(优选)能量原理与变分法

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能量原理与变分法

1 M e 2
Ml M Me , EI z
土木工程与力学学院 · 罗文波
7
弹塑性力学
组合变形情况下杆件的变形能：在所截取的微段内，可以认为内力为常量。轴力、剪力、弯矩、扭矩对微段来说是处于外力位置。所以
d U dW
整个杆的变形能
1 1 1 1 FN d( l ) M d T d kFQ d 2 2 2 2 2 2 FN d x M 2 d x T 2 d x kFQ d x 2 EA 2 EI z 2GI p 2GA
土木工程与力学学院 · 罗文波
3
弹塑性力学
变形能的计算：
F1、F2 Fn 如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）， 1、 2 n ，那么产生相应的广义位移（包括角位移）
非线性弹性体的变形能：
U W 0 Fi d i
i 1 n i
线性弹性体的变形能：
1 1 1 U W F1 1 F2 2 Fn n 2 2 2
弹塑性力学
能量原理与变分法
土木工程与力学学院 · 罗文波
弹塑性力学
§12-1 外力功变形能
外力功：弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用点将沿外力的作用方向产生位移（相应位移）。外力在相应位移上所作的功称为外力功。变形能：在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为变形能。外力功和变形能的关系：若外力从零平缓地增加到最终值，则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。即： W U 能量法：利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位移、内力的原理和方法，称为能量法。

第11章能量原理与变分法

将（11-4）及式（c）代入，得
U x u y v z w yz w v y z z x y （d） zx u w xy v u dxdydz x y z x 对每一项进行分部积分，并应用奥斯特洛格拉斯公式，可得 x u d x d y d z u d x d y d z x x x x x udxdydz x l x udS udxdydz x
U1 U1 U1 x， y， z x y z 11 2 U1 U1 U1 yz， zx， xy yz zx xy 弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，等于相应的形变分量。
第十一章能量原理与变分法来自
§11.1 §11.2 §11.3 §11.4 §11.5 §11.6 §11.7 §11.8 §11.9 §11.10
弹性体的形变势能位移变分方程位移变分法位移变分法应用于平面问题应力变分方程应力变分法应力变分法应用于平面问题应力变分法应用于扭转问题解答的唯一性功的互等定理
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
代入位移变分方程（11-6）式
X u Y v Z w dxdydz X u Y v Z w dS dxdydz
实际存在的位移，满足位移边界条件、用位移分量表示的平衡微分方程和应力边界条件、位移变分方程。位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边界条件。
4. 伽辽金变分方程根据几何方程，形变分量的变分为

能量原理及其变分法

U Xu Yv Zw ds Xu Yv Zw dV ]
S V

于是
进一步证明可知， 2P 2U 2W 0
对于稳定平衡状态，总势能为极小值。
P 0
第四章能量原理及其变分法
于是得出最小势能原理：
第四章能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
y dy __ Y
xy
xy dy y 2
x
在变形体边界处，各微元体满足
xl xy m X 0 xy l y m Y 0
o
x dx y dy ds __ x 2 dx X y y 2 xy dx xy x 2 yx y dy dy yx y dy y y x x dx x Y x xy X
xy yx
xy
dx
§ 4-3 最小势能原理
按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变
能的变分δ U，应等于外力的总虚功δ W，即 U W 其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移上所做的功，即 W X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV
X u Y v ds X u Y v dV
x
x
y y xy xy dV
S
V
V
第四章能量原理及其变分法
所以
x xy xy y X u Y v dV x y y x V

变分法原理

变分法原理变分法是数学中一种非常重要的方法，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。

变分法的核心思想是寻找函数的极值，通过对函数进行微小的变化，来求解极值问题。

在本文中，我们将介绍变分法的基本原理及其在不同领域中的应用。

首先，让我们来看一下变分法的基本原理。

对于一个函数f(x)，我们希望找到它的极值点。

为了简化问题，我们可以假设函数f(x)在一个区间[a, b]上连续且可微。

现在，我们要找到一个函数φ(x)，它在区间[a, b]上也连续且可微，并且满足φ(a)= α，φ(b) = β，其中α和β为给定的常数。

我们定义一个新的函数J(φ) = ∫[a, b] L(x, φ(x), φ'(x)) dx，其中L(x, y, y')为关于x, y, y'的函数。

那么，我们的目标就是找到一个φ(x)，使得J(φ)取得极值。

为了实现这一目标，我们引入变分。

对于φ(x)，我们对它进行微小的变化，即φ(x) + εη(x)，其中ε为一个足够小的正数，η(x)为任意的可微函数，并且满足η(a) = η(b) = 0。

然后，我们计算J(φ(x) + εη(x))关于ε的导数，并令其为0。

通过求解这个方程，我们可以得到一个关于η(x)的方程。

这个方程就是欧拉-拉格朗日方程，它是变分法的基本方程之一。

通过欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到φ(x)满足的微分方程。

解这个微分方程，就可以得到函数φ(x)的表达式。

这个表达式就是我们要找的函数，它使得J(φ)取得极值。

这就是变分法的基本原理。

除了数学中的应用，变分法在物理学中也有着重要的应用。

例如，它可以用来求解拉格朗日力学中的运动方程，以及量子力学中的路径积分。

在工程学中，变分法可以用来求解弹性力学中的边界值问题，以及优化问题中的约束条件。

在经济学中，变分法可以用来求解效用最大化和生产函数最优化等问题。

总之，变分法是一种非常重要的数学方法，它在不同领域中都有着广泛的应用。

能量原理与变分法

最小势能原理
• 内力虚功
物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功
对于整个弹性体
内力虚功＝应变能因虚位移而引起的改变
• 外力虚功
如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用点的位置改变
外力虚功＝外力势能因虚位移而引起的改变
将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理
称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和
变形可能态
➢ 在物体内位移与应变满足几何方程
➢ 在位移边界Su上，满足位移边界条件
ud=
vd=
wd=
变形协调
静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系
静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程
使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看作是位移的函数。
若位移及与之相应的应力与应变满足：（1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件），（2）位移边界条件，（3）平衡微分方程，（4）静力边界条件，则该位移就是问题的解，即为真实位移。
仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后两个条件等价于虚位移原理。故求解弹性力学问题又可叙述为： (1)在所有变形可能的位移场中，寻找所给出的应力能满足虚位移原理的位移场。或者 (2) 真实的位移场除必须是变形可能的位移外，它所给出的应力还应满足虚位移原理。
➢ 从弹性体的真实状态出发产生虚位移，所引起的总势能变分应为零，即在真实状态总势能取极值。
➢ 对于处于稳定平衡的真实状态，应是取最小值， ➢ 最小势能原理：在所有变形可能的位移中，使总势能达到最小值的位
移，就是真实的位移。

弹塑性力学能量原理与变分法

U = U ( y ( x) ) = y1 − y = δy
U max
δU = 0
1
函数 y 也有一增量： Δy 泛函 U 也有一增量：
（2）球下落问题球从位置1下落至位置2，所需时间为T，
ΔU = U [ y1 ( x)] − U [ y ( x)] = δU
f ( x)
函数的增量δy 、泛函的增量 δU 等称为变分。研究自变函数的增量与泛函的增量间关系称为变分问题。当
[
]
（e）
Vε = ∫∫∫ vε dxdydz
2 2 = 1 ∫∫∫ (σ x +σ y + σ z2 ) − 2 μ (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x ) 2E 2 2 2 + 2(1 + μ )(τ yz + τ zx + τ xy ) dxdydz
[
]
（11-1）将式（e）分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：
（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。—— 位移法（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。 —— 力法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。求解方法： —— 混合法里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法，加权残值（余量）法等。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法等数值解法的理论基础。
§11-1 弹性体的形变势能
1. 形变势能的一般表达式
单向拉伸：外力所做的功： P P l0
W = 1 PΔl 2
O
由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的形变势能（变形能） Vε ：

变分法(能量原理)

x

y
y

yz
z
) v ( zx
x

zy
y

z
z
)
w

dV

( xl xym xzn) u ( yxl ym yzn) v ( zxl zym zn) w dS
S
(Px u Py v Pz w) dS
S

V
(
x x

xy y

xz z

X ) u ( yx x

y y

yz z
Y ) v ( zx x

zy y

z z

Z
)
w

A1

B1

B1

0
A1

0

0
B1
Eab
2(1
2
)
(
A1

B1
)

q1ab

Eab
2(1
2
)
(
B1

A1
)

q2
ab

A1

q1

E
q2

B1Βιβλιοθήκη q2E
q1

u

q1
q2
E
x
v
V
S
( X u Y v Z w)dV (Px u Py v Pz w)dS
V
S
由于虚位移而产生的虚变形能为：

变分基本知识及变分法

第一章变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体；对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。

变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。

Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分：函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。

Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。

物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。

变分法原理与技术

变分法原理与技术变分法是一种在数学和物理学中常用的技术和原理，用来找到函数的最值或满足一定条件的函数。

它的思想是将寻找特定函数的问题转化为寻找一个函数空间中的曲线的问题，通过求取曲线的极值来获得原函数的特定性质。

在变分法中，首先要定义一个函数空间，通常是一组满足其中一种条件的函数。

然后，我们尝试找到在这个函数空间中的函数，使其使得一些泛函（函数的函数）取得极值。

泛函是一个把函数映射到实数的函数，它可以表示函数的其中一种性质，比如能量、曲线长度等。

变分法的关键是求解函数的变分，即函数在无穷小变换下的改变量。

这个变分可以表示为δf，其中δ表示无穷小变分符号。

利用变分法，我们可以得到一个关于δf的表达式，套用极值条件，即δf=0，从而求解出δf=0时的函数f。

变分法的实际应用非常广泛，特别是在物理学领域中。

例如，著名的欧拉-拉格朗日方程就是通过变分法得到的。

欧拉-拉格朗日方程描述了物体在作用力下运动的运动方程，它将物体的能量表示为运动路径的积分，并通过求解能量的变分获得运动路径。

另一个常见的应用是最小作用量原理，它是变分法在经典力学中的一种应用，描述了物体在满足作用力的条件下，其运动路径满足使作用量取得极小值的原则。

最小作用量原理是描述了自然界运动的基本规律之一，并被广泛用于描述多种物理现象，比如光学、电磁学等。

除了在物理学领域，变分法还广泛应用于数学的分析和控制论中。

在数学分析中，变分法常用于函数空间中的极值问题，比如计算函数的最大值、最小值等。

在控制论中，变分法常用于描述动态系统中的最优控制问题，通过设定控制函数的变分和系统的动力学方程，可以得到满足一定约束条件下的最优控制函数。

总结来说，变分法是一种求解函数最值或满足一定条件的函数的一种技术和原理。

它通过在函数空间中寻找使泛函取得极值的函数，从而求解出满足特定条件的函数。

变分法在数学和物理学中有广泛的应用，是研究和解决复杂函数问题的重要工具之一。

07能量原理与变分法

11. 能量原理与变分法
在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力分量 sx 、sy 、sz 、
tyz 、tzx、txy。根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序
无关，而完全确定于应力及变形的最终大小。弹性体的应变能密度
1 ve s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy 2
能量原理与变分法可以满足位移边界条件即在该问题中并没有应力边界条件因此可以认为所设位移既然满足了位移边界条件也就满足了全部边界条件这就可以应用伽辽金法求解使数学运算比较简单一些
弹性力学
ELASTICITY
11. 能量原理与变分法
11.1 弹性体的应变能
变分法：
研究泛函及其极值的求解方法。泛函：以函数为自变量的一类函数，即函数的函数。弹性力学变分法的本质就是把弹性力学基本方程的定解问题，变为求泛函的极值问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又变成函数的极值问题，因此，最后把问题归结为求解线性代数方程组。弹性力学变分法中研究的泛函就是弹性体的能量（应变能、外力势能等）。弹性力学中的变分法又称能量法。能量法是有限单元法的重要基础。
2 2 2
2
2
2
2
d xd yd z
弹性力学
ELASTICITY 余能
11. 能量原理与变分法
应力-应变关系为线性时，余能密度在数值上等于应变能密度，即
1 vc ve s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy 2
—— 位移变分方程或拉格朗日变分方程。利用变分的性质
δVe δ ve dxdydz δve dxdydz

能量原理与变分法(弹性力学)

§11-1 弹性体的形变势能
1. 形变势能的一般表达式
P
l0
单向拉伸：
P
外力所做的功：
由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）U：
l
O
l l
三向应力状态：一点的应力状态：
P
x
令：
杆件的体积
—— 单位体积的变形能，称为比能。
z y
x
三向应力状态：
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第十一章能量原理与变分法
something
要点：（1）弹性体形变势能的计算、变分法的基本思想
（2）位移变分法 —— 最小势能原理、里兹（Ritz）法、
伽辽金（Galerkin）法
（3）应力变分法 —— 最小余能原理、卡氏（Castigliano）
定理
（4）位移变分法、应力变分法的应用
主要内容
§11-1 弹性体的形变势能 §11-2 位移变分方程 §11-3 位移变分法 §11-4 位移变分法应用于平面问题 §11-5 应力变分方程 §11-6 应力变分法 §11-7 应力变分法应于平面问题
§11-8 应力变分法应于扭转问题 §11-9 解答的唯一性 §11-10 功的互等定理
（b）对变分方程进行数值求解
基本思想：将求解区域离散，离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理
（变分原理）确定其最优解。 —— 将问题转变为求解大型的线性方程组。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法等
典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN， ABAQUS 等； —— 基于有限元法的分析软件； UDEC —— 基于离散元法的分析软件；

第2章能量原理和变分法

a b
v u v u v u + 2v ( ) + (1 v)( + ) ( + )]dxdy y Bmn x x y Bmn x y
将位移试函数代入求导数后再积分
U = Amn U = B mn
a b
∫∫
0 0 a b
m πx nπy Fbx sin sin d xd y b a m πx nπy Fby sin sin dxdy a b
虚应力方程
∫∫
Su
u i δσ ij n j dS = ∫∫∫ ε ij δσ ij dV
V
δσij在位移边界引起的面力称为虚面力
——δFsi
§2.5 最小余能原理
总余能
变分形式
Et ' = ∫∫∫ U `0 dV ∫∫ u i Fsi dS = ∫∫∫ U `0 dV ∫∫ u i σ ij n j dS
第二章能量原理和变分法
偏微分方程求解的困难能量原理的应用变分法变分法数学基础
§2.1 应变能
外力功——变形体的能量关系应变能（密度）
dU 0 = σ ij dε ij
＝σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ xzγ xz
2 2 2 a b
如果体力已知，积分可求待定系数Amn和Bmn
§2.4 虚力原理
根据弹性体的稳定平衡状态与经过虚位移而到达的邻近状态的比较，得到了真实位移使得总势能取最小值的结论 ——最小势能原理。假如问题分析的基本未知量不是位移，而是应力分量。 ——能量泛函中的应力变分
σ ij

变分法的基本原理

变分法的基本原理
变分法是一个数学和物理学中的基本原理，用于解决求极值的问题。

它的基本思想是将要求解的函数表示为一个参数化的函数形式，然后根据极值的必要条件，通过对函数进行变分操作，得到一个关于未知参数的方程，进而求解该方程来确定极值。

具体来说，假设我们要求解一个函数f(x)，其中x是一个变量，而f(x)是一个依赖于x的函数。

我们将f(x)写成x的函数形式：f(x) = F[x(x)]，其中F[x(x)]是一个关于函数x的函数。

现在，
我们希望找到使函数f(x)取得极值的函数x(x)，即要找到满足
条件δf(x) = 0的函数x(x)。

在变分法中，我们引入一个待定函数z(x)作为近似解，称为变
分函数。

我们可以写成x(x) = z(x) + εη(x)，其中ε是一个无穷
小量，η是一个任意函数。

将近似解代入到δf(x) = 0的表达式中，并保留到一阶无穷小量，得到一个关于η(x)的方程。

然后，我们要求满足边界条件的η(x)，以唯一确定满足条件δf(x) = 0
的近似解z(x)。

最后，我们解决这个方程，得到满足条件δf(x) = 0的函数z(x)，即原始问题的近似解。

然后，我们可以通过适当的数值计算或者分析来确定z(x)的特征和性质，从而得到原始问题的极值解
或最优解。

总的来说，变分法通过引入一个待定函数作为近似解，将原问题转化为求解方程的问题。

通过对近似解进行变分操作，得到一个关于未知参数的方程，并通过解决这个方程来确定极值解。

这种方法在数学和物理学的许多领域中都有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、泛函分析等。

弹性力学05变分原理及其应用

U 0
xy
y
U 0
y
yz
U 0
yz
z
U 0
z
xzLeabharlann U 0xz线弹性问题的变形能
U0
1 2
( x x
y y
z z
xy
xy
yz
yz
xz
xz )
U0
1 2
ij
ij
注意：变形能为 U U0d
V
弹性体体积，表面积为S。
位移给定表面Su 面力给定表面S
位移边界面力边界
S =Su+ S
虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在
对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。
2、功的互等定理
Fb1iui2d Fs1iui2dS
Fb2iui1d Fsi2ui1dS
V
S
V
S
作用于弹性体的第一种状态外力，包括体力和面力，在第二种状态对应的位移上所做的功等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。
u u0 Amum
m
v v0 Bmvm
m
w w0 Cm wm
m
其中u0,v0,w0 为设定的函数，在边界上的值等于边界上的已知位移；um,vm,wm为边界值等于零的
设定函数，Am，Bm，Cm为待定的系数，位移的
变分由它们的变分来实现。
δu umδAm
m
δv vm δBm
m
δw wmδCm
m
应变能的变分为
δU
U
(
Am
δAm
U Bm
δBm
U Cm
δCm )
外力势能的变分为
δV

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4 ,bx ,xn Φ= sb1h1v1w bx ,bx 3
已将Z积出，Vy，vz在出口为零？。
s U 4 ,bx ,xn = ,bx ,xn =4 w bx ,bx sb0 h0 v0 w bx ,bx 3 c 3
4 ,bx ,xn σ s vRbn hn w bx ,bx 3
5 能量法(变分法)-以里兹近似解法为基础
基本解析步骤
设定运动许可速度或位移场（自变函数）,满足给定边界条件.
把其写成含有几个待定参量的数学式 ?（里兹多项式）
以变分原理建立相应泛函.使其为这些待定参量的多元函数。求出这些泛函的积分结果;
对待定参量求偏导并令其为零
构成以这些待定参量为变量的联立方程组。将解得的待定参量带回原泛函的泛函最小值令泛函最小值与外功相等确定力能参数.
摩擦功率
N f = 4
2
l
0 0

bx
l bx Δv f σs τ f Δv f ds = 4 mU 1+hx2dxdy 0 0 U 3
2 bx y vR 1+ hx Δv f = U + 2 U chxbx chx bx Ubx y U sec + vR 2 ch b ch b x x x x
2 hx bx hx 1 hx I= - 2 hx hx bx hx 2
hx h1 R R 2 l x
2
1 1 Nd = 4 U P x dx 3 2 0
σs
, bx , x Px bx , bx
F d F d 2 F 2 0 dx bx bx dx bx

(优选)能量原理与变分法

能量原理与变分法

第11章 能量原理与变分法

能量原理及其变分法

变分法原理

能量原理与变分法

弹塑性力学能量原理与变分法

变分法(能量原理)

变分基本知识及变分法

变分法原理与技术

07能量原理与变分法

能量原理与变分法(弹性力学)

第2章 能量原理和变分法

变分法的基本原理

弹性力学05变分原理及其应用

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第11章能量原理与变分法

第2章能量原理和变分法