第二章母函数与递推关系习题剖析
母函数与指数型母函数
性质5：若bk=kak，则
B( x ) xA '( x ).
性质6：若bk=ak/(1+k)，则 1 x B ( x ) A( x )dx. x 0 例7 已知 A( x ) 1 x x 2 x n 则
1 , 1 x
B( x) x 2 x 3 x
若信号输入的序列u0,u1,…的母函数为U(x)，输出的 信号序列v0,v1,…的母函数为V(x)，则
V ( x ) (1 x x 3 )U ( x ) P ( x )U ( x ),
其中
P ( x) 1 x x 3 被装置的特性所确定，称为该装置的传递函数。
例2 有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种 不同的组合方案。 设r，w，y 分别代表红球，白球，黄球。
性质4：若bk=ak+ak+1+…，则 A(1) xA( x ) B( x) . 1 x 1: b0 a0 a1 a2 A(1) x: b1 a1 a2 a3 A(1) a0 x2: b2 a2 a3 a4 A(1) a0 a1 +)
类似还可以得到 2 C (n,1) 2 C(n, 2)
n C(n, n) n(n 1)2
2
n 2
.
还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子 已可见函数(1+x)n在研究序列 C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的关系时所起的作用。 定义：对于序列a0,a1,a2,…，函数
a1 a3 a5 a7 0, a0 1, a2 C (8, 2) 28,
a4 C (8,4) 70, a6 C (8,6) 28, a8 1.
递推关系与母函数法
递推关系与母函数法1.2 递推关系Hanoi塔问题：这是组合数学中的著名问题。
n个圆盘依其半径大小，从下而上套在柱A上，如图1.1所示。
每次只允许取一个转移到柱B或柱C上，而且不允许大盘放在小盘上方。
若要求把柱A上的n个盘转移到柱C上，请设计一种方法，并估计要移动几个盘次，现在只有A，B，C三根柱子可供使用。
设a,b,c是3个塔座。
开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。
各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a 上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。
在移动圆盘时应遵守以下移动规则：规则1：每次只能移动1个圆盘；规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。
图1.1Hanoi塔是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，即估计工作量。
这一问题有典型的意义，第一步先解决算法问题，即如何完成n个盘的搬动，进一步还要对算法作出复杂性分析，即对要作多少盘次的搬动进行估计。
算法设计：n=时，第一步先把最上面一个圆盘套在柱B上；第二步把第二个圆盘转2移到柱C上；最后再把柱B上的一个圆盘转移到柱C上，到此转移完毕。
假定1n-个盘子的转移算法已经确定。
对于一般n个圆盘的问题，先把上面的1n-个圆盘转称到柱B上，再把最后一上圆盘转移到柱C上，然后把柱B上的1n-个圆盘转移到柱C上，转移完毕。
上述的算法是递归的连用。
2n=时，第一步便利用n=时已给出了算法；3算法把上面两个圆盘移到柱B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上的两个圆盘转移到柱C上，4,5,,n= 以此类推。
图1.1形象地给出4n=的转移过程。
void hanoi (int n, int a, int b, int c) {if (n > 0) {hanoi (n-1, a, c, b); move (a,b);hanoi (n-1, c, b, a); } }算法分析：令n h 表示n 个圆盘所需要的转移盘次。
母函数与递推关系习题
母函数与递推关系习题1、 有n 阶台阶，一人从下往上走，每次走一或两级，求他走这n 级台阶的方法数。
2、 {1,2,3,}n S n = 的一个子集为交替的：如果按递增次序列出该子集的元素时，它们的奇偶性为：奇、偶、奇、偶、 。
空集也算作交替的。
求n S 的交替自己的树木。
3、 某人有n 元钱，他一天买一样东西，或一元钱的甲、或二元钱的乙、或二元钱的丙，问他用完这n 元钱有多少种方法？4、 求{,,}S a b c =∞⋅的n 排列数，要求在排列中a 与a 不相邻。
5、 设40nn i a i ==∑，0n ≥，求n a 。
6、 求1003102-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
7、 平面上有n 条直线，其中任意两条都相交于一点，但没有三条相交于同一点，求这n 条直线将平面分成的区域数。
8、 空间中有n 个平面，其中任意两个都有唯一交线，任意三个都有唯一一个交点，但没有四个相交于同一点。
求这n 个平面将空间分成的区域数。
9、 在平面上画一个圆，然后再依次画n 条与圆都相交的直线，其中当k 是大于1的奇数时，第k 条直线只与前面(1)k -条直线中的一条在圆内相交，当k 是偶数时，第k 条直线与前面(1)k -条直线都在圆内相交，又没有三条直线在圆内相交于同一点。
求这n 直线将圆分成的区域数。
10、求{1,2,3}S =∞⋅的k 排列的个数，要求在排列中同一元素至多连续出现两次。
11、 将一个凸(1)n +边形用它的对角线划分成三角形，要求所用的对角现在多边形内部无交点，求划分的方法数。
12、 设一克、三克、七克重的砝码分别有1枚、3枚、2枚。
问用这些砝码能称出哪些重量？称每一重量又各有几种方案？13、 有两种拆分：（1）1{1,12,3,14,}S =∞⋅⋅∞⋅⋅ ；（2）23{1,2,3,}S =⋅ 。
证明对同一正整数n ，这两种拆分的拆分数相等。
14、证明：周长为2n ，边长为整数的三角形的个数等于将n 拆分成恰好三项的拆分数。
母函数在递归关系求解中的应用_王建英
摘
要 C 母函数在组合数学中有着重要的地位 D 是解决组合问题的强有力的工具 ’ 本文论述了母函数
与递归数列的关系 D 并探讨了用母函数求解递归数列的方法 ’ 关键词 C 母函数 A 递归关系 A 应用 中图分类号 C E#@F 文献标识码 C 4 文章编号 C #))) G !!!F ? !))! B )# G ))FH G )"
7 7 7
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母函数与递归关系
定义 1 给定数列 !) D !# D !! D …D !"D …D 构造一函数 # ? $ B K !) %) ? $ B L !# %# ? $ B L !! %! ? $ B L … L !"%" ? $ B L …D 则称 # ? $ B 是数列 !)D !# D !! D … D !" D …的母函数 ’ 而将其中的序列函数 %) ? $ B D %# ? $ B D %! ? $ B … D %" ? $ B 称为标志函数’ 一般情况下 D 我们常常选取 %" ? $ B K $" 作为研究的标志函数 ’ 此时对于数列 !) D !# D !! D …D !" D …D 其母函数为 # ? $ B K !) L !# $ L !! $! L … L !"$" L …’ 定义 2 给定数列 !) D !# D !! D …D !"D …D 构造一函数
二章六节非线性递推关系举例
8. S(n,n 1) C(n,2)
把n个有标志的球放进n-1个相同的盒子中， 因为必须保证每个盒子中都有球，因此只有1个 盒子中有2个球，问题就是求两个球的组合数， 因此有C(n,2)种方案。
15
2.14.1 司特林(Stirling)数
9. S(n,n 2 ) C(n,3) 3C(n,4)
可分为空m-1盒，m-2盒，…，空1盒，都不空。
S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,m),n≥m S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,n),n≤m。
22
2.14.1 司特林(Stirling)数
5、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，允许空盒，方案数情况？
有C(m+n-1,n)。
6、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，不允许空盒，方案数情况？
例如：1,2,3,4分成两两2组的方案。 {(1,2),(3,4)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)}
16
2.14.1 司特林(Stirling)数
定理2.15 第二类司特林数满足下面的递推关系：
S(n,m) mS(n 1,m) S(n 1,m 1), n 1,m 1
证明：设有n个有区别的球b1,b2,…,bn,对于其 中的某一个球bi, 根据bi的情况分为两类：
1、 bi独占一盒，其方案为S(n-1,m-1) 个球放2到、mb个i不盒独子占，一不盒允，许这空相盒当，于共先有将S剩(n下-1,的m)n种-1 不同方案，
bi球不然独后占将一b盒i球的放方进案其数中为一m盒S，(n共-1,有m)m种选择方式。
6. S(n,2 ) 2n1 1; 7. S(n,3 ) 1 (3n1 1) 2n1;
组合数学课件 第二章母函数与递推关系
2 3
[h(3) 2h(2)] x
§2.2
递推关系
根据(2-2-1)，
h(1) 1, h(2) 2h(1) 1, h(3) 2h(2) 1, 2 3 (1 2 x) H ( x) x x x x /(1 x)
§2.2
递推关系
Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设 计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。 算法： N=2时 第二步把下面的一个圆盘移到 C上 第一步先把最上面的一个圆盘套在 B上 最后把 B上的圆盘移到C上 到此转移完毕
A
B
C
§2.2
递推关系
假定n-1个盘子的转移算法已经确定。 对于一般n个圆盘的问题， 先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B。 第二步把A下面一个圆盘移到C上 最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上
§2.2
递推关系
解法1： 令
an n 位十进制数中出现5的数的个数，
bn n
位十进制数中出现奇数个5的数
的个数。 故有：
an 9an1 bn1 { bn 9bn1 an1 a1 8, b1 1
(2 2 2)
§2.2
递推关系
(2-2-2)式中的 an 9an 1 bn 1表达了 含有偶数个5的n位十进制数的两个组成部分。 9an 1 表达由含有偶数个5的n-1位十进制数 pn 取5以外的0，1，2，3，4， p1 p2 pn1 ，令 6，7，8，9九个数中的一个数构成的。 bn 1 项 表示当 p1 p2 pn1 是含有奇数个5的n-1位十 进制数，令 pn 5 而得 p1 p2 pn是含偶数个 5的n位十进制数。 bn 9bn1 an1也有类似解释。
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
组合数学 第2章 母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。
新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。
其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。
母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。
2.1 母 函 数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。
例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx -1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
（4）常用母函数（二）组合问题（1）组合的母函数定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j ji x 10＝∑=n r r r x a 0 (2.1.1) 其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n .定理2.1.1的最大优点在于：● 将无重组合与重复组合统一起来处理；● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。
组合数学第二章习题解答
1+ x G(x) = (1− x)4
2.13已知
an = ∑k ,
3 k=1
n+1
1+4x+ x2 ∞ =∑ n+1 3 xn ( ) 4 (1−x) n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+(1+23)x+(1+23 +33)x2 +...+(1+23 +...+(n+1)3)xn +... G(x) =(1+ x+ x2 +...) +23 x(1+ x+ x2 +...) +...(n+1)3 xn(1+ x+ x2 +...) +...
2.25 分母展开求出an的递推关系，再求出bn的递推关系 将分母展开(1-x)(1+x-x2)=1-2x2+x3 因此an满足递推关系：an-2an-2+an-3=0,a0=4,a1=-3 an-an-1+an-1-an-2-an-2+an-3 = bn+bn-1-bn-2=0 b0=4,b1=-7,母函数为：
b +(b +b )x 0 1 0 4−3x = 1+ x − x2 1+ x − x2
G x) = (
2.26 逐项展开，两边合并。
2.27 求下列递推关系的一般解
(a)an-4an-1=5n
a −4 n−1 −5 n−1 +2 a −2 = 0 a a 0 n n a −9 n−1 +2 a −2 = 0 a 0 n n 特 方 的 为和 征 程 解 4 5 一 解 : r 4n +r 5n 般 为 1 2
递归与母函数
= [C(m+ n,0) + C(m+ n,1)x ++ C(m+ n, m+ n)xm+n
比较等号两端项对应系数, 比较等号两端项对应系数,可得一等式 C(m + n, r) = C(m,0)C(n, r) +
C(m,1)C(n, r 1) ++ C(m, r)C(n,0)
相关公式
令r=n,则, ,
解的分析
从x4的系数可知,这8个元素中取4个组合,其组合数为 10.这10个组合可从下面展开式中得到
2 3 2 2 3 (1+ x1 + x1 + x1 )(1+ x2 + x2 )(1+ x3 + x3 + x3 ) 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 = [1+ (x1 + x2 ) + (x1 + x1x2 + x2 ) + (x1 + x1 x2 + x1x2 ) + (x1 x2 + x1 x2 ) + x1 x2 ] 2 3 (1+ x3 + x3 + x3 )
母函数
x2项的系数 1a2+a1a3+…+ an-1an 中所有的项包括 个 项的系数a 中所有的项包括n个 元素a 两个组合的全体 元素 1 , a2 , …,an中取两个组合的全体;同理项系 中取两个组合的全体; 数包含了从n个元素 个元素a 中取3个元素组合 数包含了从 个元素 1 , a2 , …,an 中取 个元素组合 的全体.以此类推. 的全体.以此类推. 若令a 项系数a 若令 1=a2= …=an=1,在 x2项系数 1a2+a1a3+…+ an1 中每一个组合有1个贡献,其他各项以此类推. 1an中每一个组合有1个贡献,其他各项以此类推. 故有: 故有:
组合数学第二章081126
1 C (m.1) x C (m.2) x
2
.... C (m.m) x
n m
得：
C(m+n,r )=C(m,0)C(n,r)+C(m,1)C(n,r-1)+…+C(m,r)C(n,0)
第二章 母函数与递推关系
2.1 母函数的引入 同样利用
1 x 1 1/ x
第二章 母函数与递推关系
2.6 指数型母函数 1 问题提出 设有 n 个元素， 其中元素 a1 重复了 n1 次， 元素 a2 重复了 n2 次， …， ... ak 重复了 nk 次，n=n1+n2+ +nk 从中取 r 个排列，求不同的排列数 如果 n1=n2= =nk=1，则是一般的排列问题。 现在由于出现重复，故不同的排列计数便比较复杂。先考虑 n 个 元素的全排列，若 n 个元素没有完全一样的元素，则应有 n!种排列。 若考虑 ni 个元素 ai 的全排列数为 ni! ，则真正不同的排列数为
...
第二章 母函数与递推关系
2.6 指数型母函数 解的分析 先讨论一个具体问题：若有 8 个元素，其中设 a1 重复 3 次，a2 重 复 2 次，a3 重复 3 次。从中取 r 个组合，其组合数为 cr，则序列 c0,c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7 的母函数为
从 x 的系数可知，这 8 个元素中取 4 个组合，其组合数为 10。这 10 个组合可从下面展开式中得到
第二章 母函数与递推关系
2.1 母函数的引入
... 定义：对于序列 a0，a1，a1， ，定义 G x a0 a1 x a2 x ... 为序
2
... 列 a0，a1，a1， 的母函数。
《组合数学》教案 2章(母函数)及课后习题讲解
第二章母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法新方法：母函数方法。
基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，算。
2.1 母函数（一）母函数（1）定义【定义2.1.1】对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例【例2.1.1】有限数列rn C （r ＝0, 1, 2, …, n ）的普母函数：()x G ＝nn n n n nx C x C x C C ++++ 2210＝()nx +1【例2.1.2】无限数列{1, 1. …, 1, …}的普母函数：()x G ＝ +++++nx x x 21＝x-11（3）说明● n a 可以为有限个或无限个。
● 数列{}n a 与母函数一一对应。
{0, 1, 1, …, 1, …}↔ +++++n x x x 20＝xx -1 ● 将母函数视为形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”。
（4）常用母函数（二） 组合问题 （1）组合的母函数【定理2.1.1】组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10＝∑=n r r r x a 0其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0, 1, 2, …, n 。
理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应。
【例2.1.3】设有6个红球，7个黑球，8个白球，问 （1） 共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2） 若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？ （解）（1）元素符号化（x ，y ，z ↔红、黑、白球），元素的个数以符号的指数区分。
母函数G (x , y , z ) ＝(1＋x ＋x 2) (1＋y ) (1＋z )＝1＋(x ＋y ＋z )＋(x 2＋xy ＋xz ＋yz )＋(x 2x ＋x 2x ＋xxx )＋( x 2yz )5种情况：① 数字1表示一个球也不取的情况，共有1种方案； ② 取1个球的方案有3种，即红、黑、白三种球只取1个； ③ 取2个球的方案有4种，即2红、1红1黑、1红1白、1黑1白； ④ 取3个球的方案有3种，即2红1黑、2红1白、三色球各一； ⑤ 取4个球的方案有1种，即全取。
卢开澄《组合数学》习题答案第二章
2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()046414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x - 2.3 已知母函数G （X ）= 25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B AG （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
组合数学第二章母函数与递推关系习题解答剖析
II 当n为奇数时
由I的讨论知， ar 比ar3 多了a+b-c=1
的三角形。
而这种三角形可知
a b n1 2
当 n 1 能被2整除时，这种三角形有 n 1
个2
2
当 n 1 不能被2整除时，这种三角形有
2 n 1 个
2
n1
an
an3
n (1) 4
2
(2)
n1
n1
an
an3
[ n (1) 8
x10系数即为所求。
4. 题目 解：A、B、C、D组成的全排列数为
P (1 x x2 )4 1! 2!
e4x
出现A后，其后续字母必为A、B、C、D
中的一个，其概率相等。
P
(1
x
)3
[1
3
x
(
3 4
x)2
]
1!
4
2!
e3x
3x
e4
15 x
e4
AB至少出现一次的排列为
P
P
P
e4x
特征方程为 x2 x 1 0
x1
1 2
5,
x2
1 2
5
设 Ax1n Bx2n
代入得
A
B
5 5
3
10 3
5 5
10
an
53 10
5 (1 2
5)n 5 3 10
5 (1 2
5)n
20. 题目 解：
设所求为 an
则 an (n 1)an1 (n 1)an2
21. 题目 解：
x
2
1 x 6
ln(G ( x))
ln
母函数与递推关系
2 3 4 5 6 7
母函数与递推关系
例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。 解：设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的 母函数为 f ( x ) [1 x x 2 ][1 x 2 ( x 2 )2 ( x 2 )3 ] 1 1 1 x 1 x2 1 (1 x )(1 x ) 2
1 2
1 (a b c ) x ( a ab ac b bc c ) x
2 3 2 2 2 2 2 2 2
( a a b ab a c ac abc b b c bc c ) x ...
3 2 2 3 3
母函数与递推关系
母函数与递推关系
算法复杂度为：
h(n) 2h(n 1) 1, h(1) 1
2 3
(*)
H ( x ) h(1) x h(2) x h(3) x ,(**) H(x)是序列 h(1), h(2), h(3), 的母函数。给
定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也 一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而 知了。当然，利用递推关系(*)式也可以依次求 得 h(2), h(3), ，这样的连锁反应关系，叫做递 推关系。
所以
5 4 1 an , n 1, 2,... 4
n n
母函数与递推关系
§2 递推关系
定义：设(a0,a1,…,an,…)是一个序列，把该序列 中 an 与它前面几个ai(0≤i<n)关联起来的方程称 为递推关系。序列中的一些已知条件称为初始 条件。 例如
an an1 nan2 , an 3an1 n 1
组合数学 第2章习题解答
( a )G
2
= (1 − x )
−4
= ∑ C ( n + 3,3) x n
n=0
∞
2.4 已知母函数 1 − x − 56 x 2，求对应的序列
注意到 1－x-56x2=(1-8x)(1+7x)， 用A/(1-8x)+B/(1+7x)的分子等于3-9x 待定A，B的方程组为： A + B = 3 7 A − 8 B = −9 解出A＝1，B＝2 G(x)=1/(1-8x)+2/(1+7x) 利用基本母函数1/(1-x) an=8n-7n
• 解：G(x)=/Sum{0,n}(anxn) • 参考p61，例2－13，2－14， • 参考p111， 例2－63
2.48有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个， 问从中取出10个球，试问有多少种不同的取法？ 用指数型母函数，可得母函数 x x2 4 x x 2 x3 3 G ( x) = (1 + + ) ⋅ (1 + + + ) 1! 2! 1! 2! 3!
• 用多项式除法，解出a0，a1均为1
1− x + x
2
1 1
1 1 −x x2
2
• P68 x −x • 将(1-x+x2)分解因子，转化为基本母函数.引 用P59，定理2－1. 并参考p56例子2－11. • 这个题目整体都做的不错
2.18（1）课练，用母函数法求 an-6an-1+8an-2=0
注：这个题目中有同学使用的符号 n指代比较 混乱。虽然最后结果对，但过程中未体现出逻 辑的连贯性。 也有同学用积分和求导渐次推理得到正确结论。 十分可贵。不过有的人在最后写有一个 m次方， 令人困惑
母函数与递推关系共45页
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
母函数与递推关系
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
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13
n
A 24
解：...
32. n位0,1符号串，求从左向右只在最 后两位才出现0，0的符号串的数目。
解：...
33. 试证
1 1n Fn1 Fn . 1 0 Fn Fn1
解：...
（c）若设1与n算是相邻的数，并设在此 假定下从1到n的自然数中选取k个不同且
不相邻的k个数的方案数为 g(n,，k)利用 求 f (n,k) 。g(n,k)
解：...
30. 设S2 (n, k)是第二类Stirling数。证明
S2
(n
1,
m)
k
n
m 1
n k
S2
(k
,
m
1).
解：...
31. 求下图中从A点出发到n点的路径数。
解：...
18. 在一圆周上取n个点，过一对顶点可 作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦 把圆分割成几部分？
解：...
19. 求n位二进制数相邻两位不出现11的 数的个数。
解：...
20. 从n个文字中取k个文字作允许重复 的排列，但不允许一个文字连续出现三 次，求这样的排列的数目。
解：...
21. 求 14 24 34 n4 的和。
FFmmnn21
当n是奇数， 当n是偶数。
m nห้องสมุดไป่ตู้ 2.
（d）证明(Fm , Fn ) F(m,n) , (m, n) 为m,n
的最大公约数。
解：...
29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不
相邻的数，设此选取的方案为 f (n, k) 。 （a）求 f (n, k) 的递推关系。
（b）用归纳法求 f (n, k) 。
（c）用Fibonacci数来表示 an 与 bn 。
解：...
28. 设 F1 F2 1, F1 Fn1 Fn2
（a）证明
Fn Fk Fnk 1 Fk 1Fnk , n k 1 （b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
（c）证明
Fm Fn Fmn2 Fmn6 Fmn10
解：...
22. 求矩阵 3
1100
.
0 2
解：...
23. 求
n
n
Sn k(k 1), Sn k(k 2),
k 0
k 0
n
Sn k(k 1)(k 2).
k 0
解：...
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条 一条地画n条与圆相交的直线。当r是大 于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直 线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如 果无3条直线在圆内共点，这n条直线把 圆分割成多少个不重叠的部分？
（b）设 fn 记边长不超过2n的三角形 的个数，而 gn记边长不超过2n+1的三角 形的个数，求 fn 和 gn 的表达式。
解：...
27. 设
n
0, an
n
k 0
nk 2k
,bn
n1 n k
k 0 2k 1
（a）证明 an1 an bn1,bn1 an bn.
（b）求序列an与bn的母函数。
解：...
9.利用
1 12
1 22
1 32
2
6
，
改善 §4(2) 的 pn估计式。
解：...
10. 8台计算机分给3个单位，第1单位 的分配量不超过3台，第2单位的分配量 不超过4台，第3个单位不超过5台，问 共有几种分配方案？
解：...
11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不 同的且不相邻的Fibonacci数之和。即
解：...
5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的 数目。
解：...
6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串 中不出现aa图像的符号串的数目。
解：...
7.证明序列
C(n,n),C(n 1,n),C(n 2,n),
的母函数为
(1
1 x)n
1
.
解：...
8.证明
C(n, n) C(n 1, n) C(n m, n) C(n m 1, n 1)
n aiFi , aiai1 0, ai 0,1
i2
注意 F1 F2 1 是相同的Fibonacci数。
解：...
12. 设空间的n个平面两两相交，每3个 平面有且仅有一个公共点，任意4个平面 都不共点。这样的n个平面把空间分割成 多少个不重叠的域？
解：...
13. 相邻位不同为0的n位2进制数中一共 出现了多少个0？
解：...
25. 用 an 记具有整数边长周长为n的三
角形的个数。
（a）证明
an 3 ,
当n是偶数，
an
an 3
n
n2
(1) 2 4
,当n是奇数
（b）求序列 an的普通形母函数。
解：...
26. （a）证明边长为整数、最大边长为 l的三角形的个数是
1 (l 1)2 当l是奇数， 4 l (l 2) 当l是偶数。 4
1.证明等式
n 2
n 2
n 2
n 2
2n
2
.
0 1 2
n n
解：...
2.求 (1 x4 x8 )100 中 x20 项的系数.
解：...
3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？
解：...
4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。
解：...
16. 设一矩形 ABCD ,其中
AB : AD 1 (1 2
5) 作 C1B1 使得
A和B1CA1BDC是D一相正似方。形试。证试继证续矩这形过B1程C1可CD得
一和原矩形相似的矩形序列。
解：... A
B1
B
D
C1
C
17. 平面上有两两相交，无三线共点的n 条直线，试求这n条直线把平面分成多少 个域？
解：...
14. 在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到 下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现 要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转 移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次 移动一个，始终保持上面的比下面的小。 一共要移动多少次？
解：...
15. 一书框中有m格，每格各放n册同类 的书，不同格放的书类型不同。现取出 整理后重新放回，但不打乱相同类。试 问无一本放在原来位置的方案数应多少？