小学奥数 最值的数字谜(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 掌握最值中的数字谜的技巧
2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题
数字谜中的最值问题常用分析方法
1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以
转化为竖式数字谜；
2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．
3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、
分解质因数法、奇偶分析法等．
4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的
最值的可能值，再验证能否取到这个最值．
5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、
方程、估算、找规律等题型。

【例 1】 有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那么
其中最小的四位数是多少？
【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 设这四个数字是a b c d >>>，如果0d ≠，用它们组成的最大数与最小数的和式是11469a b c d
d c b a +，由个位知9a d +=，由于百位最多向千位进1，所以此时千位的和最多为10，
例题精讲
知识点拨
教学目标
5-1-2-4.最值中的数字谜（一）
与题意不符．所以0d =，最大数与最小数的和式为0
011469
a b c c b a +
，由此可得9a =，百位没有向千位进位，所以11a c +=，2c =；64b c =-=．所以最小的四位数cdba 是2049．
【答案】2049
【例 2】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大7902，那么所有符
合这样条件的四位数中原数最大的是 ．
7902
D C B A
A B C D -
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 用A 、B 、C 、D 分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式．从首
位来看A 只能是1或2，D 是8或9；从末位来看，102A D +-=，得8D A =+，所以只能是1A =，
9D =．被减数的十位数B ，要被个位借去1，就有1B C -=．B 最大能取9，此时C 为8，因此，
符合条件的原数中，最大的是1989．
【答案】1989
【例 3】 在下面的算式中，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分别代表1～9中的数字，不同的字母代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则三位数EFG 的最大可能值是 ．
2006
A B C D
E F G +
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 可以看出，1A =，6D G +=或16．若6D G +=，则D 、G 分别为2和4，此时10C F +=，只能
是C 、F 分别为3或7，此时9B E +=，B 、E 只能分别取()1,8、()2,7、()3,6、()4,5，但此时1、
2、3、4均已取过，不能再取，所以D G +不能为6，16D G +=．这时D 、G 分别为9和7；
且9C F +=，9B E +=，所以它们可以取()3,6、()4,5两组．要使EFG 最大，百位、十位、个位都要尽可能大，因此EFG 的最大可能值为659．事实上134********+=，所以EFG 最大为659．
【答案】659
【巩固】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“奥林匹克”最大是
奥林匹克
+奥数网2008
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，1试，第2题
【解析】 显然“2≤奥”，所以“1=奥或2”，如果“2=奥”，则四位数与三位数的和超过2200，显然不符合条
件，所以“1=奥”，所以“9≤林”，如果“9=林”那么“200819001008+=--=匹克数网”，“0=匹=数”，不符合条件，所以“林”最大只能是8，所以“20081800100108+=--=匹克数网”，为了保证不同的汉字代表不同的数字，“匹克”最大是76，所以“奥林匹克”最大是1876。

【答案】1876
【例 4】 下面是一个n 进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求n 和ABCDE 的值．
A B C D
C B E B C E A B E
+
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 由于算式中出现5个不同的数字，所以n 至少为5．在n 进制中，就像在10进制中一样，两个四位
数相加得到一个五位数，那么这个五位数的首位只能为1(因为这两个四位数都小于10000，它们的和小于20000，故首位为1)，即1C =．由于A 最大为1n －，则11111A C n n ++≤-++=+，11A C n n +≤-+=，即两个四位数的首位向上位进1后最多还剩下1，即E 最大为1，又因为不同的字母表示不同的数，E 不能C 与相同，
所以E 只能为0．则D B n +=，末位向上进1位；12C E ++=，即2B =；4B B +=，不向上进位，所以4A =；A C E n +=+，得5n =，则3D n B =-=．所以n 为5，ABCDE 为42130．
【答案】n 为5，ABCDE 为42130
【例 5】 右式中的a ，b ，c ，d 分别代表0～9中的一个数码，并且满足()2a b c d +=+，被加数最大是多
少？
5a b
c d
+
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 若5b <，则由竖式知a c =，b d <，不满足()2a b c d +=+；若5b ≥，则由竖式知1a c =-，5b d =+，
代入()2a b c d +=+，得4c d +=．由此推知cd 最大为40，ab 最大为40535-=．
【答案】35
【巩固】
下式中的a ，b ，c ，d 分别代表0～9中的一个数码，并且满足()2a b c d +=+，被减数最小是多少？
3a b
c d
-
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 若3b ≥，则由竖式知a c =，b d >，不满足()2a b c d +=+；若2b ≤，则由竖式知1a c =+，
103b d +-=，即7b d +=，代入()2a b c d +=+，得6a b +=．由2b ≤知4a ≥，所以ab 最小为42．
【答案】42
【例 6】 从1—9这9个数字中选出8个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立．其中的四位数最大
可能是 ．
【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第9题 【解析】 由题目可知，四位数的千位数字肯定是1，此时还剩下2～9这8个数字，再看三个数的个位数字之
和的尾数为0，可找出三个数的个位数字有以下几种情况，（2，3，5）、（3，8，9）、（4，7，9）、（5，6，9）、（5，7，8）.经试验，只有两种情况下竖式成立.而题目要求四位数最大，所以答案为1759.
【答案】1759
【例 7】 如图，在加法算式中，八个字母“QHFZLBDX ”分别代表0到9中的某个数字，不同的字母代表不
同的数字，使得算式成立，那么四位数“QHFZ ”的最大值是多少？
2009
1Q H F Z Q H L B
Q H D X + 【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】清华附中，入学测试题
【解析】 原式为20091QHFZ QHLB QHDX ++=，即120097991QHFZ QHDX QHLB DX LB =--=+-．为了使QHFZ 最大，则前两位QH 先尽量大，由于DX LB -小于100，所以QH 最大可能为80．若80QH =，则继续化简为9FZ DX LB =--．现在要使FZ 尽量大．由于8和0已经出现，所以此时9DX LB --最大为9712976--=，此时出现重复数字，可见FZ 小于76．而9612975--=符合题意，所以此时FZ 最大为75，QHFZ 的最大值为8075．
【答案】8075
【例8】把0，1，2，…，8，9这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一次，那么加数中的三位数的最小值是多少？
2007
+
【考点】加减法的进位与借位【难度】5星【题型】填空
【关键词】湖北省“创新杯”
【解析】从式中可以看出，千位上的方框中的数为1，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为10．由于三位数的百位上不能为1和0，所以要使三位数最小，它的百位应该为2，十位应该为0．那么十位向百位的进位为1，所以四位数的百位为7，且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和为10．又剩下的数字3，4，5，6，8，9中除345618
+++=只向十位进1外，其余任选四数字的和都大于20，由于3456
+++的尾数不为7，所以个位上四个数字不能是3，4，5，6，所以个位向十位进位为2，也就是十位上的三个方框中的数的和为8(其中有一个为0)，而剩下的3，4，5，6，8，9中只有358
+=，所以个位上的四个方框中的数为4，6，8，9，那么加数中的三位数最小为204．
【答案】204
【例9】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．“美妙数学花园”代表的6位数最小为．
2007
+美妙数学花园
好好好好
【考点】加减法的进位与借位【难度】5星【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第9题，12分
【解析】“好”为2，要使算式满足则必有(美+数+花20
）≥。

要使“美妙数学花园”代表的6位数最小，则美+数+花389
=++，妙+学+园15456
==++．即“美妙数学花园”代表的6位数最小为348596【答案】348596
【例10】面算式由1～9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数.那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是__________.
【考点】加减法的进位与借位【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复试，11题
【解析】为了让“数学解题”与“能力”的差最小，应该让“数学解题”尽量小，也就是让“能力”和“展示”尽量大，其中较大的应是“能力”，那么“数学解题”最小应该是一千八百多，“能”应该是9，“展”应该是7，于是“解题”+“力”+“示”=2010-1800-90-70=50，所以“解”应该是4，那么“题”+“力”+“示”=10，那么只能是2+3+5，为了“数学解题”与“能力”的差最小，让“题”=2，“力”=5，于是“数学解题”-“能力”=1842-95=1757.
【答案】1757
【例11】右边的加法算式中，每个“□”内有一个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到。

【考点】加减法的进位与借位【难度】5星【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第5题，5分
【解析】末尾和最大24，十位和最大18，百位和最大18，24+18+18=60
【答案】60
【例12】将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？
1
+
2008
【考点】加减法的进位与借位【难度】6星【题型】填空
【关键词】“迎春杯”，高年级组，复赛
【解析】9个方框中的数之和为45．三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，10，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有1819845
++=．所以三个加数的个位数字之和为18，十位数字之和为19，百位数字之和为8．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；则四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个
位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125．
【答案】最小是1125
【例13】在右边的加法算式中，若每个字母均表示0到9中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相同，也不与算式中已有的数字相同，则A与B乘积的最大值是多少？
9 10
E
C F
D G A B
+
【考点】加减法的进位与借位【难度】6星【题型】填空
【解析】本题把数字谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起，可以从奇偶性方面来分析.考虑加法算式的个位，若个位不进位，则四个数字E F G B
+++之和为2B，是偶数；若个位进位，则四个数字
E F G B
+++之和为102B
+或202B
+，还是偶数．所以E F G B
+++为偶数，又
23835
A B C D E F G
++++++=+++=，所以A C D
++为奇数．如果加法算式中个位不进位，那么10
C D A
+=+，这样102
A C D A
++=+为偶数，与上面的分析矛盾，所以加法算式中个位向十位进奇数位，只能是1位，故10
E F G B
++=+，110
C D A
++=+，得
19
E F G C D A B
++++=++，而23835
A B C D E F G
++++++=+++=，所以8
A B
+=，A、B可能为2、6或3、5，乘积为12或15，故A与B乘积的最大值是15．
另解：因为910
E C
F D
G AB
++=，等号两边除以9的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是9的倍数，即10AB是9的倍数，由于7815
A B
+≤+=，所以8
A B
+=，再根据“和一定，差小积大”，所以A、B的取值为3、5时，A与B乘积的最大值是15．
【答案】15
【例14】右式中不同的汉字代表l一9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?
＋
国
京
运
8
中
北
奥
新
新
2
【考点】加减法的进位与借位【难度】3星【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第3题
【解析】“新”必为9，千位才能得2，所以“中”应为8.“国”、“京”、“运”之和应为8或18，但当和为18时，（“国”、“京”、“运”分别为7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为15（“中”、“北”、“奥”分别为
8，4，3），不能进位2，所以“国”、“京”、“运”之和只能是8，此时，“北”、“奥”只能分别为7和5，
则“国”、“京”、“运”分别为4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大，“国”取4.即“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是84.
【答案】84
【例 15】 华杯赛网址是..wwwhuabeisai cn ，将其中的字母组成如下算式：2008www hua bei sai cn ++++=，
如果每个字母分别代表0～9这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且8w =、6h =、9a =、7c =，则三位数bei 的最小值是 ．
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 根据题意可知，88869972008u bei s i n ++++=，有00351u bei s i n +++=，此时u ，b ，e ，i ，s ，
n 只能取0，1，2，3，4，5．
b 的最小值为1，e 的最小值为0，i 最小取2，若2i =，此时s 最大只能取2，矛盾；所以i 至少为3，若3i =，此时2s =，4u =，5n =，符合条件，所以三位数bei 的最小值是103． 另解：此题也可采用弃九法．等式2008www hua bei sai cn ++++=两边除以9的余数相同，左边除以9的余数与()3222019245w h u a b e i s
c n w a i w a i +++++++++=++++++=+++除以9的余数相同，即与2w a i ++除以9的余数相同；右边除以9的余数为1，所以2w a i ++除以9的余数为1．而8w =，9a =，所以225w a i i ++=+，除以9的余数为1，可见i 除以9的余数为3，那么i 只能为3．
由于b 的最小值为1，e 的最小值为0，所以三位数bei 的最小可能值是103；又当2s =，4u =，5n =时，103bei =，所以三位数bei 的最小值就是103．
【答案】103
【例 16】 在下面的表1中，一条直线穿过其中若干个方格，穿过的方格中各数之和为1513105649++++=。

请你在表2中画一条直线，穿过其中若干个方格。

穿过的方格中各数之和最大是 。

651239
1013218
117158417146
512391013218117158
41714 表1 表2
【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第9题
【解析】 首先应考虑尽可能穿过较多的方格，也就是说可以穿过一条对角线和它旁边的三格：
主对角线14+7+10+6和一侧的17+11+9，总和为74；
副对角线8+11+13+3和一侧的18+10+12，总和为75。

再看看能否做优化：观察到前一种方法中可以舍弃10和6而取18，总和增加2，这样总和为76。

而后一种方法无法再做优化，所以最大值为76。

【答案】76。