最新小学奥数——三角形的等积变形(附答案)教学提纲

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小学奥数~三角形等积变形

小学奥数~三角形等积变形
如图一，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H，连接BD、GD、GH、。

已知AB＝4厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
题目解析：
连接DF、FC；
因为BD、CF分别为正方形ABCD和正方形ECGF对角线，所以BD//CF；
根据等高模型；
又因为三角形DHG与三角形DHF为同底等高三角形，所以面积相等；
同理，因为BD//CF；三角形BDF与三角形BDC为同底等高三角形，所以面积相等；
所以阴影面积为4×4÷2=8平方厘米。

知识点——三角形等积变形
三角形面积公式：底×高÷2
对于两个三角形，如果它们对应的底和高相等（如同底等高、等底等高），那么它们的面积也相等。

方法：三角形钉住其中两点，构造底边平行线，沿平行线移动另外一点，所得三角形面积相等。

（必要时可构造平行线)。

再战
如下图，有三个正方形并排安置，并且它们的顶点D、G、K三点恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB边长是8厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？。

小学四年级奥数下册三角形的等积变形教案

三一文库（）/小学四年级〔小学四年级奥数下册三角形的等积变形教案〕小学四年级小学四年级奥数下册三角形的等积变形教案，供大家学习参考。

我们已经掌握了三角形面积的计算公式：# 三角形面积=底×高÷2# 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来#角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．# 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：# ①等底等高的两个三角形面积相等．# ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．# ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．# #，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．#同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．#例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．#例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．###。

小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】

小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】【第一篇】1. 三角形把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.2.比较比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.【第二篇】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．三角形面积答案：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形 HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．【第三篇】如下图，BE=2AB，BC=CD。

最新小学奥数三角形的等积变形教师版

A
乙 E
甲
B
D
C
连接 AD.因为 BE=3,AE=6,所以 BE:AE=3:6=1:2,设甲部分的面积为 1 个单位，那么三角形
AED 的面积为 2 个单位，这样 ABD 的面积为 3 个单位，因为 BD:CD=1:1,所以三角形 ADC
的面积也为 3 个单位，这样乙部分的面积为 3+3-1=5 个单位，所以乙部分是甲部分面积的 5
，它们所对的顶点同为 A 点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相
等．同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD 或△AEC 面积的 3 倍．
例如在右图中，△ABC 与△DBC 的底相同（它们的底都是 BC），它所对的两个顶点 A、D 在与底 BC 平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．
-1-
例如右图中，△ABC 与△DBC 的底相同（它们的底都是 BC），△ABC 的高是△DBC 高的 2 倍（D 是 AB 中点，AB=2BD，有 AH=2DE），则△ABC 的面积是△DBC 面积的 2 倍．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例 1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
方法 2：如右图，先将 BC 二等分，分点 D、连结 AD，得到两个等积三角形，即△ABD 与△ADC 等积．然后取 AC、AB 中点 E、F，并连结 DE、 DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE 等积．
-2-
例 2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．
A
B
E
C
D
如图，连接 AD,因为 BC:CE=1：1，所以三角形 ACD 的面积：三角形 ABC 的面积=1：1，所以三角形 ACD 的面积=1，三角形 ABD 的面积=2，因为 AB:BE=1:2,所以三角形 ADE 的面积为 4. 5、三角形 ABC 被分成了甲、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面积是甲部分面积的几倍？

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小学奥数三角形的等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式：
三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来
角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
，它们所对的顶
点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．
例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．
例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D 是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．
当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，
把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD，
∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S△ABC=4S△ACE
=4×3=12（平方厘米）．
例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，
BE=EF=FC=
解：连结BG，在△ABG中，
∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；
∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．
例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC=2S1．
同理 S△AEH=2S2，
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．
同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF 的面积．
解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE
又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF
而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．。