直线参数方程教学案例
直线的参数方程(第一课时)
教 案直线的参数方程（第一课时）教学设计一、教学目标1、初步能推导直线的参数方程，理解其几何意义2、了解何时选用直线的参数方程3、体会参数方程的消元作用，初步能用联系的观点理解参数的意义二、教学重点：直线参数方程的推导及简单应用三、教学难点：直线参数方程几何意义的应用四、教学过程1、引入：引例1. 直线的参数方程方案1. 已知直线上定点M 0（X 0、y 0）和倾斜角解决1. 如图1. 述M 0作X 轴、Y 轴垂线交于H在RT △MHM 0中易得cos sin x xo MMo x y yo MMo x=+⎧⎨=+⎩ 当点M 与Mo 重合时也适合⊗⎩⎨⎧=+=+==⎩⎨⎧-=-=为参数的参数方程可得直线合左行时也可得在同理，当t x ts yo y x t xo x mmosocx yo y x mmo xo x mo cos l , ter |t ||mmo |cos m 其中，参数t 为几何意义是｜t ｜表示直线上任一点M 0到定点M 的距离，式称为直线参数方程的标准式。
解法2. 从直线普通方程化为参数方程)t (0cos 0x cos )(cosxsomx yo y )x -mx(t =y -y 的点斜式方程为L 直线0X 2)1(为参数即得记比值为时或π当⎩⎨⎧+=+=-=-⇒-==⇒≠≠tsomx y y x t x t x xo x somx yo y xo x x X ⊗为参数注意：也可写成的距离到定点表示直线上统一点的几何意义是其中参数为参数的参数方程为直线时也适合上式或当t o t M M |t |)(o Yo y cos t Xo X 02)2(⎩⎨⎧+=+=⎩⎨⎧+=+=∴==ttaonX Y Y Xo X o t t mXTs X l X X2.解法3，用向量方法推导直线的参数方程如图2的几何意义同上为参数的倾斜角则为直线，，可以取为参数，）（使得则存在平行即与非零向量若直线t t cos ,cos ),(,R 11),(a ),(⎩⎨⎧=+=+===⎩⎨⎧+=+=⇒==-=--xts go y x t xo x l x somx m x l ter t tmyo y tl xo x m l t yo y xo x T l MoM m l l Yo Y Xo X MoM ε你还有其他方案吗？程的非标准形式式为直线参数方的水平距离与定点终点的几何意义表示直线上其中参数时，符合）当（为参数，则记比值为时当的点斜式方程为直成和斜率⋯⋯⎩⎨⎧+=+==⎩⎨⎧+=+=-=≠=@o @x 2)(k yo -y 0k (1)xo)-k(x yo -y l K Yo ）o,X o(M 上定点L 已知直线 2.方案m m t ktyo y t xo o k t ktyo y t xo x t xo x 练习2(1)o(1,2)32m,103203(t )cos 20l M x y x tsom o y t o χ+-==+⎧⎨=⎩设直线过点倾斜角为试写出它的一个参数方程。
直线的参数方程及其应用学案
直线的参数方程及其应用学案一、直线的参数方程定义：直线是平面上的一种图形，可以用直线上的一个点和方向来唯一确定。
通过参数方程，可以将直线的方程转化为参数的形式。
x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)为直线上的一个点，a和b为直线的方向向量。
二、直线参数方程的应用：1.直线的点线距离：直线的一般方程为Ax+By+C=0，点(x0,y0)到直线的距离为：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)利用直线的参数方程，可以将点线距离公式转化为参数的形式：d=，(a,b)×(x0-x,y0-y)，/√(a^2+b^2)其中，(a,b)为直线的方向向量，(x,y)为直线上的点坐标。
2.直线的夹角：直线的夹角是指两条直线之间的夹角，可以通过直线的方向向量来求解。
直线的方向向量为(a,b)和(c,d)，夹角θ的余弦公式为：cosθ = (a * c + b * d) / (√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2))3.直线的平行与垂直关系：两条直线平行或垂直的条件为，它们的方向向量成比例或互相垂直。
假设直线的方向向量分别为(a,b)和(c,d)，则有以下判断条件：-平行关系：a*d-b*c=0；-垂直关系：a*c+b*d=0。
4.直线的位置关系：两条直线的位置关系可以通过它们的方向向量和一个公共点来判断。
-相交关系：两条直线的方向向量不成比例，且它们通过一个公共点；-重合关系：两条直线的方向向量成比例，且它们通过无穷多个公共点；-平行关系：两条直线的方向向量成比例，且它们不通过任何公共点。
三、直线参数方程的解题步骤：1.根据已知条件确定直线的方向向量(a,b)；2.根据直线上的一个点(x0,y0)和方向向量(a,b)，写出直线的参数方程；3.根据具体的问题要求，进行参数的取值范围限制；4.根据参数方程求解具体的点坐标，或利用参数方程进行相关计算。
四、直线参数方程的例题分析：例题1：已知直线L1的一个点为A(2,3)，方向向量为(1,-2)，求直线L1与直线L2：x=3t+1,y=2t-1的夹角。
直线参数方程教案
直线参数方程教案教案标题：直线参数方程教案教学目标：1. 理解直线的参数方程表示方法；2. 掌握求解直线参数方程的方法；3. 能够应用直线参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、计算器等；2. 学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入直线方程的概念，提醒学生之前学习过的直线方程形式；2. 引导学生思考，直线是否可以用参数方程来表示。
二、讲解直线参数方程的概念（10分钟）1. 教师通过示意图，引导学生理解参数方程的概念；2. 解释直线参数方程的定义和意义；3. 提供直线参数方程的一般形式：x = x₁ + at, y = y₁ + bt，并解释各个参数的含义。
三、求解直线参数方程的步骤（15分钟）1. 教师通过示例，详细讲解求解直线参数方程的步骤；2. 强调确定直线上的一点和直线的方向向量的重要性；3. 指导学生如何通过已知条件确定直线上的一点和直线的方向向量。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生个人或小组完成练习题，求解给定直线的参数方程；2. 学生互相讨论解题思路和答案，教师进行指导和纠正。
五、应用实例（10分钟）1. 教师提供一个实际问题，引导学生将其转化为直线参数方程的求解；2. 学生个人或小组完成实际问题的求解，并展示解题过程和答案。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调直线参数方程的重要性和应用；2. 引导学生思考，直线参数方程在其他数学领域的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固直线参数方程的求解方法；2. 鼓励学生自主拓展，寻找更多直线参数方程的应用实例。
教学反思：教案中通过导入、讲解、练习、应用等环节，全面引导学生理解和掌握直线参数方程的概念、求解方法和应用实例。
通过练习和应用实例的训练，能够提高学生对直线参数方程的理解和运用能力。
同时，鼓励学生自主拓展，培养学生对数学知识的独立思考和应用能力。
《2-3 直线的参数方程》教案
选修4-4 2-3直线的参数方程（第二课时）一、教学目标：知识与技能：掌握直线的参数方程。
过程与方法：.通过直线参数方程的应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化等数学思想。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：对直线的参数方程的考查。
教学难点：直线的参数方程中参数t 的几何意义。
三、教学方法：自主学习与合作交流.四、教学过程（一）复习引入：（1）经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）。
【师生活动】教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； ②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．（2）直线 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，对应的参数分别为12,t t 。
（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？12121M M t t =-（）， 1222t t t +=（） 【设计意图】复习直线的参数方程，体会参数的几何意义。
（二）基础练习1．直线 的倾斜角为________________。
2．已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，求B 点坐标 ________。
《直线的参数方程》教案
《直线的参数方程》教案（第1课时）一、【教学目标】1、知识与技能：能根据直线的几何条件，选择参数写出直线的参数方程；能比较深刻的理解直线参数方程中参数t的几何意义并初步应用;2、过程与方法：启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用3、情感态度价值观：在探求直线参数方程中注重锻炼学生的发散式思维，在探究活动中培养学生思考问题的严密性和概括能力.二、【教学重点、难点】重点：联系向量知识写出直线的参数方程,并理解参数的几何意义；难点：从直线的几何条件联想到向量；参数t的几何意义及简单应用的探究.三、【教学方法与手段】启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用四、【教学过程】（一）复习引入1、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2、根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？3、根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样选择参数？（二） 任务一：探求直线的参数方程1.我们知道过定点000(,)M x y ，且倾斜角为α（2πα≠）的直线l 可以唯一确定，其普通方程是00tan ()y y x x α-=-.2.其参数方程如何建立呢？引导学生思考：倾斜角可以刻画直线的方向，那么能否换一个量来刻画直线的方向呢？从而引进直线l 的单位方向向量(c o s ,s i n ),[e αααπ=∈.又000(,)M M x x y y =--，0//M M e ，由向量共线定理的坐标表示易知存在实数t R ∈，使得00(,)(cos ,sin ),x x y y t αα--=化简得直线的参数方程为（三）梳理归纳（1）直线的参数方程中的变量和常量；（2）直线参数方程的形式；(3) 参数t 的取值范围是什么?（4) 参数t 的意义是什么? （问而不答，通过探究表让学生自己探究，见附页）{00cos ,(t )sin ,x x t y y t αα=+=+为参数随堂检测：（四） 探究参数的几何意义及简单应用梳理归纳：参数t 的意义主要体现在2个方面：①t 的大小（即绝对值）等于0M M 的长度（即0M 与M 的距离）； ②t 的正负决定了0M M 的方向.（五）、任务二：例题讲解通过例题数学生对直线参数方程以及参数t 的几何意义理解更清楚，如下例。
直线的参数方程 教案
直线的参数方程教案教案标题：直线的参数方程教案目标：1. 理解直线的参数方程的定义和概念；2. 掌握求解直线的参数方程的方法；3. 能够应用直线的参数方程解决实际问题。
教学重点：1. 直线的参数方程的定义和概念；2. 求解直线的参数方程的方法。
教学难点：1. 运用直线的参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、黑板、彩色粉笔、教案、课件；2. 学生准备：课本、笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线的概念，复习直线的一般方程和斜率截距方程。
二、知识讲解（15分钟）1. 介绍直线的参数方程的概念和定义；2. 讲解直线的参数方程的一般形式和求解方法；3. 通过示例演示如何将直线的一般方程或斜率截距方程转化为参数方程。
三、示范演练（15分钟）1. 给出一些直线的一般方程或斜率截距方程，要求学生转化为参数方程；2. 学生跟随教师的指导进行演练。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直线的参数方程解决；2. 学生独立或小组合作完成拓展应用题。
五、讲评与总结（10分钟）1. 教师对学生的演练和拓展应用进行讲评；2. 总结直线的参数方程的求解方法和应用。
六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业：完成课后习题中与直线的参数方程相关的题目。
教学反思：本节课通过引入直线的概念，再结合直线的一般方程和斜率截距方程，引出了直线的参数方程的概念和定义。
通过示例演示和学生的跟随指导进行演练，加深了学生对直线的参数方程求解方法的理解和掌握。
通过拓展应用，培养了学生运用直线的参数方程解决实际问题的能力。
在讲评与总结环节，对学生的答案进行了讲评，巩固了学生的学习成果。
最后，布置了课后作业，巩固学生的学习效果。
整节课教学内容紧凑，学生参与度高，达到了预期的教学目标。
高中数学直线参数方程教案
高中数学直线参数方程教案
目标：学习如何用参数方程表示直线
一、直线方程的一般形式
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般形式的方程表示为：
Ax + By + C = 0
其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
二、直线的参数方程
一个方程组可以用参数形式表示为：
x = x0 + at
y = y0 + bt
其中x0、y0分别是直线上的一个点的坐标，a、b为实数。
三、如何求直线的参数方程
1.已知直线上的两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，可以先求出直线的斜率：
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
然后，根据直线的斜率和一个已知点的坐标，可以得出直线的参数方程。
2.已知直线的一般形式方程Ax + By + C = 0，可以先求出一个点P(x0, y0)：
x0 = -C / A
y0 = 0
然后，根据这个点和直线的斜率，可以得出直线的参数方程。
四、练习题
1.已知直线L过点P(1, 2)和Q(-2, 5)，求直线L的参数方程。
2.已知直线L的一般形式方程2x - 3y + 6 = 0，求直线L的参数方程。
五、思考题
1.直线的参数方程和一般形式方程有何区别？
2.如果已知直线的参数方程x = 2t - 1，y = 3t + 4，如何表示这条直线的斜率？
六、作业
1.完成练习题。
2.思考题中的问题，并写下自己的回答。
本节课重点：学习如何用参数方程表示直线，以及如何根据已知条件求出直线的参数方程。
直线的参数方程课时教案(第一课时)
课时教案一、课题直线的参数方程（第一课时，共两课时）二、教学目的1.了解直线参数方程的条件以及参数的几何性质2.能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程3.通过观察、探索、发现的过程，发展学生数学核心素养的“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三级目标。
三、课型与教法新授课引导—发现模式四、教学重点直线参数方程的构建五、教学难点从动点M点的坐标变成直线l的参数方程的转化、t的几何意义、证明直线的参数方程、辨别是否是直线的标准参数方程六、教学过程探究一建立已知直线的参数方程1.复习引入（1）若点是直线l上的两相异点，则直线l的方向向量为，倾斜角为时，直线单位方向向量为；（2）已知两个向量),则共线的充要条件是；（3）如果直线l过定点，且倾斜角为，则直线l的方程为。
2. 讲授新课问题1 如图1，位于原点的机器人以单位速度沿单位方向向量行走时间t到达点M，求M点的坐标。
借助前面准备的知识由三角函数的定义不难得到，写成方程即。
问题2 如图2，如果初始位置不在原点，而在点，其他条件不变，求点M的坐标。
借助前面问题1和坐标的定义，不难得到，写成方程即。
问题3一般地，设直线l过点，且倾斜角为，点为其上任意一点，求M点的坐标。
可以提示学生引入参数t，则学生可类比得到（t为参数），此即为过点且倾斜角为的直线l的参数方程。
问题4 你能写出具体推导过程吗？指导学生利用向量法证明，同时指导学生借助点斜式方程进行证明。
探究二直线参数方程中t的几何意义问题5直线的参数方程（t为参数）中哪些是变量？哪些是常量？很容易由问题1,2,3得出是变量，是常量。
问题6 参数的几何意义是什么？为什么？结合参数方程的推导过程，可以引导学生从，且，得到，也可由。
由此可知|t|表示直线上的动点到定点的距离，即为参数的几何意义。
问题7参数t的取值范围是什么？t的正负与点的位置之间有什么关系？由中的正负可确定和的大小，从而确定的正负与点位置之间的关系，再利用图3可知：当时，点在点的上方；当时，点在点的下方；当时，点与点重合。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案直线的参数方程教案一、教学目标1. 知识与技能（1）掌握直线的参数方程的概念；（2）掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法；（3）能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。
2. 过程与方法（1）引导学生通过观察、实验等方式发现直线的参数方程的特点；（2）通过讲解和举例引导学生理解直线的参数方程的定义及其性质；（3）通过练习题巩固学生对直线的参数方程的掌握程度；（4）通过绘制直线的图像帮助学生加深对直线的参数方程的理解。
3. 情感、态度和价值观培养学生观察、发现、分析和解决问题的能力，培养学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点掌握直线的参数方程的概念和性质，掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法。
2. 教学难点能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。
三、教学过程1. 导入新课通过展示几何平面坐标系上的一条直线图像，引导学生观察，思考直线的方程与参数方程之间的关系，并提问学生：你对直线的参数方程有什么了解？2. 探究活动（1）教师用实物或几何软件展示一条直线和坐标系，并选取直线上两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)。
（2）教师引导学生观察并发现直线上每个点都可以由参数t确定，并写出该点的坐标为(x, y)，并尝试找出x和y与t之间的关系。
（3）学生根据已知的两个点的坐标、点A和点B的参数t值，写出点A和点B的参数方程。
（4）通过实际计算验证参数方程是否正确。
3. 理论总结通过探究活动，引导学生总结直线的参数方程的定义和性质，并帮助学生理解直线的参数方程与一般方程的转化方法。
4. 拓展（1）教师提问：已知直线的参数方程x = 2 + 3t，y = -1 + t ，如何将其转化为一般方程？（2）学生尝试将参数方程转化为一般方程，并进行实际计算和验证。
5. 练习巩固（1）教师出示几道直线的参数方程的题目，要求学生逐步转化为一般方程，并进行计算验证。
（2）学生独立完成练习题，并核对答案。
直线的参数方程教案(新的)优秀教案
课题：直线的参数方程＜第一课时＞课型：新授课教学目的要求：1、知识与技能：掌握直线的参数方程，明确参数t的几何意义会灵活应用。
2、过程与方法：通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合等数学思想3、情感态度与价值：通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度教学重点：分析直线的几何条件，选择适当的参数写出直线的参数方程教学难点：从直线的几何条件联系到向量法，并选择“有向线段的数量”为参数。
关键：参数的选择课时进度：第一课时教学方法:先学后教，当堂训练教具：多媒体课件步骤及时间分配内容备注教学构想教学流程阶段教师活动学生活动教学素材达成目标导入出示学习目标提问：我们学过经过定点,倾斜角为的直线的普通方程，那么怎样建立直线的参数方程呢？学习目标1．怎样选择参数t，建立直线的参数方程？2.直线的方向向量与MM有怎样的关系？3.直线的参数方程是什么？4.参数t的几何意义是什么？5.参数t的几何意义的应用.1名学生回答学生明确学习目标阅读教材完成【自学指导1】导学案教材导学案教材导学案通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备让学生明确学习任务把新知识化成小问题逐一突破教学流程探究新知当堂训练例题解读1.当点M在直线上运动时，根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数？2.你能写出直线的参数方程吗？板书1. 直线的参数方程教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数的取值范围是什么？③参数的几何意义是什么？板书2 t 的几何意义当堂训练例题解读(1)已知直线与抛物线交于A,B两点，(1)判断点)2,1(M是否在直线l上，倾斜角为多少？(2)写出直线l的参数方程（3）线段AB的长度(4)点到A,B两点的距离之积通过例题我们得到哪些结论？板书3 t的几何意义的应用思考，讨论，研究2名同学回答针对性训练11名同学回答多名同学回答阅读教材完成【自学指导2】并总结参数的几何意义针对性训练21名同学回答学生练习小组合作相互交流根据学生做题情况可采取兵教兵环节学生通过做题小组合作讨论总结出结论2名同学回答导学案导学案导学案教材导学案综合运用所学知识，获取直线的方向向量，把向量坐标化，得到直线的参数方程，培养学生探索精神，体会数形结合思想．通过对点M的拖拽，体会参数的几何意义通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关问题，培养学生从分析问题和解决问题能力以及动手能力．通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．使学生对本节课所学知识有一个系统全面的认识。
《直线的参数方程》教学案3
《直线的参数方程》教学案3教学目标1. 了解直线参数方程的条件及参数的意义.2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义.3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识.教学重点直线参数方程的定义及方法教学难点选择适当的参数写出曲线的参数方程.教学用具PPT 课件 多媒体教学过程直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M →|.课堂互动1．若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？ 【提示】 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.(t 为参数)2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上； ②当t ＜0时，M 0M →的方向向下；例题讲解已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【思路探究】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【自主解答】 (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝(cos π6，sin π6)＝(32，12)． ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4(32，12)＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．规律方法1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数)．变式训练设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 56π＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 56π＝3＋t 2.(t 为参数)(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4(－3－32t )2＋(3＋12t )2－16＝0. 即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0.由t 的几何意义，知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.课堂作业1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45° D．135°【解析】 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B. 【答案】 B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)【解析】 直线表示过点(1，－2)的直线． 【答案】 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1C.22 D ．－22【解析】 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. 【答案】 B4．(2013·濮阳模拟)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直． ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×(－32)＝－1，∴k ＝－6.【答案】 －6课后作业(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1－2t (t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C.【答案】 C2．(2013·许昌模拟)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t y ＝2＋t(t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x 2＋y 2＝x ，即(x －12)2＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线．【答案】 D3．原点到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t y ＝－32＋3t (t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 消去t ，得3x －4y －15＝0， ∴原点到直线3x －4y －15＝0的距离 d ＝|3×0－4×0－15|32＋－42＝3. 【答案】 C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t ，(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)【解析】 将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得(1＋t 2)2＋(－33＋32t )2＝16，∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6， 因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 36．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 曲线C 1和C 2的普通方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5x －y ＝1(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．【答案】 (2,1)三、解答题(每小题10分，共30分)7．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t，(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．【解】 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故k ＝3＝tan α，即α＝π3.因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2，∴|t |＝x ＋32＋y －122.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．8．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t ，(t 为参数)求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．【解】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.∴直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t .(t 为参数)化为普通方程为x －y －1＝0. 曲线C 的圆心(2,0)到直线l 的距离为12＝22，所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为24－12＝14. 9．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，(12，－1)．教后反思。
教案直线的参数方程
课题：直线的参数方程（1）教学设计教学目标:(一）知识目标1．了解直线参数方程的建立过程，会与普通方程进行互化；2. 初步掌握运用参数方程解决问题，理解其中参数t 的几何意义. (二)能力目标1.通过思考引入，让学生感受学习直线参数方程的必要性；2.通过学习直线的参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合以及运算求解能力. (三）情感目标1.培养学生的探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:1.联系数轴、向量积等知识；2.求出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系. 教学过程： 一、学前准备(1)若由a b →→与共线，则存在实数λ，使得 . (2)设e →为a →方向上的 ，则a →=︱a →︱e →.(3)已知=AB y x B y x A 则),,(),,(2211.==y x ),( . (4)经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的普通方程为 .(5)直线0=++C By Ax 的斜率=k ，倾斜角α与斜率k 的关系为 . 二、新课讲授探究新知（预习教材P35～P36，找出疑惑之处）1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”和“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程. 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，而直线l 的单位方向向量e →=（ ， ）因为M 0//e，所以存在实数t R ∈，使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα当堂训练（1）经过点)5,1(0M ,倾斜角为3π的直线l 的参数方程为 . （2）直线)(20cos 20sin 3为参数t s t y t x ⎝⎛=+=︒︒的倾斜角是( )︒20.A ︒70.B ︒110.C ︒160.D2、直线l 的参数方程的几种形式直线的参数方程形式不是唯一的，令ααsin ,cos ==b a ,则直线参数方程的标准形式可以是)1,0,(22200=+≥⎩⎨⎧+=+=b a b t bty y atx x 为参数直线的参数方程的一般式可以写成)(00为参数t dt y y ctx x ⎩⎨⎧+=+=，这里R d c ∈,,其中122=+d c 时，t有明确的几何意义，当122≠+d c 时，t 没有明确的几何意义. 直线的参数方程的一般式化为直线的参数方程的标准式的方法：),,0,,0()()(2222222222222222022220b dc da d c c t t d c db dcd a d c c t t d c d t d c d c d y y t d c d c c x x =+-=+-'=⋅+-≤=+=+'=⋅+≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+++=⋅+++=时，令，时，令其中，3、直线的参数方程中参数的几何意义x参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0t =.由于α为直线的倾斜角,且),0[πα∈，α是第二象限角，0sin ≥α.所以e的方向总是向上的，当M M 0与e (直线的单位方向向量)同向时，0>t ，当M M 0与e反向时，0<t ，当M 与M 0重合时，0=t .4、用直线l 的参数方程求弦长和弦的中点坐标的方法①已知直线l 过),(00y x M ，倾斜角为α，l 与圆锥曲线相交于B A ,两点，则求弦长AB 的方法如下：将直线l 的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα代入圆锥曲线的方程，消去y x ,得到关于t 的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21t t +，21t t 的值，代入弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙. ②弦的中点坐标对应的参数221t t t +=，先计算221tt t +=，再把t 代入直线l 的参数方程，即得到弦中点的坐标.三、知识应用例．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积.四、课堂检测直线)(,2333,211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于B A ,两点，则B A ,的中点坐标为（ ）)3,3.(-A )3,3.(--B )3,3.(-C )3,3.(-D五 、课堂小结（1）经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(s i n c o s 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，其中参数t 具有明确的意义. （2）直线的标准方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离，它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但是应用直线的参数方程时，应先判别是否是标准形式，再考虑t 的几何意义.(3)弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，定点M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙.弦的中点坐标对应的参数221t t t +=. 六、高考衔接(2016江苏)在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.七、作业布置课本p39 习题2.3第3题 八、课后反思。
直线的参数方程教学设计[全文5篇]
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直线的参数方程教学设计[全文5篇]第一篇：直线的参数方程教学设计《直线的参数方程》教学设计教学目标：1.联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系．教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题：1.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2.根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数，如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。
【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．二、直线参数方程探究1．问题：数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．2.问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．3.问题（1）：当点M在直线L上运动时，点M满足怎样的几何条件？【设计意图】明确参数．问题（2）：如何确定直线L的单位方向向量？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．4.问题：如何建立直线的参数方程?（得出直线的参数方程）【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．三、例题讲解例1.（题略）先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解。
全国优质课- 直线的参数方程——学案
直线的参数方程
一．课题引入
问题1．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，求(1,2)M - 到A ，B 两点的距离之积．
二．直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）
探究1．
三．参数t 的几何意义
探究2．
探究3．参数t 的符号又有什么意义呢？
问题3．如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系起来？
四．直线参数方程的应用
例1．已知直线l 过点(1,2)M -，倾斜角为34
π，写出直线l 的参数方程．
变式1．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，写出直线l 的参数方程．
变式2．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，且与抛物线2y x =交于A ，B 两点．求线段AB 的长和点(1,2)M - 到A ，B 两点的距离之积．
变式3．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，且与抛物线2y x =交于A ，B 两点．求线段AB 中点Q 的坐标．
练习．经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆22
+1164
x y =于A ，B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．
五．本节课你有什么收获？
六．作业
教材P39习题2．3 第1，2，3，4题．。
高中数学 第16-17节 直线的参数方程教案
第1六、17节：直线的参数方程（1）（2）教学目标：1.了解直线的参数方程的推导进程，进一步明白得参数方程的重要性；2.体会参数方程在解题中的应用；3.通过本节学习，进一步明确求曲线的参数方程的一样步骤。
教学重点：直线的参数方程的推导进程及其参数方程在解题中的应用。
教学难点：直线的参数方程的推导进程。
讲课类型：新讲课教学进程：一、温习引入：咱们学过的直线的一般方程都有哪些?1.点斜式：2.斜截式：3.两点式：4.截距式：5.一样式：二．新课讲解：通过点M 0（x 0，y 0），倾斜角为α)2(πα≠的直线l 的一般方程是y-y 0=tan α（x-x 0），如何成立直线l 的参数方程呢？通过点M 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程是试探：参数方程中t 的几何意义是什么？三．例题讲解探讨： 试探： 例2的解法对一样圆锥曲线适用吗？把“中点”改成“三等分点”，直线l 的方程如何求？例3.当前台风中心P 在某海边城市O 向东300Km 处生成,并以40km/h 的速度向西偏北45度方向移动.12121212(),,.(1)2y f x M M t t M M M M M t =直线与曲线交于两点，对应的参数分别为曲线的弦的长是多少？（）线段的中点对应的参数的值是多少？已知距台风中心250km之内的地址都属于台风侵袭的范围,那么通过量长时刻后该城市开始受到台风侵袭?试探：在例3中，海边城市O受台风侵袭可能持续多长时刻？若是台风侵袭的半径也发生转变(比如：当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？探讨：若是把椭圆改成双曲线，是不是会有类似的结论？四．课堂作业：五．课堂小结：本节课要紧学习了直线的参数方程及其参数方程在解题中的应用。
六．作业布置：。
2022年 《直线的参数方程》优秀教案
第二讲参数方程直线的参数方程〔第一课时〕谷杨华一、教学目标〔一〕核心素养通过这节课学习，了解直线参数方程的推导过程、掌握参数的几何意义，体会参数方程的优越性，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的特点．〔二〕学习目标1．利用向量，推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系．2．掌握并理解直线参数方程中参数的几何意义．3．能初步利用直线参数方程解决一些几何问题，体会参数方程的优越性．〔三〕学习重点1．直线参数方程的推导．2．直线参数方程中参数的几何意义．3．直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．〔四〕学习难点1．对直线参数方程的几何意义的理解．2．对直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务读一读：阅读教材第35页至第36页，填空：过定点M00，0，倾斜角为α的直线的参数方程为，这种形式称为直线参数方程的标准形式．其中参数t的几何意义是：直线上的动点到定点M0的距离等于参数t绝对值，即|M0M|＝|t| 假设_，那么的方向向上；假设______，那么的方向向下；假设______，那么M与M0重合．2．预习自测〔1〕直线的倾斜角等于A．30°B．60°C．－45°D．135°【知识点】直线的参数方程【数学思想】【解题思路】根据直线标准的参数方程可知直线的倾斜角【思路点拨】熟记直线的标准参数方程【答案】B．〔2〕直线必过点A．1，－2 B．－1,2C．－2,1 D．2，－1【知识点】直线的参数方程【数学思想】【解题过程】消去参数得到直线的普通方程为，所以恒过定点1，－2．【思路点拨】消去参数化为普通方程【答案】A．〔3〕．以下可以作为直线2－＋1＝0的标准参数方程的是A BC t为参数【知识点】直线的参数方程【数学思想】【解题过程】由直线的标准参数方程形式易得选C【思路点拨】熟记直线的标准的参数方程形式【答案】C．〔4〕直线的参数方程为t为参数与曲线C：2＝8 交于A，B两点，求弦长|AB| 【知识点】直线的标准参数方程、直线与抛物线的位置关系【数学思想】【解题过程】将直线的参数方程错误!代入2＝8，并整理得3t2－16t－64＝0，t1＋t2＝错误!，t1t2＝－错误!所以|AB|＝|t1－t2|＝错误!＝错误!【思路点拨】充分理解直线标准参数方程中参数的几何意义【答案】错误!二课堂设计1．问题探究探究一结合实例，认识直线参数方程★●活动①温故知新在必修2我们学习了直线及其方程，在平面直角坐标系中，两点或一点和直线的倾斜角确定一条直线，直线的方程形式主要有：1.点斜式：,其中为直线的倾斜角，定点；2.斜截式：，其中为直线的斜率，为直线在轴上的截距；3.两点式：，其中直线经过两点的坐标为4.截距式：，其中分别为直线在轴、轴上的截距5一般式：，其中不同时为【设计意图】简要回忆直线的有关内容，为得到直线的参数方程作铺垫．●活动②利用旧知、推导新概念直线的倾斜角和定点，如何建立直线的参数方程？取直线的一个单位向量由∥,根据向量共线根本定理，存在实数,使，即于是整理得当倾斜角时，即直线的方程：时，也满足上式．因此，经过点，倾斜角为的直线直线的标准参数方程为【设计意图】利用向量的知识，推导得出直线的参数方程，培养学生严谨的思维和逻辑推理能力．探究二探究直线标准参数方程中参数的几何意义★▲●活动①稳固理解，加深认识在上述直线的标准参数方程中，参数是否和圆中参数类似，具有一定的几何意义呢？因为，所以，而，所以，所以参数的几何意义为：等于直线上动点到定点的距离，即：【设计意图】通过对推导过程分析，得出参数几何意义，培养学生解析问题的能力．●活动②升华认识、理解提升当时，，所以直线的单位向量的方向是向上的，于是的可得：假设，那么的方向向上；假设，那么的方向向下；假设，那么M与M0重合．【设计意图加深对参数的认识，对直线参数方程进一步的了解．探究三理论实践，探究直线参数方程的简单应用★▲活动①稳固根底，检查反应例1 在平面直角坐标系中，曲线C：错误!t为参数的普通方程为________．【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】由＝2＋错误!t，且＝1＋错误!t，消去t，得－＝1，即－－1＝0【思路点拨】通过参数方程与普通方程互化求解．【答案】－－1＝0．同类训练求直线2－＋1＝0的参数方程的标准形式，【知识点】直线普通方程化为参数方程．【数学思想】【解题过程】根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，那么tan α＝2，in α＝错误!，co α＝错误!，所以直线的参数方程是错误!t为参数．．【思路点拨】通过直线确定斜率和定点，从而得到直线倾斜角α的的值．【答案】错误!t为参数．【设计意图】稳固检查直线参数方程与普通方程互化，熟悉直线的参数方程．例2 直线：错误!t为参数．1求直线的倾斜角；2假设点M－3错误!，0在直线上，求t，并说明t的几何意义．【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】1由于直线：错误!t为参数表示过点M0－错误!，2且斜率为tan 错误!的直线，故直线的倾斜角α＝错误!2由1知，直线的单位方向向量e＝错误!＝错误!∵M0－错误!，2，M－3错误!，0，∴错误!错误!错误!对应的参数t＝－4，几何意义为|错误!错误!在直线上点M0的左下方．【思路点拨】将直线的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t【答案】〔1〕α＝错误!；〔2〕|错误!错误!在直线上点M0的左下方同类训练直线的参数方程t为参数（1）求直线的普通方程，并求倾斜角；（2）假设点在直线上，求t，并说明t的几何意义．【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】〔1〕由消去参数t，得直线的普通方程为错误!－＋3错误!＋1＝0故＝错误!＝tan α，即α＝错误!，因此直线的倾斜角为错误!〔2〕令，解得，所以对应的参数几何意义为|错误!错误!在直线上点M0的右上方．【思路点拨】将直线的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t 【答案】〔1〕倾斜角为错误!；〔2〕几何意义为|错误!错误!在直线上点M0的右上方．【设计意图】稳固检查直线参数方程与普通方程互化、参数的几何意义的理解．●活动②强化提升、灵活应用例3 直线：与抛物线交于两点，求线段的长和点到两点的距离之积．【知识点】直线参数方程的应用．【数学思想】【解题过程】因为直线定点，且的倾斜角为，所以参数方程为代入抛物线的方程，得设两点对应的参数分别为，由根与系数的关系得．所以，由的几何意义得【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义．【答案】〔1〕；〔2〕．同类训练直线1过点00，0，倾斜角为α的直线的参数方程为，这种形式称为直线参数方程的标准形式．〔2〕参数t的几何意义是：直线上的动点到定点M0的距离等于参数t绝对值，即|M0M|＝|t| 假设，那么的方向向上；假设，那么的方向向下；假设，那么M与M0重合．重难点归纳〔1〕在直线的参数方程中，都是常数，其中为直线的倾斜角，是直线上一定点的坐标，为参数．〔2〕利用直线参数方程中参数的几何意义解决问题时，必须先将直线化为标准的参数方程形式．〔三〕课后作业根底型自主突破1．直线不经过A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】直线经过点-3,2,倾斜角α=,所以不经过第四象限【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】D．2．直线的参数方程为错误!t为参数，M0－1,2和M，是该直线上的定点和动点，那么|t|的几何意义是A．错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!01,5，倾斜角是错误!的直线的参数方程为_______________．【知识点】直线的参数方程．【解题过程】代入直线的参数方程中可得．【数学思想】【思路点拨】熟记直线的参数方程．【答案】错误!t为参数6．过点,N两点1写出直线MN的参数方程2求的最小值【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】1因为直线MN过点N的参数方程为:t为参数2将直线MN的参数方程代入曲线,得2-1tcoα23tinα2=6,整理得3-co2α·t2-4coα·t-4=0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,那么||·|PN|取得最小值为．【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】〔1〕t为参数；〔2〕．。
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x2 a2
y2 b2
1
上任一点P到两渐近线
距离之积为定值
Y A
O
P
X
B
解：设P（a sec , btg )
两渐近线方程为 ： bx ay = 0
则
asbe ctg asbe ctg
d1d2
• a2b2
a2b2
=
a 2b 2 a2 b2
小结1 圆锥曲线参数方程一用来
证明定值问题、定点问题 及 有关等式问题，避免复杂的消 参过程
例4 点P在椭圆 x 2 y 2 1 上运动， 4
直线x+2y-2=0交椭圆于点A、B，问P处 于何处时，P到直线的距离最大？
y
A P
B
O
x
分析：设P( x1, y1),
d= x1 2y1 2
5
又
x12 y 2 1
4
1
得
y1
1 x12 4
设P 2co,sin 02
2cos2sin 2
y
A P B
x O
xtco
解:设y=mx参数方程为 yo (s 2 c o ss i)tn 2 0
2 1 1 t1t2 y
opO 2coA s O sinB t1t2
A
2
P
即：2cosOP +sinOP =4
B
2x + y = 4
x O
例求3 证：双曲线
参数方程的应用 1 直线参数方程 2 曲线参数方程
xx0tcos
直线参数方程 yy0tsin
t的几何意义： 直线上动点到定点（x0，y0）的 有向线段的数量
已知：直线 x 1 3t（t为参数） 5 y 2 4t
与曲线(y-2)2 - x2 = 15交于A、B两点 （1）求弦AB的长 （2）求P（－1，2）与AB的中点
d 5
2 2sin1
5 4
y
A P B
O
引伸 P、Q是抛物线y2 = x 与圆 (x-3)2+y2=1上的两 动点，求PQ的最小值
Q y
P
Ax
小结 恰当应用圆锥曲线参数 方程解题的优点：
1 变量少，参数范围易得 2 简化消参过程
参数方程的应用
求弦长
1 直线参数方程 中点问题
（相关元素共线） 求轨迹
C的距离
xx0cos
yy0sin 弦长公式 ABt1t2
中点公式 PC t1 t2
若直线方程为
2
则
xx0 at yy0 bt
AB a2b2t1t2
PC a2b2 t1t2 2
例2： 已知直线y=mx与抛物线y=x2-2x+2 交于A、B两点，在线段AB上有 动点P，满足OA、OP、OB的倒数 成等差数列，求P点轨迹