初中数学重点梳理：函数及其图像

函数及其图像
知识定位
函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体，因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐，成为近几年各地竞赛的热点问题之一．另外，函数中尤其以二次函数最为重要，综合性最强，对学生思维要求更高。

本文拟对函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括，仅供大家参考．
知识梳理
知识梳理1：正反比例函数及一次函数
反比例函数和一次函数在竞赛中的考查通常会把函数图像和性质跟整数解问题、图形面积问题、动点构成的等腰三角形、直角三角形相结合，往往综合性较强，难度较大。

需要我们对函数图像，常见典型问题进行总结，对它们有比较深的认识，才能游刃有余地解决各类问题。

知识梳理2：二次函数
1、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题
抛物线y=ax 2+bx+c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a>0向上，a<0向下；常数项c 描述抛物线与y 轴的交点(0，c)，c>0时交点处x 轴上方，c<0时交点处x 轴的下方，c=0时时处原点；由对称轴公式x=－
a
b
2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b 2－4ac 大于0，等于0或小于0，决定抛物线和x 轴交点的个数，等等．
上面性质反之亦成立．我们还可以通过考察如x=±1时y 的值的情况，来确定a±b+c 等的符号问题．
2、二次函数与整数问题
二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a 、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．
3、二次函数的最值问题
定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在
顶点处取得一个最值，否则不存在最值．
4、二次函数的图象与面积问题
求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立联系．
5、二次函数及其图像的应用．
有些方程及不等式等有关问题，直接求解十分困难，若能构造二次函数关系，借助函数图像使之形象化，直观化，以形助数，会简化求解过程．
例题精讲
【试题来源】
【题目】已知一次函数y= kx + b，kb＜0，则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有_____ 个，即第________象限。

【答案】
2，一，四
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）个
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
【答案】D
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】无论k为何值，一次函数（2k－1）x－（k－3）y－（k－11）=0的图像必经过定点（）
A．（0，0）B．（0，11）C．（2，3）D．无法确定【答案】C
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）
（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个
【答案】C
【解析】
共6个，故选C
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】一个一次函数图象与直线
595
44
y x
=+
平行，•与x轴、y轴的交点分别为A、B，
并且过点（-1，-25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）．
（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个【答案】B
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】设直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S3+…+S2014的值是_______．
【答案】
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】甲、乙二人在如图所示的斜坡AB 上作往返跑训练． 已知：甲上山的速度是a 米/分，下山的速度是b 米/分，（a ＜
b ；乙上、
山的速度是1
2a 米/分，下山的速度是2b 米/分．如果甲、乙二人同时从点A 出发，时间为t
（分），离开点A 的路程为S （米）．那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A 出发后的时间t （分）与离开点A 的路程S （米）之间的函数关系的是（ ）
【答案】C
【解析】
【知识点】函数及其图像 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
（A ） t （分） S （米）
O （B ） t （分） S （米）
O
（C ）
t （分）
S （米）
O
（D ）
t （分）
S （米）
O
【题目】由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？【答案】正方形 2
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（）
A、1
B、2
C、3
D、4
【答案】B
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图所示，点A是双曲线y=（x＞0）上的一动点，过A作AC⊥y轴，垂足为点C，作AC的垂直平分线双曲线于点B，交x轴于点D．当点A在双曲线上从左到右运动时，四边形ABCD的面积（）
A、逐渐变小
B、由大变小再由小变大
C、由小变大再有大变小
D、不变
【答案】D
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、
P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P3A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S1+S2+S3+S4+S5的值为（）
A、2
B、
C、3
D、
【答案】B
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数
y=（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，
点A在第一象限，过点A的双曲线为．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．
（1）当点O´与点A重合时，点P的坐标是_________；
（2）设P（t，0），当O´B´与双曲线有交点时，t的取值范围是_________．
【答案】（1）（4，0）（2）【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如图所示，点A1，A2，A3在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3，分别过点A1，A2，
A3作y轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1，C2，C3，连
接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为_________．
【答案】
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】阶段测验
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有一系列点A1、A2、A3、…、An、An+1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1=_________，
S1+S2+S3+…+Sn=_________．（用n的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】阶段测验
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】将x1=代入反比例函y=﹣中，所得的函数值记y1，x2=y1+1代入反比例函y=
﹣中，所得的函数值记y2，x3=y2+1代入反比例函y=﹣中，所得的函数值记y3，…，
xn=yn﹣1+1代入反比例函数y=﹣中，所得的函数值记为yn（其中n≥2，且n是自然数），如此继续下去．则在2005个函数值y1，y2，y3，…，y2005中，值为2的情况共出现了
_________次．
【答案】668
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，
P2005在反比例函数y=图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行
线，与y=的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005=_________．
【答案】2004.5
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】3
【试题来源】
【题目】对
22
ab,a b
≠≠，二次函数()()
y x a x b
=--
的最小值为（）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知二次函数
2
y ax bx c
=++图象如图6-2所示，则下列式子：ab，ac，a+b+c，
a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子共有个. 【答案】2
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】3
【试题来源】
【题目】函数
2
24
1
y
x x
=+-
的最小值是．【答案】-1
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】设x为实数，则函数
2
2
365
1
1
2
x x
y
x x
++
=
++
的最小值是【答案】4
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
如图，抛物线C1：y=x2-4x的对称轴为直线x=a，将抛物线C1向上平移5个单位长度得到抛物线C2，则图中的两条抛物线、直线x=a与y轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为。

【答案】10
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知抛物线
()
211
y x k x
=+++
与x轴两个交点A、B不全在原点的左侧，抛物线
顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为＿＿＿＿＿＿＿【答案】-5
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】4
【试题来源】
【题目】在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数
2
1
2
y x x
=++
的函数值中整数的个
数是( )
A.59
B.120
C.118
D.60 【答案】B
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线
2
122
m m
y x x
m m m
--
=+-
在平
面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为【答案】
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，点、、在直线上，点、、、在直线上，若，从如图所示的位置出发，沿直线向右匀速运动，直到与重合．运动过程中与矩形重合部分的面积随时间变化的图象大致是（）
【答案】B
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a是正整数)的图象经过点A(－1，4)与点B(2，1)，且与x轴有两个不同的示点，则b+c的最大值为．
【答案】-4
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】当|x+1|≤6时，函数y=x|x|－2x+1的最大值是．
【答案】16
【解析】由|x+1|≤6，得－7≤x≤5，当0≤x≤5时，y=x2－2x+1=(x－1)2，此时y最大值=(5－1)2=16．当－7≤x<0，y=－x2－2x+1=2－(x+1)2，此时y最大值=2．
因此，当－7≤x≤5时，y的最大值是16．
说明：对于含有绝对值的二次函数，通常是先分区间讨论，去掉绝对值符号，求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．
【答案】
【解析】
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如果y=x2－(k－1)x－k－1与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么△ABC的面积的最小值是（）
A、1
B、2
C、3
D、4
【答案】A
【解析】
【知识点】函数及其图像 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图所示，二次函数
2
y ax bx c =++（a ≠0）的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为
1
x 、
2
x ，其中－2＜
1
x ＜－1，0＜
2
x ＜1，下列结论：①
；②
；③a ＜－1；④.其中正确的有：（ ） A 、
1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
【答案】D
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数
()
233 y x a x
=+-+
的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是．【答案】
【解析】
根据题意,应分为两种情况讨论,
(1)当二次函数顶点在x轴下方,
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知关于正整数n的二次式y=n2+an(a为实数)，若当且仅当n=5时，y有最小值，则实数a的取值范围是．
【答案】
【解析】
【知识点】函数及其图像 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知二次函数y=x2－x －2及实数a>－2．求： (1)函数在－2<x≤a 的最小值； (2)函数在a≤x≤a+2的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】函数y=x2－x －2的图象如图所示．
(1)若－2<a<21
，
当x=a 时，y 最小值=a2－a －2
若a≥21，当x=21
时，y 最小值=－49．
(2)若－2<a 且a+2<21
，即－2<a<－23，当x=a+2时，y 最小值=(a+2)2－(a+2)－2=a2+3a ，若a<21≤a+2，即－23≤a<21，当x=21
时，y 最小值=－49．
－2 －1 1 2 0 x
y
·
4
9
21(
若a≥21
，当x=a 时，y 最小值=a2－a －2．
【知识点】函数及其图像 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知函数y=(a+2)x2－2(a2－1)x+1，其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 为何值时，函数值最小． 【答案】
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），AB⊥x轴，垂足为点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线AB交于点P，抛物线的顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；并求出此时抛物线的解析式．
（3）在②前提下，在直线AB上是否存在点N，使△PMN是等腰三角形？若存在，直接写出满足条件的N点坐标；
（4）探究：当线段PB最短时，在相应的抛物线上是否存在点Q（与P不重合），使△QMA 的面积与△PMA的面积相等？若存在，直接写出满足条件的点Q的坐标．
【答案】
y=2x
(4)
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】5
【试题来源】
【题目】为了描点作出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,取自变量的7个值:
x1<x2<x3<….<x7,且x2-x1=x3-x2=….=x7-x6,分别算出对应的y的值,列出下表:
x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个y值,请指出算错的是哪一个值?并说明理由.
【答案】y6
【解析】
【解析】因为x 的值是等间隔增加,则求出相邻两数的差,以及再求相邻两组差的差,应该相等. 【知识点】函数及其图像 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】设抛物线
()25
2124y ax a x a =++++
的图象与x 轴只有一个交点，（1）求a 的
值；（2）求186
323a a -+的值.
【答案】（1） (2)5796
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】4
【试题来源】
【题目】已知函数为方程的两个根，点在函数的图象上．
（Ⅰ）若，求函数的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；
（Ⅲ）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）（2）
（3）
【解析】
【知识点】函数及其图像【适用场合】当堂例题【难度系数】5
【试题来源】
【题目】如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB 的点E的坐标.
【答案】a = 1，b = 3，k = 4
【解析】（1）因为点A（1，4）在双曲线上，
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.
设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有
解得，.
于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故
，整理得，
解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．
因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得
…………
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.
设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）. 因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.
（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.
（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（2，）.
【知识点】函数及其图像
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.
（1）求证：∠=∠；
（2）若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线
PQ的函数解析式.
【答案】分别过点作轴的垂线，垂足分别为.
设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.
设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为,.由
得，
于是，即.
于是
又因为，所以.
因为∠∠，所以△∽△，
故∠=∠.
（2）
直线的函数解析式为.
【解析】如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.
设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.
设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为,.由
得，
于是，即.
于是
又因为，所以.
因为∠∠，所以△∽△，
故∠=∠.
（2）设，，不妨设≥>0，由（1）可知
∠=∠，=，=，。