数学概念及其逻辑结构

三、概念间的关系
有某种可比较关 系的概念. 例如，“正数”和“整数”就是可比较的概念， 而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念. 在可比较的概念间，有相容关系和不相容关系.
（一）相容关系 （Compatible relation ）
二、概念的内涵与外延
概 念 的 内 涵与 外 延 明确 了 ,就 可 以 更 好地 认 识 概念 ,把 握 概 念 ,否 则 就 会 出 现 错误 。 例 如 ,若 对“ 算 术 平 方 根 ” 这 个 概 念的 内 涵 不明 确 ,往 往 会 出 现 如 下 的 错误 :
(-2) 2
=-2，
( x - 1) 2 = x - 1
。
要 对 概 念 加深 认 识 ,不 仅 要 明确 概 念 的内 涵 与 外延 ,还 要 掌 握 概 念 的 内涵 与 外 延之 间 的 关系 。
（二）内涵与外延之间的关系
概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全 确定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定 导致概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联 系、互相制约的:当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩 小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。反过来也 一样。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。\例如,
物区别于另一种事物的根本依据。
数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的本 质属性的思维形式。 （二）产生与发展途径 概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。
数学概念的产生和发展有各种不同的途径：
1）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、 自然数等；
2）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近 代数学中的群、环、域、空间等；
3.从属关系（Inclusion）
如果A概念的外延包含B概念的外延,那么这两个概念
间的关系称为从属关系.
其中，A概念叫做B概念的属概念(或上位概念). B概念叫做A概念的种概念(或下位概念).
例如,“复数”、“实数”、“有理数”、“整数”它们之间的关
系是从属关系。
“复数”、“实数”、“有理数”都是“整数”的属概念. “整数”的三个属概念中，其内涵与整数概念之差最小的是“有
概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和,概 念的外延就是概念所反映的事物的总和(或范围).
例 如 ,“ 偶 数 ”这个 概 念 的内 涵 是“能 被 2 整 除的 整 数 ”这个性 质 ， 外 延 是“ 所 有 能 被 2 整 除的 整 数 构成 的 集 合” 。 “ 一 元 二 次方 程 ” 这个 概 念 的内 涵 是 “只 含 有 一个 未 知 数且 未 知 数 的 最 高次 数 是 二次 的 等 式” 这 个 性质 ,其 外 延 是 “ 一切 形 a x 2 +bx +c=0(a≠ 0)的 方 程 的全 体 ” 。
中学数学的逻辑基础
数学概念 数学命题 数学推理 数学证明
“初等数学，即常数的数学，是指形式逻辑的范 围内活动的，至少总的说来是这样。”（恩格斯） 中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，部分地 涉及辩证逻辑。 形式逻辑是关于思维形式及其规律的科学。概念、 判断、推理是思维的三种基本形式。 辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是 唯物辩证法在思维领域中的应用。
3）从数学内部的需要产生出来，例如为了把正整数幂的运算法则 扩充到有理数幂、无理数幂、实数幂，产生了零指数、负整数 指数、分数指数、无理数指数等概念；为了使所有的代数方程 都有解，产生了虚数、复数的概念； 4）根据理论上有存在的可能而提出来，例如自然数集、无穷远点、 无穷小、圆周率π等； 5）从一定的数学对象结构中产生出来的，例如多边形的顶点、对 角线、内角、外角等。
义,
在这个定义中,“正方形”是被定义概念,“邻边相等的矩 形”
2.定义的形式
……，叫做 ……
定义项 （Dp）
定 义 联 项
被定义项 （Ds）
注：定义的表达形式也有多种情况，除了上述： “DP叫做DS”，其他如：“DS就是DP”，“DS等于 DP”，“DS当且仅当DP”，“DP叫做DS”，“DP称为 DS”等等。例如：平行四边形就是两组对边分别平行
例如,“正数”与“负数”是对立关系的两个概念,因为它 们的外延互相排斥,其外延之和小于它们最邻近的属概
念“实数”的外延。
又如,“大于”与“小于”、
“锐角三角形”与“钝角三角形”、
“质数”与“合数”、 “等腰梯形”与“直角梯形”
等概念的关系都是对立关系.
2.矛盾关系（Contradiction）
如果某一概念的两个种概念A和B,其外延是相互排斥的,且 这两个种概念外延之和等于它们最邻近的属概念的外 延,那么这两个种概念A和B之间的关系称为矛盾关系. 这两个种概念称为矛盾概念。 例如,“负数”与“非负数”、“实数”与“虚数”、 “有理数”与“无理数”、“直角三角形”与“非直 角三角形”、“相等”与“不相等”等概念之间的关 系都是矛盾关系。
每个概念都是以下两者的统一： 1）对象或关系的集合——这个概念的外延。
2）这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的特征 性质——这个概念的内涵。 逻辑思维对概念的要求是：概念必须明确，即弄清一个 概念的内涵是什么，外延有哪些。从质和量两个方面 明确概念所反映的对象。
二、概念的内涵与外延
（一） 内涵与外延的含义
a a 0 - a ( a 0), ( a 0), ( a 0).
把 数 集 扩展 到 复数 后 , 复 数的 绝 对值 表 示 为｜ a bi ｜
2 2 a + b = (a,b 为实 数 ) 。
在数学教学中，认识概念的内涵与外延必须放在教材和一定的数 学学科体系中。 例如，角（平面几何 / 平面三角）
“直径”与“最大的弦”等,它们之间的关系都是同一关系。
在同一个思维过程中,具有同一关系的两个概念可以相
互代替使用.
2.交叉关系（Intersection） 外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系，称 为交叉关系. 这两个概念称为交叉概念。
例如,“等腰三角形”与“直角三角形”、“负数”与 “整数”、“菱形”与“矩形”等概念之间的关系都 是交叉关系。具有交叉关系的两个概念是可以互相说 明的,但是,必须用“有些”两字来限制,否则就错了。 例如,我们可以说“有些整数是负数”，也可以说“有 些负数是整数”；却不能说“整数是负数”,也不能说
（三）内涵和外延的发展变化
概念不是一成不变的，随着事物的发展变化和人类实践的不断深 入,概念的内涵和外延也会不断地发展变化。 例如：角的概念、三角函数的概念、数的概念等。
又 如 ,“绝 对 值 ”符 号 的 概念 ,它 随 着数 集 的扩 充 , 其 内容 不 断 丰 富 、充 实。在 有理 数 集 中 , 规定 有 理数 的 绝对 值 是 : 一个 正 数 和 零 的绝 对 值是 它 本身 ,一 个 负数 的 绝 对值 是 它的 相 反数 。 当 数 集 扩展 到 实数 的 绝对 值 除了 用 语 言阐 述 外 , 还表 示 为
“正方形是”——“四个角都是直角的平行四边形” / “有一个 角是直角的菱形” / “各边相等而且四个都是直角的平行四边 形”
在定义某概念的过程中得到的一串概念，从第二个起，每 一个都是前一个的种概念，这样追到了初始概念：不定义 概念。
（二）定义的构成与形式
1.定义的构成 被定义的概念+下定义的概念+联系词 被定义的概念是其内涵被揭示的概念,而下定义的概念 是用以揭示被定义概念内涵的概念,联系词一般使用 ‘是’、 ‘叫做’,表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系, 其 作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来。 例如,“邻边相等的矩形是正方形”是正方形的一种定
理数”，我们称“有理数”为“整数”的最邻近的属概念。
注意一：属、种概念具有相对性。 例如,对“整数”来说，“有理数”是属概念,
对“实数”来说，“有理数”是种概念;
注意二：要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有 从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然。 例如,“对数”与它的“首数”、“尾数”之间的关系是全体与部 分的关系，但不是从属关系。
掌握了概念间的关系,有助于加深理解概念,正确地使用 概念,避免出现概念或判断上的逻辑错误。 例如,“因为数a不是正数,所以数a一定是负数”,这一论 断是错误的。因为“正数”与“负数”是对立的概念, 不是矛盾的概念,在实数的外延中除了正负数外,还有 数零。又如,“a不大于b,即a＜b”这是错误的。因为 “不大于”与“小于”不是矛盾关系 .
（二）不相容关系 （Exclusive relation）
外延互相排斥(没有公共部分)的两个概念之间的关系称 为不相容关系,这两个概念称为不相容概念。不相容关 系分为对立、矛盾关系两种。
1.对立关系(反对关系Contrariety) 如果某一概念的两个种概念A和B,其外延是互相排斥的, 且这两个种概念外延之和小于它们最邻近的属概念的外延, 那么这两个种概念A和B之间的关系 称为对立关系， 这两个种概念称为对立概念。
外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系, 这两个概念称为相容概念。
在相容关系里,又分为同一关系、交叉关系和从属关系。
1.同一关系（Identity）
外延完全重合的两个概念A和B之间的关系称为同一关系.
例如，“直线”与“一次函数的图像”这两个概念，虽然它们
是从不同的角度来说明问题的,但是,它们的外延完全重合,是指 同一类对象。 又比如,“等腰三角形底边上的中线”与 “等腰三角形底边上 的高”；“等边的矩形”与“直角的菱形”；在同一个圆中
注意： 1.数学概念区别于其他领域概念的一个重要特征是：理想化、多级 抽象； 2. 在人的意识中形成概念，同表达它的语言、书写和符号分不开， 称表达数学概念的语词为数学概念的名称或术语。