出AB的值．【解答】解：Rt△ABD中，E是BD的中点，则AE=BE=DE；∴∠B=∠BAE，即∠AED=2∠B；∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C，即AE=AC=6.5；∴BD=2AE=13；由勾股定理，得：AB==12．【点评】此题主要考查的是直角三角形、等腰三角形的性质及勾股定理的综合应用能力；能够发现△AEC是等腰三角形，以此得到直角三角形的斜边长，是解答此题的关键．7．（2015•塘沽区三模）如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC=BC，AC⊥BC．若BE=，则CD=．【分析】易证△BCD≌△BED，得BC=BE，易证DC⊥AB，得DF为BA边上的高，则根据CD=DF﹣CF即可求解．【解答】解：∵CA=CB，DA=DB∴CD均在线段AB的垂直平分线上，即DF⊥AB，且∠CDB=30°∴BD为等边△CDE中∠CDE的角平分线，∠CDB=∠EDB在△CDB和△EDB中，∴△CDB≌△EDB（SAS），∴BE=BC．∵AC=BC=，∴AB==2，且DF==，且CF=BF=1，∴CD的长为DF﹣CF=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了全等三角形的判定与对应边相等的性质，本题中求BE=BC是解题的关键．8．（2015春•硚口区期末）（1）△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，则BC边上的高为 ；（2）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点D在AB上，∠ACD=15°，AD=，则BC=．【分析】（1）作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=14﹣x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出AD的长；（2）作BE⊥CD于E，作DF⊥AC于F，则∠BEC=∠BED=∠AFD=∠CFD=90°，由等腰三角形的性质求出∠ACB=75°，再求出∠BCE=60°，∠BDE=45°，设CE=x，则BC=2x，BE=DE=x，得出CD=x+x，BD=x，AC=AB=+x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出BC．【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，如图1所示：设BD=x，则CD=14﹣x，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD2=AB2﹣BD2，AD2=AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解得：x=9，∴BD=9，∴AD===12；故答案为：12；（2）作BE⊥CD于E，作DF⊥AC于F，如图2所示：则∠BEC=∠BED=∠AFD=∠CFD=90°，∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，DF=AD=，∴AF=DF=，∵∠ACD=15°，∴∠BCE=75°﹣15°=60°，∠BDE=30°+15°=45°，∴∠CBE=30°，△BDE是等腰直角三角形，∴BC=2CE，BE=DE，设CE=x，则BC=2x，BE=DE=x，∴CD=x+x，BD=BE=x，∴AC=AB=+x，在Rt△CDF中，根据勾股定理得：CF2+DF2=CD2，即（+x﹣）2+（）2=（x+x）2，解得：x=1，∴BC=2．故答案为：2．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线运用三角函数和勾股定理得出方程才能得出结果．三．解答题（共5小题）9．（2013•武汉模拟）已知△ABC中，AB=AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．【分析】（1）求出∠DAC=∠BAE，再利用“边角边”证明△ACD和△ABE全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接BE，先求出△ADE是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得∠BEA=∠CDA=30°，然后求出∠BED=90°，再利用勾股定理列式进行计算即可得解；（3）过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，先求出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB=EF，设∠AEF=x，∠AED=y，根据平行四边形的邻角互补与等腰三角形的性质求出∠CAD，从而得到∠CAD=∠FED，然后利用“边角边”证明△ACD和△EFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】（1）如图1，证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，即∠DAC=∠BAE．在△ACD与△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD=BE；（2）连接BE，∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∵CD垂直平分AE，∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°，∵△ABE≌△ACD，∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，∴BE⊥DE，DE=AD=3，∴BD=5；（3）如图，过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，则四边形ABFE是平行四边形，∴AB=EF，设∠AEF=x，∠AED=y，则∠FED=x+y，∠BAE=180°﹣x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°﹣2y，∠CAD=360°﹣∠BAC﹣∠BAE﹣∠EAD=360°﹣（180°﹣2y）﹣（180°﹣x）﹣y=x+y，∴∠FED=∠CAD，在△ACD和△EFD中，，∴△ACD≌△EFD（SAS），∴CD=DF，而BD2+BF2=DF2，∴CD2=BD2+4AH2．【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，作辅助线构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键．10．（2012•沙坪坝区模拟）如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AM是BC边上的中线，且AM=4．求△ABC的周长．（结果保留根号）【分析】根据题意可判断出△ABC是直角三角形，然后根据斜边中线等于斜边一半可得出BC的长度，结合30°角所对直角边等于斜边一半可得出AB，利用勾股定理可求出AC，继而可得出△ABC的周长．【解答】解：∵∠B=60°，∠C=30°，∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=90°，又∵AM是BC边上的中线，∴AM=BC，又∵AM=4，∴BC=2AM=8，在Rt△ABC中，∠C=30°，∴AB=BC=4，AC==4，∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=12+4．【点评】此题考查了勾股定理及含30°角的直角三角形的性质，属于基础题，解答本题的关键是判断出△ABC是直角三角形，难度一般．11．（2012•南宁模拟）如图1，四边形ABCD是矩形，P是BC边上的一点，连接PA、PD （1）求证：PA2+PC2=PB2+PD2（2）如图2，当点P在矩形ABCD的内部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？说明理由．（3）当点P在矩形ABCD的外部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？（不必说明理由）【分析】（1）根据PA2﹣PB2=AB2=CD2=PD2﹣PC2，移项即可；（2）过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，可证四边形ABFE和CDEF为矩形，则AE=BF，DE=CF，在△PAE，△PCF，△PBF，△PCF中，分别求PA2，PC2，PB2，PD2，再比较PA2+PC2与PB2+PD2即可；（3）画出图形，把问题转化到直角三角形中，由勾股定理分别求PA2，PC2，PB2，PD2．【解答】（1）证明：在Rt△ABP中，由勾股定理，得PA2﹣PB2=AB2，同理可得PD2﹣PC2=CD2，由矩形的性质可得AB=CD，∴PA2﹣PB2=PD2﹣PC2，∴PA2+PC2=PB2+PD2．（2）成立．过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，则四边形ABFE和CDEF为矩形，∴AE=BF，DE=CF，由勾股定理得：则AP2=AE2+PE2，PC2=PF2+CF2，BP2=BF2+PF2，PD2=DE2+PE2，∴PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2，PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2，∴PA2+PC2=PB2+PD2．（3）成立．如图，由勾股定理可证PA2+PC2=PB2+PD2．【点评】本题考查了勾股定理及矩形的性质．关键是作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理分别表示边长的平方．12．（2006•临沂）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．【分析】当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，根据AD 不变由勾股定理得出等式b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2，化简得出a2+b2＞c2．当△ABC是钝角三角形时过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2=c2．化简得出a2+b2＜c2．【解答】解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2（1分）若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．（2分）当△ABC是锐角三角形时，证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x（3分）根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．∴a2+b2=c2+2ax（5分）∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2．（6分）当△ABC是钝角三角形时，证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，则有BD2=a2﹣y2（7分）根据勾股定理，得（b+y）2+a2﹣y2=c2．即a2+b2+2by=c2．（9分）∵b＞0，y＞0，∴2by＞0，∴a2+b2＜c2．（10分）【点评】本题考查了勾股定理的运用．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．（2010•苏州）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D 与点A重合）．（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．【分析】（1）根据题意，观察图形，F、C两点间的距离逐渐变小；（2）①因为∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm，所以AC=12cm，又因为∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4cm，所以DF=4cm，连接FC，设FC∥AB，则可求证∠FCD=∠A=30°，故AD的长可求；②设AD=x，则FC2=DC2+FD2=（12﹣x）2+16，再分情况讨论：FC为斜边；AD为斜边；BC为斜边．综合分析即可求得AD的长；③假设∠FCD=15°，因为∠EFC=30°，作∠EFC的平分线，交AC于点P，则∠EFP=∠CFP=∠DFE+∠EFP=60°，所以PD=4cm，PC=PF=2FD=8cm，故不存在．【解答】解：（1）变小；（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm∴AC=12cm∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4cm∴DF=4cm连接FC，设FC∥AB∴∠FCD=∠A=30°∴在Rt△FDC中，DC=4cm∴AD=AC﹣DC=（12﹣4）cm∴AD=（12﹣4）cm时，FC∥AB；问题②：设AD=x，在Rt△FDC中，FC2=DC2+FD2=（12﹣x）2+16∵AC=12cm，DE=4cm，∴AD≤8cm，（I）当FC为斜边时，由AD2+BC2=FC2得，x2+62=（12﹣x）2+16，x=；（II）当AD为斜边时，由FC2+BC2=AD2得，（12﹣x）2+16+62=x2，x=＞8（不合题意舍去）；（III）当BC为斜边时，由AD2+FC2=BC2得，x2+（12﹣x）2+16=36，x2﹣12x+62=0，方程无解，∴由（I）、（II）、（III）得，当x=cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；另解：BC不能为斜边，∵FC＞CD，∴FC+AD＞12∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6，∴BC不能为斜边，∴由（I）、（II）、（III）得，当x=cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；问题③：不存在这样的位置，使得∠FCD=15°理由如下：假设∠FCD=15°∵∠EFC=30°作∠EFC的平分线，交AC于点P则∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°∴PD=4cm，PC=PF=2FD=8cm，∴PC+PD=8+4＞12∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°。
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勾股定理与全等三角形结合
难
1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．
2、如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．
（2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
3、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2．
4、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD= 2
，求
AD
的长．
5、如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD ，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长．
6、如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A求证：
7、如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD ＞BC，求证：AC＞BD
8、如图
7
，已知△
ABC
中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC
9、如图8，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，求点P与点
之间的距离和∠APB的度数
10、如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：．
11、如图12，D为等腰△ABC的腰AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BD=CE，求证DE＞BC
12如图14，已知等边△ABC内有一点N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D、E、F 都是垂足，
M是△ABC中异于N的另
一点，若，，求证
13如图16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD=3，BC=4，求CD的长
14、如图18，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD∥BC，在AD上取一点E，使∠EBC=30°，求证BE=BC
15 正方形ABCD，E为BC上一点，∠AEF为直角，CF平分∠DCG。
(1)如图（1），当点E在线段BC上时，求证：AE=EF
(2)如图（2），当点E在BC的延长线上时，试判断AE=EF是否依然成立，并说明理由
D
C
B
A
F
E G
图(1)
D
C
B
A F
E G
图。