可靠性概率分布
可靠性中常用的概率分布
(3-4)
指数分布的累积分布函数
F(x)=1-e-x
(3-5)
——若产品在一定时间区间内的失效数服从泊松分布，则该产品的 寿命服从指数分布。
3.5 正态分布
正态分布密度函数定义为：
f (x)
1
2
exp
1 2
x
2, x来自其中： －均值， －标准差。
(3-6)
标准正态分布
例如，对于图(下左)中所示的两种分布形式（一种为 Weibull分布，另一种为正态分布），虽然它们的概率密度 函数曲线差别很小，但其累积分布函数（反映可靠性特征） 在小概率区域的差别却十分显著，如图(下右)所示。
Probability density function
Probability
0.35
当 (t) 为常数时，满足上述条件的计数过程 {N (t),t 0} 为
时齐泊松随机过程。
泊松随机过程的概率密度分布
(t) 0.5 h 1
P(m, t )
n
t/h
3.4 指数分布
指数分布的定义
指数分布的密度函数为
e x
f (x) 0
式中为常数，是指数分布的失效率。
(x 0; 0)
(3-3)
P{X k} Cnk pk (1 p)nk
(k 0,1,2,..., n)
泊松过程
泊松随机过程作为一种重要的计数过程， 可以很好地用于描述“顾客流”、“粒子流” 、“信号流”等事件的概率特性。
设 {N(t),t 0} 为一计数过程，且满足以下条件： (1) N(0)=0； (2) {N (t),t 0} 是一个独立增量过程，即任取 0 t1 t2 tm
失效率函数
系统工程之系统可靠性理论与工程实践讲义
系统工程之系统可靠性理论与工程实践讲义系统可靠性是系统工程中非常重要的一个领域，它一方面涉及到理论研究、模型建立等基础工作，另一方面也需要结合实际工程实践来验证和改进。
本讲义将介绍系统可靠性的基本理论与工程实践，并探讨如何提高系统的可靠性。
一、系统可靠性的定义与重要性1.1 系统可靠性的定义系统可靠性是指系统在给定的条件下在一段时间内满足特定要求的能力。
这个特定要求可以是正常工作的概率、失效的概率、失效后的恢复能力等。
1.2 系统可靠性的重要性系统可靠性直接影响到系统的稳定性、安全性和可用性。
一个可靠的系统能够正常工作并且能够应对可能出现的各种故障和异常情况，从而保证工程项目的顺利进行和安全性。
二、系统可靠性的理论基础2.1 可靠性的概率理论可靠性的概率理论是系统可靠性研究的基础，它将系统的可靠性问题转化为概率分布和统计计算问题。
常用的理论方法有可靠性函数、失效率函数、故障模式与失效分析等。
2.2 系统结构与可靠性分析系统结构与可靠性分析是指通过对系统结构与组成部分进行分析，计算系统的可靠性。
常用的方法有事件树分析、故障树分析、Markov模型等。
2.3 可靠性增长理论可靠性增长理论是指通过对系统进行可靠性试验和监控，根据得到的失效数据对系统进行可靠性增长预测和改进。
常用的方法有可靠性增长图、可靠性增长模型等。
三、系统可靠性的工程实践3.1 可靠性设计可靠性设计是指在系统设计阶段，通过选择可靠性较高的组件和结构，提高系统的可靠性。
常用的方法有设计可靠性评估、冗余设计、容错设计等。
3.2 可靠性测试可靠性测试是指对系统进行工作负载、压力、故障等方面的测试，以评估系统的可靠性。
常用的方法有端到端测试、负载测试、异常情况测试等。
3.3 可靠性维护与改进可靠性维护与改进是指在系统投入使用后，对系统进行设备维护、故障排除、性能改进等工作，以保持系统的可靠性和稳定性。
四、提高系统可靠性的工程实践4.1 设定合理的要求和指标在系统设计之初，需要设定合理的可靠性要求和指标。
可靠性中常用的概率分布
名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形二项分布np npq二项分布：当进行一种试验只有两种可能的结果时，叫成败型试验。
在可靠性工程中，二项分布可用来计算部件相同并行工作冗余系统的成功概率，也适用于计算一次使用系统的成功概率。
返回可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形泊松分布P（λ）λλ泊松分布：一个系统，在运行过程中由于负载超出了它所能允许的范围造成失效，在一段运行时间内失效发生的次数X是一随机变量，当这随机变量有如下特点时，X服从泊松分布。
特点1：当时间间隔取得极短时，智能有0个或1个失效发生；特点2：出现一次失效的概率大小与时间间隔大小成正比，而与从哪个时刻开始算起无关；特点3：各段时间出现失效与否，是相互独立的。
例如：飞机被击中的炮弹数，大量螺钉中不合格品出现的次数，数字通讯中传输数字中发生的误码个数等随机变数，就相当近似地服从泊松分布。
名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形超几何分布H(n,M,N)返回可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形指数分布e(λ)指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。
有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。
它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。
指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。
可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形威布尔分布(Ⅲ型极值分布)W(k,a,b)威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿命试验的数据处理。
可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形正态分布(高斯分布)N(μ,σ)μσ2正态分布：是在机械产品和结构工程中，研究应力分布和强度分布时，最常用的一种分布形式。
第3章 可靠性分布函数
6
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
三、指数分布 e()
指数分布在质量可靠性工程中常用来描述产品在正常 运转期间的寿命。
密度函数 f (t ) e t
不可靠度函数 F(t) 1 et
可靠度函数 R(t) et
失效率函数 (t) f (t) / R(t)
平均寿命 寿命方差
E(T ) 1
14
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例6（教材例3-5）:有100个某种材料的试件进行抗拉强 度试验，现测得试件材料的强度呈正态分布,均值 μ=600MPa ，标准差 σ=50MPa。求：(1)试件强度 =600MPa时的存活率、失效概率和失效试件数；(2)强 度落在(550~450)MPa 区间内的失效概率和失效试件数； (3)失效概率为 0.05时材料的强度值。
2
1）特征：
① 曲线关于x 对称。
x
1
② 在均值x 处有最大值，其值为 2 。
③ 标准差σ越小，曲线 f (x)的峰值越高，因而 X落在μ附近的概率越大。
10
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2）标准正态分布故障密度函数
0 , 1 的正态分布称为标准正态分布
(x)
1
x2
e2
D(T ) 2 1 2
可靠寿命
11
TR
ln R
特征寿命 T (e1) 1
7
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例3：某仪器的寿命T服从指数分布，其平均无故障连 续工 作时间MTBF为25h，试求其失效率为多少？若 要求 可靠性为90%，问应如何选择连续工作时间？
解：失效率为：
第3章 可靠性分布函数
6
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
三、指数分布 e()
指数分布在质量可靠性工程中常用来描述产品在正常 运转期间的寿命。
密度函数 f (t ) e t
不可靠度函数 F(t) 1 et
可靠度函数 R(t) et
失效率函数 (t) f (t) / R(t)
平均寿命 寿命方差
E(T ) 1
a
(z) 1 (z)
(z) 值可查正态分布表
13
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例5：已知某轴在精加工后，其直径尺寸呈正态分布， 均值 μ=14.90mm，标准差σ =0.05mm。规定直径尺寸在 (14.90±0.1)mm内时就为合格品，求合格品的概率。
解：先将正态分布标准化
合格品的概率为:
解：(1)
查正态分布表得失效概率 F(Z)=0.5 存活率 R(x=600)=1-F(Z)=0.5 试件失效数 n=100*0.5=50(件)
15
车辆可靠性设计
(2) 失效概率
第三章 可靠性常用分布函数
失效件数 n=100*0.0214≈2(件)
(3) 失效概率F(Z)=0.05，存活率1-F(Z)=0.95
查正态分布表得Z=-1.64，由式
因此材料强度值为518MPa。
16
车辆可靠性设计
2
非标准正态分布
标准正态分布
设z x (标准正态变量)
(z) f (x)
(z) (z)
1
z2
e2
2
( z) 值可查正态分布密度函数数值表
11
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2、正态分布不可靠度函数
可靠度分配
Q D = QE = 0.005 = 0.0707, 即得分配的结果为 : A, B, C 的可靠性为 : 1-0.005=0.995; D,E 的可靠性为 : 1-0.0707=0.9293; （当各组成单元的预计失效概率较大时的可靠性分配） 对于串联系统，组成单元失效分布均服从指数分布的情况。 λ sy = λ1 y + λ2 y + L + λ ny
E
2
B3
7
C3
求 A 到 E 的最短距离 (用逆推法 ), 令各阶段目标函数 (距离 ) 为 f n ( s ) , s 为状态变量, x n 为决策变量 , f n ( s) = xn . 第一阶段: f 1 ( D1 ) = 1 (从 D1 到终点 E 的距离等于 1), f 1 ( D2 ) = 2 .
* (2). 给定系统可靠性为 RS ; 使所需的努力总代价为最小 . 努力代价函数 G ( x, y ) 满足一定(常规 )的条件, 即 ( y > x ≥ 0) . (a). G ( x, y) ≥ 0; (b). G ( x, y ) ≤ G ( x, y + ∆y ), ∆ y > 0; G ( x, y ) ≥ G( x + ∆x, y ), ∆x > 0 ; (c). G ( x, y ) + G ( y, z ) = G ( x, z), x < y < z ; (d). 及其它性质 . 问题的数学形式 : n Min G ( R i , Ri* ), ∑ i =1 s.t . n R * ≥ R* , * * to find R1* , R2 ,L , R n S ∏ i i =1 * * 0 < R1* ≤ R2 ≤ L ≤ Rn ≤ 1, * R1 , R2 ,L , R n , RS are known values; R * ≥ R , i = 1,2,L , n. i i 可以证明, 这个最优化问题有如下的唯一解 :
可靠性概率分布讲解
关于可靠性分布函数及其工程应用的讨论学号：*********姓名：***目录一、引言 (3)二、分布函数及其应用的讨论 (3)（一）、指数分布 (3)1.定义： (3)2.指数分布的可靠度与不可靠度函数 (4)3.图像分析 (4)4.应用 (5)（二）、正态分布 (6)1.定义： (6)2.正态分布的可靠度与不可靠度函数 (6)3.失效率函数 (6)4.图像分析 (7)5.应用 (8)（三）、对数正态分布 (9)1.定义： (9)2.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数 (9)3.对数正态分布失效率 (9)4.图像分析 (9)5应用 (11)（四）、威布尔分布 (12)1.三参数威布尔分布的定义： (12)2.可靠度与不可靠度函数 (12)3.威布尔分布失效率 (12)4.图像分析 (12)5.应用 (15)三、小结 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、引言可靠性是指产品在规定的条件下，规定时间内，完成规定功能的能力，是对产品无故障工作能力的度量。
可靠性作为衡量产品质量的一个重要的指标，已广泛的应用于各个工程领域。
与可靠性相反，产品丧失规定功能称为失效或故障。
工程机械系统是由零件和部件组成的，零件或部件的失效会导致系统的失效。
然而，失效的原因是多种多样的，如结构缺陷、工艺缺陷、使用不当、老化等等。
引起每种失效的原因也可能是不同的，如性能退化可能由于疲劳、蠕变、裂纹扩展、磨损或者腐蚀等导致的[1]。
实践表明，系统或零、部件的失效时间往往是不确定的，要定量描述系统或零、部件的失效时间，应当采用统计学方法。
将失效时间作为一个随机变量，用一个恰当的概率分布函数去描述它。
从数据的统计分析中找出产品寿命分布的规律，是进一步分析产品故障，预测故障发展，研究其失效机理及制定维修策略的重要手段。
可靠性分析与评估是可靠性分析中非常重要的一部分，它是指在产品的寿命周期内，根据产品的可靠性分布模型、结构，以及相关的可靠性信息，利用统计方法，对产品的可靠性指标做出估计的过程。
4 可靠性预测和分配
例 某项设备由发射机、接收机、信息处理 与控制机、监控台监测信号源、射频分机、 天线等七部分组成，其中发射机所用的元 器件及失效率估计如下表所示。试估计发 射机的故障。
4．相似设备法
这种方法是根据与所研究的新设备相似的老设备的可靠性， 考虑到新设备在可靠性方面的特点，用比较的方法估计新 设备可靠性的方法。经验公式为
例： 系统可靠性逻辑框图如下图所示， 已知各单元的失效概率为：FA=0.0247; FB=0.0344; FC=0.062; FD=0.0488; FE=0.0979;FF=0.044; FG=0.0373; FH=0.0685;试用上下限法求系统的可靠 度，并与数学模型法的结果比较。
3．元件计数法
n
F j Fk R j Rk
n—系统中的单元总数； n1—系统中的并联单元数目； Rj，Fj—单元j，j＝1，2，…，nl，的可靠度，不可靠度； RjRk，FjFk—并联子系统中的单元对的可靠度，不可靠 度，这种单元对的两个单元同时失效时，系统仍能正 常工作； n2—上述单元对数。
(1)上限值的计算
当系统中的并联子系统可靠性很高时，可以
认为这些并联部件或冗余部分的可靠度都近 似于1，而系统失效主要是由串联单元引起的， 因此在计算系统可靠度的上限值时，只考虑 系统中的串联单元。
RU 0 R1 R2 Rm Ri
i 1
m
系统应取m=2，即 RU 0 R1R2 当系统中的并联子系统的可靠性较差时，若 只考虑串联单元则所算得的系统可靠度的上限值 会偏高，因而应当考虑并联子系统对系统可靠度 上限值的影响。但对于由3个以上的单元组成的并 联子系统，一般可认为其可靠性很高，也就不考 虑其影响。
可靠性数据分析的计算方法
可靠性数据分析的计算方法可靠性数据分析是指对产品或系统在给定条件下运行的可靠性进行评估和分析的过程。
它通过收集、整理和分析故障数据，来评估产品或系统的可靠性水平，并为提高产品或系统的可靠性提供决策依据。
以下是可靠性数据分析的计算方法：1.故障数据的统计描述：a.统计故障发生次数：计算故障事件的频率和数量。
b. 统计故障发生时间：计算故障事件的发生时间间隔，包括平均故障间隔时间（MTTF）和故障率（Failure Rate）等指标。
c.统计故障模式：分析故障类型，包括常见的故障原因、故障模式和故障机理。
2.可靠性概率分布函数的拟合：a.根据故障发生时间数据，选择适当的可靠性概率分布函数，如指数分布、韦伯分布、威布尔分布等。
b.使用最小二乘法、最大似然估计等方法，对概率分布函数的参数进行拟合。
3.产品或系统的可靠性指标计算：a. 可靠度（Reliability）：表示产品或系统在一定时间内正常工作的能力，可以使用可靠度函数或可靠性图进行计算。
b.MTTF：平均无故障时间，表示产品或系统在正常工作期间平均无故障运行的时间。
c.故障率：指单位时间内发生故障的概率，可以通过故障发生次数与总运行时间的比值计算得出。
4.可靠性增长分析：a.通过对多次故障数据的分析，计算产品或系统的可靠性增长率。
b.根据可靠性增长率，评估产品或系统的可靠性改进情况，为可靠性增长计划提供依据。
5.故障原因分析：a.根据故障数据的统计描述结果，分析故障发生的原因，包括环境因素、设计缺陷、制造工艺等。
b.使用故障树分析（FTA）、失效模式与影响分析（FMEA）等方法，深入研究故障原因，为可靠性改进提供建议。
6.可靠性试验设计和分析：a.设计可靠性试验计划，确定试验的样本数量、试验时间、试验条件等。
b.分析试验结果，计算试验产品或系统的可靠性指标，评估设计和生产的合格率。
7.故障数据的可视化：a.使用统计图表、散点图、生存曲线等工具，对故障数据进行可视化展示。
可靠性设计
1 1 0.0004 次/小时 MTBF 2500
R(t 500) e t e 0.0004500 0.8187
R(t 1000 ) e t e 0.00041000 0.6703
28
4.正态分布（normal distribution）—— 连续型分布函数
R(t 400) R( z 2.5) F ( z 2.5) 0.9938 失效概率 F (t 400) 1 R(t 400) 1 0.9938 0.0062
失效数r=1000×0.0062=6.2(个)≈6（个）
30
（2）t=600h时，标准正态变量
r r nr f (r ) C n p q
25
设事件发生次数的均值为m，事件实际发生次数为r，对泊松分布
而言，则有：
事件发生r次概率为:
m r m f (r ) e r!
F (c ) f ( r )
r 0 c
事件发生次数不超过c的累积概率为: 其泊松分布的均值E(r)=np=m，方差s=m
17
由此得到失效率、可靠度与概率密度之间的关
系为：
f (t ) (t ) R(t )
18
举例： 某零件的失效时间随机变量服从指数分布，为了让１０００小时的可靠 度在８０％以上，该零件的失效率应低于多少？
解：分析可知，失效时间随机变量服从指数分布，即 f (t ) e t 因为 由于
N f (t ) N s (t ) N 0 N f (t ) R(t ) 1 N0 N0 N0 由于０≤Ｎｆ(ｔ)≤Ｎ０，故０≤Ｒ(ｔ)≤１。
11
可靠度表达式-B
设ｔ为零件（系统）的失效时间（随机变量），Ｔ为
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
电力系统可靠性二项分布和泊松分布
B 旁待备用系统
26
泊松分布（应用）
• A正常工作时(A发生0次故障)、A发生1次 故障时，系统连续工作的概率分别为：
P 0 (t) (t)0 0 !e t e t,P 1 (t) (t)1 1 !e tt e t
• 系统连续工作的总概率为：
R ( t) P 0 ( t) P 1 ( t) e t t e t e t( 1 t)
• 举例：某一次实验，成功的概率是0.1.试分别用(a) 二项分布；(b)泊松分布计算。10次试验中恰有两 次成功的概率。
(a )P (2 ) C 1 20 0 .1 2 0 .9 8 1 2 !8 ! ! 0 0 .1 2 0 .9 8 0 .1937
(b )n p 1* 0 0 .1 1 .0
P(2)1.02 e1.0 0.1839 2!
单位时间的平均故障数
20
泊松分布
• 泊松分布的概率分布函数
Px(t)
(t)xet
x!
x:故障发生的次数
• 该表达式计及了故障数，但未计及元件故障后需要修 复或更换的时间。
• 如果平均修复时间很短而与平均无故障工作时间相比 可以略去不计的话，则在许多计算中，这个假设是合 理的。
21
泊松分布
• 泊松分布的均值(故障发生次数)和方差为：
• 泊松分布用以描述：在一时间t内，某事件发生 次数的概率。例如：一台机组10年内故障0次、1 次…的概率。
19
泊松分布
• 它与二项分布的主要区别在于：只考虑事件 的发生而不考虑事件的不发生。
• 如：一个时期的着雷数、一段时间的电话数 等；
• 如果用泊松分布模拟失效过程，则可选择故 障率λ为“给定时间内发生频率为常数” 。
可靠性测试中基于Weibull分布的寿命分析方法研究
可靠性测试中基于Weibull分布的寿命分析方法研究在现代化的工业生产中，产品的可靠性对于企业的生存和发展至关重要。
为了保证产品可靠性，可靠性测试成为了必不可少的一步。
然而，如何对产品进行寿命分析，成为了可靠性测试领域的一个难点问题。
而基于Weibull分布的寿命分析方法由于其具有较高的精度和应用性而被广泛采用。
本文将对该方法进行研究探讨。
一、Weibull分布及其应用Weibull分布是可靠性测试中常用的分布形式。
其概率密度函数为：f(x)=k/λ·(x/λ)^(k-1)·e^(-(x/λ)^k)其中，k为形状参数，λ为尺度参数，x为寿命。
Weibull分布的CDF（累计分布函数）为：F(x)=1-e^(-(x/λ)^k)Weibull分布具有以下特点：1. 随着k的增大，分布变得越来越对称；2. 随着λ的增大，分布向右移动，尺度越大，寿命越长；3. 当k=1时，Weibull分布退化成指数分布；4. 当k>1时，分布函数为单峰分布；5. 当k<1时，分布函数为多峰分布。
Weibull分布广泛应用于可靠性测试中，如飞机引擎故障率分析、电子产品故障率分析等。
二、基于Weibull分布的寿命分析方法1. 参数估计为了进行Weibull分布的寿命分析，需要先对其参数进行估计。
常见的参数估计方法有如下两种：（1）最大似然估计法最大似然估计法是指，在某种假设下，选择估计量最有可能使样本观测值出现的概率最大的估计量作为理论值的估计。
对Weibull分布而言，其似然函数为：L(k,λ)=∏(f(xi; k,λ))对数似然函数为：LnL(k,λ)=∑Ln(f(xi; k,λ))通过对数似然函数关于k和λ的偏导数，可以得到似然方程组，通过求解似然方程组可以得到参数估计值。
（2）最小二乘法最小二乘法是指，在一定的误差范围内，找到数学模型和实际数据之间最小二乘偏差的方法。
对Weibull分布而言，其最小二乘估计可以通过构造似然方程组转化为非线性最小二乘问题，通过迭代法求解即可得到参数估计值。
第二章 可靠性概率统计知识
概率的互补定理
某一事件发生和不发生的概率之和必然是1，即：
P A P A 1
例8：若某产品或设备出现故障的概率为F(t)，则 其无故障地发挥规定功能即正常工作的概率（可 靠度）为： R(t)=1-F(t)
条件概率
在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称 为事件B发生的条件概率。记为：P（B∣A）。
3）乘法定理，A、B相关
50 P( B A) 99 10 50 5 P( AB) P( A) P( B A) 100 99 99
全概率公式
如果事件组A1,A2,…,An满足 A A i j (1) ，i≠j，且P(A )>0，i=1，2，…，n， 即互不相容； n Ai S，即全部事件为必然事件； (2)
的性质的推断（点推断）。 例：随机测试，正品率82%
区间估计：以数值区间（范围）和母体的真正数值可
能存在于该区间的概率来表现的，由子样的性质对母 体性质的推断（区间推断）。
例：正品率在 80% ～ 85% 之间的概率为 95% （置信度或置信水平） 置信度：1-α α —显著性水平（人为给定） 置信区间 例：子样均值对于母体均值μ 的置信度，在 x C , x C 内为1-α 。
若样本容量为n，其观测值为x1,x2,…,xn，则：
1. 样本均值
1 n x xi n i 1 1 n 2 s ( x x ) i n 1 i 1
2
2. 样本方差
3. 样本标准差
s
1 n ( xi x ) 2 n 1 i 1
4. 样本变异系数
Cx
s x
i 1
如果“事件A1,A2,…,An同时发生”这一事件为D，则称 D为事件A1,A2,…,An的积，记为：
可靠性
2.1 可靠性的定义和要点定义：产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的能力。
要点：1) 产品：任何设备、系统或元器件。
2) 规定条件：包括使用时的环境条件和工作条件。
环境条件：温度、湿度、振动、冲击、辐射等；工作条件：维护方法、储存条件、操作人员水3) 规定时间：产品的规定寿命。
4) 规定功能：产品必须具备的功能和技术指标。
2.2 可靠性特征量定性的概念故障：产品丧失规定的功能。
失效：不可修复或不予修复产品出现的故障。
维修：保持或恢复产品完成规定功能而采取的技术管理措施。
维修性：可维修产品在规定时间内，按照规定的程序或方法进行维修，使其恢复到完成规定功能的可能性。
可用性(可利用度或有效度)：可维修产品在某时刻所具有的，或能维持规定功能的可能性。
定量的概念（可靠性指标）:以上统称为可靠性尺度。
可靠度：产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率。
它是时间的函数。
例2-1 某批电子器件有1000个，开始工作至500h内有100个损坏，工作至1000h共有500个损坏，求该批电子器件工作到500h和1000h的可靠度。
解：由可靠度公式:有2 失效概率密度f(t)失效概率密度函数f(t)的观测值为产品在单位时间内失效个数占产品总数的概率，即：失效概率密度函数与不可靠度和可靠度的关系为: 3 失效率λ(t)定义：当产品工作到t 时刻，在此后的单位时间内发生失效 的概率，也称为故障率。
数学表达式:失效率的统计观测值:结合以上两式：将前式从0到t 积分，则得：于是得:上式称为可靠度函数R(t)的一般方程。
当λ(t)为恒定值时， 就是指数分布可靠度函数的表达式。
说明：(1)R(t)，F(t)，f(t)，λ(t)可由1个推算出其余3个。
(2)R(t)，F(t)是无量纲量，以小数或百分数表示。
f(t)， λ(t)是有量纲量，以1/h 表示。
比如，某型号滚动轴承的失 效率为λ(t)=5*10-5/h ，表示105个轴承中每小时有5个失 效，它反映了轴承失效的速度。
可靠性的函数关系、统计分布和参量
半导体器件和集成电路的可靠性评估（即失效率预测，failure rate prediction）是一个重要的问题。
可靠性评估实际上也就是采用通过寿命试验而得到的失效的数据、来估算出器件和集成电路的有效使用寿命。
有效使用寿命即为器件和集成电路能够正常工作的平均使用时间（MTTF，mean time to failure）；与此密切相关的概念是失效率、可靠性指标等可靠性参量。
因为通过寿命试验而获得的失效数据，往往遵从某种规律的分布函数——可靠性函数，所以根据这些试验数据，由可靠性函数规律出发，即可估算出器件和集成电路的MTTF和失效率等参量。
（1）可靠性函数：半导体器件和集成电路会由于各种原因而失效，但是失效率往往与使用时间有关。
若在经过时间t 之后未失效器件的数目为R(t)，则通过寿命试验可以获得大致如图1所示的三种模式的函数关系：①早期失效模式；②偶发失效模式；③磨损失效模式。
在数学上可用来描述这些失效模式的函数即称为可靠性函数。
对于偶发失效的模式，比较符合实际的可靠性函数是指数函数；由此可知偶发失效的失效率是一个常数，即不管经过多长时间，器件失效的几率都是一样的；根据这种可靠性函数，可较容易地进行分析。
比偶发失效更早发生的失效称为早期失效。
大多数半导体器件和集成电路所出现的失效都属于早期失效模式。
对于这种很快就会发生失效的器件和电路，一般都可以在使用之前、通过例行试验（即采用一定条件的筛选工艺）来去除掉，以免带来后患。
磨损失效也称为疲劳失效，其特点是开始阶段的故障少，然后故障不断增加。
（2）Weibull分布：从统计角度来看，统计数据的分布函数有许多种，常用的有如指数分布、Gauss分布、Γ分布、对数正态分布和Weibull分布，它们的功能各有千秋。
虽然指数分布函数比较简单、分析容易，同时也能很好地表征偶发失效模式的规律，不过对于晶体管、二极管和集成电路的整个可靠性分析而言，比较符合实际情况的、可以用作为可靠性函数的是Weibull 分布。
可靠性概论
图1-14（ b）所示为形状参数m=2和尺度参数η=1（曲 14 线分布宽度）时，位置参数δ不同时的曲线分布图。由图 可见，曲线的形状、分布宽度不变，只是曲线在横坐标上 的位置改变。
图114(b)m 2, 1时不同 (位置)的f (t)
图1-14（ c）所示为形状参数m = 2和位置参数δ= 0时， 15 尺度参数η（曲线分布宽度）不同时的曲线分布图。由图可 见，η↓→ 曲线宽度↓→ f (t )↑。
根据条件概率
R(t0
t)
P(T
t0
t
T
t0 )
P(T
t0 t,T P(T t0 )
t0 )
P(T t0 t) P(T t0 )
R(t0 t) R(t0 )
e-(t0 t) et0
e-t0 et
e-t0
e-t
R(t) P(T
t)
返回1
二、威布尔分布
11
威布尔分布在可靠性理论中是适用范围较广的一种 分布。
t = θ(平均寿命)。
5
(1 -19)
4. 指数分布的失效率函数λ(t)
6
(t) 常数
（1- 20）
指数分布的失效率函数的图形如图1－13所示。
5. 指数分布的平均寿命θ（MTTF或MTBF）
7
对可修产品一般用MTBF 表示平均寿命θ，称“平均无
故障工作时间”
对可不修产品一般用MTTF 表示平均寿命θ，称“失效 前的平均工作时间”
值可查附表1求得（见下页）。
图1-19正态分布的累积 失效概率函数
26 摘自附表1正态分布表
3.正态分布的可靠度函数 R（t）
27
工程可靠性选讲(2)：重力荷载的概率分布
试验观察 样本 {X1, X 2,, X n}
客观世界
数学模型
由直方图推断 fX (x)
fX (x) x
X
=
1 n
∑
X
i
∑
= S 2
1 n −1
(Xi − X )2
统计估计
均值 µ ≈ X 方差 σ 2 ≈ S 2
随机变量模型的统计建模过程
次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
注意到平稳二项过程中荷载出现与否与荷载出现幅值大小彼 此独立，故
F= ∆ti (a) P(Q(t) ≤ a, t ∈ ∆ti ) = pF (a) +=q pF (a) + (1− p)
=1− p[1− F (a)] 因此有
FM (a) ={1− p[1− F (a)]}r
令 m = p r 为在 [ 0, T ]上出现 R ( t) > 0 的次数，则可证明下式近似成立：
荷载间隔(kN) 出现次数 出现频率
82.25~83.25 1 83.25~84.25 7 84.25~85.25 11 85.25~86.25 6 86.25~87.25 2
0.037 0.259 0.407 0.222 0.074
反映荷载变异性的概率模型
1、随机变量模型
常见的随机变量模型： （１）正态分布； （２）对数正态分布； （３）极值Ｉ型分布
k 0=k 0
(a)]k +1
(λT )k
k!
e−λT
∑ = F (a)e−λT ∞ [λT = ⋅ F (a)]k F (a)e−λT ⋅ eλTF (a)
k =0
k!
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1.概率分布
fx
概率密度函数
x
2.数字特征
均值（期望）：反映随机变量取值集中的位置，常用μ或E(x)表示。
在可靠性设计中，E(x)可表示平均强度、平均应力、平均寿命… 在常规设计中引入的物理量，多数就是E(x)。
方差 衡量随机变量取值的分散程度，用D(x)、σ2表示。 定义：
性质：
x、y为相互独立的随机变量
F (t )
f (t)
(t )
R(t)
F (t )
f (t)
(t )
——
1 R(t)
dR(t) dt
d ln R(t) dt
1 F(t)
——
dF (t) dt
1 dF (t) 1 F (t) dt
t f (t)dt
t
0 f (t)dt
——
f (t)
t f (t)dt
的求解。
不可靠度
F(t) t f (t)dt t
可靠度 Rt 1 Ft 1 t
故障率
t
f t Rt
1
2
exp
1 2
t
2
1
t
(1 F (t))dt R(t)dt
R(t)dt
t
t
(t)dt
1
dR(t) ln R(t)
0
0 R(t)
t
e R(t)
(t)dt 0
对上式两边对t求导： (t) f (t)
R (t )
可靠性设计基础
机械产品可靠性的度量参数
可靠性设计基础
基本函数 R(t)
平均寿命
E
tf (t)dt
tet dt 1
0
0
中位寿命：r=0.5 0.5 et
t 0.5
ln0.5
0.6971
0.7E
特征寿命： r e1 0.368
t 0.368
1
e1 et
寿命方差： 2 t 2f tdt - E2 1
机械产品的可靠性概率分布
xx 2016.03.21
可靠性设计概述
一、机械产品可靠性的定义 在规定的使用条件和规定时间内，机械产品完成规定功能的能力。
二、机械可靠性设计方法 (1)定性设计方法 成功的设计经验或失败的经验教训，有针对性地应用到设计中， 避免故障或设计缺陷。 (2)定量设计方法 利用概率方法计算出给定设计条件下产品的失效概率或可靠度， 以符合给定的可靠性要求。
离散型随机变量的几种常见分布
可靠性抽样试验以及产品质量保证等大量工程实际问题 需要用到离散模型。主要有：
两点分布 二项分布 泊松分布
两点分布 （1）两点分布又称（0，1）分布 （2）数学模型的随机试验只可能有两种试验结果 （3）两点分布的分布列或分布律也可写成:
也可表示为 :
（4）数字特征 E(X ) 1• p 0• q p D(X ) p p2 p(1 p) pq
平均寿命 E=μ
可靠寿命
1
t
r
特征寿命 te1 0.34
中位寿命 t 0.5
在柴油机或机械系统中，有些零件故障是由几种相对独立 的微小主导因素迭加而成的，如气缸、活塞、齿轮和轴类零件。
指数分布不适于描述按耗损规律失效的问题，机械零件的失效常属 于这一类型。
例 内燃机增压器处于使用寿命期中工作，根据以往经验知，寿命服从
指数分布，在100小时内有1%发生故障，求可靠度R(2000)，t
和
0.5
t
0.9
的使用寿命？
解： 先求λ F（100）=0.01
1 e100 0.01
t
(t )dt
e 0
t
1 e 0 (t)dt
t
(t)e 0 (t)dt
——
可靠性工程以产品的寿命特征为主要研究对象。产品的寿命特
征一般是连续的随机变量，例如产品故障时间和维修时间等。处 理这种问题可利用概率统计方法，找出它们的概率分布和概率密 度函数，有了确定的分布就可以求出该分布特征统计量，如正态 分布的均值及标准差。即使不知道具体的分布函数，也可以通过 对分布的参数估计求得某些特征量的估计值。这些分布及概率密 度函数，不仅描述了寿命的内在规律，而且分布的参数还决定了 产品的寿命特征。因此必须对失效分布作较深入的研究。
F (t)
1
t
e
tμ 2
2σ2
dt
2
均值， 标准差
当 0， 1时称为标准正态分布， 此时可表示为：
e (t) 1
t 2
2
2
e t
(t)
1
_ 2
t 2 2 dt
3 σ准则： 超过距离值3 σ的可能性太小，认为几乎不可能。
可靠性设计基础
(2)失效率
若定义：(t) n(t) 为平均失效率。
(N n(t))t
n(t )
则： (t )
lim (t)
N t 0
lim N t 0
1
n(t )
N N t
dF (t) (1 F (t))dt
为失效率。
(t) d (F (t)) d (1 R(t)) dR(t)
两点分布可以作为描绘从一批产品中任意抽取一件得到的 “合格品”或“不合格品”的概率分布模型
二项分布
二项分布又称贝努里分布。二项分布满足以下基本假定： 试验次数n是一定的； 每次试验的结果只有两种，成功或失败； 每次试验的成功概率和失败概率相同，即p和q 是常数； 所有试验是独立的。
pX k pk q1k , k 0,1
随机变量X取值不大于k的累积分布函数为:
n
F(k) P(X k) Cnr prqnr r0
X的数学期望与方差分别为:
n
E(x) kP(X k) np k 0 n
D(X ) [k E(X )]2 P(X k) npq np(1 p) k 0
P(X k) (t)k et
k!
(k 0)
为平均发生率
(2)在任意两次相邻的失效之间的时间T是独立的连续型的随机变量， 服从参数为λ的指数分布 :
P(T t) R(t) et
泊松过程适合于建模有较多的元件倾向于失效，而每个元件失效的 概率比较小的情况
二项分布实例
可靠性品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率。 记为R=R(t)=P(E)=P {T≧t} 其中：T为产品的寿命；t为规定的时间； 事件{T≧t}有三个含义： 产品在t时间内完成规定的功能； 产品在时间t内无障碍； 产品的寿命T大于t；
可靠性设计基础
0
2
标准差：
1
指数分布的性质
（1）指数分布的一个重要性质是无记忆性。无记忆性是产品在 经过一段时间t0工作之后的剩余寿命仍然具有原来工作寿命相 同的分布，而与t无关。这个性质说明，寿命分布为指数分布的 产品，过去工作了多久对现在和将来的寿命分布不发生影响。
（2）在“浴盆曲线”中，它是属于偶发期这一时段的.
所谓独立试验是指将试验A重复做n次，若各次试验的结果 互不影响，即每次试验结果出现的概率都与其他各次试验结 果无关，则称这n次试验是独立的。
在二项分布中，若一次试验中，P(A)
p, P(A) 1 p
则在n次独立
地重复试验中，试验A发生的概率为:
Pn (k ) Cnk pk qnk
N(0 , σ)
-3σ -2σ -σ μ=0 σ 2σ 3σ
68.26% 95.44% 99.73%
自然界和工程中许多物理量服从正态 分布，可靠性分析中，强度 极限、尺寸公差、硬度等已被证明是 服从正态分布。
正态分布的特征量函数：
可以证明： F (t) ( t u )
从而将一般任一正态分布的求解转化为标准正态分布
1 ln 1 0.0001005
100 0.99
R(2000 ) e2000 0.8187
t 0.5
0.6971
6931小时
t 0.9
1
ln
1 0.9
1048小时
例 一元件寿命服从指数分布，其平均寿命(θ)为2000小时，求 故障率λ及求可靠度R (100)=? R(1000)=?
解：P(安全着陆) P(没有轮胎着陆) P(只有一个轮胎爆破)
C C （ 0 0.001）（0 0.999）3 （ 1 0.001）1 （0.999）2
3
3
0.99999
连续性随机变量的几种常见分布
正态分布 指数分布 对数正态分布 威布尔分布
指数分布 在数学上易处理成直观的曲线
正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材料强
度、磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度以及难以
判断其分布的场合。属于递增型故障率的概率分布。 它的分布曲线处于浴盆曲线的耗损阶段。
若产品寿命或某特征值有故障密度：
f (t)
1
(t )2
e 2 2
(t 0, 0, 0)
2
失效率反映了特征参数
单参数分布 最基本最常用的分布