实变函数第二章,第二节

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2.2 实变函数与泛函分析点集

5.几大定理

TH2.若 A B则A B，A B ，A0 B0 TH3. ( A B) A B (同学讲) ; A B A B (同学做); TH4.E为R n中有界无穷集，则E至少有一个聚点.
(补：. R n中有界点列有收敛子列)

TH5.(P40.TH5.)界点存在性
1.P0为 E的内点： 0, 使得O( p0 , ) E 记E 为 E的内部（内点全体）
内点一定属于E
0, 使得O( p0 , ) E P0为 E的外点： c c P0为 E 的内点: 即 0, 使得O( p0 , ) E
2.P0为 E的边界点：
2 2
1 则d ( x, y) d ( x, z) d ( z, , y) 1 x , y} 2 x 2 y max{
这与（*）式矛盾，所以 {O( x, ) | x A} 是一簇两两不交的开区间，
1 2 x
从而A至多可数。
3..聚点的等价描述
lim pn p 0 定义：称点列{pn} 收敛于p0 , 记为： n
保证收敛

保证点列互异
0
pn p 则上述取出的点列Pn是互异点列,且 lim n
4.接触点与聚点关系
pn p p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得 lim n
0
p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使得 n
lim pn p 0
P0为 E的接触点：记
E 为 E的闭包（接触点全体）
3. P0为 E的聚点：
记
E为 ' E的导集（聚点全体. ）

实变函数(程伟)

7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 11 11 11 11 13 13
第二章准备工作 2.1 集合论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4
n
集合的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 映射·基数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第五章 Lp 空间 5.1 5.2 凸不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
第一章实变函数论综述第二章准备工作21集合论211集合的运算212映射基数22的拓扑23代数borel集baire定理24作为度量空间10第二章准备工作第三章抽象lebesgue积分31可测集可测函数测度32lebesgue积分33收敛的模式12第三章抽象lebesgue积分第四章上的lebesgue测度41lebesgue测度的构造42lebesgue测度的不变性43关于lebesgue测度的注记44可测函数的连续性45riemann积分与lebesgue积分的关系46上的fubini定理14第四章上的lebesgue测度第五章空间51凸不等式52空间521一般l空间522卷积52316第五章空间第六章微分61hardylittlewood极大方法611vitali覆盖定理的开覆盖我们引入vitaili覆盖定理是为了解决下面看似矛盾的因素

实变函数论课后答案第二章2

实变函数论课后答案第二章2第二章第二节习题1.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =. 证明：因为'F F F = ，若F 为闭集，则'F F ⊂ 所以'F F F F F F F =⊂=⊂ 故F F =反过来，若'F F F F =⊂ ，则必有'F F ⊂ 从而F 为闭集.2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明对于任意常数a ，(){};x f x a >都是开集，(){};x f x a ≥都是闭集.证明：任取常数a ，若 (){}0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，0,0a x δ∃>，使()(){}00,,;a xx N x x f x a δ∈⊂≥.这表明(){};x f x a >是开集.任取常数a ，若{}(){};n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()f x 连续知 ()()0lim n n f x f x a →∞=≥故(){}0;x x f x a ∈≥这表明(){}(){}';;x f x a x f x a ≥⊂≥. 故(){};x f x a ≥是闭集.3.证明任何邻域(),N p δ都是开集，而且()(){}'',;,N p p p p δρδ=<（N 通常称为一闭邻域）证明：()0,p N p δ∀∈，则()00,p p ηρδ≤<()0,Q N p δη∀∈-，()()()00,,,Q p Q p p p ρρρηδηδ≤+<+-=故()()0,,N p N p δηδ-⊂. 故(),N p δ是开集得证.(){}(){}'''';,,;,n p p p p p p p p ρδρδ∀∈≤∈≤且 n p p → 则 ()(),0,,n n p p p p ρρδ→≤() ()() (),,,,n n n p p p p p p p p ρρρρδ≤+≤+. 令n →∞得 (),0p p ρδ≤+. 故(){}(){}''''';,;,p p p p p p ρδρδ≤⊂≤.表明(){}'';,p p p ρδ≤是闭集.又 (){}'';,p p p p ρδ∀∈≤令 11k px p k k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则() ()111,1,1,1k px p p p p p k k k k ρρρδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-≤-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()()1,,0k x p p p kρρ=→故(),,k k x N p x p δ∈→ 这表明(){}()()''';,,,p p p N p Np ρδδδ≤⊂⊂而()(){}'',;,N p p p p δρδ⊂≤故()(){}(){}()'''',;,;,,N p p p p p p p N p δρδρδδ⊂≤=≤⊂这表明()(){}'',;,N p p p p δρδ=≤.4.设∆是一有限闭区间，()1,2,3,n F n = 都是∆的闭子集，证明如果1n n F ∞==∅ ，则必有正整数N ，使1Nn n F ==∅ .证明：令1n n i i S F == ，则显知11n n n n F S ∞∞=== ，且12n S S S ⊃⊃⊃⊃ (),1i n F i n ∀≤≤为闭集，故n S 也为闭集.下证 N ∃，使1Nn N n F S ===∅ .反证，设,n n S ∀≠∅，则n n x S ∃∈⊂∆，由于∆是有限闭区间，{}n x 是有界点列，若{},1,2,3,n x n = 为无限集合，则由聚点原理{}n x ∃的子列{}00,,kkn n x xx x →∈∆由于12n S S S ⊃⊃⊃⊃故任取,m N k ∈充分大时kkn n m x S S ∈⊂，又m S 为闭集，且0kn m x x S →∈由m 的任意性知，011m n m m x S F ∞∞==∈==∅ 得矛盾. 若{},1,2,3,n x n = 为有限集合，则0n ∃，当()00max ,n n m ≥时，0n n m x x S S =∈⊂，故 011m n m m x S F ∞∞==∈==∅ 得矛盾.所以∃ N ，使得1NN n n S F ===∅ .证毕.设,n E R μ⊂是一族完全覆盖E 的开邻域，则有μ中的(或有限)多个邻域12,,,m N N N ，它们也完全覆盖了E （ Lindelof 定理）证明：设{};,I αμα=∈ΛΛ为某指标集，则E I αα∈Λ⊂ .,x E ∀∈∃ x α∈Λ，使得x x I α∈.由于I Λ是开集，0x δ∃>使(),x N x I δΛ⊂.由有理点在n R 的稠密性易知，存在有理点nx a Q ∈和有理数0x r >，使()(),,x x x x N a r N x I δΛ∈⊂⊂，而n R 中全体以有理点为心，有理数为半径的球作成集合与nQ Q ⨯的一个子集对等，故这些(){},;x x N a r x E ∈至多是一个可数集，从而相应的{};xIx E α∈也是至多可数集.而这些{};xI x E α∈显然为E 的一个开覆盖，因为(),xx x x E x EE N a r I α∈∈⊂⊂因为每一个上述(),x x N a r 包含在某个I α中，故存在至多可数个i I M ∈，使{};i I i ∈Λ成为E 的一个开覆盖.1. 证明nR 中任何开集G 可表成()1ni i G I ∞== 的形式，其中()()()(){}12;,,,,,1,2,3,,n i i in j j j I p p x xx c x d j n ==<<=证明：（注意这里并为要求()ni I 互不相交）设G 为n R 中的任意开集，则0x G ∀∈，由开集的定义，∃一个球形邻域()()000,0x x N x G δδ⊂>，令()00001200,,,;x x x n j x j I x x x x x x n n δδδ⎧⎫==-<<+⎨⎬⎩⎭则显然()000,x xx I N x G δ∈⊂⊂，且x x GG I G ∈⊂⊂ .故x x GG I ∈= ，x I 显然是开区间，也是开集，{},x I x G μ=∈为G 的一个开覆盖.由本节习题5，μ中的至多可数个123,,,,,n I I I I 完全覆盖了G所以1i i G I G ∞=⊂⊂ .所以1i i G I ∞== ，i I 都是开区间.故本题结论得证.2. 试根据B orel 有限覆盖定理证明Bolzano-Weierstrass 定理.证明：反证，设E 为有限无穷点集而无聚点，则'E =∅，从而'E E =∅⊂，故E 为有界闭集，且任意p E ∈，都是E 的孤立点.故0p δ∃>使(){},p Np E p δ= ，所以(),p p EE N p δ∈⊂.(){},pN p δ形成E 的一个开覆盖，由于E 为有界闭集，由Borel 有界覆盖定理，∃有限个()()11,,,,,m p mp Np N pδδ ，使()1,imip i E Np δ=⊂()(){}111,,iimmmip ip ii i i E E Np E N p p δδ====== .前已知(){},ii p i N p E p δ= .故{}1mi i E p == 为一有限集合，这与E 为有界无穷集矛盾.8. 证明nR 中任意非空开集的基数都是c .证明：∀开集n U R ⊂，显从n U R ⊂知n U R c ≤=.又存在一个点()00,0,,p U N x U δδ∈∃>⊂，()0,N x c δ=，故()0,U N x c δ≥≥. 所以Berrstein 定理知U c =. 证毕9. 证明对任意n E R ⊂，E 都是n R 中包含E 的最小闭集.证明：任取n E R ⊂，设F 是包含E 的人一闭集，则E F ⊂，''E F ⇒⊂ 所以''E E EF F F =⊂= ，因为F 为闭集所以''E F F ⊂=，所以E 是n R 中包含E 的最小闭集. 10. 对于1R 定义的实函数()f x ，令()()()'''',lim sup liminfx x x x W f x fx fx δδδδ++→→-<-<=-.证明：对任意的(){}0,;,x W f x εε>≥都是闭集.进而证明()f x 的全体不连续点作成一F δ集.证明：首先，当δ单调下降趋于0时，()''sup x x f x δ-<也单调下降趋于某极限（有限或无限）而()''inf x x f x δ-<单调上升地趋于某极限.故()()()'''',lim sup liminfx x x x Wf x fx fx δδδδ++→→-<-<=-是有确切定义的（可为无限值）先证明：()f x 在0x x =连续()0,0W f x ⇔=.证：先设()0,0Wf x =，则()00,0εδε∀>∃>使00δδ<<时()()''''sup infx x x x fx fx δδε-<-<-<所以y ∀满足0y x δ-<时()()()()''''0sup infx x x x fy f x fx fx δδε-<-<-≤-<故f 在0x 处连续.反过来，若()f x 在0x x =处连续，则()0000,,0x εδδε∀>∃=>，当00y x δδ-<<时，()()0fy f x εε-<-<又()000,x δδδε∀<=，''''''00,,,y y y x y x δδδδδδ∃-<-< 且()()()()'''''''sup ,infx x x x f x fy f y fx δδδδεε-<-<-≤≤+所以()()()()'''00sup x x f x f x fy f x δδεε-<--≤-<()()()()''''infx x f xf x f x f y δδεε-<--+≤-<不等式相加得()()()()''''''''sup inf220lim sup liminf4x x x x x x x x fx fx fx fx δδδδδδεεε++-<-<→→-<-<--≤≤-≤即()00,4,0W f x εε≤≤<任意.所以()0,0Wf x =为证(){}0;,x Wf x ε≥为闭集，只用证(){}0;,x W f x ε<为开集. (){}00;,x x Wf x ε∀∈<必有()0,Wf x ε<所以存在()00,0x δδε=>使()00,δδ∀∈时， ()()()()000sup inf ,2N x N x f f W N x δδδεδ-<()02y N x δ∀∈，由三角不等式，则()()02N y N x δδ⊂.故()()()02,,W f N y Wf N x δδε⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以()()02,lim ,Wf y W f N y δδε+→⎛⎫=< ⎪⎝⎭这说明()(){}02;,N x x Wf x δε⊂<故(){};,x Wf x ε<是开集，从而(){};,x W f x ε≥是闭集.由于()f x 在x 不连续的充要条件是(),0Wf x ≥.所以使x 不连续的点集为表为()11;,k F x Wf x k ∞=⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭. 由于()1,;,k x Wf x k ⎧⎫∀≥⎨⎬⎩⎭是闭集，故F 为一F δ集. 同时我们看出，全体使f 连续的点集是()11;,ck F x Wf x k ∞=⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭这是一个G δ集合.推广：（1）对1:n f R R →有一样的结论，只不过在定义(),Wf x 时，'x x -理解为n R 中的距离()';x x ρ，其它完全一样，因为三角不等式对().,.ρ成立，（2）若f 是n R 中的开集，G 到1R 的函数，则同样可定义()(),W f x x G ∀∈，因为当(){}0,;,,x x G W f x εε∀>∈<为开集，(){};,x G Wf x ε∈≥为闭集.f 的不连续点集为()11;,k x G Wf x k ∞=⎧⎫∈≥⎨⎬⎩⎭而f 的不连续点集为()11;,k x Wf x k ∞=⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. 11. 于n E R ⊂及实数α，定义()(){}1212,,;,,,n n E x x x x x x E αααα=∈ .证明当E 为开集，00,p E αα≠∀∈，则∃ 0E X ∈，使00p α=XE 开集，0E X ∈，故0δ∃>，使()0,N E δX ⊂.则∀()0,y N αδ∈X ，则yy αα=而0001y y y αδααδαααααX -X --=-X <=.故()0,yN E δα∈X ⊂从而yy E ααα=∈这表明()0,N E αδαX ∈，故E α为开集.若E 为闭集，0α=，则(){}0,0,0E α= 为单点集.当然是闭集，若0α≠，则0,n n p E p p α∈→，则0,,,nn n n n n p p E p p αα=X X ∈=X →表明nn p p αα=X →，而E 为闭集，0n p αX →，故np E α∈，从而0p p E ααα=∈.这说明()'E E αα⊂.从而得知E α为闭集.12. 设()fp 是定义于n R 上的实函数，证明()f p 在n R 上连续的充要条件是对于1R 中任何开集G .()(){}1;fG p f p G -∈ 都是1R 中的开集.证明：设1:n f R R →连续，G 为任一1R 中开集. ()10p fG -∀∈，则()0f p G ∈，由G为开集知，0δ∃>，使()()0,Nf p G ε⊂对上述()00,,0p εδδε>∃=>，使当()0,y N p δ∈时()()0fy f p ε-<故()()()0,fy N f p G ε∈⊂即()1y fG -∈.这说明()()10,N p f G δ-⊂故()1fG -为开集.现设对1R 中任意开集，()1,G fG -为开集，0,ε∀>()()0,Nf p ε是1R中的开集.故()()()1,fN f pε-是开集，而()()()100,p fN f pε-∈.故()()()()00,,f N p Nf p δε⊂所以()()()()00,,,y N p fy N f p δε∀∈∈.()()0fy f p ε-<这说明f 在0p 连续证毕13. nR 上的实函数()f P 称为是下半连续的，若对任意n P R ∈，都有()()()()()0,lim inf lim inf Q PP Q f P f Q f Q δρδ→→<≤ ，证明()f P 下半连续等价于对任意的实数(){},;P f P αα≤都是n R 中的闭集，也等价于(){};P f P α≤是n R 中的开集.现若f 下半连续，1R α∀∈，若(){}0;P P f P α∈>. 则()()()()000lim inf N P f P f Q δδα→<≤∀()00022f P αεε-<<，()0,0p δδε∃=>使()()()00inf N P f P f Q δαε<-<所以()0,y N P δ∀∈，有()()()()00inf N P f P f Q fy δαε<-<≤.所以()(){}0,;N P P f P δα⊂>.故(){};P f P α>为开集.（从而(){};P f P α>为闭集）f 在nR 上下半连续，0,0nP R ε⇔∀∈∀>，()0,0p δδε∃=>.当()0,P N P δ∈时，()()0f P f P ε-<-. 反过来，若(){}1,;R x f x αα∀∈>为开集.则()(){}000,0,;nP R P x f x f P εε∀∈∀>∈>-由于()(){}0;P f P f P ε>-是开集.所以()0,0P δε∃>使()()(){}00,;P N P P f P f P δε∈⊂>-()0,Q N P δ∀∈有()()0f P f P ε>-，即f 在n R 上下连续，故一个等价性得证.而f 在n R 上下连续(){}1,;R P f P αα⇔∀∈≤是闭集(){};P f P α⇔>是开集.下证(){}1,;R P f P αα∀∈≤()(){},;,nP y P Rf P y ⇔∈≤为闭集.先设(){};P f P α≤为闭集，α任意.所以()()(){},,;;n n n n n P y P y P R f P y ∀∈∈≤，00,n n P P y y →→. 所以0,,N ε∀>∃当n N ≥时0n y y ε≤+. 故(){}0;n P P f P y ε∈≤+，这是闭集. 而(){}00;n P P P f P y ε→⇔≤+ 所以()00f P y ε≤+，()0ε∀>故()00f P y ≤.这表明()()(){}00,,;;n P y P y P R f P y ∈∈≤是闭集.若()(){},;;n P y P R f P y ∈≤是闭集，而(){}0;,n n P P f P P P α∈≤→ 则()()(){},,;;nn P P y P Rf P y α→∈≤，()()0,,n P P αα→.因为()(){},;;n P y P R f P y ∈≤为闭集，故()()(){}0,,;;n P P y P R f P y α∈∈≤ 所以()0f P α≤.这说明(){}0;P P f P α∈≤ 故(){};P f P α≤为闭集. 得证.14. 设,A B 是n R 中的有界闭集，01λ<<，证明()(){}121;,,,n A B x x x x λλ+- 有()()1212,,,,,,,n n y y y A z z z B ∈∈ ，使()1,1,2,i i i x y z i λλ=+-= 为有界闭集.举例说明当,A B 无界时，()1A B λλ+-可以不是闭集. 证明：,A B 有界，故存在 M 使()22212,,n x A B x x x x x x M ρ∀∈==+++≤特别地 i x M ≤.()1x A B λλ∀∈+-，有()1x A B λλ∀∈+-使 ()1i i i x y z λλ=+-，故()1x y z λλ=+-.故()()()111x y z y z M M M λλλλλλ∈+-≤+-≤+-=. 所以01λ≤≤时，()1A B λλ+-也有界.为证()1A B λλ+-为闭集，设()1n x A B λλ∈+-，0n x x →，则,n n y A z B ∃∈∈使()1n n n x y z λλ=+-.由,A B 有界，()1n x A B λλ∈+-， ,n n y A z B ∈∈，由聚点原理，n y ∃的子列k n y 使0k n y y →，{}k n z 有子列{}k l n z 使0k l n z z →，{}k l n x 有子列{}k li n x 使()0k li nx x i →→∞ 从()1k k k lili li n n n x y z λλ=+- 所以()0001x y z λλ=+-，而,A B 为闭集，故00,y A z B ∈∈.从而有()01x A B λλ=+- 这说明()1A B λλ+-是闭集. 若,A B 不全是有界闭集时，()1A B λλ+-可不为闭集，在2R 上考虑()()(){}11,;,0,,,0;1,2,A x y y R x y x B n n ⎧⎫=∈∈∞=⎨⎬⎩⎭=-= B 是全由孤立点组成的集合，显然为闭集，但无界. 任取(),n n x y A ∈，若()()100,,n n x y x y R →∈，则00,x y 为有限数，故从01n n y y x =→知00x ≠ 所以00010,x y x >=这说明()00,x y A ∈，故A 为闭集合，显然 0x +→时，1y x =→∞，故A 无界. 但1122A B +都不是闭集.取()1,0,,n B n A n ⎛⎫-∈∈ ⎪⎝⎭ 则()111111,0,0,22222n p n n A B n n⎛⎫⎛⎫=-+=∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 显然()0,0n p →，但()110,022A B ∉+. 因为若()110,022A B ∈+，则()0001,0,,n B x A x ⎛⎫∃-∈∈ ⎪⎝⎭使 ()()0001110,0,,022x n x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故00011,0x n x =≥=得矛盾所以1122A B +不是闭集.。

实变函数第二章点集

第二章点集 §1. 度量空间， n 维欧氏空间d e f .设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数),(y x d 与之对应，满足：︒1 ()(),0.,0d x y d x y x y ≥=⇔=（非负性）︒2 对任意的()()(),,,,z X d x y d x z d y z ∈≤+（三点不等式）则称(),,d x y x y 是之间的距离，称(),X d 为度量空间，X 中的元素称为点. 注：(1)由︒1，︒2可以推出距离具有对称性：()(),,,,d x y d y x x y X =∈(2)子空间：若(),X d 为度量空间，(),.,Y X Y Y d ⊂≠∅则也是一个度量空间，称为(),X d 的子空间. (3)度量空间的例子及其性质见第七章.n 维欧氏空间定义为(){}112:,,,,,1,2,,n n i R x x x x x x R i n ==∈=，n R 中两点()()1212,,,,,,,n n x x x x y y y y ==的距离定义为()()1221,ni i i d x y x y =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑易证，对任何(),,,,n x y z R d ∈满足：（1）()(),0,,0d x y d x y x y ≥=⇔=（非负性）（2）()(),,d x y d y x = （对称性）（3）()()(),,,d x y d x z d z y ≤+ （三点不等式）注 1.从三点不等式可以推出，),(y x d 是),(y x 的二元连续函数，即当()()()(),0,,0,,n n n n d x x d y y d x y d x y →→→时，（当n →∞时）注2.对任何()12,,,,n n x x x x R x =∈的模（或长度）定义为2112),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑=ni i x X d x θ，)0,,0,0( =θ是n R 的原点.注3.在n R 中也可以定义其它的距离，例如：()()121,max ,,ni i i i ii d x y x y d x y x y ==-=-∑，其中()()1212,,,,,,,n n x x x x y y y y ==但以后所说的n R 中的距离一般是指()()1221,ni i i d x y x y =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.1def .设()(){}000,0,,:,nP R U P P d P P δδδ∈>=<记，称为0P 的δ邻域.或记为()0P U .邻域的性质：()()1P U P ∈；()()()()()()()1233122,,U P U P U P U P U P U P ⊂⋂对于和存在使； ()()()()()3Q U P U Q U Q U P ∈⊂对于，存在，使；()()()()()4P Q U P U Q U P U Q ≠⋂=∅对于，存在和，使2def .设{}()0123m mn P n R P R =⊂∈，，，，.如果()0lim 0n n d P P →∞=，，称点列{}n P 收敛于0P ,记为 0lim n n P P →∞=.注1.点列{}n P 收敛于P 0等价于：点列{}n P 的坐标序列收敛于P 0的坐标; 注2.点列{}n P 收敛于0P 等价于：对于0P 的任何邻域()0P U ，存在N ,当N n > 时，有()0n P U P ∈.3def .两个非空的点集B A ,的距离定义为()()inf P A Q Bd A B d P Q ∈∈=，，.4def .一个非空的点集E 的直径定义为()()sup P E Q EE d P Q δ∈∈=，.5def .设,n R E ⊂如果+∞<)(E δ,称E 是有界集.注1.n R 中点集E 是有界集等价于：存在()()00,,,.U P E U P δδ⊂使注2.n R 中点集E 是有界集等价于：存在常数K ,对所有E x x x x n ∈=),,,(21 都有),,2,1(||n i K x i =≤.注3.n R 中点集E 是有界集等价于：存在常数K ,对所有E x ∈,有)0,,0,0(0,)0,( =≤K x d .6def .n R 中的开区间定义为点集(){}12,,,:,1,2,,n i i i x x x a x b i n <<=，闭区间定义为点集(){}12,,,:,1,2,,n i i i x x x a x b i n ≤≤=，类似地定义左开右闭或左闭右开区间.记为I ,体积()1ni i i I b a ==-∏.§2.聚点，内点，界点设n n R P R E ∈⊂0,，则0P 与E 有三种可能的关系：（1）在0P 的附近没有E 的点. （2）0P 的附近全是E 的点.（3）0P 的附近既有E 的点，又有不属于E 的点.1def .若存在0P 的一个邻域()()00,E U P U P ⊂使，则称0P 为E 的内点.这时， 0P E ∈.若0P 是c E 的内点，则称0P 为E 的外点.这时，c 00P E ,P E ∈∉即.若对任何()()000,,,,cU P E U P E δδδ>⋂≠∅⋂≠∅，则称0P 为E 的界点.注：E 的界点不一定属于E .2def . 设0,.n n E R P R ⊂∈若对任何(){}()000,,U P P E δδ>-⋂≠∅，则称0P为E 的聚点.注1：E 的聚点不一定属于E . 注2：有限点集没有聚点.注3：E 的内点一定是E 的聚点. E 的聚点不一定是E 的内点.E 的聚点有可能是E 的界点. 1Th .....E A F T (1)0P 为E 的聚点.(2)对任何()00,,U P δδ>内含有E 中无穷多个点.(3)存在各项互异的点列{}0,n n P E P P ⊂→()n →∞.即：()0lim ,0n n d P P →∞=. 3def . 0,.n n E R P R ⊂∈若(){}()000,0,,,P E U P P E δδ∈∃>-⋂=∅且使则称0P 为E 的孤立点. 这时0,P E ∈但是0P 不是E 的聚点.若集合E 的每一点都是孤立点，则称E 是孤立点集. 注1：E 是孤立点集''.E E E ⇔⋂=∅表示E 的聚点全体.注2：E 的界点不是聚点就是孤立点注3：若一个点集E 没有聚点，即E '=∅，则称它是离散集.离散集是孤立点集，反之不一定.如例1.注4：空集∅没有聚点，也没有孤立点. 4def .设n E R ⊂，有(1)E 的内点全体称为E 的开核，记为︒E ； (2)E 的界点全体称为E 的边界，记为E ∂； (3)E 的聚点全体称为E 的导集，记为E '； (4)E E ' 称为E 的闭包，记为E 。

实变函数(全)总结

limAn limAn A
n
n
则称集列{An} 收敛，称其共同的极限为集
列 {An} 的极限集，记为：lim An A n
单调增集列极限
若集列{An}满足An An1(n N ), 则称{An}为单调增加 ; 若集列{An}满足An An1(n N ), 则称{An}为单调减少 ;
定理 9 ：单调集列是收敛的
从而A1, A2 , A3在f 下的象B1, B2 , B3也两两不交，
Bernstein定理的证明
从而A1, A2 , A3,两两不交, B1, B2 , B3,也两两不交
f
f
而且An ~ Bn (n 1,2,),所以 An ~ Bn
n1
n1
g
另外由Bk ~ Ak 1(k 1, 2,
g
), 可知 Bk ~ Ak 1
{x : lim n
fn (x)
f
(x)}
{x :|
fn (x)
f
(x) |
1 k
}
k 1 N 1n N
lim
n
fn (x)
f
(x)
:
1 k
1, N
1,n
N,有|
fn (x)
f
(x) |
1 k
A {x : ,有x A }
A {x : ,使x A }
例2
i 1
3.集合的运算性质
De Morgan公式
( A )c Ac
( A )c Ac
注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
4.上、下极限集
设A1, A2 ,, An ,是一个集合序列
上极限集
limAn (或lim supAn )

(完整版)《实变函数》第二章点集

第二章点集（总授课时数 8学时)教学目的：欧氏空间n R上的测度与积分是本课程的主要研究对象。

本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念。

通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集，闭集和Borel集，Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础。

本章要点由n R上的距离给出邻域，内点，聚点的定义,从而给出开集，闭集的定义.由开集生成一个σ-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别的性质。

应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观，可以帮助理解本节的内容。

本章难点Borel集、Cantor 集的性质。

授课时数8学时————-—---———————-——-——-—-—————本章先介绍n R中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集,并讨论了开集与闭集的性质及其构造。

最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.§1 度量空间，n维欧氏空间教学目的1、深刻理解n R中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用。

2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念,理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.3、了解邻域的四条性质.本节要点度量空间的概念。

本节难点度量空间的概念。

授课时数2学时——-———————————————-—————-——--—一、度量空间⨯→为一映射，且满足定义1：设X为一非空集合,d:X X R（1）(,)0d x y ≥,(,)0d x y x y =⇔= (正定性）（2）(,)(,)d x y d y x = （对称性)（3)(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式) 则称(,)X d 为度量空间。

例1：（1）欧氏空间(,)nR d ,其中(,)d x y =（2）离散空间(,)X d ，其中1(,)0x yd x y x y ≠⎧=⎨=⎩（3） [],a b C 空间（[],a b C 表示闭区间[],a b 上实值连续函数全体），其中(,)max |()()|a t bd x y x t y t ≤≤=-二、邻域定义2：称集合0{|(,)}P d P P δ<为0P 的δ邻域，并记为0(,)U P δ.0P 称为邻域的中心,δ称为邻域的半径。

实变函数复习手册

邢台学院数学系《实变函数》复习手册前言本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。

通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L 积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。

为以后学习其它课程打下良好的基础。

第一章集合本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。

为以后引入L 积分打下了基础。

§1 集合的概念理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。

§2 集合的运算深刻理解并集或和集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。

§3 对等与基数1 掌握有限集、无限集、一一映照、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。

2 了解基数概念，会比较两个集的基数大小。

§4 可数集合与自然数集合N 对等的集合称为可数集合。

1 任何无限集包含一个可数子集。

2 若A 是一个可数集合，B 是一个有限集合，则A ∪B 是可数集合。

3 有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。

4 有理数全体是一个可数集，代数数全体是一个可数集。

§5 不可数集合1 实数集全体R 不是可数集。

其基数记为c ，称与R 对等的集合具有连续基数。

2 任何区间具有连续基数，可数个c 集的并是c 集，实数列全体E ∞的基数是c 。

3 不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。

练习题一、选择题1、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体自然数B 、0，1之间的实数全体C 、[0，1]上的实数全体D 全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、全体小个子D 、{x ：x>1} 3、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体胖子 4、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体瘦子 5、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体小孩子B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体实数 6、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体大人C 、{x ：x>1}D 、全体整数 7、设{}:1A x x ααα=-<≤，I 为全体实数，则IA αα∈= （）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、(),-∞+∞D 、()1,+∞8、设11:11i A x x i i ⎧⎫=-+≤≤-⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、[]0,1D 、[]1,1-9、设1:01i A x x i ⎧⎫=≤<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、（0，1）B 、[]0,1C 、[)0,1D 、()0,+∞10、设11:12i A x x i i ⎧⎫=-<<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、[1，2]B 、（1，2）C 、（0，3）D 、(]1,211、设3:2i A x i x i ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}12、设11:i A x x i i ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}13、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,114、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,1 15、设(0,)n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、∅B 、[]0,nC 、RD 、()0,+∞ 16、设1(0,)n A n=，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、（0，1）B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、{0}D 、∅ 17、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 18、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 19、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(A-B)=（） A 、B B 、A C 、A ∩B D 、A ∪B20、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∪C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C 21、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∩C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C22、设A 、B 、S 是三个集合，且,A S B S ⊂⊂，则()s C A B -=（） A 、s s C A C B ⋃ B 、s s C A C B ⋂ C 、s C A B ⋃ D 、s C A B ⋂ 23、设A 、B 、S 是三个集合，()s C A B ⋃=（）A 、s s C A CB ⋃ B 、s sC A C B ⋂ C 、s C A B ⋃D 、s A C B ⋃ 24、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B-C)=()A 、A ∪C-B B 、A-B-C C 、(A-B)∪(A ∩C)D 、C-(B-A) 二、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A n =，则B =（）2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集，则B =（）3、若A c =，B c =，则A B ⋃=（）4、若A c =，B 是一可数集，则A B ⋃=（）5、若A c =，B n =，则A B ⋃=（）6、若{}n A 是一集合列，且n A c =，则1nn A∞= =（）7、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 8、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 9、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 10、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 11、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）12、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）三、判断题1、{0,1}={1,0}。

实变函数第二章点集

5/33
Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的开区间. • 类似地，可以定义左开右闭（左闭右开）区间. • 上述的各种区间统称为区间，记为 I.
3/33
度量空间
• 设 X 是一个非空集合，如果 d : X × X → R 满足下列条件：∀x , y , z ∈ X ，
(1) d(x , y ) ⩾ 0，且 d(x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y ； (2) d(x , y ) = d(y , x )； (3) d(x , y ) ⩽ d(x , z) + d(z, y )，则称 d(x , y ) 是 x , y 之间的距离，(X , d) 称为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点.
第二章 Rn 中的点集理论
作者：学院：
2020 年 11 月 3 日
1. 基本概念 2. 开集，闭集，完备集 3. 直线上的开集、闭集和完备集的构造 4. Cantor 三分集
1/33
§2.1 基本概念
2/33
度量空间
• 设 X 是一个非空集合，如果 d : X × X → R 满足下列条件：∀x , y , z ∈ X ，
5/33
Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的开区间. • 类似地，可以定义左开右闭（左闭右开）区间. • 上述的各种区间统称为区间，记为 I. ∏n • bi − ai (i = 1, 2, · · · , n) 称为 I 的第 i 个边长， (bi − ai ) 称为 I 的体积，

《实变函数论》第二章可测集与可测函数

证明1):当F为闭集时 F Fn , 其中Fn F (n) ,所以F为Fσ集
n 1
构造Gn
{x | d (x, F )
1}为开集 n
则F= Gn为G 型集
n 1
通过取余将 Gδ型集与 Fσ型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）得开集也既是Gδ型集又是Fσ型集
可数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；可数集是Fσ集无理数集通过有理数集取余是Gδ集
故m(E F ) 0
“(3)=>(1)已” 知: F型集F0 E, m*(E F0 ) 0
从而(E F0 )可测,即E F0 (E F0 )为可测集
定理２.3.5：里外接近
(1)E可测
(2) 0, 闭集F,开集G满足F E G，m *(G F )
(3)F型集F0，G型集G0满足F0 E G0且m *(G0 F0 ) 0
取闭集 F Gc (EC )C E
m(E F) m(E F c ) m(F c E) m(G Ec)
“(2)=>(3)”,对任意的1/n，
闭集Fn，使得E
Fn且m (E

)
1 n
令F Fn，则F为F 型集，E F且
n 1
0
m ( E
F)
m (E
Fn
)
1 n
,n
1,
2, 3,
E
i 1
Ei
其中mEi
对每个Ei应用上述（a)的结果
开集Gi，使得Ei
Gi且m(Gi
Ei )
2i
令G
i1
Gi
,
则G为开集，E
G，且
m(G
E)
m( i1
Gi

实变函数第二章习题解答

第二章习题参考解答1：证明：有理数全体是R '中可测集，且测度为0.证：（1）先证单点集的测度为0.R x '∈∀，令}{x E =.0>∀ε,N n ∈∀)2,2(11+++-=n n n x x I εεε，因为E I I E m n n n n ⊃=∞=∞=∑11||inf{* ε，n I 为开区间≤}∑∑∞=∞===112||n n n n I εεε.故0*=E m .所以E 可测且0=mE .（2）再证：R '中全体有理数全体Q 测度为0.设∞=1}{n n r 是R '中全体有理数，N n ∈∀，令}{n n r E =.则}{n E 是两两不相交的可测集列，由可测的可加性有：∑∑∞=∞=∞=====11100)(*n n n n n mE E m Q m .法二：设∞==1}{n n r Q ，N n ∈∀，令)2,2(11+++-=n n n n n r r I εεε，其中ε是预先给定的与n 无关的正常数，则：∑∑∑∞=∞=∞=∞===≤⊃=11)(112||}||inf{*i i nin i i nIQ I IQ m εεε .由ε得任意性，0*=Q m .2.证明：若E 是nR 有界集，则+∞<E m *.证明：若E 是nR 有界.则∃常数0>M ，使E x x x x n ∈=∀),,(21 ，有=EM x x ni i ni i ≤=-∑∑==1212)0(，即)1(n i i <≤∀，有M x i ≤，从而],[1M x M x E i n i i +-⊂∏=.所以+∞<=≤+-≤∑∏==nni ini i M M M x M x m E m )2(2],[**113.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零？解：不能.事实上，设nR E ⊂，E 中有一个内点 E x x x n ∈=),(1 .0>∃δ,使得E x x x O i ni i ⊂+-=∏=)2,2(),(1δδδ.则0)]2,2([**1>=+-≥∏=n i ni i x x m E m δδδ所以0*≠E m . 4.在],[b a 上能否作一个测度为a b -，但又异于],[b a 的闭集？解：不能事实上，如果有闭集],[b a F ⊂使得a b mF -=.不失一般性，可设F a ∈且F b ∈.事实上，若F a ∉，则可作F a F }{*=，],[*b a F ⊂.且mF mF a m mF =+=}{*.这样，我们可记*F 为新的F ，从而),(),(),(],[b a F b a F b a F b a -=-=-.如果∅≠-F b a ],[，即F b a F b a x -=-∈∃),(],[，而F b a -),(是开集，故x 是F b a -],[的一个内点，由3题，0),()],([)],([*≠-=-=-mF b a m F b a m F b a m .这与a b mF -=矛盾.故不存在闭集],[b a F ⊂且a b mF -=5.若将§1定理6中条件")("0∞<≥n k n E m 去掉，等式∀n n n n mE E m ∞→∞→<lim )lim (是否仍成立？解：§1定理6中条件")("0∞<≥n k n E m 是不可去掉的.事实上，N n ∈∀，令),1[n n E n --，则∞=1}{n n E 是两两相交的可测集列，由习题一得15题：∅==∞→∞→n n n n E E lim lim .故0)lim (=∞→n n E m ，但N n ∈∀，1),1[=-=n n m mE n .所以1lim =∞→n n mE .从而)lim (lim n n n n E m mE ∞→∞→≠.6.设1E ， ,2E 是)1,0[中具有下述性质的可测集列：0>∀ε，N k ∈∃使ε->1k mE ，证明：1)(1=∞=i i E m证：事实上，0>∀ε，因为N k ∈∃，ε->1k mEε->≥≥≥∞=1)(]1,0[11k i i mE E m m7.证明：对任意可测集B A ,，下式恒成立.mB mA B A m B A m +=+)()( .证明：A A B A B A )(-=且∅=-A A B A )(故 mA A B A m B A m +-=)()( .即)()()(A B m A B A m mA B A m -=-=-又因为)()(A B A B B -=.且∅=-)()(A B A B ，所以=mB)()(A B m A B m +-故)()(B A m mB mA B A m -=-，从而mB mA B A m B A m +=+)()( 8.设是1A ，2A 是]1,0[中的两个可测集且满足121>+mA mA ，证明：0)(21>A A m .证：212121)()(mA mA A A m A A m +=+ .又因为1])1,0([)(21=≤m A A m所以01)()(21212121>-+≥-+=mA mA A A m mA mA A A m9.设1A ，2A ，3A 是]1,0[中的两个可测集，且2321>++mA mA mA ，证明：0)(321>A A A m证：321321321)(])[()(mA A A m A A A m A A A m +=+ =)()()()(21321A A m A m A m A m -++.所以)()()()()][()(32132132121A A A m A m A m A m A A A m A A m -++=+又因为)]()()[(133221A A A A A A m =)]()[(32121A A A A A m =)][()(32121A A A m A A m +)][()[(32121A A A A A m -=)(21A A m + 321)[(A A A m ]][(321A A A m -.所以=)(321A A A m -+)][()(32121A A A m A A m )]()()[(133221A A A A A A m =)]()()[()()()()(133221321321A A A A A A m A A A m A m A m A m --++因为1]1,0[)(321=≤m A A A m1]1,0[)]()()[(133221=≤m A A A A A A m .所以02)()()(11)()()()(321321321>-++=--++≥A m A m A m A m A m A m A A A m .10.证明：存在开集G ，使mG G m >证明：设∞=1}{n n r 是]1,0[闭区间的一切有理数，对于N n ∈∀，令)21,21(22+++-=n n n n n r r I ，并且n n I G ∞==1是R '中开集2121121212111=-==≤∑∑∞=+∞=n n n n mI mG .而，]1,0[⊃G ，故mG m G m =>=≥211]1,0[.11.设E 是R '中的不可测集，A 是R '中的零测集，证明：CA E 不可测.证明：若CA E 可测.因为A A E ⊂ ，所以0*)(*=≤A m A E m .即0)(*=A E m .故A E 可测.从而)()(CA E A E E =可测，这与E 不可测矛盾.故CA E 不可测. 12.若E 是]1,0[中的零测集，若闭集E 是否也是零测集.解：不一定，例如： E 是]1,0[中的有理数的全体.]1,0[=E .0=mE ,但1]1,0[==m E m .13.证明：若E 是可测集，则0>∀ε，存在δG 型集E G ⊃，σF 型集E F ⊃，使ε<-)(F E m ，ε<-)(F G m证明：由P51的定理2，对于nR E ⊂，存在δG 型集E G ⊃，使得E m mG *=.由E得可测性，mE E m =*.则0>∀ε.0)(=-=-mE mG E G m .即0>∀ε，ε<-)(F G m . 再由定理3，有σF 型集F 使得E F ⊃.且ε<=-=-0)(mF mE F E m15.证明：有界集E 可测当且仅当0>∀ε，存在开集E G ⊃，闭集E F ⊃，使得ε<-)(F G m .证明：)(⇐N n ∈∀，由已知，存在开集E G n ⊃，闭集E F n ⊃使得nF G m n n 1)(<-. 令n n G G ∞==1，则E G ⊃.N n ∈∀，)(*)(*)(*n n n F G m E G m E G m -≤-≤-)(01∞→→<n n.所以，0)(*=-E G m .即E G -是零测集，可测. 从而，)(E G G E --=可测)(⇒设E 是有界可测集因为E I IE m n n n n⊃=∞=∞=∑11||inf{* ，n I 为开长方体+∞<}.故，0>∀ε，存在开长方体序列∞=1}{n n I ，使得E I n n ⊃∞=1.有2*||*1ε+<≤∑∞=E m IE m n n.另一方面，由E 得有界性，存在nR 中闭长方体E I ⊃.记E I S -=，则S 是nR中有界可测集.并且mE mI mS -=.由S 得有界可测性，存在开集S G ⊃*有2)(*ε<-S G m .因为E I ⊃，故S I G ⊃ *.因此mS I G m S I G m -=->)()(2** ε==--)()(*mE mI I G m))((*I G m mI mE --)(*I G I m mE --=令，I G I F *-=，则F 是一个闭集，并且由E I S I G -=⊃ *，有F IG I E =-⊃ *.因此2)()(*ε<--=-=-I G I m mE mF mE F E m ，从而，存在开集E G ⊃，闭集E F ⊃.有))()(()(F E E G m F G m --=- )(E G m -≤)(F E m -+εεε=+<22.由ε的任意性知，0})0{(*=⨯'R m .即}0{⨯'R 是零测集.从而，位于ox 轴上的任意集}0{⨯'⊆R E ，因此，E 为零测集.16.证明：若nm R E ⊂是单调增加集列（不一定可测）且m n E ∞=1，则m m m n E m E m *lim )(*1∞→∞==证明：m n E E ∞==1，即，E 有界并且E E E E E n ⊂⊂⊂⊂⊂⊂ 321故+∞<≤≤≤≤≤≤E m E m E m E m E m n *****321 ，即∞=1}*{m m E m 单调递增有上界.所以，m m E m *lim ∞→存在并且E m E m m m **lim ≤∞→下证：E m E m m m **lim ≥∞→.由于E 有界，可作一个开长方体),(1∏==∆ni iiβα，有N n ∈∀，∆⊂⊂E En.0>∀ε,因为n i n i i n E I I E m ⊃=∞=∞=∑11||inf{* ，i I 为开长方体}.故，存在开长方体序列}{i I 使得n i n E I ⊃∞=1，且ε+<=≤≤∑∑∞=∞=∞=111*||*)(**i n i i i i n n E m I I m I m E m .令∆=∞= )(1i n n I G ，则nG 为有界开集，且∆⊂⊂n n G E ，ε+<≤≤∞=n n i n n E m I m G m E m *)(***1.N n ∈∀，又令=n A k n G ∞=1),2,1( =n .且n n A A ∞==1，则由∆⊂⊂n n A E 知，}{n A 是单调递增的可测序列，由P46的定理4，n n n n mA A m mA E m ∞→∞→==≤lim lim *.又由，)(N n G A n n ∈∀⊂，有ε+<≤n n n E m mG mA *.从而ε+≤∞→∞→n n n n E m mA *lim lim .故ε+≤∞→n n E m E m *lim *.由ε得任意性，即得n n n E m mA *lim ∞→≤.从而，n n n m n E m E m mA *lim )(*1∞→∞=== .17.证明：n R 中的Borel 集类具有连续势.证明：为了叙述方便，我们仅以1=n 为例进行证明：用[,]b a 表示R '上的开区间，用),(b a 表示上的一个点.A 表示R '上的所有开区间的集合；Q 表示R '所有闭集；σρ和δϑ分别表示所有的σF 型集，所有δG 型集.因为R R b a R b a b a R b a b a A '⨯'⊂<'∈'∈=},,|),{(~},[,{]，又因为A R a b a R ⊂'∈'}[,{]~.故C R R A R ='⨯'≤≤'.所以C A =.又因为|{O A ⊆存在可数个开区间}{k I ，有}1k k I O ∞== .所以Q A ≤.又定义映射Q A →∞:ϕ，∞=∈∀∏A I ni i 1，有Q I I k k ni i ∈=∞==∏11)( ϕ.故ϕ是一个满射.所以C A A Q A C =≤=≤=∞∞)(ϕ. 故C A =.又定义：→∞Q:ψδϑ，→∞Q :τσρ,i i ni i O O ∞===∏11)( ψ,ci i ni i O O ∞===∏11)( τ则ψ与τ都是满射.所以 C Q Q Q C =≤==≤∞∞)(ψϑδ.即，C =δϑ.同理，C =σρ.记β时R '上的Borel 集的全体.因集合的“差”运算可以化成“交”运算，例如：c B A B A =- .因此，β中的每个元都是δσϑρ 中可数元的并，交后而成.故C C =≤≤=∞)(δσδσϑρβϑρ .∆⊂=⊂=∞=∞=A A E E n n n n 11从而，C =β.即，R '上Borel 集的全体的势为C .18.证明对任意的闭集F ，都可找到完备集F F ⊂1，使得mF mF =1.19.证明：只要0>mE ，就一定可以找到E x ∈，使对0>∀δ，有0)),((>δx O E m .证明：设n R E ⊂，0>mE .首先将n R 划分成可数边长为21的左开右闭的n 维长方体 }|)21,2({1Z m m m i i ni i ∈+= .则}|)21,2({11Z m m m E i i ni i ∈+== β互不相交且至多可数.不妨记为1}{)1(1A k k E ∈=β，N A ⊂1.因)1(1k k E E ==β，则0)1(>=∑kkE m mE .故N k ∈∃1，有0)1(1>k mE .又因}|)21,2({212)1(2Z m m m E i i ni i k∈+== β互不相交且至多可数.故可记2}{)2(2A k k E ∈=β，其中 N A ⊂2，又由，)2(2)1(k k k E E ==β.故0)2()1(>=∑k kk E mE ，所以， N A k ⊂∈∃22，有0)2(>k mE .这样下去得一个单调递减的可测集列 ⊃⊃⊃=)2()1()0(210k k k E E E E ，其中：N j >∀，)]21,2([)]21,2([{111j i n i j i j i ni j i j k jk m m E m m EE j j+=+===- .记)]21,2([1j i ni ji j m m E F +== ，故闭集列∞=1}{j j F 单调递减且N j >∀，)(0)21(21)(0)(+∞→→=≤≤<j mF E m jn nj j k jj . 由闭集套定理，j j F x ∞=∈∃1! .对于0>∀δ，因j nj mF )21(≤，取N j >0，使δ<0)21(j n .则 E x O m m E F x j i ni j i j ),()]21,2([0001δ⊂+=∈=，故0)),((0>≥j mF x O E m δ .20.如果nR E ⊂可测，0>α，记}),,(|),,{(11E x x x x E n n ∈= ααα.证明：E α也可测，且mE E m n⋅=αα)(.证明：（1）先证：E m E m n*)(*⋅=αα因为E I IE m i i i iαα⊃=∞=∞=∑11||inf{)(* ，i I 为开长方体}，对于开长方体序列∞=1}{i n I ，若E I i i α⊃∞=1，则E I i i ⊃∞=α11，E I i i ⊃∞=α11也是开长方体序列，且∑∞=≤1|1|*i i I E m α=∑∞=1||1i inIα.即∑∞=≤⋅1||*i i nI E m α.因此≤⋅E m n*αE I I i i i i α⊃∞=∞=∑11||inf{ ，i I 为开长方体}.另一方面，0>∀ε，因为E I IE m i i i i⊃=∞=∞=∑11||inf{* ，i I 为开长方体}.故存在开长方体序列n i i E m I αε+<∑∞=*||1*.所以E I i i αα⊃∞=*1 ，故εαααα+<==∑∑∞=∞=E m I I E m n i i n i i *||||)(*1*1*.由ε得任意性，知E m E m n *)(*αα≤.从而E m E m n *)(*αα=（2）再证：E α可测事实上，nR T ⊂∀，n R T ⊂α1，由E 得可测性，=)1(T m α+)1(*E T m α)1(*CE T m α.故，=)(1T m n α+)(*1E T m n αα )(*1CE T m n αα.因此=T m *+)(*E T m α )(*CE T m α .E α可测. 因此，当E 可测时，mE E m nαα=*.下面是外测度的平移不变性定理.定理（平移不变性）设nR E ⊂，nR x ∈0，记}|{}{00E x x x x E ∈+=+.则E m x E m *}){(*0=+证明：当E 是nR 中开长方体时}{0x E +也是一个开长方体，且其相应的边均相同，故E m E x E x E m *|||}{|}){(*00==+=+.如果E 是nR 中的任意点集，对于E 德任意由开长方体序列∞=1}{i i I 构成的覆盖，∞=+10}}{{i i x I 也是覆盖}{0x E +，且仍是开长方体序列，故≤+}){(*0x E m∑∑∞=∞==+110|||}{|i i i iI x I.所以≤+}){(*0x E m E I I i i i i ⊃∞=∞=∑11||inf{ ，i I 为开长方体}=E m *.即≤+}){(*0x E m E m *.下证：E m *≤}){(*0x E m +令}{01x E E +=，由上面的证明知，}){(*01x E m -+≤1*E m .所以=E m *}){(**}){(*0101x E m E m x E m +=≤-+.从而，E m x E m *}){(*0=+.21.设2)(x x f =，R E '⊂.是零测集，证明：}|)()(2E x x x f E f ∈==也是零测集.证明：设R E '⊂，0=mE（1）当)1,0(⊂E 时，0>∀ε，当0*=E m ，则存在开区间到∞==1)},({i i i i I βα使得)1,0(),(1⊂⊂∞=i i i E βα ，且2)(||11εαβ<-=∑∑∞=∞=i i i i iI.故==∞=)),(()(1i i i f E f βα)1,0(),(221⊂∞=iii βα .))(()(|)(|)(*12211i i i i i iii i i I f E f m αβαβαβ+-=-=≤∑∑∑∞=∞=∞=εεαβ=-=-≤∑∞=22)(21i i i .所以0)(*=E f m .。

第三版实变函数论课后答案

第三版实变函数论课后答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ⊂.证明：若()B A A B -=，则()A B A A B ⊂-⊂，故A B ⊂成立.反之，若A B ⊂，则()()B A A B A B B -⊂-⊂，又x B ∀∈，若x A ∈，则()x B A A ∈-，若x A ∉，则()x B A B A A ∈-⊂-.总有()x B A A ∈-.故()B B A A ⊂-，从而有()B A A B -=。

证毕2. 证明c A B A B -=.证明：x A B ∀∈-，从而,x A x B ∈∉，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ∀∈-，所以cA B A B -⊂.另一方面，c x A B ∀∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈∉，从而x A B ∈-，所以 c A B A B ⊂-.综合上两个包含式得cA B A B -=. 证毕3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ⊂（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧∈∧⊂.证：若x A λλ∈∧∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ⊂（∀λ∈∧）成立知x A B λλ∈⊂，故x B λλ∈∧∈，这说明A B λλλλ∈∧∈∧⊂.定理4中的（4）：()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=.证：若()x A B λλλ∈∧∈，则有'λ∈∧，使''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧∈⊂.反过来，若()()x A B λλλλ∈∧∈∧∈则x A λλ∈∧∈或者x B λλ∈∧∈.不妨设x A λλ∈∧∈，则有'λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧∈⊂⊂.故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧⊂.综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=.定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧=.证：()c x A λλ∈∧∀∈，则x A λλ∈∧∉，故存在'λ∈∧ ，'x A λ∉所以'c c x A A λλλ∈∧∉⊂从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧⊂.反过来，若c x A λλ∈∧∈，则'λ∃∈∧使'c x A λ∉，故'x A λ∉，x A λλ∈∧∴∉，从而()c x A λλ∈∧∈()c c A A λλλλ∈∧∈∧∴⊃. 证毕定理9：若集合序列12,,,,n A A A 单调上升，即1n n A A +⊂（相应地1n n A A +⊃）对一切n 都成立，则 1lim n n n A ∞→∞==（相应地）1lim n n n A ∞→∞==.证明：若1n n A A +⊂对n N ∀∈成立，则i m i mA A ∞==.故从定理8知11liminf n i m n m i mm A A A ∞∞∞→∞=====另一方面,m n ∀，令m i i mS A ∞==，从1m m A A +⊂对m N ∀∈成立知11111()()m i mi m i i m i mi m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞++==+=+=+==⊂==.故定理8表明1111limsup liminf n i m m n n n m i mm m A A S S A A ∞∞∞∞→∞→∞=========故1lim limsup liminf n n n m n n n m A A A A ∞→∞→∞→∞====.4. 证明()()A B B A B B -=-的充要条件是B =∅. 证：充分性若B =∅，则()()A B B A A A A A -=-∅∅=-∅==∅=∅-∅必要性若()()A B B A B B -=-，而B ≠∅则存在x B ∈. 所以()()x A B B A B B ∈-=-即所以,x A B x B ∈∉这与x B ∈矛盾，所以x B ∈.4. 设{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求()F A .又如果1;1,2,3,,S n n⎧⎫==⎨⎬⎩⎭01;A n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为奇数,{}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭,问()()01,F A F A 是什么.解:若{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,则(){}{}{}{},1,2,3,4,1,2,3,4F A =∅.若011111;1,2,3,,;1,,,,3521S n A nn i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭为奇数, 则从1111111,,,,,,,3521242ci i ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭, 易知()111111,,1,,,,,,,,3521242F A S i i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭. {}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭. 令11;1,2,,;1,2,212B i C i i i⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. {}{}{}1,F A S AK A B K C K A =∅==∅为的子集，或.证明: 因为{}111,,,,,321A B i ⎧⎫⎧⎫∈⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭的任何子集()1F A .所以有()1B F A ∈,而cB C =,故()1C F A ∈,又()1F A ∅∈. 任取B 的一子集A ,()1A A F A ∅=∈,且()1A C F A ∈. 显S A ∈,故只用证A 的确是一个σ-域.(1) ,c c S S A ∅==∅∈,且B ∀的子集A ,若K =∅,则,c KA A A C ∅==(B A -是B 的子集,故()()ccA A C F A ∅=∈)又B ∀的子集A ,()ccc c A C A C A B ==.显然是B 的子集,所以()()cc A C A B A =∅∈.又若n A 为B 的子集()1,2,3,,n n K C ==或∅.则()111nn n n n n n A K A K A K ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这里1n n A A B ∞==⊂是B 的子集.1n n K K C ∞===或∅.所以()1n n n A K A ∞=∈.若n A 中除B 的子集外,还有S ,则()1n n n A K S A ∞==∈.若n A 中有∅,不影响1n n A B ∞=⊂.故A 是σ-域,且()1F A A =. 证毕.6.对于S 的子集A ，定义A 的示性函数为()10A x Ax x A ϕ∈⎧=⎨∉⎩证明：（1）()()liminf liminf n n A A x x ϕϕ= （2）()()limsup limsup n n A A x x ϕϕ=证明：x S ∀∈，若()liminf n A x x ϕ∈则()liminf 1n A x ϕ=。

实变函数 (4)

由于E E ' E E ' {E的孤立点全体} 故 E E等价于E ' E
E E (因为E E显然) 说明：要证E是开集，只要证
要证E是闭集，只要证 E ' E或E E (因为E E显然)
例：开区间(a,b)为开集
证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 O( x, ) (a, b) ,
利用： p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得 lim pn p n 或 p 是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{p }, 使 lim pn p
0
得
0
n
n
0
Eº 开集为证明：只要证 E (E )

任取 x E
，
由内点的定义知 0, 使得O( x, ) E
注：
Eº 为含于E内的最大开集
O( x , )
E`为闭集
O( x , )
证明：只要证
( E ' )' E '
E
任取 x (E ' )' ，由聚点的定义知
0, 有O( x , ) ( E '{x})
O( x ', ')
取x ' O( x , ) ( E ' {x})，由x ' E '

定理（紧集的充要条件）（P303）：设X是度量空间， M是X中一子集，则M是X中的紧集的充要条件为对M 中任何点列，都存在子列收敛于M中一元素.
结论：R 中紧集与有界闭集等价但在一般的度量空间中，紧集必为有界闭集，而有界闭集不一定为紧集

实变函数论教案第二章

第二章点集在第一章里，我们介绍了一般的集合的基本知识，给出了一些重要概念和基本性质. 而实变函数课程研究的函数是定义在n 维欧几里得空间n R 的子集上的实值函数，因此，有必要对nR 中的点集作进一步的讨论. 本章在第一章的基础上，着重讨论n R 中的点集所特有的一些性质. 需要指出的是，因为n R 中点集也是集合，因而，在第一章关于一般的集合的所有结果对n R 中的点集都适用，但n R 中的点集所具有的许多特殊性质，对于一般的集合就不一定成立了.§1 度量空间，n 维欧氏空间教学目的：使学生了解n R 中点集的直径，区间概念，掌握邻域的概念及性质。

本节重点：距离空间、距离概念，n R 的几种常见距离规定方法，邻域的定义方式及性质。

在解析几何和数学分析中，我们已经对一维欧几里得空间1R （即R ，实直线），二维欧几里得空间2R （即实平面）和三维欧几里得空间3R （即现实的三维立体空间）有了比较深入的了解. 现在，我们讨论n 维欧几里得空间.定义设n 是正整数，由n 个实数构成的有序数组12(,,,)n x x x x = 的全体组成的集合，称为n 维点集，记作n R ，即n R =12{(,,,):,1,2,,}n i x x x x x R i n =∈= .为了深入研究n 维点集n R 中邻域、有界集、点列收敛等概念，需要对n R 中的点之间定义距离. 为了使问题讨论适用于更广泛的情形，我们对一般的集合给出距离的概念.定义设X 是一个非空集合，如果对于X 中任何两个元素x ，y ，都有一个确定的实数，记为(,)x y ρ，与之对应，且满足下面三个条件：（i ）非负性：(,)0x y ρ≥，而且(,)0x y ρ=当且仅当x y =；（ii ）对称性：(,)(,)x y y x ρρ=；（iii ）三角不等式：(,)x y ρ(,)(,)x z z y ρρ≤+，这里z 也是X 中任意一个元素. 则称ρ是X 上的一个距离，称(,)x y ρ是x ，y 之间的距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间（或度量空间）. 记为(,)X ρ.对于n R 中任意两点12(,,,)n x x x x = ，12(,,,)n y y y y = ，定义实函数1221(,)()ni i i x y x y ρ=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，则(,)x y ρ满足距离的三个条件（i ），（ii ），（iii ）. 称ρ为n R 上的欧几里得距离，称(,)n R ρ为n 维欧几里得空间.定义1 设0n P R ∈是一固定点，0δ>为一实数，则集合0{:(,)}P P P ρδ<称为以0P 为中心的δ邻域，记作0(,)U P δ.0P 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，某邻域当不需要指出半径时，可以简单地说是0P 的某邻域，记作0()U P ，显然，在23,,R R R 中的邻域0(,)U P δ，就分别是以0P 为中心以δ为半径的开区间，开圆和开球.容易证明邻域具有如下基本性质：（1）()P U P ∈；（2）对于1()U P 和2()U P ，存在312()()()U P U P U P ⊂ ；（3）对于()Q U P ∈，存在()()U Q U P ⊂；（4）对于P Q ≠，存在()U P 和()U Q ，使()()U P U Q φ= .定义 2 设{}k P 是n R 中一个点列，0nP R ∈，如果当k →∞时，有0(,)0k P P ρ→，则称点列{}k P 收敛于0P ，记为0lim k k P P →∞=或0()k P P k →→∞.用邻域的语言来说，就是：0lim k k P P →∞=⇔对0P 的任意邻域0()U P ，存在K N +∈，使当k K >时，0()k P U P ∈ 用“N ε-”语言来说，就是：0lim k k P P →∞=⇔对任意的0ε>，存在K N +∈，使当k K >时，0(,)k P P ρε<.定义3 设A ，B 是两个非空点集，A 与B 的距离定义为(,)inf (,)P A Q BA B P Q ρρ∈∈=.定义4 设A 是非空点集，A 的直径定义为()sup (,)P A Q AA P Q δρ∈∈=.定义 5 设E 为n R 中一点集，如果()E δ<∞，则称E 为有界点集（空集也作为有界点集）.显然，E 是有界集⇔存在常数M ，使对任意的12(,,,)n x x x x = E ∈，都有||(1,2,,)i x M i n ≤= .E 是有界集⇔存在常数K ，使对任意的12(,,,)n x x x x = E ∈，有(,)x O K ρ≤，其中(0,0,,0)O = 为nR 的原点.定义6 点集12{(,,,):,1,2,,}n i i i x x x a x b i n <<= 称为n R 中的开区间；如果把其中的不等式都改为(1,2,,)i i i a x b i n ≤≤= ，则称为n R 中的闭区间；如果把不等式都改为(1,2,,)i i i a x b i n <≤= 或(1,2,,)i i i a x b i n ≤<= ，则称为n R 中的左开右闭区间或左闭右开区间. 当没有必要区分上述各种区间时，统称为区间，记作I ，(1,2,,)i i b a i n -= 称为I 的第i 个“边长”，区间I 的体积，记为||I ，1||()nii i I ba ==-∏.§2 聚点，内点，界点教学目的：通过对欧式空间中特殊点（聚点，内点和界点）的概念的讨论，为本门课后面的学习打下基础. 本节重点: 聚点、内点、界点的定义及等价命题。

实变函数

南京理工大学实变函数（报告）前言如今，实变函数论已成为现代分析不可缺少的理论基础泛函分析的诞生，在一定程度上正是受到了实变函数的推动。

实变函数论的概念、结论与方法，已广泛应用于微分方程与积分方程理论、fourier 分析、逼近论等学科。

现代概率论已经完全建立在测度论与Lebesgue 积分论的基础上。

在这个意义上甚至可以说，概率论是“概率测度空间中的实函数论”。

实变函数论对于现代数学的重要性，于此可见一斑。

所有数学类专业及某些理工科专业将“实变函数”作为一门重要基础课，是理所当然的。

然而不幸的是，这门课程的名声欠佳。

尽管它为分析数学带来如此巨大的简化的理论，但是不少学过实变函数的学生包括我在内除了留下“抽象、晦涩”的印象之外，收获不多。

下面主要对Lebesgue 测度与积分作个人短浅的叙述。

第一部分测度与可测函数本部分包含两项相关的内容：测度与可测函数，二者构成本书核心内容“积分论”的基础。

引进测度有两个基本目的。

其一是为定义积分做准备，这无疑是主要目的。

正如对局域上的函数定义重积分需要区域的面积（或体积）概念一样，后者正是长度、面积与体积等几何度量概念的推广。

其二是用来精确刻画函数的性质，例如，若A 是函数f 的不可微点之全体，则A 的测度定量地刻画了f 的可微性。

测度论给函数的研究方法带来了革命性的变化，导致一系列深刻的结果。

1.1测度与可测集定义1.1.1设n R E ⊂.若{}k I 是n R 中的可数个开矩体，且有k I 1k E ≥⊂Y ，则称{}k I 为E 的一个L 覆盖.我们称为点集E 的Lebesgue 外侧度或简称外侧度. 定理1.1.2(i) 非负性：（ii ）单调性：若（iii ）次可加性：（iv ）距离可加性：若 ,则（v ）平移不变性：设推论1.1.3若{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑≥1*L E :)(inf )(m k k k I I v E 覆盖的为0;)Ф (,0)(**=≥m E m );()(E E 2*1*21E m E m ≤⊂，则)()(*11*k k k k k E m E E m Y Y ∞=∞=≤)()()(2*1*21*E m E m E E m +=Y 0),(d 21>E E ).()(,*0*0E m x E m R x n =+∈则.0)(*=⊂E m R E n 为可数点集，则定义1.1.4设n R E ⊂.若对任意的点集n R T ⊂.有则称E 为Lebesgue 可测集，简可测集.可测集的全体称为可测集类，简记M.)(*E m 称为E 的Lebesgue 测度，记为m(E).注：对于中任一点集E ，为了证明它是一个可测集，只需证明对任一点集n R T ⊂，有，这是因为总是成立的。

实变函数论课后答案第三版

1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ⊂.证明：若()B A A B -=，则()A B A A B ⊂-⊂，故A B ⊂成立. 反之，若A B ⊂，则()()B A A B A B B -⊂-⊂，又x B ∀∈，若x A ∈，则()x B A A ∈-，若x A ∉，则()x B A B A A ∈-⊂-.总有()x B A A ∈-.故()B B A A ⊂-，从而有()B A A B -=。

证毕2. 证明c A B A B -=.证明：x A B ∀∈-，从而,x A x B ∈∉，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ∀∈-，所以c A B A B -⊂.另一方面，c x A B ∀∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈∉，从而x A B ∈-，所以 c A B A B ⊂-.综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9.证明：定理4中的（3）：若A B λλ⊂（λ∈∧），则A B λλλλ∈∧∈∧⊂.证：若x A λλ∈∧∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ⊂（∀λ∈∧）成立知x A B λλ∈⊂，故x B λλ∈∧∈，这说明A B λλλλ∈∧∈∧⊂.定理4中的（4）：()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=.证：若()x A B λλλ∈∧∈，则有'λ∈∧，使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧∈⊂.反过来，若()()x A B λλλλ∈∧∈∧∈则x A λλ∈∧∈或者x B λλ∈∧∈.不妨设x A λλ∈∧∈，则有'λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧∈⊂⊂.故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧⊂.综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧∈∧∈∧=.定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧=.证：()c x A λλ∈∧∀∈，则x A λλ∈∧∉，故存在'λ∈∧ ，'x A λ∉所以'c c x A A λλλ∈∧∉⊂从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧⊂.反过来，若c x A λλ∈∧∈，则'λ∃∈∧使'c x A λ∉，故'x A λ∉，x A λλ∈∧∴∉，从而()c x A λλ∈∧∈()c c A A λλλλ∈∧∈∧∴⊃. 证毕定理9：若集合序列12,,,,n A A A 单调上升，即1n n A A +⊂（相应地1n n A A +⊃）对一切n 都成立，则 1lim n n n A ∞→∞==（相应地）1lim n n n A ∞→∞==.证明：若1n n A A +⊂对n N ∀∈成立，则i m i mA A ∞==.故从定理8知11liminf n i m n m i mm A A A ∞∞∞→∞=====另一方面,m n ∀，令m i i mS A ∞==，从1m m A A +⊂对m N ∀∈成立知 11111()()m i mi m i i m i mi m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞++==+=+=+==⊂==.故定理8表明1111limsup liminf n i m m n n n m i mm m A A S S A A ∞∞∞∞→∞→∞=========故1lim limsup liminf n n n m n n n m A A A A ∞→∞→∞→∞====.4. 证明()()A B B A B B -=-的充要条件是B =∅. 证：充分性若B =∅，则()()A B B A A A A A -=-∅∅=-∅==∅=∅-∅必要性若()()A B B A B B -=-，而B ≠∅则存在x B ∈.所以()()x A B B A B B ∈-=-即所以,x A B x B ∈∉这与x B ∈矛盾，所以x B ∈.4. 设{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求()F A .又如果1;1,2,3,,S n n⎧⎫==⎨⎬⎩⎭01;A n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为奇数,{}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭,问()()01,F A F A 是什么. 解:若{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,则(){}{}{}{},1,2,3,4,1,2,3,4F A =∅.若011111;1,2,3,,;1,,,,3521S n A nni ⎧⎫⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭为奇数, 则从1111111,,,,,,,3521242ci i ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭, 易知()111111,,1,,,,,,,,3521242F A S i i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭. {}1111,,,,321A i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭. 令11;1,2,,;1,2,212B i C i i i⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. {}{}{}1,F A S AK A B K C K A =∅==∅为的子集，或.证明: 因为{}111,,,,,321A B i ⎧⎫⎧⎫∈⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭的任何子集()1F A .所以有()1B F A ∈,而c B C =,故()1C F A ∈,又()1F A ∅∈. 任取B 的一子集A ,()1A A F A ∅=∈,且()1A C F A ∈. 显S A ∈,故只用证A 的确是一个σ-域.(1) ,c c S S A ∅==∅∈,且B ∀的子集A ,若K =∅,则,c KA A A C ∅==(B A -是B 的子集,故()()cc A A C F A ∅=∈) 又B ∀的子集A ,()cc c c A C A C A B ==. 显然是B 的子集,所以()()cc A C A B A =∅∈.又若n A 为B 的子集()1,2,3,,n n K C ==或∅.则()111nn n n n n n A K A K A K ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这里1n n A A B ∞==⊂是B 的子集.1n n K K C ∞===或∅.所以()1n n n A K A ∞=∈.若n A 中除B 的子集外,还有S ,则()1n n n A K S A ∞==∈.若n A 中有∅,不影响1n n A B ∞=⊂.故A 是σ-域,且()1F A A =. 证毕.6.对于S 的子集A ，定义A 的示性函数为()10A x Ax x A ϕ∈⎧=⎨∉⎩证明：（1）()()liminf liminf nnA A x x ϕϕ=（2）()()limsup limsup nnA A x x ϕϕ=证明：x S ∀∈，若()liminf nA x x ϕ∈则()liminf 1nA x ϕ=。

简明实变函数讲义(中文版)

A 的元素, 则用记号 a ∈ A 表示(读作 a 属于 A). 若 a 不是集 A 的元素, 则用记号 a ∉ A 表示
(读作 a 不属于 A). 不含任何元素的集称为空集, 用符号 ∅ 表示. 约定分别用 R , Q , N 和 Z 表示实数
1
集, 有理数集, 自然数集和整数集. 集的表示方法第一种方法: 列举法, 即列出给定集的全部元素. 例如
1
A = {x : f ( x) = 0}.
集的相等与包含设 A 和 B 是两个集. 如果 A 和 B 具有完全相同的元素, 则称 A 与 B 相等, 记为 A=B. 如果 A 的元素都是 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集, 记为 A ⊂ B (读作 A 包含与 B), 或 B ⊃ A (读作 B 包含 A). 若 A ⊂ B 并且 A ≠ B, 则称 A 为 B 的真子集. 按照这个定义, 空集 ∅ 是任何集的子集. 由定义知道 A = B当且仅当 A ⊂ B 并且 B ⊂ A. 集的运算并运算与交运算设 A 和 B 是两个集. 由 A 和 B 的所有元素所构成的集称为 A 与 B 的并集, 简称为并(图 1—1), 记为 A ∪ B. 即
n
§ 1.1
集与集的运算
教学目的集合论是本课程的基础 . 本节将引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的运算的基本概念. 本节要点 De Morgan 公式是以后常用的公式. 证明两个集的相等是经常要遇到论证, 应通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的极限, 学生应注意理解其概念.
t∈T t∈T t∈T t∈T
x ∈ Atc . 因此 x ∈ ∩ Atc . 这表明 ( ∪ At ) C ⊂ ∩ Atc . 上述推理可以反过来, 即从 x ∈ ∩ Atc

实变函数讲义(中文版)

D D i =1 n
n
(Hale Waihona Puke i =1))为积分值，定义并讨论新积分的性质(即第
五章内容)。以上所述，既是 Lebesgue 创立新积分的原始思路，也是传统教材介绍 Lebesgue 积分定义的普遍方法。鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方图形均为可测集。结合 Riemann 积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我门作大、小和更加灵活多样，以达推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推广,使得大量的象 Dinichni 函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积（体积）了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值（如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划、大（小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。
n 2 n +1 k =1 n → +∞ → n 处处
UE
k
下的小
和 s(f, Tn )，即 ∫ fdx = lim mG (Φ n , E ) = lim s( f , Tn ) 。这与定义(R)积分的分割、求和、
E n→∞ n→∞
取极限三大步骤基本相似；区别仅在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。”不仅是达前后呼应的目的，更重要的是展示了数学新体系形成过程中的“提出问题、分析问题、克服障碍解决问题、最后完善方法、简化思路”数学创新过程。
1≤i ≤ n

第二章 ,第二节开集与闭集

点列{a1 , a2 , a3 , a4 ,…} a1 = (a11, a12, a13, … ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, … , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, … ,a3n) … …
注：对无限维空间不一定成立。详细内容参见教材 p-183例6
⑵ Heine-Borel有限覆盖定理 Heine-Borel有限覆盖定理
任取 y ∈ O( x ,δ ) ，取 δ ' = δ d ( x, y )
则O( y ,δ ') O( x ,δ ) E
从而y 从而y为E的内点，从而 O( x ,δ ) E 所以x 所以x为E的内点，即 x ∈ ( E )
从而E ( E ) ，即E 为开集
O( y ,δ ')
E
注：
E为含于E内的最大开集为含于E内的最大开集
说明：要证E是开集，只要证 E E (因为E E显然) 要证E是闭集，只要证 E ' E或 E E (因为E E显然)
例：开区间(a,b)为开集例：开区间(a,b)为开集证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|}, 则 O( x ,δ ) (a, b) , 从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。
注： E 为包含E的最小闭集为包含E
⑵开集与闭集的对偶性
a. ( E ) c = ( E c )
(E ) = (E )
c
c
b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。
P0为 E的接触点： δ > 0, 有O( p0 ,δ ) ∩ E ≠ Φ P0为 E的聚点： δ > 0, 有O( p0 ,δ ) ∩ ( E { p0 }) ≠ Φ P0为 E的内点： δ > 0, 使得O( p ,δ ) E 0 P0为 E的外点：δ > 0, 使得O ∩ E = Φ,即O( p0 ,δ ) E c ( p0 ,δ )

实变函数第二章,第二节

2.2 实变函数与泛函分析 点集

实变函数(程伟)

实变函数论课后答案第二章2

实变函数第二章 点 集

实变函数(全)总结

(完整版)《实变函数》第二章点集

实变函数复习手册

实变函数第二章点集

《实变函数论 》第二章可测集与可测函数

实变函数第二章习题解答

第三版实变函数论课后答案

实变函数 (4)

实变函数论教案第二章

实变函数

实变函数论课后答案第三版

简明实变函数讲义(中文版)

实变函数讲义(中文版)

第二章 ,第二节 开集与闭集

2.2 实变函数与泛函分析点集

实变函数第二章点集

《实变函数论》第二章可测集与可测函数

第二章 ,第二节开集与闭集