高二数学选择性必修一导学案2.1.1倾斜角与斜率
2024-2025学年高中数学2.1.1倾斜角与斜率教案新人教A版选择性必修第一册
组织学生进行小组讨论，分享各自对倾斜角与斜率的理解，促进学生之间的互动。
第四环节：巩固练习与拓展（15分钟）
1.练习一：已知直线l的斜率为-3，求直线l的倾斜角α。
2.练习二：已知直线l的倾斜角为135°，求直线l的斜率k。
3.练习三：已知直线l与水平线的夹角为60°，求直线l的斜率k。
3.学生可能遇到的困难和挑战：在本节课的学习过程中，学生可能对倾斜角与斜率之间的关系产生困惑，难以理解斜率的性质及其在实际问题中的应用。此外，部分学生可能对正切函数的理解不够深入，导致在学习倾斜角与斜率时遇到困难。
为解决这些困难和挑战，教师在教学过程中应注重引导学生通过实际问题来理解倾斜角与斜率的概念及其关系，并通过讲解、练习、讨论等多种教学方法，帮助学生掌握斜率的性质及其应用。同时，教师应关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求进行针对性辅导，提高学生的学习效果。
(3)设计一道与倾斜角与斜率相关的数学小题目，与同学互相交换解答，并互相评价对方的解题思路和方法。
2.作业反馈：
(1)对学生的作业进行及时批改，给出明确的评分和评价，指出学生的错误和不足之处。
(2)在批改作业时，注意关注学生的解题思路和方法，给予积极的反馈和鼓励，以提高学生的自信心。
(3.对于学生存在的问题，给予针对性的指导和建议，帮助学生理解错误的原因，并指导学生如何改进和提高。
2.数学建模：培养学生运用数学知识解决实际问题能力，如计算直线与水平线的交点、求直线的倾斜程度等，从而提高学生的数学建模素养。
3.直观想象：通过观察直线与水平线的夹角和斜率的关系，培养学生直观想象能力，使学生能够形象地理解直线的倾斜程度。
4.数据分析：通过对斜率的性质及其应用的学习，培养学生分析数据、处理信息的能力，提高学生在实际问题中运用数据分析的核心素养。
高二数学新教材选择性必修第一册2.1 直线的斜率与倾斜角(精讲)(解析版)
2.1 直线的斜率与倾斜角考点一倾斜角【例1】（1）（2020·四川高一期末）直线l x +y ﹣3＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．90°（2）（2020·全国高二课时练习）l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．0°≤α<90° B ．90°≤α<180° C ．90°<α<180° D ．0°<α<180°【答案】（1）C （2）C【解析】直线l +y ﹣3＝0的倾斜角为α则tan k α== [0,180)α∈︒，所以120α=︒故选：C（2）由题意，可得直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的范围是90°α<<180°，故选C. 【一隅三反】1．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）直线310x -=的倾斜角α为（ ）． A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】直线310x -=的斜率k =α，[)0,180α∈︒︒，则tan α=以120α=︒，故选：C2．（2020·广东高一期末）直线y 2-的倾斜角是（ ） A ．3πB ．4π C ．6π D ．56π 【答案】A【解析】设直线的倾斜角为[),0,ααπ∈，由题意直线的斜率k =tan k α==3πα=.故选：A.考点二 斜率【例2】（2020·全国高二课时练习）过点(A )与点(B )的直线的倾斜角为（ ） A ．45︒ B ．135︒C ．45︒或135︒D ．60︒【答案】A【解析】1AB k ===，故直线的倾斜角为45︒.故选：A.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）如果过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，那么m的值是（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】A【解析】由题意，过过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，根据直线的斜率公式，可得41(2)mm-=--，解得1m=.故选：A.2．（2020·湖南天心.长郡中学高一月考）直线l经过()2,1A，()2(,)1B m m R∈两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（）A．0,B．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】D【解析】直线l的斜率为2212121121y y mk mx x--===---，因为m R∈，所以(],1k∈-∞，所以直线的倾斜角的取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.故选：D.3．（2019·浙江下城.杭州高级中学高二期中）若直线l的倾斜角α满足23πα<<，且2πα≠，则其斜率k满足（）A．0k<<B．k>C．0k>或k<D．0k>或3k<-【答案】Ctanθ.【解析】斜率tan k α=，因为203πα<<，且2πα≠， 故tan 0α>或tan α<，即0k >或k < C.考点三 倾斜角与斜率综合运用【例3】（2020·江苏省海头高级中学高一月考）已知点(2,1),(3,)A B m -，若13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．5,,326ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】因为(2,1),(3,)A B m -，所以()1132AB m k m --==+-，因为13m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以13m⎡+∈-⎢⎣，设倾斜角为α，[)0,απ∈，则t an 3α⎡∈-⎢⎣，所以50,,36ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(B 为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围.【答案】斜率的范围：([),1,-∞⋃+∞；倾斜角的范围：45120θ︒≤≤︒. 【解析】如图所示.∵10121AP k -==-，001BP k ==-，又直线l 过点()1,0P ，且与以()2,1A ，(B 为端点的线段有公共点，所以由图像可得：([),1,k ∈-∞+∞，因此倾斜角的范围为：45120θ︒≤≤︒.2．（2020·全国高二课时练习）已知直线l 过点()1,1M m m +-，()2,1N m . （1）当m 为何值时，直线l 的斜率是1？ （2）当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90︒？【答案】（1）m =32；（2）m =1. 【解析】（1）由题意，1121121MN m m k m m m ---===+--，解得32m =； （2）若直线l 的倾斜角为90︒，则l 平行于y 轴，所以12m m +=，得1m =.3．（2020·哈尔滨市第一中学校高一期末）已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1)A ，(4,3)B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围为_______． 【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】如图所示：设直线l 过A 点时直线l 的斜率为1k ，直线l 过B 点时直线l 的斜率为2k ，则，110121k -==-，230141k --==--， 所以要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为：[]1,1-, 所以l 倾斜角的取值范围30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 考点四 直线平行【例4】（2020·四川达州.高三其他（文））直线12:0l ax y a ++=与直线20:2l x ay a +-=互相平行，则实数a =（ ） A ．4- B ．4C ．2-D ．2【答案】D【解析】当0a =时，1:0l y =，2:0l x =，此时12l l ⊥，不满足条件， 当0a ≠时，应满足22aaa a，解得2a =，综上，2a =.故选：D.【一隅三反】1．（2020·黑龙江高一期末）若直线2x +（a +2）y +4＝0与直线（a ﹣1）x +2y +2＝0平行，则实数a 的值为（ ） A ．﹣3 B ．2 C ．2或﹣3 D ．23-【答案】A【解析】∵ 直线2(2)40x a y +++=与直线(1)220a x y -++=平行， ∴ (2)(1)22a a +-=⨯，解得：2a =或3a =-，当2a =时，直线2440x y ++=与直线220x y ++=重合，∴2a =舍去；当3a =-时，直线240x y -+=与直线4220x y -++=平行，∴3a =-成立.故选：A.2．（2020·江苏淮安。
直线的倾斜角与斜率导学案 高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册
学科数学年级时间年月日课题 2.2.1直线的倾斜角与斜率课型新授课课时第1课时主备教师学习目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握倾斜角和斜率之间的关系.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.4.利用倾斜角与斜率解决三点共线问题。
知识填空（自主完成）1.、直线的倾斜角定义如果直线l与x轴相交, 将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的（）称为这条直线的倾斜角.记为（）。
规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为（）范围0°≤α<180°作用(1)倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的（）且唯一(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的（）,二者缺一不可画图2.直线斜率定义式α≠90°一条直线的倾斜角α的（）叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示,即k=（）α=90°直线斜率不存在坐标式：若A(x1,y1),B(x2,y2),(x1≠x2)是直线l上两个不同的点，则直线的斜率公式为k= （）作用用（）反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度3、倾斜角与斜率的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝_____ 90°＜α＜180°斜率(范围)_____ _________ 不存在_________熟记特殊的倾斜角对应斜率倾斜角α0°30°45° 60°120°135°150°斜率k03313－3－1－33二、自测1.判断正误(1)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率.( )(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )(3)一个倾斜角α 不能确定一条直线.( )(4)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.( )（5）平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角.( )2.直线 x=0 的倾斜角为（）三．典例探究深度理解：倾斜角、斜率1.设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45° B．α－135°B C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；2.如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)．(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；(2)若点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率．四、当堂检测：1.下列说法正确的是()A.一条直线和x轴的正方向所成的角,叫做这条直线的倾斜角B.直线的倾斜角α在第一或第二象限C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为0°D.不是每一条直线都有倾斜角2.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是()A.(4,2)与(-4,1)B.(0,3)与(3,0)C.(3,-1)与(2,-1)D.(-2,2)与(-2,5)3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为_________.4.已知()()7123422A B C⎛⎫-- ⎪⎝⎭，、，、，．证明：A、B、C三点共线。
高二数学：《直线的倾斜角与斜率》导学案
新修订高中阶段原创精品配套教材《直线的倾斜角与斜率》导学案教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改Tutorial Case of "Slope Angle and Slope of Straight Line"教师：风老师风顺第二中学编订：FoonShion教育《直线的倾斜角与斜率》导学案一、教学内容分析“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。
本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。
二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。
倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。
而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。
因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。
据此确定本课时的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。
理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。
二、教学目标分析1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。
2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。
3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。
三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。
事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第二章 直线的倾斜角与斜率 倾斜角与斜率
解，解得.
（2）当为何值时，直线的倾斜角为？
解 直线的倾斜角为，即直线平行于轴，所以，得
变式探究1本例条件不变，试求直线的倾斜角为锐角时,实数的取值范围.
解 由题意知,解得.故实数的取值范围为.
变式探究2若将本例中的“”改为“”，其他条件不变，结果如何？
解 （1）由题意知，解得.（2）由题意知，解得.
1.为什么倾斜角为时，直线没有斜率?
提示当时，不存在，由斜率的定义，可知此时直线斜率不存在.
2.直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？
提示不是，如,但斜率分别为和，而.应分区间说明，当和时，上述结论在这两个区间上分别成立.
3.［人教B版教材习题］根据下列直线的倾斜角,判断直线的斜率是否存在,如果存在,求出斜率的值:
续表
名师点睛
倾斜角还可以这样定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定：与轴平行或重合的直线的倾斜角为.
过关自诊
1.倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同？
提示 倾斜角相等的直线的倾斜程度相同.
2.分别写出下列直线的倾斜角:
正切值
2.斜率与倾斜角（任何一条直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率）的对应关系
图示
_
_
_
_
倾斜角
________
斜率
___
不存在
______
斜率变化规律
定值
直线逆时针旋转，倾斜角在至间逐渐增大，斜率也逐渐增大，且恒为正数
不存在
直线逆时针旋转，倾斜角在至间逐渐增大，斜率也逐渐增大，且恒为负数
数学人教A版(2019)选择性必修第一册2-1-1 倾斜角与斜率
如图，P2 P1 1 2 ,1 ．平移向量到 OP ，则点 P 的坐标为 1 2 ,1
且直线 OP 的倾斜角也是
1
,由正切函数的定义，有 tan
1 2
1 2
一般地,如果直线
l 经过两点 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,(其中 x1 x2 ),那么
直线的斜率与坡度是类似的
问题6:当直线的倾斜角由逐渐增大到时,其斜率
180 如何变化?
0
k 为什么?
y
由图知，
当 0
90 时, k 0 ,且 k 随 的增大而增大.
当90 180 时, k 0 ,且
当 0时，k
当
90
k
随 的增大而增大
x2 x1
同样，当向量 P2 P1 的方向向上时，如
图 P2 P1 x1 x2 , y1 y2 ,由正切函数的定义
有
y1 y2 y2 y1
tan
x1 x2 x2 x1
Байду номын сангаас
说明：此公式与两点坐标的顺序无关.
问题5:当直线 P1 P2 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么?
联系.
l
P2
P1
二、直线的斜率
问题4：在平面直角坐标系中,设直线 l 的倾斜角为.一般地,如果直线
P1 , P2
P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x,(其中
x1 ),那么与的坐标有怎样的关
x2
经过两点
l
2 , y2 )
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--2.1.1 倾斜角与斜率
如图，直线 1 的倾斜角 1 = 30∘ ， 1 ⊥ 2 ，求 1 、2 的斜率.
[答案] ∵ 直线 1 的倾斜角 1 = 30∘ ，
∴ 直线 2 的倾斜角 2 = 90∘ + 30∘ = 120∘ ，
∴ 1 = tan 30∘ =
3
, 2
3
∴ 1 、2 的斜率分别为
角，有时要根据题意分类讨论.
如图，已知直线 1 的倾斜角是 150∘ ， 2 ⊥ 1 ，垂足为 ， 1 , 2 与 轴分别
相交于点 , ， 3 平分 ∠ ，则 3 的倾斜角为____________.
30∘
[解析] 因为直线 1 的倾斜角为 150∘ ，所以 ∠ = 30∘ ，所以 3 的倾斜角
3+1−1
2−(−1)
=
3
，即直线
3
（2） 若点 在线段 上移动，求直线 的斜率的取值范围.
[答案] 设直线 的斜率为 ，当斜率 变化时，直线 绕 点旋
转，当直线 由 ห้องสมุดไป่ตู้逆时针旋转到 时，直线 与 恒有交点，即
在线段 上，此时 由 增大到 ，又 =
[解析] 思路分析 先根据直线 的倾斜角的取值范围求斜率的取值范
围，再由直线的方向向量与斜率的关系得 的取值范围.
π 3π
] 时， tan
3 4
当 ∈ [ ,
所以
3
2
≤ −1 或
2
3
3m
2
∈ (−∞, −1] ∪ [ 3, +∞) ，由题意知 =
≥ 3，
解得 ≤ − 或 ≥
(8,11) 三点在同一条直线上，则实数 等于(
2.1 直线的倾斜角与斜率 教案 高中数学选择性必修第一册(人教A版)
2.1 直线的倾斜角与斜率教案高中数学选择性必修第一册（人教A版）教学目标：1.了解确定直线的两种方法，理解直线的倾斜角和斜率以及二者之间的联系，掌握已知倾斜角或两点坐标求直线斜率。
2.渗透数形结合和分类讨论的思想，培养学生通过直观想象，抽象概括，利用坐标方法来认识图形，锻炼学生的数学运算能力，主动探究的能力。
教学重难点：重点：确定直线的两种方法的内在联系，已知直线倾斜角和两点求直线的斜率；难点：已知两点求直线的斜率的公式推导。
教学技术：多媒体PPT，视频播放软件，几何画板等。
教学过程：（一）课堂引入：在以往的几何图形的学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的方法来研究结合图形的形状。
直到17世纪，法国数学家笛卡尔，费马将点、直线、圆等一些几何图形放在坐标系中，使其量化，将几何问题转化为代数问题，在通过代数方法研究几何图形的性质，由此创立了解析几何。
数学从此从定性研究到定量研究。
（章前引言）近年来，我国基础建设取得重大发展，建造了许多规模宏大，美丽漂亮的斜拉桥，（观看图片）同学们思考大桥的斜拉索可以看成什么样的图形（直线）。
这些直线与水平桥面所成的角度不同，怎么刻画？我们如何建立恰当的数学模型来解释呢？这就是我们这节课的主要内容——直线的倾斜角与斜率。
（师生互动）复习旧知：确定直线的要素：（PPT展示）（学生齐答）（1）过两点确定一条直线；（2）过一个点有无数条直线。
（二）新课讲解：（1）直线的倾斜角当直线在定点旋转的过程中，可以用什么作为参考，或者用什么几何图形来描述它？（角）定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴与直线l方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．1.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为；2.直线的倾斜角的取值范围为：。
练习：找出下列直线的倾斜角（2）直线的斜率复习初中知识，用坡度来描述直线的性质。
坡度就是数量，能够量化。
思考探究：如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角的正切”．倾斜角是90的直线有正切值吗？一条直线的倾斜角90（）的正切值叫做这条直线的斜率.k（90）。
倾斜角与斜率(导学案)-人教A版高中数学选择性必修第一册
2.1.1 倾斜角与斜率1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系难点：过两点的直线斜率的计算公式.一、自主导学一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法 α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可点睛：倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 、 二、直线的斜率1.定义与表示定义(α为直线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法 常用小写字母k 表示,即k=tan α 范围 R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度2.填表:斜率与倾斜角的对应关系90°;0; (0,＋∞); (－∞,0)3.我们知道,两点也可以唯一确定一条直线。
如果知道直线上的两点,怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？当α为锐角时,21P QP ∠=α,21x x <,21y y <,在Q P P Rt 21∆中,12121221tan tan x x y y QP QP P QP --==∠=α若为钝角呢？你还能用其它方法推导这个公式吗？三、直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则直线的斜率公式为k=y2-y1x2-x1.点睛：1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直.2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成k=y2-y1x2-x1.即下标的顺序一致.二、小试牛刀1.下列图中表示直线倾斜角为()2.直线x=1的倾斜角α=.3．思考辨析(1)任一直线都有倾斜角,都存在斜率．()(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.()(3)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k＝tan α.()(4)直线斜率的取值范围是(－∞,＋∞)．()4．一条直线的斜率等于1,则此直线的倾斜角等于________．5．如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k26.已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于()A.2B.1C.12D.不存在一、情境导学交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离=DBAD.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?二、典例解析例1 已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?直线的倾斜角的求法求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪训练1. 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°例2 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?延伸探究1 本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.延伸探究2 若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在.(2)若两点的横坐标不相等,则可以用斜率公式k=y2-y1(其中x1≠x2)进行计算.x2-x1金题典例光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率.光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.跟踪训练2 一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.1.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角范围是()A.0°≤α<90°B.90°≤α<180°C.90°<α<180°D.0°<α<180°2.过点A(-√3,√2)与点B(-√2,√3)的直线的倾斜角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.60°3.过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为()A.1或4B.4C.1或3D.14.光线从点A(-2,√3)射到x轴上的B点后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,2√3),则光线BC所在直线的倾斜角为.5．直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．参考答案：知识梳理 1.答案:C 2.答案:90°3．【解析】 (1)× 倾斜角为90°时,斜率不存在． (2)× 斜率应为－1.(3)× 斜率有可能不存在．(4)√ 4． 答案：45° ∵k ＝tan α＝1.∴α＝45°. 5． 答案：D 由图可知,k 1＜0,k 2＞k 3＞0.故选D. 6. 答案:A 学习过程例1 思路分析:画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 解:由题意画出如下草图.由图可知: 当α为钝角时,倾斜角为α-90°, 当α为锐角时,倾斜角为α+90°, 当α为直角时,倾斜角为0°.综上,直线l 转动前的倾斜角为{α+90°(0°<α<90°),α-90°(90°≤α<180°).跟踪训练1. 解析:根据题意,画出图形,如图所示:因为0°≤α<180°,显然A,B,C 未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l 1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l 1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D .答案:D 例2 解:(1)k MN =m -1-1m+1-2m=1,解得m=32.(2)l 的倾斜角为90°,即l 平行于y 轴,所以m+1=2m ,得m=1. 延伸探究1 解:由题意知m -1-1m+1-2m>0,解得1<m<2. 延伸探究2 解:(1)由题意知m -1-2mm+1-3m =1,解得m=2.(2)由题意知m+1=3m ,解得m=12.金题典例 解:(方法1)设Q (0,y ),则由题意得k QA =-k QB .∵k QA =1-y 2,k QB =3-y 4,∴1-y 2=-3-y 4.解得y=53,即点Q 的坐标为0,53,∴k 入=k QA =1-y 2=-13.(方法2)设Q (0,y ),如图,点B (4,3)关于y 轴的对称点为B'(-4,3), k AB'=1-32+4=-13,由题意得,A 、Q 、B'三点共线. 从而入射光线的斜率为k AQ =k AB'=-13.所以,有1-y 2=1-32+4,解得y=53,点Q 的坐标为(0,53).跟踪训练2 解:(方法1)由光的反射原理,知k AP =-k BP ,设P(x,0),则0-3x-(-2)=-0-7x-5,解得x=110,即点P的坐标是(110,0).(方法2)由题意,知x轴是镜面,入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为A1(-2,-3),则点A1应在反射光线所在的直线上,即A1,P,B三点共线,即k A1P =k PB,0+3x+2=75-x,解得x=110,即点P的坐标是(110,0).达标检测1.答案:C2.解析:k AB=√3-√2-√2-(-√3)=√3-√2√3-√2=1,故直线的倾斜角为45°.答案:A3.解析:由k=m-4-2-m=1,得m=1.答案:D4.解析:点A(-2,√3)关于x轴的对称点为A'(-2,-√3),由物理知识知k BC=k A'C=2√3-(-√3)1-(-2)=√3,所以所求倾斜角为60°.答案:60°5．【解析】如图所示．∵k AP＝1－02－1＝1,k BP＝3－00－1＝－3,∴k∈(－∞,－3]∪[1,＋∞),∴45°≤α≤120°.。
2.1.1 直线的倾斜角与斜率-新教材 高二数学人教A选择性必修第一册第2章
知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系
思考1
在日常生活中，我们常用“ 升高量” 前进量
表示“坡度”，图(1)(2)
中的坡度相同吗？
答案 不同，因为32 ≠22
答案
思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？ 答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α， 图(2)中，坡度＝tan β.
答案
解析答案
(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动， 求直线AD的斜率的变化范围. 解 如图所示： 当点D由B运动到C时， 直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 所以直线AD的斜率的变化范围是 17，53 .
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条 直线上，求直线的斜率k及a，b的值. 解 由题意可知kAB＝53－－11＝2，kAC＝7a－ －11＝a－6 1 ，kAD＝－b－ 1－11＝b－－21. 因为A，B，C，D四点在同一条直线上， 所以k＝2＝a－6 1 ＝b－－21 ， 解得a＝4，b＝－3， 所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
解析答案
类型三 斜率与倾斜角的综合应用 例3 (1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2 , 5)，P3(3,1)是 此直线上的三点，求x2，y1的值； 解 ∵α＝45°， ∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∵P1，P2，P3都在直线l上， ∴kp1p2 ＝kp2 p3＝k， ∴5x2－－y21 ＝31－－x52 ＝1 ， 解得x2＝7，y1＝0.
解析答案
(2)经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是_0_°__<_α_≤__9_0° (其中m≥1).
人教版数学选择性必修一2.1.1倾斜角与斜率课件
B．－2
C．2
D．不存在
2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的
斜率为0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为( B )
A．－2 3
C. 3
B．0
y
O B
A
C
x
D．2 3
3．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，
1+ 2
C(3，a3)共线，则a＝________.
倾斜角与斜率
本
节
目
标
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2.掌握求直线斜率的两种方法．
3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.
课前预习
➢ 预习课本P51～54，思考并完成以下问题
1．直线的倾斜角的定义是什么？
2．直线的倾斜角的范围是什么？
3．直线的斜率的计算公式是怎样的？
课前小测
1．斜率不存在的直线一定是( B )
k＞0
不存在
k＜0
斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的
2 −1
2 −1
斜率公式k＝_________.
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
直线的倾斜角
设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿
逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( D )
3
3
跟踪训练
2．(1)直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向
旋转90°到达l′位置，求l′的斜率．
题型三
直线的倾斜角、斜率的应用
新人教版高中数学选择性必修一课件：2.1.1倾斜角与斜率
②注意直线倾斜角的取值范围是0 °≤α＜180 °.
方法归纳 求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出 图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
跟踪训练1 (1)如图，直线l的倾斜角为( )
A．60° B．120° C．30° D．150° 解析：(1)由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 答案：(1)D
解析：根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不 合题意．
通过画图(如图所示)可知： 当0°≤a＜140°时，l1的倾斜角为α＋40°； 当140°≤α＜180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故 选D. 答案：D
状元随笔 求直线倾斜角的两点注意：
状元随笔 斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α＝0 ° 0
0 °＜α＜90 ° α＝90 ° 90 °＜α＜180 ° (0，＋∞) 不存在 (－∞，0)
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°.( √ ) (2)若k是直线的斜率，则k∈R.( √ ) (3)任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率．( √ ) (4)任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．( × )
解析：如图，由题意可知kPA＝－4－3－01＝－1，kPB＝23－ －01＝1， (1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－ ∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间， 又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是 45°≤α≤135°.
2.1.1倾斜角与斜率导学案-高二上学期数学人教A版选择性
人教版选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程2.1.1 《倾斜角与斜率》导学案【学习目标】1. 形成直线的倾斜角的定义、范围和斜率的概念；2. 建立倾斜角、斜率与直线方向向量的关系；3. 认识事物间联系的本质，体会生活问题与数学问题间的联系.【学习重点】1. 感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2. 推导并初步掌握过两点的直线斜率公式.【学习难点】1. 用代数方法推导斜率公式的过程；2. 体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.【学习过程】 一、问题提出思考：这些大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索的陡缓程度呢？问题1 过一点P 的直线l ，能确定其位置吗？二、概念生成1.直线的倾斜角的概念当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴 与直线l _______方向之间所成的角α叫做直线l 的 .规定: 当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为 .三、概念深化问题2直线的倾斜角的取值范围是什么?追问1 在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一确定的倾斜角吗？四、合作探究倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，那么用代数中的“数”能否表示直线的倾斜程度呢？探究1：直线的倾斜角α与直线上()()222111,,,y x P y x P 两点的关系在平面直角坐标系中，设直线l 的倾斜角为α. (1) 已知直线l 经过()()1,3,0,021P P ，α与1P ，2P 的坐标有什么关系？ (2) 如果直线l 经过()()0,2,1,1-21P P ，α与1P ，2P 的坐标又有什么关系？(3) 一般地，如果直线l 经过两点()()222111,,,y x P y x P 21x x ≠，α与1P ，2P 的坐标又有什么关系？思考： 当直线P 1P 2与x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？2、直线的斜率我们把一条直线的倾斜角α(90α≠)的 叫做这条直线的斜率.用小写字母k 表示，即=k .特别地：当︒=0α时，斜率=k ；当︒=90α时，斜率k . 探究2：直线倾斜角α的大小与斜率k 的正负的关系α； （2）当直线的倾斜角α为钝角时，斜率k .探究3：直线倾斜角α的变化与斜率k 的关系问题4 当直线的倾斜角由0o 逐渐增大到180o 时，其斜率如何变化？ 问题5直线的方向向量与斜率k 有什么关系？结论：若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则 k =________.五、知识应用例1：如图，已知)2,3(A ，)1,4(-B ，)1,0(-C ，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？六、课堂小结你能用几个关键词概括一下这节课的内容吗？七、课后作业完成课本P55页练习：1、2、3.。
2.1.1倾斜角与斜率教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.1.1 倾斜角与斜率一、教学目标1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.二、教学重难点1、教学重点斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式.2、教学难点直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.三、教学过程1、新课导入我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.2、探索新知我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.设A，B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量，所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束如图，这些直线的区别是什么？在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同.如何表示这些直线的方向？我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.图中直线l1的倾斜角α1为锐角，直线l'的倾斜角α'为钝角，当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法.设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（其中x 1≠x 2）是直线l 上的两点.由两点确定一条直线可知，直线l 由点P 1，P 2唯一确定.所以，可以推断，直线l 的倾斜角一定与P 1，P 2两点的坐标有内在联系.直线l 的倾斜角α与直线l 上的两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 1≠x 2）的坐标有如下关系：2121tan y y x x α-=-.① 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示，即tan k α=.②倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.例如，倾斜角α=30°时，这条直线的斜率3tan30k ︒=；倾斜角α=120°时，这条直线的斜率tan120tan 60k ︒︒==- 3=由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.如果直线经过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 1≠x 2），那么由①②可得如下的斜率公式：2121y y k x x -=-. 我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x 轴的倾斜程度.我们知道，直线P 1P 2上的向量12P P 以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P 1P 2的方向向量12P P 的坐标为2121,()x x y y --.当直线P 1P 2与x 轴不垂直时，x 1≠x 2.此时向量12211PP x x -也是直线P 1P 2的方向向量，且它的坐标为212121(,)1x x y y x x ---，即2121(1,)(1,)y y x x k --=.其中k 是直线P 1P 2的斜率.因此，若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为（x ，y ），则y k x =. 3、课堂练习1.直线31y x =-的倾斜角是( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ． 90︒答案：C 解析：直线31y x =-360︒.2.已知直线PQ 的斜率为3-PQ 绕点P 顺时针旋转60，所得的直线的斜率是( )A.0 3 3 D.3-答案：C解析：由题意，知直线PQ 的倾斜角为120，直线PQ 绕点P 顺时针旋转60，所得直线的倾斜角为6033.已知直线l 经过1(2,1),1,2(0)A B m m m ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是_______.答案：045θ︒≤≤或90180θ︒︒<<解析：易知直线l 的斜率存在，设直线l 的倾斜角为θ，则121tan 12m m θ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭==- 21311m m m m ⎛⎫-++=-+≤ ⎪⎝⎭m m =1m =时，等号成立，又0180θ︒︒<≤，所以045θ︒≤≤或90180θ︒︒<<.4.已知直线l 经过两点,()1A m -，(),1B m ，当m 取何值时：(1)直线l 的斜率为13. (2)直线的倾斜角为45?(3)直线的倾斜角为钝角?解析：(1)当直线l 的斜率k 存在时，1111m m k m m --==--+. 则1113m m -=+，331m m ∴-=+，12m ∴=. (2)由题意，可知直线l 的斜率1k =，即111m m-=--，解得0m =. (3)由题意，可知直线l 的斜率0k <，即101m m -<--解得1m >或–1m <. 4、小结作业小结：本节课学习了直线的倾斜角和斜率的概念及其关系.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计2.1.1 倾斜角与斜率当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.取值范围为0°≤α<180°. 直线l 的倾斜角α与直线l 上的两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 1≠x 2）的坐标有如下关系：2121tan y y x x α-=-.① 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示，即tan k α=.②如果直线经过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 1≠x 2），那么由①②可得如下的斜率公式：2121y y k x x -=-.。
人教版A版(2019)课标高中数学选择性必修一2.1.1倾斜角与斜率_学案
倾斜角与斜率【学习目标】知识目标：1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，理解它们之间的关系。
3．掌握过两点的直线斜率的计算公式。
能力目标：1．能用概念和公式解决有关问题。
2．培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.【学习过程】知识链接1．三角函数的定义：在直角三角形中，内α为锐角，=αsin ，=αcos ，=αtan 。
2．数轴上任意两点21,x x 间的距离公式： 一、倾斜角的概念：看一看：预习。
填一填：1．当 时，我们取 作为基准， 与直线l 之间所成 的角α叫做直线l 的倾斜角。
当 时，我们规定它的倾斜角为 0。
2．直线倾斜角的范围是 。
想一想：对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件确定呢？（结合课件演示）练一练：下列四图中，表示直线的倾斜角正确的是( )二、斜率的概念：试一试：1．类比实例坡度（比）定义斜率概念。
2．对照课本总结你对直线斜率概念的理解：想一想：斜率为正或负时，直线具有怎样的位置？(结合课件演示)记一记：当α= 0时，k 0；当 0<α<90时，k 0；当α=9 0时，k ；当90<α<180时，k 0。
练一练:心得：用到的公式k= ，tan （180α-）= 。
三、斜率公式：练一练： 已知P （1，2）、Q （3，4），求直线PQ 的倾斜角与斜率 。
想一想：如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率。
看一看：直线P 1 P 2在平面直角坐标系内的位置情形。
（1） （2） （3） （4）记一记：已知两点,),,(),(212221,11x x y x P y x P ≠则过这两点的直线的斜率公式是说一说：你对该公式的理解： 例1 已知A （4，2），B （-8，2），C （0，2），直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
人教版A版(2019)课标高中数学选择性必修一2.1直线的倾斜角与斜率 学案
直线的倾斜角与斜率【学习目标】1．了解在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素。
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念直线的。
3．掌握过两点的斜率的计算公式。
【学习重难点】重点：直线的倾斜角和斜率的概念。
难点：直线的倾斜角与斜率的关系。
【学习过程】一、知识链接1．在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?2．在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、教材助读1．直线的倾斜角（1）在直角坐标系中，确定直线位置的几何要素有（2）倾斜角的定义是（3）当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为度（4）直线倾斜角的范围为试试：请描出下列各直线的倾斜角函数y=x的图像的倾斜角为 , y=-x的图像的倾斜角为 , 直线x=1倾斜角为 ,直线y=0倾斜角为2．直线的斜率（1）在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？（2）斜率的定义:一条直线的倾斜角a (α≠900) 的正切值叫做这条直线的斜率,记为k=tan a试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为α=0°时，则k0°<α< 90°,则kα= 90°，,则k90 °<α< 180°，则k3．过两点的直线斜率的公式（1）由直线上两点),(11y x A 、),(22y x B 来求直线的斜率k 的公式是：当21x x ≠时，k=当x 1=x 2 时, k（2）如果1212,x x y y ≠= 则直线与x 轴 k=如果1212,x x y y =≠ 则直线与x 轴 倾斜角等于 k（3）直线的斜率与所选择直线上两点的位置有无关系？顺序有无关系？预习自测1．已知直线的倾斜角，求直线的斜率（１） 30=α（２） 135=α（３） 90=α2．已知直线的斜率求直线的倾斜角（１）0=k （２）1=k （３）3-=k （４）k 不存在。
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2.1.1倾斜角与斜率
【学习目标】
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.(数学抽象)
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象)
3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.(逻辑推理)
4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.(数学运算)
情境导学
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向
的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,
在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为
DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度
水平距离
=
DB
AD
.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道
路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画
道路的倾斜程度的呢?
阅读反馈（阅读课本，完成反馈内容）
一、直线的倾斜角
定义
当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,与直线l的方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角
规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为
记法
图示范围
作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的;
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的,二者缺一不可
微练习1.如图所示,直线l的倾斜角为( )
A.45°
B.135°
C.0°
D.不存在
二、直线的斜率 1.定义与表示 定义(α为直线的倾 斜角) 90≠α 一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率 90=α
直线斜率不存在
记法 常用小写字母k 表示,即=k 范围 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 2. 填表:斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角
(范围) 0=α
900<<α 18090<<α
斜率
(范围)
0>k
不存在
斜率 变化 规律
定值
直线逆时针旋转,倾斜角
α在 0至 90间逐渐增
大,斜率也逐渐增大,且恒为正数 不存在
直线逆时针旋转,倾斜角
α在 90至 180间逐渐
增大,斜率也逐渐增大,且恒为负数
微练习2.已知直线l 的斜率1-=k ,则其倾斜角α= . 三、直线的斜率公式
如果直线经过两点()()()21222111,,,,x x y x P y x P ≠,则直线的斜率公式为1
21
2x x y y k --=.
微练习3.已知点()()3,1,5,321--P P ,则直线2,1P P 的斜率k 等于( ) A.2 B.1 C.
2
1
D.不存在 讨论展示
直线的倾斜角
例1已知直线l 过原点,l 绕原点按顺时针方向转动角(
)
1800<<αα后,恰好与y 轴重合,
求直线l 转动前的倾斜角是多少?
斜率公式及其应用
例2已知直线l 过点()()1,2,1,1m N m m M -+. (1)当m 为何值时,直线l 的斜率是1? (2)当m 为何值时,直线l 的倾斜角为
90?
精讲
1.倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为
0. 2.运用公式的前提是21x x ≠,即直线不与x 轴垂直.
3.斜率公式与2,1P P 在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.
4.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成1
21
2x x y y k --=
即下标的顺序一致
5.直线的倾斜角的求法
求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.
6.直线斜率的计算方法
(1)判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在.
(2)若两点的横坐标不相等,则可以用斜率公式()211
21
2x x x x y y k ≠--=
其中进行计算.
7.光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.
课堂练习
1.若直线l 经过第二、第四象限,则直线l 的倾斜角范围是( ) A.
900<≤α B.
18090<≤α C.
18090<<α
D.
1800<<α
2.过点()2,3-A 与点()
3,2-B 的直线的倾斜角为( ) A .
45
B .
135
C .
13545或
D
60
3.过点()()4,,,2m Q m P -的直线的斜率为1,那么m 的值为( ) A.1或4 B.4 C.1或3 D.1
4.光线从点()3,2-A 射到x 轴上的B 点后,被x 轴反射,这时反射光线恰好过点()
32,1C ,则光线BC 所在直线的倾斜角为 .。