Wilson_法两种积分格式的稳定性探讨

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Newmark-精细积分方法的选择及稳定性

2
4
因此 ,基于平均常加速度的基本假定 ,即 :
x¨i+1 + x¨i = xi+1 - xi
(2)
2
dt
xi +1
= xi
+ d txi
+
1 4
d t2
( x¨i+1
+ x¨i)
(3)
其中 : x¨i , xi , xi 分别为 ti 时刻的加速度值、速度值和位移值 ; x¨i + 1 , xi + 1 , xi + 1分别为 ti + 1时刻的各项值 ; ti + 1 = ti + d t, d t为时间步长 , i = 0, 1, 2, …。
引言
结构动力响应的求解方法一般有直接积分方法和振型叠加方法。直接积分方法包括传统的中心差分方法、W ilson法、Newmark法等 [1 ] 。文献 [ 2～4 ]提出了结构动力方程求解的精细时程积分法 ,结合指数矩阵的精细算法能够获得高度精确的结果。然而 ,精细时程法在将二阶微分方程降为一阶的同时 ,系统的自由度数翻倍 ,矩阵的阶数和方程的个数将增加一倍。如果将精细积分法直接应用于自由度数目较多的工程结构中 ,则存在矩阵尺度太大的困难。文献 [ 5 ]将 Newmark - β法中平均常加速度法的基本假定引入结构动力微分方程 ,在实现方程降阶时 ,方程的个数保持不变。然后运用精细指数运算和柯特斯积分 ,提出了 Newmark2 精细直接积分法。
T0
= Dτ + (Dτ) 2 2!
+ … + (Dτ) l
l!
(8)
其中 l表示保留项数。然后通过以下方式得到 :

对流方程差分格式稳定性判定

对流方程差分格式稳定性判定李五明【摘要】The paper decided the stability of different difference schemes of the one dimension convection equation using Fourier stability analysis. The fundamental idea of Fourier stability analysis is to extend periodically the error of solution for the linear differential equation and express it using Fourier series, then check the enlargement and decay of every component of the Fourier series. According to Fourier series for each component change over time, we judged the stability of difference schemes by the magnification factor. Using the method, the paper decided the stability of different difference schemes for the given equation.%用傅里叶稳定性分析法判断一维对流方程不同差分格式的稳定性．傅里叶稳定性分析法的基本思想是：对于线性微分方程，将解的误差做周期延拓并用傅里叶级数表示出来，然后考察每一个傅里叶级数分量的增大和衰减情况；根据傅里叶级数每一个分量随时间的变化情况，由放大因子判断差分格式的稳定性．用该方法对给定方程不同差分格式的稳定性进行了判断．【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)003【总页数】4页(P369-372)【关键词】对流方程;差分格式;稳定性【作者】李五明【作者单位】河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】O175.210 引言用有限差分法数值求解偏微分方程是计算数学中的一个重要课题．在有限差分法中，差商代替了微商，差分方程代替了微分方程．然而，并不是任何情况下，差分方程都可以逼近原微分方程．因为，方程形式的逼近是一回事，方程解的逼近又是一回事．因此，在基本理论上必须解决数值计算中可能出现的诸如稳定性、精度等问题．采用有限差分法求解由偏微分方程所描述的具体问题时，在确定差分离散格式是否可用之前必须解决3个问题：当差分网格的时间与空间步长都趋近于零时，差分方程是否充分逼近原微分方程；差分格式的真解是否充分逼近原微分方程的精确解；差分格式的近似解与真解之间的误差是否有界．这3个问题在有限差分理论中分别称为相容性、收敛性和稳定性．差分格式的相容、收敛和稳定并不是孤立的，而是互有联系．根据LAX等价定理，若线性微分方程的初值问题适定、差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件．因此，常常通过判定一个差分格式的稳定性来判定其收敛性．因为，直接证明一个差分格式的收敛性是比较困难的，但对稳定性的证明却容易得多，且现有的方法也比较有效．本文介绍其中最常用的一种分析差分格式稳定性的方法：傅里叶稳定性分析法．傅里叶稳定性分析法的基本思想是将解的误差做周期延拓并用傅里叶级数表示出来，然后考察每一个傅里叶级数分量的增大和衰减情况．如果每一个分量的强度(或振幅)是随时间的推移而增大的，则所讨论的差分格式是不稳定的；反之，若每一个分量的振幅是随时间的推移而衰减或保持不变的，则格式是稳定的．为了进行这种分析，可以把某一分量的表达式代入到误差传播方程中，以得出相邻两时间层该分量的振幅比(通常称为放大因子)．稳定性的条件要求放大因子的绝对值(或模)小于或等于1．当放大因子等于1时，称为中性稳定．在这种情况下，任何时刻引进的误差都不会衰减或放大．本文主要针对一维对流方程，利用傅里叶稳定性分析方法讨论其不同差分格式的稳定性．1 傅里叶稳定性分析法针对一个具体的方程来考察傅里叶稳定性分析法，然后再将该方法推广到其他差分格式．一维对流方程的初值问题如下：，(1)问题的定解域为x-t的上平面(图1)，分别引入平行于x轴和平行于t轴的两族直线，把求解域划分为矩形网格．网格线的交点称为节点，x方向上网格线之间的距离Δx称为空间步长，t方向上网格线之间的距离Δx称为时间步长．这样，两族网格可记为x=xi=iΔx,(i=0,±1,±2,…)，t=tn=nΔt,(n=0,1,2,…).网格划定后，就可针对其中的任一节点，如图1中的节点(xi,tn)．将函数u在该点记为,tn)=u(iΔx,nΔt).(2)方程(1)的FTCS(Forward Time Central Space)格式为α.(3)将式(3)改写为易于递推计算的差分格式，有，式中：λ为网格比．相应于上式的误差传播方程为,(4)式中：ε为各节点上的误差．如果对ε在正负方向上作周期延拓，即把ε看作是以某一定值为周期的周期函数，则εn，εn+1可以展开为以下的傅里叶级数[5-6]：.于是，，(5),(6)式中：将式(5)和(6)代入式(4)得.(7)式(7)相当于将零展开成傅里叶级数，式中{ }内相当于傅里叶系数，它对于所有的k都等于零，即，(8)令,(9)则式(8)成为(不失一般性，支掉式中的下标记号k)Cn+1=GCn,(10)表示误差从第n层传播到第n+1层时，以傅里叶级数表示的每一误差分量的振幅放大或衰减了G倍．所以，称G为放大因子．傅里叶稳定性分析法就集中在对G 的分析上，如果|G|>1，则误差的振幅随n的增大而增大，差分格式不稳定；如果|G|≤1，则误差的振幅随n的增大而减小或不变，差分格式稳定．应用欧拉公式e±iz=cos z±isin z，将式(9)改写为G=1-iαλsin kΔx，得|G|2=1+α2λ2sin2kΔx．当sin2kΔx≠0时，选取网格比λ总有|G|>1．因此，差分格式(3)是不稳定的．从上例的分析注意到，以傅里叶稳定性分析法判断差分格式稳定性时，是从误差传播方程出发，将计算节点的误差延拓为傅里叶级数，并通过分析式(7)中傅里叶级数任一系数来确定放大因子G，进而确定差分格式的稳定性．对于齐次线性微分方程，由于误差传播方程与其相应的差分方程形式相同，在傅里叶稳定性分析中，只要令，(11)并将它们代入相应的差分格式中，同样可以得到与上例相同的放大因子G的表达式．为方便起见，在以后的傅里叶稳定性分析讨论中将采用式(11)的方式．2 应用举例例1 试讨论一维对流方程(1)的FTCS隐式差分格式的稳定性．解：方程(1)的FTCS隐式差分格式为α,(12)或写为，λ,将式(11)代入上式，有Cn+1eik(xi-Δx)]=Cneikxi，约去公因子eikxi后，得，即，由此得放大因子为,即≤1，所以，式(12)是无条件稳定的.例2 试讨论一维对流方程(1)的格式的稳定性．解：方程(1)的格式为，(13)或，λ，将式(11)代入上式，有，约掉公因子eikxi，得，由此得放大因子为，有|G|2=1.所以，差分格式(13)是无条件稳定的.3 结论(1)本文利用傅里叶稳定性分析法仅讨论一维对流方程不同差分格式稳定性的判断，实际上，该方法对二维对流方程、一(二)维扩散方程、一维对流-扩散方程也是适用的．(2)本文没有给出一维对流方程迎风格式稳定性的判定，主要是因为需要考虑CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)条件，并且要对α的正负进行讨论．限于篇幅，略去．(3)傅里叶稳定性分析法只适用于线性微分方程，对于非线性方程差分格式稳定性的判定，目前还没有严格的一般性理论处理．通常的做法是，从非线性方程对应的线性化模型得出的稳定性判定准则出发，对非线性方程差分格式的稳定性进行大致估计，然后在实际计算中采用试算方法将其扩展到非线性问题中去．参考文献：[1] 张国强，吴家鸣.流体力学[M].北京：机械工业出版社，2005.[2] 顾丽珍.求解对流扩散方程的一些高阶差分格式[J].清华大学学报：自然科学版，1996，36(2)：9-14.[3] 管秋琴.一类对流扩散方程组的差分格式与稳定性[J].上海电力学院学报，2009，25(2)：192-195.[4] 余德浩，汤华中.微分方程数值解法[M].北京：科学出版社，2003.[5] 范德辉，陈辉，王秀凤，等.对流扩散方程差分格式稳定性分析[J].暨南大学学报：自然科学与医学版，2006，27(1)：24-29.[6] 阴继翔，李国君，李卫华,等.对流扩散方程不同格式的数值稳定性分析[J].太原理工大学学报：自然科学版，2004，35(2)：121-124，133.[7] 马荣，石建省，张翼龙，等.对流-弥散方程显式差分法稳定性分析方法的初探[J].水资源与水工程学报，2010，21(1)：132-134.[8] 陆金甫，关治.偏微分方程数值解解法[M].北京：清华大学出版社，2004.[9] 王静，王艳.RICCATI方程有理展开法及其在非线性反应扩散方程中的应用[J].河南理工大学学报：自然科学版，2010，29(5)：689-694.[10] 王同科，马明书.二维对流扩散方程的二阶精度特征差分格式[J].工程数学学报，2004，21(5)：727-731.。

wilson法和newmark法的理论过程

第三章离散化结构动力方程的解法(2013.4.24）§3.1 绪言对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程[]{}[]{}[]{}{}++=（3.1）M u C u K u F(t)这里，{}u、{}u、{}u及{}F t分别表示加速度、速度、位移及所()作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。

从数学的角度来看，式（3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。

但是，由于[]M、[]C 和[]K的阶数非常高，使得式（3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。

目前，用于求解式（3.1）的方法，大致可分为两大类。

一是坐标变换法，它是对结构动力方程式（3.1），在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Ritz变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。

现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前q阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。

通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。

还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。

显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。

用Ritz矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。

二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。

这种方法的特点是对时域进行离散，将式（3.1）分为各离散时刻的方程，然后，将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成，于是，式（3.1）就化为一个由位移组成的该离散时刻上的响应值，通常又称为逐步积分法。

线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。

主要有中央差分法，Houbolt 方法，Wilson -θ法和Newmark 方法等。

基于matlab的地震反应谱计算方法的比较【matlab源码】

毕业论文（设计）题目学院学院专业学生姓名学号年级级指导教师教务处制表基于MATLAB的地震反应谱计算方法的比较一、程序说明本团队长期从事matlab编程与仿真工作，擅长各类毕业设计、数据处理、图表绘制、理论分析等，程序代做、数据分析具体信息联系二、写作思路与程序示例地震反应谱是进行结构抗震分析与设计的重要工具，反应谱的计算在反应谱法和时域逐步积分方法中有重要地位，引起了学者的重视和广泛研究。

而对计算方法优劣的评定常取决于其计算的耗时、稳定性和精度等因素。

目前，计算反应谱的方法有很多，以往常规方法主要有中心差分法、Newmark-法、线性加速度法及Wilson-法等，这些方法虽然存在一些弊端，但是其计算精度能够满足一般实际工程计算的需要，仍被广泛应用于工程实践。

因此有必要对这些方法进行深入的比较和探讨。

目前，我国现行建筑抗震设计规范中对阻尼比规定：混凝土结构通常取0.05，钢结构通常取0.02，阻尼比均比较小，因此利用拟反应谱是可靠的。

然而，随着高层和超高层的出现，建筑新形式、新材料的使用、隔震、减震耗能机构的研究以及抗震减灾新要求的不断提出，传统理论也越来越不能适应新要求，使用拟反应谱可能带来较大误差，这应当引起我们的注意。

同时，通过反应谱理论分析得到：当周期超过3s以后，结构地震反应已不是由地面加速度控制，而可能是由速度甚至是位移控制。

然而，现代的超大跨、超高层和巨型结构的自振周期大都达到了10s以上，如果仍然采用加速度谱来对其进行分析将不合适。

我们应当采用能更好反应三个周期段的反应谱来对长周期结构进行分析，而三联反应谱就具有这一特点，它是将位移、速度以及加速度联合反应谱同时表示在一张图上的四坐标对数图，能够使我们更直接地掌握上述三种物理量与结构自振周期之间的控制关系。

因此，采用MATLAB的GUI编程三联反应谱图形界面，并将其应用于工程实践，将是一项很有意义的工作。

论文基于以上内容，主要进行了以下具体工作：1.基于数值算法的相关研究及应用现状，本文以MATLAB为平台，建立数值算法在不同影响因素下的三维图形，并结合理论对比分析。

偏微分方程数值解挑战偏微分方程的数值解法与稳定性分析

偏微分方程数值解挑战偏微分方程的数值解法与稳定性分析偏微分方程数值解挑战——偏微分方程的数值解法与稳定性分析偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）是数学中一个重要的研究领域，广泛应用于各个科学领域和工程实践中。

这些方程描述了动态系统中随时间、空间和其他自变量变化的物理规律，例如热传导、扩散、波动等。

然而，由于这些方程往往难以直接求解，研究者们发展了一系列数值方法来近似求解偏微分方程，并对其稳定性进行分析。

一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最常见的数值解法之一，其基本思想是在求解区域上构建一个网格，将连续的偏微分方程离散化为差分方程，通过迭代求解差分方程来逼近真实解。

在空间上，可以采用中心差分、向前差分或向后差分等方法，以近似对应的偏导数；在时间上，通常采用欧拉显式格式或隐式格式来进行时间步进。

有限差分法简单易懂，适用于较为简单的情况，并且具有较好的稳定性。

二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种更为广泛适用的数值方法，其基本思想是将求解区域分割成多个小单元，通过在这些小单元上构造插值函数，将偏微分方程转化为代数方程组。

有限元法可以灵活地处理各种几何形状和边界条件，并且对于复杂问题具有较高的适用性。

通常，有限元法需要进行单元划分、构造刚度矩阵和质量矩阵，并通过求解线性或非线性代数方程组来得到数值解。

有限元法在实际工程问题中发挥着重要作用。

三、稳定性分析除了选择合适的数值方法，稳定性分析也是解偏微分方程数值解过程中必不可少的一步。

稳定性分析用于评估数值解法的解是否趋近于真实解，并且在数值计算过程中不会发散或发生不稳定的情况。

一种常用的稳定性条件是Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 条件，它要求数值方法中时间步长和空间步长之间满足一定关系，以确保数值解的稳定性。

子结构拟动力试验的CD-Wilson θ法研究

中图分类号：１ ’ Ｕ３１１．３文献标志码：Ａ文章编号：１００８—１９３３【２０１３）０３—１５２— ０４
ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＣＤ－Ｗｉｌｓｏｎ０ｍｅｔｈｏｄｉｎｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅｐｓｅｕｄｏｄｙｎａｍｉｃｔｅｓｔＷＡＮＧＸｉａｏｆｅｎｇ，ＣＡＩＸｉｎｊｉａｎｇ，ＴＩＡＮＳｈｉｚｈｕ ’
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｎｕｍｅｉｒｃａｌｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｃａｌｌｂｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄａｓｔｈｅｅｘｐｌｉｃｉｔｎｕｍｅｉｃｒｌａｉｎｔｅｒａｇｔｉｏｎｍｅｔｈｄｏｗｉｈｏｔｕｔｉｔｅｒａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｉｍｐｉｌｃｉｔｎｕｍｅｒｉｃｌａｉｎｔｅｒａｇｔｉｏｎｍｅｔｈｄｏｗｉｔｈｕｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｓｔａｂｉｉｌｔｙｉｎｔｈｅｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅｐｓｅｕｄｄｙｏｎａｍｉｃｔｅｓｔ．ＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｈｅｔＣＤ・Ｎｅｗｍａｒｋｍｅｔｈｄｏｉｔｗｈｌｒｇａｅｕｐｐｅｒｆｅｑｒｕｅｎｃｅｔｈａｔｌｅａｄｓｔｏｔｈｅｔｉｍｅｓｔｅｐｂｅｃｏｍｅｓｍａｌｌｅｒ，ｔｈｅＣＤ－Ｗｉｌｓｏｎ０ｍｅｔｈｄｏｉｓｃｏｍｂｉｎｅｄｂｙｅｘｐｌｉｃｉｔｃｅｎｔｅｒｄｉｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｄｏｎｄａｉｍｐｌｉｃｉｔＷｉｌｓｏｎ－０ｍｅｔｈｄ．ｏＡｆｔｅｒｃｌｃａｕｌａｔｉｏｎａｎｄｍｏｄｉｉｆｃａｔｉｏｎｔｈｅＷｉｌｓｏｎ－０ｍｅｔｈｄ，ｏ

三类偏微分方程唯一性与稳定性问题

三类偏微分方程唯一性与稳定性问题张政 1110050024摘要：本文主要利用能量积分法、极值原理等方法讨论波动方程、热传导方程和调和方程初边值问题的唯一性及稳定性问题。

旨在证明三类偏微分方程在不同初边值条件下具有的唯一性和稳定性。

关键词：能量积分、极值原理、强极值原理、热传导方程、调和方程一、波动方程初边值问题的唯一性和稳定性能量积分：对于膜振动问题，总能量由动能与位能两部分组成，其和称为能量积分。

在没有外力作用的情况下，薄膜振动的能量是守恒的。

薄膜的动能U 和位能V 的表示式，分别写为212t U u dxdy ρΩ=⎰⎰ 221()2x y V T u u dxdy Ω=+⎰⎰.其中ρ是密度，T 是张力。

（不计一个常数因子）薄膜的总能量可写为()222221()()2t x y T E t u a u u dxdy a ρΩ⎡⎤=++=⎣⎦⎰⎰. 定理1设(,,)u x y t 是混合问题2()(,,)(,,0)(,),(,,0)(,)(,,)tt xx yy t u a u u f x y t u x y x y u x y x y u x y t ϕψμ∂Ω⎧=++⎪==⎨⎪=⎩ （1）的解，那么能量积分()E t 保持不变，即()(0)E t E =，其中22221(0)()2x y E a dxdy ψϕϕΩ⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰. 定理2 波动方程混合问题2()(,,)(,,0)(,),(,,0)(,)(,,)tt xx yy t u a u u f x y t u x y x y u x y x y u x y t ϕψμ∂Ω⎧=++⎪==⎨⎪=⎩ (2)的解是唯一的。

证：设1(,,)u x y t ，2(,,)u x y t 为问题（1）的任意两个解，则12u u u =-是如下波动方程2()(,,0)0,(,,0)00tt xx yy t u a u u u x y u x y u ∂Ω⎧=+⎪==⎨⎪=⎩ 的解。

newmarkbeta法 -回复

newmarkbeta法-回复什么是newmarkbeta法？Newmarkbeta法，也被称为Wilson-Newmark法，是一种数值积分方法，用于求解结构动力学问题。

它是基于普通微分方程的数值求解方法之一，适用于求解线性和非线性、自由和强迫响应的结构动力学问题。

该方法基于Newmark积分方法，考虑了质量矩阵和刚度矩阵对结构响应的影响，通过引入一个积分参数beta，使得在不同的参数设定下可以得到不同阶数的数值积分方法。

注意事项：在使用Newmarkbeta法时，需要明确一些注意事项：1. 时间步长的选择：时间步长需要根据所研究的问题和模型的特性来进行选择。

通常情况下，较小的时间步长可以提高精度，但也增加了计算量。

如果时间步长选择过大，可能会导致数值解的不稳定性。

2. 弛豫因子的选择：在Newmarkbeta法中，引入了一个松弛因子gamma来平衡速度和加速度的权重。

gamma为0.5时，等效于中点积分法。

gamma为0时，等效于显式向前差分法。

根据所研究问题的稳定性和精度要求，可以选择不同的gamma值。

3. 初始条件的设定：在数值解求解之前，需要设定初始条件，即结构的初始位移和速度。

这些初始条件将影响数值解的准确性和稳定性。

通常情况下，可以根据结构的静态平衡状态设定初始条件。

数值解求解步骤：下面将一步一步介绍使用Newmarkbeta法求解结构动力学问题的步骤：步骤1：建立结构模型首先，需要根据所研究的结构问题建立相应的有限元模型。

这包括定义结构的几何形状、材料性质和边界条件等。

步骤2：离散化将结构模型离散化，将结构划分成一系列有限元单元。

对于每个有限元单元，可以根据其几何形状和材料性质计算出相应的刚度矩阵和质量矩阵。

步骤3：时间积分将时间划分成一系列离散时间步长。

通过使用Newmarkbeta法中的数值积分公式，可以迭代计算每个时间步长内的结构响应。

步骤4：计算每个时间步长内的位移和速度根据Newmarkbeta法的数值积分公式，可以计算出每个时间步长内的位移和速度。

研究有限差分格式稳定性的Fourier方法

un1 j
2
a
un j 1
2unj h2
un j 1
0,
解. 先把差分格式变形为
un1 j
un1 j
2a(unj1
2unj
un j 1
)
此处 =
h2
.
这是一个三层格式,一般先化为等价的二层差分方程组.
unj 1
v
n j
2a (unj 1
2unj
un j 1
)
v
n1 j
unj
unj 1
v
n j
(1.3) (1.4)
的隐式格式
unj
un1 j
a
un j1
2unj h2
un j 1
0,
的稳定性.
解. 先把差分格式变形为
(1.14)
a
un j 1
(1
2a )unj
aunj1
un1 j
此处 =
h2
.
aunj1
(1
2a )unj
aunj1
un1 j
令unj vneikjh，代入上面方程并消去公因子eikjh，
整理得：
vn1 (1 a(1 eikh ))vn
增长因子为：
G( , k) 1 a(1 eikh )
实际应用时，我们常用更严格的控制条件，即
| [G( , k)]|1
G( , k) 1 a(1 eikh ) 1 a(1 cos kh) ia sin kh
| G( , k) |2 (1 a(1 cos kh))2 (a sin kh)2
作业
P44 1. 3.
练习：对一维对流方程
u
t
a

结构动力学多自由度线性体系Wilson-θ法程序编写

多自由度线性体系Wilson -θ法程序编写【摘要】本文主要介绍了通过使用Matlab 软件，Wilson-θ法编写多自由度线性体系的程序的原理、流程图、具体算例以及使用注意事项。

通过该程序可以得到剪切型结构在任意函数荷载作用下各质点的位移函数。

【关键词】Matlab ；多自由度；Wilson-θ法1.wilson-θ法原理wilson-θ法中最主要的步骤就是推导由t 时刻的状态求t t ∆+时刻的状态的递推公式，现推导如下：对τ积分解出代入整理，得其中本程序的核心就是对以上公式的循环使用。

{}{}{}{})(t t t t t y y tyy -∆+=∆++θτθτt ∆=θτ{}{}{}{}{})(22t t t t t t yy t y y y-∆++=∆++θτθττ{}{}{}{}{}{})(6232t t t t t t t yy ty y y y -∆+++=∆++θτθτττ{}{}{}{}{})(21t t t t t t t yy t y t y y -∆+∆+=∆+∆+θθθθ{}{}{}{}{})2(6)(2t t t t t t t yy t y t y y +∆+∆+=∆+∆+θθθθ{}{}{}{}{}t t t t t t t y y t y y t y 26)()(62-∆--∆=∆+∆+θθθθ{}{}{}{}{}t t t t t t t yty y y t y 22)(3∆---∆=∆+∆+θθθθ[]{}[]{}[]{}{}t t t t t t t t P y k y C ym ∆+∆+∆+∆+=++θθθθ []{}[]{}[]{}{}P y k y C ym =++ []{}[]R y k t t =∆+θ[][][][]c tm t k k ∆+∆+=θθ3)(62[]{}{}{}[]{}{}{}[]{}{}{})223()26)(6()(2t t t t t t t t t t yt y y t c y y t y t m P P P R ∆++∆++∆+∆+-+=∆+θθθθθ{}{}{}{})(t t t t t t P P P P -+=∆+∆+θθ2.程序流程图求出各常数值For I=1 to n[][][][]c a m a k k 1++=3.具体应用算例如图所示，两自由度框架结构，其中初始静止，求各层位移。

wilson方程

wilson方程《Wilson方程》是由英国数学家E.N.Wilson在1920年发明的一种量子力学方程，它用来描述一系列量子物理的基本概念，其中包括量子力学的基础、粒子的分布、量子场理论以及这些概念之间的相关性。

《Wilson方程》是一个解释量子力学现象的强大理论，它为科学家们解释和描述这些知识提供了更广阔的视野。

《Wilson方程》是一个有三个参数的多项式方程，包括质量、能量和外场的参数。

这三个参数的结合表示了量子力学的基本原理，其中称为质量的参数用来描述粒子的质量，称为能量的参数用来描述粒子能量，称为外场的参数用来描述粒子周围物质的外场场环境。

为了描述量子力学现象，Wilson在他的方程中引入了一个新的概念粒子的质量，这个概念即粒子质量和粒子能量之间的差异。

粒子的质量是描述物体在它所处的外场环境中的重量，而粒子能量是描述物体在外力的作用下的运动状态，一般来说粒子的运动状态越活跃，它的能量就越高。

Wilson认为，由于量子力学中粒子的质量和能量存在着紧密的联系，所以它们必须以一种特定的关系来表达，于是他将它们放在一个多项式方程中，这就是所谓的《Wilson方程》。

这个方程被广泛应用于许多物理学领域，例如原子核物理学、外尔实验、高能粒子物理学、量子力学等。

它的计算可用来研究和描述原子核量子物理中的成分，从而更深入地理解量子物理和核物理的现象。

此外，它还被应用于量子场论的研究。

《Wilson方程》的发明标志着量子力学学科的发展，它为我们提供了一种更为洞察力更强的研究量子现象的方法，在量子力学研究中起到了十分重要的作用。

它不仅可以用来描述和研究量子现象，而且还可以用来计算和分析量子现象，从而为实验室的实验结果提供可靠的数学支撑。

《Wilson方程》的发明令科学发生了重大突破，从而为研究量子力学提供了更好的理论基础，为研究量子物理现象提供了更多的深入理解。

因此，《Wilson方程》对于科学界来说是非常重要的一项发明，它为量子力学理论的发展奠定了良好的基础，同时也为量子物理研究提供了强有力的支撑。

wilson法和newmark法的理论过程

从数学的角度来看，式（3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。

但是，由于[]M、[]C 和[]K的阶数非常高，使得式（3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。

目前，用于求解式（3.1）的方法，大致可分为两大类。

现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前q阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。

通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。

还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。

显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。

用Ritz矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。

二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。

线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。

主要有中央差分法，Houbolt 方法，Wilson -θ法和Newmark 方法等。

非线性动力学方程的求解方法

非线性动力学方程的求解方法1、概述在工程实际问题中，我们常常面临这样的选择：我们所遇的问题究竟是静力的还是动力的。

静力问题与动力问题，从力学的角度看就是是否考虑与加速度有关的力，而从数学求解方法看则是一个三维边值问题还是一个四维边值-初值问题。

在这个问题的选择上没有固定的原则，一般取决于我们研究者、分析者对工程问题的判断。

一般认为，实际工程大都是处于动力环境之中，因而属于动力问题。

但是，由于时间、经费等方面的原因的限制，我们不可能把所有的问题都按照动力问题的方法来分析。

对于许多具体的问题，与速度和加速度有关的力足够小，但是又影响结构分析结果的，将采用静力假定来模拟这些力。

线性的动力有限元控制方程如式(1-1)所示。

[]}{}]{[}]{[}{R q K q D qM =++ (1-1) 式中[M ][D ][K ]分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵，{R }为荷载列矢量，}{q、}{q 和}{q 分别是加速度、速度和位移列矢量。

式(1-1)的解法大体上可以分为两类：直接积分法和模态叠加法。

直接积分法在对控制方程进行数值积分之前不对方程做任何形式的变换，直接用数值积分的方法在时域上一步一步地对方程进行积分。

模态叠加法是在求解之前对方程进行某种数学变换，使基底降低，或使矩阵的带宽减小，再进行求解。

这两种方法在形式上不同，但是密切相关。

上述每一类求解方法中又有许多具体的解法，每一种解法又有各自的特点。

因此我们在选择一种方法求解一个问题时，要对该方法的收敛性、稳定性、效率、精度和费用等进行一些分析，讨论它对所求问题的有效性，从而使我们能够针对某一特定的问题，选择合适的方法。

直接积分法基于以下两条：(1)不是在求解时间区间内任意时刻t 都满足式(1-1)，而是在相隔△t 上的一些离散时刻满足式(1-1)。

(2)对位移、速度和加速度在每一时间区间△t 内变化的形式进行假设，事实上若把式(1-1)看成一个常系数微分方程组，便可以用任何一种有限差分格式通过位移来近似表示速度和加速度，因此不同的差分格式就得到不同的方法。

wilson法和newmark法的理论过程要点

第三章离散化结构动力方程的解法(2013.4.24）§3.1 绪言对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程[]{}[]{}[]{}{}（3.1）++=M u C u K u F(t)这里，{}u 、{}u 、{}u及{}F t分别表示加速度、速度、位移及所()作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。

从数学的角度来看，式（3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。

但是，由于[]M、[]C 和[]K的阶数非常高，使得式（3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。

目前，用于求解式（3.1）的方法，大致可分为两大类。

现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前q阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。

通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。

还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。

显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。

用Ritz矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。

二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。

线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。

主要有中央差分法，Houbolt 方法，Wilson -θ法和Newmark 方法等。

结构动力学数值积分方法-wilson

(10)
求解(10)式，得到位移 u t t 。然后采用(6)式计算得到加速度 a t t 。
a t t
6
t
2
6 u t t u t t v t 2a t
(11)
将加速度 a t t 代入到(1)式中，并令 t ，可以计算出加速度 a t t 。
其中，激振力可以用下式表达。
p t t p t p t t p t
(8)
(9)
由振动控制方程得到关于 u t t 表达式如下：
6m 3c k u t t 2 t t p t p t t p t 6 6 t 3 m u t v t 2 a t u t 2v t a t c 2 t 2 t t
2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3/3
西安交大航天学院仲继泽(hnskzjz@)
结构动力学数值积分方法(Wilson-θ) 及其 Matlab 实现
Xjtu-Zjz
Wilson-θ 方法是线性加速度方法的一种拓展。假设加速度在时间段 t , t t 内线性变化，首先计算时刻 t t 的位移，然后通过内插得到 t t 时刻的位移 (u)、速度(v)及加速度(a)。其中 1 ，相关研究证明， 1.37 时，Wilson-θ 方法是无条件稳定的。一般情况下，取 1.4 (至于为什么，本人没有做深入的研究)。 Wilson-θ 方法理论推导如下：记 t 为时间段 t , t t 内的任一时刻，对于一个单自由度振动系统来说，其初始时刻 t 的位移 u t 、速度 v t 及加速度 a t 为已知量，其 t 时刻的加速度可以用 t 时刻和 t t 时刻的加速度线性表达，见下式。

非线性随机延迟微分方程半隐式Milstein方法的均方稳定性

ｓａｉｔｔｂｌｙｉ
０引言
由于考虑了噪声环境及时问滞后对系统的影响，随机延迟微分方程往往能够更真实地描述科学实际中的问题．已经被广泛地应用于诸如经济学、械控制、物和人口动力学等研究领域．而除了少数的线性它机生然
考虑非线性标量随机延迟微分方程其中常数r0为延迟量埘t是一维标准wiener过程初值函数妒tec一r0r是凡可测的且满足eii妒02其中ii妒sup嘲ol妒1lji表示足空间中向量的范数如果函数fg充分光滑且满足lipschitz条件和线性增长条件则方程1有唯一强解xt
第２第９期６卷２１年９月００
稳定的条件．
本文主要针对一般的非线性随机延迟微分方程，明了如果系统本身的理论解满足均方稳定性条件，证那
么当方程的漂移项和扩散项满足一定的条件时，半稳式Ｍｌｅｉｔｎ方法也是均方稳定的．ｓｉ
究了Ｅｌｒｕｅ —Ｍａｕａ方法和半隐式Ｅｌ方法的均方稳定性并对Ｆｋｅ —Ｐａｃ方程，到了Ｍｉｔｉ方ｒｙｍａｕｅｒｏｋｒｌｎｋ得ｌｅｎｓ法的稳定性结论．０８年，志勇和张诚坚针对一般的非线性随机延迟微分方程，出Ｍｉｔｉ法均方２０王给ｌｅｎ方ｓ
王梅真
（福州大学数学与计算机科学学院，福建福州３００）５１８
摘
要：针对一般的非线性随机延迟微分方程，明了如果系统本身的理论解满足均方稳定性条件，么当方证那

wilson定理群论证明

wilson定理群论证明Wilson定理是一个关于质数的定理，用于在模p下计算(p-1)!的值。

群论是一种抽象代数学分支，研究代数结构的对称性质。

在本文中，我们将使用群论来证明Wilson定理。

首先，我们定义一个包含p个元素的群G={1,2,...,p-1}，并定义群运算为乘法(mod p)。

我们的目标是证明(p-1)！≡-1(mod p)。

接下来，我们引入一个重要的概念——二次剩余。

对于一个给定的质数p和一个整数a，如果存在一个整数x，使得x≡a(mod p)，则a是模p的二次剩余。

否则，a是模p的二次非剩余。

定理1：如果p是奇质数，则对于任意二次剩余a(mod p)，都有a(p-1)/2 ≡±1(mod p)。

证明：我们将群G中的元素分成两个部分：二次剩余和二次非剩余。

我们记二次剩余的个数为r，二次非剩余的个数为s。

显然，我们有r+s=p-1。

由于二次剩余和二次非剩余是群中的元素，因此它们的乘积也必须是群中的元素。

因此，如果a和b都是二次剩余，那么ab也是二次剩余。

同样地，如果a和b都是二次非剩余，那么ab也是二次剩余。

但是，如果a是二次剩余，b是二次非剩余（或者相反），那么ab是二次非剩余。

现在，我们考虑二次剩余a(mod p)的情况。

我们将所有的二次剩余按照它们的平方根对p取余的值分成两个部分：一个是1≡1(mod p)，另一个是除1以外的所有平方根对p取余都不等于1的二次剩余。

由于1≡1(mod p)，因此第一个部分只有一个元素。

而第二个部分中的每个元素都有两个平方根（一个是它本身，另一个是它的倒数），因此它包含偶数个元素。

根据定理1，每个二次剩余都可以写成模p的某个平方的形式。

因此，我们可以将所有二次剩余表示为b1,b2,...,br的形式，其中bi（1≤i≤r）是模p的某个整数。

根据上面的讨论，对于bi和bj （1≤i<j≤r），bi×bj是二次非剩余。

现在，我们考虑二次剩余的乘积a=p1×p2×...×pr。

冯诺依曼稳定性分析

冯诺依曼稳定性分析维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索数值分析中, 冯诺依曼稳定性分析 (亦作傅立叶稳定性分析) 用于验证计算线性偏微分方程时使用特定有限差分法的数值稳定性[1]，该分析方法基于对数值误差的傅立叶分解。

1947年英国研究人员John Crank和Phyllis Nicolson在文章中对该方法进行了简要介绍[2]，尔后又出现在冯诺依曼合作的文章中[3]。

洛斯阿拉莫斯国家实验室对该方法进行了进一步发展。

[编辑]数值稳定性数值稳定性与数值误差密切相关。

使用有限差分方法进行计算时，若任意时间步的误差不会导致其后计算结果的发散，则可称该有限差分法是数值稳定的。

如果误差随着进一步计算降低最终消失，该算法被认为稳定；若误差在进计算中保持为常量，则认为该算法“中性稳定”。

但如果误差随着进一步计算增长，结果发散，则数值方法不稳定。

数值方法的稳定性可以通过冯诺依曼稳定性分析得到验证。

稳定性一般不易分析，特别是针对非线性偏微分方程。

冯诺依曼稳定性方法只适用于满足 Lax–Richtmyer 条件（Lax 等价定理）的某些特殊差分法：偏微分方程系统须线性，常系数，满足周期性边界条件，只有两个独立变量，差分法中最多含两层时间步[4]。

由于相对简单，人们常使用冯诺依曼稳定性分析代替其他更为详细的稳定性分析，用以估计差分方法中对容许步长的限制。

[编辑]方法描述冯诺依曼误差分析将误差分解为傅立叶级数。

为了描述此过程，考虑一维热传导方程空间网格间隔为L, 对网格作FTCS（Forward-Time Central-Space，时间步前向欧拉法，空间步三点中心差分) 离散处理，其中。

为离散网格上的数值解，用于近似此偏微分方程的精确解u(x,t) 。

定义舍入误差。

其中是离散方程 (1) 式的精确解，为包含有限浮点精度的数值解。

因为精确解满足离散方程, 误差亦满足离散方程[5]：此式将确定误差的递推关系。

方程 (1) 和 (2) 中，误差和数值解随时间具有一致的变化趋势。

关于wilson-θ法的两点注记

关于wilson-θ法的两点注记
Wilson-θ法是一种新型的强化学习方法，专门用于解决离散实际决策问题，
具有模型效率高，学习高效率等优势。

首先，Wilson-θ法能够消除离散决策问题的“决策瓶颈”，其中包括模型有
效性、学习速度和算法效率等。

它使用一系列的立体参数来模拟决策行为，并通过模拟偏好评估与模拟实际决策来计算合适的行动。

其次，Wilson-θ法可以以不断
学习速度提高算法的精度。

它在每一轮迭代时会重新准备其参数，从而充分考虑实际决策中不断变化的可能性和约束条件，使算法更趋于准确。

此外，Wilson-θ法还普遍应用于现实世界中信息技术场景的决策行为。

例如，基于实时推荐系统中的顾客行为数据，使用Wilson-θ算法可以通过调整参数和选择合适的行动来更快的改善顾客体验。

此外，Wilson-θ法还可用于机器人控制，
在动态细节复杂的环境中有着出色的表现。

总之，Wilson-θ法是一种高效的强化学习方法，具有模型效率高，学习高效
率等优势，可以应用于现实世界中各种情境中的决策行为，如实时推荐系统和机器人控制中，发挥出色的执行效率。