与函数有关的奥数训练试题

与函数有关的中考题（奥校讲义）

1． 已知二次函数62

++-=x x y 的图象与x 轴交于A 、B ，C 是线段AB 的中点，M 是抛

物线上位于x 轴上方的动点，且∠AMB 为锐角，求MC 的取值范围。

2． 已知抛物线2

223ab abx ax y +-=不经过第三象限。（1）求a 和b 的取值范围；（2）

若抛物线与x 轴有交点()0,1-a ，且顶点在正比例函数ax y -=的图象上。求此抛物线

的解析式。

3． 一次函数b kx y +=的图象和某二次函数图象的两个交点A 、B 恰好在坐标轴上，对称

轴是直线1=x ，已知B ()3,0-，AB 23=，求这两个函数的解析式。

4．

中，AB=5，AD=3，sinA=

3

2

，P 为AB

上一个动点（P 不与

A 、

B 重合），过P 作PQ ∥AD 交BD 于Q ，设AP 的长为x ， 四边形QPB

C 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及自 变量x 的取值范围。

5． b 为何值时，反比例函数x

y 3

=的图象与一次函数 b x y +-=2的图象只有一个交点。

6． 已知反比例函数x

y 12

=

的图象与一次函数7-=kx y 的图象都经过P ()2,m 。（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图象上，顶点C 、D 在这个反比例函数的图象上，两底AD 、BC 与y 轴平行，且A 、B 的横坐标分别为a 和2+a ，求a 的值。

7． 已知抛物线12

-++=k kx x y 。（1）求证：无论k 为什么实数，抛物线恒经过x 轴上

一定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ()0,1x 、B ()0,2x 两点，且满足

6,,2121=<<∆ABC S x x x x 。问：过A 、B 、C 三点的圆与抛物线是否有第四个交点？

试说明理由，如果有，求出其坐标。

8． 如图：已知一次函数13

3

+=

x y 的图象与x 轴、y 轴分别交 于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作一正三角形ABC ，⊙O ，

为ΔABC 的外接圆，与x 轴交于点D 。（1）求C 点的坐标；求过

D 、O ，

、A 三点的二次函数的解析式，并求该函数的最值。

9． 如图：抛物线c x ax y +-=32

交x 轴正方向于A 、B 两点，

交y 轴正方向于C 点。过A 、B 、C 三点作⊙D ，若⊙D 与y 轴相

切。（1）求c a ,满足的关系式；（2）设∠ACB=α，求tan α；

（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙D

10． 如图：矩形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，A

、D

在抛物线x x y 3

8

322+-

=上，矩形的顶点均为动点，且矩形在 抛物线与x 轴围成的区域里。（1）设点A 的坐标为()y x ,，试

求矩形的周长p 关于变量x 的函数的解析式，并写出x 的取值范围； （2）是否存在这样的矩形ABCD ，它的周长p=9？试证明你的结论。

11． 如图：已知抛物线()()()113<+---=m m x x y ，x 轴 交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C 。 （！）写出A 、B 、C 各点的坐标（可用含m 的式子表示）； （2）若ΔABC 的面积为15，求此抛物线的解析式。

（3）过点E ()2,0-作ED ∥AC ，在第一象限交抛物线于点D

求ED 的函数的解析式，问四边形AEDC 的形状并求其面积，证明你的结论。

12． 12．如图：已知抛物线m x x y -+-

=622

和直线m x y ++-=62，它们的一个交点

的纵坐标为4。（1）求此抛物线和直线的解析式。 （2）如果直线()0>=k kx y 与（1）中的抛物线交于 A 、B 两个不同的点，和（1）中的直线交于点P ，分别

过A 、B 、P 作x 轴的垂线，垂足为A ，、B ，、P ，

，证明：

'

''211OP

OB OA =+；（3）在（2）中能否选取适当的 k 的值，使得8''=+BB AA ，如果能，求此时的k 值；

如果不能，请说明理由。

13.已知m 是大于2的整数，设抛物线()()52114

1

2-+---=

m x m x m y 与x 轴有两个交点，与y 轴交于A 点；直线()k x m y +-=22经过抛物线的顶点M ，并与抛物线交于B 点（此时21y y =），与y 轴交于C 点。 （1） 求1y 和2y 的解析式；（2）求证：y 轴与ABM 的外接圆切于A ；

（2） 若ΔABM 的外接圆是⊙N ，过C 作⊙N 的切线（切点为T ）交x 轴于S ，连接NS ，

求证NS 2 = ST ·SC 。

14．如图：抛物线c bx ax y ++=2

的顶点为P ， 与x 轴交于M 、N 两点（M 在N 的左边），ΔPMN 的三个内角∠P 、∠M 、∠N 所对的边是,,,n m p 且

.n m =若关于x 的方程()()022=+++-m p nx x m p

有两个相等的实根。 （！）试判定ΔPMN 的形状； （2）当顶点P 的坐标为（2，-1）

（3） 设抛物线与y 轴交于Q 点，求证：直线

1-=x y 将四边形MPNQ

15．已知：c b a ,,是ΔABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，抛物线2

22b ax x y +-=交x 轴于两点M 、N ，y 轴交于点P ，其中点M 的坐标是()0,c a +。 （1） 求证：ΔABC 是直角三角形；

（2） 若ΔMNP 的面积是ΔNOP 的面积的3倍，①求cosC 的值；②试判断ΔABC 的三

边长能否取一组适当的值，使以MN 为直径的圆心恰好是抛物线2

2

2b ax x y +-=的顶点？如能，求出这组值；如不能，说明理由。