电子科技大学组合数学-2002答案
2002-数一真题、标准答案及解析
于是 ，与题设 f ( x) 在 (0, +∞) 内有界矛盾，故 lim f ' ( x) = 0 x→+∞
（4）设有三张不同平面的方程 ai1x + ai2 y + ai3z = bi , i = 1, 2, 3, 它们所组成的线性方程组的
系数矩阵与增广矩阵的秩都是 2，则这三张平面可能的位置关系为
但 lim f ' ( x) = lim cos x = 1 ≠ 0
x→0+
x→0+
进一步排除（C），故应选（B）.
【详解 2】
直接证明（B）正确，用反正法，由题设 lim f ' ( x) 存在，设 lim f ' ( x) = A ≠ 0, 不妨设 A > 0 ，
x→+∞
x→+∞
则对于 ε = A >0，存在 X > 0 ，当 x > X 时，有 2
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2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评
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λ − a −2 −2 λE − A = −2 λ − a −2
−2 −2 λ − a
= ⎡⎣λ − (a + 4)⎤⎦ ⎡⎣λ − (a − 2)⎤⎦2
f ' (x)− A < ε = A.
2
即 A = A− A < f ' (x) < A+ A ，
2
2
2
可见 f ' ( x) > A ，在区间[ X , x] 上应用拉格朗日中值定理，有
2
f ' ( x) = f ( X ) + f ' (ζ )( x − X ) > f ( X ) + A ( x − X )
电子科大试题2002级计算机原理本科考题-A答案
电子科大试题2002级计算机原理本科考题-A答案２００２年《计算机组成原理》试题Ａ答案一、单项选择题（从每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，将其号码填入题干的括号内。
每小题２分，共１０分）1、在原码不恢复余数除法中，若本步操作商1，则下步操作（②）。
①将余数左移一位加除数②将余数左移一位减除数③将余数右移一位加除数④将余数右移一位减除数2、微程序存放在（③ ）。
①堆栈中②主存中③ＣＰＵ中④磁盘中3、扩展同步总线（④ ）。
①无时钟周期划分②无总线周期划分③允许时钟周期长度可变④允许总线周期长度可变４、总线主设备是指（① ）。
①掌握总线权的设备②主要的设备③发送信息的设备④接收信息的设备５、为了禁止某个设备申请中断，ＣＰＵ应该（④ ）。
①关中断②开中断③设置屏蔽位为０④设置屏蔽位为１二、多项选择题（从每小题的四个备选答案中选出所有正确答案，将其号码填入题干的括号内。
每小题３分，共１５分）１、为了缩短指令中整个地址字段的长度，可采用（② ③ ④）。
①立即寻址②寄存器寻址③寄存器间址④隐地址２、在异步控制方式中，（① ② ③）。
①按需分配时间②采用异步应答方式③总线传送时间可变④指令执行时间可变３、DMA 方式的特点包括（① ③④）。
①具有随机性②能够处理复杂的事件③CPU和I/O设备可在一定程度上并行操作④用硬件实现传送４、在接口中，常将外围设备的工作状态抽象为三种状态，即（①③ ④）。
①空闲②询问③忙④完成５、可以按随机存取方式工作的存储器有（① ② ④）。
①ＲＡＭ②ＲＯＭ③堆栈④高速缓存三、简答题（每小题５分，共２５分）１、试比较组合逻辑控制方式和微程序控制方式的优缺点。
答：组合逻辑控制方式的优点：产生微命令的速度较快；缺点：设计不规整，设计效率较低，不易修改、扩展指令系统功能。
微程序控制方式的优点：设计规整，易于修改、扩展指令系统功能，可靠性高，性价比高；缺点：速度慢，执行效率不高。
２、动态存储器采用哪种刷新方式可以既不产生明显死区，又不影响存取周期？这种方式如何安排刷新周期？答：异步刷新方式。
电子科技大学组合数学 考题答案---习题55
习题五1．对1*n 棋盘的每个正方形用红或蓝两种颜色之一着色。
设a n 表示没有任何两个着红色的正方形是相邻的着色的方式数。
求a n 所满足的递归关系并解之。
解：设a n 表示1*n 棋盘中无任何两个着红色的方格是相邻的着色个数，则对第一个方格有两种着色方式：a.对第一格着蓝色，则在其余的n-1个方格中无任何两个着红色的方格的着色数为 a n -1.b.对第一格着红色，在第二格只能着蓝色，则在剩下的n-2个方格中无任何两个着红色的方格的着色数为a n -2。
显然有a 1=2，a 2=3，由加法法则得递推关系式12122,3n n n a a a a a --=+⎧⎨==⎩ 特征方程为012=--x x特征根2511+=x ,2512-=x通解n n n c c a )251()251(21-⨯++⨯= 由初始条件有:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯++⨯=-⨯++⨯3)251()251(2251251222121c c c c 故有： a n =])251()251[(5122++--+n n 2．如果用a n 表示没有两个0相邻的n 位三元序列（即有0，1，2组成的序列）的个数。
求a n 所满足的递归关系并解之。
解：对n 位数的第一位数有三种选择方式:1)第一位选1，则在剩下的n-1位数中无两个0相邻的个数为a n -1;2)第一位选2, 则在剩下的n-1位数中无两个0相邻的个数为a n -1,3)第一位选0,则在第则在第二位又有两种选择方式，(1)第一位选1，则在剩下的n-2数中无两个0相邻的个数为a n -2;(2)第一位选2，则在剩下的n-2数中无两个0相邻的个数为a n -2 显然有 a 1=3,a 2=8由加法法则得⎩⎨⎧==≥+=--8,3)3(222121a a n a a a n n n特征方程 x 2-2x-2=0特征根为x 1=1+3,x 2=1-3通解为 a n =c 1(1+3)n +c 2(1-3)n 由初始条件有 ⎩⎨⎧=-++=-++8)31()31(3)31()31(222121c c c c 所以，a n =1/6[(3+23)(1+3)n +(3-23)(1-3)n ]3．有一个楼梯共有n 阶，一个人要从这个楼梯上去，他每一步跨上一阶或两阶。
电子科技大学组合数学考题答案-容斥原理
A2............................ 6个c.......................... ..... ...... .....。
A3.............................8个d..................................... .....。
K=n+1时
D2(n+1)-1=D2n+1=(2n+1-1)(D2n+D2n-1)=2n(D2n+D2n-1)为偶数。
D2(n+1)=D2n+2=(2n+2-1)(D2n+1+D2n)=奇数（偶数+奇数）=奇数。
命题也成立。则由数学归纳法原理原命题成立。
3.19a.从S={1,2,3,...,n}中选取k个元素，且无相邻两数，求不同的选取法。
个。
对n个顶点都如此考虑之后，我们将得到X= 个满足要求的k边形。又注意到k边形有k个顶点，所以同一个k边形必在X中被计算了k次，因此满足要求的k边形数有
个。
3.19．在一个宴会上，有n(n 3)对夫妇围圆桌就坐，在男女交替，夫妻不相邻的条件下有多少种就坐方式。
解：我们先让n位女士间隔就坐，并把她们按顺时针方向编号为1，2，...
由容斥原理有，
其中S表示{1，2，…..,8}的所有全排列的集合，故有
而 表示2和4均在自然位置上的全排列的集合，
故
同理，
类似的有
,代入公式得
：本题用有禁区棋盘来解更简单。
3.14.求由数字1，2，….8所组成的全排列中，恰有4个数在其自然位置上的全排列个数。
组合数学考试题附答案2
组合数学试题 共 4 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14：30 至 16：30 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 卢光辉，张先迪 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2006 年 12 月 2 日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题（每空2分，共22分）1．食品店有三种不同的月饼（同种月饼不加区分），第一种有5个，第二种有6个，第三种有7个， (1) 从中取出4个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ； (2) 从中取出6个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ；（3）若将所有的月饼排在一个货架上，则排法数有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。
（4）若将所有的月饼装在三个不同的盒子中，盒内有序（即盒内作线排列），盒子不空，则不同的装法数又有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。
2．棋盘C 如图1所示，则棋子多项式R (C ) =3．设有足够多的红球、黄球和绿球，同色球不加区分，设从中无序地取出n 个球的方式数为a n ，有序地取出n 个球的方式数为b n ，但均需满足红球的数量为偶，黄球的数量为奇，则(1) 由组合意义写出的{a n }的普通母函数为 ；求和后的母函数为 。
(2)由组合意义写出的{b n }的指数母函数为 ；求和后的母函数为 。
4．（1） 将6个无区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。
学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………图1题……………无效…组合数学试题 共 4 页 ，第 2 页（2）将6个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。
（已知将5个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为25）二、（14 分） 给定重集B = {3·A , 3·B , 4·C ,10·D }。
2002考研数学一真题及答案解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)⎰∞+exx dx2ln =.(2)已知函数()y y x =由方程0162=-++x xy e y 确定,则(0)y ''=. (3)微分方程02='+''y y y 满足初始条件0011,'2x x yy ====的特解是.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换x Py =可化成标准型216y f =,则a =.(5)设随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为12,则μ＝ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续; ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ③),(y x f 在点),(00y x 处可微;④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ,则有(A ) ②⇒③⇒①. (B ) ③⇒②⇒①. (C ) ③⇒④⇒①.(D ) ③⇒①⇒④.(2)设0(1,2,3,)n u n ≠=L ,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑ (A ) 发散. (B ) 绝对收敛.(C ) 条件收敛.(D ) 收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,则 (A ) 当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(B ) 当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(C ) 当0lim ()0x f x +→=时,必有0lim ()0x f x +→'=. (D ) 当0lim ()x f x +→'存在时,必有0lim ()0x f x +→'=.(4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b ++=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则(A ) 1()f x ＋2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (B ) 1()f x 2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (C ) 1()F x ＋2()F x 必为某一随机变量的分布函数. (D ) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分) 设函数)(x f 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f '≠≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与⎰-=x t dt e yarctan 02在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分dxdy e Dy x⎰⎰},max{22,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y ＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记2221[1()][()1],L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰(1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数333369()1()3!6!9!(3)!n x x y x x n =++++++-∞<<+∞L L 满足微分方程x e y y y =+'+'';(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy 坐标面,其底部所占的区域为2{(,)|D x y x =275}y xy +-≤,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D 的边界线2275x y xy +-=上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ,4321,,,αααα均为4维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=,如果4321ααααβ+++=,求线性方程组β=Ax 的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为10,cos ,()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.对X 独立地重复观察４次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分)其中1(0)2θθ<<是未知参数,利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】 原式2ln 11.ln ln eed x x x+∞+∞==-=⎰(2)【分析】 方程两边对x 两次求导得'6'620,y e y xy y x +++=① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=②以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得''(0) 2.y =-(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy=== 代入方程得20dP yPP dy +=,即0dPy P dy +=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==). 分离变量得0,dP dy P y+= 积分得ln ln ',P y C +=即1C P y=(0P =对应10C =); 由0x =时11,',2y P y ===得11.2C =于是又由01x y==得21,C =所求特解为y =(4)【分析】 因为二次型TxAx 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.又因iiia λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=(5)【分析】 设事件A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=>4}.依题意,有1(){4}.2P A P X =>=而 4{4}1{4}1(),P X P X μΦσ->=-≤=-即414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ----===⇒=二、选择题(1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).(2)【分析】 由1lim 101n n un n →+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时10n u >,且1lim 0,n nu →+∞=不妨认为,0,n n u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1nu 的单调性. 按定义考察部分和111111111111(1)()(1)(1)nn nk k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑1111111(1)11(1)1(1)(),k n nn l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑⇒原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()n nn u u ∞=++∑.注意111112,11nn n n u u n n n u u n n++++=+⋅→+ 11n n ∞=∑发散⇒1111()n n n u u ∞=++∑发散.因此选(C ).(3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞'=≠,则由拉格朗日中值定理,(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M -≤+≤矛盾(()).f x M ≤(4)【分析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.(5)【分析】 首先可以否定选项(A )与(C ),因121212[()()]()()21,()()112 1.f x f x dx f x dx f x dx F F +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=≠+∞++∞=+=≠⎰⎰⎰对于选项(B ),若121,21,1,01,()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞ 12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞=≠⎰因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).进一步分析可知,若令12max(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰是12()().F x F x1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=及(0)0f '≠,则有20a b +=. 综上,得2, 1.a b ==-四、【解】 由已知条件得(0)0,f =22arctan arctan 02'(0)()'1,1xx t xx x e f e dt x --=====+⎰故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示2222,,max{,}(,),,,x x y x y x y D y x y ⎧≥⎪=∈⎨≤⎪⎩于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥U I I⇒I 222212max{,}max{,}xy xy D D e dxdy e dxdy =+⎰⎰⎰⎰2221212x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D 关于y x =对称)2102xx dx e dy =⎰⎰(选择积分顺序)221102 1.x xxe dx e e ===-⎰六、【分析与求解】(1)易知Pdx Qdy +∃原函数,2211()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y+=++-=-++ 0()()()[()].xy x xd f xy d xy d f t dt y y =+=+⎰⇒在0y >上Pdx Qdy +∃原函数,即0(,)()xy xu x y f t dt y =+⎰. ⇒积分I 在0y >与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得(,)(,)(,).c d a b c a I u x y d b==-七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数3693()13!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++L L的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得25831'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-L L ,4732''()4!7!(32)!n x x x y x x n -=+++++-L L ,所以2'''12!!nx x x y y y x e n ++=+++++=L L ()x -∞<+∞.(2)与'''xy y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,其特征方程为210λλ++=,特征根为1,212λ=-±.因此齐次微分方程的通解为212(cossin )22x Y eC x C x -=+. 设非齐次微分方程的特解为xy Ae *=,将y *代入方程'''xy y y e ++=可得13A =,即有13x y e *=.于是,方程通解为2121(sin )3xx y Y y eC x C x e -*=+=++. 当0x =时,有112121(0)1,23,0.311'(0)0.223y C C C y C ⎧==+⎪⎪⇒==⎨⎪==-++⎪⎩于是幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数为221()33x x y x e x e -=+()x -∞<+∞八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向0000(,)(,)0000(,){,}{2,2}x y x y h h h x y x y y x x y∂∂==-+-+∂∂grad方向导数取最大值即00(,)(,)x y h x y grad 的模,00(,)g x y ⇒=(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件22750x y xy +--=下的最大值点⇔22222(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-在条件22750x y xy +--=下的最大值点.这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数 2222(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--则有 22108(2)0,108(2)0,750.L x y x y x L y x y x yL x y xy λλλ⎧∂=-+-=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=+--=⎪∂⎩解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=⇒=-或 2.λ=-若y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=m 若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式得275x=即x y =±=±于是得可能的条件极值点1234(5,5),(5,5),(M M M M ----现比较222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:1234()()450,()()150.f M f M f M f M ==== 因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2(,)g x y 在12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.九、【解】 由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由123412312(,,,)2010ααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T- 再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知,(1,1,1,1)T 是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.十、【解】(1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1,P AP B -=故 111E B E P AP P EP P AP λλλ----=-=-11().P E A P P E A P E A λλλ--=-=-=-(2)令0100,,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么2.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使10P AP B -==.从而100A P P -==,矛盾,亦可从()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλL 则有A 相似于1,n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O B 也相似于1.n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 即存在可逆矩阵,P Q ,使111.n P AP Q BQ λλ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 于是111()().PQ A PQ B ---=由1PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.十一、【解】 由于311{}cos ,3222x P X dx πππ>==⎰依题意,Y 服从二项分布1(4,)2B ,则有2222111()()4(4) 5.222EY DY EY npq np =+=+=⨯⨯+⨯= 十二、【解】 22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(3).4EX θ=- θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8x =+++++++ 2.=因此θ的矩估计值11ˆ(3).44x θ=-= 对于给定的样本值似然函数为624()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-2ln ()62824286.112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=---- 令ln ()0d L d θθ=,得方程2121430θθ-+=,解得712θ-=(1,2θ=>不合题意). 于是θ的最大似然估计值为ˆθ=。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题3
习题三（递推关系）1．解下列递推关系：（1）120171000,1n n n a a a a a ---+=⎧⎨==⎩ （2）12016900,1n n n a a a a a --++=⎧⎨==⎩ （3）20100,2n n a a a a -+=⎧⎨==⎩ （4）120121n n n a a a a a --=-⎧⎨==⎩ （5）123012990,1,2n n n n a a a a a a a ---=+-⎧⎨===⎩ 解：（1）对应的特征方程为：27100x x -+=，解得122,5x x ==。
所以齐次递推方程的通解为：25n n n a A B =+，代入初始条件，得：00a A B =+=，1251a A B =+=，解得：11,33A B =-=， 故 112533n n n a =-+。
（2）对应的特征方程为：2690x x ++=，解得：123x x ==-，所以，齐次递推方程的通解为：()(3)n n a A Bn =+-，代入初始条件，00a A ==，1()(3)1a A B =+-=，解得：10,3A B ==-，故1(3)3n n a n =--。
（3）对应的特征方程为：210x +=，解得：12,x i x i ==-，所以，齐次递推方程的通解为：()()n n n a A i B i =+-，代入初始条件，00a A B =+=，12a A i B i =-=，解得：,A i B i =-=，故 11()()n n n a i i --=+-。
（4）对应的特征方程为：2210x x -+=，解得：121x x ==，所以，齐次递推方程的通解为：n a A Bn =+，代入初始条件，01a A ==，11a A B =+=，解得：1,0A B ==，故 1n a =。
（5）对应的特征方程为：32990x x x --+=，解得：1231,3,3x x x ===-，所以，齐次递推方程的通解为：3(3)n n n a A B C =++-，代入初始条件，00a A B C =++=，1331a A B C =+-=，2992a A B C =++=， 解得，111,,4312A B C =-==-，故 1113(3)412n n n a -=-+--2．求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。
2002考研数学真题+答案
c
d
c a c a f (t )dt f (t )dt f (t )dt ， d b ab d b ab bc
2002 年 • 第 3 页
bc
cd
cd
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2002 年数学试题参考解答及评分标准
cd
当 ab cd 时，
ab
f (t )dt 0 ，由此得 I d b .
(1) 证明曲线积分 I 与路径 L 无关； (2) 当 ab cd 时，求 I 的值.
1 1 x 2 2 [1 y f ( xy)] f ( xy) 2 xyf ( xy) 2 [ y f ( xy) 1] 在 y y y x y 上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分 I 与路径无关.
D ( x, y) x 2 y 2 xy 75 ，小山的高度函数为 h( x, y) 75 x2 y2 xy ，
(1) 设 M ( x0 , y0 ) 为区域 D 上一点，问 h( x, y ) 在该点沿平面上什么方向导数最大？若 记此方向导数的最大值为 g ( x0 , y0 ) ，试写出 g ( x0 , y0 ) 的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登 的起点，也就是说，要在 D 的边界线 x2 y2 xy 75 上找出使（1）中的 g ( x, y ) 达到最 大值的点.试确定攀登起点的位置. 解：(1) 由梯度的几何意义知， h( x, y ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿梯度
x 0
1 ，故所求切线方程为 y x .
e
D
max{ x 2 , y 2 }
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题5
习题五（抽屉原理）1．证明：在边长为2的等边三角形中任取5点，至少有两个点相距不超过1。
证明：如图所示，将正三角形分成4个边长为1的小等边三角形，现在取5点，有4个小等边三角形，根据抽屉原理，则至少有两点落在同一个小等边三角形中，其距离不超过1。
2．在一个边长为1的正方形内任取9个点，证明以这些点为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形的面积不大于18。
证明：如图所示，将正方形分为4个边长为12的小正方形，现取9个点，则至少有三个点落在同一个小正方形中，以这三点为顶点的三角形的面积不大于121121218⨯⨯=⨯⨯=长高。
3．把从1到326的326个正整数任意分成5组，试证明其中必有1组，该组中至少有一个数是同组中某两个数之和，或是同组中某个数的两倍。
证明：用反证法。
设任何一组中的每一个数，它既不等于同组中另外两数之和，也不等于同组中另一数的两倍。
即任何一组数中任意两个数之差总不在该组中。
（1）由抽屉原理知，五组中必有一组其中至少有66个数，设为A 组。
从中取66个数，记为1266,,,a a a ，不妨设66a 最大， 令 (1)66,1,2,,65i i a a a i =-=，显然(1)1326i a ≤<，由假设知 (1)i a A ∉，故这65个数必在另外四组B 、C 、D 、E 中。
（2）由抽屉原理知，B 、C 、D 、E 四组中必有一组至少含有17个(1)i a ，设为B 组，从中取17个(1)i a ，记为1217,,,b b b ，同理不妨设17b 最大， 令 (1)171,2,,16i i b b b i =-=，显然(1)1326i b ≤<，且由假设知，(1)i b B ∉，又 (1)176666()()i i j k k j b b b a a a a a a A =-=---=-∉，所以这16个数(1)i b 必在C 、D 、E 中。
（3）由抽屉原理知，C 、D 、E 三组中必有一组至少含有6个(1)i b ，设为C 组，从中取6个(1)i b ，记为126,,,c c c ，同理不妨设6c 最大，令 (1)6i i c c c =-，1,2,,5i =，显然(1)1326i c ≤<，且由假设知(1)i c C ∉，又 (1)61717()()i i jk k j c c c b b b b b b B =-=---=-∉ (1)6666()()i k j n m m n c b b a a a a a a A =-=-----∉所以这五个数必在D 、E 组中。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数_版24样版
g ( x) (1 x x ....)( 1 x x ...)
3 6 4 8
(1 x 2 x 4 ....)( 1 x 5 x10 ...) 1 1 1 1 3 2 4 5 1 x 1 x 1 x 1 x
sfsf
15
2.1母函数
n
r C n , r x n 0
例 从n双互不相同的五指袜子中取出r只，要求没有任何两只是 成对的，共有多少种不同的取法？
r r C n , r 2 x 解：生成函数为: G( x ) (1 2 x)
n
n 0
sfsf
17
2.1母函数
例 某班有甲乙丙三个小组，人数分别为5，6，9。把5本相同的 书分给甲、乙、丙3个小组，再发到个人手上，每人最多发一本。 考虑将分给某组的某本书发给该组的同学A与将其发给同学B被 认为是不同的分法（每个同学最多一本），而且甲、乙两组最 少1本，甲组最多5本，乙组最多6本，丙组最少2本，最多9本， 问有多少种不同的分配方案？ 解：
5 6 9 4 5 6 9 5 6 9 5 6 9 5 1 1 2 x 1 1 3 1 2 2 2 1 2 x 5 6 9 20 5 6 9 x
sfsf
52
2.3指数型母函数
例、求1，3，5，7，9五个数字组成的n位数的个数（每个数 字可重复出现），要求1、3、7出现的次数一样多，5和9 出现的次数不加限制。求这样的n位数的个数。
sfsf
53
2.3指数型母函数
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题2
习题二（母函数及其应用）1．求下列数列的母函数(0,1,2,)n =（1）(1)n a n ⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；（2）{5}n +； （3）{(1)}n n -； （4）{(2)}n n +；解：（1）母函数为：00()(1)()(1)nn n a n n a a G x x x x n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑；（2）母函数为：22554()(5)5(1)1(1)nnn n n n x xG x n x nx x x x x ∞∞∞===-=+=+=+=---∑∑∑； ♦ 方法二：()()()001022()(5)14414111114541(1)1nnnn n n n n G x n x n x x x x x x x x x x ∞∞∞===∞+==+=++''⎛⎫=+=-+⎪---⎝⎭-=+=---∑∑∑∑ （3）母函数为：2323000222()(1)(1)2(1)(1)(1)nnnn n n x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞====-=+-=-=---∑∑∑； ♦ 方法二：()()()()()2202222002222023()(1)00121121nn n n nn n n n n G x n n x xn n xxn n x xx x x x x x x x ∞∞-==∞∞+==∞+==-=++-"=++=""⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=-∑∑∑∑∑（4）母函数为：232300023()(2)(1)(1)(1)(1)nnnn n n x x x x G x n n x n n x nx x x x ∞∞∞===-=+=++=+=---∑∑∑。
♦ 方法二：()()()()()()()()00212100023223()(2)1211111121111111131nnnnn n n n n n n n n n n n G x n n x n n x n x x x x x x x xx x x x x x x x x x x ∞∞∞∞====∞∞∞∞++++=====+=++-+-"'"'⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭"'⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪----⎝⎭--⎝⎭-=-∑∑∑∑∑∑∑∑2．证明序列(,),(1,),(2,),C n n C n n C n n ++ 的母函数为 11(1)n x +- 。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题4答案
习题四（容斥原理）1．试求不超过200的正整数中素数的个数。
解：因为2215225,13169==，所以不超过200的合数必是2,3,5,7,11,13的倍数，而且其因子又不可能都超过13。
设i A 为数i 不超过200的倍数集，2,3,5,7,11,13i =，则22001002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，3200663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，5200405A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，7200287A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 112001811A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，132001513A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，232003323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 252002025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，272001427A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2112009211A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 2132007213A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，352001335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，37200937A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 3112006311A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，3132005313A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，57200557A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 5112003511A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，5132003513A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，7112002711A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 7132002713A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，111320011113A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2352006235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 2372004237A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231120032311A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231320022313A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦ 2572002257A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251120012511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251320012513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 271120012711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，271320012713A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 21113200021113A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，3572001357A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，351120013511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦351320013513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，371120003711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，…， 235720002357A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦，…，23571113200023571113A A A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦， 所以 23571113200(1006640281815)(3320149713965533221)(6432211110111i i j i j k i j k lii ji j ki j k li j k l m i j k l m ni j k l mi j k l m nA A A A A A S A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A <<<<<<<<<<<<<<<=-+-+-+=-++++++++++++++++++++-+++++++++++++∑∑∑∑∑∑0)00041+-+=但这41个数未包括2,3,5,7,11,13本身，却将非素数1包含其中， 故所求的素数个数为：416146+-=2．问由1到2000的整数中：（1）至少能被2，3，5之一整除的数有多少个？ （2）至少能被2，3，5中2个数同时整除的数有多少个？ （3）能且只能被2，3，5中1个数整除的数有多少个？ 解：设i A 为1到2000的整数中能被i 整除的数的集合，2,3,5i =，则2200010002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，320006663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，520004005A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 23200033323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，25200020025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，35200013335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 235200066235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， （1）即求235A A A ++，根据容斥原理有：235235232535235()1000666400(333200133)661466A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-+++=（2）即求232535A A A A A A ++，根据容斥原理有：232535232535235235235235()333200133266534A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-⨯=（3）即求[1]N ，根据Jordan 公式有：1112233235232535235[1]2()310006664002(333200133)366932N q C q C q A A A A A A A A A A A A =-+=++-⨯+++⨯=++-⨯+++⨯=3．求从1到500的整数中能被3和5整除但不能被7整除的数的个数。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题5
习题五（抽屉原理）1．证明：在边长为2的等边三角形中任取5点，至少有两个点相距不超过1。
证明：如图所示，将正三角形分成4个边长为1的小等边三角形，现在取5点，有4个小等边三角形，根据抽屉原理，则至少有两点落在同一个小等边三角形中，其距离不超过1。
2．在一个边长为1的正方形内任取9个点，证明以这些点为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形的面积不大于18。
证明：如图所示，将正方形分为4个边长为12的小正方形，现取9个点，则至少有三个点落在同一个小正方形中，以这三点为顶点的三角形的面积不大于1212121218⨯⨯=⨯⨯=长高。
3．把从1到326的326个正整数任意分成5组，试证明其中必有1组，该组中至少有一个数是同组中某两个数之和，或是同组中某个数的两倍。
证明：用反证法。
设任何一组中的每一个数，它既不等于同组中另外两数之和，也不等于同组中另一数的两倍。
即任何一组数中任意两个数之差总不在该组中。
（1）由抽屉原理知，五组中必有一组其中至少有66个数，设为A 组。
从中取66个数，记为1266,,,a a a ，不妨设66a 最大，令 (1)66,1,2,,65i i a a a i =-= ，显然(1)1326i a ≤<，由假设知 (1)i a A ∉，故这65个数必在另外四组B 、C 、D 、E 中。
（2）由抽屉原理知，B 、C 、D 、E 四组中必有一组至少含有17个(1)i a ，设为B 组，从中取17个(1)i a ，记为1217,,,b b b ，同理不妨设17b 最大，令 (1)171,2,,16i i b b b i =-= ，显然(1)1326i b ≤<，且由假设知，(1)i b B ∉， 又 (1)176666()()i i j k k j b b b a a a a a a A =-=---=-∉，所以这16个数(1)i b 必在C 、D 、E 中。
（3）由抽屉原理知，C 、D 、E 三组中必有一组至少含有6个(1)i b ，设为C 组，从中取6个(1)i b ，记为126,,,c c c ，同理不妨设6c 最大，令 (1)6i i c c c =-，1,2,,5i = ，显然(1)1326i c ≤<，且由假设知(1)i c C ∉， 又 (1)61717()()i i jk k j c c c b b b b b b B =-=---=-∉(1)6666()()i k j n m m n c b b a a a a a a A =-=-----∉所以这五个数必在D 、E 组中。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题6
习题六（Polya 定理）1．一张卡片分成42⨯个方格，每格用红蓝两色涂染，可有多少种方法？ 解：如图所示将卡片的八个格进行编号，则对应集合{1,2,,8}S =，用红蓝两色涂染，卡片只能旋转，不能翻转，则可得S 上的置换群12{,}Q p p =， 其中，1(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)p =，2(18)(27)(36)(45)p =， 现在用两种颜色进行涂染，则不同的涂染方案有：841(22)1362L =+=（种）♦ 若卡片还能翻转，但同一个格子对应的正反面要求同色，则除了上述两个置换外，还有沿着横、竖两个对称轴翻转的置换()()()()317283546p =，()()()()412345678p = 从而可知不同的染色方案有：()8421223764L =+⨯=（种） ♦ 若同一个格子对应的正反面不要求同色，且卡片既能旋转，又能翻转，则相应的置换为：()()()()()()1128q A B H =，2(18)(27)(36)(45)()()()()q A H B G C F D E =()()()()()()()()312345678q G H E F C D A B =， ()()()()()()()()412345678q B A D C F E H G =其中,,,A B H 是卡片的背面分别依序与1,2,,8对应的格子。
那么，此时的染色方案有()16831223165764L =+⨯=（种）2．一根木棍等分成n 段，用m 种颜色涂染，问有多少种染法？当2n m ==和3n m ==时各有多少种方法？ 解：如图给木棍的每段依次编号为1,2,,n ，则对应集合{1,2,,}S n =，用m 中颜色进行涂染，当n 为偶数时，可得S 上的置换群112{,}Q p p =，其中1(1)(2)()p n =，2(1)(21)(1)22n np n n =-+，（木棍只能翻转180） 用m 种颜色进行涂染，则不同的染色方案有：211()2nnL m m =+；当n 为奇数时，可得S 上的置换群213{,}Q p p =，其中1 2 …… 1n - n3111(1)(21)(2)()222n n n p n n --+=-+，则不同的染色方案有：1221()2n nL m m +=+。
2002考研数学一试卷及答案
2002考研数学一试卷及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)⎰∞+ex x dx2ln =.(2)已知函数()y y x =由方程0162=-++x xy e y 确定,则(0)y ''= .(3)微分方程02='+''y y y 满足初始条件11,'2x x yy ====的特解是.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换x Py =可化成标准型216y f =,则a =.(5)设随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为12,则μ＝.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续;②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续;③),(y x f 在点),(00y x 处可微;④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ,则有 (A) ②⇒③⇒①. (B) ③⇒②⇒①. (C) ③⇒④⇒①.(D) ③⇒①⇒④.(2)设0(1,2,3,)n u n ≠=,且lim 1n n n u →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑ (A) 发散.(B) 绝对收敛.(C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,则 (A) 当0)(lim =+∞→x f x 时,必有)(lim ='+∞→x f x . (B) 当)(lim x f x '+∞→存在时,必有)(lim ='+∞→x f x .(C) 当0lim ()0x f x +→=时,必有0lim ()0x f x +→'=. (D) 当0lim ()x f x +→'存在时,必有0lim ()0x f x +→'=.(4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b ++=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x和2()f x,分布函数分别为1()F x和2()F x,则(A) 1()f x＋2()f x必为某一随机变量的概率密度.(B) 1()f x2()f x必为某一随机变量的概率密度.(C) 1()F x＋2()F x必为某一随机变量的分布函数.(D) 1()F x2()F x必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(xf在0x=的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f'≠≠,若()(2)(0)af h bf h f+-在0→h时是比h高阶的无穷小,试确定ba,的值.四、(本题满分7分)已知两曲线)(xfy=与⎰-=x t dtey arctan2在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限)2(limnnfn∞→.五、(本题满分7分)计算二重积分dxdyeDyx⎰⎰},max{22,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=yxyxD.六、(本题满分8分)设函数)(xf在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记2221[1()][()1],L xI y f xy dx y f xy dy y y =++-⎰(1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数333369()1()3!6!9!(3)!nx x y x x n =++++++-∞<<+∞满足微分方程xe y y y =+'+'';(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy 坐标面,其底部所占的区域为2{(,)|D x y x =275}y xy +-≤,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D 的边界线2275x y xy +-=上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分) 已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ,4321,,,αααα均为4维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=,如果4321ααααβ+++=,求线性方程组β=Ax 的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为10,cos ,()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.对X 独立地重复观察４次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为其中1(0)2θθ<<是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和最大似然估计值.参照答案 一、填空题(1)【解析】 原式2ln 11.ln ln eed x x x+∞+∞==-=⎰(2)【解析】 方程两边对x 两次求导得 '6'620,y e y xy y x +++=①2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=②以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得''(0) 2.y =-(3)【解析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy ===代入方程得20dP yPP dy +=,即0dPy P dy +=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==).分离变量得 0,dP dy P y +=积分得ln ln ',P y C +=即1C P y =(0P =对应10C =);由0x =时11,',2y P y ===得11.2C =于是1',2,2y P ydy dx y ===积分得22y x C =+.又由01x y ==得21,C =所求特解为y =(4)【解析】 因为二次型Tx Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值. 又因iiia λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=(5)【解析】 设事件A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=> 4}.依题意,有1(){4}.2P A P X =>=而4{4}1{4}1(),P X P X μΦσ->=-≤=-即414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ----===⇒=二、选择题(1)【解析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A).(2)【解析】 由1lim 101n n un n →+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时10n u >,且1lim0,n n u →+∞=不妨认为,0,n n u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1n u 的单调性.按定义考察部分和111111111111(1)()(1)(1)nn nk k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑1111111(1)11(1)1(1)(),k n nn l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑⇒原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()n n n u u ∞=++∑.注意111112,11n n n n u u n n nu u n n ++++=+⋅→+11n n ∞=∑发散⇒1111()n nn u u ∞=++∑发散.因此选(C).(3)【解析】 证明(B)对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞'=≠,则由拉格朗日中值定理,(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M-≤+≤矛盾(()).f x M ≤(4)【解析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.(5)【解析】 首先可以否定选项(A)与(C),因121212[()()]()()21,()()112 1.f x f x dx f x dx f x dx F F +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=≠+∞++∞=+=≠⎰⎰⎰对于选项(B),若121,21,1,01,()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞=≠⎰因此也应否定(C),综上解析,用排除法应选(D).进一步解析可知,若令12max(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰是12()().F x F x1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=又由洛必达法则 00()(2)(0)'()2'(2)limlim 1h h af h bf h f af h bf h h →→+-+=(2)'(0)0,a b f =+=及(0)0f '≠,则有20a b +=.综上,得2, 1.a b ==-四、【解】 由已知条件得(0)0,f =22arctan arctan 02'(0)()'1,1x x t xx x e f e dt x --=====+⎰故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得02()(0)2()(0)lim ()2lim 2lim 2'(0) 2.2n n x f f f x f n nf f n xn →∞→∞→--====五、【解析与求解】D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示2222,,max{,}(,),,,x x y x y x y D y x y ⎧≥⎪=∈⎨≤⎪⎩于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥⇒I222212max{,}max{,}xy xy D D e dxdy e dxdy=+⎰⎰⎰⎰2221212x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D 关于y x =对称)2102xx dx e dy=⎰⎰(选择积分顺序)22112 1.x xxe dx e e ===-⎰六、【解析与求解】 (1)易知Pdx Qdy +∃原函数,2211()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y+=++-=-++()()()[()].xy x xd f xy d xy d f t dt y y =+=+⎰⇒在0y >上Pdx Qdy +∃原函数,即0(,)()xy xu x y f t dty =+⎰.⇒积分I 在0y >与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得(,)(,)(,).c d a b c a I u x y d b ==-七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数3693()13!6!9!(3)!n x x x x y x n =++++++的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得25831'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-,4732''()4!7!(32)!n x x x y x x n -=+++++-,所以2'''12!!n xx x y y y x e n ++=+++++=()x -∞<+∞.(2)与'''xy y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y yy ++=,其特征方程为210λλ++=,特征根为1,2122λ=-±.因此齐次微分方程的通解为212()xY e C x C x -=+.设非齐次微分方程的特解为x y Ae *=,将y *代入方程'''x y y y e ++=可得13A=,即有13xy e *=.于是,方程通解为2121()3xx y Y y e C x C x e -*=+=++.当0x =时,有112121(0)1,23,0.311'(0)0.23y C C C y C ⎧==+⎪⎪⇒==⎨⎪==-+⎪⎩于是幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数为221()cos 323xxy x e x e -=+()x -∞<+∞八、【解析与求解】 (1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向0000(,)(,)0000(,){,}{2,2}x y x y h hh x y x y y x x y∂∂==-+-+∂∂grad方向导数取最大值即00(,)(,)x y h x y grad 的模,00(,)g x y ⇒=(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件22750x y xy +--=下的最大值点⇔ 22222(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-在条件22750x y xy +--=下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数2222(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--则有22108(2)0,108(2)0,750.Lx y x y x Ly x y x y L x y xy λλλ⎧∂=-+-=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=+--=⎪∂⎩解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=⇒=-或2.λ=-若y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式得275x =即x y =±=±于是得可能的条件极值点1234(5,5),(5,5),(M M M M ----现比较222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:1234()()450,()()150.f M f M f M f M ====因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2(,)g x y 在12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.九、【解】 由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由123412312(,,,)2010ααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T- 再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知,(1,1,1,1)T是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.十、【解】 (1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1,P AP B -=故111E B E P AP P EP P APλλλ----=-=-11().P E A P P E A P E A λλλ--=-=-=-(2)令0100,,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么2.E A E B λλλ-==-但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使10P AP B -==.从而100A P P -==,矛盾,亦可从()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλ则有A 相似于1,n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 也相似于1.n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦即存在可逆矩阵,P Q ,使111.n P AP Q BQ λλ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是111()().PQ A PQ B ---=由1PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.十一、【解】 由于311{}cos ,3222x P X dx πππ>==⎰依题意,Y 服从二项分布1(4,)2B ,则有2222111()()4(4) 5.222EY DY EY npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二、【解】22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(3).4EX θ=-θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8x =+++++++2.=因此θ的矩估计值11ˆ(3).44x θ=-=对于给定的样本值似然函数为624()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-2ln ()62824286.112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=----令ln ()0d L d θθ=,得方程2121430θθ-+=,解得712θ=(71,122θ=>不合题意).于是θ的最大似然估计值为7ˆ12θ-=。