用等式的性质解方程第一版
等式性质(一)
课题：等式性质(一)第 1 周第3课时课型新授课教学方法讲授法、探究法、归纳法教学内容课本5---7页内容教学目标1、在具体的活动中，体验和理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程；2、理解方程的解（得数）和解方程（过程）的意义并能正确的求出方程的解。
3、掌握解方程的方法，并能正确的解加减法方程。
4、能用解方程方法解决一些简单的现实问题，在解决问题的过程中，感受方程与现实生活的紧密联系，形成应用意识。
教学重难点重点：掌握解方程的一般步骤。
难点：能正确解方程。
教具准备天平、砝码、课件教学活动过程一、情境导入，提出问题（一）观察信息，提出问题师：同学们，你们喜欢小动物吗？今天老师带来了几幅国家一级保护动物的图片，你们认识它们吗？预设：金丝猴。
师：今天这节课，就以金丝猴为话题，来研究其中的数学问题。
课件出示。
(见图1)师：从图中你能发现哪些数学信息？图1预设1：笼重150克。
预设2：小金丝猴和笼的总质量是500克。
师：根据以上信息，你能提出什么数学问题？教师根据学生的表述，筛选出“小金丝猴重多少克”，其他的问题放到问题口袋留待以后解决。
【设计意图】以濒临灭绝的珍稀动物金丝猴的真实数据为素材，一方面提高学生数学的兴趣，同时培养学生保护珍稀动物的意识。
（二）分析数量关系，列出方程你能根据情境图中的信息写出等量关系式吗？预设1：500-150=350（克）预设2：小金丝猴的质量+笼子的质量 =小金丝猴和笼的总质量预设3：小金丝猴和笼的总质量-小金丝猴的质量=笼子的质量若有学生说出预设2的数量关系，教师有选择的板出第1种并适当引导：第1种思路相对更简单一些。
板书：小金丝猴的质量+笼子的质量 =小金丝猴和笼的总质量师：如果用X表示小金丝猴的质量，你能列方程解答吗？先自己想一想，再把你的想法在小组里交流。
学生汇报：如用x表示小金丝猴的质量，上面的等式可写成x+150=500 师：怎样求未知数x呢？请大家一起借助教具天平来研究一下。
用等式的性质解方程-人教版七年级数学上册教案
用等式的性质解方程-人教版七年级数学上册教案一、课程目标1.学生能够了解等式的定义及其性质。
2.学生能够掌握在方程中应用等式的性质解题的方法。
3.学生能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学重点1.等式的定义及性质。
2.解方程的步骤和方法。
三、教学难点在解决实际问题时，如何将问题转化为方程的形式。
四、教学步骤1. 开场导入（5分钟）教师介绍本节课的主题：“用等式的性质解方程”，并与学生进行互动，让学生回顾一下上节课的学习内容。
2. 理解等式的定义及其性质（10分钟）1.教师介绍等式的定义及性质，讲解等式的传递性、对称性和反对称性。
2.通过教师的讲解和示范，让学生理解等式的性质，以及在解方程时等式的应用。
3. 练习基本的解方程方法（20分钟）1.教师通过示范解一些基本的方程，让学生掌握解方程的基本方法。
2.学生进行练习，在教师的引导下掌握解方程的步骤和方法。
4. 应用等式的性质解决实际问题（25分钟）1.通过教师给出的实际问题，让学生能够将问题转化为方程的形式。
2.让学生在教师的指导下，应用等式的性质解决实际问题。
5. 小结归纳（5分钟）1.总结本节课的教学内容和学习方法，强调要掌握等式的性质，在解决实际问题时要将问题转化为方程的形式。
2.鼓励学生多做练习，巩固所学知识。
五、教学评价1.课堂教学效果良好。
2.学生能够掌握等式的定义及其性质，以及在解方程时等式的应用。
3.学生能够熟练掌握解方程的步骤和方法。
4.学生能够将实际问题转化为方程的形式进行解答。
用等式的性质解方程
2、回答下列问题 4、从a = c能否得到a=c为什么？
bb
5、从xy=1能否得到x=
1 y
为什么
例2 利用等式的性质解下列方程
(1)x 7 26
(1)x 7 26
解：两边减7，得 X+7-7=26-7
于是 X=19
(1)x 7 26
检验：将X=19代入方程 X+7=26的左边，得 左边=19+7=26=右边 所以X=19是方程的解。
2、已知x、y都是数，利用等 式性质将下列各小题中的等式 进行变形，然后填空：
(2)如果 x 1 , 那么x __=1,这
y
说明x与y的关系为______
作业： P85 4
+
—
等式的性质1：等式两边加（或减） 同一个数（或式子），结果仍相等.
如果a=b,那么a±c=b±c
×?3
÷?3
等式的性质2：等式两边乘同一个数或 除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b,那么ac=bc
如果a=b(c≠0),那么
ab cc
回答下列问题
1、从a+b=b+c能否得到a=c为什么？ 2、从ab=bc能否得到a=c为什么？
例2 利用等式的性质解下列方程
(2) 5x 20 (3) 1 x 5 4
3
辨析题
1.等式两边都加上同一个数, 所得结果仍是等式.( )
√
2.等式两边都乘以同一个数, 所得结果仍是等式.( )
√
3.等式两边都除以同一个数, 所得结果仍是等式.(× )
练
利用等式的性质解下列方程：
(1) x－9=8;
一元一次方程利用等式的性质解方程
一元一次方程利用等式的性质解方程一元一次方程是代数中的基础内容，是我们学习数学的第一步。
解一元一次方程的过程中，我们可以利用等式的性质来简化计算，帮助我们更快地找到方程的解。
下面我将详细介绍一元一次方程的解法以及利用等式性质解方程的方法。
解一元一次方程的基本步骤如下：步骤一：将方程化为标准形式首先，我们需要将方程转化为标准形式，即将未知数x的系数设为1、做法是将方程两边同时除以a，得到：x+b/a=0。
步骤二：消去常数项由于方程等号右边是0，我们可以通过消去常数项来简化方程。
具体做法是将方程两边同时减去b/a，得到：x=-b/a。
步骤三：求解未知数现在，我们已经得到了未知数x的解。
根据一元一次方程的解的定义，x的解即为方程的解。
所以，方程ax + b = 0的解是x = -b/a。
这是解一元一次方程的基本步骤，但在实际问题中，我们可能会遇到一些复杂的情况。
这时，我们就需要利用等式性质来简化解方程的过程。
下面我将介绍一些常用的等式性质。
性质一：等式两边同时加上（或减去）一个相同的数，等式仍然成立。
利用这个性质，我们可以在解一元一次方程的过程中，将常数项移到方程的另一边，使得方程形式更简单。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以通过减去3来简化方程，得到2x=4性质二：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的非零数，等式仍然成立。
利用这个性质，我们可以在解一元一次方程的过程中，通过乘以或除以一个非零数，使方程的系数变为1例如，对于方程3x=6，我们可以通过除以3来简化方程，得到x=2性质三：平方等式两边，等式仍然成立。
利用这个性质，我们可以在解一元一次方程的过程中，将含有未知数的平方项消去。
例如，对于方程x^2-5x+6=0，我们可以通过平方来简化方程，得到(x-2)(x-3)=0。
这样，我们可以得到方程的两个解x=2和x=3利用这些等式性质，我们可以在解一元一次方程的过程中，将方程变得更简单，从而更容易找到方程的解。
用等式的性质解方程
两边不能 除以0
复习知识要点 等式的性质1
等式两边加（或减）同一个数（或式 子）,结果仍相等．
用式子形式怎样 表示？
如果 a = b，那么 a ± c = b ± c
复习知识要点
等式的性质2
等式两边乘同一个数，或除以同一个非0 的数，结果仍相等．
用式子
280 1.5x 280 355 280 1.5x 75 x 50
答：用余下的布可以做50套儿童服装。
请同学们谈谈本节课的收获：
我的收获是．．．． 我感到困难的是．．．．．
课本P83，习题3.1 第四题
4
实践应用：
服装厂用355米布作成人服装和儿童 服装，成人服装每套平均用布3.5米，儿 童服装每套平均用布1.5米。现在已经做 了80套成人服装，用余下的布做几套儿 童服装？
解：设余下的布可以做 x 套儿童，那么这 x 套服装就需要布1.5 x米，根据题意，得：
803.5 1.5x 355 280 1.5x 355
3.1.2等式的性质解方程
临沧市民族中学 高俊
学习目标:
1.熟练运用等式的性质解方程
2.初步体验解方程中的“化归” 意识
以下等式变形，是否正确？
（1） 由x = y，得到 x＋2 ＝ y＋2 √ （2） 由 2a－3 = b－3，得到 2a =b√ （3） 由m =n，得到 2am= 2an √
的形式怎
样
如果 a = b，那么ac= bc
表示?
如果
a
=
b，那么
a c
=
bc（c≠ 0）
用等式的性质变形时：
1．两边必须同时进行计算； 2．加（或减），乘（或除以）的数必 须是同一个数或式； 3．两边不能除以0.
等式的性质(1)与解方程
小结： 等式的性质（1）与解方程： ①等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得的结 果仍然是等式； ②方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解； ③解方程：求方程的解的过程叫作解方程。
谢谢观看
第一单元 简易方程
2.等式的性质（1）与解方程
导入新课
1.哪些是方程？
x 3 28 √
56 x 8 ×
20 - 8 12 ×
x5
√
32x 64 × 15 x 1 √ 24 x 17 √ A 4 56 √
含有未知数的等式叫方程。
探究新知 例3：怎样在天平的两边增加砝码，使天平仍然保 持平衡？
（40）+ 10 = 50， x=40。
因为50-10=40， 所以x=40。
例4：看图列方程，并求出x的值。
通常根据等式的性质来思考。 x + 10 = 50
解方程时要
先写“解”。 解： x + 10 - 10 = 50 - 10
x = 40
方程两边都 减去10，左 边只剩下x。
x + 10 = 50 解：x + 10 - 10 = 50 - 10
试一试 根据等式的性质在里填 运算符号，在
里填数。
x - 25 = 60
x - 25+25 = 60 + 25
x + 18 = 48
x + 18-18 = 48 - 18
等式两边同时加上25， 所得的结果仍然是等式。
等式两边同时减去18， 所得的结果仍然是等式。
例4：看图列方程，并求出x的值。
x + 10 = 50
x = 40
x=40是不是正确的答案呢？
第一单元简易方程《等式的性质和解方程(1)》教案
5.培养学生面对数学问题时的自信心和毅力，形成良好的数学学习习惯，提升数学情感素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握等式的性质，包括等式两边同时加减同一个数、同时乘除同一个不为0的数，等式仍然成立。
-学会运用等式的性质解一元一次方程，如x+a=b、ax=b（a≠0）等。
第一单元简易方程《等式的性质和解方程（1）》教案
一、教学内容
本节课选自《数学》五年级第一单元简易方程中的《等式的性质和解方程（1）》。教学内容主要包括以下几部分：
1.等式的性质：介绍等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
2.解方程：利用等式的性质解一元一次方程，如x+a=b、ax=b（a≠0）等。
-在解方程过程中，正确识别未知数和已知数，并熟练运用等式性质进行变形。
-解决实际问题时，能够将问题转化为方程，并运用所学知识求解。
举例解释：
-通过分组讨论和教师引导，让学生理解等式性质推导过程，如：用数轴表示3x=9，除以3后数轴上的点如何移动。
-在解方程时，强调找等号两边相等的部分，如：3x+2=5，先将2移到等号右边，得到3x=3，再除以3求解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等式的性质、一元一次方程的解法以及它们在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些概念的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
等式的性质与方程的解集- 高一数学 (人教B版2019必修第一册)
2.1.1 等式的性质与方程的解集一、单选题1．已知()370x y y =≠，则下列比例式成立的是（ ）A ．37x y =B ．73xy = C ．37x y = D ．73x y= 【答案】B【分析】由等式的性质可判断各选项的正误.【详解】因为()370x y y =≠，则0x ≠，则73x y =，73x y =，故B 选项正确，ACD 选项错误. 故选：B.2．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺 （ ）A ．11尺B ．10尺C ．6.5尺D ．6尺【答案】C 【分析】利用条件可得方程组，即得.【详解】设长木长为x 尺，绳子长为y 尺，则4.5112y x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 6.5,11x y == 故选：C.3．已知关于x 的方程123ax x =+的解集为∅，则实数a 的值（ ） A ．0B ．1C ．23D ．32【答案】C【分析】先对方程整理得1123a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由解集为空集可得1023a -=，从而可求出实数a 的值 【详解】由123ax x =+，得1123a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为关于x 的方程123ax x =+的解集为∅， 所以1023a -=，得23a =，故选：C4．一元二次方程2560x x --=的解集为（ ）A ．{}6,1-B ．{}6,1-C ．{}2,3-D ．{}2,3- 【答案】B【分析】直接求解一元二次方程的解即可.【详解】2560x x --=可化为(6)(1)0x x -+=，解得6x =或1x =-所以一元二次方程2560x x --=的解集为{}6,1-故选：B5．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有40%会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（ ）A ．60%B ．70%C ．80%D ．90% 【答案】C【分析】设原来低收入市民人口为a ，则高收入市民人口为2a ，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为%x ，然后由题意列方程可求得结果【详解】解：设原来低收入市民人口为a ，则高收入市民人口为2a ，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为%x ，则由题意可得2240%%2(%240%)a a a x a a x a -⋅+⋅=-⋅+⋅，解得80x =，故选：C6．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）A ．如果a b =，那么a c b c +=-B ．如果26a a =，那么6a =C ．如果a b =，那么a b c c = D ．如果a b c c =，那么a b = 【答案】D【分析】取0c ≠，可判断A ；26a a =⇔6a =或0a =，可判断B ；取0c ，可判断C ；利用等式的性质，可判断D【详解】选项A ，当0c ≠时，显然不成立；选项B ，如果26a a =，那么6a =或0a =，显然不成立；选项C ，当0c 时，a b c c =无意义，不成立； 选项D ，如果a b c c =，则0c ≠，故a b c c c c ⨯=⨯，即a b =，成立 故选：D7．设1a b >>，111b y a +=+，2b y a =，311b y a -=-，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）． A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y << 【答案】C【分析】通过作差法分别比较1y 与2y ，2y 与3y 的大小，从而得出1y ，2y ，3y 的大小关系.【详解】因为1a b >>，所以0,10a b a ->->，所以121(1)(1)01(1)(1)b b a b b a a b y y a a a a a a ++-+--=-==>+++， 231(1)(1)01(1)(1)b b b a a b a b y y a a a a a a ------=-==>---， 所以1223,y y y y >>，即321y y y <<.故选：C.8．若224a b +=，223b c +=，223(c a a +=，b ，)c R ∈，则ab bc ca ++的最小值为（ ）A ．5-B ．2-C ．222-D ．222--【答案】B【分析】根据已知条件求出a ，b ，c 的值，即可求解．【详解】解：因为224a b +=，223b c +=，223(c a a +=，b ，)c R ∈， 所以联立方程组，求得22a =，22b =，21c =，从而2a =±，2b =±，1c =±，所以当a ，b 异号时，ab bc ca ++取最小值为2-．故选：B ．二、多选题9．方程221x x x m x x++=+解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}3D ．{}4 【答案】ABC 【分析】将所求方程化为220x x m --=，由分类讨论求出m 的值，再解原方程即可.【详解】由题意可知1x ≠-且0x ≠，则原方程可化为2x m x x+=，得220x x m --=， 若方程有一根为0，则0m =，此时原方程的解为2x =，（0x =舍去），符合题意；若方程有一根为1-，则3m =，此时原方程的解为3x =，（1x =-舍去），符合题意；若440m ∆=+=，解得1m =-，故原方程为2210x x -+=，解得1x =.故选：ABC.10．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）A ．15- B ．0 C ．3 D ．13- 【答案】ABD 【分析】根据A B B =，得到B A ⊆，然后分0a =， 0a ≠讨论求解.【详解】A B B = ，B A ∴⊆，{}{}2|81503,5A x x x =-+== ，当0a =时，B =∅，符合题意；当0a ≠时，1B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 要使B A ⊆，则13a -=或15a-=， 解得13a =-或15a =-． 综上，0a =或13a =-或15a =-． 故选：ABD ．三、填空题11．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若2,3a b ==，则小正方形的面积是________.【答案】1【分析】设出小正方形边长，用勾股定理列出方程，求出小正方形的边长和面积.【详解】设小正方形边长为x ，由勾股定理得：()()()2222323x x +++=+，解得：1x =，故小正方形的面积为111⨯=.故答案为：1 12．设k ∈R ，若关于x 与y 的二元一次方程组312x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解集为空集，则k =______. 【答案】3【分析】两式相减，得到()31k x -=-，进而分3k =，3k ≠两种情况讨论求解即可得答案.【详解】两式相减，得到()31k x -=-，当3k =时，方程()31k x -=-无解，从而原方程组无解，其解集为空集．当3k ≠时，方程()31k x -=-的解为13x k -=-，解不是空集. 综上，3k = ．故答案为：3.13．一般情况下，2323m n m n ++=+不成立，但也有数可以使它成立，如0m n ==．使得2323m n m n ++=+成立的一对数m 、n 我们称为“相伴数对”，记为（m ，n ）．若（x ，1）是“相伴数对”，则x 的值为______．【答案】49- 【分析】利用“相伴数对”的定义求解.【详解】由题意，得112323x x ++=+， 解得49x =-．故答案为：49- 14．若等式()()2122ax bx x x +=-++恒成立，则常数a 与b 的和为______. 【答案】2【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点.【详解】等式()()2122ax bx x x +=-++恒成立，即()()2110a x b x -+-=恒成立，则有1010a b -=⎧⎨-=⎩，解之得11a b =⎧⎨=⎩，故112a b +=+= 故答案为：2四、解答题15．今年10月份，学校从某厂家购进了A 、B 型电脑共250台，A 、B 两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A 型、B 型电脑的总金额和为205万元.（1）求学校10月份购进A 、B 型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A 、B 两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A 型电脑的单价下降了a %，A 型电脑数量增加了4%5a ，B 型电脑的单价上升了503a 元，B 型电脑数量下降了4%5a ，这次采购A 、B 两种型号电脑的总金额为205万元，求a 的值. 【答案】（1）100台，150台；（2）50.【分析】（1）设学校10月份购进A 型电脑x 台，结合总金额列方程，由此求得,A B 型电脑购进的台数. （2）结合采购的总金额列方程，由此求得a 的值.【详解】（1）设学校10月份购进A 型电脑x 台，则学校购进B 型电脑()250x -台，由题意得：()700090002502050000x x +-=，解得：100x =，则学校10月份B 型电脑为250100150-=（台）；答：学校10月份购进A 、B 型电脑各100、150台.（2）根据第（1）可得学校10月份购进A 、B 型电脑的单价各为7000元、9000元，由题意可得：()450470001%1001%90001501%2050000535a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+++⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令%a t =，方程整理得220t t -=，10t =（舍），20.5t = ∴50a =.即a 的值为50.16．设集合2{|8150}A x x x =-+=，{}10B x ax =-=.(1)若15a =，试判断集合A 与B 的关系； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值集合. 【答案】(1)B A(2)110,,35a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）直接代值计算判断即可； （2）得到{}{},3,5B =∅，依次计算即可.(1)当15a =时，{5}B =， 因为{}2{|8150}3,5A x x x =-+==，所以B A .(2)因为集合B 至多有一个元素，由B A ⊆，所以{}{},3,5B =∅ 当B =∅时，0a =；当{}3B =时，所以13a =； 当{}5B =时，所以15a =. 所以110,,35a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭.。
人教B版高中数学必修第一册《2.等式的性质与方程的解集》说课稿
上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可．据此也 可进行因式分解，即（ax＋b）（cx＋d）＝acx2＋（ad＋bc）x＋bd．
吗？为什么？
新知探究
例3 求关于x的方程ax＝2的解集，其中a是常数．
当a≠0时，在等式ax＝2的两边同时乘以a，得x＝ 2 ， a 此时解集为{ 2 }． a
当a＝0时，方程变为0x＝2，这个方程无解，此时解集为∅． 综上，当a≠0时，解集为{ 2 }；当a＝0时，解集为∅．
a
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？ （1）等式的性质有哪些？ （2）什么叫恒等式？什么叫十字相乘法？ （3）什么叫方程的解集？
整体概览
问题1 阅读课本第42页，回答下列问题： （3）本章研究的起点是什么？目标是什么？
（3）起点是小学生初中已经学过的等式和不等式的知识（包括它们 的性质），本章我们将在用集合和逻辑的语言复习以前所学内容的基 础上，了解更多等式和不等式的知识，包括一元二次不等式的解法、 均值不等式等．目标是能够从函数观点认识方程和不等式，感悟数学 知识之间的关联，认识函数的重要性，掌握等式与不等式的性质．重 点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，等式仍成 立．即：如果a＝b，则对任意c，都有a±c＝b±c． （2）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数或代数式，等 式仍成立．即：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc（或）．
新知探究
【尝试与发现】补全下列（1）（2）中的两个公式，然后 将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准： （1）a2－b2＝_____________（平方差公式）； （2）（x＋y）2＝______________（两数和的平方公式）； （3）3x－6＝0； （4）（a＋b）c＝ac＋bc； （5）m（m－1）＝0； （6）t3＋1＝（t＋1）（t2－t＋1）．
2.1.1+等式的性质与方程的解集2023-2024学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
(2) 如果a=b，则对任意不为零的c，都有_______________.
ac=bc
因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为
零的数等于乘以这个数的倒数，所以上述等式性质中的
“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，
结论仍成立。
思考 1：下列各式是否正确？
x y
错因探究：未知数的系数含有字母，a＋3 与 0 的关系不确定，
b－1
因此应对 a 进行讨论，切勿直接利用等式的性质得出 x＝
.
a＋3
解析：当 a＝－3，b＝1 时，
由(a＋3)x＝b－1 得 0·x＝0，此时解集为 R；
当 a＝－3，b≠1 时，
由(a＋3)x＝b－1 得 0·x＝b－1，
此时解集为∅；
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，
a，b，都有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，
留作练习。
可以利用这个恒等式来进行因式分解。给定式子x2 +Cx +D，
如果能找到a和b，使得 D=ab 且C=a+b，则
x2 +Cx +D=(x+a)(x+b)
对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等
式仍会成立，若用一z 替换其中的 y，则
(x－z)2=x2+2x(－z)+(－z)2
=x2－2xz＋z2，
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.
典例精析
例1 化简(2x＋1)2－(x－1)2.
基础数学教案：一元一次方程的等式性质解法
基础数学教案：一元一次方程的等式性质解法一元一次方程的等式性质解法一元一次方程是数学中的基础概念，也是初中数学教学中的重要内容。
在学习一元一次方程的解法时，等式性质是一个非常重要的概念。
本文将详细讲解一元一次方程的等式性质解法，帮助初中生更好地学习和理解数学。
一、等式性质定义等式性质是一元一次方程的重要概念，指的是一个等式两边加上或减去相等的数（或式子）仍然是等式的性质。
例如，若a=b，则a+c=b+c，a-c=b-c。
这些式子中，等式两边分别加上或减去相同的数或式子时，等式仍然成立。
二、等式性质的基本操作在实际应用中，等式性质有下面的基本操作：1、等式两边同时加或减同一数对一元一次方程两边同时加或减同一数，方程依然成立。
这个基本操作是解一元一次方程必须掌握的。
例如，对于方程a+b=c，可以将二边同时减去b，化为a=c-b。
这个操作可以让我们从未知数出发，快速推算求得方程的解。
2、等式两边同时乘同一数对于一元一次方程，若等式两边同时乘以同一数，方程依然成立。
例如，当方程x+3=7时，可以同时乘以2，得到2x+6=14，然后再解得x=4。
需要注意的是，若同乘数为0，则式子无解。
3、等式两边同时除以同一数对于一元一次方程，若等式两边同时除以同一数，方程依然成立。
例如，当方程2x+6=14时，可以两边同时除以2，得到x+3=7，然后再解得x=4。
三、等式性质解一元一次方程使用等式性质解一元一次方程，首先需要将方程中的未知数移至等式的一侧，同时将已知数移至另一侧。
因为等式性质是两侧相等的性质，所以当将未知数移至一侧时，需要加上一个系数相反数的已知数；将已知数移至另一侧时，需要加上一个系数相反数的未知数。
例如，对于方程x+2=5，可以将2移至等式的另一侧，得到x=5-2=3。
接下来，我们通过几组例题来讲解等式性质解一元一次方程的具体操作：例1：2x+3=7答：将常数项3移至等式的另一侧，得到2x=7-3=4。
北师大版数学四年级下册4 解方程(一)教案与反思
4 解方程(一)灵师不挂怀,冒涉道转延。
——韩愈《送灵师》汪村学校钱少华课时目标导航教学内容等式的性质、解方程(一)。
(教材第68页)教学目标1．掌握等式两边都加上(或减去)同一个数，等式仍然成立的性质，并能利用等式的性质解简单的方程。
2．了解解方程的格式和检验的过程，并明白解方程的注意事项。
3．进一步提高学生的知识分析能力和迁移能力。
重点难点重点：掌握等式两边都加上(或减去)同一个数，等式仍然成立的性质，并能利用等式的性质解简单的方程。
难点：解形如a±x＝b的方程原理，掌握正确的解方程格式及检验方法。
教具准备课件PPT、天平、砝码。
教学过程一、情景引入课件出示教材第68页的天平图。
提问：观察上面的天平，你发现了什么？明确：天平都是平衡状态。
天平左右两边的质量相同。
二、学习新课1．等式的性质1。
(1)你能用等式表示出图中的等量关系吗？明确：第一幅图：5＝5,5＋2＝5＋2。
第二幅图：12＝12,12－2＝12－2。
第三幅图：x＝10，x＋5＝10＋5。
第四幅图：x＋5＝15，x＋5－5＝15－5。
(2)观察5＝5和5＋2＝5＋2两个等式有什么关系？(教师引导学生回答)5＋2＝5＋2是在5＝5的两边同时加2。
观察x＝10和x＋5＝10＋5，它们之间又有什么关系？(教师引导学生回答)x＋5＝10＋5是在x＝10的两边同时加5。
结合天平观察左图这四个等式，你发现了什么规律？(教师引导学生回答)天平的两边都加上相同的质量，天平仍平衡。
(3)继续观察12＝12和12－2＝12－2，你又发现了什么？(教师引导学生回答)12－2＝12－2是在12＝12的两边同时减去2。
观察x＋5＝15和x＋5－5＝15－5，你又发现了什么？(教师引导学生回答)x＋5－5＝15－5是在x＋5＝15的两边同时减去5。
结合天平观察右图这四个等式，你发现了什么规律？(教师引导学生回答)天平的两边都减去相同的质量，天平仍平衡。
教你如何用等式的性质解一元一次方程
教你如何用等式的性质解一元一次方程。
一、等式的基本性质1.一等式两边加减相同的数/式，仍相等。
例如：若 $a=b$，则 $a+c=b+c$。
2.一等式两边乘除相同的数/式，仍相等。
例如：若 $a=b$，且 $c\neq0$，则$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$。
3.一等式两边交换位置，仍相等。
例如：若 $a=b$，则 $b=a$。
4.一等式两边同时乘法运算，仍相等。
例如：若 $a=b$，且 $c\neq0$，则 $ac=bc$。
5.一等式两求平方/开平方，两边仍相等。
例如：若 $a=b$，则 $a^2=b^2$，或 $a=\sqrt{b}$，则$a^2=b$。
二、利用等式的性质解一元一次方程在解一元一次方程中，通常采用“等式转化法”或“代入法”。
其中“等式转化法”又叫作“变形法”，即通过变形，使方程转化为形式相同的等式。
这里我们介绍如何利用等式的性质解一元一次方程。
1.同次数等式可以相减。
例如：解方程 $3x+2=5x-6$。
解法：将方程转化为同次数等式：$3x-5x=-6-2$。
由此得到：$-2x=-8$。
将等式两边都除以 $-2$，可得：$x=4$。
2.分式可以通分后相减。
例如：解方程 $\frac{1}{x}+\frac{3}{x-2}=2$。
解法：将分式通分转化为同分母分式：$\frac{x-2+3x}{x(x-2)}=2$。
由此得到：$\frac{4x-2}{x(x-2)}=2$。
将等式两边都乘以 $x(x-2)$，可得：$4x-2=2x^2-4x$。
化简后得到：$2x^2-8x+2=0$。
解得：$x=1-\sqrt{3}$ 或 $x=1+\sqrt{3}$。
3.方程两边可以求平方。
例如：解方程 $\sqrt{2x+5}=x-1$。
解法：将方程转换成同次数等式：$\sqrt{2x+5}=x-1$，即$2x+5=(x-1)^2$。
将方程化简：$x^2-4x+4-2x-5=0$。
等式的性质解方程
等式的性质一、教学内容分析（一）知识目标1．理解：等式的意义，并能举出有关等式的例子，借助天平的操作活动，发现并理解等式的性质；2．掌握：关于等式变形的两条性质，并能语言叙述．3．应用：会用等式的两条性质将等式变形，并能对变形说明理由．（二）能力训练点通过等式的两条性质的教学，培养学生由等式走向新等式的解题思想，即为以后方程的同解变形打下基础．（三）情感态度与价值观让学生感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望，增强学好数学的信心。
（四）美育渗透点等式的两条性质体现了数学的对称美．二、学法引导1．教学方法：采取引导发现法，创设合理的问题情境，激发学生思维的积极性，充分展现学生的主体作用．2．学生学法：演示实验→等式性质→巩固练习．三、重点、难点、疑点及解决办法1．重点：等式概念的认识理解，等式性质的归纳．2．难点：利用等式的两条性质变形等式．3．疑点：（1）等式性质2中，关于除数不为零的理解．（2）利用性质变形时，对“等式两边”的理解．四、学习者分析（5到8行）在此之前，学生已经学习了算式中的图形或字母所表示数的求解方法，大部分学生已经较好的掌握了用乘法分配律对代数式进行化解方法，并在学习中初步建立起了利用等式的性质求解图形和字母所表示的数的思维，认识了方程并会求解一些简单的方程。
但是，也有一少部分的学生对对方程的认识还不完善，误用等式的性质等，因此在教学中，关注全体学生的同时，要特别关注这些学生，课堂上给予提供及时的帮助五、教学策略选择与设计1.图示导入2.引出等式3.探究性质14.出示性质15.探究性质26.讨论并出示性质27.练习与巩固8.课堂小结六、教学资源与工具设计（一）学习环境：多媒体教室 （二）用到的资源： 1、天平、砝码 2、下载有关视频 3、制作PPT 课件七、教学过程 （如何引入，如何出题，出几道题，分析，（用表格式的）） 教学环节 教学内容与教学活动 学生活动 设计意图或依据课堂导入思考下面的问题:（一）、我会估算的解吗？、你能估算出方程31,2441=+=x x2,6==x x（二）、等式及其性质1、等式 用等号表示相等关系的式子叫等式。
苏教版五年级数学下册第1单元第2课《等式的性质和解方程(1)》说课稿
苏教版五年级数学下册第1单元第2课《等式的性质和解方程（1）》说课稿一. 教材分析苏教版五年级数学下册第1单元第2课《等式的性质和解方程（1）》这一课，主要让学生掌握等式的性质，学会解方程的方法。
教材通过生活实例引入等式，让学生在解决实际问题的过程中，体会等式的概念，理解等式的性质，并学会用等式的性质解方程。
二. 学情分析五年级的学生已经掌握了基本的数学运算技能，对数学问题有一定的分析能力。
但在解方程方面，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习难点，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，理解和掌握等式的性质和解方程的方法。
三. 说教学目标1.让学生理解等式的概念，掌握等式的性质。
2.培养学生解方程的能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解和掌握等式的性质，学会解方程的方法。
2.教学难点：引导学生运用等式的性质解方程，解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用情境教学法，以生活实例引入等式，激发学生的学习兴趣。
2.采用引导发现法，引导学生观察、操作、思考，发现等式的性质。
3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
4.利用多媒体教学手段，展示等式的性质和方程的解法，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例，引入等式概念，让学生感知等式的存在。
2.探究等式的性质：让学生观察、操作、思考，发现等式的性质，并引导学生用语言表述出来。
3.解方程：让学生运用等式的性质，解简单的方程，体会解方程的方法。
4.应用拓展：让学生解决实际问题，运用所学知识解决生活中的数学问题。
5.总结反思：让学生回顾本节课所学内容，总结等式的性质和解方程的方法。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。
可以设计如下：等式的性质：1.等式两边同时加减同一个数，等式仍然成立。
2.等式两边同时乘除同一个数（0除外），等式仍然成立。
第四章 一元一次方程 利用等式的性质解方程 —— 初中数学第一册教案_七年级数学教案
第四章一元一次方程利用等式的性质解方程——初中数学第一册教案_七年级数学教案第四章一元一次方程利用等式的性质解方程一、目的要求使学生会用移项解方程。
二、内容分析从本节课开始系统讲解一元一次方程的解法。
解一元一次方程是一个有目的、有根据、有步骤的变形过程。
其目的是将方程最终变为x=a的形式；其根据是等式的性质和移项法则，其一般步骤是去分母、去括号、移项、合并、系数化成1。
x=a的形式有如下特点：（1）没有分母；（2）没有括号；（3）未知项在方程的一边，已知项在方程的另一边；（4）没有同类项；（5）未知数的系数是1。
在讲方程的解法时，要把所给方程与x=a的形式加以比较，针对它们的不同点，采取步骤加以变形。
根据方程的特点，以x=a的形式为目标对原方程进行变形，是解一元一次方程的基本思想。
解方程的第一节课告诉学生解方程就是根据等式的性质把原方程逐步变形为x=a的形式就可以了。
重点在于引进移项这一变形并用它来解方程。
用等式性质1解方程与用移项解方程，效果是一样的。
但移项用起来更方便一些。
如解方程 7x-2=6x-4时，用移项可直接得到 7x-6x=4+2。
而用等式性质1，一般要用两次：（1）两边都减去6x；（2）两边都加上2。
因为一下子确定两边都加上（-6x＋2）不太容易。
因此要引进移项，用移项来解方程。
移项实际上也是用等式的性质，在引进过程中，要结合教科书第192页及第193页的图强调移项要变号。
移项解方程后的检验，可以验证移项解方程的正确性。
三、教学过程复习提问：（1）叙述等式的性质。
（2）什么叫做方程的解？什么叫做解方程？新课讲解：1．利用等式性质1可以解一些方程。
例如，方程x-7=5的两边都加上7，就可以得到 x=5+7，x＝12。
又如方程 7x＝6x-4的两边都减去6x，就可以得到7x-6x=-4，x=-4。
然后问学生如何用等式性质1解下列方程 3x-2=2x+1。
2．当学生感觉利用等式性质1解方程3x-2=2x＋1比较困难时，转而分析解方程x-7=5,7x=6z-4的过程。
高中数学第二章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集新人教B新人教B高一第一册数学教案
2．1.1 等式的性质与方程的解集考点学习目标核心素养等式的性质掌握等式的性质，会用十字相乘法分解因式数学运算会利用等式的性质解一元一次方程，数学运算方程的解集会用因式分解法解一元二次方程问题导学预习教材P43－P46的内容，思考以下问题：1．等式的性质有哪些？2．恒等式的概念是什么？3．十字相乘法的内容是什么？4．方程的解集的概念是什么？1．等式的性质(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．[注意] 等式性质成立的条件，特别是性质(2)中的“不为零”．2．恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．3．方程的解集一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ＝b ，则a －c ＝b －c .( )(2)若a ＝b ，则a c ＝bc .( )(3)若a c ＝bc，则a ＝b .( )(4)x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)．( ) (5)x 2＋5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3)．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√下列各式由左边到右边的变形为因式分解的是( ) A ．a 2－b 2＋1＝(a ＋b )(a －b )＋1 B ．m 2－4m ＋4＝(m －2)2C ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9D ．t 2＋3t －16＝(t ＋4)(t －4)＋3t 答案：B已知x 2＋kxy ＋64y 2是一个完全式，则k 的值是( ) A ．8 B ．±8 C ．16 D ．±16答案：D方程2x ＋13－3x ＋42＝12的解集为________．解析：由2x ＋13－3x ＋42＝12，得2(2x ＋1)－3(3x ＋4)＝3，即－5x －10＝3，所以x ＝－135.所以方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－135.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－135方程x 2＋2x －15＝0的解集为________． 解析：x 2＋2x －15＝(x －3)(x ＋5)＝0， 所以x ＝3或x ＝－5.所以方程的解集为{3，－5}． 答案：{3，－5}利用十字相乘法分解单变量多项式角度一 x 2＋(p ＋q )x ＋pq 型式子的因式分解分解因式： (1)x 2－3x ＋2； (2)x 2＋4x －12.【解】 (1)如图，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个x 用1来表示(如图)．(2)由图，得所以x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6).x 2＋(p ＋q )x ＋pq 此类二次三项式的特点是：(1)二次项系数是1； (2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．其分解因式为：x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝(x ＋p )(x ＋q )． 角度二 ax 2＋bx ＋c 型式子的因式分解分解因式： (1)6x 2＋5x ＋1； (2)6x 2＋11x －7； (3)42x 2－33x ＋6； (4)2x 4－5x 2＋3. 【解】 (1)由图，得所以6x 2＋5x ＋1＝(2x ＋1)(3x ＋1)． (2)由图，得所以6x 2＋11x －7＝(2x －1)(3x ＋7)． (3)由图，得所以42x 2－33x ＋6＝(6x －3)(7x －2)． (4)由图，得所以2x 4－5x 2＋3＝(x 2－1)(2x2－3)＝2(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋62⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －62.对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c 分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c 的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2＝________；(2)x2＋37x＋36＝________；(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；(4)4m2－12m＋9＝________.解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)．(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]＝(a－b＋4)(a－b＋7)．(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.答案：(1)(x－1)(x－2)(2)(x＋1)(x＋36)(3)(a－b＋4)(a－b＋7)(4)(2m－3)2利用十字相乘法分解双变量多项式角度一x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)a2－2ab－8b2；(2)x＋5xy－6y(x>0，y>0)；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；(4)m4＋m2n2－6n4.【解】(1)(a＋2b)(a－4b)；(2)(x＋6y)(x－y)；(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)；(4)(m＋2n)(m－2n)(m2＋3n2)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2这类二次齐次式的特点是：(1)x2的系数为1；(2)y2的系数为两个数的积(pq)；(3)xy的系数为这两个数之和(p＋q)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2＝x2＋pxy＋qxy＋pqy2＝x(x＋py)＋qy(x ＋py)＝(x＋py)(x＋qy)．角度二ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)6m2－5mn－6n2；(2)20x2＋7xy－6y2；(3)2x4＋x2y2－3y4；(4)6(x＋y)＋7z（x＋y）＋2z(x>0，y>0，z>0)．【解】 (1)(3m ＋2n )(2m －3n )． (2)(4x ＋3y )(5x －2y )． (3)(x ＋y )(x －y )(2x 2＋3y 2)．(4)(3x ＋y ＋2z )(2x ＋y ＋z )．对ax 2＋bxy ＋cy 2因式分解时，若将y 2也视为常数，则与ax 2＋bx ＋c 的分解方法是一致的．1．分解下列各因式：(1)x 2－xy －2y 2－2x ＋7y －3； (2)ab －2a －b ＋2.解：(1)(x －2y )(x ＋y )－2x ＋7y －3＝(x －2y ＋1)·(x ＋y －3)；(2)(b －2)(a －1)．2．分解因式：x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m .解：x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝(x ＋m )(x ＋m ＋1)． 一元一次方程的解集用适当的方法求下列方程的解集： (1)x0.7－0.17－0.2x0.03＝1；(2)x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －12（x －1）＝2（x －1）3.【解】 (1)原方程可化为107x －1003(0.17－0.2x )＝1，即107x －17－20x 3＝1，去分母，得30x －7(17－20x )＝21， 去括号，得30x －119＋140x ＝21， 移项，得30x ＋140x ＝21＋119， 合并同类项，得170x ＝140， 系数化为1，得x ＝1417.所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1417.(2)去小括号，得x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x ＋12＝2x －23，去括号，得x －12x ＋14x －14＝2x －23，去分母，得12x －6x ＋3x －3＝8x －8， 移项，得12x －6x ＋3x －8x ＝－8＋3， 合并同类项，得x ＝－5. 所以该方程的解集为{－5}．解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．1．求下列方程的解集： (1)4－3(10－y )＝5y ； (2)2x －13＝2x ＋16－1.解：(1)去括号，得4－30＋3y ＝5y .移项，得3y －5y ＝30－4. 合并同类项，得－2y ＝26.系数化为1，得y ＝－13. 所以该方程的解集为{－13}．(2)去分母，得2(2x －1)＝(2x ＋1)－6. 去括号，得4x －2＝2x ＋1－6. 移项，得4x －2x ＝1－6＋2. 合并同类项，得2x ＝－3. 系数化为1，得x ＝－32.所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－32.2．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解集与方程4x －(3a ＋1)＝6x＋2a －1的解集相同，求式子a －1a的值．解：解方程x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)， 去括号，得2x －8－48＝－3x －6， 移项、合并同类项，得5x ＝50，系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程4x －(3a ＋1)＝6x ＋2a －1， 得4×10－(3a ＋1)＝6×10＋2a －1，解得a ＝－4. 当a ＝－4时，a －1a ＝－4－1－4＝－154.因式分解法解一元二次方程用因式分解法求下列方程的解集． (1)6x (x ＋1)＝5(x ＋1)； (2)(2x －1)2－(x ＋1)2＝0； (3)(x ＋3)(x ＋1)＝6x ＋2.【解】 (1)分解因式，得(6x －5)(x ＋1)＝0， 所以6x －5＝0或x ＋1＝0，所以x 1＝56，x 2＝－1.所以方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫56，－1.(2)分解因式，得[(2x －1)＋(x ＋1)][(2x －1)－(x ＋1)]＝0， 所以3x (x －2)＝0，所以x 1＝0，x 2＝2. 所以方程的解集为{0，2}．(3)整理，得x 2－2x ＋1＝0.即(x －1)2＝0，所以x 1＝x 2＝1. 所以方程的解集为{1}．用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．[提醒] ①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．用因式分解法求下列方程的解集：(1)x ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝x ； (2)(x －3)2＋2x －6＝0；(3)9(2x ＋3)2－4(2x －5)2＝0.解：(1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－1＝0， 即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝0， 所以x 1＝0，x 2＝32， 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，32. (2)(x －3)2＋2(x －3)＝0，(x －3)(x －3＋2)＝0，所以x －3＝0或x －1＝0，所以x 1＝3，x 2＝1，所以该方程的解集为{3，1}．(3)[3(2x ＋3)＋2(2x －5)][3(2x ＋3)－2(2x －5)]＝0， 所以(10x －1)(2x ＋19)＝0，所以10x －1＝0或2x ＋19＝0，所以x 1＝110，x 2＝－192.所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，－192.1．分解因式x 3－x ，结果为( )A ．x (x 2－1)B ．x (x －1)2C ．x (x ＋1)2D ．x (x ＋1)(x －1)解析：选D.x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x ＋1)(x －1)．2．已知a ＋b ＝3，ab ＝2，计算：a 2b ＋ab 2等于() A ．5 B ．6C ．9D ．1解析：选B.a 2b ＋ab 2＝ab (a ＋b )＝2×3＝6.3．分解因式a 2＋8ab －33b 2得( )A ．(a ＋11)(a －3)B ．(a ＋11b )(a －3b )C ．(a －11b )(a －3b )D ．(a －11b )(a ＋3b )解析：选B.a 2＋8ab －33b 2＝(a －3b )(a ＋11b )．4．方程3x (x －2)＝2－x 的解集为________．解析：因为3x (x －2)＝2－x ，所以3x (x －2)－(2－x )＝0，即3x (x －2)＋(x －2)＝0，所以(x －2)(3x ＋1)＝0，所以x ＝2或x ＝－13， 所以方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－13. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－13 5．把下列各式分解因式：(1)x 2＋15x ＋56；(2)6x 2＋7x －3；(3)x 2－6xy －7y 2；(4)8x 2＋26xy ＋15y 2.解：(1)x 2＋15x ＋56＝(x ＋7)(x ＋8)；(2)6x 2＋7x －3＝(2x ＋3)(3x －1)；(3)x 2－6xy －7y 2＝(x －7y )(x ＋y )；(4)8x 2＋26xy ＋15y 2＝(2x ＋5y )(4x ＋3y )．[A 基础达标]1．多项式2x 2－xy －15y 2的一个因式为( )A ．2x －5yB ．x －3yC ．x ＋3yD ．x －5y 解析：选B.2x 2－xy －15y 2＝(x －3y )(2x ＋5y )．2．(a ＋b )2＋8(a ＋b )－20分解因式得( )A ．(a ＋b ＋10)(a ＋b －2)B ．(a ＋b ＋5)(a ＋b －4)C ．(a ＋b ＋2)(a ＋b －10)D ．(a ＋b ＋4)(a ＋b －5)解析：选A.(a ＋b )2＋8(a ＋b )－20＝[(a ＋b )－2][(a ＋b )＋10]＝(a ＋b －2)(a ＋b ＋10)．3．若多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值是( )A ．a ＝10，b ＝2B ．a ＝10，b ＝－2C ．a ＝－10，b ＝－2D ．a ＝－10，b ＝2解析：选C.因为(x －5)(x －b )＝x 2－(5＋b )x ＋5b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（5＋b ）＝－35b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ＝－10. 4．方程2x －(x ＋10)＝5x ＋2(x ＋1)的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43 C ．{－2} D ．{2}解析：选C.因为2x －(x ＋10)＝5x ＋2(x ＋1)，所以2x －x －10＝5x ＋2x ＋2，即－6x ＝12，所以x ＝－2.5．下列说法正确的是( )A ．解方程3x (x ＋2)＝5(x ＋2)时，可以在方程两边同时除以(x ＋2)，得3x ＝5，故x ＝53B ．解方程(x ＋2)(x ＋3)＝3×4时，对比方程两边知x ＋2＝3，x ＋3＝4，故x ＝1C ．解方程(3y ＋2)2＝4(y －3)2时，只要将两边开平方，方程就变形为3y ＋2＝2(y －3)，从而解得y ＝－8D ．若一元二次方程的常数为0，则0必为它的一个根答案：D6．若x 2＋mx －10＝(x ＋a )(x ＋b )，其中a ，b 为整数，则m 取值的集合为________．解析：因为x 2＋mx －10＝(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a ＋b ab ＝－10. 又因为a ，b 为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝5， 所以m ＝±9或±3，所以m 取值的集合为{－9，－3，3，9}．答案：{－9，－3，3，9}7．已知y ＝1是方程2－13(m －y )＝2y 的解，则关于x 的方程m (x －3)－2＝m (2x －5)的解集为________．解析：因为y ＝1是方程2－13(m －y )＝2y 的解，所以2－13(m －1)＝2，即m ＝1.所以方程m (x －3)－2＝m (2x －5)⇒(x －3)－2＝2x －5， 解得x ＝0.所以方程的解集为{0}．答案：{0}8．若实数a ，b 满足(4a ＋4b )(4a ＋4b －2)－8＝0，则a ＋b ＝________.解析：设a ＋b ＝x ，则原方程可化为4x (4x －2)－8＝0，整理，得(2x ＋1)(x －1)＝0，解得x 1＝－12，x 2＝1，则a ＋b ＝－12或1. 答案：－12或1 9．把下列各式分解因式：(1)6x 2＋7x －3；(2)12x 2＋25x ＋12；(3)42x 2－5x －2；(4)72x 2＋7x －2.解：(1)(2x ＋3)(3x －1)；(2)(3x ＋4)(4x ＋3)；(3)(6x ＋1)(7x －2)；(4)(9x ＋2)(8x －1)．10．把下列各式分解因式：(1)x 2－y 2－x ＋3y －2；(2)6xy ＋4x ＋3y ＋2；(3)x 2－(a ＋b )x ＋ab ；(4)(x ＋y )2－(3＋a )|x ＋y |＋3a .解：(1)(x ＋y )(x －y )－x ＋3y －2＝(x ＋y －2)(x －y ＋1)；(2)(2x ＋1)(3y ＋2)；(3)(x －a )(x －b )；(4)(|x ＋y |－3)(|x ＋y |－a )．[B 能力提升]11．规定一种运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 21 5＝8，运算得5x －2＝8，解得x ＝2.按照这种运算的规定，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝5时，x 的值为________．解析：由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2 x ＝x 2－4x ＝5，即x 2－4x －5＝0，解得x ＝5或x ＝－1.答案：5或－112．小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b )进入其中时，会得到一个新的实数a 2－3b －5，例如把(1，－2)放入其中，就会得到12－3×(－2)－5＝2.现将实数对(m ，3m )放入其中，得到实数5，则m ＝________.解析：因为将实数对(m ，3m )放入其中，得到实数5， 所以m 2－9m －5＝5，解得m ＝10或－1.答案：10或－113．用因式分解法求下列方程的解集：(1)x 2－10x ＋9＝0；(2)2(x －3)＝3x (x －3)；(3)4(3x －2)(x ＋1)＝3x ＋3；(4)2(2x －3)2－3(2x －3)＝0；(5)2x 2－16＝x 2＋5x ＋8；(6)(3x －1)2＋3(3x －1)＋2＝0.解：(1)(x －1)(x －9)＝0，所以x 1＝1，x 2＝9；所以该方程的解集为{1，9}．(2)整理，得(x －3)(2－3x )＝0，所以x －3＝0或2－3x ＝0，所以x 1＝3，x 2＝23； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，23. (3)4(3x －2)(x ＋1)－3(x ＋1)＝0，所以(x ＋1)(12x －11)＝0，所以x 1＝－1，x 2＝1112； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1112. (4)(2x －3)[2(2x －3)－3]＝0，(2x －3)(4x －9)＝0，所以x 1＝32，x 2＝94； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，94. (5)2x 2－x 2－5x －16－8＝0， x 2－5x －24＝0，(x －8)(x ＋3)＝0，所以x 1＝8，x 2＝－3；所以该方程的解集为{8，－3}．(6)[(3x －1)＋1][(3x －1)＋2]＝0，3x (3x ＋1)＝0，所以x 1＝0，x 2＝－13； 所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－13. 14．阅读材料，解答问题．为解方程(x 2－1)2－3(x 2－1)＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则(x 2－1)2＝y 2，原方程化为y2－3y＝0，解得y1＝0，y2＝3.当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.[问题]解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.解：设x2＋3＝y，原方程可化为y2－4y＝0，即y(y－4)＝0，所以y1＝0，y2＝4.当y＝0时，x2＋3＝0，此时方程无解；当y＝4时，x2＋3＝4，所以x＝±1，所以x1＝1，x2＝－1.所以该方程的解集为{－1，1}．[C 拓展探究]15．已知方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2 018x－2 019＝0的较小根为n.求m－n的值．解：将方程(2 018x)2－2 017×2 019x－1＝0化为(2 0182x＋1)(x－1)＝0，所以x1＝－12 0182，x2＝1，所以m＝1.同理，由方程x2＋2 018x－2 019＝0可得(x＋2 019)(x－1)＝0，所以x1＝－2 019，x2＝1，所以n＝－2 019，所以m－n＝2 020.。
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3.1.2等式的性质教学设计
第二课时
【教学目标】
进一步理解用等式的性质解简简单的（两次运用等式的性质）一元一次方程；初步具有解方程中的化归意识；
【教学重点】用等式的性质解方程．
【教学难点】需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序．
【教学设计】
一、复习引入：
解下列方程：（1）x＋7=1.2；（2）23 32 x
在学生解答后的讲评中围绕两个问题：
①每一步的依据分别是什么？
②求方程的解就是把方程化成什么形式？（x=a）
这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程．
二、探究新知：
对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解，下列方程你也能马上做出选择吗？
教材例2（3）利用等式的性质解方程．（两次运用等式的性质）
例1 利用等式的性质解方程：0.5－x=3.4
要把方程0.5－x=3.4转化为x=a的形式，必须去掉方程左边的0.5，怎么去？
解：两边减0.5，得0.5－x－0.5=3.4－0.5
化简，得
－x=2.9，
两边同乘－1，得l
x=－2.9
小结：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质（2）解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化．
例2（补充）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3.5米，儿童服装每套平均用布1.5米．现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？
在学生弄清题意后，教师再作分析：如果设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x 套服装就需要布1.5x米，根据题意，你能列出方程吗？
解：设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5米，根据题意，得
80x×3.5＋1.5x＝355．
化简，得
280＋1.5x＝355，
两边减280，得
280＋1.5x－280＝355－280，
化简，得
1.5x＝75，
两边同除以1.5，得x＝50．
答：用余下的布还可以做50套儿童服装．
解后反思：对于许多实际间题，我们可以通过设未知数，列方程，解方程，以求出问题的解．也就是把实际问题转化为数学问题．
问题：我们如何才能判别求出的答案50是否正确？
在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：检验一个数值是不是某个方程的解，可以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，例如：把x=50代入方程80×3.5＋1.5x=355的左边，得80×3.5＋1.5×50=280＋75=355
方程的左右两边相等，所以x=50是方程的解．
你能检验一下x=－27是不是方程
1
54
3
x
--=
的解吗？
三、课堂小结：
1．先让学生进行归纳、补充．主要围绕以下几个方面：
（1）这节课学习的内容．
（2）我有哪些收获？
（3）我应该注意什么问题？
2．教师对学生的学习情况进行评价．
四、作业设计：
Ｐ８５４（2）（3）（4）、10、11
五、教案设计意图：
1．力求体现新课程理念：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知
识经验基础之上．教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会……学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．本设计从新课的引人、例题的处理（包括解题后的反思）、反馈练习及小结提高等各环节都力求充分体现这一点．
2．在传统的课堂教学中，教师往往通过大量地讲解，把学生变成任教师“灌输”的“容
器”，学生只能接受、输入并存储知识，而教师进行的也只不过是机械地复制文化知识．新
课程的一个重要方面就是要改变学生的学习方式，将被动的、接受式的学习方式，转变为动手实践、自主探索与合作交流等方式．本设计在这方面也有较好的体现．
3．为突出重点，分散难点，使学生能有较多机会接触列方程，本章把对实际问题的讨论作为贯穿于全章前后的一条主线．对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的，即先列出方程，然后讨论如何解方程，这是本章的又一特点．本设计充分体现了这一特点．
感谢您的阅读，祝您生活愉快。