天津高考分类汇编2002-2017-10-1解析几何大题
高考数学《解析几何》专项训练及答案解析
高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。
2017年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)
2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版)一、选择题1．(2017·全国Ⅰ文,5)已知F是双曲线C：x2－错误!＝1的右焦点，P是C上一点,且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3)，则△APF的面积为（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!1．【答案】D【解析】因为F是双曲线C：x2－错误!＝1的右焦点，所以F(2，0）．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为（2，y P)．因为P是C上一点，所以4－错误!＝1，解得y P＝±3，所以P（2，±3),|PF｜＝3。
又因为A（1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝错误!×|PF｜×1＝错误!×3×1＝错误!.故选D.2．（2017·全国Ⅰ文，12）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．（0,1]∪[9，＋∞) B．（0，错误!］∪[9，＋∞）C．(0,1]∪［4，＋∞) D．(0，错误!］∪［4，＋∞）2．【答案】A【解析】方法一设焦点在x轴上,点M(x，y)．过点M作x轴的垂线,交x轴于点N，则N(x，0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝错误!＝错误!。
又tan∠AMB＝tan 120°＝－错误!,且由错误!＋错误!＝1，可得x2＝3－错误!,则错误!＝错误!＝－错误!。
解得|y｜＝错误!.又0＜|y｜≤错误!，即0＜错误!≤错误!,结合0＜m＜3解得0＜m≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是（0,1］∪[9，＋∞）．故选A.方法二当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则错误!≥tan 60°＝错误!，即错误!≥错误!，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB＝120°,则错误!≥tan 60°＝错误!,即错误!≥错误!，解得m≥9。
高考数学全国卷分类汇编(解析几何)
2010-2017新课标全国卷分类汇编（解读几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos PAF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．332 【答案】A【解读】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0b x a y +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN . 【答案】6 【解读】试卷分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解读式可得准线方程为2x =-，则2,4A N F F '==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解读几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足= (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解读】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B【解读】∵双曲线的一条渐近线方程为y，则b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解读】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴c e a == A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3B．D ．2【答案】A【解读】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．()A O Dxy BP gCE12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴112xμθ==+，1yλθ==+．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sinϕcosϕ=)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B 两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.解：（1）设()()11222A x,y,B x,y,l:x my=+由222x myy x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my,y y--==-又()22212121212==故=224y yy yx,x,x x=4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解读】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于ED ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为|||M N MN y y =- （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【解读】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0A x ，2pD ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线两点，求四边形MPNQ【解读】：⑴圆A 整理为(x BE AC Q ∥，则C =∠EBD D ∴=∠∠，则EB ⑵221:143x yC +=；设:l x 联立1l C 与椭圆：24x x =⎧⎪⎨⎪⎩圆心A 到PQ 距离d ==F所以||PQ==，()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-（C（D）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=,则E的离心率为（）（A（B）32（C（D）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解读】试卷分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试卷解读：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得. 由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解读几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解读；（Ⅱ）21y x =-．试卷解读：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解读几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（A)((B)( (C)((D)( 答案：A解读：由条件知F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，－3＜0.①又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的规范方程为答案：+y2＝解读：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a，0)(a＞0)，所以＝4－a，解得a＝，故圆心为，此时半径r＝4－，因此该圆的规范方程是+y2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy中，曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。
历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编
历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编1、已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ C ）(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D)2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。
4、直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是（ ）【答案】B6、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于（ ） (A)163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3 【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点yxO Ox yO xyyx O A. B. C.D.在y=pk =43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b)在椭圆内或椭圆上，⇒2b2≤3，⇒b∈[－62，62]．选A．8、方程13cos2cos3sin2sin22=-+-yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C9、设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是212rrc+和||221rrc-的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
天津高考分类汇编2002-2017-11立体几何
天津高考分类汇编2002-2017-11立体几何一、选择题（共14小题；共70分）1. 将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 ( )A. B.C. D.2. 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的 12，则其体积缩小到原来的 18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线 x +y +1=0 与圆 x 2+y 2=12 相切．其中真命题的序号是A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③3. 设 a ，b 为两条直线，α，β 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是A. 若 a ，b 与 α 所成的角相等，则 a ∥bB. 若 a ∥α，b ∥β，α∥β，则 a ∥bC. 若 a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则 α∥βD. 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b4. 已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则lA. 与m，n都相交B. 与m，n中至少一条相交C. 与m，n都不相交D. 至多与m，n中的一条相交5. 若l为一条直线，α,β,γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．其中正确的命题有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6. 一个四面体的所有棱长都为√2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A. 3πB. 4πC. 3√3πD. 6π7. 设a,b是两条直线，α,β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是A. a⊥α，b∥β，α⊥βB. a⊥α，b⊥β，α∥βC. a⊂α，b⊥β，α∥βD. a⊂α，b∥β，α⊥β8. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于A. √105B. √155C. 45D. 239. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是A. m⊥α,n⊂β,m⊥n⇒α⊥βB. α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥nC. α⊥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥nD. α⊥β,α∩β=m,n⊥m⇒n⊥β10. 如图，定点A，B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，那么动点C在平面α内的轨迹为A. 一条线段，去掉两个点B. 一个圆去掉两个点C. 一个椭圆去掉两个点D. 半圆去掉两个点11. 棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A. a33B. a34C. a36D. a31212. 设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是A. α⊥β，α∩β=l，m⊥lB. α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC. α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD. n⊥α，n⊥β，m⊥α13. 正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1底面边长为1，侧棱长为√2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘14. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA1=3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1=V AEA1−DFD1，V2=V EBE1A1−FCF1D1，V3=V B1E1B−C1F1C．若V1:V2:V3=1:4:1，则截面A1EFD1的面积为A. 4√10B. 8√3C. 4√13D. 16二、填空题（共16小题；共80分）15. 若一个球的体积为4√3π，则它的表面积为．16. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为．17. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4√3π，则该正方体的表面积为．18. 如图是一个几何体的三视图．若它的体积是3√3，则a=．19. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为．20. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．21. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1．若二面角C−AB−C1的大小为60∘，则点C1到直线AB的距离为．22. 在平面几何里，有勾股定理："设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2．"拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．可以得出的正确结论是："设三棱锥A−BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 "．23. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1．若二面角C−AB−C1的大小为60∘，则点C到平面ABC1的距离为．24. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．25. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．26. 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为m3．27. 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．28. ―个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．29. 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90∘且PA=AC=BC=a．则异面直线PB与AC所成角的正切值等于．30. 下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是．（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题（共21小题；共273分）31. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．32. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘%.．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE%;；（2）求二面角C−EM−N的正弦值；%,，求线段AH的长．（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为3√72133. 如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O−EF−C的正弦值；HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．（3）设H为线段AF上的点，且AH=2334. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=√2，AD=2，PA=PD=√5，E,F分别是棱AD,PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P−AD−B为60∘，①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．35. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45∘，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）证明：AD⊥平面PAC；（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．36. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AD．AF=AB=BC=FE=12（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A−CD−E的余弦值．37. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60∘，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A−PD−C的平面角的正弦值．38. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2√2．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：AC⊥平面PBD；（3）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．39. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2√2，∠PAB=60∘．（1）证明AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（3）求二面角P−BD−A的大小．40. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为√2a．（1）建立适当的坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标；（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角．41. 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，BC．EF∥BC且EF=12（1）证明：FO∥平面CDE；（2）设BC=√3CD，证明：EO⊥平面CDF．42. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2√3，PD=CD=2．（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．43. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=√5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（1）求证：MN∥平面ABCD；（2）求二面角D1−AC−B1的正弦值；，求线段A1E的长．（3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1344. 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=√6，DE=3，∠BAD=60∘，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.45. 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2√5，AA1=√7，BB1=2√7，点E和F分别为BC和A1C的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．46. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，∠BAC=45∘，PA=AD=2，AC=1．（1）证明PC丄AD；（2）求二面角A−PC−D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30∘，求AE的长．47. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2√2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=√5．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A−A1C1−B1的正弦值；（3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．48. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2√2，∠BAD=∠CDA=45∘．（1）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（2）证明CD⊥平面ABF；（3）求二面角B−EF−A的正切值．49. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1上的点，CF=AB=2CE，AB:AD:AA1=1:2:4．（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1−ED−F的正弦值．50. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．51. 如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120∘，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点．（1）求A1A与底面ABC所成的角；（2）证明A1E∥平面B1FC；（3）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．答案第一部分1. B2. C3. D4. B5. C【解析】①中，α 和 β 的位置关系不确定，所以不成立；②符合面面垂直的判定，所以成立；③也符合面面垂直的判定．所以有 2 个正确．6. A7. C 【解析】以正方体为背景考虑，A 中，设平面 ABCD 为 α，平面 AA 1D 1D 为 β，若 AA 1 为 a ，BB 1 为 b ，显然 a ⊥b 不成立； B 中的条件可以推得 a ∥b ，所以不成立；C 中，由 b ⊥β，α∥β 可得 b ⊥α，而 a ⊂α，所以可得到 b ⊥a ；反之，仅由 a ⊥b 得不到C 中的条件，所以C 为符合结论的选项．D 中，设平面 ABCD 为 α，平面 AA 1D 1D 为 β，若 AD 为 a ，B 1C 1 为 b ，则 a ⊥b 不成立．8. B 【解析】如图，取 BC 中点为 G ，连接 GC 1，则 GC 1∥FD 1，再取 GC 中点为 H ， 连接 HE 、 OH ，则 ∠OEH 为异面直线 OE 和 FD 1 所成的角．在 △OEH 中，OE =√3，HE =√52，OH =√52．计算可得 cos∠OEH =√155． 9. B 10. B【解析】如图，连接 BC ，由题可知 PB ⊥AC ，PC ⊥AC ，PC ∩PB =P ，因此 AC ⊥面PBC ，故 AC ⊥BC ，所以，动点 C 在平面 α 内的轨迹为以 AB 为直径的圆且去掉 A 、 B 两点．11. C 【解析】提示：算出一个正四棱锥的体积再乘 2 即可．12. D 13. B 14. C第二部分15. 12π【解析】提示：球的半径为 √3．16. √317. 24【解析】球的半径为 √3 ，则正方体的体对角线长为 2√3 ，从而正方体的棱长为 2 ，表面积为 6×22=24 ．18. √3【解析】三视图对应的空间几何体是以 2 为底、高为 a 的三角形作为底面，以 3 为高的卧放的一个三棱柱．19. 14π20. 6+π【解析】如图：该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体．所以V =3×2×1+13π×12×3=6+π.21. √322. S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2=S △BCD2 23. 作 AB 的中点 E ，作 CH ⊥C 1E ，交 C 1E 于点 H ．正三棱锥 ABC −A 1B 1C 1 中，C 1B =C 1A ，CA =CB ，所以 CE ⊥AB ，CE ⊥AB ，故 ∠C 1EC 为 C −AB −C 1 的平面角．AB ⊥CH ，CH ⊥C 1E ，所以 CH ⊥ 平面 C 1AB ，所以 C 到平面 C 1AB 的距离为 CH ．CH =CEsin∠C 1EC =34．24. 9π225. 83π【解析】由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成．其中，圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1m，圆锥的高均为1m，圆柱的高为2m．因此该几何体的体积为V=2×13π×12×1+π×12×2=83πm3．26. 2【解析】该四棱锥的高为3，底面边长为2，高为1的平行四边形，所以四棱锥的体积为V=2×1×3×13=2．27. 20π3【解析】该几何体的体积为π⋅4+13π⋅22⋅2=20π3m3．28. 18+9π【解析】由三视图可知，该几何体为两个相切的球上方加了一个长方体组成的组合体，所以其体积为V=3×6×1+2×43π×(32)3=18+9π(m3).29. √2【解析】如图：过B作BD∥AC，且BD=AC，所以ADBC为矩形，且∠PBD（或其补角）即为所求．∵PA=AC=BC=a，∴AD=a，BD=a．∵PA⊥平面ABC，∴PD=√2a．又PA⊥DB，DB⊥AD，∴DB⊥平面PAD，∴BD⊥PD．在直角△PDB中，tan∠PBD=√2aa=√2．即异面直线PB与AC所成的角的正切值等于√2．30. ①④⑤【解析】分别在各图中添加辅助线，如图：对于①，因为l⊥面ABC，所以l⊥面MNP；对于②，若l⊥面MNP，则l⊥NA，显然它们不垂直，所以②错误；③显然错误；对于④，因为MN∥AB，AB⊥l，所以l⊥MN，又l⊥MP，所以l⊥面MNP；对于⑤，l垂直于图中正六边形所在的面，所以l⊥面PMN．第三部分31. （1）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，在Rt△PDA中，由已知，得AP=√AD2+PD2=√5，故cos∠DAP=ADAP =√55，所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为√55．（2）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD，又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．（3）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC−BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，DF=√16+4=2√5，可得sin∠DFP=PDDF =√55，所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为√55．32. （1）取AB中点F%,，连接MF，NF%,，因为M为AD中点，所以MF∥BD%,，因为BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE%,，所以MF∥平面BDE．因为N为BC中点，所以NF∥AC%,，又D，E分别为AP，PC的中点，所以DE∥AC%,，则NF∥DE．因为DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE%,，所以NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．所以平面MFN∥平面BDE%,，则MN∥平面BDE%;；（2）因为PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘．所以以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．因为 PA =AC =4，AB =2，所以 A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，M (0,0,1)，N (1,2,0)，E (0,2,2),则 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1)，ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1), 设平面 MEN 的一个法向量为 m⃗⃗ =(x,y,z )%,， 由 {m ⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得 {x +2y −z =0,2y +z =0, 取 z =2%,，得 m ⃗⃗ =(4,−1,2)． 由图可得平面 CME 的一个法向量为 n ⃗ =(1,0,0)． 所以 cos ⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=√21×1=4√2121所以二面角 C −EM −N 的余弦值为4√2121%,，则正弦值为 √10521%;； （3） 设 AH =t%,，则 H (0,0,t )，NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,t )，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,2)． 因为直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 3√721%,， 所以 \（\left|\cos \left\langle \overrightarrow {NH}，\overrightarrow{BE}\right\rangle\right|=\left|\dfrac{\overrightarrow{NH}\cdot\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{NH}||\overrightarrow{BE}|}\right|=\left|\dfrac{2t-2}{\sqrt{5+t^2}\times 2\sqrt3}\right|=\dfrac{3\sqrt{7}}{21}%\left|\cos \left\langle \overrightarrow {NH}，\overrightarrow {BE}\right\rangle\right|=\left|\dfrac{\overrightarrow{NH}\cdot\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{NH}|\overrightarrow|{BE}|}\right|=\left|\dfrac{2t-2}{\sqrt{5+t^2}\times 2\sqrt3}\right|=\dfrac{3\sqrt{7}}{21}\left|\cos \left\langle \overrightarrow {NH}，\overrightarrow {BE}\right\rangle\right|=\left|\dfrac{\overrightarrow{NH}\cdot\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{NH}|\overrightarrow|{BE}|}\right|=\left|\dfrac{2t-2}{\sqrt{5+t^2}\times 2\sqrt3}\right|=\dfrac{3\sqrt{7}}{21}\）．解得：t =4．所以当 H 与 P 重合时直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为3√721%,，此时线段 AH 的长为 4．33. （1） 取 AD 中点 I ，连接 FI ，因为矩形 OBEF ，所以 EF ∥OB 且 EF =OB ， 因为 G ，I 是中点，所以 GI 是 △ABD 的中位线， 所以 GI ∥BD 且 GE =12BD ． 因为 O 是正方形 ABCD 中心， 所以 OB =12BD ， 所以 EF ∥GI 且 EF =GI ， 所以四边形 EFIG 是平行四边形， 所以 EG ∥FI ．因为 FI ⊂面ADF ，EG ⊄面ADF ，所以 EG ∥面ADF ．（2） 如图所示建立空间直角坐标系 O −xyz ，B(0,−√2,0)，C(√2,0,0)，E(0,−√2,2)，F (0,0,2)， 设面 CEF 的法向量 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z )，{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z )⋅(0,√2,0)=√2y =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z )⋅(−√2,0,2)=−√2x +2z =0.得：{x =√2,y =0,z =1.所以 n 1⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,1)．因为 OC ⊥ 面 OEF ，所以面 OEF 的法向量 n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， ∣cos⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩∣=∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√2∣√3⋅1=√63， sin⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩=√1−(√63)2=√33， 二面角 O −EF −C 的正弦值为 √33．（3） 因为 AH =23HF ，所以 AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =25(√2,0,2)=(2√25,0,45)， 因为 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√25,√2,45)．设直线 BH 和平面 CEF 所成角为 θ， sinθ=∣cos⟨BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩∣=∣BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣−65+45∣√3⋅2√25=√721． 所以直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 √721．34. （1） 如图，取 PB 中点 M ，连接 FM ，因为 F 为 PC 中点，所以 FM 为 △PBC 中位线， 所以 FM ∥BC ∥AE 且 FM =12BC =AE ， 所以四边形 EFMA 为平行四边形，EF ∥AM ．因为 EF ⊄ 平面 PAB ，AM ⊂ 平面 PAB ，所以 EF ∥ 平面 PAB ． （2） ① 连接 PE,BE ．因为 PA =PD ，BA =BD ，而 E 为 AD 中点，故 PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以 ∠PEB 为二面角 P −AD −B 的平面角． 在 △PAD 中，由AD =2,PA =PD =√5,可解得PE =2.△ABD 中，由BA =BD =√2,可解得BE =1.在三角形 PEB 中，PE =2，BE =1，∠PEB =60∘，由余弦定理，可解得PB =√3,从而 ∠PBE =90∘，即 BE ⊥PB ，又 BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而 BE ⊥BC ，因此 BE ⊥ 平面 PBC ． 又 BE ⊂ 平面 ABCD ，所以平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ； ②连接 BF ，由 ① 知 BE ⊥ 平面 PBC ．所以 ∠EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角，由PB =√3,PA =√5,AB =√2,得 ∠ABP 为直角，而MB =12PB =√32,可得 AM =√112，故 EF =√112．又 BE =1，故在 Rt △EBF 中，可得sin∠EFB =BE EF =2√1111. 所以，直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2√1111． 35. （1） 如图，连接 BD ，MO ．在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点． 又 M 为 PD 的中点，所以 PB ∥MO ．因为 PB ⊄平面 ACM ，MO ⊂平面 ACM ，所以 PB ∥平面 ACM ． （2） 因为 ∠ADC =45∘，且 AD =AC =1， 所以 ∠DAC =90∘，即 AD ⊥AC ， 又 PO ⊥平面 ABCD ，AD ⊂平面 ABCD ，所以 PO ⊥AD ，而 AC ∩PO =O ，所以 AD ⊥平面 PAC ． （3） 如上图，取 DO 中点 N ，连接 MN ，AN ． 因为 M 为 PD 的中点，所以 MN ∥PO ，且 MN =12PO =1． 由 PO ⊥平面 ABCD ，得 MN ⊥平面 ABCD ， 所以 ∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角．在 Rt △DAO 中，AD =1，AO =12，所以 DO =√52，从而 AN =12DO =√54．在Rt△ANM中，tan∠MAN=MNAN=√54=4√55，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为4√55．36. （1）由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE∥AP，且FE=AP，所以FA∥EP，且FA=EP．同理，AB∥PC，且AB=PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD．设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=√2a．故∠CED=60∘．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60∘．（2）因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CED．（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A−CD−E的平面角．由（1）可得，EP⊥PQ，EQ=√62a，PQ=√22a．于是在Rt△EPQ中，cos∠EQP=PQEQ =√33．所以二面角A−CD−E的余弦值为√33．37. （1）在四棱锥P−ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．（2）由PA=AB=BC，∠ABC=60∘，可得AC=PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而 PD ⊂ 平面 PCD ，∴AE ⊥PD ．∵PA ⊥ 底面 ABCD ，PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD ． 又 ∵AB ∩AE =A ，综上得 PD ⊥ 平面 ABE ． （3） 过点 A 作 AM ⊥PD ，垂足为 M ，连接 EM ．则由（2）知，AE ⊥ 平面 PCD ，AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ，则 EM ⊥PD ． 因此 ∠AME 是二面角 A −PD −C 的平面角． 由已知，得 ∠CAD =30∘．设 AC =a ，可得PA =a,AD =2√33a,PD =√213a,AE =√22a.在 Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ⋅PD =PA ⋅AD ，则AM =PA ⋅ADPD =a ⋅2√33a √213a =2√77a.在 Rt △AEM 中，sin∠AME =AE AM =√144. 所以二面角 A −PD −C 的平面角的正弦值是 √144．38. （1） 如图，设 AC ∩BD =H ，连接 EH ．在 △ADC ，因为 AD =CD ，且 DB 平分 ∠ADC ，所以 H 为 AC 的中点． 又由题设，E 为PC的中点，故 EH ∥PA ．又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE．（2）因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．由（1）可得，DB⊥AC．又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．由AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2√2,可得DH=CH=√2 2,BH=3√2 2.在Rt△BHC中，tan∠CBH=CHBH=13.所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13．39. （1）由题中线段长度可得AD2+PA2=PD2，所以AD⊥PA．因为矩形ABCD中AD⊥AB，而PA,AB⊂面PAB，所以AD⊥面PAB．（2）由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB=√PA2+AB2−2PA⋅AB⋅cosPAB=√7．由（1）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tan∠PCB=PBBC =√72．所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan√72．（3）过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连接PE．因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．由三垂线定理可知，BD⊥PE．从而∠PEH是二面角P−BD−A的平面角．由题设可得，PH =PA ⋅sin60∘=√3,AH =PA ⋅cos60∘=1,BH =AB −AH =2,BD =√AB 2+AD 2=√13,HE=AD BD ⋅BH =√13于是在 Rt △PHE 中，tan∠PEH =PH HE =√394. 所以二面角 P −BD −A 的大小为 arctan √394．40. （1） 如图，以点 A 为坐标原点 O ，以 AB 所成直线为 Oy 轴，以 AA 1 所在直线为 Oz 轴，以经过原点且与平面 ABB 1A 1 垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系．由已知得 A (0,0,0)，B (0,a,0)，A 1(0,0,√2a)，C 1(−√32a,a2,√2a)．（2） 坐标系如上，取 A 1B 1 的中点 M ，于是有 M (0,a2,√2a)，连 AM ，MC 1 有MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32a,0,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,0),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√2a),由 MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 MC 1⊥ 面 ABB 1A 1， 所以 AC 1 与 AM 所成的角就是 AC 1 与侧面 ABB 1A 1 所成的角．因为 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32a,a 2,√2a)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a 2,√2a)，所以 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+a 24+2a 2=94a 2, 又因为∣∣AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√3a 24+a 24+2a 2=√3a,∣∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√a 24+2a 2=32a,所以cos⟨AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=94a 2√3a ⋅32a=√32, 所以，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角，即 AC 1 与侧面 ABB 1A 1 所成的角为 30∘． 41. （1） 如图，取 CD 中点 M ，连接 OM ，连接 EM ．在矩形 ABCD 中，OM ∥BC 且 OM =12BC ，又 EF ∥12BC 且 EF =12BC ，则 EF ∥OM 且 EF =12OM ， 于是四边形 EFOM 为平行四边形，∴FO ∥EM ．又 ∵FO ⊄ 平面 CDE ，且 EM ⊂ 平面 CDE ，∴ FO ∥ 平面 CDE ． （2） 如图，连接 FM ，由（1）和已知条件，在等边 △CDE 中，CM =DM ，EM ⊥CD 且 EM =√32CD =12BC =EF ．因此平行四边形 EFOM 为菱形，从而 EO ⊥FM ． 而 EM ∩OM =M ，∴ CD ⊥ 平面 EOM ，从而 CD ⊥EO ． 而 FM ∩CD =M ，所以 EO ⊥ 平面 CDF ．42. （1） 在四棱锥 P −ABCD 中，因为底面 ABCD 是矩形， 所以 AD =BC 且 AD ∥BC ，故 ∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成的角． 在 Rt △PDA 中，tan∠PAD =PDAD =2．所以，异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2． （2） 由于底面 ABCD 是矩形， 所以 AD ⊥CD ，又由于 AD ⊥PD ，CD ∩PD =D ，因此 AD ⊥ 平面 PDC ， 而 AD ⊂ 平面 ABCD ， 所以平面 PDC ⊥ 平面 ABCD ．（3） 在平面 PDC 内，过点 P 作 PE ⊥CD 交直线 CD 于点 E ，连接 EB ．由于平面 PDC ⊥ 平面 ABCD ，而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线， 则 PE ⊥ 平面 ABCD ，由此得 ∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角． 在 △PDC 中，由于 PD =CD =2，PC =2√3，可得 ∠PCD =30∘． 在 Rt △PEC 中，PE =PCsin30∘=√3．由 AD ∥BC ，AD ⊥ 平面 PDC ，得 BC ⊥ 平面 PDC ，因此 BC ⊥PC ． 在 Rt △PCB 中，PB =√PC 2+BC 2=√13． 在 Rt △PEB 中，sin∠PBE =PE PB=√3913． 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 √3913．43. （1） 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (2,0,0)，D (1,−2,0)，A 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(2,0,2)，D 1(1,−2,2)．又因为 M ，N 分别为 B 1C 和 D 1D 的中点，所以 M (1,12,1)，N (1,−2,1)．依题意，可得 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−52,0)，由此可得 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0． 又因为直线 MN ⊄平面ABCD ，所以 MN ∥平面ABCD ．（2） AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)．设 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) 为平面 ACD 1 的一个法向量，则 {n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {x 1−2y 1+2z 1=0,2x 1=0.不妨设 z 1=1，可得 n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)．设 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 为平面 ACB 1 的一个法向量，则 {n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又 AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，所以 {y 2+2z 2=0,2x 2=0,不妨设 z 2=1，可得 n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,1)．因此有 cos ⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣n2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=−√1010， 于是 sin ⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩=3√1010， 所以，二面角 D 1−AC −B 1 的正弦值为 3√1010． （3） 依题意，可设 A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中 λ∈[0,1]，则 E (0,λ,2)， 从而 NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,λ+2,1)． 又 n⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知，得 ∣∣cos⟨NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩∣∣=∣∣∣∣NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣n ⃗ ∣∣∣∣∣=1√(−1)2+(λ+2)2+12=13, 整理得 λ2+4λ−3=0，解得 λ=−2±√7． 又因为 λ∈[0,1]， 所以 λ=√7−2．所以，线段 A 1E 的长为 √7−2．44. （1） 取 BD 的中点为 O ，连接 OE ，OG ．在 △BCD 中，因为 G 是 BC 的中点， 所以 OG ∥DC ，且 OG =12DC =1． 又因为 EF ∥AB ，AB ∥DC ， 所以 EF ∥OG ，且 EF =OG =1， 从而四边形 OGFE 是平行四边形， 所以 FG ∥OE ．又 FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，所以 FG ∥平面BED .（2） 在 △ABD 中，AD =1，AB =2，∠BAD =60∘，由余弦定理，得 BD =√3， 则 ∠ADB =90∘，即 BD ⊥AD ．又 平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD =AD ， 所以 BD ⊥平面AED ． 又 BD ⊂平面BED ， 所以 平面BED ⊥平面AED ． （3） 因为 EF ∥AB ，所以直线 EF 与平面 BED 所成的角就是直线 AB 与平面 BED 所成的角． 过点 A 作 AH ⊥DE 于点 H ，连接 BH ．因为 平面BED ⊥平面AED ， 所以 AH ⊥ 平面 BED ，则 ∠ABH 是直线 AB 与平面 BED 所成的角． 在 △ADE 中，AD =1，DE =3，AE =√6，由余弦定理，得 cos∠ADE =23，所以 sin∠ADE =√53，因此 AH =AD ⋅sin∠ADE =√53．在 Rt △AHB 中，sin∠ABH =AH AB=√56， 所以直线 AB 与平面 BED 所成角的正弦值为 √56．45. （1） 如图，连接 A 1B ．在 △A 1BC 中，因为 E 和 F 分别是 BC 和 A 1C 的中点， 所以 EF ∥BA 1．又因为 EF ⊄平面A 1B 1BA ， 所以 EF ∥平面A 1B 1BA ．（2）因为AB=AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BB1∥A1A，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE．又因为BC∩BB1=B，所以AE⊥平面BCB1．又因为AE⊂平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1．（3）如图，取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE．因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE=12B1B，故NE∥A1A，且NE=A1A，所以A1N∥AE，且A1N=AE．又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE=2，所以A1N=AE=2．因为BM∥AA1，BM=AA1，所以A1M∥AB，A1M=AB．又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1．在Rt△A1MB1中，可得A1B1=√B1M2+A1M2=4．在Rt△A1NB1中，可得sin∠A!B1N=A1NA1B1=12．因此∠A1B1N=30∘．所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30∘．46. （1）解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A (0,0,0),D (2,0,0),C (0,1,0),B (−12,12,0),P (0,0,2)．易得 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)， 于是 PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 PC ⊥AD ． 解法二：由 PA ⊥ 平面 ABCD ，可得 PA ⊥AD ， 又由 AD ⊥AC ，PA ∩AC =A ，则 AD ⊥ 平面 PAC ， 又 PC ⊂平面PAC ，所以 PC ⊥AD ．（2） 解法一：PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)． 设平面 PCD 的法向量 n⃗ =(x,y,z )，则 {n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{y −2z =0,2x −y =0.不妨令 z =1，可得 n⃗ =(1,2,1)． 可取平面 PAC 的一个法向量 m⃗⃗ =(1,0,0)，于是 cos ⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m ⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=√66,从而sin ⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=√306.所以二面角 A −PC −D 的正弦值为 √306．解法二：如图，作 AH ⊥PC 于点 H ，连接 DH ．由 PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，可得 PC ⊥ 平面 ADH ，因此 DH ⊥PC ，从而 ∠AHD 为二面角 A −PC −D 的平面角． 在 Rt △PAC 中，PA =2,AC =1，由此得 AH =√5．由（1）知 AD ⊥AH ，故在 Rt △DAH 中，DH =√AD 2+AH 2=2√305, 因此sin∠AHD =AD DH =√306, 所以二面角 A −PC −D 的正弦值为 √306．（3） 解法一：设点 E 的坐标为 (0,0,ℎ)，其中 ℎ∈[0,2]，由此得BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,ℎ). 由 CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)，故 cos⟨BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=3√10+20ℎ2,所以3√10+20ℎ2=cos30∘=√32, 解得 ℎ=√1010，即 AE 的长为 √1010.解法二：如图，因为 ∠ADC <45∘，则过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交，设交点为 F ，连接 BE,EF ． 则 ∠EBF 或其补角为异面直线 BE 与 CD 所成的角． 由于 BF ∥CD ，则 ∠AFB =∠ADC ． 在 Rt △DAC 中，CD =√5,sin∠ADC =√5,从而sin∠AFB =√5.在 △AFB 中，由正弦定理得BF sin∠FAB =ABsin∠AFB,由 AB =√2sin∠FAB =sin135∘=√22, 解得 BF =√52． 由余弦定理，BF 2=AB 2+AF 2−2AB ⋅AF ⋅cos∠FAB,可得 AF =12．设 AE =ℎ，在 Rt △EAF 中，EF =√AE 2+AF 2=√ℎ2+14;在 Rt △BAE 中，BE =√AE 2+AB 2=√ℎ2+12.在 △EBF 中，因为 EF <BE ，从而 ∠EBF =30∘，由余弦定理得cos30∘=BE 2+BF 2−EF 22BE ⋅BF.可解得 ℎ=√1010，所以 AE 的长为 √1010.47. （1） 方法一：由于 AC ∥A 1C 1，故 ∠C 1A 1B 1 是异面直线 AC 与 A 1B 1 所成的角．因为 C 1H ⊥ 平面 AA 1B 1B ，又 H 为正方形 AA 1B 1B 的中心，AA 1=2√2，C 1H =√5．可得A 1C 1=B 1C 1=3.因此cos∠C 1A 1B 1=A 1C 12+A 1B 12−B 1C 122A 1C 1⋅A 1B 1=√23.所以异面直线 AC 与 A 1B 1 所成角的余弦值为 √23．方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．依题意得 A(2√2,0,0),B (0,0,0)，C(√2,−√2,√5)，A 1(2√2,2√2,0)，B 1(0,2√2,0)，C 1(√2,√2,√5)． 易得AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−√2,√5),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,0,0),于是cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=43×2√2=√23, 所以异面直线 AC 与 A 1B 1 所成角的余弦值为 √23．（2） 方法一： 连接 AC 1，易知 AC 1=B 1C 1，又由于 AA 1=B 1A 1，A 1C 1=A 1C 1，所以 △AC 1A 1≌△B 1C 1A 1， 过点 A 作 AR ⊥A 1C 1 于点 R ，连接 B 1R ，于是 B 1R ⊥A 1C 1， 故 ∠ARB 1 为二面角 A—A 1C 1—B 1 的平面角． 在 Rt △A 1RB 1 中，B 1R=A 1B 1⋅sin∠RA 1B 1=2√2⋅√1−(√23)2=2√143.连接 AB 1，在 △ARB 1 中，AB 1=4，AR =B 1R ，cos∠ARB 1=AR 2+B 1R 2−AB 122AR ⋅B 1R =−27,从而sin∠ARB 1=3√57.所以二面角 A—A 1C 1—B1 的正弦值为 3√57．方法二： 易知AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−√2,√5).设平面 AA 1C 1 的法向量 m⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{m ⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{−√2x 1−√2y 1+√5z 1=0,2√2y 1=0.不妨令 x 1=√5，可得m ⃗⃗ =(√5,0,√2),同样地，设平面 A 1B 1C 1 的法向量 n⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则 {n ⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{−√2x 2−√2y 2+√5z 2=0,−2√2x 2=0.不妨令 y 2=√5，可得n ⃗ =(0,√5,√2).于是cos ⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m ⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=√7⋅√7=27,从而sin ⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=3√57.所以二面角 A—A 1C 1—B 的正弦值为 3√57．（3） 方法一：因为 MN ⊥ 平面 A 1B 1C 1，所以 MN ⊥A 1B 1．取 HB 1 中点 D ，连接 ND ，由于 N 是棱 B 1C 1 中点，所以 ND ∥C 1H 且 ND =12C 1H =√52.又 C 1H ⊥ 平面 AA 1B 1B ，所以 ND ⊥ 平面 AA 1B 1B ，故 ND ⊥A 1B 1．又 MN ∩ND =N ，所以 A 1B 1⊥ 平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B 1 于点 E ，则由DE AA 1=B 1E B 1A 1=B 1D B 1A =14, 得DE =B 1E =√22,延长 EM 交 AB 于点 F ，可得BF =B 1E =√22. 连接 NE ，在 Rt △ENM 中，所以DM =ND 2DE =5√24.可得FM =√24. 连接 BM ，在 Rt △BFM 中，BM =√FM 2+BF 2=√104.方法二：由 N 为棱 B 1C 1 的中点，得 N (√22,3√22,√52)．设 M (a,b,0)，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22−a,3√22−b,√52). 由 MN ⊥ 平面 A 1B 1C 1，得{MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{ (√22−a)⋅(−2√2)=0,(√22−a)⋅(−√2)+(3√22−b)⋅(−√2)+√52⋅√5=0.解得{a =√22,b =√24.故 M (√22,√24,0)，因此BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√24,0),所以线段 BM 的长为∣∣BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√104.48. （1） 因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA ∥ED ，则 ∠CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角． 因为 FA ⊥平面 ABCD ，所以 FA ⊥CD ，从而 ED ⊥CD ． 在 Rt △CDE 中，CE =√CD 2+ED 2=3,所以cos∠CED =ED CE =2√23. 故异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为2√23．（2） 过点 B 作 BG ∥CD ，交 AD 于点 G ，则 ∠BGA =∠CDA =45∘． 由 ∠BAD =45∘，可得 BG ⊥AB ， 从而 CD ⊥AB ，又 CD ⊥FA ，FA ∩AB =A ， 所以 CD ⊥平面 ABF ．（3） 由（2）及已知，可得 AG =√2，即 G 为 AD 的中点． 取 EF 的中点 N ，连接 GN ，则 GN ⊥EF ， 因为 BC ∥AD ，所以 BC ∥EF ．过点 N 作 NM ⊥EF ，交 BC 于 M ，则 ∠GNM 为二面角 B −EF −A 的平面角． 连接 GM ，可得 AD ⊥平面 GNM ，则 AD ⊥GM ，从而 BC ⊥GM ．由已知，可得 GM =√22．由 NG ∥FA ，FA ⊥GM ，得 NG ⊥GM ． 在 Rt △NGM 中，tan∠GNM =GM NG =14, 所以二面角 B −EF −A 的正切值为 14．49. （1） 法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点，设 AB =1，依题意得D (0,2,0),F (1,2,1),A 1(0,0,4),E (1,32,0).易得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4),于是cos⟨EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=−35, 所以异面直线 EF 与 A 1D 所成角的余弦值为 35． 法二：设 AB =1，可得AD =2,AA 1=4,CF =1,CE =12.连接 B 1C ，BC 1，设 B 1C 与 BC 1 交于点 M ，易知 A 1D ∥B 1C ，由 CE CB =CF CC 1=14，可知 EF ∥BC 1．则 ∠BMC 是异面直线 EF 与 A 1D 所成的角，易知BM =CM =12B 1C =√5,由余弦定理得cos∠BMC =BM 2+CM 2−BC 22BM ⋅CM =35,所以异面直线 FE 与 A 1D 所成角的余弦值为 35． （2） 法一：因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,1),EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−32,4),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0), 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此 AF ⊥EA 1，AF ⊥ED ，又 EA 1∩ED =E ，所以 AF ⊥平面 A 1ED ． 法二：连接 AC ，设 AC 与 DE 交点 N ． 因为 CDBC =ECAB =12，所以Rt △DCE ∽Rt △CBA,从而∠CDE =∠BCA,又由于∠CDE +∠CED =90∘,所以∠BCA +∠CED =90∘,故 AC ⊥DE ，又因为 CC 1⊥DE 且 CC 1∩AC =C ，所以 DE ⊥平面 ACF ，从而 AF ⊥DE ．连接 BF ，同理可证 B 1C ⊥平面 ABF ，从而 AF ⊥B 1C ， 所以 AF ⊥A 1D ．因为 DE ∩A 1D =D ，所以 AF ⊥平面 A 1ED ．（3） 法一：设平面 EFD 的法向量 u ⃗ =(x,y,z )，则{u ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,u ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{12y +z =0,−x +12y =0, 不妨令 x =1，可得 u ⃗ =(1,2,−1)．由（2）可知，AF⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面 A 1ED 的一个法向量． 于是cos⟨u ⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=u ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣u ⃗ ∣∣∣AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=23, 从而sin⟨u ⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=√53, 所以二面角 A 1−ED −F 的正弦值为 √53． 法二：连接 A 1N ，FN ，由（2）可知 DE ⊥平面 ACF ， 又 NF ⊂平面 ACF ，A 1N ⊂平面 ACF ，所以 DE ⊥NF ，DE ⊥A 1N ，故 ∠A 1NF 为二面角 A 1−ED −F 的平面角． 易知 Rt △CNE ∽Rt △CBA ，所以CN BC =EC AC, 又 AC =√5，解得CN =√55, 在 Rt △NCF 中，可得NF =√CF 2+CN 2=√305, 在 Rt △A 1AN 中，可得NA 1=√A 1A 2+AN 2=4√305. 连接 A 1C 1，A 1F ，在 Rt △A 1C 1F 中，可得A1F=√A1C12+C1F2=√14,在△A1NF中，可得cos∠A1NF=A1N2+FN2−A1F22A1N⋅FN=23.从而sin∠A1NF=√5 3,所以二面角A1−DE−F的正弦值为√53．50. （1）取BD中点M，连接MC，FM，因为F为BD1中点，所以FM∥D1D且FM=12D1D，又EC=12CC1，且EC⊥MC．所以四边形EFMC是矩形．所以EF⊥CC1．又CM⊥面DBD1，所以EF⊥面DBD1．因为BD1⊂面DBD1，所以EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（2）连接ED1，有V D1−BDE =V E−BDD1．由（1）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则S△BDE⋅d=S△DBD1⋅EF.因为AA1=2，AB=1，所以BD=BE=ED=√2，EF=√22，所以S△DBD1=12⋅√2⋅2=√2,S△DBE=12⋅√32⋅(√2)2=√32.故点D1到平面BDE的距离为2√33．51. （1）过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H．连接AH，并延长交BC于G，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角．∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线．又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点．。
天津数学高考真题分类汇总(2017-2021)
一、集合1.（2017）设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R∣-1≤x≤5},则（A∪B）∩C=( )A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R∣-1≤x≤5}2.（2018）(1)设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩(∁R B)=( )A. {x|0<x≤1}B. {x|0<x<1}C. {x|1≤x<2}D. {x|0<x<2}3.（2019）设集合A＝｛-1,1,2,3,5｝,B=｛2,3,4｝,C=｛x∈R|1≤x＜3｝则（A∩C）∪B＝（）A.{2}B.{2,3}C.{-1,2.3}D.{1,2,3,4}4.（2020）设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2}, B={−3,0,2,3}，则A∩(∁U B)=（）A．{−3,3} B．{0,2} C.{−1,1} D．{−3,−2,−1,1,3}5.（2021）设集合A={-1,0,1}, B={1,3,5}, C=[0,2,4],则(A∩B)∪C=( )A. ｛0｝B. { 0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}二、充分、必要条件玉全称、存在量词1.（2017）.设，则“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2.（2018）设x∈R，则“”是“x3<1”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（2019）设x∈R,则“x2-5x＜0”是“|x-1|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.（2020）设a∈R ，则“a>1”是“a²>a”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.（2021）已知a∈R ，则“a>6”是“a²>36”的( )A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不允分也不必要条件三、函数及其表示1.（2020）函数的图像大致为（）2. （2021）函数的图像大致为（）四、函数的基本性质1.(2017)2.(2018)3.(2019)4.(2020)5.(2021)若2a=5b=10,则=（）A.-1B.C.1D.㏒710五、基本初等函数1.(2017)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).a=g(-㏒25.1)，b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜a＜cD.b＜c＜a2.(2018)已知则a,b,c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b3.(2019)已知则a,b,c的大小关系为（）A. a＜c＜bB.a＜b＜cC. b＜c＜aD.c＜a＜b4.(2020)设则a,b,c的大小关系为（）A. a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b5.(2021)设，则a,b,c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜c＜aD.a＜c＜b六、函数的零点1.(2017)已知函数设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立则a的取值范围是（）A. B. C. D.2.(2018)已知a＞0，函数若关于x的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_____3.(2019)已知a∈R,设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]4.(2020)已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是（）A. B.C. D.5.(2021)七、导数及其应用（大题）1.（2017）2.（2018）3.（2019）4.（2020）5.(2021)已知a>0 函数f(x)=ax-xe x(I)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程(II)证明f(x)存在唯一的极值点(III)若存在a，使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立，求实数b的取值范围八、三角函数、三角恒等变换（大题）1.（2017）2.（2018）3.（2019）4.（2020）5.（2021）九、平面向量1.（2017）2.（2018）8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.33.（2019）14．在四边形ABCD中，AD∥BC, AB=AD=5, ∠A=30°，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则=_____．4.（2020）5.（2021）十、数列（大题）1.（2017）2.（2018）3.（2019）4.（2020）5．（2021）十一、不等式、一元二次不等式1.（2017）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值为( )A. B.1 C. D. 32.（2018）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为( )A.6B.19C.21D.453.（2019）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为( )A.2B.3C.5D.6十二、基本不等式1.（2017）若a,b∈R，ab＞0,则的最小值为______.2.（2018）已知a , b∈R，且a−3b+6=0，则的最小值为 ________.3.（2019）4.（2020）5.（2021）若a＞0,b＞0则的最小值为_____十三、立体几何（大题）1.（2017）2.（2018）3.（2019）4.（2020）5.（2021）十四、直线与圆的方程1.（2017）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为______.2.（2018）已知圆x 2 +y 2−2x=0的圆心为C，直线(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为 ______.3.（2019）4.（2020）已知直线x−y+8=0和圆x 2+y 2=r 2(r>0)相交于A,B两点．若∣AB∣=6，则r的值为_________．5.（2021）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+(y-1)2=1相切于点B，则|AB|=_________十五、圆锥曲线与方程（大题）1.（2017）2.（2018）3.（2019）4.（2020）5.（2021）.十六、概率、统计、计数原理、随机变量1.（2017）用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_______个.(用数字作答)2.（2018）(10).在的展开式中，x2的系数为_______.3.（2019）(10).的展开式中的常数项为_______ 4.（2020）(11) 在的展开式中，x2的系数是_______5.（2021）(11).在的展开式中，x6的系数是_______14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局,已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为______, 3次活动中,甲至少获胜2次的概率为______十七、数系的扩充与复数的引入1.（2017）已知a∈R,i是虚数单位，若为实数，则a的值为______2.（2018）i是虚数单位，复数3.（2019）i是虚数单位，复数的值为_____4.（2020）i是虚数单位，复数5.（2021）i是虚数单位，复数。
天津高考分类汇编2002-2017-14计数
天津高考分类汇编2002-2017-14计数一、选择题（共8小题；共40分）1. 在(2x2−1x )5的二项展开式中，x的系数为A. 10B. −10C. 40D. −402. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有A. 10种B. 20种C. 36种D. 52种3. 在(√x2√x )6的二项展开式中，x2的系数为A. −154B. 154C. −38D. 384. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种5. limn→∞C22+C32+C42+⋯+C n2n(C21+C31+C41+⋯+C n1)=A. 3B. 13C. 16D. 66. 从集合{1,2,3,⋯,11}中任选两个元素作为椭圆方程x2m2+y2n2=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={(x,y)∣ ∣ x∣ <11且∣ y∣ <9}内的椭圆个数为A. 43B. 72C. 86D. 907. 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有A. 288种B. 264种C. 240种D. 168种8. 有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有A. 1344种B. 1248种C. 1056种D. 960种二、填空题（共22小题；共110分）9. (x2−1x )8的展开式中x7的系数为．（用数字作答）10. (x√x )6的二项展开式中的常数项为．11. 若(x2+1ax )6的二项展开式中x3的系数为52，则a=（用数字作答）．12. 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有个（用数字作答）．13. (x√x )5的二项展开式中x2的系数是（用数字作答）．14. (x√x )7的二项展开式中x的系数是（用数字作答）．15. (x+1x2)9的二项展开式中的常数项是．（用数字作答）16. (x+2x )5的二项展开式中x3的系数为（用数字作答）．17. (2x+√x )7的二项展开式中x的系数是（用数字作答）．18. 从0、1、2、3、4、5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有个．（用数字作答）19. (x2−12x)9展开式中x9的系数是．20. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个（用数字作答）．21. 在(x−14x )6的展开式中，x2的系数为．22. 若(1−2x)2004=a0+a1x+a2x2+⋯+a2004x2004(x∈R)，则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+⋯+(a0+a2004)=．（用数字作答）23. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）24. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．25. 用数字0、1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）．26. 设n∈N∗，则C n1+C n26+C n362+⋯+C n n6n−1=．27. 从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有个．（用数字作答）28. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作．29. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有种（用数字作答）．30. 将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种．（以数字作答）三、解答题（共6小题；共78分）31. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．（1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中恰有1名女生的概率；（3）求所选3人中至少有1名女生的概率．32. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球均为黑球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．33. 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．34. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量x的分布列和数学期望．35. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：（1）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．36. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．答案第一部分 1. D【解析】T r+1=C 5r (2x 2)5−r(−1x)r=C 5r (−1)r 25−r x 10−3r .由 10−3r =1，得 r =3，所以 x 的系数为 −40． 2. A【解析】分情况讨论：① 1 号盒子中放 1 个球，其余 3 个放入 2 号盒子，有 C 41=4 种方法； ② 1 号盒子中放 2 个球，其余 2 个放入 2 号盒子，有 C 42=6 种方法；则不同的放球方法有 10 种． 3. C【解析】由二项式展开式得：T k+1=C 6k(√x2)6−k√x)k=(−1)k 22k−6C 6k x 3−k ，令 k =1，则 x 2 的系数为 (−1)⋅22−6C 61=−38． 4. B【解析】使用间接法，首先分析从 6 个面中选取 3 个面，共 C 63 种不同的取法．其中有 2 个面不相邻的反面为 3 个面都相邻，则只可能为 8 个顶点处 3 个相邻平面，共有 8 种，则选法共有 C 63−8=12 种． 5. B【解析】C 22+C 32+C 42+⋯+C n 2=C n+12，C 21+C 31+C 41+⋯+C n 1=(n+2)(n−1)2，∴limn→∞C 22+C 32+C 42+⋯+C n2n(C 21+C 31+C 41+⋯+C n 1)=limn→∞1+1n 3+6n=13.6. B 【解析】椭圆要落在矩形内，需要满足：m ≠n ，且 m ≤10，n ≤8．分两种情况考虑：一类是 m ≤8，此时有选法 A 82=56 种；另一类是 m 从 9,10 中任选一个，n 从 1 到 8 中任选，有 2×8=16 种， 所以满足题意的椭圆个数是 56+16=72． 7. B【解析】B ，D ，E ，F 用四种颜色，则有 A 44×1×1=24 种涂色方法；B ，D ，E ，F 用三种颜色，则有 A 43×2×2+A 43×2×1×2=192 种涂色方法；B ，D ，E ，F 用两种颜色，则有 A 42×2×2=48 种涂色方法． 8. B【解析】第二行有 (1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2) 四种取法，在第二行取定后，不考虑约束条件，其他四个空共有 A 64 种取法，除去第一行或第三行数字和为 5 的 4A 42 种取法（其中第二行已经取定，和为 5 的数字还有一组，可以在第一行或第三行，且有顺序上不同，则有 4 种填法，剩下的两空有 A 42种排法），因此总的排法有 4(A 64−4A 42)=1248 种．第二部分 9. −56【解析】C 83(x 2)5⋅(−1x )3=−56x 7，所以系数为 −56．10. 15 11. 2【解析】(x2+1ax )6的通项公式为T r+1=C6r(x2)6−r(1ax)r=C6r a−r x12−3r，所以r=3时对应x3项，故C63a−3=52，解得a=2．12. 24【解析】分三类情况讨论．第一类：0在末位，考虑到1，2相邻（捆绑），有A22A33=12个五位数；第二类：2在末位，考虑到0不在首位，有4个五位数；第三类：4在末位，考虑到0不在首位，有8个五位数．13. 4014. 3515. 8416. 10【解析】C5r x5−r(2x )r=C5r2r x5−2r．由5−2r=3，得r=1，x3的系数为10．17. 28018. 36【解析】末位是0，有A52=20个数能被5整除；末位是5，首位不能为0，所以有C41种选法，十位有C41种选法，故由分步相乘计数原理有C41⋅C41=16种选法；由分类相加计数原理，能被5整除的三位数共有20+16=36．19. −21220. 1080【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1，3，5，7，9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54= 120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1，3，5，7，9种选出3个，在2，4，6，8中选出1个，有C53⋅C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个．21. 1516【解析】T r+1=C6r x6−r(−14x )r=(−14)rC6r x6−2r，令6−2r=2，r=2，代回系数可求得x2的系数为1516．22. 2004【解析】令x=0，则a0=1；令x=1，则a0+a1+a2+⋯+a2004=1，所以(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+⋯+(a0+a2004)=2003a0+a0+a1+a2+⋯+a2004=2004.23. 120【解析】记颜色为A,B,C,D四色，先栽1,2,3三个区域，有A43种不同的栽法，不妨设1,2,3已分别栽A,B,C三种颜色，而4,5,6三个区域共有5种栽法，所以根据分步计数原理，不同栽种方法有5A43= 120．24. 630【解析】可分为使用 4 种颜色、 3 种颜色、 2 种颜色，则所求的涂色方法为 A 64+2A 63+A 62=630 种．25. 324【解析】个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数时，分成这 3 个偶数包括 0 与不包括 0 两类，共有C 32A 33C 41+A 33C 31=90 种；个位、十位和百位上的数字为 1 个偶数 2 个奇数时，也分成偶数为 0 与不为 0 的两类，共有 C 32A 33C 41+C 31C 32A 33C 31=234 种．所以，共有 90+234=324 个． 26. 16(7n −1)【解析】提示：在 (1+x )n 中，令 x =6． 27. 300【解析】分两种情况求解．末位为 0 时，有 C 41C 42A 33=144 个四位数；末位为 5 时，有 C 31C 52A 33−C 41C 31A 22=156 个四位数．28. 390【解析】①用 2 种颜色涂格子有 C 62×2=30 种方法；②用 3 种颜色涂格子：最左边的格子有 3 种，第二格有 2 种（与第一格不同），第三格有 2 种（与第二格不同），第四格有 2 种（与第三格不同），共有 C 63⋅3⋅2⋅2⋅2 种．但是这种方法可能只涂了 2 种颜色，只涂了 2 色的共有 C 63⋅C 32⋅2 种．综合知共有 30+C 63(3×8−C 32×2)=390 种方法．29. 432【解析】数字之和为 10 的情况有 4,4,1,1；2,2,3,3；4,3,2,1． 取出的卡片数字为 4,4,1,1 时，有 A 44 种不同排法； 取出的卡片数字为 2,2,3,3 时，有 A 44 种不同排法；取出的卡片数字为 4,3,2,1 时，每个数字都有两种不同的取法，则有 24A 44 种不同排法．所以共有 A 44+A 44+24A 44=432 种不同排法．30. 42【解析】第一块田有 3 种种植方法，第二、三、四、五块田均有 2 种种植方法，因此，共有 3×2×2×2×2=48 种种植方法．但其中有 2×3=6 种是只种两种作物的种植方法，故所求的种植方法有 48−6=42 种． 第三部分31. （1） 所选 3 人都是男生的概率为 C 43C 63=15．（2） 所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为C 21C 42C 63=35．（3） 所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为C 21C 42+C 22C 41C 63=45．32. （1） 设"从甲盒内取出的 2 个球均为黑球"为事件 A ， "从乙盒内取出的 2 个球均为黑球"为事件 B ．由于事件 A,B 相互独立，且P (A )=C 32C 42=12,P (B )=C 42C 62=25.故取出的 4 个球均为黑球的概率为P (A ⋅B )=P (A )⋅P (B )=12×25=15.（2） 设"从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是黑球"为事件 C ，"从甲盒内取出的 2 个球中， 1 个是红球， 1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个球均为黑球"为事件 D ．由于事件 C,D 互斥，且P (C )=C 32C 42⋅C 21⋅C 41C 62=415,P (D )=C 31C 42⋅C 42C 62=15. 故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为P (C +D )=P (C )+P (D )=415+15=715.（3） ξ 可能的取值为 0,1,2,3 ．由（1），（2）得P (ξ=0)=15,P (ξ=1)=715,P (ξ=3)=C 31C 42⋅1C 62=130.从而P (ξ=2)=1−P (ξ=0)−P (ξ=1)−P (ξ=3)=310. ξ 的分布列为ξ0123P157********ξ 的数学期望Eξ=0×15+1×715+2×310+3×130=76.33. （1） 设"取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片"为事件 A ，则P (A )=C 21C 53+C 22C 52C 74=67.所以，取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为 67． （2） 随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4．P (X =1)=C 33C 74=135,P (X =2)=C 43C 74=435,P (X =3)=C 53C 74=27,P (X =4)=C 63C 74=47. 所以随机变量 X 的分布列是X 1234P1354352747随机变量 X 的数学期望EX=1×135+2×435+3×27+4×47=175.34. （1） 由已知，有 P (A )=C 22C 32+C 32C 32C 84=635．所以，事件 A 发生的概率为 635．（2） 随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4． P (X =k )=C 5k C 34−kC 84(k =1,2,3,4)．所以，随机变量 X 的分布列为X 1234P1143737114随机变量 X 的数学期望 E (X )=1×114+2×37+3×37+4×114=52．35. （1） 由于从 10 件产品中任取 3 件的结果数为C 103,从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的结果数为C 3k C 73−k ,那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的概率为P (X =k )=C 3k C 73−k C 103,k =0,1,2,3. 所以随机变量 X 的分布列是X 0123P72421407401120X 的数学期望EX=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.（2） 设＂取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数＂为事件 A ， ＂恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品＂为事件 A 1， ＂恰好取出 2 件一等品＂为事件 A 2， ＂恰好取出 3 件一等品＂为事件 A 3． 由于事件 A 1,A 2,A 3 彼此互斥，且A =A 1∪A 2∪A 3,而P (A 1)=C 31C 32C 103=340,P (A 2)=P (X =2)=740,P (A 3)=P (X =3)=1120,所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)=340+740+1120=31120.36. （1） 设“选 2 人参加义工活动，次数之和为 4”为事件 A ， P (A )=C 31C 41+C 32C 102=13．（2） 随机变量 X 可能取值 0，1，2， P (X =0)=C 32+C 32+C 42C 102=415， P (X =1)=C 31C 31+C 31C 41C 102=715，第11页（共11 页） P (X =2)=C 31C 41C 102=415．随机变量 X 的分布列为 X012P415715415 随机变量 X 的期望为 E (X )=715+815=1．。
全国卷历年高考解析几何解答题真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考解析几何解答题真题归类分析（含答案）一、椭圆（2015年2卷）已知椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(2)若l 过点(,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.分析：(1)将直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0)联立,结合根与系数的关系及中点坐标公式证明.(2)由四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分求解证明. 解析】：(1)设直线l :y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ). 将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故92221+-=+=k kbx x x M ， 992+=+=k b b k y M M .于是直线OM 的斜率kx y k M M OM 9-== 即k OM ·k=-9,所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值.(2)四边形OAPB 能为平行四边形，因为直线l 过点(,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k≠3，由(1)得OM 的方程为y=-x. 设点P 的横坐标为x p .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22299m y x x k y ，得8192222+=k m k x p ，即932+±=k km x p . 将点),3(m m 的坐标代入l 的方程得3)3(k m b -=，因此)9(3)3(2+-=k k k x M 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相评分，即P M x x =2.=，解得k k 12==因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-或4+时,四边形OAPB 为平行四边形.（2016年1卷）设圆x 2+y 2+2x-15=0的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合, l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】(1)圆A 整理为(x+1)2+y 2=16,点A 坐标为(-1,0),如图,∵BE ∥AC,则∠ACB=∠EBD,由|AC|=|AD|,则∠ADC=∠ACD,∴∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|, ∴|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所以E 的轨迹为一个椭圆,方程为2x 4+2y 3=1(y≠0);(2)C 1: 2x 4 +2y 3=1;设l :x=my+1,因为PQ ⊥l ,设PQ:y=-m(x-1),联立l 与椭圆C 1,22x my 1,x y 1,43⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得(3m 2+4)y 2+6my-9=0; 则|MN|=M -y N |==()2212m13m 4++;圆心A 到PQ 距离d==,所以=,∴S MPNQ =12|MN|·|PQ|=12·()2212m 13m 4+⋅+=24[12,8).（2016年2卷）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-=解得2x =-或228634k x k -=-+21234k + 因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk ==⋅⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >212124343k k k=++， 整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得， ()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =或x =所以AM =，所以AN =因为2AM AN =，所以2=，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <<．（2017年1卷）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>，四点()111P ，，()201P ，，3–1P ⎛ ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ，B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，求证：l 过定点.解析：（1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =， 21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩， 消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-=，122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+， 则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=22228888144414kb k kb kbk b k --++==-+ ()()()811411k b b b -=-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--.当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．（2017年2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析：（1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又0NM NP ⎛== ⎝，所以点M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又M 在椭圆C上，所以2212x +=，即222x y +=． （2）由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-，()1,PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-，(),OP m n =，()3,PQ m t n =---，由1O P P Q ⋅=，得2231m m tn n --+-=.又由（1）知222m n +=，所以330m tn +-=，从而0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线的垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -. 二、抛物线（2015年1卷）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.解析：（Ⅰ）由题设可得)M a，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x=C在,)a 处的切线方程为y a x --0y a --=.故24x y =在x=-处的到数值为C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-.∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.（2016年3卷）已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意可知F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭,设l 1:y=a,l 2:y=b 且ab≠0,A 2a ,a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 2b ,b 2⎛⎫ ⎪⎝⎭P 1,a 2⎛⎫-⎪⎝⎭,Q 1,b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,R 1a b ,22⎛⎫+- ⎪⎝⎭,记过A,B 两点的直线方程为l,由点A,B 可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0,因为点F 在线段AB 上,所以ab+1=0,记直线AR 的斜率为k 1,直线FQ 的斜率为k 2,所以k 1=2a b1a -+,k 2=b 1122--=-b,又因为ab+1=0, 所以k 1=22a b a b 1aba a 1a a abb ---====-+-,所以k 1=k 2,即AR ∥FQ. (2)设直线AB 与x 轴的交点为D ()1x ,0,所以S △ABF =1111a b FD a b x 222-=--, 又S △PQF =a b 2-,所以由题意可得S △PQF =2S △ABF 即:a b 2- =2×12·11x 2a b ⋅--,解得x 1=0(舍)或x 1=1.设满足条件的AB 的中点为E(x,y). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB =k DE 可得2ya b x 1=+-(x≠1).而21a b y=+,所以y 2=x-1(x≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.（2017年3卷）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程．解析：（1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． ⋅1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r 1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++= 24(1)2240m m m -++⋅+=，所以⊥，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则⋅，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1.①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ，则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ =，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径r OQ =22:(3)(1)10M x y -+-=.。
高考数学全国卷分类汇编解析几何
-高考数学全国卷分类汇编(解析几何）————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:20１0－2017新课标全国卷分类汇编（解析几何)1.（２0１7课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点,过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点,AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14 Ｃ．12ﻩＤ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴ﻫ易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）ﻫcos AF P AF θ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-,1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =.ﻫ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θﻫ21616sin 2θ=≥,当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ,理15)已知双曲线2222:x y C a b-，(0a >，0b >)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为＿___＿__．【答案】233【解析】如图，OA a =，AN AM b ==ﻫ∵60MAN ∠=︒，∴32AP b =，222234OP OA PA a b =-=-∴2232tan 34b AP OP a b θ==-又∵tan b aθ=，∴223234bb a a b =-,解得223a b = ∴221231133b e a =+=+=3.(2017课标全国Ⅰ,理20）（１２分)已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，,()201P ，，3312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,4312P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. (１)求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点,若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-,证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性,必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点ﻫ将()2330112P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =,21b =ﻫ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．ﻫ(2)①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =,此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点,故不满足． ②当斜率存在时,设()1l y kx b b =+≠∶,()()1122A x y B x y ，，，ﻫ联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=ﻫ122814kb x x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+,ﻫ则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+ﻫ()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-,存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时,1y =-，所以l 过定点()21-，.4．(２017课标全国Ⅱ，理９)若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为 Ａ．2 Ｂ．3 C.2Ｄ.332【答案】A【解析】由几何关系可得,双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为22213d =-=，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为222023b a bd ca b +⨯===+， 即2224()3c a c -=,整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a ===.故选A. 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率（或离心率的取值范围)，常见有两种方法:①求出a ,c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ，c 的齐次式，结合ｂ2=c 2－a ２转化为a ，c 的齐次式,然后等式(不等式）两边分别除以ａ或ａ2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式）即可得e (e 的取值范围）.5.(2017课标全国Ⅱ，理１6)已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点,M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则=FN ．【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F',作MB l ⊥与点B ,NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-,则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==,由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=.【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化.6．(20１7课标全国Ⅱ,理2０)（１2分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆12:22=+y x C 上,过M作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NM NP 2=.（１）求点P 的轨迹方程;（2）设点Q 在直线3-=x 上,且1=⋅PQ OP ． 证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解:(1)设)(y x P ，，则)22(y x M ，,将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x ．（2)由题可知)01(，-F ,设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m PF t OQ ---=-=，，，， )3( )(n t m PQ n m OP ---==，，，．由1=⋅OQ OP 得1322=-+--n tn m m ,由(1)有222=+n m ,则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m PF OQ ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7.（201７课标全国Ⅲ，理１)已知集合Ａ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ＝{}(,)x y y x =│,则A ⋂B 中元素的个数为A.3B.2 Ｃ．1 D ．０【答案】Ｂ【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合,B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2,即A B 元素的个数为2，故选B.8．(2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a >0，ｂ>0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则Ｃ的方程为A. 221810x y -= Ｂ. 22145x y -= Ｃ. 22154x y -= D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =,则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =,则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==,则双曲线C 的方程为22145x y -=,故选B. ９．（20１7课标全国Ⅲ,理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，(ａ>b >0)的左、右顶点分别为A 1，Ａ2，且以线段Ａ1Ａ２为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 Ａ．63 B.33 Ｃ．23Ｄ.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222abd a a b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴63c e a ==，故选A10．(201７课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中,1AB =,2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为（） A ．３ﻩﻩB.22ﻩC.5ﻩ ﻩD ．２【答案】Ａ【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ,连接CE .以A 为原点，AD 为x 轴正半轴,AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =. ∴22125BD =+=. ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD .∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||2222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 的半径为255． ∵P 在C 上.∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=. 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下:00225cos 5215sin 5x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y =,(0,1)AB =，(2,0)AD =. ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴0151cos 25x μθ==+,0215sin 5y λθ==+． 两式相加得:222515sin 1cos 552552()()sin()552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤ (其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3.１１.（2017课标全国Ⅲ，理2０)(１2分)已知抛物线C ：ｙ2=２x ，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点,圆Ｍ是以线段ＡＢ为直径的圆．()A O DxyB PCE(1）证明：坐标原点Ｏ在圆M 上;(２)设圆M 过点P （４，-2）,求直线l 与圆Ｍ的方程． 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x =+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥O Ｂ故坐标原点Ｏ在圆M 上.(2)由（1)可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ,圆Ｍ的半径()2222r m m =++由于圆Ｍ过点P （4,-2）,因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由(１）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1)，圆Ｍ的半径为10,圆Ｍ的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时,直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为854，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.(2016课标全国Ⅰ,理5)已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A ）)3,1(-ﻩﻩ（B ）)3,1(-(C ）)3,0( ﻩ(D))3,0(432112344224xEDABC【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->,∴223m n m -<<由双曲线性质知:()()222234c m n m n m =++-=,其中c 是半焦距,∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选Ａ.13.（２０16课标全国Ⅰ，理１0）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点,已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 ﻩ(B ）4 ﻩ(Ｃ）６ﻩﻩ （Ｄ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设()0,22A x ，,52pD ⎛⎫- ⎪⎝⎭,点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点,52pD ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆222x y r +=上,∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②;点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③;联立①②③解得:4p =， 焦点到准线的距离为4p =.故选Ｂ.14.(2０1６课标全国Ⅰ,理２0)（本小题满分1２分)设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合,l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程; ﻩ(Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】：⑴圆A 整理为()22116x y ++=,A 坐标()1,0-，如图,BE AC ∥，则C EBD =∠∠,由,AC AD D C ==则∠∠， EBD D ∴=∠∠，则EB ED=，4||AE EB AE ED AD AB ∴+=+==>根据椭圆定义为一个椭圆,方程为22143x y +=，(0y ≠);F4 32112344224xQPNMAB()()2222222363634121||1||13434M Nm m mMN m y y mm m+++=+-=+=++⑵221:143x yC+=ﻩ；设:1l x my=+，因为PQ l⊥，设():1PQ y m x=--,联立1l C与椭圆:221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my++-=，则圆心A到PQ距离()22|11||2|11m mdm m---==++，所以2222224434||2||21611m mPQ AQ dm m+=-=-=++,())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m mS MN PQm m mm+++⎡∴=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++15.（2０1６课标全国Ⅱ,理4)圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-(C）3(D）２16.(２01６课标全国Ⅱ,理１１）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左,右焦点,点M在E上,1MF与x轴垂直,211sin3MF F∠=,则E的离心率为( )(A）2（B）32(C）3(Ｄ)２１７.（20１６课标全国Ⅱ，理20）(本小题满分１2分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上，MA NA ⊥．(Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时,求AMN ∆的面积;(Ⅱ)当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ).【解析】试题分析:（Ⅰ)先求直线的方程，再求点的纵坐标,最后求的面积;(Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组,消去，用表示，从而表示,同理用表示，再由求.试题解析：(I)设，则由题意知，当时,的方程为,.由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积．(ＩI)由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设,直线的方程为,故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于,即.由此得，或，解得.因此的取值范围是．考点：椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.18.(2016课标全国Ⅲ，理11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点,,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为（ )（A ）13 ﻩﻩ（B ）12 ﻩ（C ）23 ﻩ（D)34【答案】A考点:椭圆方程与几何性质.【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法:（1)直接求得,a c 的值，进而求得e 的值;(２)建立,,a b c 的齐次等式,求得ba 或转化为关于e 的等式求解；（3)通过特殊值或特殊位置，求出e .1９.(２０１6课标全国Ⅲ，理1６)已知直线l :330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,若23AB =,则||CD =_＿＿_＿_＿____＿____＿_.【答案】4考点:直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面,要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化),把它转化为代数问题；另一方面,由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密,因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.２0.(20１6课标全国Ⅲ，理20)(本小题满分12分）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点,交C 的准线于P Q ，两点．（Ｉ)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（ＩI ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ)21y x =-.试题解析:由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ． .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ,则222111k b a ab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ．.．.．.5分（Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去)，11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E ． 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2,所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ...．１2分 考点:1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法.【方法归纳】(１)解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明;（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法(相关点法）,利用代入法求解时必须找准主动点与从动点.2１.(2015课标全国Ⅰ,理5) 已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点,12,F F 是C 的两个焦点,若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（Ａ)33(,)33-(B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- （D)2323(,)33-答案：A解析：由条件知F１(－，０),Ｆ2（，0),＝（－-x0,－y０)，＝（-x0,－y０)，－3<０．ﻩ①又＝1，＝2＋2.代入①得，∴-<y0<２2.(2015课标全国Ⅰ,理１4)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为答案:+y2＝解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为（4,0),（0，2),(0，－2),设圆心为(ａ，0)（ａ>0)，所以=４－a，解得a=，故圆心为,此时半径ｒ＝4－,因此该圆的标准方程是+ｙ2=23.(2015课标全国Ⅰ,理20）在直角坐标系xOy中,曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。
天津高考分类汇编2002-2017-10解析几何选择填空
天津高考分类汇编2002-2017-10解析几何选择填空一、选择题（共35小题；共175分）1. 抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为A. 18B. −18C. 8D. −82. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2，焦距为2√3，则双曲线的渐近线方程为A. y=±√2xB. y=±2xC. y=±√22x D. y=±12x3. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2√5，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为( )A. x24−y2=1 B. x2−y24=1 C. 3x220−3y25=1 D. 3x25−3y220=14. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为A. x25−y220=1 B. x220−y25=1 C. 3x225−3y2100=1 D. 3x2100−3y225=15. 设椭圆x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A. x212+y216=1 B. x216+y212=1 C. x248+y264=1 D. x264+y248=16. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=√3x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为A. x236−y2108=1 B. x29−y227=1 C. x2108−y236=1 D. x227−y29=17. 设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切处的倾斜角的取值范围为[0,π4]，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为A. [0,1a ] B. [0,12a]C. [0,∣∣b2a ∣∣] D. [0,∣∣b−12a∣∣]8. 设双曲线以椭圆x225+y29=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为A. ±2B. ±43C. ±12D. ±349. 设P是双曲线x2a2−y29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x−2y=0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若∣PF1∣=3，则∣PF2∣=A. 1或5B. 6C. 7D. 910. 双曲线虚轴的一个端点为 M ，两个焦点为 F 1，F 2，∠F 1MF 2=120∘，则双曲线的离心率为 A. √3B. √62C. √63D. √3311. 若过定点 M (−1,0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 2+4x +y 2−5=0 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是 A. 0<k <√5 B. −√5<k <0 C. 0<k <√13 D. 0<k <5 12. 若 P (2,−1) 为圆 (x −1)2+y 2=25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是A. x −y −3=0B. 2x +y −3=0C. x +y −1=0D. 2x −y −5=013. 已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的 12，则其体积缩小到原来的 18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线 x +y +1=0 与圆 x 2+y 2=12 相切．其中真命题的序号是 A. ①②③ B. ①②C. ①③D. ②③14. 设椭圆x 2m 2+y 2m 2−1=1 (m >1) 上一点 P 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为 1，则 P 到右准线的距离为 A. 6B. 2C. 12D. 2√7715. 设 P 是双曲线x 2a2−y 29=1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x −2y =0 ， F 1 、 F 2 分别是双曲线的左、右焦点．若 ∣PF 1∣=3 ，则 ∣PF 2∣= A. 1 或 5B. 6C. 7D. 916. ＂ a =2 ＂是＂直线 ax +2y =0 平行于直线 x +y =1 ＂的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件17. 设双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的离心率为 √3 ，且它的一条准线与抛物线 y 2=4x 的准线重合，则此双曲线的方程为 A.x 212−y 224=1 B.x 248−y 296=1 C. x 23−2y 23=1 D. x 23−y 26=118. 如果双曲线的两个焦点分别为 F 1(−3,0) 、 F 2(3,0) ，一条渐近线方程为 y =√2x ，那么它的两条准线间的距离是A. 6√3B. 4C. 2D. 119. 椭圆的中心为点 E (−1,0)，它的一个焦点为 F (−3,0)，相应于焦点 F 的准线方程为 x =−72，则这个椭圆的方程是 A. 2(x−1)221+2y 23=1 B.2(x+1)221+2y 23=1C.(x−1)25+y 2=1 D. (x+1)25+y 2=120. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A ，B ，C ，D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b ，则双曲线的方程为 ( ) A.x 24−3y 24=1B.x 24−4y 23=1 C.x 24−y 24=1 D.x 24−y 212=121. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左焦点为 F ，离心率为 √2．若经过 F 和 P (0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ( ) A.x 24−y 24=1B.x 28−y 28=1 C.x 24−y 28=1 D.x 28−y 24=122. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线方程为 ( )A.x 24−y 212=1B.x 212−y 24=1 C.x 23−y 2=1 D. x 2−y 23=123. 已知过点 P (2,2) 的直线与圆 (x −1)2+y 2=5 相切，且与直线 ax −y +1=0 垂直，则a = A. −12B. 1C. 2D. 1224. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A (3,1)，B (−1,3)，若点 C 满足 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中有 α，β∈R 且 α+β=1，则点 C 的轨迹方程为 A. 3x +2y −11=0 B. (x −1)2+(y −2)2=5C. 2x −y =0D. x +2y −5=025. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线与抛物线 y 2=2px (p >0) 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为 2，△AOB 的面积为 √3，则 p = A. 1 B. 32C. 2D. 326. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一条渐近线过点 (2,√3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4√7x 的准线上，则双曲线的方程为 A.x 221−y 228=1B.x 228−y 221=1 C.x 23−y 24=1 D.x 24−y 23=127. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一焦点为 F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆 (x −2)2+y 2=3 相切，则双曲线的方程为A.x 29−y 213=1B.x 213−y 29=1 C.x 23−y 2=1D. x 2−y 23=128. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左顶点与抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (−2,−1)，则双曲线的焦距为 A. 2√3B. 2√5C. 4√3D. 4√529. 设抛物线 y 2=2x 的焦点为 F ，过点 M(√3,0) 的直线与抛物线相交于 A,B 两点，与抛物线的准线相交于点 C ，∣BF∣=2，则 △BCF 与 △ACF 的面积之比 S △BCFS△ACF=A. 45B. 23C. 47D. 1230. 已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1)．一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2,P3和P4（入射角等于反射角）．若P4与P0重合，则tanθ=A. 13B. 25C. 12D. 131. 已知长方形的四个顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)和D(0,1)．一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为(x4,0)，若1<x4<2，则tanθ的取值范围是A. (13,1) B. (13,23) C. (25,12) D. (25,23)32. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(√7,0)，直线y=x−1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为−23，则此双曲线的方程是A. x23−y24=1 B. x24−y23=1 C. x25−y22=1 D. x22−y25=133. 从集合{1,2,3,⋯,11}中任选两个元素作为椭圆方程x2m2+y2n2=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={(x,y)∣ ∣ x∣ <11且∣ y∣ <9}内的椭圆个数为A. 43B. 72C. 86D. 9034. 给出下列三个命题：①若a≥b>−1，则a1+a ≥b1+b；②若正整数m和n满足m≤n，则√m(n−m)≤n2；③设P(x1,y1)为圆O1:x2+y2=9上任意一点，圆O2以Q(a,b)为圆心且半径为1．当(a−x1)2+(b−y1)2=1时，圆O1与圆O2相切．其中假命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 335. 设m,n∈R，若直线(m+1)x+(n+1)y−2=0与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，则m+n的取值范围是A. [1−√3,1+√3]B. (−∞,1−√3]∪[1+√3,+∞)C. [2−2√2,2+2√2]D. (−∞,2−2√2]∪[2+2√2,+∞)二、填空题（共21小题；共105分）36. 已知圆C的圆心是直线x−y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为．37. 已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线C2:x24−y216=1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(√5,0)，则a=，b=．38. 已知抛物线 y 2=8x 的准线过双曲线 x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为 ．39. 已知两圆 x 2+y 2=10 和 (x −1)2+(y −3)2=20 相交于 A,B 两点，则直线 AB 的方程是 ．40. 椭圆 5x 2−ky 2=5 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k = ．41. 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M (0,√5) 在圆 C 上，且圆心到直线 2x −y =0 的距离为 4√55，则圆 C 的方程为42. 已知抛物线 C 的参数方程为 {x =8t 2y =8t（t 为参数），若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆 (x −4)2+y 2=r 2(r >0) 相切，则 r = ．43. 若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y =√33x (x ≥0) 相切，则这个圆的方程为 ．44. 已知圆 C 的圆心是直线 {x =t,y =1+t (t 为参数) 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x +y +3=0相切，则圆 C 的方程为 ．45. 设直线 l 1 的参数方程为{x =1+ty =1+3t（ t 为参数），直线 l 2 的方程为 y =3x +4 ，则 l 1 与 l 2 间的距离为 ．46. 如果过两点 A (a,0) 和 B (0,a ) 的直线与抛物线 y =x 2−2x −3 没有交点，那么实数 a 的取值范围是 ．47. 若圆 x 2+y 2=4 与圆 x 2+y 2+2ay −6=0(a >0) 的公共弦的长为 2√3，则 a = ． 48. 设抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ．已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ．若 ∠FAC =120∘，则圆的方程为 ．49. 在极坐标系中，直线 4ρcos (θ−π6)+1=0 与圆 ρ=2sinθ 的公共点的个数为 ．50. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一条渐近线方程是 y =√3x ，它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同．则双曲线的方程为 ．51. 已知圆 C 的圆心与抛物线 y 2=4x 的焦点关于直线 y =x 对称，直线 4x −3y −2=0 与圆 C 相交于 A ，B 两点，且 ∣AB∣=6，则圆 C 的方程为 ．52. 已知圆 C 的圆心与点 P (−2,1) 关于直线 y =x +1 对称．直线 3x +4y −11=0 与圆 C 相交于A ，B 两点，且 ∣AB ∣=6，则圆C 的方程为 ．53. 设 m,n ∈R ，若直线 l:mx +ny −1=0 与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B ，且 l 与圆 x 2+y 2=4 相交所得弦的长为 2，O 为坐标原点，则 △AOB 面积的最小值为 ．54. 已知抛物线的参数方程为 {x =2pt 2,y =2pt（t 为参数），其中 p >0，焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E ，若 ∣EF ∣=∣MF ∣，点 M 的横坐标是 3，则 p = ． 55. 设直线 ax −y +3=0 与圆 (x −1)2+(y −2)2=4 相交于 A 、 B 两点，且弦 AB 的长为 2√3，则 a = ．56. 设抛物线 {x =2pt 2,y =2pt，（t 为参数，p >0）的焦点为 F ，准线为 l ．过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B ．设 C (72p,0)，AF 与 BC 相交于点 E ．若 ∣CF ∣=2∣AF ∣，且 △ACE 的面积为 3√2，则 p 的值为 ．答案第一部分 1. B2. C3. A【解析】由题意，得 c =√5，b a =12，解得 a =2,b =1，所以双曲线的方程为x 24−y 21=1．4. A【解析】依题意得{b =2a,c =5,c 2=a 2+b 2,所以a 2=5,b 2=20,双曲线的方程为x 25−y 220=1. 5. B【解析】抛物线的焦点为 (2,0)，椭圆中，m >n ，√m 2−n 2=2，2m =12，解得 m =4，n =2√3． 6. B【解析】因为抛物线 y 2=24x 的准线方程为 x =−6 ，则在双曲线中有 a 2+b 2=(−6)2=36 ⋯⋯① ， 又因为双曲线x 2a2−y 2b 2=1 的渐近线为 y =√3x ，所以 ba =√3 ⋯⋯② ，联立①②解得 {a 2=9,b 2=27,所以双曲线的方程为 x 29−y 227=1 ． 7. B 【解析】提示：画出 f (x ) 的草图，如图所示，fʹ(x )=2ax +b ，由倾斜角的取值范围为 [0,π4] 可知斜率的取值范围为 [0,1]，即 0≤2ax +b ≤1，解得 −b2a ≤x ≤1−b2a，所以点 P 距离对称轴的距离的取值范围是 [0,12a ]． 8. C9. C【解析】渐近线为 y =3x 2，可求得 ∣a ∣=2，再根据双曲线的定义，∣∣PF 2∣−∣PF 1∣∣=2∣a ∣=4，于是可得 ∣PF 2∣=7 或 −1（舍）． 10. B【解析】由 ∠F 1MF 2=120∘，可得 ∠OMF 2=60∘，所以 tan60∘=∣OF 2∣∣OM∣=cb=√3，即 c =√3b ，又 a 2=c 2−b 2=2b 2，a =√2b ，所以双曲线的离心率 e =ca=√62．11. A 12. A 13. C 14. B 【解析】2a =2m =3+1⇒m =2，根据椭圆的第二定义，设 P 到右准线的距离为 x ，可知：1x =e =ca =2c2a =24=12，∴ x =2． 15. C【解析】提示：y =32x =3∣a∣x ，所以 ∣a ∣=2，∣∣∣PF 1∣−∣PF 2∣∣∣=2∣a ∣=4，所以 ∣PF 2∣=7． 16. C 17. D 18. C 19. D 【解析】由题意知，c =∣−1−(−3)∣=2，a 2c=∣∣−72−(−1)∣∣=52，联立可得，c =2，a =√5，于是 b =1，∴ 椭圆的方程为 (x+1)25+y 2=1．20. D【解析】渐近线 OB:y =b2x ．设 B (x 0,b2x 0)，则 12⋅x 0⋅b2x 0=2b8，所以 x 0=1，B (1,b2)，又 12+b 24=22，所以 b 2=12，所以x 24−y 212=1．21. B 【解析】设双曲线的左焦点 F (−c,0)，离心率 e =ca =√2，c =√2a ，则双曲线为等轴双曲线，即 a =b ，双曲线的渐近线方程为 y =±ba x =±x ，则经过 F 和 P (0,4) 两点的直线的斜率 k =4−00+c =4c ，则 4c =1，c =4，则 a =b =2√2， 所以双曲线的标准方程：x 28−y 28=1．22. D 【解析】双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为 2 的等边三角形（O 为原点）， 可得 c =2，ba =√3，即b 2a 2=3，c 2−a 2a 2=3，解得 a =1，b =√3，双曲线的焦点坐标在 x 轴，所得双曲线方程为：x 2−y 23=1．23. C 【解析】由题意知点 P (2,2) 在圆 (x −1)2+y 2=5 上，设切线的斜率为 k ，则 k ⋅2−02−1=−1，解得 k =−12，直线 ax −y +1=0 的斜率为 a ，其与切线垂直，所以 −12a =−1，解得 a =2． 24. D 【解析】点 C 满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中有 α+β=1，则 A 、 B 、 C 三点共线．所以 C 的轨迹为 x +2y −5=0． 25. C【解析】由题意得 A (−p 2,bp2a )，S △OAB =12×p2×bp a=√3，又因为 ba=√3，所以 p =2．26. D 【解析】提示：√3=2ba，c =√7，c 2=a 2+b 2，联立可求．27. D 【解析】提示：圆心 (2,0) 到双曲线的一条渐近线 y =ba x 的距离为 √3，再结合 c =2，即可求得．28. B 【解析】由双曲线的左顶点 (−a,0) 与抛物线焦点 (p2,0) 的距离为 4，得 p2+a =4⋯①．由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−2,−1)，得{−p2=−2,−1=ba×(−2).⋯②由①②解得{a=2,b=1,p=4.∴c=√5，焦距为2√5．29. A 【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则∣BF∣=x2+12=2，所以x2=32，代入抛物线方程得y2=±√3，不妨设y2=√3，则B(32,√3)，由A、B、M三点共线得k AM=k BM1x−√3=√332−√3，再由y12=2x1，综合可得y1=−2或y1=√3（舍），所以A(2,−2)，于是S△BCFS△ACF =∣BC∣∣AC∣=∣BF∣∣AF∣=45．30. C31. C 【解析】如图所示：由∠P1P0B=θ，可推出∠CP2P1=∠DP2P3=∠P3P4A=θ．因为P0B=1，所以P1B=tanθ，P1C=1−tanθ，P2C=1tanθ−1，P2D=3−1tanθ，DP3=3tanθ−1，P3A=2−3tanθ，AP4=2tanθ−3，又1<x4<2，故1<2tanθ−3<2，所以tanθ∈(25,12)．其他方法：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tanθ=12．但由题设条件，知1<x4<2，则tanθ≠12，这样就可以淘汰掉A，B，D．32. D 【解析】设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，联立直线方程与双曲线方程，得{y=x−1,x2a2−y2b2=1，消y得(b2−a2)x2+2a2x−a2−a2b2=0．设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由韦达定理可知x1+x2=2a2a2−b2，则x1+x22=a2a2−b2=−23．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是x22−y25=1．33. B 【解析】椭圆要落在矩形内，需要满足：m≠n，且m≤10，n≤8．分两种情况考虑：一类是m≤8，此时有选法A82=56种；另一类是m从9,10中任选一个，n从1到8中任选，有2×8=16种，所以满足题意的椭圆个数是56+16=72．34. B 【解析】① f (x )=x 1+x =1−11+x 在 (−1,+∞) 上为增函数，故①真；由均值不等式知②真；③由题意知点 P 为圆 O 1,O 2 的交点，得不出其他结论，故③假，假命题个数为 1． 35. D【解析】∵ 直线 (m +1)x +(n +1)y −2=0 与圆 (x −1)2+(y −1)2=1 相切， ∴ 圆心 (1,1) 到直线的距离为d =()()√(m +1)2+(n +1)2=1,所以mn =m +n +1≤(m +n 2)2,设 t =m +n ，则 14t 2≥t +1，解得t ∈(−∞,2−2√2]∪[2+2√2,+∞).第二部分36. (x +1)2+y 2=2 37. 1；2【解析】提示：b a =2，a 2+b 2=5． 38. x 2−y 23=139. x +3y =0 40. −141. (x −2)2+y 2=9【解析】设 C (a,0)，其中 a >0，则 √5=4√55，解得 a =2，从而 r =√22+5=3，故圆 C 的方程为(x −2)2+y 2=9． 42. √243. (x −1)2+(y −√3)2=1 44. (x +1)2+y 2=2 45. 3√10546. (−∞,−134)【解析】过两点 A (a,0) 和 B (0,a ) 的直线为 y =−x +a ．因为直线与抛物线 y =x 2−2x −3 没有交点．所以 {y =−x +ay =x 2−2x −3 没有解，即函数 f (x )=x 2−x −3−a 没有零点．所以 Δ<0，即 1+4(3+a )<0，得 a <−134． 47. 1【解析】两圆公共弦所在的直线方程为 (x 2+y 2−4)−(x 2+y 2+2ay −6)=0，即 y =1a ．圆 x 2+y 2+2ay −6=0 的半径为 √a 2+6，圆心为 (0,−a )，所以弦心距为 a +1a ，所以 (√3)2+(a +1a )2=a 2+6，解得 a =1．48. (x +1)2+(y −√3)2=149. 250. x 24−y 212=1【解析】因为渐近线方程为 y =√3x ，所以 b a =√3，因为它的焦点和抛物线 y 2=16x 的焦点相同，所以 c =4，然后根据 c 2=a 2+b 2 可求得 a ，b 的值．51. x 2+(y −1)2=10【解析】抛物线的焦点为 (1,0)，则圆心坐标为 (0,1)．圆心到直线 4x −3y −2=0 的距离为 √16+9=1，又弦长为 6，则圆的半径为 √12+32=√10．故圆 C 的方程为 x 2+(y −1)2=10． 52. x 2+(y +1)2=18【解析】设圆 C 的圆心 C 的坐标为 (a,b )，直线 CP 的斜率为 b−1a+2=−1，CP 的中点在直线 y =x +1 上，即 b+12=a−22+1．联立上面两个方程可解出 a =0，b =−1．设圆的方程为 x 2+(y +1)2=r 2，则 C 到 AB 的距离为 √32+42=3，因此 r 2=(62)2+32=18，于是圆 C 的方程为 x 2+(y +1)2=18．53. 3【解析】根据直线方程，得 A (1m ,0),B (0,1n )．由直线 l 被圆截得的弦长为 2，得圆心 O 到直线 l 的距离为 √3，即 √m 2+n 2=√3，整理得 m 2+n 2=13． 因此，根据均值不等式，得 S △AOB =12×1∣m∣⋅∣n∣=12∣mn∣≥1m 2+n 2=3．当且仅当 ∣m ∣=∣n ∣ 时，S △AOB 取得最小值 3．54. 2【解析】将抛物线的参数方程化为抛物线的标准方程为y 2=2px (p >0),∵ 点 M 的横坐标是 3，则 M(3,±√6p)，E (−p 2,±√6p)， ∣EF ∣2=(p 2+p 2)2+(√6p)2. 由抛物线的几何性质，得∣MF ∣=p 2+3, 因为∣EF ∣=∣MF ∣,所以 p 2+6p =14p 2+3p +9, 解得 p =2．55. 056. √6【解析】x ，y 满足函数 y 2=2px ，所以F(p2,0)，所以CF=3p，AB=AF=32p，可得：A(p,√2p)．易知△AEB∽△FEC，AEFE =ABFC=12，故S△ACE=13S△ACF=13×3p×√2p×12=√22p2=3√2，所以p2=6，因为p>0，所以p=√6．。
解析几何大题精选题,共四套(答案)
解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一）1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。
（1） 求实数b 的值；（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B两点，直线l 的倾斜角为60o ，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =u u u u r u u u u r ,求椭圆C 的方程.解析几何大题训练（二）1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =u u u r u u u r . (I) 求椭圆C 的离心率；(II)如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P ,圆心为P 。
2017年高考试题分类汇编(解析几何)
2017年高考试题分类汇编（解析几何）考点1 直线与圆的方程1.（2017·天津文科）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=，则圆的方程为 . 22(1)(1x y -+=2.（2017·全国卷Ⅲ文科）在直角坐标系xoy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于,A B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （Ⅰ）能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由； 不能出现 （Ⅱ）证明过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 3 考点2 椭圆的方程与性质 考法1 椭圆的方程1.（2017·全国卷Ⅰ理科）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，3(1,2P -，4(1,2P 中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程. 2214x y +=（Ⅱ）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于,A B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点.2.（2017·全国卷Ⅱ文科理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程. 222x y +=（Ⅱ）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .3.（2017·北京文科）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x（Ⅰ）求椭圆C的方程.221 4xy+=（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点,M N,过D 作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE∆与BDN∆的面积之比为4:5．4.（2017·天津理科）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)y px p=>的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程.22413yx+=, 24y x=.（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD△AP的方程.5.（2017·山东理科）在平面直角坐标xOy中，椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程.221 2xy+=6.（2017·山东文科）在平面直角坐标xOy中，椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为,椭圆C截直线1y=所得线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C的方程.221 42x y+=考法2 椭圆的性质1.（2017·浙江卷）椭圆22194x y +=的离心率是 BA.3 B. 3C. 23D. 592.（2017·全国卷Ⅰ文科）设,A B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C上存在点M 满足120AMB ∠=，则m 的取值范围是 AA ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞3.（2017·全国卷Ⅲ文科理科）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >0b >)的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3B ．3C ．3D ．13A考点2 抛物线的方程与性质1.（2017·全国卷Ⅰ理科）已知F 为抛物线C :24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则AB DE +的最小值为 A A ．16 B ．14 C ．12 D ．102.（2017·全国卷Ⅱ理科）已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ．163.（2017·全国卷Ⅱ文科）过抛物线C :24y x =的焦点F 交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为 C4.（2017·全国卷Ⅰ文科）设,A B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（Ⅰ）求直线AB 的斜率； 1k =.（Ⅱ）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程. 7y x =+5.（2017·全国卷Ⅲ文科理科）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与AB 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O 在圆M 上；（Ⅱ）设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．当1m =时，20x y --=,22(3)(1)10x y -+-=；当12m =-时，240x y +-=,229185()()4216x y -++=.6.（2017·北京理科）已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)P .过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点,A B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；2y x =. （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点. 考点3 双曲线的方程与性质 考法1 双曲线的方程1.（2017·全国卷Ⅲ理科）已知双曲线C ：22221x y a b -= (0a >,0b >)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 B A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 2.（2017·天津卷文科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为 DA.221412x y -=B.221124x y -= C.2213x y -= D. 2213y x -= 3.（2017·天津卷理科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 BA.22144x y -= B.22188x y -= C.22148x y -= D.22184x y -= 4．（2017·全国卷Ⅰ文科）已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则APF ∆的面积为 D A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2考法2 双曲线的性质 考向1 双曲线的离心率1.（2017·北京卷文科理科）若双曲线221y x m-=则实数m =_．2 2.（2017·全国卷Ⅰ理科）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点.若60MAN ∠=，则C 的离心率为_____.e =3.（2017·全国卷Ⅱ理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A A ．2 B4.（2017·全国卷Ⅱ文科）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. +∞）B. 2）C. D. 12（，） C 考向2 双曲线的渐近线1.（2017·全国卷Ⅲ文科）双曲线22219x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 5a = 2．（2017·山东卷）在平面直角坐标系xoy 中,双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的右支与焦点为F 的抛物线22x py =(0)p >,交于,A B 两点,若AF BF +4OF =,则该双曲线的渐近线方程为 . y x =.。
新高考专点专练解答题解析几何部分(天津历年高考真题汇编)
（1）求椭圆的离心率 ；
（2）设直线 与椭圆相交于 ， 两点，若直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求椭圆的方程．
13.已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为 ，点 在线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值．
（1）若直线 与 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；
（2）若 ，证明直线 的斜率 满足 ．
8.椭圆的中心是原点 ，它的短轴长为 ，相应于焦点 的准线 与 轴相交于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）设 ，过点 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 ，证明： ．
16.设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点， ，原点 到直线 的距离为 ．
（1）证明： ；
（2）求 使得下述命题成立：设圆 上任意点 处的切线交椭圆于 两点，则 ．
17.已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，离心率为 ．
（1）求直线 的斜率；
（2）设直线 与椭圆交于点 （ 异于点 ），过点 且垂直于 的直线与椭圆交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴交于点 ， ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 为椭圆的左顶点， 为坐标原点．若点 在椭圆上且满足 ，求直线 的斜率的值．
3.椭圆的中心是原点 ，它的短轴长为 ，相应于焦点 的准线 与 轴相交于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若 ，求直线 的方程．
4.设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ．已知 是抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 ．
2002年全国高考(天津卷)数学试题及答案(理)
实用文档2002年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
第一卷1至2页。
第二卷3至10页。
共150分。
考试用时120分钟。
第一卷（选择题共60分）注意事项：1、 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。
2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 互相独立，那么 P （AB ）=P （A ）P （B ）如果事件A 在试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k knn P P C k P --=)1()( 正棱锥、圆锥的侧面积公式 cl S 21=锥侧实用文档其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长球的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径。
一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）曲线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（A ）21（B ）22 （C ）1 （D ）2（2）复数3)2321(i +的值是 （A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1（3）已知m 、n 异面直线，l l n m ，则，平面，平面=⋂⊂⊂βαβα（A ） 与m 、n 都相交 （B ）与m 、n 中至少一条相交 （B ） 与m 、n 都不相交 （D ）至多与m 、n 中的一条相交（4）不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是 （A ）{}10<≤x x （B ）{}10-≠<x x x 且 （C ）{}11<<-x x （D ）{}11-≠<x x x 且实用文档（5）在（0,2π）内，使sinx>cosx 成立的x 取值范围为（A ）)45,()2,4(ππππ⋃ （B ）),4(ππ（C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ⋃（6）设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N Z k k x x M ,214,,412则（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃（D ）φ=⋂N M（7）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1,侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 独角戏与BC 1所成的角是 （A ）900 （B ）600 （C ）450 （D ）300（8）函数),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是（A ） b ≥0 （B ）b ≤0 （C ）b>0 （D ）b<0（9）已知10<<<<a y x ，则有（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a（C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a（10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C 满足OB OA OC βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为：（A）3x-2y-11=0 （B）(x-1)2+(y-2)2=5（C） 2x-y=0 （D）x+2y-5=0（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（A）8种（B）12种（C）16种（D）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%。
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（2）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ．若 ，且 ，求直线 的斜率的取值范围．
11.已知两点 ， ，且点 使 ， ， 成公差小于零的等差数列．
（1）点 的轨迹是什么曲线?
（2）若点 坐标为 ，记 为 与 的夹角，求 ．
12.已知常数 ，向量 ．经过原点 以 为方向向量的直线与经过定点 以 为方向向量的直线相交于点 ，其中 ．试问：是否存在两个定点 ，使得 为定值．若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由．
（2）设直线 与椭圆交于点 （ 异于点 ），过点 且垂直于 的直线与椭圆交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴交于点 ， ．
①求 的值；
②若 ，求椭圆的方程．
22.已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的ຫໍສະໝຸດ 积为 ．（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为 ．
17.已知中心在原点的双曲线 的一个焦点是 ，一条渐近线的方程是 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若以 为斜率的直线 与双曲线 相交于两个不同的点 ， ，且线段 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围．
18.抛物线 的方程为 ，过抛物线 上一点 作斜率为 ， 的两条直线分别交抛物线 于 ， 两点（ ， ， 三点互不相同），且满足 ．
13.设椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，点 在椭圆上且异于 ， 两点， 为坐标原点．
（1）若直线 与 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；
（2）若 ，证明直线 的斜率 满足 ．
14.设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．点 满足
（1）求椭圆的离心率 ；
（2）设直线 与椭圆相交于 ， 两点，若直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求椭圆的方程．
（i）若 ，求直线 的倾斜角；
（ii）若点 在线段 的垂直平分线上，且 ．求 的值．
23.设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是椭圆上的一点， ，原点 到直线 的距离为 ．
（1）证明 ；
（2）设 为椭圆上的两个动点， ，过原点 作直线 的垂线 ，垂足为 ，求点 的轨迹方程．
24.如图，双曲线 的离心率为 ． ， 分别为左、右焦点， 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 ．
15.已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为 ，点 在线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值．
16.某人在一山坡 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高 （米），塔所在的山高 （米）， （米），图中所示的山坡可视为直线 且点 在直线 上， 与水平地面的夹角为 ， ．试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 最大（不计此人的身高）．
（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（2）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于 ），直线 与 轴相交于点 ．若 的面积为 ，求直线 的方程．
5.已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 的坐标为 ， 的面积为 ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点 在线段 上， ，延长线段 与椭圆交于点 ，点 ， 在 轴上， ，且直线 与直线 间的距离为 ，四边形 的面积为 ．
9.设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ．已知 ，其中 为原点， 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，且 ，求直线 的斜率.
10.设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ．已知 ，其中 为原点， 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 为椭圆的左顶点， 为坐标原点．若点 在椭圆上且满足 ，求直线 的斜率的值．
3.椭圆的中心是原点 ，它的短轴长为 ，相应于焦点 的准线 与 轴相交于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若 ，求直线 的方程．
4.设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 ．已知 是抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 ．
天津高考分类汇编2002-2017-10-1解析几何大题
一、解答题（共25小题；共325分）
1.设椭圆 的左、右焦点分别为 ，右顶点为 ，上顶点为 ．已知 ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 为直径的圆经过点 ，经过点 的直线 与该圆相切与点 ， ．求椭圆的方程．
2.已知椭圆 ，点 在椭圆上．
（i）求直线 的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
6.设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ，已知 ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 为直径的圆经过点 ，经过原点 的直线 与该圆相切．求直线 的斜率．
7.椭圆的中心是原点 ，它的短轴长为 ，相应于焦点 的准线 与 轴相交于点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点．
20.已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆上且位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为 ， ．
（1）求直线 的斜率；
（2）求椭圆的方程；
（3）设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）的斜率的取值范围．
21.已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，离心率为 ．
（1）求直线 的斜率；
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）设 ，过点 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 ，证明： ．
8.已知椭圆 的两个焦点分别为 和 ，过点 的直线与椭圆相交于 两点，且 ， ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线 的斜率；
（3）设点 与点 关于坐标原点对称，直线 上有一点 在 的外接圆上，求 的值．
（1）求抛物线 的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线 上一点 ，满足 ，证明线段 的中点在 轴上；
（3）当 时，若点 的坐标为 ，求 为钝角时点 的纵坐标 的取值范围．
19.设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点， ，原点 到直线 的距离为 ．
（1）证明： ；
（2）求 使得下述命题成立：设圆 上任意点 处的切线交椭圆于 两点，则 ．