2019学年第二学期期中考试高二数学(答案)
山东省邹城市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷附答案解析
2018～2019学年度第二学期期中考试高二数学试题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，，则集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解方程得到集合；根据，即可求出集合.【详解】解方程得或，因为，所以或，因此，或，故，，所以.故选B【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，熟记概念即可，属于基础题型.2.命题“，”的否定是（）A.， B. ，C. ，D. .【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接写出结果.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选C【点睛】本题主要考查命题否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.3.已知随机变量满足，则的值等于（）A. 20B. 18C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】根据随机变量方差的性质即可得出结果.【详解】因为随机变量满足，所以.故选B【点睛】本题主要考查方差的性质，熟记结论即可，属于基础题型.4.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果.【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；故；；又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故，，因此，.故选C【点睛】本题主要考查相关系数，根据散点图的特征进行判断即可，属于基础题型.5.若函数在处的导数存在，则“函数在点处取得极值”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件；再根据，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，进而可得出结果.【详解】根据函数极值的定义可知：当函数在处取得极值时，一定成立，即“函数在点处取得极值”是“”的充分条件；当时，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，如：，其导函数为，当时，，但是单调函数，无极值点；所以“函数在点处取得极值”是“”的不必要条件.综上，“函数在点处取得极值”是“”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型.6.甲、乙两学生独立地解答同一道数学问题，甲生解答正确的概率是0.9，乙生解答正确的概率是0.8，那么至少有一学生解答正确的概率是（）A. 0.26B. 0.28C. 0.72D. 0.98【答案】D【解析】【分析】先记“甲解答数学问题正确”事件，“乙解答数学问题正确”为事件，根据题意即可求出结果.【详解】记“甲解答数学问题正确”为事件，“乙解答数学问题正确”为事件，由题意可得，，则至少有一学生解答正确的概率是.故选D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对函数求导，将函数在上单调递增，转化为在上恒成立的问题，分类讨论即可求出结果.【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，当时，显然恒成立，故满足题意；当时，在上恒成立，可化为在上恒成立，所以.综上，实数的取值范围是【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数在区间上的单调性求参数问题，通常只需用分离参数的方法处理，属于常考题型.8.我市某学校开设6门课程供学生选修，其中，两门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A. 16B. 20C. 48D. 120【解析】【分析】分“每位同学都不选，”和“每位同学只选，中一门”两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】分两种情况讨论如下：若“每位同学都不选，”，则有种选修方案；若“每位同学只选，中一门”，则有种选修方案；故每位同学不同的选修方案种数是.故选A【点睛】本题主要考查组合问题，熟记概念，掌握分类讨论的思想即可，属于常考题型.9.已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，由概率之和为1，先求出；再由，即可求出结果.【详解】因为随机变量的概率分布为，所以，即，所以，故.故选D【点睛】本题主要考查概率的性质，熟记概率和为1即可，属于基础题型.10.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）A. 20B. 30C. 60D. 120【答案】C【分析】由题意先确定个位数字，再从剩下的五个数字中选出2个进行排列，即可得出结果.【详解】由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位偶数，可得末尾只能是2、4、6中的一个，再从剩下的五个数字选出两个排在百位和十位即可，因此，偶数的个数为.故选C【点睛】本题主要考查排列组合问题，根据特殊问题优先考虑原则即可求解，属于基础题型.11.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件:“甲骰子的点数大于3”；事件:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出发生的概率，再求出事件与事件都发生的概率，根据条件概率的概率计算公式即可求出结果.【详解】由题意可得：事件:“甲骰子的点数大于3”包含点数为4,5，6三种情况，所以为，又事件:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，所以，事件与事件都发生所包含的情况有，共3个基本事件；而抛掷甲、乙两颗骰子，共有36种情况，所以事件与事件都发生的概率为，故.故选B【点睛】本题主要考查条件概率，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.12.设是奇函数的导函数，且，当时，有，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先构造函数，对求导，根据题中条件判断其单调性，以及奇偶性，将不等式转化为，结合的简图，即可求出结果.【详解】令，则，因为当时，有，所以，即函数在上单调递增；又是上的奇函数，所以，所以，故函数为奇函数，又，所以，，由可得，，即要使成立，只需成立；作出函数的简图如下：由图像可得，当时，，即.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要结合函数的单调性、奇偶性求解，属于常考题型.二、填空题。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
2018-2019学年安徽省芜湖市安师大附中高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
芜湖市安师大附中2018-2019学年度第二学期期中考查高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 为虚数单位，则复数2534i+的虚部为（ ） A ．254B ．4C ． 4-D ．4i -2.下列求导运算正确的是（ ）A ．2()x x '=B ．(sin )cos x x '=-C ．()x xe e --'= D ．1(ln 5)x x'=3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．24.在用数学归纳法证明:“22n n >对从0n 开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的0n 等于( )A ．1B ．3C ．5D ．75.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的 染色方案共有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．12种6.函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )A B C D7.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样 的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( )①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A ．①④B ．②⑤C ．③⑤D ．②③8.向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方 的概率是( )A ．π4B ．12C ．π2－1D ．2π9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解 集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |x <－1，或0<x <1} 10.已知函数2()32sin cos 23cos (0)f x x x x ωωωω=+->在区间(),2ππ内没有极值 点，则ω的取值范围为（ ） A ．511,1224⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．55110,,241224⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．51110,,12242⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11.某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个 场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种A ．222B ．253C ．276D ．284 12.三棱锥P ABC -中，底面ABC 满足BA BC =，2ABC π∠=，点P 在底面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为196，当其外接球的表面积最小时，P 到底面ABC 的距离为（ ）A ．3B ．319 C ．3192 D ．3193二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
第一中学高二数学下学期期中试题文
陕西省西安市长安区第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分,考试时间120分钟．2。
答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3。
选择题的每小题选出答案后,用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1。
设复数z 1＝1－i ，z 2i ，其中i 为虚数单位，则12zz 的虚部为（ ）ABCD2.“m ＞0”是“函数f （x)＝m ＋2log x （x ≥1）不存在零点"的( ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3。
已知双曲线221k－＝（k>0）的一条渐近线与直线x－2y－3＝0x y平行，则双曲线的离心率是（）B．3C．43D．5 A．524．给出命题:若函数y=f(x）是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过第四象限。
在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ）A。
3 B.2 C.1 D。
05。
《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾，且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?（）A.3尺B。
4尺C。
5尺D。
6尺6．用系统抽样法从130件产品中抽取容量为10的样本,将130件产品从1～130编号，按编号顺序平均分成10组（1～13号,14～26号，…,118～130号)，若第9组抽出的号码是114，则第3组抽出的号码是（)A．36 B．37 C．38 D．397．已知f（x）=Asin(ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示,则y=f(x）的图象可由函数y=cos x的图象(纵坐标不变）如何变换得到（)A 。
高二数学第二学期期中考试试卷
高二数学第二学期期中考试试卷年级：高二 学科：数 学一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，请将正确答案填入答题卷） 1．已知球的两个平行截面面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，则球半径为A. 4 B ．3 C. 2 D. 52. a 、b 为异面直线，二面角M —l —N ，M a ⊥，N b ⊥，如果二面角M —l —N 的平面角为θ，则a ，b 所成的角为A ．θB ．θ-πC ．θ或θ-πD ．θ+π3. 下面有四个命题：①各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；②三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；④顶点在底面上的正射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是. A. 1 B ．2 C. 3 D.44．已知平面α∥平面β，直线l ⊂平面α,点P ∈直线l ,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10，且到l 的距离为9的点的轨迹是 A.一个圆 B.四个点 C.两条直线 D. 两个点 5． α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是 A. α内不共线的三点到β的距离相等 B.m l ,是α平面内的直线且ββ//,//m l C. α和β都垂直于平面γ D .m l ,是两条异面直线且ββαα//,//,//,//l m m l 6．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π 7．考察下列命题：（1）掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”3种结果； （2）某袋中装有大小均匀的三个红球、二个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；（3）从2,1,0,1,2,3,4----中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同； （4）分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么每个同学当选的可能性相同；其中正确的命题有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．△ABC 的BC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ的二面角B-AD-C ，若ba =θcos ，则三棱锥A-BCD 的侧面三角形ABC 是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D 、形状与a 、b 的值有关的三角形9．设,*N x ∈ 求321132-+--+x x x x C C 的值是（ ） A ．2或3或4 B ．4或7或11 C ．只有3 D ．只有710．122331010101909090C C C -+-+ (1010)1090C +除以88的余数是 A ． －1 B ．－87 C ． 1 D ．8711. 定义n 2i 1i i nik k a a a a a ++++=++=∑ ,其中i,n N ∈,且i ≤n,若kk20032003k k)x 3(C(-1)f(x)-=∑==∑∑=-=20031k ki20032003i i a ,xa 则的值为A ．2B ．0C ．－1D ．－2 12．四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有 A ．150种 B ．147种 C ．144种 D ．141种 二、填空题（本大题共4小题，共16分，请将正确答案填入答题卷） 13．在10)32(y x -的展开式中,二项式系数的和是 .14．从装有两个白球、两个黑球的袋中任意取出两个球，取出一个白球一个黑球的概率为 ．15. 在北纬45°线上有A 、B 两点，点A 在东经120°，点B 在西经150°，设地球半径为R，则A、B两地的球面距离是.16. 有下列四个命题：①过平面α外两点有且只有一个平面与平面α垂直；②互相平行的两条直线在同一平面内的射影必是平行线；③直线l上两个不同点到平面α的距离相等是l∥α的必要非充分条件；④平面α内存在无数条直线与已知直线l垂直是α⊥l的充分非必要条件.其中正确命题的序号是年级：高二学科：数学一、二、填空题（本大题共4小题，共16分）13、___________ __ ___. 14. _______________ __.15、_______________ _. 16、________________ _.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）若平面α内的直角△ABC的斜边AB=20,平面α外一点O到A、B、C三点距离都是25,求：点O到平面α的距离．18．（本题满分12分）甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？19．（本题满分12分）如图所示在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=l，∠BCA=90°，侧棱AA1=2，M、N 分别为A1B1，A1A的中点(1) 求BN的长；(2) 求><11,cos CBBA的值；(3)求证：A1B⊥C1MOCBA20．（本题满分12分）已知(124x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数.21．（本题满分12分）由－1，0，1，2，3这5个数中选3个不同的数作为二次函数y=ax2+bx+c的系数. （1）开口向上且不过原点的抛物线有几条？（2）与x轴的负半轴至少有一个交点的抛物线有多少条？22．（本题满分14分）在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=22a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）求证：PA⊥平面ABCDE；（2）求二面角A-PD-E的大小；（3）求点C到平面PDE的距离．高 二 数 学 答 案一.BCABD AACBC DD 二.13. 102 14．.32 15.R π31 16. ③ 17. 解：由斜线相等，射影相等知，O 在底面的射影为△ABC 的外心Q ，又△ABC 为Rt △外心在斜边中点，故OQ=221025-==21518. 解法一：（排除法）422131424152426=+-C C C C C C ．解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2324C C ；另一类为甲不值周一，但值周六，有2414C C ，∴一共有2414C C +2324C C ＝42种方法． 19．解：建立空间直角坐标系如图， （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1），则3)01()10()01(222=-+-+-=；（2）A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）， 则),2,1,0(),2,1,1(11=--=CB BA,311=⋅CB BA,56==所以1030cos =⋅=CB BA ；（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21，21，2）、)2,1,1(1-=B AM C 1=（21，21，0），则=⋅M C B A 11002121=++-，∴M C B A 11⊥，即A 1B ⊥C 1M20．解：由01237,n n nC C C ++=得11(1)372n n n ++-= 得8n =．444485835)2(41x x C T ==，该项的系数最大，为835 21.解析：（1）抛物线开口向上且不过原点，记，∴ 选a 的时候有3种选法，再选c 的时候也只有3种，最后选b 也有3种，由分步计数原理有抛物线3×3×3=27条。
江苏省盐城市东台市安丰中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数1z i =（i 是虚数单位）的虚部为( )
A. 1
B. 0
C. i -
D. 1- 【答案】D
【解析】
【分析】
结合复数的除法法则对z 进行化简，即可求出虚部. 【详解】解：21i z i i i
=
==-，所以虚部为1-. 故选:D.
【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的实部、虚部的概念.本题的关键是对复数进行变形化简.
2.已知随机变量ηξ，之间具有23ηξ=+关系，如()7V ξ=，则()V η=（ ）
A. 7
B. 17
C. 28
D. 63 【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机变量的方差之间的关系求解即可.
【详解】23ηξ=+，()7V ξ=， 2()2()28V V ηξ∴==.
故选：C.
【点睛】本题考查了离散型随机变量的方差的计算，根据方差性质求解是解决本题的关键，属于基础题.
3.在二项式5
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）． A. 10- B. 5- C. 10 D. 5。
2019-2020学年淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知i 是虚数单位，则i 2014= ______ ．2. 若z =−1+√3i(其中i 为虚数单位)，则z 3= ______ ．3. 从集合{−1,1，2，3}中任意取出两个不同的数记作m ，n ，则方程x 2m+y 2n=1表示焦点在x 轴上的双曲线的概率是______．4. 已知(3x +1)(x +m)6的展开式中x 5的系数为3，则m =______5. 已知(x 13−2x)n 的展开式中，各项的系数与它的二项式系数和的差为−33，则n =______． 6. 因指数函数y =a x 是增函数(大前提)，而y =(13)x 是指数函数(小前提)，所以y =(13)x 是增函数(结论)，上面推理错误的原因是______ 是错误的(填大前提或小前提或结论)．7. 已知S n =1n+1+1n+2+⋯+12n ，n ∈N ∗，利用数学归纳法证明不等式S n >1324的过程中，从n =k到n =k +l(k ∈N ∗)时，不等式的左边S k+1=S k +______． 8. 如图，正方形边长为，分别作边上的三等分点，得正方形，再分别取边上的三等分点，得正方形，如此继续下去，得正方形，……，则正方形的面积为 ．9. 已知点A(1,2，3)，B(0,1，2)，C(−1,0，λ)，若A ，B ，C 三点共线，则λ=______．10. 若直线l 的方向向量为a⃗ =(1,0，2)，平面α的法向量为u ⃗ =(−2,0，−4)，则直线与平面的位置关系是______ ．11. 已知向量a ⃗ =(2,−1,2)，b ⃗ =(−4,2，m)，且a ⃗ //b⃗ ，则m 的值为______ ． 12. 已知空间三点A(0,2，3)，B(2,5，2)，C(−2,3，6)，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为______．13. 已知点M ，N 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点，直线OM 与直线ON 的斜率之积为b 2a 2(O 为坐标原点)，P 为平面内任意一点．研究发现：若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=2； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=5； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=5； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=10； 若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b2=10； 根据上述研究结果，可归纳出：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈N ∗)则点p 的轨迹方程为______ ． 14. 14.，则。
2018-2019学年安徽省阜阳市第一中学高二下学期期中考试 数学(文) 解析版
2018-2019学年安徽省阜阳市第一中学高二下学期期中考试 数学（文）总分：150分时间： 120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 已知集合P ={x ∈R||x −2|≤1}，Q ={x ∈R|x 2≥4} 则P ∪(∁R Q)=( )A. [2,3]B. (−2,3]C. [1,2)D. (−∞,−2]∪[1,+∞)3. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]4. 下列命题中真命题的个数是( )①∀x ∈R ，x 4>x 2；②若“p ∧q ”是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“∀x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3−x 2+1>0”． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若a >b >0，0<c <1，则( )A. log a c <log b cB. log c a <log c bC. a c <b cD. c a >c b 6. 函数f(x)=ln(x 2−2x −8)的单调递增区间是( )A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (4,+∞)7. 函数y =2|x|sin2x 的图象可能是( )A.B.C.D.8. 若x =−2是函数f(x)=(x 2+ax −1)e x−1的极值点，则f(x)的极小值为( )A. −1B. −2e −3C. 5e −3D. 19. 已知定义在R 上的函数f(x)=2|x−m|−1(m 为实数)为偶函数，记a =f(log 0.53)，b =f(log 25)，c =f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a 10. 若函数f(x)={a x−6,x >7(3−a)x−3,x≤7单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. (94,3)B. [94,3)C. (1,3)D. (2,3)11. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足 0'/>，f(3)=−ln3，则不等式f(e x )+x >0的解集为( )A. (e 3,+∞)B. (0,e 3)C. (ln3,+∞)D. (ln3,e 3)12. 设函数f(x)=e x+1−ma ，g(x)=ae x −x(m,a 为实数)，若存在实数a ，使得f(x)≤g(x)对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [−12e ,+∞)B. [−12e ,0)C. [−1e ,+∞)D. [−1e ,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1x−1，则f(x)= ______ ． 14. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x +2)=f(x).当0<x ≤1时，f(x)=x 3−ax +1，则实数a 的值为______．15. 对于x ∈R ，不等式|2−x|+|1+x|≥a 2−2a 恒成立，则实数a 的取值范围是______．16. 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是 . 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 设命题p ：函数的定义域为R ；命题q ：函数f(x)=x 2−2ax −1在(−∞,−1]上单调递减．(1)若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的不等式(x −m)(x −m +5)<0(m ∈R)的解集为M ；命题p 为真命题时，a 的取值集合为N.当M ∪N =M 时，求实数m 的取值范围．18. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22t,y =√5+√22t(t 为参数).在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ=2√5sinθ． (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3,√5)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA|+|PB|的值．19.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=−x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x−1|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1,1]，求a的取值范围．21.已知函数f(x)=e x cosx−x．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；]上的最大值和最小值．(2)求函数f(x)在区间[0,π222.已知函数f(x)=a(x−1)−2lnx(a≥0)．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,1)上无零点，求实数a的最大值．答案和解析1.【答案】A【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜-1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选A．2.【答案】B【解析】解：集合P={x∈R||x-2|≤1}={x|-1≤x-2≤1}={x|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}={x|x≤-2或x≥2}，∴∁R Q={x|-2＜x＜2}，∴P∪（∁R Q）={x|-2＜x≤3}=（-2，3]．故选：B．3.【答案】C【解析】【解答】解：∵函数y=f（x）定义域是[-2，3]，∴由-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，即函数的定义域为[-，2]，故选C．4.【答案】B【解析】解：易知①当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题，即只有一个命题是正确的，故选B．5.【答案】B【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误.故选B.6.【答案】D【解析】解：由x2-2x-8＞0得：x∈（-∞，-2）∪（4，+∞），令t=x2-2x-8，则y=lnt，∵x∈（-∞，-2）时，t=x2-2x-8为减函数；x∈（4，+∞）时，t=x2-2x-8为增函数；y=lnt为增函数，故函数f（x）=ln（x2-2x-8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．7.【答案】D【解析】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．故排除C．故选：D．8.【答案】A【解析】【解答】解：函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1，可得f′（x）=（2x+a）e x-1+（x2+ax-1）e x-1，x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1的极值点，可得f′（-2）=（-4+a）e-3+（4-2a-1）e-3=0，即-4+a+（3-2a）=0，解得a=-1．可得f′（x）=（2x-1）e x-1+（x2-x-1）e x-1=（x2+x-2）e x-1，所以函数f（x）的极值点为x=-2，x=1，当x＜-2或x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，当x∈（-2，1）时，f′（x）<0,函数f（x）是减函数，可知x=1时，函数取得极小值，即f（1）=（12-1-1）e1-1=-1．故选A.9.【答案】C【解析】解：∵f（x）为偶函数；∴f（-x）=f（x）；∴2|-x-m|-1=2|x-m|-1；∴|-x-m|=|x-m|；（-x-m）2=（x-m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|-1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∴c＜a＜b．故选：C．10.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3-a＞0且a＞1．但应当注意两段函数在衔接点x=7处的函数值大小的比较，即（3-a）×7-3≤a，可以解得a≥，综上，实数a的取值范围是[，3）．故选：B．11.【答案】C【解析】【解答】解：令g（x）=f（x）+lnx，x∈（0，+∞）．∵在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf'（x）+1＞0，∴g′（x）=f′（x）+=＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵g（3）=f（3）+ln3=0，∴不等式g（x）＞0=g（3）的解集为：x＞3．而不等式f（e x）+x＞0满足：e x＞3，即x＞ln3．∴不等式f（e x）+x＞0的解集为（ln3，+∞）．故选C．12.【答案】C【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=e x+1﹣ma﹣ae x+x=（e﹣a）e x﹣ma+x，h（x）→+∞，不满足h（x）≤0对任意x∈R恒成立；若e﹣a＜0，由h′（x）=0，得，则x=ln，∴当x∈（﹣∞，ln）时，h′（x）＞0，当x∈（ln，+∞）时，h′（x）＜0，∴==．若f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，则≤0（a＞e）恒成立，若存在实数a，使得≤0成立，则ma≥ln，∴（a＞e），令F（a）=，则F′（a）===．∴当a＜2e时，F′（a）＜0，当a＞2e时，F′（a）＞0，则．∴m．则实数m的取值范围是[）．故选C.13.【答案】xx2−1【解析】【解答】解：∵f（x）+g（x）=，①∴，∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴，②①+②，得=，∴=,故答案为.14.【答案】2【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=f（x）．∴当x=-1时，f（-1+2）=f（-1）=f（1），即-f（1）=f（1），则f（1）=0，∵当0＜x≤1时，f（x）=x3-ax+1．∴f（1）=1-a+1=0，得a=2，故答案为2.15.【答案】[-1，3]【解析】【解答】解：∵对于x∈R，不等式|2-x|+|1+x|≥a2-2a恒成立，∴|2-x|+|1+x|的最小值大于或等于a2-2a．由于|2-x|+|1+x|表示数轴上的x对应点到2和-1对应点的距离之和，它的最小值为3，故有3≥a2-2a，即a2-2a-3≤0，解得-1≤a≤3，故实数a的取值范围是[-1，3]，故答案为[-1，3]．16.【答案】3.解析：由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示，由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.17.【答案】解：（1）若p 真：即函数f （x ）的定义域为R∴x 2+ax +1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴△=a 2-4＜0，解得：-2＜a ＜2，若q 真，则a ≥-1，∵命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假∴p 真q 假或p 假q 真∵{−2<a <2a <−1或{a ≤−2或a ≥2a ≥−1，解得：-2＜a ＜-1或a ≥2． （2）∵M ∪N =M ∴N ⊆M ，∵M =（m -5，m ），N =（-2，2）∴{m −5≤−2m ≥2，解得：2≤m ≤3．18.【答案】解：(1)由{x =3−√22t,y =√5+√22t 得直线l 的普通方程为x ＋y －3－√5＝0. 又由ρ＝2√5sinθ，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2√5y ＝0，即x 2＋(y －√5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−√22t)2＋(√22t)2＝5， 即t 2－3√2t ＋4＝0.由于Δ＝(3√2)2－4×4＝2>0， 故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根，所以t 1＋t 2＝3√2，t 1·t 2＝4. 又直线l 过点P (3, √5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3√2.19.【答案】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得：P （A ）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62；（2）根据题意，补全列联表可得：则有K 2=200(62×66−38×34)2100×100×96×104≈15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由频率分布直方图可得：旧养殖法100个网箱产量的平均数x 1=（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1；新养殖法100个网箱产量的平均数x 2=（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35；比较可得：x 1＜x 2，故新养殖法更加优于旧养殖法．20.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=-x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=12的二次函数，g（x）=|x+1|+|x-1|={2x，x＞12，−1≤x≤1−2x，x＜−1，当x∈（1，+∞）时，令-x2+x+4=2x，解得x=√17−12，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，√17−12]；当x∈[-1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（-1）=2．当x∈（-∞，-1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（-1）=f（-1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[-1，√17−12]；（2）依题意得：-x2+ax+4≥2在[-1，1]恒成立，即x2-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，则只需{12−a·1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得-1≤a≤1，故a的取值范围是[-1，1]．21.【答案】解：（1）函数f（x）=e x cos x-x的导数为f′（x）=e x（cos x-sin x）-1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0-sin0）-1=0，切点为（0，e0cos0-0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cos x-x的导数为f′（x）=e x（cos x-sin x）-1，令g（x）=e x（cos x-sin x）-1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cos x-sin x-sin x-cos x）=-2e x•sin x，当x∈[0，π2]，可得g′（x）=-2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，π2]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，π2]递减，即有函数f（x）在区间[0，π2]上的最大值为f（0）=e0cos0-0=1；最小值为f（π2）=eπ2cosπ2-π2=-π2．22.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x-1-2ln x，定义域（0，+∞）…（1分）f′(x)=1−2x，..…（2分）令f'（x）＞0得x＞2，..…（3分）令f'（x）＜0得0＜x＜2..…（4分）因此，函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；…（5分）（Ⅱ）①当a=0时，f（x）=-2ln x，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，且f（x）＞f（1）=0，所以a=0时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；…（7分）②当a＞0时，令f'（x）=0得x=2a，令f'（x）＞0得x＞2a ，令f'（x）＜0得0＜x＜2a，因此，函数f（x）的单调递增区间是(2a ，+∞)，单调递减区间是(0，2a)…（9分）（ⅰ）当2a≥1即0＜a≤2时，函数f（x）的单调递减区间是（0，1），所以f（x）＞f（1）=0，所以0＜a≤2时，函数f（x）在区间（0，1）上无零点；…（11分）（ii）当2a＜1即a＞2时，函数f（x）的单调递减区间是(0，2a )，单调递增区间是(2a，1)．所以f(x)min=f(2a )＜f(1)=0且f(1e a)=a+ae a＞0，所以a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上有零点，不成立，…（12分）所以0≤a≤2，综上实数a的最大值是2．…（13分）。
高二数学选修1-2期中考试定稿+答案
2018-2019学年度第二学期高二年级期中考试（数学学科）试卷 第1页 共4页 2018-2019学年度第二学期高二年级期中考试（数学学科）试卷 第2页 共4页喀什市特区高级中学教育集团2018-2019学年第二学期高二数学（文科）期中考试试卷（时间120分钟，满分100分）命题人：穆拉丁·马木提 审题人：穆拉丁·马木提说明：1. 答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上。
2. 考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。
3. 全卷共4页，考试时间120分钟，满分100分。
参考附表如下一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分；将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，答在试题卷上无效。
）1.独立性检验，适用于检查 变量之间的关系 （ ）A.线性B.非线性C.解释与预报D.分类 2.样本点的样本中心与回归直线 的关系（ ）A.在直线上B.在直线左上方C. 在直线右下方D.在直线外 3.数列 2 , 5 , 11 , 20 ，X , 47 ,····中的X 等于（ ）A.28B. 32C.33D.274.下面说法正确的有 ( )（1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 将x ＝2 019输入下面的程序框图得到的结果是( ) A ．2019 B ．0 C ．2020D ．-2 0196.复数z ＝i 1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. “金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A ．完全归纳推理 B ．归纳推理 C ．类比推理D ．演绎推理8. 由①小燕子是高二(1)班的学生，②小燕子是独生子女，③高二(1)班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为( ) A ．②①③ B ．③①② C ．①②③ D ．②③①9.下表是某工厂6～9月份用电量(单位：万度)的一组数据：用电量y 与月份x 间有线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^＝－1.4x ＋a ，则a 等于( ) A ．10.5 B ．5.25 C ．5.2 D ．14.510.复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数( )A ．2＋i B．2－I C ．－1＋i D ．－1－i11．对分类变量X 与Y 的随机变量K2的观测值k ，说法正确的是( ) A ．k 越大，“ X 与Y 有关系”可信程度越小 B ．k 越小，“ X 与Y 有关系”可信程度越小 C ．k 越接近于0，“X 与Y 无关”程度越小 D ．k 越大，“X 与Y 无关”程度越大12. 如图是一个2×2列联表则表中a 、b 的值分别为( ) A ．94、96 B ．52、50 C ．52、54 D ．54、522018-2019学年度第二学期高二年级期中考试（数学学科）试卷 第3页 共4页 2018-2019学年度第二学期高二年级期中考试（数学学科）试卷 第4 页 共4二、填空题（每小题4分，共16分）13.复数22(1)z i i =+的共轭复数是 ； 14. 已知回归直线方程y bx a =+，其中3a =且样本点中心为(12)，，则回归直线方程 ； 15. 在如图所示程序图中，输出结果是 16. 指出三段论“自然数中没有最大的数（大前提），2是自然数（小前提），所以2不是最大的数（结论）”中的错误是___________。
上海市交大附中2018~2019学年度 高二下期中数学考试卷(图片版)
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽审核：杨逸峰一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1、如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定个平面．答案：12、【2017高考上海，4】已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于.【答案】9π【解析】设球的半径为R ，则：34363R ππ=，解得：3R =，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：29S R ππ==.3、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a =．【答案】4【解析】236444a a a ⋅=⇒=⇒=4、【2017高考上海，7】如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC的坐标是.【答案】()4,3,2-【解析】将向量1AC的起点平移至点D ，则平移后的向量与向量1DB 关于平面11CDD C 对称，据此可得：()14,3,2AC =-.5、【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos3.6、【2013上海文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r＝______.【解析】由题知，tan63r l π==⇒l r =.7、已知ABC ∆三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为__________（写出所有可能值）答案：0，2，4。
8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动,则DC AP ⋅的取值范围是______________．【答案】【解析】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．，，故答案为．9、【2010上海理12，倒数第3题】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；【答案】3【解析】在折叠过程中OC OB ⊥，OD OA ⊥始终没有改变，所以最后形成的四面体()A B CDO -中，OA ⊥底面CDO ，故其体积21182(22)22323V =⨯⨯⨯=，故答案为：823.10、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则34x y +的最大值为．【答案】55试题分析：由图可知，根据三视图得到三棱锥OABC 如图，OC=2，AC=y，BC=1，在OAC Rt ∆中，24y OA -=，2225y BC OA x -=+=，即522=+y x ，三角换元（或者称利用圆的参数方程）设5cos ,5sin x y θθ==，故3455cos()55x y θϕ+=+≤。
浙江省91高中联盟2018_2019学年高二数学下学期期中试题
2018学年第二学期9+1高中联盟期中考高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确答案填入下表内。
题号12345678910答案C A D B B D A C C A二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.1，；12．8，14；13.40，32；14.27，265n -；15；16．222-；17．1229-．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)解：（Ⅰ）()sin(2)cos 26f x x x π=+-1sin 2cos 222x x =-sin(2)6x π=-…………5分2T ππω==…………7分（Ⅱ）03x π≤≤ 2662x πππ∴-≤-≤1(),12f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦……………14分19．(本题满分15分)解：（Ⅰ）3213211213111743243243243224P =⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=…………5分8584120120> ∴F 会入选………………7分（Ⅱ）X 0123P 124141124141111123()012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=………………15分20．(本题满分15分)解：（Ⅰ） a b ⊥ ．∴sin 0x x =………………4分tan x ∴=………………7分（Ⅱ）31)3sin()(=-=πααf 1sin()33πα∴-=………………9分02πα<< 336πππα∴-<-<cos()33πα∴-=………………12分sin sin ()33ππαα⎡⎤∴=-+⎢⎥⎣⎦sin()cos cos()sin 3333ππππαα=-+-11132326+=⨯+=………………15分21.(本题满分15分)解：（Ⅰ）∵f （0）=0，∴c =0，∵对于任意x ∈R,都有11()()22f x f x -+=--，∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =………………3分又()f x x ≥，即2(1)0ax b x +-≥对于任意x ∈R,都成立，∴0a >，且2(1)0b ∆=-≤．∵2(1)0b -≥，∴b =1，a =1．∴2()f x x x =+．………………6分（Ⅱ）法一：令0)(=x g ，则即求方程|1|2-=+x λx x 在（-1,2）内的解的个数问题．0>λ ，当λx 1<时，方程x λx x -=+12在)1,0(λ内必有一解． (8)分只需考虑λx 1≥时，方程12-=+x λx x 在)2,1(λ内的解的个数问题．当0=∆时，可得3=λ．如图一，此时1=x ．即此时有一解；当0<∆时，可得30<<λ．如图二，此时)2,1(λ内无解；当0>∆时，可得3>λ．记两解为)(,,2121x x x x <，121=⋅x x ，如图三，必有)1,1(1λx ∈之间，取2=x ，若)2(12f λ<-即27<λ时，解∈2x （1，2）；若)2(12f λ>-，即27≥λ，),2[2+∞∈x ；………………14分综上，当30<<λ时，g （x ）在（-1,2）内有一个零点；当3=λ或27≥λ时，g （x ）在（-1,2）内有两个零点；当273<<λ时，g （x ）在（-1,2）内有三个零点；………………15分法二：()()|1|g x f x x =--λ2222221111(1)1+12211+1+1(1)1+122x x ,x x ,x x x ,x x ,x -λ-λ⎧⎧+-λ+≥+-≥⎪⎪⎪⎪λλ==⎨⎨λλ⎪⎪++λ-<--<⎪⎪λλ⎩⎩（）（）（）（）………………8分0>λ ，1)当λx 1<时，对称轴0+102x λ=-<，图一图二图三又(1)1g -=--λ，2111()0g =+>λλλ，(0)10g =--λ<()g x ∴在1-λ（1，）上有一解.………………10分2）当1x ≥λ时，对称轴0-12x λ=，i)若1-12λ≥λ，即02<λ≤时，()g x 在1λ（上递增.又2111()0g =+>λλλ，()=0g x ∴在1λ（上无解.ii)若1-12λ<λ，即2λ>时，()g x 在1-12λλ（，上递减，-1+2λ∞（）上递增.又2111()0g =+>λλλ，2-1-1()1()22g λλ=-，(2)7-2g =λ23∴<λ<当时，()g x 在1λ（上没有零点.=3λ当时，()g x 在1λ（上有一个零点.72<λ<当3时，()g x 在1λ（，2）上有两零点.当27≥λ时，()g x 在1λ（，2）上有一零点.………………14分综上，当30<<λ时，g （x ）在（-1,2）内有一个零点；当3=λ或27≥λ时，g （x ）在（-1,2）内有两个零点；当273<<λ时，g （x ）在（-1,2）内有三个零点；………………15分22.(本题满分15分)（Ⅰ）()[ln(1)+]+1101x f x m x x k f ().'=++'∴== 故切线l 的方程为1y x =+.………………5分（Ⅱ）令()()ln(1)1[0).x x g x e f x e x mx x ,x ,=-=--+-∈+∞则()1ln(1)[0).1x mx g x e m x ,x ,x '=--+-∈+∞+令h()1ln(1)[0).1x mx x e m x ,x ,x =--+-∈+∞+则211()(1)1x h x e m x x ⎡⎤'=-+⎢⎥++⎣⎦，[)0,x ∈+∞h (0)12.m '=-………………7分①当0m ≤时，h ()>0,x 'h(x )∴在[0),+∞上单调递增，故00h(x )g (x )h()'=≥=，g(x )∴在[0),+∞上单调递增，00g(x )g()≥=从而，当0x ≥时，().x e f x ≥②当102m <≤时，h (x )' 在[0),+∞上单调递增，0120h (x )h ()m ,''∴≥=-≥在[0),+∞上单调递增，故与①同理，可得当0x ≥时，().x e f x ≥③当12m >时，h (x )' 在[0),+∞上单调递增，h (x )'∴在[0),+∞内取得最小值h (0)=1-2m '，h (0)<0,'取41x m =-，则0x >，221111h ()[]1[],(1)1(1)1x x e m x m x x x x '∴=-+≥+-+++++11111h (41)4m >40164284m m '∴-≥--⨯-->∴存在唯一的0041x m ∈-（，），使得0()0h x ,'=且当00[0]x ,x ∈时，()0h x ,'≤h(x )∴在0[0],x 上单调递减，∴当0[0]x ,x ∈时，()=g ()(0)=0h x x h ,'≤()g x ∴在0[0],x 上单调递减，此时存在00x x =>，使得0()<g(0)=0g x ，不符合题设要求.综上所述，m 的取值范围为1(]2,-∞.………………10分法二：求导同解法一(0)0h = 且()0f x ≥恒成立(0)120h m '∴=-≥，12m ∴≤211()(1)1x h x e x x ⎡⎤'=-+⎢++⎣⎦21112(1)1x e x x ⎡⎤≥-+⎢⎥++⎣⎦x ∈ [0),+∞(]10,11x ∴∈+，(]2110,2(1)1x x +∈++2111()102(1)1h x x x ⎡⎤'∴≥-+≥⎢⎥++⎣⎦h(x )∴在[0),+∞上单调递增，故00h(x )g (x )h()'=≥=，g(x )∴在[0),+∞上单调递增，00g(x )g()≥=………………10分（Ⅲ）由（2）知：当12m =时，ln(1)12x x x x e +++≤22ln(1)2xe x x x∴+++≤………………12分令(]10,1x n =∈，11ln(1)222n n ne n∴+++≤，1ln(1)ln 2(1)2n n n n ne ∴+-++≤………………14分累加得：[]ln(1)223(1)2(n n e n ∴++++++≤++ 2ln(1)32(n n n e ∴+++≤+++ ………………15分。
2019-2020学年黑龙江大庆实验中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江大庆实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆 B ．两个圆 C ．两条直线 D ．一个圆和一条直线 【答案】D【解析】分析：2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，然后化为直角坐标方程即可得结论.详解：2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，因为cos 10ρθ+=表示一条直线1x =-30ρ-=表示圆229x y +=，所以，极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-= 表示的曲线是一个圆和一条直线，故选D.点睛：本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题. 极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( ) A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量同的相关系数为1 C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误； 相关系数r 与ˆb符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．310B ．25C ．12D ．35【答案】A【解析】基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是A ．24B ．16C ．8D ．12【答案】B【解析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。
浙江省浙北G2(湖州中学、嘉兴一中)2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 含解析
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及二面角的概念与辨析，其中解答中熟
记空间几何体的结构特征，合理利用三垂线定理和二面角的概念是解答的关键，着重考查了
推理与论证能力.
二、填空题（本题共有 7 小题，其中第 11、12、13、14 小题每空 3 分，第 15、16、17 小题
每空 4 分，共 36 分）
晨鸟教育
浙北 G2 期中联考 2019 学年第二学期高二数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.已知全集 U {0,1, 2,3,4,5,6}，集合 A
1,2,3, 4 , B
0, 2, 4 ，则
UA B ð
A. 2, 4
B. {5, 6}
C. 0,1,3,5,6
2
x ax, x a
，
fx
x 3ax 2a , x a
2
2
因为 a 0 ，所以函数 f x 在( , a) 单调递减，在 (a, ) 上单调递增， 不妨设 x 0 ，则 f (a x) (a x)2 a(a x) x2 ax ，
f (a x) (a x)2 3a(a x) 2a2 x2 ax
，
所以 f (a x) f (a x) ， 同理，当 x 0 时，上式也成立， 所以函数 f x 的图象关于x a 对称，
5
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式及其应用，其中解答中熟记三角函数的诱导公
式是解答的关键，着重考查了计算能力 3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ，则该几何体的体积(单位:cm3)是( )
8 A.
3
【答案】A
4
B.
3
C. 6
D. 8
山东省烟台市2018-2019学年高二第二学期期中考试试题 数学【含解析】
山东省烟台市2018-2019学年高二第二学期期中考试试题 数学一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1~10题只有一项符合题目要求，第11~13题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 1.若复数ii 1iz -=+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A. 2 2C. 55【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得(1)z i i i =++，求出z ，再由模长公式，即可求解. 【详解】(1)12,||5,1z i i i i i iz z i=++=-++∴-=∴=. 故选:D.【点睛】本题考查复数乘除法间的关系、乘法运算以及模长，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，则复数22(12i)1i++-的共轭复数是（ ） A. 25i + B. 25i -C. 25i --D. 25i -+【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算法则，化简22(12i)1i++-，即可求出结论. 【详解】2222(1)(12)3425,2511i i i i z i i i+++=-++=-+∴=----. 故选:C.【点睛】本题考查复数的代数运算及共轭复数，属于基础题.3.某社团小组有2名男生和4名女生，现从中任选2名学生参加活动，且至少有1名男生入选，则不同的选法种数有（ ） A. 8 B. 9C. 14D. 15【答案】B【解析】 【分析】用间接法求解，求出6名学生任选2人的不同选法，扣除2人都是女生的不同选法，即可求解【详解】6名学生任选2人的不同选法有2615C =，2人都是女生的不同选法有246C =，2∴人中至少有1名男生入选不同选法有9种.故选:B.【点睛】本题考查组合应用问题，“至多”“至少”考虑用间接法处理，也可用直接法求解，属于基础题. 4.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了近5年的统计数据，如表所示： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年份代码x 1 2 3 4 5 年产量y （万吨） 4.95.15.55.75.8根据上表可得回归方程ˆˆ0.2yx a =+，预测该地区2019年蔬菜的产量为（ ） A. 5.5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心点坐标，代入回归方程，求出a ，即可求解. 【详解】3, 5.4x y ==，(3,5.4)在回归直线上，代入回归直线方程得5.40.23, 4.8,0.2 4.8a a y x =⨯+=∴=+，依题意2019年份代码为6，当6,6x y ==. 故选:B.【点睛】本题考查样本中心点与线性回归方程关系，以及线性回归方程的应用，属于基础题. 5.从0，2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ）A. 64B. 80C. 96D. 240【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论从0，2，4，6，8中任取2个数字是否含有0，根据题意所取的奇数在个位，即可求解. 【详解】若从0，2，4，6，8中取2个数字不含0，满足条件的三位奇数有214448A C =，若从0，2，4，6，8中取2个数字含0，满足条件的三位奇数有114416A C =，所以可组成的三位奇数有64. 故选:A.【点睛】本题考查排列组合应用问题，要注意特殊元素的处理，属于基础题. 6.5211(1)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为（ ） A. 11 B. 11-C. 9D. 9-【答案】D 【解析】 【分析】3x 为5(1)x -展开式中的3x 项与“1”相乘和5x 项与“21x-”相乘得到，根据二项展开式定理求出35,x x 的项，即可求解.【详解】5(1)x -通项公式为155()(1)k k k k k k T C x C x +=-=-， 5(1)x ∴-展开式中含35,x x 项分别为335555,C x C x --， 5211(1)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴展开式中3x 的系数为9-. 故选:D.【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题. 7.甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A ，“甲独自去一个工厂实习”为事件B ，则(|)P A B =（ ）A. 23B.13C.34D.58【答案】A 【解析】 【分析】求出甲独自去一个工厂实习有1243C ⨯，3为大学毕业生去的工厂各不相同有34A ，根据条件概率公式，即可求解.【详解】“甲独自去一个工厂实习”为事件B ，事件B 包含的基本事件有124336C ⨯=，“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A ，事件A 包含的基本事件有3424A =，242(|)363P A B ==. 故选:A.【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件个数是解题关键，属于基础题. 8.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，(0)(4)P P ξξ<=>，且(3)0.4P ξ>=，则(1)P ξ≥=（ ） A. 0.4 B. 0.5C. 0.6D. 0.1【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性可得2μ=，有(3)(1)P P ξξ>=<，再由对立事件概率关系即可求解. 【详解】(0)(4),2P P ξξμ<=>∴=，(3)(1)0.4P P ξξ∴>=<=， (1)1(1)0.6P P ξξ∴≥=-<=.故选:C.【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性、对立事件概率关系，属于基础题.9.随着互联网的发展，网络购物用户规模也不断壮大，网上购物越来越成为人们热衷的一种现代消费方式.假设某群体的20位成员中每位成员网购的概率都为p ，各成员的网购相互独立.设X 为该群体中使用网购的人数，() 4.8D X =，(9)(11)P X P X =<=，则p =（ ） A. 0.3 B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得随机变量X 满足二项分布(20,)XB p ，根据二项分布方差公式求出p ，再由(9)(11)P X P X =<=求出p 的取值范围，即可求出结论.【详解】依题意随机变量X 满足二项分布(20,)XB p ，9911111192020(9)(11),(1)(1)P X P X C p p C p p =<=-<-，22(1)p p -<，解得0.51p <<，() 4.820(1) 4.8D X p p ==-=，整理得20.240p p -+=，解得0.6p =或0.4p =（舍去）. 故选:C.【点睛】本题考查二项分布方差、独立重复试验概率，熟记公式是解题关键，属于基础题.10.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“5局3胜”，即先赢3局者为胜.根据经验，甲在每局比赛中获胜的概率为23，已知第一局甲胜，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ） A.49B. 427C. 827D. 89【答案】D 【解析】 【分析】对甲获胜比赛局数分类讨论，打3局甲获胜，甲连赢2,3局；打4局获胜则2,3局甲一胜一负，第4局胜；打5局获胜，则2,3,4局甲胜一局负两局，第5局胜，求出各种情况的概率，按照互斥事件概率关系，即可求解.【详解】甲在每局比赛中获胜的概率为23，第一局甲胜， 打3局甲获胜概率为22()349=；打4局甲获胜概率为122128()3327C ⋅=； 打5局获胜的概率为2223124()()3327C ⋅=，所以甲获胜的概率为4848927279++=. 故选:D.【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率、互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于基础题. 11.有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（ ）A. 两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大B. 对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的可信程度越小C. 从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病D. 从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关 【答案】ABD 【解析】 【分析】2K 观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，选项A 正确；根据独立性检验，2K 观测值越小，两个有关系的可信度越低，选项B 正确；独立性检验的结论适合于群体的可能性，不能认为是必然情况，选项C 不正确；根据独立性的解释，选项D 正确.【详解】选项A ，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大， 则2K 观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A 正确；选项B ，根据2K 的观测值k 越小，原假设“X 与Y 没关系”成立的可能性越大， 则“X 与Y 有关系”的可信度越小，所以选项B 正确；选项C ，从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关， 不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项C 不正确； 选项D ，从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关， 是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关， 是独立性检验的解释，所以选项D 正确. 故选:ABD.【点睛】本题考查独立性检验概念辨析、2K观测值与独立性检验的关系，意在考查概念的理解，属于基础题.12.某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（）A. 答对0题和答对3题的概率相同，都为1 8B. 答对1题的概率为3 8C. 答对2题的概率为5 12D. 合格的概率为1 2【答案】CD【解析】【分析】根据古典概型的概率公式，结合组合数公式，逐项求出各事件的概率.【详解】选项A，答对0题和3题的概率为3531010112012CC==，所以选项A错误；选项B，答对1题的概率为1255310105512012 C CC⨯==所以选项B错误；选项C，答对2题的概率为1255310105512012C CC⨯==，所以选项C正确；选项D，至少答对2题的概率为511 12122+=，所以选项D正确.故选:CD.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件的概率，要明确各事件的关系，利用组合数求出基本事件的解题的关键，属于基础题.13.某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（）A. 四人去了四个不同餐厅就餐的概率为518B. 四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C. 四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为25216D. 四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为23【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率，分别求出选项,,A B C 对应事件的概率，逐项验证；对于选项D ，根据每个学生随机选择一家餐厅，则选择去第一餐厅的概率为16，所以去第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布1(4,)6XB ，即可求出期望，判断选项D 正确.【详解】四位同学随机选择一家餐厅就餐有46选择方法，选项A ，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为4645618A =，所以选项A 正确；选项B ，四人去了同一餐厅就餐的概率为4616216=， 所以选项B 不正确；选项C ，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为22445256216C ⨯=，所以选项C 正确； 选项D ，每个同学选择去第一餐厅的概率为16， 所以去第一餐厅就餐的人数X 服从二项分布1(4,)6XB ，12()463E X ∴=⨯=，所以选项D 正确.故选:ACD.【点睛】本题考查互斥事件概率、二项分布期望，应用排列组合、分步乘法原理求出基本事件个数是解题的关键，注意特殊分布的运用，属于中档题.二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.14.若1021101211(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则1211a a a +++=_________.【答案】1 【解析】 【分析】展开式中，令1x =，得到所有系数和，令0,x =得到常数项0a ，相减即可求出结论. 【详解】1021101211(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，令00,2x a ==，令012111,3a a a x a ++++==，12111a a a +++=.故答案为:1.【点睛】本题考查展开式系数和，应用赋值法是解题的关键，属于基础题.15.用红、黄、蓝三种颜色涂四边形ABCD 的四个顶点，要求相邻顶点的颜色不同，则不同的涂色方法共有_________种. 【答案】18 【解析】 【分析】先对A 顶点涂色有3种颜色可供选择，接着B 顶点有2种颜色可供选择，对C 顶点颜色可供选择2种颜色分类讨论，分为与A 同色和A 不同色情况，即可得到D 顶点涂色情况，即可求解. 【详解】如果,A C 同色涂色方法有321212⨯⨯⨯=， 如果,A C 不同色涂色方法有32116⨯⨯⨯=， 所以不同的涂色方法有12618+=种. 故答案为:18.【点睛】本题考查染色问题、分步乘法原理和分类加法原理，注意限制条件，属于基础题.16.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布()2100,17.5N .已知成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为_________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有________人. （若()2~,X Nμσ，则()0.68P X μσμσ-<<+≈，(22)0.96)P X μσμσ-<<+≈【答案】 (1). 0.16； (2). 10人. 【解析】 【分析】根据已知100,17.5,82.5,117.5,(82.5)()P X P X μδμδμδμδ==-=+=≤=≤+，结合已知数据，可求出学生成绩不超过82.5分的概率，求出(117.5)()P X P X μδ≥=≥+，进而求出学生总人数，再由(135)(2)P X P X μδ>=>+，即可求解.【详解】(82.5)()0.12()6P X P X P X μδμσμσ≤=≤-=≈-<<+，(117.5)()0.12()6P X P X P X μδμσμσ≥=≥+=≈-<<+，成绩在117.5分以上（含117.5分）的学生有80人， 高三考生总人数有805000.16=人， (135)(2)0.02(22)2P P X P X x μσμσμδ≈->+>=+=<<，本次考试数学成绩特别优秀的大约有5000.0210⨯=人. 故答案为:0.16；10人.【点睛】本题考查正态分布曲线的性质及应用，运用概率估计实际问题，属于中档题.17.近两年来，以《中国诗词大会》为代表的中国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮.某台举办闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为910、89、34、13，则该选手进入第二轮答题的概率为_________；该选手最终获得奖金的概率为_________. 【答案】 (1). 15； (2). 2571800.【解析】 分析】选手要进入第二轮答题，则第一轮要全部回答正确，根据相互独立同时发生的概率，即可求出其概率；该选手要获得奖金，须两轮都要过关，获得奖金的概率为两轮过关的概率乘积，第二轮通过，答题中可能全部答对四道题，或答错其中一道题，分别求出概率相加，即可得出结论. 【详解】选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，概率为98311109435⨯⨯⨯=， 第二轮通过的概率为11831913198119832510943109431094310943+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 1111225754540155360=++++=， 该选手最终获得奖金的概率为125725753601800⨯=.故答案为:15；2571800.【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率以及互斥事件的概率，考查计算求解能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共6个小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别为1i z m m =-，()222212i z m m =-+-（m ∈R ），设AB 对应的复数为z .（1）当实数m 取何值时，复数z 是纯虚数；（2）若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m =-；（2）122m -<<-. 【解析】 【分析】（1）求出21z z z =-，z 是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解； （2）根据z 的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论. 【详解】点A ，B 对应的复数分别为()2212i,212i z m m z m m =-=-+-，AB ∴对应的复数为z ，222121(2)z z z m m m m i ∴=-=--++-，（1）复数z 是纯虚数，2221020m m m m ⎧--=∴⎨+-≠⎩，解得11221m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠-≠⎩或且， 12m ∴=-；（2）复数z 在复平面上对应的点坐标为22(21,2)m m m m --+-，位于第四象限，2221020 m mm m⎧-->∴⎨+-<⎩，即11221m mm⎧-⎪⎨⎪-<<⎩或，122m∴-<<-.【点睛】本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.19.受传统观念的影响，中国家庭教育过程中对子女教育的投入不遗余力，基础教育消费一直是中国家庭教育的重头戏，升学压力的逐渐增大，特别是对于升入重点学校的重视，导致很多家庭教育支出增长较快，下面是某机构随机抽样调查某二线城市2012-2018年的家庭教育支出的折线图.（附：年份代码1-7分别对应的年份是2012-2018）（1）从图中的折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r（精确到0.001），并指出是哪一层次的相关性？（相关系数||[0.75,1]r∈，相关性很强；||[0.30,0.75)r∈，相关性一般；||[0,0.25]r∈，相关性较弱）.（2）建立y关于t的回归方程；（3）若2019年该地区家庭总支出为10万元，预测家庭教育支出约为多少万元？附注：参考数据：71259iiy==∑，711178i iit y==∑()72127iiy y=-=∑，()()71126i iit t y y=--=∑，7 2.646≈.参考公式：()()()()12211niii nni i i i t t y y r t ty y===--=--∑∑∑ˆˆˆybt a =+， 其中()()()121ˆniii nii tty y btt==--=-∑∑，ˆˆay bt =- 【答案】（1）详见解析；（2） 4.519y t =+；（3）5.5万元. 【解析】 【分析】（1）由折线图中的数据及已知求出y 与t 的相关系数的近似值，对照参考数据，即可得出结论； （2）由已知结合公式求出b 及a ，可得y 关于t 的回归方程；（3）将2019对应的8t =代入回归方程，求出y ，进一步求得2019年该地区家庭教育支出. 【详解】（1）由折线图中数据及题中给出的参考数据， 可得()2174,28ii t tt==-=∑，所以()()()()1221777170.8822727iii i i i i t t y y r t t y y ===--===≈⨯--∑∑∑， 即y 与t 的相关系数近似值为0.882，所以相关性很强； （2）由71259ii y==∑，得259377y ==， 又()()()71721126ˆ 4.528iii ii tty y btt==--===-∑∑， ˆˆ37 4.5419ay bt =-=-⨯=， 所以y 关于t 的回归方程为 4.519y t =+；（3）将2019年对应的8t =代入回归方程 4.519y t =+，得 4.581955y =⨯+=，所以预测2019年该城市家庭教育支出将达到家庭总支出的55%， 因此当家庭总支出为10万元时，家庭教育支出为1055% 5.5⨯=（万元）.【点睛】本题考查线性相关关系、线性回归方程及应用，考查计算求解能力，属于中档题. 20.已知1(21)n x +展开式的二项式系数和比(31)nx -展开式的偶数项的二项式系数和大48，求22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：（1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项.【答案】（1）8064-；（2）415360x --. 【解析】 【分析】（1）分别求出1(21)n x +展开式的二项式系数和，(31)nx -展开式的偶数项的二项式系数和，利用两者差48列方程，解方程求出n 的值，22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项式系数最大项为第1n +，即可求解；（2）设第1k +项系数绝对值最大，化简二项展开式的通项公式，利用系数绝对值最大项比前后两项的系数绝对值都大列不等式组，解不等式组求得k 的取值范围，由此求得k 的值 【详解】（1）依题意112248,232,5n n n n +--==∴=，102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第6项二项式系数最大，即5556102()8064T C x x=-=-；（2）设第1k +项的系数的绝对值最大， 则10102110102()(1)2kkk k k k k k T C xC x x--+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅，1110101110102222k k k k k k k k C C C C --++⎧⋅≤⋅∴⎨⋅≥⋅⎩，得110101101022k k k k C C C C -+⎧≤∴⎨≥⎩， 即2221202k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，1922,733k k ∴≤≤∴=， 所以系数的绝对值最大的是第8项，即77744810(1)215360T C x x --=-⋅⋅=-.【点睛】本题考查二项式系数和、二项式系数最大项、系数绝对值最大项，考查计算求解能力，属于中档题.21.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，某校在高中生中随机抽取100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢数学 不喜欢数学 合计 男生 40 女生 30 合计 50100（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“喜欢数学”与性别有关？说明你的理由； （3）若在接受调查的所有男生中按照“是否喜欢数学”进行分层抽样，现随机抽取6人，再从6人中抽取3人，求至少有1人“不喜欢数学”的概率. 下面的临界值表供参考：()2P K k ≥ 0.050.010 0.005 0.001 k3.8416.6357.87910828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45. 【解析】 【分析】（1）结合题中所给的条件完成列联表即可；（2）结合（1）中的列联表结合题意计算2K 的观测值，即可确定喜欢数学是否与性别有关；（3）随机抽取6人中，根据列联表中数据按照分层抽样原则，分别求出喜欢数学和不喜欢数学的人数，用间接法求出3人都喜欢数学的概率，进而得出结论.【详解】（1）列联表补充如下： 喜欢数学 不喜欢数学 合计 男生 40 20 60 女生 10 30 40 合计 5050100（2）由列联表值的的结论可得2K 的观测值为：28505100(40301020)16.6106047006.82k ⨯⨯=>⨯⨯-⨯≈，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“喜欢数学”与性别有关； （3）在接受调查的所有男生中按照“是否喜欢数学”进行分层抽样， 现随机抽取6人，喜欢数学的有4人，不喜欢数学2人， 从6人中抽取3人，记至少有1人“不喜欢数学”为事件A ，则34364114(),()120555C P A P A C ===∴=-=， 所以从6人中抽取3人，记至少有1人“不喜欢数学”的概率为45. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了分层抽样与对立事件求概率，属于基础题. 22.小明下班回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为45，在第二、第三个道口遇到红灯的概率依次减小，在三个道口都没遇到红灯的概率为245，在三个道口都遇到红灯的概率为845，且他在各路口是否遇到红灯相互独立.（1）求小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率； （2）求小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率； （3）记ξ为小明下班回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望E ξ. 【答案】（1）4345；（2）145；（3）95. 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的概率关系结合已知，即可求解； （2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为12214,,5p p p p <<，根据已知列出关于12,p p 方程组，求得12,p p ，即可求出结论；（3）ξ的可能值为0,1,2,3分别求出概率，得出随机变量的分布列，由期望公式，即可求解.【详解】（1）因为小明在三个道口都没遇到红灯的概率为245， 所以小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率为4345；（2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为12214,,5p p p p <<， 依题意121212(1)(1)54548545p p p p ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得122313p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或121323p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），所以小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率111153345⨯⨯=；（3）ξ的可能值为0,1,2,3，2(0)45P ξ==， 41212211113(1)53353353345P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，42212141122(2)53353353345P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，8(3)45P ξ==，ξ∴分布列为ξ1 2 3p245 1345 2245 8452132289()0123454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查互斥事件、对立事件概率关系，考查相互独立同时发生的概率，以及离散型随机变量分布列和期望，属于中档题.23.已知甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X的数学期望()E X；（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？【答案】（1）625；（2）219100；（3）详见解答.【解析】【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，求出()P B，每个人获奖的概率相等，获奖人数X服从二项分布(3,())X P B，求出X可能值0,1,2,3的概率，由此求出X的分布列，应用二项分布期望公式即可求出结论；（3）求出中奖的期望，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，求出相应的概率，列出分布列，进而求出期望，与打9折的优惠金额对比，即可得出结论.【详解】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，则21111232323222556 ()25C C C C C CP AC C+==，所以在1次摸奖中，获得二等奖的概率6 25；（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，则获得一等奖的概率为2232122553100C CPC C==，获得三等奖的概率为2211112233322322222552350C C C C C C C CPC C++==，所以362373 ()1002550100P B=++=，每个人摸奖是相互独立，且获奖概率相等， 获奖人数X 服从二项分布73(3,)100X， 3373270,1,2,3,()()(),0,1,2,3100100i i iX P X i C i -====，X 分布列为： X12 3p327()1001237327()100100C ⋅⋅ 2237327()100100C ⋅⋅ 373()10073219()3100100E X =⨯=； （3）如果选择抽奖，设中奖的的金额为η，η可能值为300,200,100,0，36(300),(200)10025P P ηη====， 23(100)50P η==，1122112223232323225527(0)100C C C C C C C C P C C η++===，η的分布列为： η300200100p31006252350271003244627()3002001000103100100100100E η=⨯+⨯+⨯+⨯=， 如果购买1200选择打九折，优惠金额为120103>，∴选择打九折更有利.【点睛】本题考查互斥事件概率、离散型随机变量分布列期望、二项分布期望，考查计算求解能力，属于中档题.。
江苏省徐州市2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
江苏省徐州市2018—2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1.=______【答案】60【解析】【分析】根据排列数公式计算即可.【详解】5×4×3＝60．故答案为：60．【点睛】本题主要考查了排列数公式，属于基础题．2.若i是虚数单位，且复数z满足z＝3﹣i，则＝______【答案】【解析】【分析】由已知直接代入复数模的计算公式求解．【详解】∵z＝3﹣i，∴|z|．故答案为：．【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题．3.用反证法证明命题“如果m＜n，那么”时，假设的内容应该是______【答案】假设【解析】【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，由此得出结论．【详解】∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“m7＜n7”的否定为：“m7≥n7”，故答案为：假设m7≥n7【点睛】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．4.若，则x的值为______．【答案】3或4【解析】【分析】结合组合数公式结合性质进行求解即可．【详解】由组合数的公式和性质得x＝2x﹣3，或x+2x﹣3＝9，得x＝3或x＝4，经检验x＝3或x＝4都成立，故答案为：3或4.【点睛】本题主要考查组合数公式的计算，结合组合数的性质建立方程关系是解决本题的关键．5.已知复数（是虚数单位），则＝______【答案】-1 【解析】【分析】把代入ω3﹣2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵，∴ω3﹣2．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．6.用灰、白两种颜色的正六边形瓷砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中正六边形瓷砖的个数是______【答案】37【解析】【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．【详解】第1个图案中有灰色瓷砖6块，白色瓷砖1块第2个图案中有灰色瓷砖11块，白色瓷砖2块；第3个图案中有灰色瓷砖16块，白色瓷砖3块；…设第n个图案中有瓷砖a n块，用数列{}表示，则＝6+1＝7，＝11+2＝13，＝16+3＝19，可知﹣＝﹣＝6，…∴数列{}是以7为首项，6为公差的等差数列，∴＝7+6（n﹣1）＝6n+1，∴＝37，故答案为：37.【点睛】本题考查了归纳推理的问题，属于基础题.7.有这样一段“三段论”推理，对于可导函数，大前提：如果，那么是函数的极值点；小前提：因为函数在处的导数值，结论：所以是函数的极值点．以上推理中错误的原因是______错误（“大前提”，“小前提”，“结论”）．【答案】大前提【解析】因为导数等于零的点不一定是极值点.如函数y=x3,它在x=0处导数值等于零，但x=0不是函数y=x3的极值点.因为只有此值两侧的导数值异号时才是极值点8.用数学归纳法证明（，n＞1）时，第一步应验证的不等式是______．【答案】【解析】试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为。
山东省邹城市2018_2019学年高二数学下学期期中试卷(含解析)
2018～2019学年度第二学期期中考试高二数学试题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，，则集合是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解方程得到集合；根据，即可求出集合.【详解】解方程得或，因为，所以或，因此，或，故，，所以.故选B【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，熟记概念即可，属于基础题型.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. .【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接写出结果.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选C【点睛】本题主要考查命题否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.3.已知随机变量满足，则的值等于（）A. 20B. 18C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】根据随机变量方差的性质即可得出结果.【详解】因为随机变量满足，所以.故选B【点睛】本题主要考查方差的性质，熟记结论即可，属于基础题型.4.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果.【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；故；；又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故，，因此，.故选C【点睛】本题主要考查相关系数，根据散点图的特征进行判断即可，属于基础题型.5.若函数在处的导数存在，则“函数在点处取得极值”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件；再根据，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，进而可得出结果.【详解】根据函数极值的定义可知：当函数在处取得极值时，一定成立，即“函数在点处取得极值”是“”的充分条件；当时，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，如：，其导函数为，当时，，但是单调函数，无极值点；所以“函数在点处取得极值”是“”的不必要条件.综上，“函数在点处取得极值”是“”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型.6.甲、乙两学生独立地解答同一道数学问题，甲生解答正确的概率是0.9，乙生解答正确的概率是0.8，那么至少有一学生解答正确的概率是（）A. 0.26B. 0.28C. 0.72D. 0.98【答案】D 【解析】 【分析】先记“甲解答数学问题正确”事件，“乙解答数学问题正确”为事件，根据题意即可求出结果.【详解】记“甲解答数学问题正确”为事件，“乙解答数学问题正确”为事件， 由题意可得，，则至少有一学生解答正确的概率是.故选D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 （ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，将函数在上单调递增，转化为在上恒成立的问题，分类讨论即可求出结果. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，显然恒成立，故满足题意；当时，在上恒成立，可化为在上恒成立，所以. 综上，实数的取值范围是【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数在区间上的单调性求参数问题，通常只需用分离参数的方法处理，属于常考题型.8.我市某学校开设6门课程供学生选修，其中，两门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A. 16B. 20C. 48D. 120 【答案】A【解析】【分析】分“每位同学都不选，”和“每位同学只选，中一门”两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】分两种情况讨论如下：若“每位同学都不选，”，则有种选修方案；若“每位同学只选，中一门”，则有种选修方案；故每位同学不同的选修方案种数是.故选A【点睛】本题主要考查组合问题，熟记概念，掌握分类讨论的思想即可，属于常考题型.9.已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，由概率之和为1，先求出；再由，即可求出结果.【详解】因为随机变量的概率分布为，所以，即，所以，故.故选D【点睛】本题主要考查概率的性质，熟记概率和为1即可，属于基础题型.10.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）A. 20B. 30C. 60D. 120 【答案】C【解析】【分析】由题意先确定个位数字，再从剩下的五个数字中选出2个进行排列，即可得出结果.【详解】由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位偶数，可得末尾只能是2、4、6中的一个，再从剩下的五个数字选出两个排在百位和十位即可，因此，偶数的个数为.故选C【点睛】本题主要考查排列组合问题，根据特殊问题优先考虑原则即可求解，属于基础题型.11.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件:“甲骰子的点数大于3”；事件:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出发生的概率，再求出事件与事件都发生的概率，根据条件概率的概率计算公式即可求出结果.【详解】由题意可得：事件:“甲骰子的点数大于3”包含点数为4,5，6三种情况，所以为，又事件:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，所以，事件与事件都发生所包含的情况有，共3个基本事件；而抛掷甲、乙两颗骰子，共有36种情况，所以事件与事件都发生的概率为，故.故选B【点睛】本题主要考查条件概率，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.12.设是奇函数的导函数，且，当时，有，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先构造函数，对求导，根据题中条件判断其单调性，以及奇偶性，将不等式转化为，结合的简图，即可求出结果.【详解】令，则，因为当时，有，所以，即函数在上单调递增；又是上的奇函数，所以，所以，故函数为奇函数，又，所以，，由可得，，即要使成立，只需成立；作出函数的简图如下：由图像可得，当时，，即.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要结合函数的单调性、奇偶性求解，属于常考题型.二、填空题。
高二年级期中试卷及答案
2018-2019学年度临沧市一中高二年级下学期期中考试理科数学试卷及答案命题人：赵志菊本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合M＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x|0＜x≤4}，则M∩N＝（）A．（﹣2，4）B．（﹣2，4]C．（0，3）D．（0，3]【解答】解：∵M＝{﹣2＜x＜3}，N＝{x|0＜x≤4}，∴M∩N＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），故选：C．2．已知函数f（x）的导函数f′（x）＝a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由f′（x）图象可知，函数f（x）先减，再增，再减，故选：D．3.下列说法正确的是（）A．函数f（x ）＝在其定义域上是减函数B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”D．给定命题p、q，若p∧q是真命题，￢p则是假命题【解答】解：A．函数f（x ）＝在其定义域上不具备单调性，故A错误，B．两个三角形全等，则两个三角形面积相等，即充分性成立，当两个三角形面积相等时，两个三角形不一定全等，即必要性不成立，即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B错误，C．命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≤0”，故C错误，D．给定命题p、q，若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则￢p则是假命题正确，故D 正确故选：D．4.函数f（x）＝xlog2+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：f（x）＝log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）＝1+2﹣4＝﹣1＜0，f（3）＝log23﹣1＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（2，3）区间内∴函数f（x）＝log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3），故选：C．5.一个总体中的100个个体的号码分别为0，1，2，…，99，依次将其均分为10个小组，要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组（号码为0﹣9）中随机抽取的号码为m，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数字为m+k﹣1或m+k﹣11（如果m+k≥11），若第6组中抽取的号码为52，则m为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：第6组中抽取的号码为52，∴k＝6，∵第k组中抽取的号码的个位数为m+k﹣1或m+k﹣11，∴m+6﹣11＝2或m+6﹣1＝2，解得m＝7或m＝﹣3（舍），∴m＝7．故选：B．6.在平面直角坐标系中，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P （﹣，﹣1），则sin （﹣α）＝（）A ．B ．﹣C ．D．﹣【解答】解：根据题意，角α的终边过点P （﹣，﹣1），则r＝|OP|＝2．则cosα＝﹣，故sin （﹣α）＝cosα＝﹣，故选：B．7.直线ax+by﹣1＝0在y轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角的2倍，则（）A．a ＝，b＝1B．a ＝﹣，b＝﹣1C．a ＝﹣，b＝1D．a ＝，b＝﹣1【解答】解：令直线ax+by﹣1＝0中x＝0，解得y ＝，由直线在y轴上的截距为1，得到＝1，则b＝1，∵直线x﹣y﹣3＝0，即y ＝x﹣3的斜率为，∴tanα＝，α∈[0，180°]，∴倾斜角α＝60°，∴直线ax+by﹣1＝0的倾斜角为120°，则其斜率为﹣，即﹣＝﹣，又b＝1，则a ＝．故选：A．8．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由已知可得：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝0++1++…++1007的值，∵S＝0++1++…++1007＝1007×2015×＝，故选：B．9.对于曲线C ：+＝1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“1＜k＜4”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件；③“曲线C表示双曲线”是“k＜1或k＞4”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k ＜”的充要条件其中真命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线表示椭圆，所以①错误；②当k＝2.5时，4﹣k＝k﹣1，此时曲线表示圆，所以②错误．③若曲线C表示双曲线，则（4﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞4或k＜1，所以“曲线C表示双曲线”是“k＜1或k＞4”的充分必要条件，所以③不正确．④若曲线C表示焦点在x 轴上的椭圆，则，解得1＜k＜2.5，所以④正确．故选：B．10.三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．18πB ．C．21πD．42π【解答】解：由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC 的外接圆直径为，由于SA⊥底面ABC ，所以，该三棱锥的外接球直径为，因此，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝π×（2R）2＝21π．故选：C．11．已知F是椭圆C ：的左焦点，P为C 上一点，，则|P A|+|PF|的最小值为（）A ．B ．C．4D ．【解答】解：椭圆C ：，可得a＝3，c ＝＝2．设F′为椭圆的右焦点，则|PF|＝2a﹣|PF′|，F（﹣2，0），F′（2，0）．∴|P A|+|PF|＝|P A|+2a﹣|PF′|＝2a﹣（|PF′|﹣|P A|）≥2a﹣|AF′|＝6﹣＝，三点P，A，F′共线时取等号．故选：D．12.已知函数f（n）＝cos（n∈N*），则＝（）A．1B．0C．﹣1D．4【解答】解：∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝（cos +cos）+（cos +cos）+cosπ＝﹣（cos +cos）+（cos +cos）﹣1＝﹣1，f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）＝（cos +cos）+（cos +cos）+cos2π＝﹣（cos +cos）+（cos +cos）+1＝1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）＝0∴[f（1）+f（2）+f（3）+…f（2008）]＝﹣cos﹣cos＝﹣cos （﹣+402π）﹣1＝﹣cos﹣1＝﹣f（1）﹣1．[f（10）+f（21）+f（32）+f（43）]＝1+f（1）+f（2）+f（3）＝1+f（1）+cos +cos＝1+f（1）．∴＝＝﹣1．故选：C．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线．．．．．．．．上）13.如图，双曲线C ：﹣＝1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足＝0，∠ABF ＝，则双曲线的离心率e的值为【解答】解：＝0，可得AF⊥BF，在Rt△ABF中，|OF|＝c，∴|AB|＝2c，在直角三角形ABF中，∠ABF ＝，可得|AF|＝2c sin＝c，|BF|＝2c cos ＝c，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，∴||BF|﹣|AF||＝|AF'|﹣|AF|＝c﹣c＝2a，∴e ＝＝+1．故答案为：+114 .设a ＝，b ＝，c ＝，比则a、b、c 的大小关系为【解答】解：a ＝，b ＝，c ＝＝，令f（x）＝，得f ′（x）＝，∴当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数，则f（e）最大，而f（2）＝，f（3）＝，∴f（2）＜f（3），∴a＜b＜c．15.若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n，T n，已知＝，则＝．【解答】解：由等差数列的性质可得：＝+20111bba＝＝＝＝＝4．故答案为：4．16. 如图，在四边形ABCD中，O为BD的中点，且，已知，＝﹣7，则BD＝【解答】解：∵O为BD的中点；∴；又；∴；∴＝，；∴；又，；∴；∴；∴；∴BD＝6．故答案为：6．三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）17.（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），（1）求该椭圆的标准方程；（2）若已知点，P是椭圆上的动点，求线段P A中点M的轨迹方程；【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设+＝1（a＞b＞0），由椭圆的左焦点为F （﹣，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c ＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程为：+y2＝1；---------5分(2）设线段P A的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知x ＝，y ＝，整理得：x0＝2x﹣1，y0＝2y ﹣，由点P在椭圆上，∴+（2y ﹣）2＝1，∴线段P A中点M的轨迹方程是：（x ﹣）2+4（y ﹣）2＝1．--------10分18.（本小题满分12分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x 万元的关系分别为，y2＝bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1、C2如图所示．（1）求函数y1、y2的解析式；（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．【解答】解：（1）由题意，解得，…（4分）又由题意得，（x≥0）---------（6分）（不写定义域扣一分）（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4﹣x）万元由（1）得，（0≤x≤4）…（10分）令，则有5154512++-=tty＝，，当t＝2即x＝3时，y取最大值1．答：该商场所获利润的最大值为1万元．----------（12分）（不答扣一分）19.（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，且cos∠BCD ＝﹣．（1）若AC平分∠BCD ，且AB＝2，求AC的长；（2）若∠CBD＝45°，求CD的长．解：（1）∵AC平分∠BCD，可得：∠BCD＝2∠ACB ＝2∠ACD，∴cos∠BCD＝2cos2∠ACB﹣1＝﹣，∵cos∠ACB＞0，∴cos∠ACB＝，----------3分∵在△ABC中，BC＝1，AB＝2，cos∠ACB＝，∴由余弦定理AB2＝BC2+AC2﹣2BC•AC•cos∠ACB，可得：AC2﹣AC﹣3＝0，解得：AC＝，（负值舍去），∴AC的值为-------------6分（2）∵cos∠BCD ＝﹣，∴sin∠BCD ＝＝，-----------7分又∵∠CBD＝45°，∴sin∠CBD＝sin（180°﹣∠BCD﹣45°）＝sin（∠BCD+45°）＝（sin∠BCD+cos∠BCD）＝，----------9分∴在△BCD 中，由正弦定理，可得：CD ＝＝5，即CD 的长为5-----------12分20. （本小题满分12分）.已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是正数等比数列，且a1＝b1＝2，a3+b3＝16，S5＝8+b5．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n＝a1b1+a2b2+…+a n b n，n∈N*，证明T n﹣S5+b5＝a n﹣1b n+1（n∈N*，n≥2）．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，则由解得：．∴a n＝3n﹣1，．-------------5分(2)证法一：∵，，当n≥2时，T n﹣8＝a n﹣1b n+1，即T n﹣S5+b5＝a n﹣1b n+1成立．证法二：由（1）得：，①，②由①﹣②得：＝＝﹣（3n﹣4）×2n+1﹣8．即，而当n≥2时，，所以T n﹣8＝a n﹣1b n+1，n∈N*，n≥2．即T n﹣S5+b5＝a n﹣1b n+1成立．-------------12分21.（本小题满分12分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60°，若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵AC＝BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，又∵EA⊥平面ABC，CM⊥EA，∵EA∩AB＝A点，∴CM⊥平面AEM，∵EM⊂平面AEM，∴CM⊥EM．解：（Ⅱ）如图，以M为原点，MB，MC为x，y轴，建立如图所示的坐标系M﹣xyz，∴M（0，0，0），C（0，，0），E （﹣，0，1），B （，0，0），D （，0，2），＝（﹣，0，1），＝（0，，0），＝（﹣，，0），＝（0，0，2），设平面EMC 的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，），设平面BCD 的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设平面EMC与平面BCD所成的二面角的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝．∴平面EMC与平面BCD 所成的二面角的正弦值为．（Ⅲ）在棱DC上存在一点N，设N（x，y，z），且＝（0≤λ≤1），∴（x ﹣，y，z﹣2）＝λ（﹣），解得x ＝，∴＝（，，2﹣2λ），y ＝，z＝2﹣2λ，∵直线MN与平面EMC所成角为60°，∴cos ＜＞＝＝sin60°＝，解得，∴存在点N符合条件，且N是棱DC的中点．22.（本小题满分12分）已知F为抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，C（x0，1）为E上一点，且|CF|＝2．过F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线E于P，Q和M，N两点，A，B 分别为线段PQ和MN的中点．（1）求抛物线E的方程及点C的坐标；（2）试问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）证明直线AB经过一个定点，求此定点的坐标，并求△AOB面积的最小值．【解答】解：（1）抛物线E：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y ＝﹣，∵C（x0，1）为E上一点，且|CF|＝2，∴1+＝2，即p＝2，∴抛物线方程为x2＝4y，当y＝1时，x0＝±2，即C（2，1）或C（﹣2，1）．（2）由（1）可得F（0，1），设直线l1的方程为y＝kx+1，k＞0，则直线l2的方程为y ＝﹣x+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），∴|PQ|＝y1+y2+2，|MN|＝y3+y4+2，由，，分别消x可得，y2﹣（2+4k2）y+1＝0，k2y2﹣（4+2k2）y+k2＝0，∴y1+y2＝2+4k2，y3+y4＝2+∴|PQ|＝4+4k2，|MN|＝4+∴＝+＝，故是为定值，定值为．（3）设A（x A，y A），B（x B，y B），∵A，B分别为线段PQ和MN的中点，∴由（2）可得y A ＝（y1+y2）＝1+2k2，y B ＝（y3+y4）＝1+，∴x A＝2k，x B ＝﹣，则直线AB 的斜率为＝k ﹣＝，∴直线AB的方程为y﹣（1+2k2）＝（x﹣2k），即y ＝x+3，∴直线AB过定点（0，3），∵|AB|＝＝2（k +）•点（0，0）到直线y ＝x+3的距离d ＝，∴S△AOB ＝|AB|•d＝3（k +）≥3•2＝6，当且仅当k＝1时取等号．故△AOB面积的最小值为6．。
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上海南汇中学2019学年第二学期期中考试高二数学（答案）满分：100分 完成时间：90分钟 命题人：吴世星 周华 审核人：潘静红一、填空题（每小题3分，共36分） 1、直线013=+-y x 的倾斜角6π. 2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为___2213236x y +=_________. 3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 10x y +-= _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 9 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 4π_.6、直线1x y +=被圆221x y +=7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为___410k k <>或 . 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 3450x y -+=或1x =_.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 4 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 210x y +-= .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 [1,1){2}- . 12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-；②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么yx④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥； ⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ； 正确的是_____②_③_⑤___ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（ A ） （A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（ C ） （A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ） 不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（ B ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（ C ） （A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 （C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求 （1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分) 解；（1）(6,3)BC =--是BC 边所在直线的方向向量 故3:63BC x y l -=--，即:260BC l x y -+= …………………………4分 （2）(6,3)BC =--高AD 所在直线的法向量故:6(3)3(4)0AD l x y ---+=，即:220AD l x y +-=…………………………8分18、求经过(3,0)A -,且与圆22:(3)64C x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分) 解：根据题意得，8MA MC AC +=>,……………………………………2分 由椭圆定义得4,3a c ==，所以27b =…………………………………………4分所以所求的圆心M 的轨迹方程为221167x y +=……………………………………8分 19、已知双曲线1C ：2214y x -= （1）求与双曲线1C有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分） （2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。
当3OA OB ⋅=时，求实数m 的值.（5分）解：（1）双曲线1C的焦点坐标是(，………………………………………1分设双曲线2C 的标准方程为22221x y a b -=，则222211631a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………3分所以双曲线2C 的标准方程为2214x y -= ……………………………………………5分 （2）双曲线1C 的两条渐近线方程为2,2y x y x ==-……………………………………6分 由2y x y x m =⎧⎨=+⎩ 得(,2)A m m 由2y x y x m=-⎧⎨=+⎩ 得2(,)33m mB -………………8分2224333m m OA OB m ⋅=-+==，得m =10分20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线C ，公路l 恰好是C 的准线，C 上的点O 到l 的距离最近，且为0.4千米，城镇P 位于点O 的北偏东30处，10OP =千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路,l 以便建立水陆交通网．（1）建立适当的坐标系，求抛物线C 的方程；（5分）（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q 的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）.（7分）解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系……1分 由题意得，0.42p=……3分 所以，抛物线2: 1.6C y x =……5分（2）设抛物线C 的焦点为F 由题意得，(P ……7分 根据抛物线的定义知，公路总长9.806QF QP PF =+≥≈……10分 当Q 为线段PF 与抛物线C 的交点（如图）时，公路总长最小，…………11分 最小值为9.806千米……12分21、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。
如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。
已知椭圆221:14x C y +=. （1） 若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似？如果相似，求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；（4分）（2） 写出与椭圆1C 相似且短半轴长为b 的椭圆b C 的方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围？（6分）（3） 如图：直线y x =与两个“相似椭圆”2222:1x y M a b +=和22222:x y M a bλλ+=(0,a b >>01)λ<<分别交于点,A B 和点,C D ， 试在椭圆M 和椭圆M λ上分别作出点E 和点F （非椭圆顶O点），使CDF ∆和ABE ∆组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。
（不必证明）.（4分）（1）椭圆2C 与1C 相似。
-------------------2分因为椭圆2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为2:1---------------4分（2）椭圆b C 的方程为：22221(0)4x y b b b+=>-------------------6分设:MN l y x t =-+，点1122(,),(,)M x y N x y ，MN 中点为00(,)x y ，则222214y x tx y b b=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以222584()0x tx t b -+-= 则12004,255x x t tx y +=== -------------------8分 因为中点在直线1y x =+上，所以有4155t t =+，53t =--------------------9分即直线MN l 的方程为：5:3MN l y x =--，由题意可知，直线MN l 与椭圆b C 有两个不同的交点，即方程2225558()4[()]033x x b --+--=有两个不同的实数解，所以224025()454()039b ∆=-⨯⨯⨯->，即b >分 （3）作法1：过原点作直线(1)y kx k =≠，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则C D F ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ。
-------------------14分作法2：过点A 、点C 分别做x 轴（或y 轴）的垂线，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ。
-------------------14分。