可靠性概率分布

的求解。
不可靠度
F(t) t f (t)dt t


可靠度 Rt 1 Ft 1 t

故障率

t

f t Rt

1
2
exp


1 2

t

2

1


t
解： 1 1 5 104 2000
R(100) e5104100 e0.05 0.95
R(1000) e 51041000 e 0.5 0.60
此元件在100小时时的可靠度为0.95，而在1000小时时 的可靠度为0.60。
正态分布（高斯分布）
不可靠度：F(t)=1-R(t)=
t
0
f
(t )dt ；那么R（t）=1-
t
0
f
(t)dt

ຫໍສະໝຸດ Baidu
t f
(t)dt
其中，f（t）为失效密度函数；
用统计方法：若有N个相同的产品同时投入试验，经历时间t后有n（t） 件产品失效。
可靠度：R(t)≈ N n(t) 1 n(t)
N
N
失效概率：F(t) 1 R(t) n(t) N
平均寿命
E

tf (t)dt
tet dt 1
0
0

中位寿命：r=0.5 0.5 et
t 0.5

ln0.5


0.6971

0.7E
特征寿命： r e1 0.368
t 0.368

1

e1 et
寿命方差： 2 t 2f tdt - E2 1
失效率反映了特征参数
单参数分布 最基本最常用的分布
若产品的寿命或某一特征值t的故障密度为：
f (t) et
( 0,t 0)
则称t服从参数λ的指数分布。
指数分布的特征量函数 不可靠度（失效）函数
F (t) t f (t)dt 1 et 0
可靠度函数 R(t) et
N(0 , σ)
-3σ -2σ -σ μ=0 σ 2σ 3σ
68.26% 95.44% 99.73%
自然界和工程中许多物理量服从正态 分布，可靠性分析中，强度 极限、尺寸公差、硬度等已被证明是 服从正态分布。
正态分布的特征量函数：
可以证明： F (t) ( t u )

从而将一般任一正态分布的求解转化为标准正态分布
1.概率分布
fx
概率密度函数
x
2.数字特征
均值（期望）：反映随机变量取值集中的位置，常用μ或E(x)表示。
在可靠性设计中，E(x)可表示平均强度、平均应力、平均寿命… 在常规设计中引入的物理量，多数就是E(x)。
方差 衡量随机变量取值的分散程度，用D(x)、σ2表示。 定义：
性质：
x、y为相互独立的随机变量
机械产品的可靠性概率分布
xx 2016.03.21
可靠性设计概述
一、机械产品可靠性的定义 在规定的使用条件和规定时间内，机械产品完成规定功能的能力。
二、机械可靠性设计方法 (1)定性设计方法 成功的设计经验或失败的经验教训，有针对性地应用到设计中， 避免故障或设计缺陷。 (2)定量设计方法 利用概率方法计算出给定设计条件下产品的失效概率或可靠度， 以符合给定的可靠性要求。
二项分布用来计算冗余系统的可靠度，也可用于计算一 次性使用装置或系统的可靠度估计
泊松分布
泊松分布，经过适当的处理可成为指数分布。假定：
在互不相交的时间区间内所发生的失效 是统计独立的；
单位时间内的平均失效次数为常数，而 与所考虑的时间区间无关
泊松过程有下面两个重要性质:
(1)设t是时间区间的长度，则在此区间内发生失效的次数X是一个整数 型的随机变量，在此时间区间内，发生k次失效的概率服从一个均 值为λt的泊松分布:
S
上式给出的结论是： 则安全；反之则安全。
应该说，上式观点不够严谨。首先，设计中的许多物理量是随
机变量；基于前一个观点，当 时，未必一定安全，可能
因为随机数的存在而有不安全的可能性。
可靠性设计概述
很显然在设计中引入概率的观点，这就是概率设计，是可靠性 设计的重要内容。 概率设计就是在原常规设计的计算中引入随机变量和概 率运算，并给出满足满足强度条件的概率---可靠度。
两点分布可以作为描绘从一批产品中任意抽取一件得到的 “合格品”或“不合格品”的概率分布模型
二项分布
二项分布又称贝努里分布。二项分布满足以下基本假定： 试验次数n是一定的； 每次试验的结果只有两种，成功或失败； 每次试验的成功概率和失败概率相同，即p和q 是常数； 所有试验是独立的。
(k 0,1,2, n)
上式为二项概率公式。若用X表示在n次重复试验中事件A发 生的次数，显然，X是一个随机变量，X的可能取值为 0,1,2,…n，则随机变量X的分布律为：
P( X k ) Cnk pkqnk
(k 0,1,2, n)
此时，称随机变量X服从二项分布B（n,p）。 当n=1时，二项分布简化为两点分布即：
可靠性设计概述
三、可靠性是衡量产品质量的一项重要指标。 可靠性长期以来是人们设计制造产品时的一个追求的目标。 但是将可靠性作为设计制造中的定量指标的历史却还不长，相关技
术也不成熟，工作也不普及。
可靠性设计概述
四、常规设计与可靠性设计 常规设计中，经验性的成分居多，如基于安全系数的设计。 常规设计可通过下式体现： [ ] lim
可靠性设计基础
五、可靠性指标
(1)可靠度： 产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率。 记为R=R(t)=P(E)=P {T≧t} 其中：T为产品的寿命；t为规定的时间； 事件{T≧t}有三个含义： 产品在t时间内完成规定的功能； 产品在时间t内无障碍； 产品的寿命T大于t；
可靠性设计基础
pX k pk q1k , k 0,1
随机变量X取值不大于k的累积分布函数为:
n
F(k) P(X k) Cnr prqnr r0
X的数学期望与方差分别为:
n
E(x) kP(X k) np k 0 n
D(X ) [k E(X )]2 P(X k) npq np(1 p) k 0




平均寿命 E=μ
可靠寿命
1


t





r
特征寿命 te1 0.34
中位寿命 t 0.5
在柴油机或机械系统中，有些零件故障是由几种相对独立 的微小主导因素迭加而成的，如气缸、活塞、齿轮和轴类零件。
P(X k) (t)k et
k!
(k 0)
为平均发生率
(2)在任意两次相邻的失效之间的时间T是独立的连续型的随机变量， 服从参数为λ的指数分布 :
P(T t) R(t) et
泊松过程适合于建模有较多的元件倾向于失效，而每个元件失效的 概率比较小的情况
二项分布实例
所谓独立试验是指将试验A重复做n次，若各次试验的结果 互不影响，即每次试验结果出现的概率都与其他各次试验结 果无关，则称这n次试验是独立的。
在二项分布中，若一次试验中，P(A)

p, P(A) 1 p
则在n次独立
地重复试验中，试验A发生的概率为:
Pn (k ) Cnk pk qnk
0
2
标准差：

1

指数分布的性质
（1）指数分布的一个重要性质是无记忆性。无记忆性是产品在 经过一段时间t0工作之后的剩余寿命仍然具有原来工作寿命相 同的分布，而与t无关。这个性质说明，寿命分布为指数分布的 产品，过去工作了多久对现在和将来的寿命分布不发生影响。
（2）在“浴盆曲线”中，它是属于偶发期这一时段的.
1 ln 1 0.0001005
100 0.99
R(2000 ) e2000 0.8187
t 0.5

0.6971


6931小时
t 0.9

1

ln
1 0.9
1048小时
例 一元件寿命服从指数分布，其平均寿命(θ)为2000小时，求 故障率λ及求可靠度R (100)=? R(1000)=?
可靠性设计基础
(2)失效率
若定义：(t) n(t) 为平均失效率。
(N n(t))t
n(t )
则： (t )

lim (t)
N t 0

lim N t 0
1
n(t )
N N t

dF (t) (1 F (t))dt
为失效率。
(t) d (F (t)) d (1 R(t)) dR(t)
F (t )
f (t)
(t )
R(t)
F (t )
f (t)
(t )
——
1 R(t)
dR(t) dt
d ln R(t) dt
1 F(t)
——
dF (t) dt
1 dF (t) 1 F (t) dt

t f (t)dt
t
0 f (t)dt
——
f (t)

t f (t)dt
(1 F (t))dt R(t)dt
R(t)dt
t
t
(t)dt
1
dR(t) ln R(t)
0
0 R(t)
t
e R(t)
(t)dt 0
对上式两边对t求导： (t) f (t)
R (t )
可靠性设计基础
机械产品可靠性的度量参数
可靠性设计基础
基本函数 R(t)
正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材料强
度、磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度以及难以
判断其分布的场合。属于递增型故障率的概率分布。 它的分布曲线处于浴盆曲线的耗损阶段。
若产品寿命或某特征值有故障密度：
f (t)
1
(t )2
e 2 2
(t 0, 0, 0)
2
t
(t )dt
e 0
t
1 e 0 (t)dt
t
(t)e 0 (t)dt
——
可靠性工程以产品的寿命特征为主要研究对象。产品的寿命特
征一般是连续的随机变量，例如产品故障时间和维修时间等。处 理这种问题可利用概率统计方法，找出它们的概率分布和概率密 度函数，有了确定的分布就可以求出该分布特征统计量，如正态 分布的均值及标准差。即使不知道具体的分布函数，也可以通过 对分布的参数估计求得某些特征量的估计值。这些分布及概率密 度函数，不仅描述了寿命的内在规律，而且分布的参数还决定了 产品的寿命特征。因此必须对失效分布作较深入的研究。
离散型随机变量的几种常见分布
可靠性抽样试验以及产品质量保证等大量工程实际问题 需要用到离散模型。主要有：
两点分布 二项分布 泊松分布
两点分布 （1）两点分布又称（0，1）分布 （2）数学模型的随机试验只可能有两种试验结果 （3）两点分布的分布列或分布律也可写成:
也可表示为 :
（4）数字特征 E(X ) 1• p 0• q p D(X ) p p2 p(1 p) pq
F (t)
1
t
e


tμ 2
2σ2
dt
2
均值， 标准差
当 0， 1时称为标准正态分布， 此时可表示为：
e (t) 1
t 2
2
2
e t
(t)
1
_ 2
t 2 2 dt
3 σ准则： 超过距离值3 σ的可能性太小，认为几乎不可能。
指数分布不适于描述按耗损规律失效的问题，机械零件的失效常属 于这一类型。
例 内燃机增压器处于使用寿命期中工作，根据以往经验知，寿命服从
指数分布，在100小时内有1%发生故障，求可靠度R(2000)，t
和
0.5
t
0.9
的使用寿命？
解： 先求λ F（100）=0.01
1 e100 0.01
解：P(安全着陆) P(没有轮胎着陆) P(只有一个轮胎爆破)
C C （ 0 0.001）（0 0.999）3 （ 1 0.001）1 （0.999）2
3
3
0.99999
连续性随机变量的几种常见分布
正态分布 指数分布 对数正态分布 威布尔分布
指数分布 在数学上易处理成直观的曲线
例：有人打靶，每次命中率均为0.7，现独立射击5次，求恰好命 中2次的概率？
解：设A为恰好命中2次这一事件。
C P( A) k Pk qnk n C 2 0.72 0.33 0.1323 5
例：一架飞机有三个着陆轮胎，若不多于一个轮胎爆破，飞机便能 安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一次轮胎爆破。求飞机安 全着陆的概率？