七年级数学《探索与表达规律》典型例题

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北师大版七年级上册 3.5 探索与表达规律(专题练习)

3.5 探索与表达规律（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 3 5 7第二行15 13 11 9第三行17 19 21 23第四行31 29 27 25根据上面规律，2019应在（）A．125行，3列B．125行，2列C．251行，2列D．251行，5列2．如图所示的是某年5月的日历表,任意圈出一竖列上相邻的三个数,发现这三个数的和不可能是（)A．27 B．36 C．40 D．543．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2019应标在（）A ．第504个正方形的左下角B ．第504个正方形的右下角C ．第505个正方形的左上角D ．第505个正方形的右下角4．一根绳子弯曲成如图1所示的形状，当用剪刀像图2那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b （b ∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a ，b 之间把绳子再剪（）次（剪刀的方向与a 平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（）A ．4n +1B ．4n +2C ．4n +3D ．4n +5 5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n (n 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是( )A ．3nB ．n (n ＋2)C ．n (n ＋1)D ．2n －16．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，……，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，……，这样的数称为“正方形数”；从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和；则下列符合这一规律的等式是3 2 第1个正方形 54 7 6 第2个正方形 8 8 11 10 第3个正方形15 14 第4个正方形图 1 图 2 图 2a b（）A ．20=4+16B ．25=9+16C ．36=15+21D ．40=12+287．同用样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第10个图案需要的黑色五角星的个数是（）A ．15B ．16C ．17D ．188．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为（）A ．50B ．64C ．68D ．729．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……，依此规律，第11个图案需（）根火柴A ．156B ．157C ．158D ．15910．如图，都是由边长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（6）个图形由（）个正方体叠成；图 ① 图 ② 图 ③A ．36B ．37C ．56D ．84二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．观察下列算式： 31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，32019的末位数字是_______；12．下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m 为，第n 个正方形的中间数字为；（用含n 的代数式表示）13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：（1）填写下表：（2）照这样的规律摆放，第100个这样的图形需要个小圆；14．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n 个图形有个 15．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体.观察并回答下列问题：14 53 2 第1个 5 813 7 6 第2个 9 12 21 11 10 第3个 13 m 第4个（1）其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有______个，各面都没有涂色的小正方体有________个；（2）如果将这个正方体的棱n等分，所得的小正方体中三面涂色的有_________个，各面都没有涂色的有________个；（3）如果要得到各面都没有涂色的小正方体125个, 那么应该将此正方体的棱______等分；三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）16．观察下面数表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10(1)依此规律：第6行最后一个数字是________；第n行最后一个数字是________．(2)其中某一行最后一个数字可能是2019吗？若不可能，请说明理由；若可能，请求出是第几行？17．将连续的奇数1，3，5，7，9，……，排成如图所示的数阵．（1）十字框中的五个数的和与中间数15有什么关系？（2）设中间数为a，求出十字框中五个数之和；（3）十字框中五个数之和能等于2 015吗？若能，请写出这五个数；若不能，说明理由．18．如图1是一个三角形，分别连接这个三角形三变的中点得到图2，在分别连接图3中间的小三角形三边中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：（1）将下表填写完整（2）在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）？19．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成各题；（1）将下表填写完整；（2）a n =___________________（用含n的代数式表示）；（3）按照上述方法，能否得到2019个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．20．用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，观察下列图形并解答有关问题．（1）在第n 个图中，第一横行共_____________块瓷砖，第一竖列共有____________块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）（2）在第n 个图中，铺设地面所用黑瓷砖的总块数为______________；（3）某商店黑瓷砖原价每块4元，则铺设第n 个图的矩形地面，共需花多少元购买黑瓷砖？现在该商店举行“双11”促销活动，活动一：凡参加买黑瓷砖活动者赠送2块黑瓷砖；活动二：不赠送瓷砖，每块黑瓷砖打9折；现在需要购买黑瓷砖，铺设n=6时矩形地面，参加哪个活动合算？3.5 探索与表达规律参考答案：1~10 DCDAB CBDBC11.7；12.29，8n -3；13.24，34，10104；14. 1(2)n n -+；15. （1）8，12，1；（2）8，3(2)n -；（3）7；16.（1）6，3n -2；（2）可能，672行；17.（1）15的5倍；（2）5a ；（3）能；18.（1）13，17；（2）4n -3；19. （1）13，16；（2）a n =3n+1；（3）由3n+1=2019得：16723n =这时，n 不是整数，按照上述方法，不能得到2019个正方形；20．（1）（n +3），（n +2）；（2）4n +6；（3）参加活动二合算；。

七年级上册数学探索与表达规律训练题

七年级上册数学探索与表达规律训练题一、选择题每小题4分,共12分1.2021•武汉中考一列数a1,a2,a3, …,其中a1= ,an= n为不小于2的整数,则a4的值为2.希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.从中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的是A.13 =3+10B.25=9+16C.36=15+21D.49=18+313.2021•铜仁中考如,第①个形中一共有1个平行四边形,第②个形中一共有5个平行四边形,第③个形中一共有11个平行四边形,……则第⑩个形中平行四边形的个数是A.54B.110C.19D.109二、填空题每小题4分,共12分4.2021•肇庆中考观察下列一组数: , , , , ,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k个数是.5.观察下列等式: =1- , + =1- ,+ + =1- ,…请根据上面的规律计算:+ + +…+ =.6.2021•桂林中考如是在正方形网格中按规律填成的阴影,根据此规律,第n个中的阴影部分小正方形的个数是.三、解答题共26分7.8分如是用棋子摆成的“T”字案.从案中可以看出,第一个“T”字案需要5枚棋子,第二个“T”字案需要8枚棋子,第三个“T”字案需要11枚棋子.1照此规律,摆成第四个案需要几枚棋子?2摆成第n个案需要几枚棋子?3摆成第2021个案需要几枚棋子?8.8分有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,…它的每一项可用式子2nn是正整数来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…1它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?2它的第100个数是多少?32021是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?【拓展延伸】9. 10分观察下列等式:12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26,…以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.1根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:①52×= ×25;②×396=693×.2设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子含a,b且a b≠0.答案解析1.【解析】选A.因为a1= ,an= ,所以a2= = ,同理a3= = ,a4= = .2.【解析】选C.因为斜线把正方形分成的两部分点数计算为:第1个形是4=1+1+2,第2个形是9=1+2+1+2+3,…,所以根据此规律得36=1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+6=15+21,故答案为C.3.【解析】选D.第①个形中有1个平行四边形;第②个形中有1+4=5个平行四边形;第③个形中有1+4+6=11个平行四边形;第④个形中有1+4+6+8=19个平行四边形;…第n个形中有1+22+3+4+…+n个平行四边形;所以第⑩个形中有1+22+3+4+5+6+7+8+9+10=109个平行四边形.4.【解析】因为分子的规律是2k,分母的规律是2k+1,所以第k个数就应该是: .答案5.【解析】根据规律得右边结果应有两项,即1- .答案1-6.【解析】根据形可知:第一个形中阴影部分小正方形个数为4=2+2=1×2+2,第二个形中阴影部分小正方形个数为8=6+2=2×3+2,第三个形中阴影部分小正方形个数为14=12+2=3×4+2,…所以第n个形中阴影部分小正方形个数为nn+1+2.答案nn+1+27.【解析】19+5=14枚.故摆成第四个案需要14枚棋子.2因为第①个案有5枚棋子,第②个案有5+3×1枚棋子,第③个案有5+3×2枚棋子,依此规律可得第n个案需5+3×n-1=5+3n-3= 3n+2枚棋子.33×2021+2=6044枚,即第2021个案需6044枚棋子.8.【解析】1它的每一项可以用式子- 1n+1nn是正整数表示.2它的第100个数是-1100+1×100=-100.3当n=2021时,-12021+1×2021=2021,所以2021是其中的第2021个数.9.【解析】1①因为5+2=7,所以左边的三位数是275,右边的三位数是572,所以52×275=572×25.②因为左边的三位数是396,所以左边的两位数是63,右边的两位数是36,63×396=693×36.2因为左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,所以左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10a+b+a,右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10a+b+b,所以一般规律的式子为:10a+b×[100b+10a+b+a]=[100a+10a+b+ b]×10b+a.。

北师大版数学七年级上册第三章第五节探索与表达规律

第三章第五节探索与表达规律一、基本知识点1.探究规律；2.计算二、基本方法数字探究；图形探究三、知识讲练【例1】图形题用棋子摆出下列一组图形：（1）（2）（3）图形编号 1 2 3 4 5 6图形中的棋子（2）照这样的方式摆下去，写出摆第个图形棋子的枚数；（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？〖针对练习1〗1.用同样大小的黑色棋子按图6所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子枚（用含n的代数式表示）.…第1个图第2个图第3个图2. 下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，按此规律写出第n个图形花盆的总数______________________；3. 下列每个图是由若干盆花组成的形如正方形的图案，按此规律写出第n个图形花盆的总数__________4. 下列每个图是由若干盆组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断，花盆的总数S=______________________；5. 下列每个图是由若干盆组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆的总数是S，按此规律推断，花盆的总数S=______________________；6. 下图中所有正方体的边长都是1. 例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位。

依此规律。

则第（6）个图形的表面积个平方单位。

【例2】数字题1. 有若干个数，第1个数记为1a，第二个数记为2a，第三个数记为3a……，第n个记为na，若211-=a，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数。

”（1）试计算__________,__________________,432===aaa（2）根据以上结果，请你写出___________1999=a，_______2001=a。

七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)

七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为( )A.671B.672C.673D.6742.下图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2 016次输出的结果为( )A.125B.25C.1D.53.观察下列各式： - 2x，4x2， - 8x3，16x4， - 32x5，…则第n个式子是( )A.- 2n - 1x nB.( - 2)n - 1x nC.- 2n x nD.( - 2)n x n4.观察如图所示图形，则第n个图形中三角形的个数是( )A.2n＋2B.4n＋4C.4nD.4n-45.下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形…依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.286.下列是由一些火柴搭成的图案，图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第n○个图案用多少根火柴( )A.4n＋3B.5n－1C.4n＋1D.5n－47.小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数既是三角形数又是正方形数的是 ( )A.2010B.2012C.2014D.20168.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A.21B.24C.27D.30二、填空题9.观察一组数2，5，10，17，26，37…则第n个数是.10.《庄子•天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图.由图易得：＝ .11.当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 .(用含n的代数式表示，n是正整数)12.将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行 1第2行 2 3 4第3行9 8 7 6 5第4行10 11 12 13 14 15 16第5行25 24 23 22 21 20 19 18 17 …则2023在第行.13.观察等式：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝421＋3＋5＋7＋9＝25＝52……猜想：(1)1＋3＋5＋7…＋99 ＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n﹣1)＝ _______.14.观察下列各式：13＝1213＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102…猜想13＋23＋33＋…＋103＝.三、解答题15.探究题.用棋子摆成的“T”字形图如图所示：(1)填写下表：图形序号①②③④…⑩每个图案中棋子个数 5 8 …)；(3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个？(4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数.(提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？)16.我们发现了一种“乘法就是减法”的非常有趣的运算：①1×12＝1﹣12：②2×23＝2﹣23；③3×34＝3﹣34；…(1)请直接写出第4个等式是；(2)试用n(n为自然数，n≥1)来表示第n个等式所反映的规律是；(3)请说明(2)中猜想的结论是正确的．17.察下列各式：第1个：1×3＝3＝22﹣1第2个：2×4＝8＝32﹣1第3个：3×5＝15＝42﹣1第4个：4×6＝24＝52﹣1第5个：5×7＝35＝62﹣1…这些等式反映出自然数间的某种运算规律.(1)请你根据规律写出下一个等式：；(2)设n(n≥1)表示自然数，请根据这个规律把第n个等式表示出来，并通过你所学过的整式运算知识来验证这个等式成立.18.阅读解题：1111212=-⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯， ... 计算：+⨯+⨯+⨯431321211...200520041⨯+ ＝+-+-+-413131212111 (2005)120041-+＝120051-＝20052004 理解以上方法的真正含义，计算：(1)111 (10111112100101)+++⨯⨯⨯ (2)19.用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案.(1)第4个图案中，三角形的个数有个，六边形的个数有个； (2)第n(n 为正整数)个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2018个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？(4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由. (2027)20251531311⨯++⨯+⨯20.阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023的值.解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22022＋22023，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22023＋22024将下式减去上式得2S﹣S＝22024﹣1即S＝22024﹣1即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023＝22024﹣1请你仿照此法计算：(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n为正整数).参考答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】n2＋1.10.【答案】1﹣.11.【答案】n2＋4n.12.【答案】45.13.【答案】502；n2.14.【答案】55215.解：(1)11 14 32 (2)3n＋2 (3)3n＋2＝3×20＋2＝62(个)(4)(5＋62)×202＝670(个).16.【答案】解：等式左侧乘积的第一个因数是从1开始的连续自然数，第二个因数的分子和这个自然数相同，分母比分子大1；右侧恰是左侧两个因数的差； (1)第4个等式：4×＝4﹣ (2)第n 个等式：n ×＝n ﹣ (3)证明：n ×＝，n ﹣＝∴n ×＝n ﹣∴(2)中猜想的结论是正确的．17.【答案】解：(1)第6个：6×8＝48＝72﹣1；故【答案】6×8＝48＝72﹣1； (2)第n 个等式为n(n ＋2)＝(n ＋1)2﹣1.n(n ＋2)＝n 2＋2n (n ＋1)2﹣1＝n 2＋2n ＋1﹣1＝n 2＋2n 所以n(n ＋2)＝(n ＋1)2﹣1. 18.【答案】解：①根据题意得：1111111111011111210010110111112100101+++=-+-++-⨯⨯⨯ ＝1191101011010-= ②根据题意得：＝21(1﹣20271)＝20272013 19.【答案】解：(1)10 4;(2)观察发现，第1个图案中有4个三角形与1个六边形以后每个图案都比它前一个图案增加2个三角形与1个六边形则第n 个图案中三角形的个数为4＋2(n-1)=(2n ＋2)个，六边形的个数为n. (3)第2018个图案中，三角形的个数为2×2018＋2=4038(个)，六边形的个数为2018个.)(4)不存在.理由如下：假设存在这样的一个图案，其中有30个六边形，则这个图案是第30个图案而第30个图案中三角形的个数为2×30＋2=62≠100… 202720251531311⨯++⨯+⨯所以这样的图案不存在.20.【答案】解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211 将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1；(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①两边同时乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②②﹣①得：3S﹣S＝3n＋1﹣1，即S＝12(3n＋1﹣1)则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝12(3n＋1﹣1).。

部编数学七年级上册专题07探究与表达规律(八大题型)专项讲练(解析版)含答案

专题07 探究与表达规律（八大题型）专项讲练1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系.3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.5）数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.2. 常见的数列规律：1）1，3，5，7，9，… ，21n -（n 为正整数）．2） 2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）．3） 2，4，8，16，32，…，2n （n 为正整数）．4）2， 6， 12， 20，…， (1)n n +（n 为正整数）．5）x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.题型1：数列的规律1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式：3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，第n 个单项式是（）A ．()211n n x --B ．()1211n n x -+-C ．()1211n n x ---D ．()211n n x +-【答案】B【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n 个单项式即可．【详解】解：∵3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，……，∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n -1,指数的规律为2n +1，∴第n 个单项式为()1211n n x -+-，故选：B．【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．2．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个位数字是（)．A．2B．4C．6D．8【答案】A【分析】观察不难发现，2n的个位数字分别为2、4、8、6，每4个数为一个循环，用2021÷4，根据余数的情况确定答案即可．【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，∴个位数字分别为2、4、8、6依次循环，∵2021÷4=505……1，∴22021的个位数字与21个位数字相同，即22021的个位数字是2，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了尾数特征，观察数据发现每4个数为一个循环，个位数字依次循环，是解题的关键．3．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是（）A．35B．40C．45D．50【答案】B【分析】分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第5个“三角形数”与第5个“正方形数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和．【详解】第1个“三角形数”：1，第2个“三角形数”：1+2=3，第3个“三角形数”：1+2+3=6，第4个“三角形数”：1+2+3+3=10，第5个“三角形数”：1+2+3+4+5=15，第1个“正方形数”：1，第2个“正方形数”：22=4，第3个“正方形数”：32=9，第4个“正方形数”：42=16，第5个“正方形数”：52=25，∴15+25=40．故选：B．【点睛】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数．4．（2021·广西百色·二模）观察下列一组数：﹣32，1，﹣98，1711，﹣3314，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第8个数是_____．5．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）边长为1的正方形OABC从如图所示的位置（点O对应数0，点A对应数－1）开始在数轴上顺时针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023在数轴上对应的点处时停止运动，此时落在数2023在数轴上对应点的这个顶点是（）A．点A B．点B C．点C D．点O【答案】A【分析】滚动四次一个循环，用2023除以4，商即是循环的次数，由余数即可得到与2023重合的点．【详解】解：∵2023＝505×4＋3，∴与2023重合的点即是滚动后与3重合的点，而与1重合的是C，与2重合的是B，与3重合的是A，∴与2023重合的是A，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查图形类规律探究、数轴上点表示的数，解题的关键是理解与2023重合的点即是与3重合的点．6.（2022·福建漳州七年级开学考试）观察下列各项：114，126，138，1410，…，依此规律下去，则第7项是__________；第n项是__________．【答案】1716()121nn++【分析】观察可知：整数部分是从1开始的自然数，分数部分的分子为1，分母为从2开始的自然数的两倍，据此可得．【详解】解：114=()11211+´+，126=()12221+´+，138=()13231+´+，1410=()14241+´+，…∴第7项是1716，第n项是()121nn++，故答案为：1716，()121nn++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，利用规律解决问题．题型2：数表的规律1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（）A．115B．114C．113D．112【答案】A【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，1）表示的数，然后得出（15，10）表示的数即可．2．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()n a b +（n 为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如：请写出8()a b +展开式中间一项的系数（）A ．70B ．64C ．56D ．54【答案】A【分析】根据题意可得每行第一个和最后一个数都是1，其他位置的数下面的数等于上面两个数的和，即可求出8()a b +展开式中间一项的系数．【详解】解：由题意可得下面一个数等于上面两个数的和，∴()7a b +中，各项的系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，∴()8a b +中，各项的系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1，∴8()a b +展开式中间一项的系数为70，故选：A ．【点睛】此题考查了多项式的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律．3．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a ，b ）表示第a 排，从左至右第b 个数．例如（4，3）表示的数是9，则（7，3）表示的数是（）A ．22B ．23C ．24D ．254．（2022·河北承德·七年级期末）观察下面的数：按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（）A ．121-B ．123-C ．125-D ．127-【答案】C【分析】先根据行数确定出最后一个数的变化规律，再根据得出的规律确定出第11行的数，然后用11行的最后一个数的绝对值与4相加即可．【详解】解：因为行数是偶数时，它的最后一个数是每行数的平方，当行数是奇数时，它的最后一个数是每行数的平方的相反数，所以第11行最后一个数字是：-11×11=-121，它的绝对值是121，第12行从左边第4个数的绝对值是：121+4=125．故第12行从左边第4个数是-125．故选：C．【点睛】此题考查了数字的变化类，找出最后一个数的变化规律，确定出第11行最后一个数是解题关键．5．（2021·云南红河·七年级期末）将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表．用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九个数中最小的数是171，则最大的数是_____．【答案】207【分析】先设九个数中最小的数为m，根据规律表示九个数m，m+2，m+4，m+16，m+18，m+20，m+32，m+34，m+36，其中最小的是m=171，求代数式的值即可．【详解】解：设九个数中最小的为m，m+2，m+4，m+16，m+18，m+20，m+32，m+34，m+36，∵这九个数中最小的数是171，∴m=171，∴这九个数中最大的数是171+36=207，故答案为：207．【点睛】本题考查数中排列规律，找出方框中九个数的规律，代数式的值，掌握数中排列规律，找出方框中九个数的规律，利用代数式的值求出最大数是解题关键．6．（2021·四川成都·七年级期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为___．【答案】102×299【分析】分析得出第101行有1个数，即为最后一行的数，根据每行的第一个数字得到规律，从而判断．【详解】解：由题意，第1行有101个数，第2行有100个数，…，第101行有1个数，故第1行的第一个数为：1=2×2-1，第2行的第一个数为：3=3×20，第3行的第一个数为：8=4×21，第n行的第一个数为：（n+1）×2n-2，∴第101行的第一个数为：102×299，故答案为：102×299．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．题型3：算式的规律算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。

北师大版数学7年级上册3.5《探索与表达规律》同步练习

《探索与表达规律》同步练习A 100 B. 125 C. 150 D.175答案：C解析：解答：∵2=1+1=13+12，12=8+4=23+22，36=27+9=33+32，80=64+16=43+42，∴下一个数是53+52=125+25=150．（第n个数为n3+n2）．故选C分析:所给的数正好可以分成同一个数的立方与平方的和，从而得解.2.现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）答案：D解析：解答:A.∵ 2有3个，∴不可以作为S1，故A选项错误；B.∵ 2有3个，∴不可以作为S1，故B选项错误；C.3只有1个，∴不可以作为S1，故C选项错误；D.符合定义的一种变换，故D选项正确．选：D．分析:根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择3.将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 3 5 7第二行15 13 11 9第三行17 19 21 23第四行31 29 27 25…根据上面规律，2007应在（）A．125行，3列B．125行，2列C．251行，2列D．251行，5列答案：D解析：解答: 因为（2007+1）÷2=2008÷2=1004所以2007是第1004个奇数；因为1004÷4=251，所以2007在第251行；又因为奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，所以2007应在第5列，综上，可得2007应在第251行第5列．选：D．分析: 首先判断出2007是第1004个奇数；然后根据每行有4个奇数，用1004除以4，判断出2007在第251行；最后根据奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，可得2007应在第5列，据此判断4. 一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答:∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．故选：A分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可.5.多位数139713…、684268…，都是按如下方法得到的：将第1位数字乘以3，积为一位数时，将其写在第2位；积为两位数时，将其个位数字写在第2位．对第2位数字进行上述操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字为4时，所得多位数前2014位的所有数字之和是（）A．10072 B．10066 C．10064 D．10060答案:B解析：解答:当第1位数字为4时，得到42684268…，每四个数字一循环，∵2014÷4=503…2，∴第2014位的数字是2，则（4+2+6+8）×503+4+2=20×503+6=10066．选：B．分析: 通过计算发现，每4位数为一个循环组依次循环，然后用2014除以4即可得出第2014位数字是第几个循环组的第几个数字，由此进一步计算得出答案6.小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果：3-2=1，8+7-6-5=4，15+14+13-12-11-10=9，24+23+22+21-20-19-18-17=16，…根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（）A．360 B．339 C．440 D．483答案:C解析：解答: ∵3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…∴第20个式子左起第一个数是：212-1=440．选：C．分析: 根据左起第一个数3，8，15，24…的变化规律得出第n行左起第一个数为（n+1）2-1，由此求出7.四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到2015时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（）A．小沈B．小叶C．小李D．小王答案:A解析：解答: 去掉第一个数，每6个数一循环，（2015-1）÷6=2014÷6=335…4，则2015时对应的小朋友与5对应的小朋友是同一个．选：C．分析: 从图上可以看出，去掉第一个数，每6个数一循环，用（2015-1）÷6算出余数，再进一步确定2015的位置8.观察下列数据：0，3，8，15，24…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（）A．40400 B．40040 C．4040 D．404答案:A解析：解答: ∵0=12-1，3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…，∴第201个数据是：2012-1=40400．选A．分析: 观察不难发现，各数据都等于完全平方数减1，然后列式计算即可得解9.对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．例如：f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值为（）A．6 B．4022 C．4028 D．6708答案:C解析：解答:∵f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，∴每5个数一循环，分别为2，6，2，0，0…∴2012÷5=402..2∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=2+6+2+0+0+2+6+2+…+2+6=402×（2+6+2）+8=4028．选：C．分析: 首先根据已知得出规律，f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，进而求出10.两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．151答案:A解析：解答: 第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m+4，第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n+3，∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12，∵第一个相同的数为7，∴相同的数的组成的数列的通式为12a-5，第10个相同的数是：12×10-5=120-1=115．选：A．分析: 根据两组数的变化规律写出两组数的通式，从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值，再结合第一个相同的数写出通式，然后把序数10代入进行计算11.对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（）A．0 B．1 C．3 D．5答案:C解析：解答: ∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，∴5!、…、10!的末尾数都是0，∴1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．选C．分析: 根据n!=1×2×3×...×n得到1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，且5!、...、10!的数中都含有2与5的积，则5!、...、10!的末尾数都是0，于是得到1!+2!+3!+ (10)的末尾数为312.一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答: ∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．选：A．分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答13.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252答案:C解析：解答: ∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209选：C．分析: 首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4-1=3，6-2=4，8-3=5，10-4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值14.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）答案:B解析：解答：2015是第201512+=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n-1）≥1008，即()1212n n+-≥1008，解得：当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024-1=2047，第32组的第一个数为：2×962-1=1923，则2015是（201512923-+1）=47个数．故A2015=（32，47）．选B．分析:先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是（）A．25 B．27 C．55 D．120答案:C解析：解答：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55．所以第10个数是55．选C．分析: 观察发现，从第三个数开始，后一个数是前两个数的和，依次计算求解得之差在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，9，8，依此类推，则从数串，开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___答案:520解析：解答:一个依次排列的n个数组成一个数串：a1，a2，a3，…，a n，依题设操作方法可得新增的数为：a2- a1，a3- a2，a4- a3，a n- a n -1，所以，新增数之和为：（a2- a1）+（a3- a2）+（a4- a3）+…+（a n - a n -1）= a n - a1，原数串为3个数：3，9，8，第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8，根据（*）可知，新增2项之和为：6+（-1）=5=8-3，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8，根据（*）可知，新增2项之和为：3+3+（-10）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（8-3）=520，答案为：520．分析: 根据题意，计算可得第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8；进而可得第2次操作后所得数串；分析可得其规律，运用规律可得答案17.将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是______答案: 50解析：解答: 由排列的规律可得，第n-1行结束的时候排了1+2+3+…+n-1=12n（n-1）个数．所以第n行从左向右的第5个数12n（n-1）+5．所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50．答案为：50．分析：先找到数的排列规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数18.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为_________答案:4解析：解答: ∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；∴50÷4=12余2，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需报到：9，21，33，45这4个数时，应拍手4次．答案为：4．分析: 根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案19.观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015= _________ 答案：1016064解析：解答：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008-1）=10082=1016064答案为：1016064．分析: 根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n-1）=n2，据此求出1+3+5+…+2015的值20.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________ 答案：45解析：解答: 第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45分析: 根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案52-1=24=8×3，72-1=48=8×6，92-1=80=8×10，…你发现了什么？答案:（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解答: （1）n=1时，（2×1+1）2-1=8×1；n=2时，（2×2+1）2-1=24=8×（1+2）；n=3时，（2×3+1）2-1=48=8×（1+2+3）；n=4时，（2×4+1）2-1=80=8×（1+2+3+4）；…n=n时，（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）．即发现的规律为：（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解析：分析: 式子的左边是一个奇数的平方减去1；等式右边是8的倍数，即（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）22.观察下列各式你会发现什么规律？1×5=5，而5=32-222×6=12，而12=42-223×7=21，而21=52-22…（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；答案:解答: 10×14=140=122-22；（2）将你猜想的规律用只含一个字母n的等式表示出来，并说明等式的正确性．答案: n（n+4）=（n+2）2-22．解答:第n个等式为n（n +4）=（n+2）2-22．∵左边= n（n +4）=n2+4n右边=（n +2）2-22=n2+4n+4-4═n2+4n左边=右边∴n（n+4）=（n+2）2-22．解析：分析: 由1×5=5，而5=5=32-22；2×6=12，而12=42-22；3×7=21，而21=52-22…可以看出两个因数相差4，所得的积是大的因数减去2的差的平方再减去2的平方，由此规律计算23.有规律排列的一列数：2、4、6、8…它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示；有规律的一列数：1、-2、3、-4、5、-6、7、-8…它的第100个数是什么？第n个数是什么？答案：100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；解析：解答：（1）奇数为正数，偶数为负数，并且第n个数的绝对值为n，所以100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；分析: 先得到符号的规律，再得到绝对值的规律即可；24.观察下列等式：12-02 ①，22-12 ②，32-22 ③，42-32 ④，…（1）按此规律猜想写出第⑥和第⑩个算式；答案：观察所给的4个算式，可知⑥、⑩个算式为：62-52，102-92；（2）请用含自然数n的等式表示这种规律．答案：用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2解析：解答：（1）观察所给的4个算式，可知⑥、⑩个算式为：62-52，102-92；（2）用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2分析: 本题考查规律型终端额数字变化问题，比较简单，考查学生的观察和总结能力25.观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624，34×36=1224…，（1）上面两数相乘后，其末尾的两位数有什么规律？答案：末尾都是24；（2）如果按照上面的规律计算：124×126（请写出计算过程）．答案：124×126=12×（12+1）×100+24=15600+24=15624；答案：（10a+4）（10a+6）=100a2+100a+24=100a（a+1）+24．解析：分析:本题考查了数字的变化类问题，仔细观察算式发现规律是解答本题的关键。

北师大版七年级数学上册《探索与表达规律》专项练习(含答案)

试题汇编——找规律1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有__________个小圆圈．（1）（2）（3）2、找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有个菱形,第n 幅图中有个菱形．3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子枚（用含n 的代数式表示）.4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________．5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形1 2 3 n … … 第1个图第2个图第3个图…图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．若这样铺成一个1010⨯的正方形图案，则其中完整的圆共有个．6、如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简形式）.○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○○ ○ ○ ○ ○7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形需根火柴棒。

8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．9、如图 2 ，用n 表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n 的关系是第一排第二排第三排第四排 6 ┅┅ 10 9 87 32 15 410、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是（）1-2 3-4 5 -67 -8 9 -10。

初中北师大版数学七年级上册3.5【同步练习】《探索与表达规律》

2024～2025学年七年级数学上册3.3探索与表达规律课后练「含答案」

D． 99
）
x 5 - 1 ## -1 + x 5
1．
211 - 1 ## -1 + 211
【分析】本题考查数字的变化类，（1）根据题中的式子归纳总结规律：
x - 1 2n + 2n-1 + 23 + 22 + 1 = 2n+1 - 1 ，即可求解；
（2）利用归纳总结的规律求解即可．
②求图 10 中正方形地砖和正三角形地砖的总数量．
6．将正方形按如图所示的方式排列：第 1 个图形共有 1 个正方形，第 2 个图形共有 3 个正方
形，第 3 个图形共有 5 个正方形， L ，若第 49 个图形共有 n 个正方形，则 n 的值为（
A． 96
B． 97
C． 98
试卷第 3 页，共 3 页
æ1
=ç ÷´ ；
x x + 3 è x x + 3 ø 3
第四个式子
1
1 ö 1
æ1
=ç ÷ ´ LL
x x + 4 è x x + 4 ø 4
根据你发现的规律解决下列问题：
(1)写出第 n 个算式：_______（ n 为正整数）
(2)
1
x + m x + n
= ______（ n ， m 为正整数且 m ¹ n ）
故答案为： 211 - 1 ．
1 ö 1
æ1
2．(1) ç ÷´
x
x
+
nø n
è
1 ö
1
æ 1
(2) ç
÷´
x
+
m
x
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北师大版初中数学七年级上册《3.5 探索与表达规律》同步练习卷(含答案解析

北师大新版七年级上学期《3.5 探索与表达规律》同步练习卷一．解答题（共37小题）1．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+ (22015)解：设S=1+2+22+23+24+…+22015①，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+22015+22016②②式减①式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1所以1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+ (2)（2）利用（1）的结论计算1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299．2．计算：1+3+32+33+34+…+399+3100时，可设S=1+3+32+33+34+…+399+3100 ①则：3S=3+32+33+34+…+3100+3101②②﹣①得2S=3101﹣1∴S=试利用上述方法计算：1+8+82+ (82006)3．阅读下列材料：因为=，=，=，=，…所以+++…+=．解答下列问题：（1）在和式+++…中，第五项为，第n项为．（2）利用上述结论计算：+++…+．4．若=+，对任意自然数n都成立，（1）求a，b的值；（2）试根据（1）的变式，计算：+++…+．5．（1）先观察，然后想一想其中的规律，并利用你所想的规律计算．==，==，==，请你计算：+．（2）试计算（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）的值．6．看清题目，奇思妙算．规定：正整数的“运算”是①当n为奇数时，H=3n+13；②当n为偶数时，H=n×××…（其中H为奇数）如：数n=3经过1次“运算”的结果是22（=3×3+13），经过2次“运算”的结果是11（=22×），经过3次“运算”的结果是46（=11×3+13），经过4次“运算”的结果是23（=46×），请解答：数257经这257次“H运算”得到的结果．7．观察下列计算过程，发现规律，利用规律猜想并计算：1+2==3；1+2+3==6，1+2+3+4==10；1+2+3+4+5= =15；…（1）猜想：1+2+3+4+…+n=．（2）利用上述规律计算：1+2+3+4+ (200)（3）尝试计算：3+6+9+12+…3n的结果．8．观察下列各等式：13=1=×11×2213+23=9=×22×3213+23+33=36=×32×42…用你发现的规律解答下列问题：（1）填空：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×（）2×（）2（n为正整数）；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；②23+43+63+…+983+10039．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11=．10．观察下列等式：=（1﹣），=（﹣），=（﹣），…（1）猜想并写出第n个等式；【猜想】（2）计算：+++…+．11．求1+2+22+23+…+22016的值，令S=1+2+22+23+…+22016，则2S=2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S=22017﹣1，S=22017﹣1．参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．12．观察下列等式：=1﹣，=﹣，，将以上三个等式两边分别相加得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=（1）猜想并写出：=（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+=（3）探究并计算：+++…+．13．观察下列各等式，并回答问题：=1﹣；=；=；=；…（1）填空：=（2）猜想：=（n是正整数）（3）计算：…．14．观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣，…，=﹣将以上等式两边分别相加，可得+++…=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣+﹣﹣+…﹣=1﹣=用你发现的规律解答下列问题（1）猜想并写出：=（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+=；②+++…+=；（3）探究并计算：+++…+．15．观察下列算式：①1×3﹣22=3﹣4=﹣1②2×4﹣32=8﹣9=﹣1③3×5﹣42=15﹣16=﹣1④…（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）再按以上规律写出第n个算式（n为正整数）．16．先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的题目：例：计算：1+2+22+23+…+2100解：设S=1+2+22+23+…+2100（1）则2S=2+22+23+24+…+2101（2）（2）﹣（1）得：S=2101﹣1请计算：1+5+52+53+ (52018)17．阅读观察下列解题过程：例：计算+++…++解：因为==﹣所以+++…++=﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1﹣=计算：+++…+．18．探究与应用请观察下列各式：①，②，③，④．（1）第10个算式为=；（2）请计算：+++…+；（3）请参照以上各式特点计算：+++…+．19．观察下列等式：第1个等式：a1==（1﹣）第2个等式：a2==（﹣）第3个等式：a3==（﹣）第4个等式：a4==（﹣）…请回答下列问题：（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a5==（2）用含n的式子表示第n个等式：a n==（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．20．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22016+22017，等式两边同时乘2得：2S=2++22+23+24+25…+22017+22018将下式减去上式得：2S﹣S=22018﹣1S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．21．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：解：设S=1+2+22+23+…+299+2100•式在等式两边同乘以2，则有2S=2+22+23+…+299+2100+2101‚式‚式减去式，得2S﹣S=2101﹣1即S=2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100=2101﹣1【理解运用】计算（1）1+3+32+33+…+399+3100（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．22．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22017，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22018将下式减去上式得2S﹣S=22018﹣1 即S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+ (32016)23．阅读理解并解答：为了求1+2+22+23+24+…+22013的值．可令S=1+2+22+23+24+…+22013，则2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014因此2S﹣S=（2+22+23+…+22013+22014）﹣（1+2+22+23+…+22013）=22014﹣1．所以：S=22014﹣1．即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1．请依照此法，求：1+5+52+53+54+…+52016的值．24．德国著名数学家高斯在上小学时，有一次老师让同学计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．解：设S=1+2+3+…+100，①则S=100+99+98+…+1．②①+②，得2S=101+101+101+ (101)所以2S=100×101，S=×100×101=50×101=5050所以1+2+3+…+100=5050．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．阅读上面扥文字，解答下面的问题：（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+ (200)（2）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+n．（3）请你利用（2）中的结论计算：1+2+3+ (2000)25．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：=1﹣，=﹣，=﹣…=﹣所以：+++…+=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣+﹣+…+﹣=1﹣=问题：计算：①+++…+；②+++…+．26．观察下列等式：=1，，．再以上三个等式两边分别相加得：=1=1﹣．（1）猜想并写出：=．（2）直接写出下列各式的计算结果：①=．②．（3）探究并计算：．27．观察下列等式=﹣，=﹣，=1﹣，++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=以上三个等式两边分别相加得：（1）猜想并写出：=；（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+ =；（3）探究并计算：+++…+．28．连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a ＜b＜c）若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a2+b2＞c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：=2；若有5个连续整数：=2；若有7个连续整数：=2；…由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．29．计算：观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=；（2）求和：+++…+；（3）求和：+++…+；（4）求和+++…+．30．观察下列三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…①0，6，﹣6，18，﹣30，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行的数按什么规律排列？写出第①行的第n个数；（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行第7个数，计算这三个数的和．31．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…10=？经过研究，这个问题的一般结论是1+2+3+…+n=n（n+1），其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完这段材料，请你计算：（1）1×2+2×3+…+100×101（2）1×2+2×3+…+n（n+1）（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）32．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=×3×4×5=20．根据以上材料，请你完成下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11；（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=；（用含n的代数式表示）（3）根据以上学习经验，猜想1×2×3+2×3×4+…+18×19×20=．（写出最后结果）33．阅读理解：为了求1+3+32+33+…+3100的值，可M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此3M﹣M=3101﹣1．所以M=，即1+3+32+33+…+3100=．问题解决：仿照上述方法求下列式子的值．（1）1+4+42+43+ (420)（2）5101+5102+5103+ (52016)34．先阅读并填空，再解答问题：我们知道，，，那么（1）=；=．（2）用含有n的式子表示你发现的规律：．（3）依据（2）中的规律计算：．（写解题过程）（4）的值为．35．阅读与理解在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：a⊕b⊕c=（|a﹣b﹣c|+a+b+c）．如：（﹣1）⊕2⊕3=[|﹣1﹣2﹣3|+（﹣1）+2+3]=5解答下列问题：（1）计算：3⊕（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）在﹣，﹣，﹣，…，﹣，0，，，，…，这15个数中，任意取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算结果中的最大值．36．观察下列算式，你发现了什么规律？13=；13+23=，13+23+33=；13+23+33+43=；…（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值：13+23+33+43+53；（2）请用一个含n的算式表示这个规律：13+23+33+…+n3=．37．观察下列式子：=1﹣，=﹣，=﹣…将以上三个等式两边分别相加得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=用你发现是规律解答下列问题：（1）①+++…+=．②+++…+=（其中n为大于1的自然数）．（2）探究并计算：+++…+．北师大新版七年级上学期《3.5 探索与表达规律》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共37小题）1．阅读材料，求值：1+2+22+23+24+ (22015)解：设S=1+2+22+23+24+…+22015①，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+22015+22016②②式减①式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1所以1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+ (2)（2）利用（1）的结论计算1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299．【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+2n的值；（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到结果．【解答】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+2n，则2S=2+22+23+24+…+2n+1，∴2S﹣S=S=2n+1﹣1，则1+2+22+23+24+…+2n=2n+1﹣1；（2）设S=1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299，①∴2S=2+2×22+3×23+…+99×299+100×2100，②①﹣②得，﹣S=1+2+22+23+24+…+299﹣100×2100=2100﹣1﹣100×2100，∴1×1+2×2+3×22+4×23+…+99×298+100×299=1+99×2100．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．2．计算：1+3+32+33+34+…+399+3100时，可设S=1+3+32+33+34+…+399+3100 ①则：3S=3+32+33+34+…+3100+3101②②﹣①得2S=3101﹣1∴S=试利用上述方法计算：1+8+82+ (82006)【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【解答】解：设S=1+8+82+ (82006)则8S=8+82+ (82007)∴8S﹣S=7S=82007﹣1，则S=1+8+82+…+82006=．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．3．阅读下列材料：因为=，=，=，=，…所以+++…+=．解答下列问题：（1）在和式+++…中，第五项为，第n项为．（2）利用上述结论计算：+++…+．【分析】（1）由已知等式得出第n项为，据此可得；（2）利用裂项法得出原式=×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣），进一步运算可得．【解答】解：（1）∵第1项=，第2项=，第3项=，∴第5项为=，第n项为，故答案为：，；（2）原式=×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=×=．【点评】本题主要考查数字的变化规律和分式的化简，根据题意得出第n项为且=（﹣）是解题的关键．4．若=+，对任意自然数n都成立，（1）求a，b的值；（2）试根据（1）的变式，计算：+++…+．【分析】（1）由+=结合=+对任意自然数n都成立得出，解之可得；（2）利用（1）中的结论可得，原式=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣），进一步计算可得．【解答】解：（1）+==，∵=+对任意自然数n都成立，∴，解得：；（2）由（1）知，+++…+=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=．【点评】本题主要考查分式的化简、解方程组的能力及数字的变化规律，将分式变形由等式对任意自然数n都成立得出关于a、b的方程组及利用已得结论裂项求解是解题的关键．5．（1）先观察，然后想一想其中的规律，并利用你所想的规律计算．==，==，==，请你计算：+．（2）试计算（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）的值．【分析】（1）利用连续整数乘积的倒数等于两整数倒数的差，将原式拆解开，再计算即可得；（2）先计算括号内的减法，再计算乘法即可得．【解答】解：（1）原式=﹣+﹣+﹣+…+﹣=﹣=﹣=；（2）原式=××…××=．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出连续整数乘积的倒数等于两整数倒数的差是解题的关键．6．看清题目，奇思妙算．规定：正整数的“运算”是①当n为奇数时，H=3n+13；②当n为偶数时，H=n×××…（其中H为奇数）如：数n=3经过1次“运算”的结果是22（=3×3+13），经过2次“运算”的结果是11（=22×），经过3次“运算”的结果是46（=11×3+13），经过4次“运算”的结果是23（=46×），请解答：数257经这257次“H运算”得到的结果．【分析】按照①②运算一次一次的输入，得出它们的结果，从中发现规律，从第10次开始偶数次等于1，奇数次等于16．从而求数257经过257次“H运算”得到的结果．【解答】解：1次=3×257+13=7842次=784×0.5×0.5×0.5×0.5=493次=3×49+13=1604次=160×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=55次=3×5+13=286次=28×0.5×0.5=77次=3×7+13=348次=34×0.5=179次=3×17+13=6410次=64×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5=111次=3×1+13=1612次=16×0.5×0.5×0.5×0.5=1=第10次所以从第10次开始，偶数次等于1、奇数次等于16，∵257是奇数所以第257次是16．【点评】此题考查了数字的变化规律；关键是找出规律：从第10次开始，偶数次等于1、奇数次等于16．7．观察下列计算过程，发现规律，利用规律猜想并计算：1+2==3；1+2+3==6，1+2+3+4==10；1+2+3+4+5= =15；…（1）猜想：1+2+3+4+…+n=．（2）利用上述规律计算：1+2+3+4+ (200)（3）尝试计算：3+6+9+12+…3n的结果．【分析】（1）从1开始连续自然数的和，等于两端的数相加乘数的个数，再除以2，由此得出答案即可；（2）利用（1）的规律计算即可；（3）把整体和提公因式3可进行计算．【解答】解：（1）1+2+3+4+…+n=；故答案为：；（2）1+2+3+4+…+200==20100．（3）3+6+9+12+…3n=3（1+2+3+4+…+n）=．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键．8．观察下列各等式：13=1=×11×2213+23=9=×22×3213+23+33=36=×32×42…用你发现的规律解答下列问题：（1）填空：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×（n）2×（n+1）2（n为正整数）；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；②23+43+63+…+983+1003【分析】（1）括号内是两个连续的自然数，最小的数与等号左边的最大底数相同；（2）①根据规律得所有底数和的平方，计算即可；②提公因式23，可得结论．【解答】解：（1）13+23+33+…+（n﹣1）3+n3=×n2×（n+1）2（n为正整数）；故答案为：n，n+1；（2）计算：①13+23+33+…+493+503；=（1+2+3+…+50）2，=[]2，=12752，=1625625，②23+43+63+…+983+1003，=23（13+23+33+…+503），=8×1625625，=13005000．【点评】此题考查算式的规律，注意结果与等式左边的各个数的关系是解题的关键，并进一步利用规律解决问题．9．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=n（n+1）（n+2）；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11=2970．【分析】根据给定等式的变化找出变化规律“n（n+1）=[n（n+1）（n+2）﹣（n ﹣1）n（n+1）]”．（1）根据变化规律将算式展开后即可得出原式=×10×11×12，此题得解；（2）根据变化规律将算式展开后即可得出原式=n（n+1）（n+2），此题得解；（3）通过类比找出变化规律“n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n ﹣1）n（n+1）（n+2）]”，依此规律将算式展开后即可得出结论．【解答】解：观察，发现规律：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），…，∴n（n+1）=[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]．（1）原式=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11），=×10×11×12，=440．（2）原式=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，=n（n+1）（n+2）．故答案为：n（n+1）（n+2）．（3）观察，发现规律：1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3），2×3×4=（2×3×4×5﹣1×2×3×4），3×4×5=（3×4×5×6﹣2×3×4×5），…，∴n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，∴原式=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（9×10×11×12﹣8×9×10×11），=×9×10×11×12，=2970．故答案为：2970．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．10．观察下列等式：=（1﹣），=（﹣），=（﹣），…（1）猜想并写出第n个等式；【猜想】（2）计算：+++…+．【分析】（1）根据所给出的等式找出规律，即可得出第n个算式；（2）根据（1）得出的规律解答即可．【解答】解：（1）第n个等式为：；（2）===．【点评】此题考查数字的变化规律，发现规律，利用规律解决问题．11．求1+2+22+23+…+22016的值，令S=1+2+22+23+…+22016，则2S=2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S=22017﹣1，S=22017﹣1．参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值．【分析】仿照例题可设S=5+52+53+…+52016，从而得出5S=52+53+…+52017，二者做差后即可得出结论．【解答】解：设S=5+52+53+...+52016，则5S=52+53+ (52017)∴5S﹣S=52+53+…+52017﹣（5+52+53+…+52016）=52017﹣5，∴S=．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，仿照例题找出4S=52017﹣5是解题的关键．12．观察下列等式：=1﹣，=﹣，，将以上三个等式两边分别相加得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=（1）猜想并写出：=﹣（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+=（3）探究并计算：+++…+．【分析】（1）先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；（2）根据（1）中的猜想计算出结果；（3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解．【解答】解：（1）=﹣，故答案为：﹣，；（2）+++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：；（3）+++…+=（+++…+）=（1﹣）=×=．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．13．观察下列各等式，并回答问题：=1﹣；=；=；=；…（1）填空：=﹣（2）猜想：=﹣（n是正整数）（3）计算：…．【分析】（1）根据已知等式的规律：两个连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差，即可得；（2）根据（1）中的规律可得；（3）利用（1）中的规律，裂项求和可得．【解答】解：（1）根据题意，得：=﹣，故答案为：﹣；（2）猜想：=﹣，故答案为：﹣；（3）原式=1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据已知等式得出两个连续整数乘积的倒数等于这两个数倒数的差是解题的关键．14．观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣，…，=﹣将以上等式两边分别相加，可得+++…=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣+﹣﹣+…﹣=1﹣=用你发现的规律解答下列问题（1）猜想并写出：=﹣（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+=；②+++…+=1﹣；（3）探究并计算：+++…+．【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）先探索当分母为连续偶数时如何写成差的形式，再计算．【解答】解：（1）=﹣；故答案为：﹣；（2）①+++…+=1﹣+﹣+﹣，…+﹣=；②+++…+=﹣1﹣+﹣+﹣，…+﹣=1﹣；故答案为：；1﹣；（3）+++…+=（+++…+）=（1﹣+﹣+﹣，…+﹣）=（1﹣）=．【点评】此题考查了分式的加减法，弄清拆项法则是解本题的关键．15．观察下列算式：①1×3﹣22=3﹣4=﹣1②2×4﹣32=8﹣9=﹣1③3×5﹣42=15﹣16=﹣1④4×6﹣52=24﹣25=﹣1…（1）请你按以上规律写出第4个算式﹣1；（2）再按以上规律写出第n个算式（n为正整数）n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．【分析】根据题目给出的规律即可求出当．【解答】解：（1）4×6﹣52=24﹣25=﹣1（2）n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1故答案为：（1）﹣1；（2）n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1【点评】本题考查数字规律，解题的关键是正确理解题目给出的规律，本题属于基础题型．16．先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的题目：例：计算：1+2+22+23+…+2100解：设S=1+2+22+23+…+2100（1）则2S=2+22+23+24+…+2101（2）（2）﹣（1）得：S=2101﹣1请计算：1+5+52+53+ (52018)【分析】根据题意设出5S，进而解答即可．【解答】解：设S=1+5+52+53+…+52018（1）则5S=5+52+53+…+52019（2）（2）﹣（1）得：4S=52019﹣1∴S=．【点评】此题考查规律型：数字的变化，关键是设出5S，进而解答．17．阅读观察下列解题过程：例：计算+++…++解：因为==﹣所以+++…++=﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1﹣=计算：+++…+．【分析】利用=×（﹣）列项求解可得．【解答】解：+++…+=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=．【点评】本题主要考查数字的变化规律，熟练掌握=×（﹣）列项求解是解题的关键．18．探究与应用请观察下列各式：①，②，③，④．（1）第10个算式为=﹣；（2）请计算：+++…+；（3）请参照以上各式特点计算：+++…+．【分析】（1）第1个算式的分子为1，分母为1×2，第2个算式的分子为1，分母为2×3，…第10个算式的分子为1，分母为10×11，第n个算式的分子为1，分母为n×（n+1）；（2）依据上面这种算式的规律把各个分数分解为2个分数的差，化简后只剩2个数的差，计算即可；（3）把各个分数分解为2个分数的差乘，化简后计算即可．【解答】解：（1）第10个算式为=﹣；（2）+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）+++…+=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=．【点评】此题考查数字的变化规律；得到分子为1，分母为两个相邻数的分数的计算规律是解决本题的关键．19．观察下列等式：第1个等式：a1==（1﹣）第2个等式：a2==（﹣）第3个等式：a3==（﹣）第4个等式：a4==（﹣）…请回答下列问题：（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a5==×（﹣）（2）用含n的式子表示第n个等式：a n==（﹣）（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．【分析】（1）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．（2）运用（1）中变化规律计算得出即可．（3）运用以上规律裂项求和即可．【解答】解：（1）观察下列等式：第1个等式：a1==（1﹣）第2个等式：a2==（﹣）第3个等式：a3==（﹣）第4个等式：a4==（﹣）…则第5个等式：a5==×（﹣）；故答案为，×（﹣）；（2）由（1）知，a n==（﹣），故答案为：，（﹣）；（3）原式=+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×=．【点评】此题考查了数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．20．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22016+22017，等式两边同时乘2得：2S=2++22+23+24+25…+22017+22018将下式减去上式得：2S﹣S=22018﹣1S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．【分析】（1）设原式=S，两边乘2变形后，相减求出S即可；（2）设原式=S，两边乘3变形后，相减求出S即可．【解答】解：（1）设S=1+2+22+ (210)两边乘2得：2S=2+22+ (211)两式相减得：2S﹣S=S=211﹣1，则原式=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+…+3n，两边乘3得：3S=3+32+33+…+3n+1，两式相减得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1），则原式=（3n+1﹣1）．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解运算方法是解题的关键．21．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：解：设S=1+2+22+23+…+299+2100•式在等式两边同乘以2，则有2S=2+22+23+…+299+2100+2101‚式‚式减去式，得2S﹣S=2101﹣1即S=2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100=2101﹣1【理解运用】计算（1）1+3+32+33+…+399+3100（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．【分析】（1）利用题中的方法求出原式的值即可；（2）根据题中的方法利用加法即可．【解答】解：（1）设S=1+3+32+33+…+3100，①①式两边都乘以3，得3S=3+32+33+…+3101，②②﹣①得：2S=3101﹣1，即S=，则原式=；（2）设S=1﹣3+32﹣33+…+3100，①①式两边都乘以3，得3S=3﹣32+33﹣…+3101，②②+①得：4S=3101+1，即S=，则原式=．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．22．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22017，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22018将下式减去上式得2S﹣S=22018﹣1 即S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+ (32016)【分析】（1）设原式=S，两边乘以2变形后，相减求出S即可；（2）设原式=S，两边乘以3变形后，相减求出S即可．【解答】解：（1）设S=1+2+22+ (210)两边乘以2得：2S=2+22+ (211)两式相减得：2S﹣S=S=211﹣1，则原式=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+ (32016)两边乘以3得：3S=3+32+33+ (32017)两式相减得：3S﹣S=32017﹣1，即S=（32017﹣1），则原式=（32017﹣1）．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解运算方法是解题的关键．23．阅读理解并解答：为了求1+2+22+23+24+…+22013的值．可令S=1+2+22+23+24+…+22013，则2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014因此2S﹣S=（2+22+23+…+22013+22014）﹣（1+2+22+23+…+22013）=22014﹣1．所以：S=22014﹣1．即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1．请依照此法，求：1+5+52+53+54+…+52016的值．【分析】根据题目信息，设S=1+5+52+53+…+52016，求出5S，然后相减计算即可得解．【解答】解：设S=1+5+52+53+ (52016)则5S=5+52+53+54 (52017)两式相减得：4S=52017﹣1，则S=．∴1+5+52+53+54+…+52016的值为．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．24．德国著名数学家高斯在上小学时，有一次老师让同学计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．解：设S=1+2+3+…+100，①则S=100+99+98+…+1．②①+②，得2S=101+101+101+ (101)所以2S=100×101，S=×100×101=50×101=5050所以1+2+3+…+100=5050．后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．阅读上面扥文字，解答下面的问题：（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+ (200)（2）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+n．（3）请你利用（2）中的结论计算：1+2+3+ (2000)【分析】（1）通过观察可知，题目中的加数构成一个公差为1的等差数列，则本题根据高斯求和的有关公式计算即可；（2）根据等差数列和=（首项+末项）×项数÷2，即可解答；（3）根据（2）中的规律，即可解答．【解答】解：（1）1+2+3+4+5+…+200=（1+200）×200÷2=201×200÷2=20100．（2）1+2+3+…+n=（1+n）•n÷2=．（3）1+2+3+…+2000==2001000．【点评】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是明确等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．25．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：=1﹣，=﹣，=﹣…=﹣所以：+++…+=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣+﹣+…+﹣=1﹣=问题：计算：①+++…+；②+++…+．【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=1﹣﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（2）原式=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=．【点评】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．26．观察下列等式：=1，，．再以上三个等式两边分别相加得：=1=1﹣．（1）猜想并写出：=﹣．（2）直接写出下列各式的计算结果：①=．②．（3）探究并计算：．【分析】（1）利用规律即可写成结果；（2）①②把一个式子写成两个式子的差，再加减即可．（3）模仿（2）进行恒等变形，即可解决问题；【解答】解：（1）=﹣．故答案为﹣．（2）①=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．②=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故答案为，（3）=（﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．【点评】本题考查规律型：数字的变化类、有理数的混合运算等知识，解题的关键是学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．27．观察下列等式=﹣，=﹣，=1﹣，++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=以上三个等式两边分别相加得：（1）猜想并写出：=﹣；（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+=；（3）探究并计算：+++…+．【分析】（1）根据已知等式做出猜想，写出即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）仿照（2）将：+++…+转换成×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）就可轻易算出结果．【解答】解：（1）猜想得到=﹣；（2）+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）+++…+=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=×=；故答案为：（1）﹣，（2）．【点评】本题考查了数字的变换规律问题，解题的关键是能够总结出规律等式=﹣并应用于求和运算．28．连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a ＜b＜c）若a2+b2=c2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a2+b2＞c2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：=2；若有5个连续整数：=2；若有7个连续整数：=2；…由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．【分析】（1）根据“魔幻数组”的定义，找出所有的“魔幻数组”即可得出结论；（2）根据规律找出n=9，设出这9个数，再根据“科幻数组”的特征找出关于m 的一元二次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）若a2+b2＜c2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”，∴“魔幻数组”为：1，2，3及2，3，4．（2）由已知可得：32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272，…故可知n=9，可设这9个数为m﹣4，m﹣3，m﹣2，m﹣1，m，m+1，m+2，m+3，m+4，则有：（m﹣4）2+（m﹣3）2+（m﹣2）2+（m﹣1）2+m2=（m+1）2+（m+2）2+（m+3）2+（m+4）2，整理得：m2﹣40m=0，由题意m不为0，故m=40，∴这9个数为36，37，38，39，40，41，42，43，44．【点评】本题考查了数字的变化类问题以及新定义的应用，根据新定义的意义找出方程是解题的关键．29．计算：观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；…解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想=﹣；（2）求和：+++…+；（3）求和：+++…+；（4）求和+++…+．【分析】（1）根据已知等式做出猜想，写出即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（3）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；（4）仿照（2）将：转换成×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）就可轻易算出结果．【解答】解：（1）猜想得到=﹣；（2）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（4）原式=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=×=；故答案为：（1）﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的拆项规律是解本题的关键．30．观察下列三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…①0，6，﹣6，18，﹣30，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行的数按什么规律排列？写出第①行的第n个数；（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行第7个数，计算这三个数的和．【分析】（1）第①行有理数是按照﹣2的正整数次幂排列的；（2）第②行为第①行的数加2；第③行为第①行的数的一半，分别写出第n个数的表达式；（3）根据各行的表达式求出第7个数，然后相加即可得解．【解答】解：（1）第①行的有理数分别是﹣2，（﹣2）2，（﹣2）3，（﹣2）4，…，故第n个数为（﹣2）n（n是正整数）；（2）第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（﹣2）n+2（n是正整数），第③行的数等于第①行相应的数的一半，即第n个数是×（﹣2）n（n是正整数）；（3）∵第①行的第7个数为（﹣2）7=﹣128，第②行的第7个数为（﹣2）7+2=﹣126，第③的第7个数为×（﹣2）7=﹣64，所以，这三个数的和为：（﹣128）+（﹣126）+（﹣64）=﹣318．【点评】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．31．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…10=？经过研究，这个问题的一般结论是1+2+3+…+n=n（n+1），其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完这段材料，请你计算：（1）1×2+2×3+…+100×101（2）1×2+2×3+…+n（n+1）（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）【分析】（1）根据题目中的信息可以解答本题；（2）根据题目中的信息可以解答本题；（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．【解答】解：（1）1×2+2×3+…+100×101==343400；（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=；（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=++…+[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]=n（n+1）（n+2）（n+3）．【点评】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．32．阅读下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=×3×4×5=20．根据以上材料，请你完成下列各题：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11；（写出过程）（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=n×（n+1）×（n+2）；（用含n的代数式表示）（3）根据以上学习经验，猜想1×2×3+2×3×4+…+18×19×20=35910．（写出最后结果）【分析】（1）利用已知材料得出原式=×10×11×12，进而求出即可；（2）利用（1）中所求，进而求出即可；（3）仿照已知得出原式=（1×2×3×4）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（18×19×20×21﹣17×18×19×20），进而求出即可．【解答】解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11）=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+10×11×12﹣9×10×11）=×10×11×12=440；（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+ [n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]=n×（n+1）×（n+2）．故答案为n×（n+1）×（n+2）；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+18×19×20=（1×2×3×4）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（18×19×20×21﹣17×18×19×20）=×18×19×20×21=35910．故答案为35910．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用找出的规律解决问题．33．阅读理解：为了求1+3+32+33+…+3100的值，可M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此3M﹣M=3101﹣1．所以M=，即1+3+32+33+…+3100=．问题解决：仿照上述方法求下列式子的值．（1）1+4+42+43+ (420)（2）5101+5102+5103+ (52016)【分析】（1）根据题目信息，设S=1+4+42+43+…+420 ，求出4S，然后相减计算即可得解；（2）设P=5101+5102+5103+…+52016，求出5P，两式相减计算即可得．【解答】解：（1）设S=1+4+42+43+…+420 ①，则4S=4+42+43+…+420+421②，②﹣①得：3S=421﹣1，∴S=，即1+4+42+43+…+420=；（2）设P=5101+5102+5103+…+52016①，则5P=5102+5103+…+52016+52017②，②﹣①得：4P=52017﹣5101，∴P=，即5101+5102+5103+…+52016=．【点评】本题考查了有理数的乘方和数字的变化类，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．34．先阅读并填空，再解答问题：我们知道，，，那么（1）=﹣；=﹣．（2）用含有n的式子表示你发现的规律：=﹣．（3）依据（2）中的规律计算：．（写解题过程）（4）的值为．【分析】（1）根据题意可得；（2）由已知等式可得=﹣；（3）利用（2）中的结论，裂项求和可得；（4）根据=（﹣）裂项求和可得．【解答】解：（1）根据题意得，=﹣；=﹣，故答案为：﹣，﹣；（2）由题意知=﹣，故答案为：=﹣；（3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（4）原式=×（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=×（﹣）=×=，故答案为：．【点评】本题主要考查数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题意得出=﹣和=（﹣）及裂项求和的方法是解题的关键．35．阅读与理解在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：a⊕b⊕c=（|a﹣b﹣c|+a+b+c）．如：（﹣1）⊕2⊕3=[|﹣1﹣2﹣3|+（﹣1）+2+3]=5解答下列问题：（1）计算：3⊕（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）在﹣，﹣，﹣，…，﹣，0，，，，…，这15个数中，任意取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算结果中的最大值．【分析】（1）根据给定的新定义，代入数据即可得出结论；（2）分a﹣b﹣c≥0和a﹣b﹣c≤0两种情况考虑，分别代入定义式中找出最大值，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：3⊕（﹣2）⊕（﹣3），=（|3﹣（﹣2）﹣（﹣3）|+3+（﹣2）+（﹣3）），=（8﹣2），=3．（2）当a﹣b﹣c≥0时，原式=（a﹣b﹣c+a+b+c）=a，此时最大值为a=；当a﹣b﹣c≤0时，原式=（﹣a+b+c+a+b+c）=b+c，此时最大值为b+c=+=．∵＞，。

七年级数学上册 3.5 探索与表达规律作业试题

3.5 探究与表达规律1.用棋子按如图方式摆“小房子〞:照这样的规律摆下去，摆第10个“小房子〞需要多少颗棋子？摆第n个需要多少颗棋子？你是如何得到的？2.请你伸出左手，做下面的游戏：从大拇指开场，像图中显示的这只手那样依次数数字1、2、3、4、5、……，请问数字20落在哪个手指上？数字200落在哪个手指上？2000呢？大拇指食指中指无名指小指1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 14……励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。