2020江苏高考数学最后一讲
2020年江苏省高考数学试卷 试题+答案详解
E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；
1
（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，
4
设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ的值．
25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任 取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个 黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．
a1
d 2
q 2
1
aq120
，∴
d
q
4
.
b1 1 q
1
b1 1
12【答案】 4 5
【解析】∵
5x2
y2
y4
1，∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+
4y2 5
2
1 4y2 4 ， 5y2 5 5
当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即
x2
3 , y2 10
等差数列 an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
nn 1
d 2
d n2 2
a1
d 2
n
，
等比数列bn 的前
n
2020年江苏省高考数学试卷 试题详解
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =_____. 【答案】{}0,2【解析】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2AB =. 2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】∵复数()()12z i i =+-,∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为3.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19 【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个. 点数和为5的基本事件有()1,4,()4,1,()2,3,()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 5.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为2-,则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222105x y a a-=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32 【解析】∵双曲线22215x y a -=，∴5b =. 由于双曲线的一条渐近线方程为52y x =，即522b a a =⇒=， ∴22453c a b =+=+=，∴双曲线的离心率为32c a =. 7.已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时()23 f x x =,则()8f -的值是____.【答案】4-【解析】23(8)84f ==,∵()f x 为奇函数，∴(8)(8)4f f -=-=-.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin2α的值是____. 【答案】13【解析】∵22221sin ()(cos sin )(1sin 2)42παααα+=+=+， ∴12(1sin 2)23α+=,∴1sin 23α=. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯,圆柱体积为21()222ππ⋅= ∴所求几何体体积为1232π.10.将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=- 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 令2()122x k k Z πππ-=+∈,得7()242k x k Z ππ=+∈。
江苏高考数学应知应会讲义最后七天回顾优选版
2020 年江苏高考数学应知应会讲义（最后七天回顾）集合函数部分1、已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000lg x x x x f ，则方程()()02=-x f x f 的实根共有7个；2、已知函数()()122-+=x x f 在区间[]0,a 上的最大值为3，则在满足条件的实数a 中任取一个，使函数()ax x x f --=233有3个零点的概率为31． 3、已知集合{}{}22|230,|0A x x x B x x ax b =-->=++≤，AB R =，{}|34A B x x =<≤，则sin cos a x b x +的最小值是分析：根据条件求出,a b 的值，则函数sin cos a x b x +的最小值为 解析：{}|13A x x x =<->或，A B R =，{}|34A B x x =<≤，如图所示，借助于数轴可以看出，{}|14B x x =-≤≤，()()143,144a b ∴=--+=-=-⨯=-，故函数sin cos a x b x +的最小值为5-集合运算的一种基本思想。
4、集合{}|0,|sin cos ,,4M z z N y y x x x M π⎧⎫=<<==+∈⎨⎬⎩⎭则M N =分析：集合N 实际上是定义域为M 时函数sin cos y x x=+的值域解析：因为(4y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故MN =∅点评：解决集合问题的关键是搞清楚集合所表示的问题的意义。
5、如图所示，设点A 是单位圆上的定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所经过的AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图象大致是① ② ③ ④解析：函数在[)0,π上的解析式为d ===[],2ππ上的解析式为2sin 2l d ==，故函数的解析式为2sin 2ld =，故答案为③6、设函数()[)1,,1f x n x n n =-∈+，n N ∈，函数()2log g x x =，则方程()()f x g x =中实数根的个数是解析：解法一 详细画出()f x 和()g x 的图象，如下图所示，从图中不难看出方程()()f x g x =有三个零点，故答案为3解法二①当0n =时，()[)1,0,1,f x x =-∈则[)21log 10,12x x =-⇒=∈； ②当1n =时，()[)0,1,2f x x =∈，则[)2log 011,2x x =⇒=∈； ③当2n =时，()[)1,2,3f x x =∈，则[)2log 122,3x x =⇒=∈； ④当3n =时，()[)2,3,4f x x =∈，则[)2log 243,4x x =⇒=∉；⑤当4n =时，()[)3,4,5f x x =∈，则[)2log 384,5x x =⇒=∉由此下去以后不再有根，所以答案为3.点评：数形结合既是一种数学思想,又是一种解决具体问题的工具,它在高考应试中，具有十分重要的作用。
2020年江苏高考数学试题解析
绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
一、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 那么_______,=⋂B A 答案：{}1－，2解析：考察简单的集合运算，容易题。
二、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案：+∞1（－）2解析：考察函数性质，容易题。
3、设复数i 知足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），那么z 的实部是_________ 答案：1解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。
4、依照如下图的伪代码，当输入b a ,别离为2，3时，最后输出的m 的值是________答案：3解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。
五、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率是______★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________9第题图答案：13解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
六、某教师从礼拜一到礼拜五收到信件数别离是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差___2=s 答案：165解析：考察方差的计算，能够先把这组数都减去6再求方差，165，容易题。
7、已知,2)4tan(=+πx 那么xx2tan tan 的值为__________答案：49解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－八、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ长的最小值是________ 答案：4解析：考察函数与方程，两点间距离公式和大体不等式，中档题。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)最后一卷 数学试题附答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数 学I 2020.6圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{|23},{21,}A x x B x x k k =<<==-∈Z －，则A B =I ▲ . 2．已知复数z 满足1－i z ＋2＝－i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ .3. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .4. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6，10)上的频数是 ▲ .5．用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 ▲ ．6．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ .7． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2―y 2m＝1的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ． 8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝ ▲ .（第3题）（第4题）FECBAP（第15题）9．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 ▲ cm.10. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅u u u r u u u r▲ ． 11. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4=66，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫2α+π6＝ ▲ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l ：x -3y +23=0与圆C ：x 2+y 2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．13.已知函数3()log f x x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，()31x h x =-.若函数)()(x h x f k y +⋅=恰有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14. 已知△ABC 的面积等于1，BC =1，则当△ABC 的三边之积取得最小值时，sin A = ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝PC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．求证：(1)AC //平面BEF ；(2)P A ⊥平面BCE ．EOCDB（第10题）（第9题）（第17题）M ADCBN16．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =π4，AC =72，102cos -=∠ADB ．(1)求C ∠sin 的值；(2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1的左、右焦点为F 1, F 2，点A 为左顶点，且OA =F 1F 2，过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3． (1)求椭圆C 的标准方程;(2)证明：原点O 总在以PQ 为直径的圆内； (3)若AP ⊥F 1Q (点P 在x 轴上方)，求直线l 的方程．AB CD。
江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题 Word版含解析
2019-2020学年度第二学期高三最后一卷数学Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题★答案★均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将★答案★填写在答题卷相应的位置上）1. 已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【★答案★】±1 【解析】 【分析】 由AB B =得到B A ⊆，根据集合B 中的元素都在集合A 中，即可得出a 得值.【详解】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故★答案★为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题. 2. 已知复数z 满足34ii z+=(i 为虚数单位)，则||z =______． 【★答案★】5 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的四则运算法则可求出z ，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【详解】因为34ii z +=，所以3443i z i i+==-，即()22||435z =+-=．故★答案★为：5．【点睛】本题主要考查复数的代数形式的四则运算法则和复数的模的计算公式的应用，属于容易题． 3. 某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取______名志愿者． 【★答案★】15 【解析】 【分析】根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出． 【详解】高三年级抽取的人数为35015433⨯=++．故★答案★为：15．【点睛】本题主要考查分层抽样的特征的理解和运用，属于容易题． 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为______．【★答案★】15 【解析】 【分析】模拟程序运行的过程，即可得出程序运行后的输出结果. 【详解】解：模拟程序运行的过程如下： 第一步：1i =，055S =+=，12i i =+=； 第二步：24i =<，5510S =+=，13i i =+=； 第三步：34i =<，10515S =+=，14i i =+=； 第四步：44,≥不符合条件，所以输出15S =. 故★答案★为：15.【点睛】本题考查程序语言的应用问题，模拟程序运行的过程是常用的方法，属于基础题.5. 已知抛物线22y x =的准线也是双曲线2213x y m -=的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方程是________．【★答案★】3y x =± 【解析】 【分析】依据题意分别求出抛物线的准线方程和双曲线的左准线方程，即可解出m ，从而由双曲线的解析式得到其渐近线方程．【详解】因为抛物线22y x =的准线方程为12x =-，双曲线2213x y m -=的一条左准线方程为：()03m x m m =->+，所以123m m =+，解得1m =，因此，双曲线的方程为2213y x -=，其渐近线方程是3y x =±． 故★答案★为：3y x =±．【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题．6. 某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为_______． 【★答案★】35【解析】 【分析】由题意求出总的基本事件总数35n C =种，再计算恰有一名女生的基本事件数2132m C C =,利用古典概型计算即可.【详解】由题意，基本事件为机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名，共有3510n C ==种选法，其中选出的人员中恰好有一名女生的事件数为2132326m C C ==⨯=种， 由古典概型可知选出的人员中恰好有一名女生的概率为63105m P n ===， 故★答案★为：35【点睛】本题主要考查了概率的求法，考查了古典概型，组合的综合应用，属于容易题. 7. 已知数列{}n a 是等比数列，n T 是其前n 项之积，若567a a a ⋅=，则7T 的值是________． 【★答案★】1 【解析】 【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到41a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，由567a a a ⋅=得456111a q a q a q ⋅=，即311a q =，即41a =，由等比数列的性质可得，77123456741T a a a a a a a a ===.故★答案★为：1.【点睛】本题主要考查等比数列性质的应用，属于基础题型.8. 已知()cos x f x x e =+，则(3)(31)0f x f x --+>的解集为________． 【★答案★】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可得函数为偶函数，求导分析可得f （x ）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性可得原不等式等价于331x x -+＞，解出x 的取值范围，即可得★答案★． 【详解】由题知，()()f x f x -=，所以()cos x f x x e =+为偶函数，当x ≥0时，()cos xf x x e =+此时有()sin 0x f x x e '=-+>，则()f x 在[0，+∞）上为增函数，由(3)(31)0f x f x --+>，可得(3)(31)f x f x ->+， 而函数()f x 为偶函数， 可得331x x ->+，()()22331x x ->+ 解得122x -<<， 即不等式的解集为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故★答案★为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题．9. 如图，已知正ABC 是一个半球的大圆O 的内接三角形，点P 在球面上，且OP ⊥面ABC ，则三棱锥P ABC -与半球的体积比为_________．【★答案★】338π【解析】 【分析】O 是等边三角形ABC 的外心，设球半径为R ,等边三角形边长为a 得到33R a =，求体积可得. 【详解】设球半径为R ,等边三角形边长为a ，由图知，OP OA R ==,连接OB ,OP ⊥面ABC ,OP OB ∴⊥,由球的对称性知O 是等边三角形ABC 的外心，233323OB a a ∴=⨯= 33R a ∴=22311133133221212P ABC ABC V S OP a R a R a -∆==⨯⨯⨯==3331422323327V R R a πππ=⨯== 331331282327P ABC aV Va ππ-∴== 故★答案★为：338π【点睛】与球有关外接问题的解题规律(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12. (2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可． 10. 已知3sin()283απ-=，则sin cos αα+=______. 【★答案★】23【解析】 【分析】利用倍角公式求出1cos cos 24283παπα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用和差公式展开即可. 【详解】∵3sin()283απ-=∴21cos cos 212sin 428283παπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴221cos sin 223αα+= ∴2cos sin 3αα+=故★答案★为：23. 【点睛】本题主要考查三角函数和差公式与倍角公式的应用，属于基础题.11. 设[]t 表示不超过实数t 的最大整数(如[ 1.3]2-=-，[2.6]2=)，则函数[]()21f x x x =--的零点个数为_______. 【★答案★】2 【解析】 【分析】函数[]()21f x x x =--的零点即方程[]21x x -=的根，由210-≥x 可得0x ≥.分01x ≤<、1x =和1x >讨论，求出方程[]21x x -=的根，即得函数()f x 的零点个数.【详解】函数[]()21f x x x =--的零点即方程[]21x x -=的根，∴函数()f x 的零点个数，即方程[]21x x -=的根的个数.[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥.当01x ≤<时，[]10,210,2x x x =∴-=∴=. 当1x =时，[]1,211,211x x x =∴-=∴-=或211,1x x -=-∴=或0x =（舍）. 当1x >时，[]2121x x x x -=->≥，∴方程[]21x x -=无解. 综上，方程[]21x x -=的根为12，1. 所以方程[]21x x -=有2个根，即函数[]()21f x x x =--有2个零点. 故★答案★为：2.【点睛】本题考查函数与方程，准确分类是关键属于中档题.12. 已知点M 是边长为2的正ABC 内一点，且AM AB AC λμ=+，若13λμ+=，则MB MC ⋅ 的最小值为_______. 【★答案★】13【解析】 【分析】取BC 的中点O ，以点O 为坐标原点，OC 、OA 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点M 的轨迹方程为2311333y x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，可设点23,3M x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，利用平面向量数量积的坐标运算可求得MB MC ⋅的最小值. 【详解】取BC中点O ，以点O 为坐标原点，OC 、OA 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则点()0,3A 、()1,0B -、()1,0C ，设点(),M x y ，(),3AM x y =-，()1,3AB =--，()1,3AC =-，AM AB AC λμ=+且13λμ+=，则()3313x y λμλμλμ⎧=-+⎪⎪-=-+⎨⎪⎪+=⎩，可得123233x y λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由于点M 在正ABC 内，则00λμ>⎧⎨>⎩，可得103λ<<，则11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，231,3MB x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，231,3MC x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2241133MB MC x x ∴⋅=-+=+， 所以，当0x =时，MB MC ⋅取最小值13. 故★答案★为：13. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的求解，求出动点M 的轨迹是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.13. 已知等腰梯形ABCD 中，60A B ∠=∠=，2AB =，若梯形上底CD 上存在点P ，使得2PA PB =，则该梯形周长的最大值为________.【★答案★】3+5 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设出点D 的坐标，用两点间距离公式表示出2PA PB =，计算出参数的取值范围，写出梯形的周长表达式再求最值即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：设AE t =，则01t <<∵四边形ABCD 是等腰梯形，且60DAB ∠= ∴2AD BC t ==，3DE t =，22DC t =- ∴()0,0A ，()2,0B ，(),3D t t ，()2,3C t t - 假设存在点P 在上底CD 上使得2PA PB =∴可设(),3P m t ，其中2t m t ≤≤- ∵2PA PB =∴()()()22223223m t m t +=⨯-+整理得：228830m m t -++= 上底CD 上存在点P 使得2PA PB =，等价于方程228830m m t -++=在2t m t ≤≤-上有解 令()22883f m m m t =-++，[],2m t t ∈-，()0,1t ∈又因为对称轴为42m t =>-∴()()()()222288302282830f t t t t f t t t t ⎧=-++≥⎪⎨-=---++≤⎪⎩ 解得151522t ---+≤≤∴1502t -+<≤又∵梯形ABCD 的周长为2222224C t t t t =+++-=+，在1502t -+<≤单调递增 ∴当152t -+=时，有max 1524352C -+=⨯+=+. 故★答案★为：3+5.【点睛】本题主要考查两点间的距离计算和最值的求法，建立平面直角坐标系和条件间的转化是解题的关键.14. 锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若cos (1cos )a B b A =+，则22a bb c+的取值范围为_______. 【★答案★】732⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】 【分析】用正弦定理对等式cos (1cos )a B b A =+进行边角转化，然后逆用两角差的正弦公式、正弦函数的性质得到,A B 之间的关系，再根据锐角三角形的性质，结合三角形内角和定理求出B 的取值范围，最后利用正弦定理对22a bb c+进行边角转化，根据二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式，结合换元法、构造对钩函数，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】由正弦定理可知；sin sin a bA B=，所以由 cos (1cos )sin cos sin (1cos )sin cos sin cos sin ,a B b A A B B A A B B A B =+⇒=+⇒-=即sin()sin A B B -=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以,(0,),()(,)222A B A B πππ∈∴-∈-，因此有2A B B A B -=⇒=， 而ABC ∆是锐角三角形，所以,,(0,)2A B C π∈，而3C A B B ππ=--=-,所以020*******B B B B ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩.由正弦定理可知：sin sin sin a b cA B C==， 所以2222222sin sin 4sin cos sin sin sin sin sin3a b A B B B Bb c B C B B+=+=+，22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin B B B B B B B B B B B =+=+=+-，而221sin =cos B B -，所以 3sin 33sin 4sin B B B =-，设222214cos 34sin a b y B b c B=+=+-，令21234sin ,(,)sin (,),(1,2)6422B x B B x ππ-=∈∴∈∴∈，因此有2211,(1,2)a b y x x b c x=+=++∈，因为函数1()1,y f x x x==++在 (1,2)x ∈时是单调递增函数，所以7(1)()(2),3()2f f x f f x <<∴<<， 因此22a b b c+的取值范围为732⎛⎫⎪⎝⎭，.故★答案★为；732⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了利用对钩函数的单调性求代数式的取值范围问题，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式的应用，考查了锐角三角形的性质，考查了数学运算能力. 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设函数23()cos sin()3cos 34f x x x x π=⋅+-+，R x ∈.（1）求()f x 的最小正周期和对称中心；（2）若函数()()4g x f x π=+，求函数()g x 在区间[,]66ππ-上的最值． 【★答案★】（1）T π=，对称中心为,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈.（2）max 1()2g x =，min 1()4g x =-【解析】 【分析】（1）把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由23x k ππ-=求得x 值，可得函数的对称中心；（2）求出()g x 的解析式，得到函数在区间[,]66ππ-上的单调性，则最值可求．【详解】（1）由已知，2133()cos sin cos 3cos 224f x x x x x ⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎪⎝⎭22133sin cos cos 3cos 224x x x x =+-+2133sin cos cos 224x x x =-+133sin 21cos2444x x13sin 2cos 244x x =- 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴最小正周期为2T 2ππ==， 令23x k ππ-=，解得26k x ππ=+，Z k ∈ ∴对称中心为,026k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈ （2）()()4g x f x π=+1sin(2)26x π=+ 当[,]66x ππ∈-时，2[66x ππ+∈-，]2π，可得()g x 在区间[,]66ππ-上单调递增，∴max 1()()62g x g π==，min 1()()64g x g π=-=-【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题．16. 如图，四面体ABCD 被一平面所截，平面与四条棱,,,AB AC CD BD 分别相交于,,,E F G H 四点，且截面EFGH 是一个平行四边形，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥. 求证：（1）//EF BC ； （2）EF ⊥平面ACD .【★答案★】（1）见详解；（2）见详解. 【解析】 【分析】（1）由题意//EF HG ，根据线面平行的判定定理可得//EF 平面BCD ，再根据线面平行的性质定理可得//EF BC ；（2）由AD ⊥平面BCD ，可得AD BC ⊥.由(1)知//EF BC ，可得EF AD ⊥，又BC CD ⊥，故EF CD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得EF ⊥平面ACD .【详解】（1）因为四边形EFGH 为平行四边形，//EF HG ∴，又EF ⊄平面BCD ，HG ⊂平面BCD ，//EF ∴平面BCD ，又EF ⊂平面ABC ，平面ABC 平面BCD BC =，//EF BC ∴.（2）AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，AD BC ∴⊥，由(1)知//EF BC ，EF AD ∴⊥.BC CD ⊥，EF CD ∴⊥.又AD CD D ，AD 、CD ⊂平面ACD ，EF ∴⊥平面ACD .【点睛】本题考查线面平行的判定定理、性质定理和线面垂直的判定定理，属于基础题. 17. 如图，边长为1的正方形区域OABC 内有以OA 为半径的圆弧AEC .现决定从AB 边上一点D 引一条线段DE 与圆弧AEC 相切于点E ，从而将正方形区域OABC 分成三块：扇形COE 为区域I ，四边形OADE 为区域II ，剩下的CBDE 为区域III.区域I 内栽树，区域II 内种花，区域III 内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为5a 、4a 、a ，总造价是W ，设2AOE θ∠=（1）分别用θ表示区域I 、II 、III 的面积； （2）将总造价W 表示为θ的函数，并写出定义域； （3）求θ为何值时，总造价W 取最小值？ 【★答案★】（1）14S πθ=-，2tan S θ=，31tan 4S πθθ=--+（2）(3tan 41)W a θθπ=-++，定义域为(0,)4π（3）=6πθ【解析】 【分析】（1）首先用扇形面积公式求出区域I ，区域II 为两个全等的三角形，所以只需用θ表示出DA ，即可求出三角形面积，进而求出区域II 的面积，区域III 用大正方形面积做差即可.（2）将单位面积造价分别乘以面积数再求和，即可求出总造价，定义域保证每个角度大于零即可.（3）对总造价求导，结合定义域，求出总造价的单调性，则可求出总造价最小时的θ值. 【详解】解：(1)如图，2111(2)12224S r ππαθθ==⨯-⨯=-；连接OD ，则ODE ∆≌ODA ∆，tan DA θ=，2121tan tan 2S θθ=⨯⨯⨯=；31tan 4S πθθ=--+.（2）12355454tan tan (3tan 41)44a a W aS aS aS a a a a a a ππθθθθθθπ=++=-++--+=-++， 由20,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，知(0,)4πθ∈，所以函数的定义域为(0,)4π(3) 23(4)cos W a θ'=-， 由0W '=，得3cos 2θ=或3cos 2θ=-（舍去） 又(0,)4πθ∈，所以6πθ=当06πθ<<时， '0W <，函数在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当64ππθ<<时，'0W >，函数在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以当6πθ=时，W 取最小值.答：=6πθ时，总造价W 取最小值．【点睛】本题考查实际问题的优化问题，涉及函数的实际应用，同时考查了函数导数的应用，考查了学生的转化能力以及计算能力，属于难题.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右准线为直线4x =，左顶点为A ，右焦点为F . 已知斜率为2的直线l 经过点F ，与椭圆E 相交于,B C 两点，且O 到直线l 的距离为255（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若过O 的直线:m y kx =与直线,AB AC 分别相交于,M N 两点，且=OM ON ，求k 的值.【★答案★】（1）22143x y +=（2）1【解析】 【分析】（1）根据准线方程和原点到直线的距离可求出,,a b c ，从而可得椭圆的标准方程.（2）设11(,)B x y ，22(,)C x y ，联立直线m 和直线AB 的方程可得M 的坐标，同理可得N 的坐标，根据=OM ON 可得,B C 的坐标关系，联立直线BC 和椭圆的方程，利用韦达定理化简前述关系可求斜率k 的值.【详解】解：（1）设椭圆E 的焦距为2c ， 则直线l 的方程为2()y x c =-，即220x y c --=.因为O 到直线l 的距离为255，故2220022521c cd ⨯--==+， 所以22555c =，则1c =. 因为椭圆E 的右准线的为直线4x =，则24a c =，所以24a =，2223b a c =-=，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）由(1)知l ：2(1)y x =-，设11(,)B x y ，22(,)C x y .由222(1)3412y x x y =-⎧⎨+=⎩得2193240x x -+=，则2121232419403219419x x x x ⎧⎪∆=-⨯⨯>⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩. 由(2,0)A -，11(,)B x y 可知11:(2)2y AB y x x =++， 由11,(2)2y kx y y x x =⎧⎪⎨=+⎪+⎩得1112(2)M y x k x y =+-，同理2222(2)N y x k x y =+-.因=OM ON ，所以2211M N k x k x +=+，由图可知0M N x x +=，所以1222112[(2)]2[(2)]0y k x y y k x y +-++-=，即122211(1)[(2)2(1)](1)[(2)2(1)]0x k x x x k x x -+--+-+--=， 所以121212122112124(1)(1)4[()1](1)(2)(1)(2)2()4x x x x x x k x x x x x x x x ---++==-++-+++-4324[1]4(43219)19191432832419241919-+-+===+-⨯⨯+-.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式和方程 等，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题. 19. 已知函数2()(R)x f x e ax a =-∈.（1）若曲线()f x 与直线:(2)(R)l y e x b b =-+∈在1x =处相切. ①求a b +的值；②求证：当0x ≥时，()(2)f x e x b ≥-+；（2）当0a =且(0,)x ∈+∞时，关于的x 不等式2()2ln 1x f x mx x ≤++有解，求实数m 的取值范围. 【★答案★】（1）①2a b +=②见解析（2）m 1≥【解析】 【分析】（1）①求出导函数()'f x ，由(1)2f e '=-可求得a ，再由(1)2f e b =-+可求得b ，从而得+a b ；②引入函数()()()2210xh x e x e x x =----≥，利用导数求函数()h x 的最小值（需二次求导确定），确定最小值是(1)0h =，从而证得不等式成立；（2）不等式分离参数得22ln 1x x e x m x --≥，原题等价于(0,)x ∈+∞时，22ln 1x x e x m x--≥有解.求出22ln 1x x e x x--的最小值即可得，为此先证明不等式1x e x ≥+，仍然构造新函数，利用导数研究新函数的单调性与最值得出结论．22ln x x xx e e +=应用刚证的不等式可得结论．【详解】解：（1）①因为()2xe xf x a =-，所以()2x f x e ax '=-.因为曲线()f x 与直线:l (2)y e x b =-+在1x =处相切， 所以()122f e a e '=-=-，所以1a =.所以()2x f x e x =-，所以()11f e =-.又切点(1,1)e -在直线l 上，所以12e e b -=-+， 所以1b =，所以2a b +=② 由①知1,1a b ==，可设()()()2210xh x e x e x x =----≥，则()()()()22,2x xg x h x e x e g x e ''==---=-，当ln 2x <时，()0g x '<，当ln 2x >时，()0g x '>， 所以()h x '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 由()()030,10,0ln 21h e h ''=->=<<，所以()ln 20h '<， 所以存在()00,ln 2x ∈，使得()00h x '=， 所以当()()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010h h ==，所以()0h x ≥，即()()21f x e x ≥-+，当且仅当1x =时取等号， 所以当0x ≥时，()221xe x e x -≥-+，故当0x ≥时，()()2f x e x b ≥-+(3）先证1x e x ≥+. 构造函数()1xp x e x =--，则()1xp x e '=-.故当(0,)x ∈+∞时，()0p x '>，()p x 在(0,)+∞上递增，当(,0)x ∈-∞时，()0p x '<，()p x 在(,0)-∞上递减，所以()(0)0p x p ≥=，即1x e x ≥+又当0a =，且(0,)x ∈+∞时，2()2ln 1x f x mx x ≤++等价于22ln 1x x e x m x--≥故原题等价于(0,)x ∈+∞时，22ln 1x x e x m x--≥有解.因为22lnx 22ln 12ln 1ln 12ln 11x x x e x e x x x x x x x+----++--=≥=（当2ln 0x x +=时取等号）， 所以m 1≥.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式，研究不等式有解问题．利用导数解决不等式的恒成立问题的策略：1．首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.2．也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即()()f x g a ≥对于x D ∈恒成立，应求()f x 的最小值；若存在x D ∈，使得()()f x g a ≥成立，应求()f x 的最大值.应特别关注等号是否成立问题．20. 已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为n S ，且+12=n n n n S aS a +. （1）若3=3S ，求3a 的值；（2）若20211=2021a a ，求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若1=1a ，2=2a ，是否存在实数λ，使得2222n m a m a n a a λ≤--对任意正整数m n ，恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，说明理由.【★答案★】（1）33=2a （2）见解析（3）不存在满足条件的实数λ，见解析【解析】 【分析】（1）由题得1123=S a S a ，所以23=S a ，得33=23S a =，即得3a 的值；（2）利用累乘法得到112=n n a a a +--，所以数列{}21n a -是等差数列，首项为1a ，公差为2a ，求出()21121n a n a -=-，212n a na =，所以1=n a na ，再证明数列{}n a 是等差数列；（3）原题等价于2222n m n m λ≤--，不妨设m n >，即2222m n m n λλ≤--对任意正整数m n，（m n >）恒成立，即220n n λλ--≤对任意正整数n 恒成立，再证明当5n ≥且2+n λλλ≥+时，220n n λλ-->，即得解.【详解】（1）解：由+12=n n n n S a S a +，令1n =，得1123=S a S a ， 因为数列{}n a 的各项均为非零实数，所以2123=+=S a a a ， 所以31233=23S a a a a ++==， 所以33=2a .（2）证明：由+12=n nn n S a S a +得： 1123=S a S a ，2234=S a S a ，3345=S a S a ，……，111=n n n n S a S a --+，相乘得：1121=n n n S a a S a a +，因为数列{}n a 的各项均为非零实数，所以21=n n n a S a a +， 当2n ≥时：211=n n n a S a a --，所以22111=n n n n n n a S a S a a a a -+---， 即()()2111=n n n n n a S S a a a -+---， 即()211=n n n n a a a a a +--，因为0n a ≠，所以112=n n a a a +--，所以数列{}21n a -是等差数列，首项为1a ，公差为2a ， 所以2021121=+1010=2021a a a a ，所以21=2a a ，所以()()21121=+121n a a n a n a --=-，()2221=+12n a a n a na -=，所以1=n a na ， 所以11=n n a a a +-，所以数列{}n a 是等差数列.(3) 解：当1=1a ，2=2a 时，由(2)知=n a n ，所以2222n m a m a n a a λ≤--，即2222n m n m λ≤--，不妨设m n >，则22m n >，22m n >，所以2222m n m n λλ≤--， 即2222m n m n λλ≤--对任意正整数m n ，（m n >）恒成立，则()2+122+12n n n n λλ-≤-，即220n n λλ--≤对任意正整数n 恒成立， 设22n n C n =-，1n =时，1210C =->；2n =时，2440C =-=；3n =时，38910C =-=-<；4n =时，216160C =-=；5n =时，532250C =->；当5n ≥时，012212(1)22(1)202nn n n n n n n n n n n C C C C C C n n n ---=++++++=++=++>， 所以5n ≥时，20,2n n C n >∴>.所以5n ≥时，2222n n n n λλλλ-->--，令2220,n n n λλλλλ-->∴>++或2n λλλ<-+（舍去）. 所以当5n ≥且2+n λλλ>+时，220n n λλ-->， 所以不存在满足条件的实数λ.【点睛】本题主要考查数列性质的证明，考查数列的和与通项关系的应用，考查数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.扬州市2020届高三考前调研测试数学Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21. 已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1A -的特征值． 【★答案★】11λ=-，212λ=． 【解析】 【分析】求出矩阵A 的逆矩阵1A -，列出矩阵1A -的特征多项式()f λ，然后解方程()0f λ=，即可得出矩阵1A -的特征值.【详解】设矩阵A 的逆矩阵为1a b Ac d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故1a =-，0b =，0c ，12d =，所以矩阵A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.矩阵1A -的特征多项式为()()1111202f λλλλλ+⎛⎫==+- ⎪-⎝⎭.令()0f λ=，解得1A -的特征值为11λ=-，212λ=． 【点睛】本题考查矩阵的逆矩阵的求解，同时也考查了矩阵的特征值的计算，考查计算能力，属于基础题.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是：2cos ,2sin x y m αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．若直线l 与曲线C 相交于P Q 、两点，且23PQ =，求实数m 的值.【★答案★】0m =或433m =-． 【解析】 【分析】分别求出曲线C 和直线l 的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理求出PQ ，解方程即可.【详解】曲线C 的直角坐标方程为()224x y m +-=，表示圆心为()0,m ，半径为2的圆由cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得13cos sin 122ρθρθ-=， 所以直线l 的直角坐标方程为320x y --=． 设圆心到直线l 的距离为d ，则2|032||32|213m m d --+==+， 所以()232244m PQ +=-，因为23PQ =所以()23224234m +-=，解得0m =或433m =-． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，将极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程再求解是常规方法.23. 如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD 都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=.（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值； （2）当CF 与平面ACD 所成角的正弦值为1510时，求λ的值. 【★答案★】（1）52856；（2）12λ=.【解析】 【分析】连接CE ，以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，写出点的坐标; (1)当13λ=时，确定点F 的坐标,代入向量的夹角公式中计算得出★答案★; (2) 求出平面ACD 的一个法向量,代入线面角公式中计算可得★答案★. 【详解】连接CE ，以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴， 建立如图空间直角坐标系，则(0,0,3),(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0)A B C D -， 因为F 为线段AB 上一动点，且BFBAλ=， 则(1,0,3)(,0,3)BF BA λλλλ==-=-， 所以(1,0,3)F λλ-．（1）当13λ=时，23,0,33F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，53,0,,(1,3,0)33DF CB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()222255283cos(,56531333DF CB ==⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()1,3,3CF λλ=--， 设平面ACD 的一个法向量为n =(),,x y z由n DA ⊥,n DC ⊥得(,,)(1,0,3)0(,,)(1,3,0)0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，化简得3030x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取n (3,1,1)=--设CF 与平面ACD 所成角为θ，则()()()2223115sin cos ,101335CF n λθλλ-===-++⨯. 解得12λ=或2λ=（舍去），所以12λ=． 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.24. 一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，以X 表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则3X =． （1）求三只黑猫挨在一起出笼的概率； （2）求X 的分布列和数学期望. 【★答案★】（1）115；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法计算三只黑猫挨在一起出笼的情况种数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有1、2、3、4，利用排列组合思想求出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，利用数学期望公式可求得随机变量X 的数学期望.【详解】（1）设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A ，将三只黑猫捆绑在一起，与其它7只白猫形成8个元素，所以，()38381010115A A P A A ==， 因此，三只黑猫挨在一起出笼的概率为115； （2）由题意可知，随机变量X 的取值为1、2、3、4，其中1X =时，7只白猫相邻，则()747410101130A A P X A ===， ()()2111321732263367101063210A C C CA A C A P X A ++===， ()()1122273263671010132A C A A A A P X A +===； ()37671010146A A P X A ===，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X 1 2 3 4P 1303101216因此，()131114 12343010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的计算，涉及捆绑法与插空法的应用，考查计算能力，属于中等题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020年江苏省高考数学最后一卷（含答案解析）
2020年江苏省高考学最后一卷一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={0』，2},B=[x\-l<x<1).C\B=2.若复数z=i(2—z),贝ljz=.3.读如下两个伪代码，完成下列题目.:L1:Readj廿・2不::f+6；北・3上:VPrint j（1）<11）(1) 1输出的结果为・(2) 若I、II输出的结果相同，则伪代码U输入x的值为.4.己知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有个.5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A.B两点涂色,每个点只涂一种颜色，则点A,点3颜色不同的概率为____________.6.函=Asin(a)x+<p)(A>0,co>0)在R上的部分图象如图所示，则s的值为.7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线二一y2=i的离心率为2.则实数，“的值是_________8.己知等差数列伊异的前〃项和为S”，若a1+。
2。
=1・则52。
=9.若一个圆锥的母线与底面所成的角为:,体积为1257T.则此圆锥的高为10.如图，在圆C中，CM心，AC为圆的半径，A8是弦，若|而1=6,则衣•AB=・11.若s ina=则s in(a—：) +-^-cosa=12.在平面直角坐标系.9)，中.己知圆Af：x2+y2-4x-8y+12=0,圆N与圆M外切于点(0,m),且过点(0,—2),则圆N的标准方程为.13.巳知函数/(幻=仁若函数y=/(/(r))-1有3个零点，则实数A的取值范围为.14.己知△砧C中，4,匕8.“所对的边分别为"，b.c,且满足2/+况=6.贝IJA4BC而积的最大值为______.二、解答题(本大题共11小题，共142.0分)15.如图，在三棱锚％BC-Ai^iCi中，AB=AC.zliClBCi,.。
，E分别是AB】，BC的中点.求证:(1)DE〃平面ACC^i；(2)AE1平面B C(\B l16.如图，在△ABC中，ZB=30°.AC=2>[S^。
解析2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学
机密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．柱体的体积V Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A∩B=.【命题意图】本题考查集合中的简单的交集计算.【解析】由集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},所以A∩B={0,2}.答案:{0,2}2.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2−i)的实部是.【命题意图】本题主要考查复数的四则运算.【解析】z=(1+i)(2−i)=3+i,则实部为3.答案:33.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.【命题意图】本题主要考查数据特征中的平均数的计算.=4可知a=2.【解析】由4+2a+(3-a)+5+65答案:24.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.【命题意图】本题主要考查古典概型.【解析】总事件数为6×6=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为436=19.答案:195.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为-2,则输入x 的值为 .【命题意图】本题主要考查流程图选择问题,注意选择条件. 【解析】由题可知y ={2x ,x>1,x+1,x≤1,当y =-2时,得x +1=-2,则x =-3. 答案:-36.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2 -y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,则该双曲线的离心率是 .【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,渐近线问题. 【解析】由x 2a2−y 25=0得渐近线方程为y =±√5ax , 又a >0,则a =2,由c 2=a 2+5=9,c =3,得离心率e =c a =32. 答案:32【光速解题】e =√1+(√52)2=32.答案:327.已知y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23,则f (-8)的值是 . 【命题意图】本题主要考查函数性质,利用奇偶性求函数值. 【解析】y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23, 则f (-8)=-f (8)=-823=-4.答案:-48.已知sin 2(π4+α)=23,则sin 2α的值是 .【命题意图】本题主要考查三角函数恒等变换,利用整体思想求值. 【解析】方法一:因为sin 2(π4+α)=23, 由sin 2(π4+α)=12[1−cos (π2+2α)] =12(1+sin 2α)=23,解得sin 2α=13. 方法二:sin 2α=-cos (π2+2α) =2sin 2(π4+α)-1=13.答案:139.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm 3.【命题意图】本题主要考查正棱柱、圆柱的体积计算,要求学生要熟记公式.【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V ,正六棱柱的体积为V 1,圆柱的体积为V 2,则V 1=6×12×2×2×sin 60°×2=12√3(cm 3),V 2=π×(0.5)2×2=π2(cm 3), 所以V =V 1-V 2=12√3-π2(cm 3).答案:12√3-π210.将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象与y 轴最近的对称轴方程是 .【命题意图】本题主要考查三角函数的图象的平移变换和性质.重点考查直观想象的数学核心素养. 【解析】设f (x )=y =3sin (2x +π4),将函数f (x )=3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度得g (x )=f (x -π6)= 3sin (2x -π3+π4)=3sin (2x -π12),则y =g (x )的图象的对称轴为2x - π12=π2+k π,k ∈Z,即x =7π24+kπ2,k ∈Z,k =0时,x =7π24,k =-1时,x =-5π24,所以平移后的图象与y 轴最近的对称轴的方程是x =-5π24. 答案:x =-5π24【误区警示】解决本题时一定要看清要求的对称轴方程是平移后的图象与y 轴最近的对称轴方程.求出平移后的图象的对称轴方程为x =7π24+kπ2(k ∈Z),不要误认为k =0时,x =7π24就是本题的答案,还应验证k =-1时,x =-5π24,两者进行比较,才能得出答案.11.设{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列,已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n +2n -1(n ∈N *),则d +q 的值是 .【命题意图】本题主要考查根据前n 项和求数列的通项公式,多写一项,进行作差运算,根据结构得到数列通项.重点考查学生数学运算的核心素养.【解析】设数列{a n },{b n }的首项分别为a 1,b 1,前n 项和分别为A n ,B n ,则A n =d2n 2+(a 1-d2)n ,B n =b1q -1q n +b11−q ,结合S n =n 2-n +2n -1,得{d2=1,q =2,解得{d =2,q =2,所以d +q =4.答案:412.已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),则x 2+y 2的最小值是 .【命题意图】本题主要考查不等式,利用消元法结合基本不等式求最值. 【解析】因为5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),所以y ≠0, 所以x 2=1−y 45y 2,则x 2+y 2=15y 2+45y 2≥2√425=45, 当且仅当15y 2=45y 2时,即y 2=12, x 2=310时,x 2+y 2的最小值是45.答案:45【光速解题】4=(5x 2+y 2)·4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2,故x 2+y 2≥45,当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2,即x 2=310,y 2=12时,取等号.所以(x 2+y 2)min =45. 答案:4513.在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+(32-m)(m 为常数),则CD的长度是.【命题意图】本题主要考查平面向量共线的应用.重点考查直观想象及数学运算的核心素养.【解析】作AE⊥BC,交BC于点E.设=λ=λm+λ(32-m),因为C,D,B三点共线,所以λm+λ(32-m)=1,解得λ=23,所以AD=3=AC,所以CD=2·AC·cos C=185.答案:18514.在平面直角坐标系xOy中,已知P(√32,0),A,B是圆C:x2+(y-12)2=36上的两个动点,满足P A=PB,则△P AB面积的最大值是.【命题意图】本题主要考查直线与圆相交问题,通过设圆心角表示面积,利用导数求最值.突出考查数学运算的核心素养.【解析】方法一:如图,作PC所在直径EF,交AB于点D,因为P A=PB,CA=CB=R=6,所以PC⊥AB.要使面积S△P AB最大,则P,D位于C的两侧,并设CD=x,计算可知PC=1,故PD=1+x,AB=2BD=2√36−x2,故S△P AB=12AB·PD=(1+x)√36−x2,设∠BCD=θ,则x=6cos θ,S△P AB=(1+x)√36−x2=(1+6cos θ)·6sin θ=6sin θ+18sin 2θ,0<θ<π2, 记函数f (θ)=6sin θ+18sin 2θ,则f'(θ)=6cos θ+36cos 2θ=6(12cos 2θ+cos θ-6), 令f'(θ)=6(12cos 2θ+cos θ-6)=0, 解得cos θ=23(cos θ=-34<0舍去),显然,当0<cos θ<23时,f'(θ)<0,f (θ)单调递减;当23<cos θ<1时,f'(θ)>0,f (θ)单调递增; 结合cos θ在(0,π2)上单调递减,故cos θ=23时,f (θ)最大,此时sin θ=√1−cos 2θ=√53, 故f (θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5,即△P AB 面积的最大值是10√5.方法二:由已知PC =1,设12∠ACB =α(α∈(0,π2)),则△P AB 的面积S =12·(6cosα+1)·12sin α=6sin α(6cos α+1), 令S'=6(12cos 2α+cos α-6) =6(4cos α+3)(3cos α-2)=0,解得cos α0=23(负值舍去),所以S 在(0,α0)上单调递增,在(α0,π2)上单调递减,所以S max =6×√53×5=10√5. 答案:10√5二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,B 1C ⊥平面ABC ,E ,F 分别是AC ,B 1C 的中点. (1)求证:EF ∥平面AB 1C 1; (2)求证:平面AB 1C ⊥平面ABB 1.【命题意图】本题主要考查立体几何线面平行、面面垂直的证明,考查学生空间想象能力和推理能力.【证明】(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1,因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB,又因为AB⊥AC,AC∩B1C=C,AC⊂平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,所以AB⊥平面AB1C,因为AB⊂平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.16.（本小题满分14分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=√2,B=45°.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值.【命题意图】本题主要考查正余弦定理及两角和差公式的应用,考查学生解题的严谨性.【解析】(1)由余弦定理,得cos B=cos 45°=a 2+c2-b22ac=26√2=√22,因此b2=5,即b=√5,由正弦定理csinC =bsinB,得√2sinC=√5√22,因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=-45,所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35,因为∠ADC∈(π2,π),所以C∈(0,π2),所以cos C=√1−sin2C=2√55,所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525,因为∠DAC ∈(0,π2),所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525, 故tan ∠DAC =sin∠DACcos∠DAC =211. 17.（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上,桥AB 与MN 平行,OO'为铅垂线(O'在AB 上),经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO'的距离a (米)之间满足关系式h 1=140a 2;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO'的距离b (米)之间满足关系式h 2=-1800b 3+6b.已知点B 到OO'的距离为40米.(1)求桥AB 的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD 和EF .且CE 为80米,其中C ,E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元),桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0),问O'E 为多少米时,桥墩CD 与EF 的总造价最低？【命题意图】本题主要考查实际生活问题中的模型建立及导数的实际应用.重点考查数学建模的核心素养. 【解析】(1)过A ,B 分别作MN 的垂线,垂足为A',B', 则AA'=BB'=-1800×403+6×40=160(米).令140a 2=160,得a =80,所以AO'=80,AB =AO'+BO'=80+40=120(米). (2)设O'E =x ,则CO'=80-x ,由{0<x <400<80−x <80,得0<x <40.设总造价为y ,则y =3k2[160−140(80-x )2]+k [160−(-1800x 3+6x)] =k800(x 3-30x 2+160×800), y'=k800(3x 2-60x )=3k800x (x -20),因为k >0,所以令y'=0,得x =0或x =20, 所以当0<x <20时,y'<0,y 单调递减;当20<x <40时,y'>0,y 单调递增.所以,当x =20时,y 取最小值,即当O'E 为20米时,造价最低. 18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中,若椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆E 上且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B. (1)求△AF 1F 2的周长;(2)在x 轴上任取一点P ,直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ,求·的最小值;(3)设点M 在椭圆E 上,记△OAB 与△MAB 的面积分别是S 1,S 2,若S 2=3S 1,求M 的坐标.【命题意图】本题考查了(1)利用椭圆的定义求焦点三角形的周长;(2)求平面向量数量积最值问题;(3)面积比值转化为高之比,从而转化为平行线间的距离求出直线方程.考查数学运算、直观想象的核心素养. 【解析】(1)△AF 1F 2的周长=2a +2c =6.(2)由椭圆方程得A (1,32),设点P (t ,0),则直线AP 方程为y =321−t (x -t ),令x =a 2c =4得y Q =6−32t 1−t =12−3t 2(1−t ), 即Q (4,12−3t 2−2t),=(t -4,12−3t 2t -2),·=t 2-4t =(t -2)2-4≥-4, 即·的最小值为-4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1,M 到直线AB 的距离为d 2, 若S 2=3S 1,则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1×3,即d 2=3d 1, 由题意可得直线AB 的方程为y =34(x +1), 即3x -4y +3=0,所以d 1=35,d 2=95.由题意得,M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点, 设平行于AB 的直线l 为3x -4y +m =0,与直线AB 的距离为95, 所以√9+16=95,即m =-6或12.当m =-6时,直线l 为3x -4y -6=0, 即y =34(x -2),联立{y =34(x -2)x 24+y 23=1,可得(x -2)(7x +2)=0,即{x M =2y M =0,或{x M =−27y M =−127, 所以M (2,0)或(-27,-127).当m =12时,直线l 为3x -4y +12=0, 即y =34(x +4),联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0,Δ<0,所以无解.综上所述,M 点坐标为(2,0)或(-27,-127).19.（本小题满分16分）已知关于x 的函数y =f (x ),y =g (x )与h (x )=kx +b (k ,b ∈R)在区间D 上恒有f (x )≥h (x )≥g (x ). (1)若f (x )=x 2+2x ,g (x )=-x 2+2x ,D =(-∞,+∞).求h (x )的表达式; (2)若f (x )=x 2-x +1,g (x )=k ln x ,h (x )=kx -k ,D =(0,+∞).求k 的取值范围;(3)若f (x )=x 4-2x 2,g (x )=4x 2-8,h (x )=4(t 3-t )x -3t 4+2t 2(0<|t |≤√2),D =[m ,n ]⊆[-√2,√2],求证:n -m ≤√7.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.【解析】(1)由f (x )=g (x )得x =0.又f'(x )=2x +2,g'(x )=-2x +2,所以f'(0)=g'(0)=2,所以,函数h (x )的图象为过原点,斜率为2的直线,所以h (x )=2x.经检验:h (x )=2x 符合题意. (2)h (x )-g (x )=k (x -1-ln x ), 设φ(x )=x -1-ln x ,则φ'(x )=1-1x =x -1x , φ(x )≥φ(1)=0,所以当h (x )-g (x )≥0时,k ≥0.设m (x )=f (x )-h (x )=x 2-x +1-(kx -k )=x 2-(k +1)x +(1+k )≥0, 当x =k+12≤0时,m (x )在(0,+∞)上递增,所以m(x)>m(0)=1+k≥0,所以k=-1.>0时,Δ≤0,当x=k+12即(k+1)2-4(k+1)≤0,(k+1)(k-3)≤0,-1≤k≤3.综上,k∈[0,3].(3)①当1≤t≤√2时,≤0.(*)由g(x)≤h(x),得4x2-8≤4(t3-t)x-3t4+2t2,整理得x2-(t3-t)x+3t4-2t2-84令Δ=(t3-t)2-(3t4-2t2-8),则Δ=t6-5t4+3t2+8.记φ(t)=t6-5t4+3t2+8(1≤t≤√2),则φ'(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)<0恒成立,所以φ(t)在[1,√2]上是减函数,则φ(√2)≤φ(t)≤φ(1),即2≤φ(t)≤7所以不等式(*)有解,设解集为{x|x1≤x≤x2},因此n-m≤x2-x1=√Δ≤√7.②当0<t<1时,f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.设v(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1,v'(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1),.令v'(t)=0,得t=√33)时,v'(t)<0,v(t)是减函数;当t∈(0,√33,1)时,v'(t)>0,v(t)是增函数;当t∈(√33v(0)=-1,v(1)=0,则当0<t<1时,v(t)<0,(或证:v(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)<0)则f(-1)-h(-1)<0,因此-1∉(m,n).因为[m,n]⊆[-√2,√2],所以n-m≤√2+1<√7.③当-√2≤t <0时,因为f (x ),g (x )均为偶函数, 因此n -m ≤√7也成立. 综上所述,n -m ≤√7. 20.（本小题满分16分）已知数列{a n }(n ∈N *)的首项a 1=1,前n 项和为S n ,设λ与k 是常数,若对一切正整数n ,均有S n+11k-S n 1k=λa n+11k成立,则称此为“λ-k ”数列.(1)若等差数列{a n }是“λ-1”数列,求λ的值;(2)若数列{a n }是“√33-2”数列,且a n >0,求数列{a n }的通项公式;(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列,且a n ≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.【命题意图】本题以数列为载体,综合考查等差数列的基本性质,及解决数列综合问题的能力,综合考查代数推理、转化化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力. 【解析】(1)k =1时,a n +1=S n +1-S n =λa n +1,所以λ=1. (2)√S n+1-√S n =√33√a n+1,a n +1=S n +1-S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n ), 因此√S n+1+√S n =√3√a n+1.√S n+1=23√3a n+1,S n +1=43a n +1=43(S n +1-S n ). 从而S n +1=4S n .又S 1=a 1=1,所以S n =4n -1,a n =S n -S n -1=3·4n -2,n ≥2. 综上,a n ={1,n =13·4n -2,n ≥2.(3)设各项非负的数列{a n }(n ∈N *)为“λ-3”数列, 则S n+113-S n 13=λa n+113,即√S n+13-√S n 3=λ√S n+1-S n 3.因为a n ≥0,且a 1=1,所以S n +1≥S n >0, 则√S n+1S n3-1=λ√S n+1S n-13.令√S n+1S n3=c n ,则c n -1=λ√c n 3-13(c n ≥1),即(c n -1)3=λ3(c n 3-1)(c n ≥1).(*)①若λ≤0或λ=1,则(*)只有一解为c n =1,即符合条件的数列{a n }只有一个.(此数列为1,0,0,0,…) ②若λ>1,则(*)化为(c n -1)(c n2+λ3+2λ3-1c n +1)=0,因为c n ≥1,所以c n 2+λ3+2λ3-1c n +1>0,则(*)只有一解为c n =1,即符合条件的数列{a n }只有一个.(此数列为1,0,0,0,…)③若0<λ<1,则c n 2+λ3+2λ3-1c n +1=0的两根分别在(0,1)与(1,+∞)内,则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t ). 所以S n +1=S n 或S n +1=t 3S n .由于数列{S n }从任何一项求其后一项均有两种不同结果, 所以这样的数列{S n }有无数多个,则对应的{a n }有无数多个.综上所述,能存在三个各项非负的数列{a n }为“λ-3”数列,λ的取值范围是0<λ<1. 21．【选做题】A .平面上点A (2,-1)在矩阵M =[a 1-1b]对应的变换作用下得到点B (3,-4). (1)求实数a ,b 的值; (2)求矩阵M 的逆矩阵M -1.【命题意图】本题主要考查矩阵的基本运算及对应变换. 【解析】(1)[a1-1b ][2-1]=[2a -1-2-b] =[3-4], 所以{2a -1=3,-2-b =−4.解得{a =2,b =2.(2)由(1)知M =[21-12]. |M |=2·2+1·1=5,所以M -1=[25-151525].B.在极坐标系中,已知点A (ρ1,π3)在直线l :ρcos θ=2上,点B (ρ2,π6)在圆C :ρ=4sin θ上(其中ρ≥0,0≤θ<2π). (1)求ρ1,ρ2的值;(2)求直线l 与圆C 的公共点的极坐标.【命题意图】本题主要考查极坐标公式及极坐标的意义、极坐标的求法.【解析】(1)ρ1=2cosπ3=4,ρ2=4sin π6=2.(2)联立得4sin θcos θ=2得sin 2θ=1, 因为ρ≥0,0≤θ<2π, 所以θ=π4,ρ=2√2,所以公共点的极坐标为(2√2,π4). C.设x ∈R,解不等式2|x +1|+|x |<4.【命题意图】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法. 【解析】当x >0时,2x +2+x <4,解得0<x <23;当-1≤x ≤0时,2x +2-x <4,解得-1≤x ≤0;当x <-1时,-2x -2-x <4,解得-2<x <-1. 综上,解集为(-2,23).22.在三棱锥A -BCD 中,已知CB =CD =√5,BD =2,O 为BD 的中点,AO ⊥平面BCD ,AO =2,E 为AC 的中点. (1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值;(2)若点F 在BC 上,满足BF =14BC ,设二面角F -DE -C 的大小为θ,求sin θ的值.【命题意图】本题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角及二面角.重点考查如何建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,再利用公式求角.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,2),B (1,0,0),C (0,2,0),D (-1,0,0),E (0,1,1).(1)=(1,0,−2),=(1,1,1),则cos<,>==√1515.故直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515. (2)由已知得F (34,12,0),=(74,12,0),=(1,1,1),设平面DEF 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{x 1+y 1+z 1=0,74x 1+12y 1=0, 令x 1=2,得{y 1=−7,z 1=5,所以n 1=(2,-7,5).设平面DEC 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2), 又=(1,2,0),则{x 2+y 2+z 2=0,x 2+2y 2=0, 令x 2=2,得{y 2=−1,z 2=−1,所以n 2=(2,-1,-1), 所以|cos θ|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=√6×√78=√1313, 所以sin θ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913. 23.甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n 次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X n ,恰有2个黑球的概率为p n ,恰有1个黑球的概率为q n .(1)求p 1,q 1和p 2,q 2;(2)求2p n +q n 与2p n -1+q n -1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示).【命题意图】本题主要考查概率的求法及数学期望的求法.重点考查学生利用所学知识解决实际问题的能力.【解析】(1)p 1=13×1=13,q 1=23×1=23.p 2=13p 1+23×13q 1=727, q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627. (2)当n ≥2时,p n =13p n -1+23×13q n -1=13p n -1+29q n -1,q n =23p n -1+(23×23+13×13)q n -1+23×(1-p n -1-q n -1)=-19q n -1+23, 所以2p n +q n =13(2p n -1+q n -1)+23, 则2p n +q n -1=13(2p n -1+q n -1-1), 又2p 1+q 1-1=13,所以2p n +q n =1+(13)n. X n 的概率分布如下:X n 0 1 2 P1-p n -q nq np n则E (X n )=q n +2p n =1+(13)n.。
2020年江苏省高考数学最后一卷 (含解析)
2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，则A∩B=______．2.若复数z满足i·z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为______．4.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6,18)内的频数为____．5.一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球．若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为______．6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示．若AB=5，则ω的值为________．7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2−y2=1的离心率为2，则实数m的值是_________．m+18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S4=12，则S7=______ ．9.如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)所示水平放置时，液面高度为20cm；当这个几何体如图(3)所示水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为________cm．10.已知a⃗=(x,1)(x>0)，b⃗ =(−1,2)，|a⃗+b⃗ |=√10，则a⃗⋅b⃗ =_____．11.已知sin(α+π4)=7√210，α∈(π4,π2)，则cosα=______ ．12.在平面直角坐标系xOy中，过点A(1,3)，B(4,6)，且圆心在直线x−2y−1=0上的圆的标准方程为________．13.已知函数f(x)=|x2−1|x−1−kx+2，恰有两个零点，则k的取值范围是______ ．14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为__________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，三棱锥D−ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E，F分别为BD，CD的中点，求证：(1)EF//平面ABC;(2)BD⊥平面ACE．16.如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<π2，AD=2，AB=3，△ABD的面积为3√32，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求BC的长．17.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总．面．积．为S(m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．18. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A(−2,−1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2b 2．(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R.过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ ⋅AR =3OP 2，求直线l 的方程．19.已知函数f(x)=ae x(a≠0)，g(x)=12x2．(1)当a=−2时，求曲线f(x)与g(x)的公切线方程；(2)若y=f(x)−g(x)有两个极值点x1，x2，且x2≥3x1，求实数a的取值范围．20.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1(n∈N∗).(Ⅰ)求a1，a2，a3的值；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，b n+1=a n+b n，求数列{b n}的通项公式．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23. 设实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =4，求证：a 2+b 2+c 2≥87．24. 如图，在棱长为1的正方体AC 1中，E 、F 分别为A 1D 1和A 1B 1的中点．(1)求异面直线AF 和BE 所成的角的余弦值；(2)求平面ACC 1与平面BFC 1所成的锐二面角．25.已知集合A={1,2,3,4}和集合B={1,2,3,⋯,n}，其中n≥5，n∈N∗.从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示．记X=T−S．(1)当n=5时，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；(2)求P(X=n−3)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,2}解析：解：∵集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，∴A∩B={0,2}．故答案为：{0,2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：2解析：本题考查了复数的四则运算，根据除法运算算出z，进而可以求出z的实部．=2−i，所以复数z的实部为2．解：因为复数z=1+2ii3.答案：17解析：本题考查的知识点是算法语句的循环结构，是基础题．模拟程序运行过程，条件满足时执行循环，条件不满足时跳出循环，即可得到答案．解：模拟程序运行过程：s=3进入循环：i=2，S=3+2=5，满足条件，执行循环：i=3，S=5+3=8，满足条件，执行循环：i=4，S=8+4=12，满足条件，执行循环：i=5，S=12+5=17，i=6不满足条件i≤5，跳出循环，输出S=17，故答案为17．4.答案：80解析：本题考查频率分布直方图．属于基础题．由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8可得结果，解：由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8=80．故答案为805.答案：415解析：解：一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球，从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，∴2只球颜色相同的概率为p=mn =415．故答案为：415．基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，由此能求出2只球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：π3解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题.设A(x1,2)，B(x2,−2)，由函数图象可得(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，利用T=2×3=2πω，即可解得ω的值．解：∵函数为f(x)=2sin(ωx+φ)，图象中AB两点距离为5，设A(x1,2)，B(x2,−2)，。
2020年江苏省高考数学考前最后辅导(一)
2020年江苏省高考数学考前最后辅导（一）高考考什么呢？简单地说就是四个字，三基四能。
所谓的三基是基础知识、基本技能、基本思想方法。
五种能力就是空间想象能力、抽象概括能力、推理证明能力、运算求解能力、数据处理能力考试就是考这样三基五能。
其中基础知识、基本技能是重点，推理证明能力、运算求解能力是关键。
第一，应该坚持由易到难的做题顺序。
高考试题设置的时候是14道填空题、6道大题，填空题（用时38—40分钟左右）：1—6题防止犯低级错误，平均用时在2.5分钟左右。
7—12题防止犯运算错误，平均用时在3分钟左右。
13—14防止犯耗时错误，平均用时在4分钟左右。
解答题（用时在75分钟左右）：15—16题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右。
17—18题防止犯审题和建模错误，平均用时在14分钟左。
19—20题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在13分钟左右。
第二，再强调一点审题是关键。
把题给看清楚了再动笔答题，看清楚题以后问什么、已知什么、让我干什么，把这些问题搞清楚了，自己制订了一个完整的解题策略，在开始写的时候，这个时候是很快就可以完成的。
第三，有的同学做到第16题、第17题的时候就想不起来了，卡住了，属于非智力因素导致想不起来，这时候怎么办？虽然是简单题我不会做怎么办？建议是先跳过去，不是这道题不会做吗？后面还有很多的简单题呢，我们把后面的题做一做，不要在考场上愣神，先跳过去做其他的题，等稳定下来以后再回过头来看会顿悟，豁然开朗。
另外，因为填空题看结果，不看过程，只要是能把正确的结论找到就行。
常用的方法学生比较习惯的是直接法，特值（特质）法，数形结合法。
做大题的时候要特别注意我会做但拿不满分，这是什么原因造成的呢？就是解题步骤不够规范。
规范答题可以减少失分，什么是规范答题简单地说就是从上一步的原因到下一步的结论，这是一个必然的过程，让谁写、谁看都是这样的。
因为什么所以什么是一个必然的过程，这是规范答题。
2020年江苏省扬州市高考数学最后一卷(6月份) (含答案解析)
2020年江苏省扬州市高考数学最后一卷（6月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−1,3}，B ={2,4}，则A ∩B =______．2. 复数z 满足zi =4+3i(i 是虚数单位)，则｜z ｜=____．3. 一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为_____ 4. 读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x 的值为________．5. 抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线x 216−y29=1渐近线的距离为______． 6. 从某校2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男生、女生都有的概率为____．7. 在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5=1，则a 3=________． 8. 已知函数f(x)=e |x|+1−1x 2+1，则不等式f(x)>f(2x −1)的解集是_______．9. 已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，△ABC 是等腰直角三角形，AC ⊥BC ，若AC =BC =2，三棱锥的体积是43√2，则球O 的表面积为______．10. 若sinα=45，则sin(α−π4)+√22cosα=__________． 11. 已知函数f(x)=|x 2−2|−a 有4个零点，则实数a 的取值范围是______．12. 若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．13.已知直角三角形ABC中，直角边AC=6，点D是边AC上一定点，CD=2，点P是斜边AB上一动点，CP⊥BD，则△APC面积的最大值是______；线段DP长度的最小值是______．14.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ab +ba=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB的值是____________．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.已知函数f(x)=4sinx⋅cos(x−π6)．(Ⅰ)求f(π4)的值及函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间．16.已知三棱锥P−ABC中，AB⊥AC，AB⊥AP.若平面α分别与棱PA、PB、BC、AC相交于点E、F、G、H，且PC//平面α，求证：(1)AB⊥EH；(2)FG//面PAC．17.某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域(区域I)设计成半径为1km的扇形EAF，中心角∠EAF=θ(π4<θ<π2).为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区(区域II)和休闲区(区域III)，并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．(1)要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；(2)试问：当θ为多少时，年总收入最大？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A(−2,0)，离心率为12，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B点，C为y轴上的一点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．19.已知函数f(x)=x2e−2ax(a>0)(1)已知函数f(x)的曲线在x=1处的切线方程为y=−2e−4x+b，求实数a、b的值．(2)求函数在[1,2]上的最大值．20.设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=−1，a n+1=S n S n+1，求S n．21. 已知矩阵A =[3 3c d ]，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1=[11]，属于特征值1的一个特征向量α2=[ 3−2]，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是{x =3cosα+1y =3sinα+3(α是参数).若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√2.求直线l 被曲线C 截得的线段长．23. 在如图所示的坐标系中，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，已知AB =2，AA 1=1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 是A 1B 1的中点． (Ⅰ)求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； (Ⅱ)求直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值．24.某外国语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问，求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列与期望．-------- 答案与解析 --------1.答案：⌀解析：解：集合A={−1,3}，B={2,4}，∴A∩B=⌀；故答案为：⌀根据交集的运算定义计算即可．本题考查了交集的运算，属于基础题．2.答案：5解析：【分析】本题主要考查复数的四则运算，复数的模，属于基础题．先将z整理成a+bi形式，再求模长．【解答】解：∵zi=4+3i，∴z=4+3ii =−i(4+3i)−i2=3−4i，∴|z|=√32+(−4)2=5．故答案为5．3.答案：100解析：【分析】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可．【解答】解：∵高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，∴若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为52+3+5×200=12×200=100，故答案为100．4.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．5.答案：65解析：解：抛物线y2=8x的焦点(2,0)，双曲线x216−y29=1的一条渐近线方程：3x+4y=0，抛物线y2=8x的焦点到双曲线x216−y29=1渐近线的距离为：√32+42=65．故答案为：65．切线抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后求解距离即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6.答案：910解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．先求出基本事件总数，由选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，由此利用对立事件概率计算公式能求出选出的学生中男女生都有的概率．【解答】解：某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，基本事件总数n=C53=10，选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，∴选出的学生中男女生都有的概率为p=1−C33C53=1−110=910.故答案为910.7.答案：1解析：【分析】本题目考查等比数列的性质，属于基础题．利用等比中项的的性质，即可求解．【解答】解：因为数列{a n}是等比数列，所以T5=a1a2a3a4a5=a35=1，所以a3=1．故答案为1．8.答案：(13,1)解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性，属一般题．求出f(x)为偶函数，即可将f(x)>f(2x−1)化为|x|>|2x−1|，解出即可．【解答】解：因为f(−x)=e|x|+1−1x2+1=f(x)，所以f(x)为偶函数，且可知x≥0时f(x)为增函数，因为f(x)>f(2x−1)，所以|x|>|2x−1|，所以x2>4x2−4x+1⇒(x−1)(3x−1)<0，所以13<x<1，故f(x)>f(2x−1)的解集是(13,1)．故答案为(13,1)．9.答案：16π解析：【分析】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，三棱锥的体积的求法，考查计算能力，属于中档题．利用三棱锥的体积求出三棱锥的高，然后求解外接球的半径，即可求解外接球的表面积．【解答】解：如图：三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，AB的中点为D，则OD⊥平面ABC，三棱锥的高为2OD，若AC=BC=2，三棱锥的体积是43√2，可得：13×12×2×2×2⋅OD=4√23，可得OD=√2，CD=√2，则外接球的半径R=√2+2=2，外接球的表面积为：4π×22=16π．故答案为：16π．10.答案：2√25解析：sin(α−π4)+√22cosα=√22sinα−√22cosα+√22cosα=√22sinα=2√25.11.答案：(0,2)解析：【分析】作出y=|x2−2|的函数图象，令y=a与函数图象有4个交点得出a的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查数形结合的应用，属于基础题．【解答】解：令f(x)=0得|x2−2|=a，作出y=|x2−2|的函数图象如图所示：∵f(x)=|x 2−2|−a 有4个零点，∴直线y =a 与y =|x 2−2|的图象有4个交点， ∴0<a <2． 故答案为：(0,2)．12.答案：169解析：解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示，由题意知A(1,0)，C(−1,0)，B(0,√3)， 则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)， 所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32)−(23,0)=(−16,√32)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0)+(−16,√32)=(−136,√32)， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3)+(−16,√32)=(−76,−√32)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−136×(−76)+√32×(−√32)=169．故答案为：169．根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算向量的数量积即可． 本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题．13.答案：3√3 √102解析：解：以C为坐标原点，CA所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A(0,6)，D(0,2)，设B(a,0)，a>0，直线AB的方程为6x+ay−6a=0，BD的斜率为−2a ，可得直线CP的方程为y=a2x，联立直线AB和直线CP，解得P(12a12+a2,6a212+a2)，△APC面积为S=12|AC|⋅12a12+a2=36a12+a2=36a+12a ≤2√a⋅12a=3√3，当且仅当a=2√3时，△APC的面积为最大值3√3；|DP|2=(12a12+a2)2+(6a212+a2−2)2=16⋅a4−3a2+36(12+a2)2，可设12+a2=t(t>12)，可得a2=t−12，可得|DP|2=16⋅t2−27t+216t2=16(216t2−27t+1)，当1t =−−272×216，即为t=16，|DP|2取得最小值52，可得|DP|的最小值为√102．故答案为：3√3，√102．以C为坐标原点，CA所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A(0,6)，D(0,2)，设B(a,0)，a>0，求得AB的方程，BD的斜率和直线CP的方程，解得P的坐标，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最大值；由两点的距离公式和换元法，结合二次函数的最值，可得DP的最小值．本题考查三角形的面积公式的运用，以及坐标法的运用，考查两点距离公式和基本不等式和二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题．14.答案：4解析：解：∵ab +ba=6cosC，由余弦定理可得，a2+b2ab =6⋅a2+b2−c22ab∴a2+b2=3c22则tanCtanA +tanCtanB=cosAsinCcosCsinA+cosBsinCcosCsinB=sinCcosC(cosAsinA+cosBsinB)=sinCcosC ⋅sinBcosA+sinAcosBsinAsinB=sin2CsinAsinBcosC=c2abcosC=c2ab ⋅2aba2+b2−c2=2c23c22−c2=4故答案为：415.答案：解：(Ⅰ)函数，所以所以函数的最小正周期为T=2π 2=π ．(Ⅱ)令，解得．所以函数的单调递增区间为[−π 6+kπ ,kπ +π 3](k∈Z)解析：本题考查三角函数公式的运用，求正弦型函数的值，周期和单调区间，属于中档题．(Ⅰ)利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等对f(x)进行整理化简，得到正弦型函数的形式，然后求出f(π4)和最小正周期；(Ⅱ)令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解出x的范围，得到f(x)的单调递增区间．16.答案：证明：(1)∵AB⊥AC，AB⊥AP．又AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，AC∩AP=A，∴AB⊥平面PAC，…3分又EH⊂面PAC，∴AB⊥EH.…4分(2)∵PC//平面α，平面PAC∩平面α=FG，PC⊂平面PAC，∴PC//FG，…7分又PC⊂面PAC，FG⊄面PAC∴FG//面PAC.…10分解析：(1)由AB⊥AC，AB⊥AP，得AB⊥平面PAC，由此能证明AB⊥EH．(2)由PC//平面α，得PC//FG，由此能证明FG//面PAC．本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查用空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：(1)∵AF=AE=1，AD=AB，∠D=∠B=π2，所以ΔADF与ΔABE全等．所以∠DAF=∠BAE=12(π2−θ)，观赏区的面积为：SⅡ=2×12DF⋅AD=sin∠DAF⋅cos∠DAF=12sin2∠DAF=12sin(π2−θ)=12cosθ，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求SⅡ≥520=14，即cosθ≥12，结合π4<θ<π2可知π4<θ≤π3，则θ的最大值为π3．(2)种植区的面积为S Ⅱ=12AF ·AE ·θ=12θ，正方形面积为，设年总收入为W(θ)万元，则W(θ)=10S Ⅱ+20S Ⅱ+20S Ⅱ=10S Ⅱ+20(S −S Ⅱ)=5θ+20(1+sinθ2−12θ)=10+10sinθ−5θ，其中π4<θ<π2，求导可得W ′(θ)=10cosθ−5．当π4<θ≤π3时，W ′(θ)>0，W(θ)递增； 当π3<θ<π2时，W ′(θ)<0，W(θ)递减．所以当θ=π3时，W(θ)取得最大值，此时年总收入最大．解析：分析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角形面积、倍角公式、三角形全等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由已知可得△ADF≌△ABE.∠DAF =∠BAE =12(π2−θ).观赏区的面积为：S II =2×12DF ⋅AD ，要使观赏区的年收入不低于5万元，则要求S II ≥520=14，π4<θ<π2，即可得出． (2)种植区的面积为S I =12⋅AF ⋅AE ⋅θ=12θ，正方形的面积为该年总收入为W(θ)万元，W(θ)=10S I +20(S −S I )=5θ+20(1+sinθ2−12θ)=10+10sinθ−5θ.利用导数研究其单调性即可得出．18.答案：解：(1)根据已知得a =2，e =c a =12，所以c =1，即b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)设直线l 的方程为y =k(x +2)，则{y =k (x +2)x 24+y 23=1，整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0． 因为x =−2是方程的一个根，则−2x B =16k 2−123+4k 2⇒x B=−8k 2+63+4k 2,y B =12k3+4k 2即B (6−8k 23+4k ,12k3+4k )． 设C(0,y 0)，则因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以(−2,−y 0)(6−8k 23+4k 2,12k3+4k 2−y 0)=0，即(3+4k2)y02−12ky0+(16k2−12)=0,∗，又AC=BC，所以√4+y02=√(6−8k23+4k2)2+(y0−12k3+4k2)2，整理得4(3+4k2)2=(6−8k2)2+144k2−24k(3+4k2)y0，所以k=0或y0=−2k3+4k2，当k=0时，直线l方程为y=0，当y0=−2k3+4k2时，代入(∗)中得16k4+7k2−9=0，所以k=±34，此时直线l方程为y=±34(x+2)，综上所述，直线l的方程为y=0或y=±34(x+2)．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，是较难题．(1)直接利用已知条件求出a，b，椭圆方程可求；(2)设直线l方程并联立方程组求出B点坐标，设出C点坐标，根据等腰直角三角形的性质求出k和y0，将y0代入(∗)求出k值，进而直线l方程可求．19.答案：解：(1)∵f(x)=x2e−2ax，f′(x)=(2x−2ax2)e−2ax；∴f′(1)=(2−2a)e−2aⅡ−2e−4；解得，a=2，则f(x)=x2e−4x，f(1)=e−4，故直线y=−2e−4x+b过点(1,e−4)；故b=3e−4；(2)由(1)得，f(x)=x2e−4x，f′(x)=(2x−4x2)e−4x；则当x∈[1,2]时，f′(x)=(2x−4x2)e−4x<0，故f(x)在[1,2]上单调递减；故f max(x)=f(1)=e−4．解析：(1)求导f′(x)=(2x−2ax2)e−2ax，从而可得f′(1)=(2−2a)e−2aⅡ−2e−4；从而解出a，代入求b；(2)由(1)可得f(x)=x2e−4x，f′(x)=(2x−4x2)e−4x；从而可得f(x)在[1,2]上单调递减；从而求最大值．本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，属于中档题．20.答案：解：a n+1=S n+1−S n =S n+1·S n ，两边同时除以S n+1·S n ，得1Sn+1−1S n=−1，故数列{1S n}是以−1为首项，−1为公差的等差数列，则1S n=−1−(n −1)=−n ，所以S n =−1n ．解析：本题考查数列的递推关系以及等差数列的通项公式，由a n+1=S n+1−S n =S n+1S n,两边同时除以S n+1S n ，得1Sn+1−1S n=−1，可得数列{1S n}是等差数列，求得S n.21.答案： 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1=[11]，可知[3 3c d ][11]=6[11]，所以c +d =6，①， 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2=[ 3−2]， 可知[3 3c d ][ 3−2]=[ 3−2]，所以3c −2d =−2，②， 联立①②可得{c +d =6,3c −2d =−2,解得{c =2,d =4,即A =[3 32 4]， A 的逆矩阵A −1=[ 23 −12−1312].解析：本题考查矩阵及其逆矩阵的求法，考查矩阵的牲值、牲征向量、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1=[11]，求出c +d =6，矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2=[−23]，求出3c −2d =−2，联立方程组求出{c =2d =4，由此能求出矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22.答案：解：由{x =3cosα+1y =3sinα+3得{x −1=3cosαy −3=3sinα两式平方后相加得(x −1)2+(y −3)2=9. 所以曲线C 是以(1,3)为圆心，半径等于3的圆． 直线l 的直角坐标方程为x +y −2=0， 圆心C 到l 的距离是d =√2=√2，所以直线l 被曲线C 截得的线段长为2√9−2=2√7．解析：本题考查了参数方程和极坐标方程，把曲线C 的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离利用勾股定理求得弦长，属基础题．23.答案：解：(Ⅰ)在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AA 1所在的直线为z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系．由已知AB =2，AA 1=1，可得A(0,0，0)，B(2,0，0)，F(1,0，1)．又AD ⊥面AA 1B 1B ，从而BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为∠DBA =30°，而AB =2，AE ⊥BD ，AE =1，AD =2√33，∴E(12,√32,0)，D(0,2√33,0).AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12√2=−√24． ∴异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为√24.(Ⅱ)直线AA 1的一个方向向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)，设n ⃗ =(x,y ，z)是平面BDF 的一个法向量，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2√33,0)， {n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2√33y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,1)， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√55， ∴直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值√55.解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． (Ⅰ)以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AA 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与BF 所成角的余弦值．(Ⅱ)求出直线AA 1的一个方向向量和平面BDF 的一个法向量，利用向量法能动求出直线AA 1与平面BDF 所成角的正弦值．24.答案： 解：(1)事件A “选派的三人中恰有2人会法语的概率为：P(A)=C 52C 21C 73=47；(2)x 的取值为0、1、2、3， 则P(x =0)=C 43C 73=435，P(x =1)=C 42C 31C 73=1835， P(x =2)=C 41C 32C 73=1235，P(x =3)=C 33C 73=135；分布列为：Ex =1×1835+2×1235+3×135=4535=97．解析：本题考查离散型随机变量的分布列的应用，期望的求法，考查计算能力． (1)直接利用古典概型的概率计算方法求解即可．(2)x 的取值为0、1、2、3，求出对应的概率，得到分布列然后求解期望．。
2020年江苏省高考数学最后一卷 (含答案解析)
2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0,1，2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=________．2.若复数z=i(2−z)，则z=______ ．3.读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x的值为________．4.已知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有__________个．5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A，B两点涂色，每个点只涂一种颜色，则点A，点B颜色不同的概率为____________.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在R上的部分图象如图所示，则ω的值为______ ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m+1−y 2=1的离心率为2，则实数m 的值是_________． 8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a1+a 200=1，则S 200=_____ 9. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为π6，体积为125π，则此圆锥的高为_______。
10. 如图，在圆C 中，C 为圆心，AC 为圆的半径，AB 是弦，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．11. 若sinα=45，则sin(α−π4)+√22cosα=__________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2+y 2−4x −8y +12=0，圆N 与圆M 外切于点(0,m)，且过点(0,−2)，则圆N 的标准方程为______________．13. 已知函数f(x)={k(x +2),x ≤0−lnx,x >0(k <0)，若函数y =f(f(x))−1有3个零点，则实数k 的取值范围为______ ．14. 已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a 2+bc =6，则△ABC 面积的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 如图，在三棱锥ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，，，D ，E 分别是AB 1，BC的中点．求证：(1)DE//平面ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面BCC 1B 1.16.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2√5，D是边AB上一点．(Ⅰ)求△ABC的面积的最大值；(Ⅱ)若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．17.某社区有一块直角三角形的闲置土地MON，OM=ON=60米，该区域内有处P，点P到边界OM的距离PC=20米，点P到边界ON的距离PD=10米．社区为改善居民生活环境，决定将其改造为居民休闲广场．方案为：经过点P修建一条笔直小路(两端A,B分别在边界OM,ON上，宽度不计)将该区域分为两部分，在区域AOB内安装健身器材，平均每平方米造价600元，剩余区域种植草皮，每平方米造价100元．(1)当OP ⊥AB 时，求休闲广场的总造价为多少元？(2)求休闲广场总造价的最低费用为多少元？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．19.已知函数f(x)=lnx．(1)若直线y=2x+p(p∈R)是函数y=f(x)图象的一条切线，求实数p的值．(2)若函数g(x)=x−mx−2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证：数列{1S n}是等差数列；(Ⅱ)证明：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n<12．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l:θ=a(a∈[0,π),ρ∈R)与曲线C相交于M、N两点．以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C的参数方程；(Ⅱ)记线段MN的中点为P，若|OP|⩽λ恒成立，求实数λ的取值范围．23.设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥8．724.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为A1A和B1B的中点．(Ⅰ)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值；(Ⅱ)求点D1到平面MDC的距离．25.设随机变量X的分布列为P(X=k)=1，k=1，2，3，4，5.求E(X+2)2，V(2X−1)．5-------- 答案与解析 --------1.答案：{0}解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．直接利用交集定义即可求得答案．【解答】解：根据交集的定义可得A∩B={0}．故答案为{0}．2.答案：1+i解析：解：复数z=i(2−z)，则z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．故答案为：1+i．化简已知条件，利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．3.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．4.答案：880解析：本题考查频率分布直方图的应用，属于简单题。
江苏2020届高三数学最后一课
致高考——我们比任何时刻，更接近高考！江苏2020届高三数学最后一课目录1.战略篇2.战术篇3.审题篇4.应试篇第一篇：战略篇审题决定成败。
通过审题明确已知量和待求量之间的差距,挖掘隐藏条件,确定解题方向,高考是不可能有解不出来的题目的,当解题遇阻时,要进行再审题,思考你是否利用所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的所有必要概念?你是否挖掘了图像中隐藏的等量关系?”数学定义是思考问题的活水。
掌握定义,应用定义解题是数学解题的最高境界。
定义是最简洁最明了的数学思想、数学思路,数学公式,尤其在解决大题和压轴题时,体现尤为明显。
高考中也会常出现“新定义”题型,这种题型,既要结合题目中所给定义还要结合其涉及的课本上的定义,在解题时有意识地观察结构和目标决定了转化的方向和方法。
数学思想是数学解题的武功心法。
函数与方程思想教会我们善于设变量转化目标函数；数形结合思想教会我们善于用图像使问题直观化用代数使问题严谨化(填空题中侧重形,解答题中侧重数)；分类与整合教会我们在解题时的方法和手段,不确定的就讨论, 讨论之后再归纳；化归与转化教会我们统一变量统一结构找到问题本质,化陌生为熟悉,化复杂为简单,化抽象为形象；特殊到一般教会我们运用命题的必要性探索命题的本质,由浅到深,由现象到本质,由局部到整体。
心态是考场发挥的关键。
无论题目难易、不管人家如何,把自己做得最好即是上上策。
即便题目做的如何不顺,不逃避,不放弃,照样气定神闲。
坚定自己的信念,要像"蟑螂”一样顽强不屈。
考试过程中决不要考虑其它问题,任何杂念都是有害无益的。
确保考试过程中眼中只有题目,脑中只有题目。
难了,不要心慌,因为大家都难,有时难题对我们不一定是坏事;容易了,不要忘乎所以，更要细心、认真。
考试策略就好比“田忌赛马”。
立足中下题目力争高水平。
中档以下题目通常占全卷的80%以上,是试题的主要构成,是考生得分的主要来源。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)最后一卷 数学试题附答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数 学I 2020.6圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{|23},{21,}A x x B x x k k =<<==-∈Z －，则A B =I ▲ . 2．已知复数z 满足1－i z ＋2＝－i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ .3. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .4. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6，10)上的频数是 ▲ .5．用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 ▲ ．6．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ .7． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2―y 2m＝1的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ． 8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝ ▲ .（第3题）（第4题）FECBAP（第15题）9．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 ▲ cm.10. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅u u u r u u u r▲ ． 11. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4=66，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫2α+π6＝ ▲ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l ：x -3y +23=0与圆C ：x 2+y 2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．13.已知函数3()log f x x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，()31x h x =-.若函数)()(x h x f k y +⋅=恰有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14. 已知△ABC 的面积等于1，BC =1，则当△ABC 的三边之积取得最小值时，sin A = ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝PC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．求证：(1)AC //平面BEF ；(2)P A ⊥平面BCE ．EOCDB（第10题）（第9题）（第17题）M ADCBN如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =π4，AC =72，102cos -=∠ADB ．(1)求C ∠sin 的值；(2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1的左、右焦点为F 1, F 2，点A 为左顶点，且OA =F 1F 2，过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3． (1)求椭圆C 的标准方程;(2)证明：原点O 总在以PQ 为直径的圆内； (3)若AP ⊥F 1Q (点P 在x 轴上方)，求直线l 的方程．AB CD已知函数f (x )=a e x (a ≠0,a ∈R ),g (x )=12x 2.(1)当a =-2时，若直线l 与曲线y =f (x )及y =g (x )都相切，求直线l 的方程； (2)若y =f (x )-g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①求实数a 的取值范围； ②若x 2≥3x 1,求实数x 1的最大值20．( 本小题满分 16 分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =S na n (n ∈N*).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11．(1)求数列{b n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是等差数列； (3)记c n =2nn a S ，若存在k 1，k 2∈N*(k 1≠k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数 学II(附加题)21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，每小题10分. 请选定其中两．．．．．小．题．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 【选修4—2：矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵1=14a ⎡⎤⎢⎥⎣-⎦A 的一个特征向量1α＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求实数a 的值；（2）若向量32⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，计算3A α．B. 【选修4—4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2221121t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(t 为参数).以直角坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)求曲线C 1的普通方程； (2)射线(0)6πθρ=>与曲线C 1和曲线C 2分别交于点M ，N ，已知点Q (4，0)，求△QMN的面积.C . 【选修4—5：不等式选讲】(本小题满分10分)已知实数a ，b ，c 满足a +b +c =7，求证：a 2+4b 2+9c 2≥36.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD =60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．(1)求异面直线BD 1和AM 所成角的余弦值；(2)若二面角M —AC —N 的大小为π4，试确定点N 的位置．23．（本小题满分10分）现有n (n ≥2，n ∈N*)份血液样本需要进行2019-nCoV 检验，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0＜p ＜1)．检验方式如下：将n 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，则表明n 份血液样本全为阴性，终止检验；若检验结果为阳性，则再对这n 份样本逐份检验．记这n 份血液样本的检验次数为X ．(1)求X 的概率分布与数学期望E (X )；(2)若1p =(e 为自然对数的底数)，且E (X )≤n ，求n 的最大值参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈．（第22题）ABCDA 1D 1 C 1BM N2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数学试题参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合{|23},{21,}A x x B x x k k =<<==-∈Z －，则A B =I ▲ .{―1，1} 2．已知复数z 满足1－iz ＋2＝－i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ . ―13. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .24. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6,10)上的频数是 ▲ .70 5．用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 ▲ ．236．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ . 47． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2―y 2m ＝1的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ．28．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝ ▲ . -69．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23 (细管长度忽略不计)．细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 ▲ cm.16910. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u r▲ ．26（第3题）Read xI f x ≤0 Theny ←x 2＋2 Elsey ← log 2x End If Print y（第4题）0.2000.025468 10 12 频率组距0.075 20.050 xy y 011π24-y 05π24O （第6题）（第10题）FECBAP（第15题）11. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4=66，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫2α+π6＝ ▲ ．2―15612. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l ：x -3y +23=0与圆C ：x2+y 2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．223(()12x y +-= 13.已知函数3()log f x x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，()31x h x =-.若函数)()(x h x f k y +⋅=恰有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．)3log 2,2(5--14. 已知△ABC 的面积等于1，BC =1，则当△ABC 的三边之积取得最小值时，sin A = ▲ . 817二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，10AB =， 6BC =，8AC PC ==，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．求证：(1)AC //平面BEF ；(2)P A ⊥平面BCE ．【证】（1）在△PAC 中，E F ，分别是PA PC ，的中点，所以EF ∥AC ． …… 2分 又因为EF BEF ⊂平面，AC BEF ⊄平面， 所以AC ∥平面BEF ． …… 4分 （2）在△ABC 中，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥． …… 6分 因为PC ABC ⊥平面，BC ⊂平面ABC ，所以PC BC ⊥． …… 8分 又因为BC PC ⊥，AC PC C =I ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ． 所以BC ⊥平面PAC ．因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥． …… 10分 在△PAC 中，因为AC PC =，E 为PA 的中点，所以PA EC ⊥． …… 12分 又因为PA BC ⊥，CE BC C =I ，CE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ． 所以PA ⊥平面BCE ． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =π4，AC =72，102cos -=∠ADB ．(1)求C ∠sin 的值；(2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．【解】（1）因为102cos-=∠ADB ，所以sin ADB ∠==. ………………… 2分 A B CD（第17题） MA DCBN又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠45=. ……………………6分 （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ， 故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π.…………… 8分又11sin 72210ABD S AD BD ADB BD ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅=，解得5=BD . ………………… 10分 在ADB ∆中，由余弦定理得2222cos 82525(37,AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=所以AB. …………………………14分17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值． 【解】方法一：（1）设∠ANM =θ，()π02θ∈，， 半圆的直径MN =2r ，半圆的圆心为O ．在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以AM =2r sin θ，AN =2r cos θ．因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12×2r sin θ×2r cos θ= r 2sin2θ=400， …… 2分所以r 2=400sin 2θ，所以喷泉区域面积S 喷泉=π2r 2=200π200πsin 2θ≥，当且仅当sin2θ=1，即θ=π4时取等号．此时r =20． …… 5分因为点O 到CD 的距离d 1=AD －12AM ，点O 到BC 的距离d 2=AB －12AN ，所以d 1=75－r sin θ=75－102＞20=r ，即d 1＞r ，d 2=100－r cos θ=100－102＞20=r ，即d 2＞r ．所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内．所以当θ=π4时，S 喷泉取得最小值200π m 2．答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2． …… 7分 （2）由（1）知，若MN =100 m ，则2r =100， AM =100sin θ，AN =100cos θ．所以点O 到CD 的距离d 1=75－r sin θ=75－50sin θ，点O 到BC 的距离d 2=100－50cos θ， 因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， 所以12d r d r ⎧⎨⎩≥，≥，即7550sin 5010050cos 50θθ-⎧⎨-⎩≥，≥，所以1sin 2θ≤．又因为()π02θ∈，，所以(π06θ⎤∈⎥⎦，． …… 11分 所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12×100sin θ×100cos θ=2500sin2θ，因为(π06θ⎤∈⎥⎦，，所以(π203θ⎤∈⎥⎦，， 所以当π6θ=时，假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． 答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． …… 14分方法二：（1）设AM =x m ，AN =y m ，半圆的直径2r ，半圆的圆心为O ．在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以MN =2r因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12xy = 400，所以xy =800， …… 2分所以喷泉区域面积S 喷泉=2π()22MN =22ππ(2200π88x y xy +⋅=)≥，当且仅当x y ==r =20． …… 5分 因为点O 到CD 的距离d 1=AD －12AM ，点O 到BC 的距离d 2=AB －12AN ，所以d 1=75－2x =75－102＞20=r ，即d 1＞r ，d 2=100－2y=50－102＞20=r ，即d 2＞r ． 所以以MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内．所以当x y ==S 喷泉取得最小值200π m 2．答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2． …… 7分 （2）由（1）知，若MN =100 m ，则2210000x y +=．所以点O 到CD 的距离1752x d =-．因为以MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， 所以d 1≥r ，即75502x -≥，所以50x ≤，注意到，在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，构成△AMN ，所以050x <≤． …… 9分所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12xy =12…… 11分=， 所以当50x =时，假山区域面积取得最大值为1250 3 m 2．答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． …… 14分方法三：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (k <0，b >0)，半圆的直径2r ，半圆的圆心为O ，则AM =b m ，AN =b k-m ， ()22b b O k -，，在直角三角形AMN 中，∠MAN =π2，所以MN =2r = 因为假山区域面积为400 m 2，所以12AM ·AN =12b (b k⋅-= 400，所以b 2=－800k ，所以喷泉区域面积S 喷泉=()2π22MN =()()222π1π111(800)1100π()200π88()b k k k k k ⎡⎤+-+-+⎢⎥-⎣⎦==≥， 当且仅当1k =-时，取等号．此时b =202，r =20，O ．所以半圆方程为22((400(0)x y x y -+-=+->．因为AB =100 m ，AD =75 m ，所以直线BC ，CD 方程分别为x ＝100，y ＝75， 所以点O 到CD 的距离d 1=75－102＞20=r ， 点O 到BC 的距离d 2=100－102＞20=r ，所以AM =202＜75=AD ，AN =202＜100=AB ，所以满足以MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉． 所以S 喷泉取得最小值200π m 2． 答：喷泉区域面积的最小值为200π m 2．（2）由（1）知，AM =b m ，AN =b k-m ，()22b b O k -，，若MN =100 m ，则22210000b b k+=，所以k =点O 到CD 的距离1752b d =-，点O 到BC 的距离21002b d k =+．因为以MN 为直径在矩形广场内画一半圆区域用于修建喷泉， 所以1d r ≥，2d r ≥，即75502b -≥，100502b k +≥，所以50b ≤，0k ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭． 注意到，在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，构成△AMN ，所以050b <≤．所以假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12b ()b k ⋅-=12所以当50b k ==，时，假山区域面积取得最大值为1250 3 m 2．（另解）假山区域面积S 假山=12AM ·AN =12b ()b k ⋅-=250001k k-+，记25000()(0)1k f k k k -=<+，则2225000(1)()0(1)k f k k -'=<+， 所以()250001k f k k -=+在0⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是单调减函数，所以当k =S 假山取得最大值1250 3 m 2．答：假山区域面积的最大值为1250 3 m 2． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2=1的左、右焦点为F 1, F 2，点A 为左顶点，且OA =F 1F 2，过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3． (1)求椭圆C 的标准方程; (2)证明：原点O 总在以PQ 为直径的圆内；(3)若AP ⊥F 1Q (点P 在x 轴上方)，求直线l 的方程．【解】(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >，因为12OA F F =，所以2a c =， 由当直线l 垂直于x 轴时，3PQ =，将x c =代入椭圆方程得22221c y a b+=，解得2b y a =±所以223bPQ a ==， …………………………………2分联立2222223+a c b aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩解得2, 1.a b c === 所以椭圆方程为22143x y +=. …………………………………4分（2）证明：当直线l 斜率为0时，此时P ,Q 位于长轴两个顶点，原点O 为圆心，满足题意. ……………………6分 当直线l 斜率不为0时，设l 方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(34)690m y my ++-=， 由求根公式可得1,2y = 故122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， ……………………8分 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 12121212(1)(1)OP OQ x x y y my my y y ⋅=+=+++u u u r u u u r21212(1)()1m y y m y y =++++222296(1)()13434m m m m =+--+++22125034m m +=-<+. 故原点O 总在以PQ 为直径的圆内. …………………………………10分（3）因为(2,0)A -,(2,0)F -，由AP ⊥F 1Q 得：10AP FQ ⋅=u u u r u u u r，即 1122(2,)(1,)0x y x y +⋅+=，121212220x x x x y y ++++=，212122(1)2()60m y y m y y my +++++=， ……………………………12分因为点P 在x轴上方，所以268y m =+，代入上式得：22296(1)2()603434m m m m m m -++-++=++，整理得：2252m =-， …………………………14分 两边平方得：22425m =，解得m 舍去) 所以直线l 得方程为1x y =+，即1)y x =-. ………………………………16分19．( 本小题满分 16 分）已知函数f (x )=a e x (a ≠0,a ∈R ),g (x )=12x 2.(1)当a =-2时，若直线l 与曲线及都相切，求直线l 的方程； (2)若y =f (x )-g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①求实数a 的取值范围； ②若x 2≥3x 1,求实数x 1的最大值 【解】（1）当2a =-时，()2x f x e =-，设曲线y =f (x )上的切点为11,2x x e -（），则切线方程为11122()x x y e e x x +=--，设曲线y =g (x )上的切点为2221,2x x （），则切线方程为22221()2y x x x x -=-.由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，则12=0=2x x ⎧⎨-⎩， 所以公切线方程为22y x =--. ………………4分（2）①因为21()()2x y f x g x ae x =-=-，所以'x y ae x =-，令x x ae x ϕ-（）=，则'1x x ae ϕ=-（）， 当0a <时，'0x ϕ<（）所以x ϕ（）单调递减，不合题意. ………………6分 当0a >时，令10x ae -=，得1lnx a=， 当x <ln 1a 时，'0x ϕ<（）；当x > ln 1a时，'0x ϕ>（）， 所以x ϕ（）在1(,ln )a -∞上单调递减，x ϕ（）在1(ln ,)a+∞单调递增， 若y =f (x )-g (x )有两个极值点x 1，x 2，则1ln 111ln ln 1ln 0a ae a a aϕ=-=-<（）， 解得10a e<<． ……………………………8分因为00a ϕ=>（），1211110a ae a a a a aϕ=->⋅-=（）(可以证明：当x >0时，e x >x 2)所以10ln 0a ϕϕ⋅<（）（），11ln 0a aϕϕ⋅<（）（）因为函数的图象连续不断，所以函数在1(0,ln )a ，11ln ,a a ⎛⎫⎪⎝⎭各存在一个零点，故实数a 的取值范围是10.e ⎛⎫⎪⎝⎭， …………………………10分②令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，则1ln 1kx k =-， ………………………12分 令ln ()(3)1x h x x x =≥-，则'211ln (),(1)xx h x x --=- 又令1()1ln (3),t x x x x =--≥则'21()0,xt x x-=<所以()t x 在[3，＋∞）上单调递减，所以2()(3)ln 30,3t x t ≤=-<所以'()0,h x <即()h x 在[3，＋∞）单调递减，ln 3()(3),2h x h ≤=故1x 的最大值是ln 3.2……………………………16分20．( 本小题满分 16 分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =S na n (n ∈N*).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11．(1)求数列{b n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是等差数列； (3)记c n =2nn a S ，若存在k 1，k 2∈N*(k 1≠k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．【解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-．由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=，因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+. …… 3分（2）由（1）知，1(1)2n n Sn a =+，n *∈N ，即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． …… 5分 两边除以(1)n n +得，101n n a a n n+-=+（n *∈N ），所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列．所以111n a a a n ==，即1n a na =，所以11n n a a a +-=， 所以数列{}n a 是等差数列． …… 8分（3） 因为nn n S b a =，所以1(1)122n n n n n S a a ++==，所以111(1)22nn n a na S n n a c ++==． 因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)1()22222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++-=-=-+， 当n *∈N 时，)2111223n n n ⎡=-∈⎢++⎣，． …… 10分 显然10a ≠，①若10a <，则1112a >，11022a n n ->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n *∈N ，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； ②若12log 3a >，则11132a <， 11022a n n -<+恒成立， 所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n *∈N ，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =； …… 12分 ③若12log 3a =，则11132a =，所以当n =1，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =．④若120log 3a <<，则111132a <<．当1221a n <-，且n *∈N 时，1n n c c +>，{}n c 单调递增；当1221a n >-，且n *∈N 时，1n n c c +<，{}n c 单调递减，不妨取0120002log (2)k a k k k *+=∈N ，≥，则001k k c c +=．综上，若存在12k k *∈N ，，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是2(0log 3]，． ……16分数 学II(附加题)附加题共四道题，三选二为容易题，第22题为中档题，第23题最后一问题较难．解答附加题不要急于求成，要确保将这 30 分收入囊中．三选二注意事项：(1)切记根据要求填涂选定题号前小方框；(2)如无特殊情况应选择A 、B ，不选择其他题目，如 A 、B 确实有困难可尝试选择C 题目．21．A. 【选修4—2：矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵1=14a ⎡⎤⎢⎥⎣-⎦A 的一个特征向量1α＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求实数a 的值；（2）若向量32⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，计算3A α．【解】（1）由已知，得114a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝λ11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即114a λλ+=⎧⎨-+=⎩,解得a =2. …… 5分 (2) 由特征多项式12()(1)(4)214f λλλλλ--==--+-， 令()0f λ=，得2560λλ-+=，解得1223λλ==，，属于特征值13λ=的一个特征向量1α＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值22λ=的一个特征向量2α＝21⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …… 8分所以12=+ααα，33331131233221243132135λλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A ααααα …… 10分B. 【选修4—4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2221121t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(t 为参数).以直角坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=. (1)求曲线C 1的普通方程；(2)射线(0)6πθρ=>与曲线C 1和曲线C 2分别交于点M ，N ，已知点Q (4，0)，求△QMN的面积.【解】(1) 曲线C 1的普通方程为x 2-y 2=1. ……………………………2分(2)曲线C 1的极坐标方程为2cos 21ρθ=，令6πθ=，得1ρ=M6π). ………………………………4分曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，令6πθ=，得2ρ=即N(6π)．…6分所以MN＝………………………………8分又点Q (4，0) 到射线(0)6πθρ=>的距离为4sin 6π=2,所以△QMN的面积为………………………………10分A C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++≥．【证】因为222111()()23⎡⎤++⎢⎥⎣⎦222211(49)(23)23a b c a b c +++⋅+⋅≥， …… 5分所以2222()49111++49a b c a b c ++++≥．又7a b c ++=，所以2224936a b c ++≥． …… 10分 22．（本小题满分10分）已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长均相等，且∠BAD =60︒，M 是侧棱DD 1的中点，N 是棱C 1D 1上的点．(1)求异面直线BD 1和AM 所成角的余弦值； (2)若二面角M —AC —N 的大小为π4，试确定点N 的位置．【解】连结BD ，取AB 的中点E ．因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等， 所以底面ABCD 是菱形．又60BAD ∠=︒，所以△ABD 是正三角形， 所以DE AB ⊥， 因为//AB DC ，所以DE DC ⊥．因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，DC DE ⊂，平面ABCD ，所以1D D DC ⊥，1D D DE ⊥． …… 2分 分别以直线1DE DC DD ，，为x y z ，，轴建立如 图所示的空间直角坐标系．（1）设直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，则(000)D ，，，10)A -，，10)B ，，(020)C ，，，1(002)D ，，，(001)M ，，．所以1(12)BD =-u u u u r，，(11)AM =u u u ，． 设异面直线1BD 与AM 所成角的大小为θ，则111cos cos ||||BD AMBD AM BD AM θ⋅=<>===⋅u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u ur u u u u r ，， 所以异面直线1BD 与AM ． …… 4分（2）由（1）知，(30)AC =u u u r ，(11)AM =u u u u r，． 设平面AMC 的法向量为1111()x y z =，，n ，则11AC AM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u r u u u u r ，，n n 即1100AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩u u u ru u u ur ，=，n n 所以11111300.y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩， 取1x 11y =，12z =，即平面AMC 的一个法向量为112)=，n ． …… 6分 设(02)N λ，，，02λ≤≤，则(022)CN λ=-u u u r，，． 设平面ACN 的法向量为2222()x y z =，，n ，则22AC CN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u r u u u r ，，n n 即2200AC CN ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩u u u r u u u r，=，n n 所以222230(2)20.y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， （第22题） AB CD A 1D 1 C 1 B MN取2x =21y =，222z λ-=，即平面ACN的一个法向量为221)2λ-=，n ． …… 8分则121212cos cos 4|||⋅π=<⋅>===⋅n n n n |n n 解得2λ=．所以当二面角M AC N --的大小为4π，点N 与点1C 重合． …… 10分23．（本小题满分10分）现有n (n ≥2，n ∈N*)份血液样本需要进行2019-nCoV 检验，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0＜p ＜1)．检验方式如下：将n 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，则表明n 份血液样本全为阴性，终止检验；若检验结果为阳性，则再对这n 份样本逐份检验．记这n 份血液样本的检验次数为X ．(1)求X 的概率分布与数学期望E (X )；(2)若1p =(e 为自然对数的底数)，且E (X )≤n ，求n 的最大值．参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈． 【解】(1)X 的可能值为1，n.p (X ＝1)＝(1-p )n ，p (X ＝n +1)＝1-(1-p )n .p )n . (2) 若E (X )≤n ，则1n ≤(1-p )n ，两边取自然对数，得ln n ≥-n ln(1-p )，因为1p =，所以ln n ≥n 4．设f (x )=ln x -14x ，则f ´(x )=4-x4x，当x >4时f ´(x )<0，当0<x <4时f ´(x )＞0，所以f (x )在(0，4)上是增函数，在(4，＋∞)上是减函数， 又f (4)＝ln4-1>0，f (8)＝3ln2-2>0，f (9)=2ln3-94<0，故n 的最大值为8．。
2020届江苏省南京市秦淮中学高三下学期最后一练数学试题解析版
2020届江苏省南京市秦淮中学高三下学期最后一练数学试题一、填空题1．已知集合U=｛1，2，3，4，5｝，A=｛1，2｝，B=｛3，4｝，则()U C A B ⋃= 【答案】{}5【解析】解：因为集合U=｛1，2，3，4，5｝，A=｛1，2｝，B=｛3，4｝，{}(){}1,2,3,45U A B C A B ⋃=∴⋃=2．若复数z满足1iz =-（i 是虚数单位），则z =______．i【解析】可知z =，利用复数除法运算方法计算即可. 【详解】1iz =-+,()21i z i i-∴===.i +. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3．在区间[2,3]-上随机取一个实数x ，则“||1x ≤”的概率为__________． 【答案】25【解析】满足“||1x ≤”的范围在“11x -≤≤”上，由几何概型概率公式可得，在区间[]2,3-上随机取一个实数x ，则“1x ≤”的概率为1(1)23(2)5--=--，故答案为25． 4．直线260ax y ++=与直线()()2110x a y a +-+-=平行，则a =______．【答案】1-【解析】根据两直线平行可得出关于实数a 的二次方程，解出实数a 的值，代入检验即可得解.【详解】由于直线260ax y ++=与直线()()2110x a y a +-+-=平行，则()12a a -=，即220a a --=，解得1a =-或2a =.当1a =-时，两直线的方程分别为260x y --=、20x y -=，此时，两直线平行； 当2a =时，两直线方程分别为2260x y ++=、30x y ++=，此时，两直线重合. 综上所述，1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.5．某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表： 分数段 [)60,65[)65,70[)70,75[)75,80[)80,85[)85,90[)90,95人数 １３６６２１１若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分 【答案】80 【解析】解：∵40200×20=4， ∴随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试， 观察成绩统计表，预测参加面试所画的分数线是80分， 故答案为806．下图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为______．【答案】-3【解析】根据程序框图的功能，由23,054,0x x y x x -<⎧=⎨-≥⎩求解.【详解】由图知：该程序的作用是计算函数23,054,0x x y x x -<⎧=⎨-≥⎩的函数值，当输入2时输出的是：5423-⨯=- 故答案为：-3 【点睛】本题主要考查程序框图中的条件结构，属于基础题.7．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】45n a n =-+【解析】根据223n S n n =-+，利用数列通项与前n 项和的关系，由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.【详解】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()22123213145n n n a S S n n n n n -=-=-++---=-+， 又11a =适合上式，所以45n a n =-+， 故答案为：45n a n =-+ 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和间的关系，属于基础题. 8．已知函数()3sin2xf x =，如果存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，都有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值为______．【答案】2π【解析】根据存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，都有()()()12f x f x f x ≤≤，得到()()12,f x f x 分别是函数()f x 的最小值和最大值，则12x x -一定是半个周期的整数倍，再求出函数()3sin 2xf x =的最小正周期即可. 【详解】因为存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，都有()()()12f x f x f x ≤≤， 所以()()12,f x f x 分别是函数()f x 的最小值和最大值， 所以12x x -一定是半个周期的整数倍， 又函数()3sin 2xf x =的最小正周期是4T π=， 所以1222x n n x Tπ=⨯=-， 所以12x x -的最小值为2π 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查三角函数的周期性的求法及应用以及最值问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.9．曲线C :ln y x x =在点(),M e e 处的切线方程为_______________. 【答案】y=2x ﹣e【解析】'ln 1y x =+，'|ln 12x e y e ==+=，所以切线方程为2()y e x e -=-，化简得20x y e --=.10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⊥⇒．其中正确的命题的序号是______． 【答案】①【解析】根据线面关系的性质可判断. 【详解】 对于①，,//l ααβ⊥，l β∴⊥，又m ⊂β，l m ∴⊥，故①正确；对于②，如图，l ⊥α，m ⊂β，αβ⊥，此时l 与m 相交，故②错误；对于③，如图l ⊥α，m ⊂β，l m ⊥，此时α与β相交，故③错误.故答案为：①. 【点睛】本题考查线面位置关系的推导，属于基础题.11．已知平行四边形ABCD ，60ABC ∠=︒，2AB =，E 、F 分别是边BC 、AD 上的点，且AF FD =，12BE EC =，AE 与CF 分别交BD 于点P 、Q ，若7BA BD ⋅=，则PF QE ⋅=______． 【答案】2011-【解析】建立平面直角坐标系：设6BC a =，根据7BA BD ⋅=，利用平面向量的坐标运算得到BC，再根据AF FD=，12 BE EC=，求得()()()31,0,,3,3,0,4,32E F C D⎛⎫⎪⎝⎭，得到()233:1,:3,:AE CF BDl x l y x l y x==--=，联立方程求得P，Q的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示直角坐标系：设6BC a=，因为60ABC∠=︒，2AB=，所以((3,63A D a+，因为7BA BD⋅=，所以6137a++=，解得12a=，因为AF FD=，12BE EC=，所以()()(31,0,3,3,0,32E F C D⎛⎝，所以)233:1,:3,:AE CF BDl x l y x l y x==-=，由13xy x=⎧⎪⎨=⎪⎩得3P⎛⎝⎭，由()23334y xy x⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2463,11Q⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以1331363,,,2411PF QE Q⎛⎫⎛⎫==--⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11333632021111PF QE⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+⨯-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：2011-【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 12．在平面直角坐标系xOy中，P为圆22:2O x y+=上一点，且2PA PB≤，其中()2,2A，()3,3B，则点P横坐标的取值范围是______．【答案】()2,1-【解析】由2PA PB≤可知点P是在圆()()22114x y++-=内，结合图形可以求出. 【详解】设(),P x y，2PA PB≤，222222233x y x y，整理可得22114x y，∴点P是在圆()()22114x y++-=内且在圆22:2O x y+=上的点，如图，联立两圆方程()()22221142x y x y ⎧++-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1,1,1,1M N ，由图可知点P 横坐标的取值范围是21x .故答案为：(). 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，属于中档题.13．（2013年苏州B14）已知函数12,13(){3(),33x x f x xf x --≤≤=>将集合{|(),01}A x f x t t ==<<（t 为常数）中元素由小到大排列，则前6个元素的和为________. 【答案】52【解析】由题设可得当[1,2)x ∈时， ()1,1f x x x t =-=+；当(2,3]x ∈时，()3,3f x x x t =-=-；然后就要根据f(x)=3f(x/3)来计算：当x/3在[1,2）上时,x取[3,6)，表达式为f(x)=x-3,x=t+3；x/3在[2,3）上时，x 取[6,9)，表达式为f(x)=9-x,x=9-t ；当x/3在[3,6）上时，x 取[9,18)，表达式为f(x)=x-9,x=t+9；当x/3在[6,9）上时，x 取[18,27)，表达式为f(x)=27-x,x=27-t ．此时前6个元素之和是52，应填答案52．14．正数x ，y ，z 满足2221x y z ++=，11z xy z++的最小值为______．【答案】【解析】由2221x y z ++=可得212z xy ≤-，则2111121112z z z xy zz z z ++++=+--，利用基本不等式可求得最值. 【详解】正数x ，y ，z 满足2221x y z ++=，即22212x y z xy +=≥-，即212z xy ≤-（当且仅当=x y 时取等号），2111121112z z z xy zz z z ++++=+-- 2121[(1)]332211z z z zz z z z -⎛⎫=+-+=+++ ⎪--⎝⎭， 当且仅当1z =时取等号.故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查分析能力和计算能力，属于中档题.二、解答题15．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2)b a c =+，sin B sin C ．（1）求角B ；（2）若△ABC的面积为b ，c ． 【答案】（1）2π3B =（2）c =b =【解析】（1）首先根据正弦定理得到b =，利用题的条件，进一步求得a c =，利用余弦定理，求得2221cos 22a cb B ac +-==-，结合三角形内角的取值范围，求得其大小；（2）利用三角形面积公式，结合三角形边的关系，最后求得其边长. 【详解】（1）在ABC中，sin sin sin a b c A B C==，由已知sin B C =．得b =， 又因为)2b a c =+，所以a c =．所以2221cos 22a cb B ac +-==-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =． （2）211sin 2224ABCSac B ac a ==⋅=，由S =又因为a c =，b =，所以c =b =【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理，余弦定理解三角形的问题，三角形的面积公式，正确理解题的条件是解题的关键.16．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD BC ⊥，G 为PA 上一点．（1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）若G 为PA 的中点，求证：//PC 平面BDG ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）根据底面ABCD 为矩形，得到AD BC ⊥，又PD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理得到BC ⊥平面PCD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）连接AC 与BD 交于点O ，连接OG ，由中位线得到//PC OG ，再利用线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以AD BC ⊥，又PD BC ⊥，PD AD D ⋂= 所以 BC ⊥平面PCD ，又BC ⊂平面ABCD ， 所以平面PCD ⊥平面ABCD ； （2）如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，连接OG ， 因为G 为PA 的中点，所以//PC OG ，又PC ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ， 所以//PC 平面BDG ． 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理和线面平行的判定定理，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.17．某部分要求设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O ，半径为()m R 的球形灯泡．该灯架由灯托，灯杆，灯脚组成，其中圆弧形灯托EA ，EB ，EC ，ED 所在圆的圆心都为O ，半径都是()m R ，圆弧的圆心都是θ（弧度）；灯杆EF 垂直于地面，杆顶E 到地面的距离为()m h ，且R h <；灯脚1FA ，1FB ，1FC ，1FD 是正四棱锥1111F A B C D -的四条侧棱，正方形1111D C B A 的外接圆半径为()m R ，四条灯脚与灯杆所在直线夹角为θ（弧度）．已知灯杆，灯脚造价都是每米a 元，灯托造价是每米3a，其中R ，h ，a 都是常数.设灯架总造价为y （元）（1）求y 关于θ的函数关系式； （2）当θ为何值时，y 取得最小值 【答案】（1）44,0,3tan sin 2a R Ry R h a πθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3πθ=. 【解析】（1）利用三角函数的定义用θ表示四个灯脚，从而得到灯架，然后用弧长公式用θ表示四个灯托，根据造价建立函数模型. （2）根据（1）的结果，利用导数法求解. 【详解】（1）如图所示；由题意得：111,tan RA FO FO θθ∠==， 所以tan R EF h θ=- ，1sin RA F θ=， 所以44,0,3tan sin 2a R Ry R h a πθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+-+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （2）由（1）知44cos 3sin 3a y R ha θθθ-⎛⎫=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭， 令()44cos 3sin f θθθθ-=+， 所以()()()()22222sin cos 4cos 12cos 72cos 44sin 312cos 3sin 3sin 3sin f θθθθθθθθθθθ---++-'=+==， 当πθ0,3时()0f θ'<，当,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>， 设0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其中0tan 1R h θ=<，则004πθ<<， 所以0,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以当3πθ=时，()fθ取得最小值，即y 取得最小值【点睛】本题主要考查弧长公式，三角函数的定义以及函数模型的建立和导数法求函数的最值，还考查了抽象建模和运算求解的能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为22，左、右顶点分别为A 、B ，且线段AB 的长为2P 为椭圆M 异于顶点A ，B 的点，过点A ，B 分别作1l PA ⊥，2⊥l PB ，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求椭圆M 的方程；（2）求证：当P 在椭圆M 上运动时，点C 恒在一定椭圆N 上；（3）已知直线:l y kx m =+过点P ，且与（2）中的椭圆N 交于不同的两点E ，F ，若P 为线段EF 的中点，求原点O 到直线l 距离的最小值．【答案】（1）2212x y +=；（2）22124x y +=；（346. 【解析】（1）根据离心率为22，左、右顶点分别为A 、B ，且线段AB 的长为22由2222c e a a ===求解. （2）设()()())00,,,,2,0,2,0C x y P x y A B- ，000022AP BP k k x x ==+- ，根据1l PA ⊥，2⊥l PB ，分别写出1l ，2l 的直线方程联立，求得0012x xy y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，代入220012x y +=即可. （3）设()()1122,,,E x y F x y ，根据直线:l y kx m =+过点P ，且与椭圆N 交于不同的两点E ，F ，P 为线段EF 的中点，利用点差法由22112222124124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得到 220000022,x x y k m y y +=-=，然后由2022127m d k x ==++，令2027t x =+用基本不等式求解. 【详解】（1）因为离心率为2，左、右顶点分别为A 、B ，且线段AB的长为，所以22c e a a ===解得21,1a c b ===椭圆M 的方程是2212x y +=；（2）设()()())00,,,,,C x y P x y A B，AP k =，因为1l PA ⊥，所以1l的直线方程为00x y x y =-， 同理2l 的直线方程为y x = ，联立方程组(0000x y x y x y x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得 02002x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，因为点P 在椭圆M 上，所以 220012x y += ，所以002x x y y =-⎧⎨=-⎩， 即 0012x xy y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，代入220012x y +=得：22124x y +=， 所以当P 在椭圆M 上运动时，点C 恒在一定椭圆:N 22124x y +=上； （3）设()()1122,,,E x y F x y ，因为直线:l y kx m =+过点P ，且与椭圆N 交于不同的两点E ，F ，P 为线段EF 的中点，则22112222124124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：121212122y y x x x x y y -+=--+，所以220000022,x x y k m y y +=-=，所以原点O 到直线l距离：2d ====，令t =，因为[]200,2x ∈，所以t ⎤∈⎦，所以28318377t d t t t +⎛⎫==+≥⎪⎝⎭，当且仅当83t t =，即t =时取得等号， 所以原点O 到直线l． 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，动点轨迹问题以及直线与椭圆的位置关系和基本不等式求最值问题，还考查了运算求解的能力，属于较难题.19． 设a ，b R ∈，函数()ln =--x f x e a x a ，其中e 是自然对数的底数，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)0e x y b --+=.（Ⅰ）求实数a 、b 的值；（Ⅱ）求证：函数()y f x =存在极小值；（Ⅲ）若1,2x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln 0xe mx x x--≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ)1,0a b ==；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)121[ln 2,)2e ++∞. 【解析】试题分析：(Ⅰ)利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a ,b 的方程组，求解方程组可得1,0a b ==；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存在极小值；(Ⅲ)结合题意构造函数，令()xh x e xlnx =-，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，利用(Ⅱ)中的结论讨论函数()h x 的最小值，，然后结合题意可得实数m 的取值范围为1212,2e ln ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭． 试题解析： （Ⅰ）∵()/x a f x e x=-，∴()/1f e a =-，由题设得()()110e a e e e a b -=-⎧⎨---+=⎩，∴10a b =⎧⎨=⎩； （Ⅱ）由（Ⅰ）得()1xf x e lnx =--，∴()/1x f x e x=-(0)x >，∴()()//210x fx e x=+>，∴函数()/f x 在()0,+∞是增函数，∵/1202f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()/110f e =->，且函数()/f x 图像在()0,+∞上不间断，∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，结合函数()f x '在()0,+∞是增函数有：x()00,x 0x ()0,x +∞） ()/f x-0 +()f x递减极小值()0f x递增∴函数()f x 存在极小值()0f x ； （Ⅲ），使得不等式0x e mlnx x x--≤成立，即，使得不等式x m e xlnx ≥- 成立……（），令()xh x e xlnx =-，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()()/1xh x e lnx f x =--=，∴结合（Ⅱ）得()()0001x min h x f x e lnx ⎡⎤==-'-⎣⎦，其中01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()00f x '=，即0010x e x -=，∴001x e x =，00x lnx =-，∴()0000111110x min h x e lnx x x ⎡⎤=--=+->=>⎣'⎦， ∴1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()0h x '>，∴()h x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内单调递增，∴()1122111122222minh x h e ln e ln ⎛⎫⎡⎤==-=+ ⎪⎣⎦⎝⎭，结合（）有12122m e ln ≥+，即实数m 的取值范围为1212,2e ln ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭．20．已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为2d 的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =．（1）若516S =，45a a =，求12a ；（2）已知15815S a =，且对任意*n ∈N ，有1n n a a +<恒成立，求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若()12150d d d =≠，且存在正整数(),m n m n ≠，使得m n a a =．求当1d 最大值，数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）17；（2）证明求解析；（3）53,221,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数. 【解析】（1）利用题意列出方程组，求得1d 、2d 的值，据此可得12a 的值； （2）结合（1）的结论证得122d d ==，即可说明数列{}n a 是等差数列；（3）分类讨论n 的奇偶即可得到数列{}n a 的通项公式为53,221,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数. 【详解】（1）根据题意，有11a =，22a =，31111a a d d =+=+，42222a a d d =+=+，5111212a a d d =+=+，由54516S a a =⎧⎨=⎩，得12217316212d d d d ++=⎧⎨+=+⎩，解得1223d d =⎧⎨=⎩，因此，1022525317a a d =+=+⨯=； （2）证明：当n 为偶数时，1n n a a +<恒成立，2121122n n d d ⎛⎫∴+-<+ ⎪⎝⎭，()212102nd d d ∴-+-<，210d d ∴-≤且21d >， 当n 为奇数时，1n n a a +<恒成立，121112122n n d d -+⎛⎫∴+<+- ⎪⎝⎭， ()()12120n d d ∴--+>，120d d ∴-≤，12d d ∴=，15815S a =，1228776814304522d d d ⨯⨯∴+++=+，122d d ∴==， n a n ∴=，则11n n a a +-=，因此，数列{}n a 是等差数列；（3）若()12150d d d =≠，且存在正整数m 、()n m n ≠，使得m n a a =，在m 、n 中必然一个是奇数，一个是偶数， 不妨设m 为奇数，n 为偶数，m n a a =，12112122m n d d -⎛⎫∴+=+- ⎪⎝⎭， 125d d =，15031d m n ∴=--，m 为奇数，n 为偶数，53m n ∴--的最小正值为2，此时15d =，21d =，因此，数列{}n a 的通项公式为53,221,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列通项公式的求解，考查计算能力，属于中等题.。
2020高考数学最后一课
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高考数学考前最后一课
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知识整理
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应试策略
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解答题策略 1。数列解答题 （1）求通项公式常用方法 明确等差等比的用基本量构造方程求解 给Sn求an的就结合分段关系分两步处理 给递推关系的常用累加累乘法，构造数列法等 （2）求前n项和Sn常用方法 明确等差等比的用公式法 等差乘以等比的用错位相减法 分母可看成等差数列相邻两项的成绩时用裂项相消法 还有分组求和法（实际是多种方法综合考查）
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• 分秒不让，分段得分！
• 考场上要合理分配时间，对于易题、会题 要快速反应，书写尽量完整.
• 一般情况下：解答题的前三题往往比较容 易点，解答时，不要刻意追求速度，要一 次成功，不出错；后两题要分难易（凭直 觉)，先易后难，最忌讳每题思考3、5分钟， 前后翻来覆去，将时间白白浪费.
• 对一道疑难问题，特别是压轴题，确实啃不动 时，一个明智的解趣策略是：将它划为几个子 问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分， 即能解决什么程度就解决到什么程度，能演算 几步就写几步，每进行一步都可能得到这一步 的有效分数.
• 既使不能全部做出，也要尽可能性细致，尽可 能规范地写出解题步骤，列出解题所用的公式、
• 原理及基本思路，争取多得分，如果没有做出 完整的答案，也不要轻易划掉，因为阅卷时是 分步给分.另外对于一题多问时，如果前一小 题不会，你可以用前一小題的结论解决后面各 题的结论，这样阅卷时扣分只扣前一小题的相 应分值.
填空题备忘：
• 1.定义域、值域、不等式的解集，取值范围的表达 形式，注意端点.
• 2.函数的解析式，数列的通项公式为;解析式为要写 定义域.
• 3.单调区间，区间的形式，注意三角函数的定义域， • 4.圆锥曲线的标准方程，准线，渐近线的形式，直
线方程. • 5.表面积，体积要不要写上单位.算法的计算，关注
• 答案写到答题卡上，注意不能错位，有疑惑的 题目上做个记号.
解答题备忘
• 解答题答题过程中，不刻意追求速度，胆 大心细.
• 对于三角、向量、解三角形综合的一题， 立体几何，应用题，读完题目，要先设计 一下求解思路，再下笔求解，若一时受阻， 要再读题，看看是否有条件没注意到，若 运算较繁，一是检査有没有算错，二是换 一种思路求解，还不能解决，这时也不要 慌，先放一放，继续向后做，千万不要较 劲。
19、20压轴题
• 需要思维的严谨性、说理的条理性。
• 函数综合题，引导作答需要辅助图形支持 才能走的更远，结论的得出应根据严谨的 推理得出，注意特殊值、因式分解的协同 性，注意检验极值。
• 复杂数列综合题：求证等差等比数列问题 时，要严格按照定义或者中项。注意特殊 情况的贡献，构造新式时注意n范围。
• 最后十五分钟或十分钟，用于检査前面己做好但把 握性不大的题目的检査.采用这样的整体把握策略， 就会避免出现前松后紧、虎头蛇尾的现象.
• 在考试过程中，经常会遇到自己觉得容易 解决而实际操作又一时解决不了的问题.欲 行不能，欲罢不忍，时间不知不觉溜过去 了.
• 不能和题目过不去、与它较劲儿，也可以 暂时先放它一码，向后做，等易解决的问 题解决之后再来仔细考虑。切忌在一道题 上浪费太多时间，这样会使后面可能得到 的分数因为没有时间做而痛心丢掉.
压轴题一定要切块分小题作答！
最后的提醒：
• 对绝大部分同学来讲，压轴题（包括填空 第14题）不要整题不做，或对最后一题看 都不看一眼，最后一题对你来讲不一定就 是最难的题。放弃的永远是相对来说翘尾 巴的某些小问、小题。
祝我们考的最好！
“胆大心细，沉着应战 ”
规范 谨慎 算准 明道
4
近几年解答题得分分析
年份 均分 第15题 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题
2014 44.71 11.55 12.55 7.60 5.50 4.90 2.61
2015 45.34 12.06 11.86 7.63 7.22 4.66 1.90
2016 47.05 11.99 10.96 9.69 7.06 4.50 2.85
高三数学
最后一讲（内部讲稿）
规范 谨慎 算准 明道
2020年7月4日
临场策略第一感觉不会做 的试题了？
• 考场上有一个平常、平静而自信的心态是 考试成功的必要条件，把髙考当作一次平 时的练习考试.
近几年整卷得分分析
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
I 卷 96.34 95.55 98.22 96.72 99.58 100+
难度系 数
0.602
0.597
0.614
0.605
0.622
0.64+
填空 51.63 50.21 51.17 51.88 51.61 52+
解答 44.71 45.34 47.05 44.84 47.97 49+
II 卷 28.11 23.78 24.38 23.67 25.4
5 3 28
201 7
5 6 5 5 94
5 2 27
45 28
20
201 8
6 3 2 4 88
4 3 27
201 9
4 4 2 3 89
4 4 28
不要给自己定一个理想的分数线
• 许多考生在高考前都有一个“我要考多少” 的计划，但由于试卷的难度、个人对试卷 的适应程度等诸多不确定因素，我们无法 料到高考你能考到多少分.如果带着这个心 理去看考题，考题的难易程度一旦和心理 预期矛盾，就会在心理上给答题带来重大 影晌，所以不要带着分数计划进入考场， 顺其自然才能水到渠成.
应用题
• 应用题命制依托于实际情境，解答时应有 必要的文字说明。解答时要注意单位统一， 注意研究图形、求导完要明确写出驻点、 单调性等。要检验是否符合实际情况，解 答结束要根据实际问题作答。
解析几何题
• 解答解析几何试题时，特殊情形要单独说 明。运算、变形过程要完整细致，不可出 现假证现象。
• 做好运算有一定难度的准备注意判别式书 写，舍得花时间，若某一步的表达式非常 繁，这时要检査一下，思路是否可行，换 一种思路思考，再做一做.解析几何的两种 常用思路：设点，设直线，弄清这两种思 路求解的基本步骤.
• 考试时应充分利用答卷前的时间，拿到试卷，先大 体浏览一下试卷，对试卷各题的难易程度有个全面 的、初步的了解.熟悉试卷后，心里就有了数，而不 是拿到试卷就赶紧翻后面的解答题.发现难题不要惊 慌，因为髙考毕竟是选拔性的考试，有难题是很正 常的事，有难题甚至做不出的题目也是在意料之中 的，不必紧张，要想到：“我不会做，那好多人也 未必会做”，一定要稳定心态.然后集中大量时间用 于审题、答题.
填空答题策略
• 若所求的对象是集合，则答案必须以集合 的形式呈现：若求函数的定义域和值域， 则要将结果写成集合或区间的形式。单调 增减区间只能写区间不能并。若求圆的标 准方程，则不能写成一般方程；若所求值 为分式或分数，则要化为最简形式：填空 书写要清晰规范，不得潦草、模糊，要便 于阅卷教师评判辨认（潜意识会潦草）。
三角向量题
• 三角向量解答题作答时过程要完整，原始 公式、变形过程、数据代入、结果呈现， 要环环相扣；推理过程要严谨规范，符号 取舍时要说理清晰，不能凭感觉简单随意： 确定一个角的值时，要结合角的范围进行 “三段论”.
立体几何题
• 作答立体几何试题时，每个结论的得出要 有理有据，不得含糊；每个逻辑段的推理 条件要完备，缺一不可；前后逻辑段的联 系要紧密，无关信息不得混入；过程书写 要清晰，重要结论不可出现笔误！
2017 44.84 12.84 10.75 9.33 6.25 4.30 1.37
2018 47.97 12.40 12.26 7.30 7.62 5.53 2.86
2019 49+ 1313+ 10+ 553+
容易题分值
1～ 9
15,1 6
17
18
19
20 I卷
21
22
23
II 卷
201 6
4 4 2 2 85
题中的着重号标志， • 6.字母参数的取值范围，特殊字母的取值范围.
• 前10题中若有个别趣目第一感觉做不出来，再 想想、读读题目，换一个角度再思考（从数、
• 从形，从特值等)，还想不到，可以先放一放， 做个记号.
• 11,12, 13题要有心理准备，稍微中档难一点， 14题有可能有一定难度，不妨再读一读题目， 若无从下手，可以先放一放！