实变函数第二章,第二节

m( Ai ) m A i
i 1 i 1
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下面证明若A i 两两不交，则 m( Ai )
i 1

mA
i 1 i

证明：T R ，有
n
n n i 1 n i 1
mT m (T ( Ai ) m* (T ( Ai ) c ) m (T ( Ai ) m (T ( Ai ) c )
例：零集E必为可测集
证明： T R

n
* c
有m T m (T E ) m (T E ) m ( E ) m (T ) m (T )
* *
从而m T m (T E) m (T E )
* c


即E为可测集。
2.Lebesgue可测集的性质
a) En是递增可测集列，令lim En E，则对T有
n
m * (T E ) lim m * (T En ).
n
特别的，我们有 m(lim An ) lim mAn
n n
b) En是递减可测集列，令 lim En E，则对m * T 有
n


若 An是递增集列，lim An An
n n 1
n 1
An A 1 (A 2 A 1 ) ( A n A n 1 )

若A，B可测，A B, mA , 则m( B A) mB mA 作业 P72：1,2,4,9
第二章 可测集与可测函数
第二节 可测集的定义及性质
Lebesgue外测度
m E inf{G : G开，且E G}
0, 开集G, 使得E G且m* E G m*E
即：用一开集G “近似”替换集合E

次可数可加性(即使Ａn两两不交)
m* ( An )
n 1 * m An n 1
证明:板书
特别地 m(S1 S2 ) mS1 mS2
定理2.2.3 :设S1,S2可测,则S1∪S2也可测,并且当S1∩S2 为空集时,对于 任意集合T总有
m* [T (S1 S 2 )] m* (T S1 ) m* (T S 2 )
推论2.2.1:设Si(i=1,2,…,n)都可测,则 S i 也可测,并且当 i 1 Si S j (i j ) 时,对于任意集合T总有
n * c 定理2.2.1:集合E可测（即T R , 有m T m (T E) m (T E )
）
A E, B E , 有m ( A B) m ( A) m ( B)
c *


证明：(充分性） T
R
c
n
令A T E, B T E 即可
* i 1 i 1
从而 Ai可测,
i 1



* c m ( T A ) m ( T ( A ) ) i i i 1 i 1

n
并用T Ai 代
i 1

入（*）式， 即得结论
从而m T m (T Ai ) m (T ( Ai ) )
定义2.2.1[可测集]: 设E为R n中的点集
若T R , 有m T m (T E) m (T E )
n


*
c
（Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集， 此时E的外测度称为E的测度，记作 mE
L可测集的全体记为μ
E
T∩E T∩Ec
Ec
注意到T (T E ) (T E c )及次可数可加性 , 我们有m *T m * (T E ) m * (T E c ),故欲证m *T m * (T E ) m * (T E c ) 只需证m *T m * (T E ) m * (T E c )
(必要性)令
T A B
定理2.2.2 集合E可测（即 T Rn , 有mT m (T E) m* (T E c ) ）
E c 可测
定理2.2.3 :设S1,S2可测,则S1∪S2也可测,并且当S1∩S2 为空集时,对于 任意集合T总有
m* [T (S1 S 2 )] m* (T S1 ) m* (T S 2 )
* c i 1 i 1
(*)
m (T ( Ai )) m (T ( Ai ) c )
* i 1 i 1



另外显然有 m T m (T ( Ai )) m (T ( Ai )c )
* i 1 i 1




从而m T m (T ( Ai )) m (T ( Ai )c )
A , A B, A B, A B, Ai , Ai
c i 1 i 1


若 Ai两两不交，则（测度的可数可加性）
m( Ai ) m A i
i 1 i 1
若 A,B可测， A B, mA , 则有可减性 m( B A) mB mA
单调可测集列的性质
* i 1 i 1




(测度的可数可加性)
设{Ai}是一列互不相交的可测集,则 m( Ai ) m A i
i 1 i 1
设{Ai}是一列可测集,则 Ai 也可测.
i 1

证明:板书
定理2.2.6:设{Ai}是一列可测集,则
A 也可测.
i i 1

小结
若A,B,Ai 可测，则下述集合也可测
m * (T E ) lim m * (T En ).
n
同样的，我们有 m(lim An ) lim mAn
n n
注：条件m *T 不能少，例如 En [n,), T (,).
注：若 An是递减集列，lim An An
n n 1
i 1
n
推论2.2.3:设S1,S2可测,则S1-S2也可测 .如果 S1 S2 ，且 m S2 则 m*[T (S S )] m* (T S ) m* (T S )
1 2 1 2
特别地取T=Rn,有 m(S1 S2 ) mS 1 mS2
定理2.2.5:设{Ai}是一列互不相交的可测集,则
n
m*[T ( Si )] m* (T Si )
i 1 i 1
n
n
特别地当
Si S j (i j )时,
n n
令T=
R n ,则
m( Si ) m( Si )(有限可加性 )
i 1 i 1
定理2.2.4:设S1,S2可测,则S1∩S2也可测.
推论2.2.2 : 设Si (i 1,2,...,n)都可测, 则 Si也可测.