第六章最小拍控制

D( s ) D( s) 1 D( s)G p (1 e s )
D( s)G p ( s)e s D( s)G p ( s) s ( s ) e s 1 D( s)G p ( s)e 1 D( s)G p ( s)
第六章 现代控制方法---最小拍控制
1.最小拍控制系统原理及背景
本节知识点
2.最小拍控制系统设计方法及实现 3.典型最小拍系统设计实例 4.无纹波系统设计要点
最小拍控制系统
对最少拍控制系统设计的具体要求 对特定的参考输入信号，在到达稳态 后，系统在采样点的输出值准确跟随 输入信号，不存在静差 在各种使系统在有限拍内到达稳态的设 计中，系统准确跟踪输入信号所需的采 样周期数最少 数字控制器必须在物理上可以实现 闭环系统必须是稳定的
1

2

z 1 1 z 1
1 z
1 3
2 z 2 3.5 2 z 3 7 2 z 4
r*(t) C*(t)
特点： 输出跟踪输入 始终有稳态误差
r*(t) C*(t)
0
1T
2T
3T
4T
t
★ 最少拍控制器的适应性特点： —对应同阶输入可以实现最小拍跟踪。 — 对于低阶输入，稳态误差为0，但动态特性较差， 有100％超调，且不能最小拍跟踪。
令z e ，则上式变为 Z [ f (t )] F ( z ) f (kT ) z k
Ts k 0

此式称为采样函数
f (t )
的Z变换。
F（z)是
f (t )
的Z变换
最小拍控制系统 ----不同的输入
同一系统对不同输入的响应（取系统为 z 2 z 1 z 2）
1 r*(t) 0 1T
超调100％
稳态误差为0
3T
4T t
2T
★ 当输入为斜坡时：
r (t ) t，其Z变换为
R z
1 z
2
z 1
1 2
用长除法有：
C z z R z 2 z z
1


1 z
z 1
1 2
2z 2 3z 3 4z 4
非最少的有限拍控制
0.5 z 1 对一阶对象 G p ( z ) 1 0.5 z 1
对单位速度输人的响应为
系统在三拍后准确跟踪单位速度变换，比上例的最少拍控制增 加了一拍。 当系统参数变化引起对象脉冲传递函数变为 时，闭环脉冲传递函数变为
对单位速度输人信号的响应为
纯滞后控制
施密斯（Smith）预估控制算法
最小拍控制系统
一、控制器的可实现性
E(Z) r(t) E(t) D(Z) U(Z) G(Z)
采 样
A/D 转 换
控 制 器
D/A 转 换
保 持 器
G(S)
y (t )
U(Z) a 0 +a1Z-1 +a 2 Z-2 +La m Z-m D(Z)= = E(Z) 1+b1Z-1 +b 2 Z-2 +Lb n Z-n
其中，N是可能情况下的最小正整数， 即闭环脉冲响应φ(z)在N个周期后变为0 思考题： 当φ(z)= ( z) m1z 1
mN z N
当输入改为离散阶跃信号时，试用长除法求系统的响 应并画出图形，观察结果有何规律性。当达到无静差 的稳态时， φ(z)的系数应满足什么关系。当要求系统 最快跟踪上输入时，其系数又具有什么形式。
0.6 z 1 Gp ( z) 1 0.4 z 1
1 1 2 2.4 z (1 0.5 z ) ，则系统的闭环传函为 ( z ) 1 0.6 z 2 0.2 z 3
★
在单位速度输入时其输出为
C ( z ) R( z ) ( z ) 2.4 z 2 2.4T 2 z 3 4.44 z 4
§6-2-3 最少拍控制系统的局限性
►
系统的适应性差
► 对参数变化过于灵敏
► ► 控制作用易超过限定范围 在采样点之间存在纹波
最少拍控制器对参数变化过于敏感
★
按最少拍控制设计的闭环系统 D(z) 含有多重极点 z = 0， 从理论上可以证明，这一多重极点对系统参数变化的灵敏
度可达无穷，因此如果系统参数发生变化，将使实际系统
各采样时刻的输出值为0，0，2.4，2.4，4.44，…，显然与 期望值0，1，2，3，…，相差甚远
最少拍设计的改进 非最少的有限拍控制 如果我们在最少拍设计的基础上，把闭环脉冲传递函数 Φ(z)中 的幂次适当提高一到两阶，闭环系统的脉冲响应将比最少拍时多 持续一到两拍才归于零。显然这样做已不是最少拍系统了，但仍 是一有限拍系统。不过这样来设计系统，在选择Φ（Z）或1- Φ （z）中的若干待定系数时的自由度就会大一些。一般来讲，这 有利与降低系统对参数变化的敏感性，并减小控制作用。 例如： 针对参数敏感实例数字控制器的设计，如果这样来确定Φ （z）和1一Φ（z），
— 对于高阶输入动态响应慢、且有稳态误差。
★ 结论：
一种典型的最少拍φ(z)只适用于该类型的输入。
零阶保持器的处理方法

采样周期足够小时，可忽略保持器
G( s) G ( z ) (1 z )Z s
1
双线性变换法
D( z ) D(s)
s
2 z 1 T z 1
Z变换
一、Z变换的定义
采样函数 f (t ) f (t ) (t kT )
k 0
对其进行拉氏变换：
L[ f (t )] F ( s) L f (kT ) (t kT ) f (kT )e kTs k 0 k 0 *
e(nT ) e[( n 1)T ] eh (t ) e(nT ) (t T ) T
nT t (n 1)T
一阶保持器与零阶保持器比较
1、一阶保持器幅频特性的幅值较大，高频分 量也大。 2、一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。 3、一阶保持器的结构更复杂。 一阶保持器实际很少使用！！
r*(t) C*(t)
特点： 两拍跟踪上(为最小拍)
r*(t)
C*(t)
稳态误差为0
0
1T
2T
3T
4T
t
★ 加速度输入时：
r (t ) 1 2 t ，其Z变换为 2
R z
z 1 1 z 1
1 z
1 3
用长除法有：
C z z R z 2 z z
U (t ) ak e t KT bkU t KT
k 0 k 1
m
n
最小拍控制系统
一、控制器的可实现性
t e1
Z 1
a0
t T e1
Z 1
t 2T e1
Z 1
t mT e1
a1
a2
am
U t
★ 当输入为单位阶跃
r (t ) 1 ，其Z变换为
r*(t) C*(t)
R( z )
1 1 z 1
用长除法： C z z Rz 2 z 1 z 2
C*(t)
1 1 2 3 2 z z z 1 1 z
特点： 两拍跟踪上
加法器
b1
U t

b2
bn
Z 1
U t 2T

Z 1
U t T

Z 1
U t nT
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控制器实现机理图
控制系统分类 1、连续系统
2、采样系统
3、计算机控 制系统
连续系统与采样控制系统
相同点：
1、采用反馈控制结构 2、都有被控对象、测量元件和控制器组成 3、控制系统的目的 4、系统分析的内容 不同点： 信号的形式（采样器、保持器） 采样控制系统的优点：高精度、高可靠、有效抑制干扰、
控制严重偏离期望状态
★
2 入来设计φ(z)： ( z ) 2 z 1 z ，由此得到数字控制器为：
0.5 z 1 例如，对一阶对象 G p ( z ) ，选择单位速度输 1 1 0.5 z
4(1 0.5 z 1 )2 D( z ) (1 z 1 )2
最少拍控制器对参数变化过于敏感 若被控对象的时间常数发生变化，如对象的传函变为
良好的通用性 采样周期：是一个非常重要、特殊的参数，会影响系统
的稳定性、稳态误差、信号恢复精度！
零阶保持器
零阶保持器的输入输出信号 主要特点： 1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。 2、相位滞后。
零阶保持器的近似实现
1 e Ts Gh ( s ) s 1 1 1 1 (1 Ts ) 1 2 2 T s s e s 1 Ts 2
1 1 T Gh ( s) 1 s 1 Ts 1 Ts
1 1 Gh ( s ) 1 T 2s2 s 1 Ts 2 Ts 1 2 T T 2s2 1 Ts 2
取前两项
取前三项
一阶保持器
一阶保持器是一 种按照线性规律 外推的保持器。
其中（1＋0．5z-1）中的f＝0．5是自由选取的，可以解出
0 =1.5、1 = 0、2 =0.5
最少拍设计的改进------对思考题的再思考
要求闭环系统对于某种特定的输入下在最 少个采样周期内达到无静差的稳态，且其闭 环脉冲传递函数式
( z) m1z 1
mN z N