(优选)能量原理与变分法

弹塑性力学
（优选）能量原理与变分法
土木工程与力学学院 ·罗文波
§12-2 外力功和变形能的计算
外力功的计算：
F
F
F
o
F1 A
1
M2
B
2
在线弹性范围内:
W F 2
F ——广义力
——广义位移
梁为非弹性体时：
W
0
1
F1
d
1
0
M2 d
梁为弹性体时：
W
1 2
F11
1 2
M 2 2
变形能的计算：
如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）F，1、F2 Fn
求：各杆的变形能。
(c)
(a)
(b)
Ua Ub Uc ?
特性1：计算U时不 能用叠加原理。
P1
Na P1
Ua
P12l 2EA
P2
Nb P2
Ub
P22l 2EA
P1
P2
Nc P1 P2
Uc
(P1 P2 )2 l 2EA
对于 杆C
先加 P1
l1
P1l EA
1 2
P1l1
再加P2
l2
P2l EA
Uc
1 2
P1l1
1 2
P2l2
P1l2
P12l P22l P1P2l 2EA 2EA EA
特性2：U 只与载荷的最终数值有关； 与加载方式无关。
杆件在基本变形情况下的变形能：
变形形式
外力功
位移与力的 关系
W 1 Fl 2
FN
F
,
l
FN l EA
W 1 F
2
FQ
F
,
FQl GA
W
1 2
M
zsXxuudAdxxYzsyvvAdydyZzwsAwzzd
ddnd d
Axl Aym Azn d
xs
d x
s d
yy
zs
d z
s
xy
d xy
s
yz
d yz
s
zx
d zx
d
S Su
s x
l
ysxm
s zx
n
-
X
ud
xsyl
s y
m
s zy
n
Y
vd
xszl
s yz
m
s z
x
s y
y
s zy
z
vd
s xz
x
s yz
y
s z
z
w
d
d
S Su
Xud Yvd Zwd
d
x
s x
u
d
v s d
xy
w s d
xz
y
ysxu d
s y
vd
s y
z
w
d
z
u s d
zx
v s d
zy
s z
w
d
d
xs
d x
ys
d y
zs
d z
s
xy
n
Z
wd
产生相应的广义位移（包括角位移）1、2n ，那么 非线性弹性体的变形能：
线性弹性体的变形能：
U
W
n i 0
Fi d i
i 1
U
W
1 2
F11
1 2
F2
2
1 2
Fn
n
克拉比隆（ Clapeyron ）原理：弹性体的变形能等于广义力与其 相应广义位移乘积之半的总和。
例：现有a，b，c三根杆，已知其长度l 和刚度EA 相等，
Xud Yvd Zwd d Xud Yvd Zwd d
S Su
xs
d x
ys
d y
zs
d z
s
xy
d xy
来自百度文库
s
yz
d yz
s
zx
d zx
d
证明:
Xud Yvd Zwd d Xud Yvd Zwd d
S Su
s x
x
s y
x
y
s zx
z
u d
s xy
s x
syx
s zx
X
0
x y z
s xy
s y
s zy
Y
0
x y z
s xz
s yz
s z
Z
0
x y z
➢ 在静力边界上满足静力边界条件
sz l
s yx
m
szx n
X
szy
l
s y
m
s zy
n
Y
s xz
l
s yz
m
s z
n
Z
➢ 在位移边界上，其反力由上式给出
变形可能状态
➢ 在物体内位移与应变满足几何方程
积分方程（能量的变分为零）
变分法
变分法与微分方程的描述，两者可以转化 变分法是有限元方法的基础
静力可能状态
➢ 物体Q，在内部受体力(X，Y，Z)作用，
➢
在静力边界S上受面力(X ，Y ，Z )作用
S( X, Y,
外力与内力(应力） 处处（物体内和边界上） 满足平衡。
(X,Y,Z ) Su
➢ 在物体内满足平衡微分方程
dx
ud x
d xy
ud y
vd x
dy
v d x
d yz
v d z
w d y
d z
w d z
d zx
w d x
ud z
➢ 在位移边界Su上，满足位移边界条件
ud= u
vd= v
wd= w
变形协调
静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的 受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系
静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调 变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程
可能功原理
外力（体力和面力，包括反力）在变形可能的位移上所做功 ＝ 内力（应力）在变形可能的应变上所做功
S(X,Y,Z)
u d, vd,wd
(X,Y,Z) s
ij
Su
d ij Su (ud=u,v d=v,wd=w)
d xy
s
yz
d yz
s
zx
d zx
d
S Su
Xud Yvd Zwd
d
S
Su
s x
d x
s x
u
d
s xy
v
d
ys
d y
s xz
w
d
l
s d
zz
s
xy
d xy
ysxu d
s y
z
s y
散vd 度 y定szw理d m
d d
sd
yz zx zx
S Su
d(l )
1 M d
2
1T d
2
1 2
kFQ
d
FN2 d x M 2 d x T 2 d x kFQ2 d x
整个杆的变形能 2EA 2EIz 2GI p 2GA
U
l
FN2 d x 2EA
l
M2 d x 2 EI z
T2d
l 2GI
x
p
l
kFQ2 d 2GA
x
注意：对以抗弯为主的杆件及杆系，因轴力和剪力远小于
e
T
Me
,
Tl GI p
W
1 2
Me
M
Me
,
Ml EI z
变形能
U FN2 l 2EA
U FQ2l 2GA
U T 2l 2GI p
U M 2l 2 EI z
组合变形情况下杆件的变形能：
在所截取的微段内，可
以认为内力为常量。轴
力、剪力、弯矩、扭矩
对微段来说是处于外力
位置。所以
dU
dW
1 2 FN
1 2
P2l2
P1l2
Uc
1 2
P1l1
1 2
P2
l2
P1l2
Ua Ub P1l2
(a)
(b)
(c)
Uc
(P1 P2 )2 l 2EA
P1
P2
P1
P2
对于
先加 P1
l1
P1l EA
1 2
P1l1
杆C
再加P2
l2
P2l EA
1 2
P2l2
P1l2
P12l P22l P1P2l 2EA 2EA EA
弯矩对变形的影响，所以在计算这类杆件的变形时
通常不计轴力和剪力的影响。
思考：变形能的计算能不能用叠加原理
M M1 M2
U ? U1 U2
M1
U1
M
2 1
dx
2EI
M2
U2
M 22dx 2EI
能量原理与变分法
静力平衡
材料质点（微单元体） 变形几何 物理关系
偏微分方程
整个变形体的能量