初中数感系列专题
初中数学《新课标》“数与代数”专题讲座
专题讲座初中数学数与代数綦春霞（北京师范大学，教授）史炳星（北京教育学院，副教授，教研员）王瑞霖（北京师范大学教育学部，博士）数与代数在这一部分内容主要涉及到 6 个话题，前三个是和内容有关系的，第一个话题是数与式，第二个话题方程与不等式，第三个话题是函数；另外三个话题，是基于知识之上侧重培养学生的一些方面的能力，一是运算能力，一是符号意识，再一个是模型思想。
话题一数与式一、重点关于数与式的主要内容，包括有理数、实数、代数式和二次根式，代数式主要是整式和分式。
这一部分内容的重点应当是强调理解数的意义，建立数感，理解代数式的表述功能，建立符号感，同时理解运算的意义，强调运算的必要性。
二、内容的变化（一）降低了对于实数运算的要求。
比如“会用平方运算求某些非负数的平方根与算术平方根，用立方运算求某些数的立方根”转化为“会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根”。
（二）取消了对“有效数字”的要求，但重视学生的估算能力，要求学生理解近似数。
例如“能用有理数估计一个无理数的大致范围”, “了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值”。
（三）与实验稿比较，加强了对二次根式的要求，比如对二次根式的化简，分母有理化，但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。
（四）在具体情境中理解字母表示数的意义。
例如要求“借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
”（五）注重代数式的实际应用和实际意义。
例如要求“能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。
”以及“会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
”（六）对于代数式的意义，除了关注数学意义外，还关注现实的意义。
（七）强调几何直观的作用。
（八）知道｜a｜的含义（这里a 表示有理数）。
三、价值及作用数与式这部分内容，在代数当中甚至在整个数学领域当中，都是非常重要的。
北师大版七年级上册数学第二章有理数及其运算素养拓展+中考真题课件
5
3
5
5
3
(2)5×(-13)-(-5)×(-13)-13×(-15)
4
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3
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5
3
=-5 × 13 − 5 × 13 + 13×15
5
4 3
3
=13×[(-5)-5+15]
5
1
=13 × 5
1
=13.
类型3 运算律解答规律问题
8.先阅读并填空,再解答问题.
1
1
1
1
1
1
1
1
我们知道1×2=1-2,2×3 = 2 − 3,3×4 = 3 − 4,
定小于b的倒数,例如1>0,但是0没有倒数,不能说1的倒数小于0的倒数,所以⑤错误.故选B.
6.[202X山东枣庄期中]下列各式中,计算正确的是 (
)
A.(-5.8)-(-5.8)=-11.6
1
B.-42÷4×4=-16
C.-23×(-3)2=72
D.[(-5)2+4×(-5)]×(-3)2=45
斤.
10.如图是计算机计算程序,若开始输入x=-2,则最后输出的结果是
.
答案
9.1.2×1011
10.-17
果.
【解析】
根据题意可知,(-2)×4-(-3)=-8+3=-5,再把-5代入计算,(-5)×4-(-3)=-20+3=-17<-5,即-17为输出结
11.在某地区,夏季高山上的温度从山脚起每升高100米平均降低0.8 ℃,已知山脚的温度是24 ℃,山顶的温度是4 ℃,
)
2.[202X北京通州区期末]点A,B,C在数轴上,点O为原点,点A,B,C对应的有理数为a,b,c.若ab<0,a+b>0,a+b+c<0,则以
北师版八年级数学上册中考数学复习专题1：实数的有关概念及运算
专题01 实数的有关概念及运算☞解读考点 知 识 点名师点晴实数的分类1.有理数 会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数2.无理数会识别无理数，并在数轴上表示一个无理数 实数的有关概念1.相反数、倒数、绝对值会求一个实数的相反数、倒数和绝对值 2.科学计数法、近似数 掌握用科学计数法表示一个较大的数和较小的数 3.实数的非负性利用实数的非负性解决一些实际问题 实数的运算和大小比较1.实数的估算 求一个无理数的范围2.实数的大小比较 理解实数的大小比较的方法3.实数的运算掌握实数的混合运算☞2年中考【2015年题组】1．（2015南京）估计512 介于（ ）A ．0.4与0.5之间B ．0.5与0.6之间C ．0.6与0.7之间D ．0.7与0.8之间【答案】C ．考点：估算无理数的大小．2．（2015常州）已知a=22，b=33，c=55，则下列大小关系正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b 【答案】A ．考点：实数大小比较．3．（2015泰州）下列4个数：9，227，π，()03，其中无理数是（ ）A ．9B ．227 C ．π D ．()03【答案】C ． 【解析】试题分析：π是无理数，故选C ． 考点：1．无理数；2．零指数幂．4．（2015资阳）如图，已知数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数35-的点P 应落在线段（ ）A ．AO 上B ．OB 上C ．BC 上D ．CD 上 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵2＜5＜3，∴0＜35-＜1，故表示数35-的点P 应落在线段OB 上．故选B ．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．5．（2015广元）当01x <<时，x 、1x 、2x 的大小顺序是（ ） A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x xx <<【答案】C ．【解析】试题分析：∵01x <<，令12x =，那么214x =，14x =，∴21x x x <<．故选C ． 考点：实数大小比较． 6．（2015绵阳）若5210a b a b +++-+=，则()2015b a -=（ ）A ．﹣1B ．1C ．20155 D ．20155-【答案】A ． 【解析】试题分析：∵5210a b a b +++-+=，∴⎩⎨⎧=+-=++01205b a b a ，解得：⎩⎨⎧-=-=32b a ，则()20152015321b a -=-+=-（）．故选A ．考点：1．解二元一次方程组；2．非负数的性质．7．（2015武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．5 D ．3 【答案】A ．考点：实数大小比较． 8．（2015荆门）64的立方根是（ ） A ．4 B ．±4 C ．8 D ．±8 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵4的立方等于64，∴64的立方根等于4．故选A ． 考点：立方根． 9．（2015北京市）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d 【答案】A ． 【解析】试题分析：根据图示，可得：3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，所以这四个数中，绝对值最大的是a ．故选A ． 考点：实数大小比较．10．（2015河北省）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④ 【答案】C ．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．11．（2015六盘水）如图，表示7的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【答案】A．【解析】试题分析：∵6.25＜7＜9，∴2.5＜7＜3，则表示7的点在数轴上表示时，所在C和D 两个字母之间．故选A．考点：1．估算无理数的大小；2．实数与数轴．12．（2015通辽）实数tan45°，38，0，35π-，9，13-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A．4 B．2 C．1 D．3【答案】D．【解析】试题分析：在实数tan45°，38，0，35π-，9，13-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：35π-，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共3个，故选D．考点：无理数．13．（2015淄博）已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组81mx nynx my+=⎧⎨-=⎩的解，则2m n-的平方根为（）A．±2 B ．2C ．2±D．2 【答案】A．考点：1．二元一次方程组的解；2．平方根；3．综合题．14．（2015成都）比较大小：512-____58（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＜． 【解析】试题分析：512-为黄金数，约等于0.618，50.6258=，显然前者小于后者．或者作差法：515459808102888----==<，所以，前者小于后者．故答案为：＜．考点：1．实数大小比较；2．估算无理数的大小．15．（2015资阳）已知：22(6)230a b b ++--=，则224b b a --的值为 ． 【答案】12．【解析】试题分析：∵22(6)230a b b ++--=，∴60a +=，2230b b --=，解得，6a =-，223b b -=，可得2246b b -=，则224b b a --=6(6)--=12，故答案为：12．考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：偶次方． 16．（2015自贡）若两个连续整数x 、y 满足y x <+<15，则x+y 的值是 ．【答案】7．【解析】试题分析：∵2＜5＜3，∴3＜51+＜4，∴x=3，y=4，∴x+y=7，故答案为：7． 考点：估算无理数的大小．17．（2015巴中）计算：01123(2015)2sin 60()3π----++． 【答案】4．【解析】试题分析：根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可．试题解析：原式=3231232--+⨯+=1+3=4．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．18．（2015龙岩）计算：0312201522sin 30893-+-+-⨯．【答案】0．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．特殊角的三角函数值． 19．（2015临沂）计算：(321)(321)+--+． 【答案】22．【解析】试题分析：先根据平方差公式展开后，再根据完全平方公式展开后合并即可．试题解析：解：原式=[3(21)+-][3(21)--]=22(3)(21)--3(2221)=--+32221=-+-22=．考点：实数的运算．【2014年题组】 1．（2014年福建福州中考）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学计数法表示为（ ）A ．41110⨯ B ．51.110⨯ C ．41.110⨯ D ．60.1110⨯ 【答案】B ．考点：科学计数法．2．（2014年福建三明中考）13-的相反数是（ ）A. 13 B.13-C. 3D. 3-【答案】A．试题分析：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0. 因此，13-的相反数是13. 故选A．考点：相反数．3．（2014年黑龙江大庆中考）下列式子中成立的是（）A. ﹣|﹣5|＞4B. ﹣3＜|﹣3|C. ﹣|﹣4|=4D. |﹣5.5|＜5【答案】B．【解析】试题分析：先对每一个选项应用绝对值的性质化简，再进行比较即可：A．﹣|﹣5|=﹣5＜4，故A选项错误；B．|﹣3|=3＞﹣3，故B选项正确；C．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故C选项错误；D．|﹣5.5|=5.5＞5，故D选项错误．故选B．考点：1．绝对值；2．有理数的大小比较．4．（2014年湖北宜昌中考）如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（）A. m+n＜0B. -m＜-nC. m|-|n|＞0D. 2+m＜2+n【答案】D．考点：1．数轴；2．不等式的性质．5．（2014年贵州黔南中考）计算()20123-+--的值等于（）A. 1-B. 0C. 1D. 5【答案】A．【解析】试题分析：针对有理数的乘方，零指数幂，绝对值3个考点分1．别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果： ；2．故选A．考点：实数的运算．6．（2014年黑龙江大庆中考）若x y y20-+-=，则y3x-的值为．【答案】12．【解析】试题分析：∵x y y 20-+-=，∴x y 0x 2y 20y 2-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩．∴y 32311x 222---===． 考点：1．实数的非负性；2．负整数指数幂．7．（2014年吉林省中考）若a ＜13＜b ，且a ，b 为连续正整数，则b2﹣a2= ． 【答案】7．【解析】试题分析：∵32＜13＜42，∴3＜13＜4，即a=3，b=4．∴b2﹣a2=42﹣32=7．考点：无理数的估算． 8．（2014年新疆区兵团中考）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．31⎡⎤=⎣⎦，按此规定，131⎡⎤-⎣⎦=_____________ 【答案】2．【解析】试题分析：∵9＜13＜16，∴3＜13＜4．∴2＜131-＜3，∴131⎡⎤-⎣⎦=2． 考点：1．新定义；2．无理数的估算．9．（2014年甘肃兰州中考）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S ﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是．【答案】2015312-． 考点：1．有理数的运算；2．阅读理解型问题．10．（2014年内蒙古赤峰中考）计算：()1013328sin 454π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭【答案】-3．【解析】 试题分析：()1123328sin 451428434242342π-⎛⎫-+--=+-⨯-=---=- ⎪⎝⎭．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．☞考点归纳归纳 1：实数及其分类 基础知识归纳：基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数．注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；【例1】在实数313,,,8,0,tan 453π︒中，其中无理数的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】A ．考点：无理数．归纳 2：实数的有关概念 基础知识归纳： 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1．基本方法归纳：如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立；零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0注意问题归纳：零没有倒数；一个非零的数的绝对值一定是正数【例2】若实数x ，y 满足2270x x y ++-+=，则x y = ．【答案】19．考点：非负数．归纳 3：实数的大小比较 基础知识归纳：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．基本方法归纳：（1）求差比较：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>-,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0（2）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b ab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔>（3）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22．注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较．【例3】用“＜”号，将1)61(-、0)2(-、2)3(-、22-连接起来______ 【答案】2102)3()61()2(2-<<-<--．【解析】试题分析：先根据有理数的乘方法则依次计算出各个数的值，再根据有理数的大小比较法则比较．∵6)61(1=-，1)2(0=-，9)3(2=-，422-=- ∴2102)3()61()2(2-<<-<--．考点：实数的大小比较．归纳 4：科学计数法与近似数基础知识归纳：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．基本方法归纳：利用科学计数法表示一个数，在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）注意问题归纳：利用科学计数法表示数和转化为原数时，要注意数位的变化．【例4】据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，一年的经济损失约为54750000000元，用科学记数法表示这个数为 A ．5.475×1011 B ．5.475×1010 C ．0.5475×1011 D ．5475×108 【答案】B ．考点：科学计数法． 归纳 5：实数的混合运算基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算.同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识．注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序．【例5】计算：()114sin451282-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭【答案】1．【解析】针对负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：()1124sin4512824122122-⎛⎫-︒--+=-⨯-+= ⎪⎝⎭考点：实数的运算．☞1年模拟1．（2015届山东省日照市中考一模）4的算术平方根是（ ） A ．2 B ．±2 C ．2 D ．±2 【答案】C ．【解析】试题分析：∵4=2，而2的算术平方根是2，∴4的算术平方根是2，故选C ．考点：算术平方根．2．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）在实数π、13、2、tan60°中，无理数的个A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵tan60°=3，∴在实数π、13、2、tan60°中，无理数有： ，2和tan60°．故选C ．考点：1．无理数；2．特殊角三角函数值．3．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）14的算术平方根是（ ） A ．-12 B ．12 C ．±12 D ．116【答案】B ．考点：算术平方根． 4．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）下列计算结果是负数的是（ ） A ．3-2 B ．3×（-2） C ．3-2 D ．3 【答案】B ． 【解析】试题分析：A ：3-2=1，计算结果是正数，据此判断即可． B ：3×（-2）=-6，计算结果是负数，据此判断即可．C ：3-2=19，计算结果是正数，据此判断即可．D ：3是一个正数，据此判断即可．试题解析：∵3-2=1，计算结果是正数，∴选项A 不正确； ∵3×（-2）=-6，计算结果是负数，∴选项B 正确；∵3-2=19，计算结果是正数，∴选项C 不正确；∵3是一个正数，∴选项D 不正确．故选B ．考点：实数的运算． 5．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）面积为10m2的正方形地毯，它的边长介于（ ） A ．2m 与3m 之间 B ．3m 与4m 之间 C ．4m 与5m 之间 D ．5m 与6m 之间【解析】试题分析：正方形的边长为10，∵9＜10＜16，∴3＜10＜4，∴其边长在3m 与4m之间．故选B．考点：估算无理数的大小．6．（2015届河北省中考模拟二）下列无理数中，不是介于-3与2之间的是（）A．-5B ．5C．-3D ．3【答案】B．考点：估算无理数的大小．7．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）实数5的相反数是（）．A．15B．-15C．﹣5 D．5【答案】C．【解析】试题分析：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴5的相反数是﹣5．故选C．考点：实数的性质．8．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）下列四个数中，值最小的数是（）．A．tan45°B ．3C．πD．8 3【答案】A．【解析】试题分析：tan45°=1，根据实数比较大小的方法，可得，1＜3＜83＜π，所以tan45°＜3＜83＜π，因此四个数中，值最小的数是tan45°．故选A．考点：1．实数大小比较；2．特殊角的三角函数值．9．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+256y y-+=0，则第三边长为．【答案】22、13或5．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理；4．分类讨论．10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）计算：2-1+2cos30°-tan60°-（π+3）0= ．【答案】-1 2．【解析】试题分析：原式=1323122+⨯--=-12．故答案为：-12．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）的算术平方根为．【答案】2．【解析】试题分析：∵4=2，2的算术平方根是2，∴4的算术平方根为2．故答案为：2．考点：算术平方根．12．（2015届北京市平谷区中考二模）计算：()10 12sin603133π-⎛⎫--︒+-+-⎪⎝⎭．【答案】-3．【解析】试题分析：分别进行负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、零指数幂，然后按照实数的运算法则计算即可．试题解析：原式=3323112--⨯+-+=333--+=3-．考点：实数的运算．13．（2015届安徽省安庆市中考二模）计算：﹣32+．【答案】-9．考点：1．实数的运算；2．特殊角的三角函数值．14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）计算：（-12）-1+（π-2015）0-3tan30°+|-3|【答案】-1．【解析】试题分析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．试题解析：原式=-2+1-3×33+3=-1．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．15．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）计算：﹣2sin30°﹣（﹣13）﹣2+（2﹣π）0﹣38 +（﹣1）2012．【答案】-6．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．。
初中数感系列专题
前言——由薄到厚，再由厚到薄：分析与综合，发散与收敛的辩证统一恒等变形是中学代数的基本功，对形的感觉如对称性、结构意识在初高中那种按部就班的教学模式中很难培养。
恒等变形能力的缺失会让学生在选拔考中难以出类拔萃，在中高考压轴题上也容易吃亏。
面对计算量大，分类讨论繁琐的题，对于速度慢的孩子不仅时间不够用，还容易忙中出错。
小册子讲的是代数、函数以及方程不等式恒等变形的结构意识。
这些内容在小册子里的讲法虽然与课堂上讲的不一样，但讲的是同一件事情。
正如一尊美丽的雕像，从不同的角度看，它是不同的，但都是同一尊雕像。
小册子既注重基础又侧重能力，题目活而不难，巧而不偏，新而不怪。
高观点低起点，从入门到提高，注重思维，培养创新能力，书中很多解题心法是提升数学实力的不二法门。
读完小册子，回顾一下什么是结构，如何完形填空，核心是有相同特征的数或式子配对。
这些东西你弄清楚后，便会发现小册子里讲的东西并不多，它们之间的逻辑关系很简单。
如果你把所有的例题仔细研读完，便会发现这不多的基本知识，应用起来却很广泛，用得好能帮你解决不少问题。
学数学就是由少到多，再由多到少的过程，这与读书先由薄到厚，在由厚到薄是一样的道理。
刚开始学新东西容易眼花缭乱，等学通了想透了，你会发现基本的观点并不多，抓住这么几点感觉就到位了；更进一步，应用你学到的基本原理去解决问题，你会发现基本原理只有那么几条，应用起来却变化无穷，而你不知道的知识却如汪洋大海，茫茫无边，这就是知道的越多，不知道的就越多的道理。
但你不必深陷题海，应当进入下一个学习周期，去学习新的内容。
目录前言：由薄到厚，再由厚到薄——分析与综合，发散与收敛的辩证统一第一章：有理数计算入门心法——找片段、定符号、代数和第二章：整式加减入门与提高——一步去三重括号、结构意识训练第三章：一元一次方程结构意识训练第四章：一元一次不等式结构意识训练与检查方法第五章：整式乘法结构意识训练与特殊值代入检验法第六章：寻找阿喀琉斯之踵——在等待中寻找简算机会。
2020届中考数学总复习课件：微专题一 数形结合与实数的运算 (共19张PPT)
类型之一 数轴与实数 【经典母题】 请通过尺规作图，把 2和－ 2表示在图 Z1－1 的数轴上．
图 Z1－1 解：如答图，通过画边长为 1 的正方形，就能准确地把 2和－ 2表示在数轴上．
经典母题答图
【思想方法】 (1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来， 数轴上的每一个点都可以表示一个实数，即实数和数轴上的点一一对应； (2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以使问题变得直观．利用数轴进行实数的大 小比较和求数轴上的点表示的实数是中考的热点考题．
图 Z1－3 B．bd＞0 D．b＋c＞0
【解析】 由数轴上点的位置，得 a＜－4＜b＜0＜c＜1＜d.A.a＜－4，故 A 不符合题意； B.bd＜0，故 B 不符合题意；C.∵|a|＞4，|b|＜2，∴|a|＞|b|，故 C 符合题意；D.b＋c＜0， 故 D 不符合题意．
3．[2020·原创]实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图 Z1－4 所示，把－a，－b，0 按 照从小到大的顺序排列，正确的是( C )
【中考变形】 1．[2018·成都]实数 a，b，c，d 在数轴上对应的点的位置如图 Z1－2 所示，这四个数中 最大的是( D )
图 Z1－2
A．a
B．b
C．c
D．d
2．[2020·原创]有理数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图 Z1－3 所示，则正确的 结论是( C )
A．a＞－4 C．|a|＞|b|
OB，∴点 B 表示的数为－(x－2)．
类型之二 实数的混合运算 【经典母题】 计算：2×(3＋ 5)＋4－2× 5. 解：原式＝2×3＋2× 5＋4－2× 5＝6＋4＋2 5－2 5＝10.
中考数学（通用版）复习专题学案：规律探究问题
规律探究问题【题型特征】规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论.这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”.常见的类型有:(1)数式规律型;(2)图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等.【解题策略】解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.(1)数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条件的格式.(2)图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.(3)坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.(4)数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.类型一数式规律型【技法梳理】对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.举一反三1. (2015·山东菏泽)下面是一个某种规律排列的数阵:1√2第1行√32√5√6第2行√72√23√10√112√3第3行√13√14√154√173√2√192√5第4行……根据数阵的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左到右数第n-2个数是(用含n的代数式表示).2. (2015·山东临沂)请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是().A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n【小结】此类问题考查的知识点是单项式的知识.找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律.比如典例观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.类型二图形变化规律型典例2(2015·四川内江)如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.【解析】根据图象规律得出每6个数为一周期,用2015先减2再除以6,根据余数来决定第2015个图形.因为(2015-2)÷6=335……2,故第2015个图形与第2个图象相同,故答案是正方形.【全解】正方形【技法梳理】本题是一道找图形循环排列规律的题目.这类题首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题时对观察能力和归纳总结能力有一定要求.举一反三3. (2015·湖北天门)将相同的矩形卡片,按如图方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,依此类推,摆放2015个时,实线部分长为.(1)(2)(3)(第3题)4. (2015·珠海)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,则OA4的长度为.(第4题)5. (2015·湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到2015再到2015,箭头的方向是以下图示中的().(第5题)【小结】 (1)图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;(2)图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.类型三坐标变化规律型典例3(2015·广东梅州)如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 014的坐标是.【解析】如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),当点P第3次碰到矩形的边时,点P的坐标为(8,3),∵2015÷6=335……4,∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹.点P的坐标为(5,0).故答案为(8,3),(5,0).【全解】 (8,3)(5,0)【技法梳理】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.举一反三6. (2015·湖北荆门)如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是().(第6题)7. (2015·山东潍坊)如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2015次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().(第7题)A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)【小结】此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.类型四数形结合规律型典例4(2015·山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…….若点,B(0,4),则点B2015的横坐标为.故答案为10070.【全解】10070【技法梳理】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.举一反三8. (2015·四川内江)如图,已知A1,A2,A3,…,A n,A n+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,A n,A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1,B2,B3,…,B n,B n+1,连接A1B2,B1A2,B2A3,…,A n B n+1,B n A n+1,依次相交于点P1,P2,P3,…,P n.△A1B1P1,△A2B2P2,△A nB n P n的面积依次记为S1,S2,S3,…,S n,则S n为().(第8题)9. (2015·山东威海)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4…,则依此规律,点A2015的纵坐标为().(第9题)【小结】此类题主要考查坐标的变化规律.解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.类型一1. (2015·山东烟台)将一组数√3,√6,3,2√3,√15,…,3√10,按下面的方式进行排列:√3,√6,3,2√3,√15;3√2,√21,2√6,3√3,√30;……若2√3的位置记为(1,4),2√6的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为().A. (5,2)B. (5,3)C. (6,2)D. (6,5)2. (2015·湖北咸宁)观察分析下列数据:0,-√3,√6,-3,2√3,-√15,3√2,…,根据数据排列的规律得到第16个数据应是.(结果需化简)3. (2015·贵州铜仁)一列数:0,-1,3,-6,10,-15,21,…,按此规律第n个数为.4. (2015·甘肃白银)观察下列各式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,……猜想13+23+33+…+103=.类型二5. (2015·湖北武汉)观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点…按此规律第5个图中共有点的个数是().(第5题)A. 31B. 46C. 51D. 666. (2015·湖南娄底)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第n(n为正整数)个图案由个▲组成.(第6题)7. (2015·广东深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数有.…(第7题)类型三8. (2015·湖南邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E 点,…,依此类推,这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41.(第8题)9. (2015·甘肃天水)如图,一段抛物线y=-x(x-1)(0≤x≤1)记为m1,它与x轴交点为O,A1,顶点为P1;将m1绕点A1旋转180°得m2,交x轴于点A2,顶点为P2;将m2绕点A2旋转180°得m3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去,直至得m10,顶点为P10,则P10的坐标为().(第9题)类型四10. (2015·四川遂宁)已知:如图,在△ABC中,点A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点,依此类推….若△ABC的周长为1,则△A n B n C n的周长为.(1)(2)(3)(第10题)11. (2015·江苏淮安)如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3,…,按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为.(第11题)12. (2015·广东佛山)(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)](2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2)(3) (第12题)参考答案【真题精讲】2. A解析:(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1-x3,…,依此类推(1-x)(1+x+x2+…+x n)=1-x n+1.3.方法一:由图形可得出:摆放一个矩形实线长为3,摆放2个矩形实线长为5,摆放3个矩形实线长为8,摆放4个矩形实线长为10,摆放5个矩形实线长为13,即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2,第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3,∵摆放2015个时,相等于在第1个的基础上加1007个2,1006个3,∴摆放2015个时,实线部分长为3+10072+10063=5035.故答案为5035.方法二:第①个图实线部分长 3,第②个图实线部分长 3+2,第③个图实线部分长 3+2+3,第④个图实线部分长 3+2+3+2,第⑤个图实线部分长 3+2+3+2+3,第⑥个图实线部分长 3+2+3+2+3+2,……从上述规律可以看到,对于第n个图形,当n为奇数时,第n个图形实线部分长度为4. 8解析:∵△OAA1为等腰直角三角形,OA=1,∴AA1=OA=1,OA1=√2OA=√2.∵△OA1A2为等腰直角三角形,∴A1A2=OA1=√2,OA2=√2OA1=2.∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴A2A3=OA2=2,OA3=√2OA2=2√2.∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴A3A4=OA3=2√2,OA4=√2OA3=4.故答案为4.5. D解析:由图可知,每4个数为一个循环组依次循环, 2013÷4=503……1,∴2013是第504个循环组的第2个数.∴从2013到2015再到2015,箭头的方向是.故选D.7. A解析:∵正方形ABCD,点A(1,3),B(1,1),C(3,1),∴M的坐标变为(2,2).∴根据题意得,第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第2015次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2015,2),即(-2012,2).故答案为A.8. D解析:本题根据一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出图形面积变化规律是解题关键.根据图象上点的坐标性质得出点B1,B2,B3,…,B n,B n+1各点坐标,进而利用相似三角形的判定与性质得出S1,S2,S3,…,S n,进而得出答案9. D解析:∵∠A2OC2=30°,OA1=OC2=3,【课后精练】1. C2.-3√54. 552解析:本题的规律为:从1开始,连续n个数的立方和=(1+2+3+…+n)2.5. B6. 3n+17. 485解析:本题考查图形的变化规律.由图可以看出:第一个图形中5个正三角形,第二个图形中53+2=17个正三角形,第三个图形中173+2=53个正三角形,由此得出第四个图形中533+2=161个正三角形,第五个图形中1613+2=485个正三角形.8. 289. (9.5,-0.25)12. (1)已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点, 证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,(第12题)∵E是AC的中点,∴AE=CE.在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(SAS).∴AD=CF(全等三角形对应边相等),∠A=∠ECF(全等三角形对应角相等).∴AD∥CF.∵点D是AB的中点,∴AD=BD.∴BD=CF且BD∥CF.∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∴DF∥BC且DF=BC(平行四边形的对边平行且相等).。
中考中关于“数感、符号意识”
关于“数感、符号意识”的中考 题
例1.（2012江西） －1的绝对值是（ A ） A．1 B．0 C．－1 D．±1
B） 例2. （ 2012 广州）实数 3 的倒数是（ 1 1 A．3 B． C．－3 D ．3 3
１ 例３（2008江西）- 的相反数是 D ５ 1 A.5 B.-5 C.5 1 D. 5
关于“数感、符号意识”的中考题
考查对单项式、代数式的意义的认识，用数学符 号表达实际问题中的数量关系。题目的设置不仅关注 数学意义，还关注现实的意义。 根据实际问题列出代数式，关键是读懂题意，先 弄清问题的数量关系，再用恰当的代数式加以表达。
关于“数感、符号意识”的中考题
2a a ( ) a，其中 例11（2011江西）先化简，再求值： a 1 1 a
6 4 3 2 2
1
1
3
5
n
⑴①275，572；②63，36． ⑵（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）
例15（2012广东珠海）观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， …… 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中 组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称 这类等式为“数字对称等式”. （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字 对称等式”： ①52× ＝ ×25； ② ×396＝693× . （2）设这类等式左边两位数的十位数字为 a ，个位数字 为 b ，且2≤ a b≤9，写出表示“数字对称等式”一般 a b 规律的式子（含 、 ），并证明.
中考数学专题复习题目好
第一篇 数与式 专题一 实数一、考点扫描 1、实数的分类：实数0⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩正实数有理数或无理数负实数2、实数和数轴上的点是一一对应的．3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a 、b 互为相反数,则a+b=0,1-=aba 、b ≠04、绝对值：从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离5、近似数和有效数字；6、科学记数法；7、整指数幂的运算：()()mm mmn nmn m n m b a ab a a a a a ⋅===⋅+,, a ≠0负整指数幂的性质：pp pa a a⎪⎭⎫⎝⎛==-11 零整指数幂的性质：10=a a ≠0 8、实数的开方运算：()a a a a a =≥=22;0)(9、实数的混合运算顺序10、无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数如1．414141···41 无限循环；2带根号的数是无理数如；3两个无理数的和、差、积、商也还是无理数,如都是无理数,但它们的积却是有理数；4无理数是无限不循环小数,所以无法在数轴上表示出来,这种说法错误,每一个无理数在数轴上都有一个唯一位置,如我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找出来,其他的无理数也是如此． 11、实数的大小比较： 1.数形结合法2.作差法比较3.作商法比较4.倒数法: 如6756--与5.平方法 四、考点训练1、有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－错误!是17的平方根,其中正确的有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2那么x 取值范围是 A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞23、－8A ．2B ．0C ．2或一4D ．0或－44、若2m －4与3m －1是同一个数的平方根,则m 为A ．－3B ．1C ．－3或1D ．－1 5、若实数a 和 b 满足 b=错误!+错误!,则ab 的值等于_______6、在错误!－错误!的相反数是________,绝对值是______. 7、错误!的平方根是A ．9B ．错误!C ．±9D ．±38、若实数满足|x|+x=0, 则x 是A ．零或负数B ．非负数C ．非零实数D.负数五、例题剖析 1、设a=错误!－错误!,b=2－错误!,c=错误!－1,则a 、b 、c 的大小关系是A ．a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a2、若化简|1－x|－2x-5,则x 的取值范围是A ．X 为任意实数B ．1≤X ≤4C ．x ≥1D ．x ＜4 3、阅读下面的文字后,回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式,再求值：a+a=9时”,得出了不同的答案 ,小明的解答：原式=－a=1,小芳的解答：原式= a+a －1=2a －1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________4、计算：200120025、我国1990年的人口出生数为人;保留三个有效数字的近似值是人;六、综合应用1、已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且a、b、c满足a2－|5|0c-=,试判断△ABC的形状．2、数轴上的点并不都表示有理数,如图l－2－2中数轴上的点P所表示的数是错误!”,这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做A．代入法B．换无法C．数形结合D．分类讨论3、开放题如图l－2－3所示的网格纸,每个小格均为正方形,且小正方形的边长为1,请在小网格纸上画出一个腰长为无理数的等腰三角形．4、如图1－2－4所示,在△ABC中,∠B=90○ ,点P从点B开始沿BA边向点A以 1厘米／秒的宽度移动；同时,点Q也从点B开始沿 BC边向点C以 2厘米/秒的速度移动,问几秒后,△PBQ的面积为36平方厘米5、观察表一,寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分,其中a、b、c的值分别为A．20、29、30 B．18、30、26C．．18、30、28112求代数式的值的方法：①化简求值,②整体代人2、整式的有关概念1单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．2多项式：几个单项式的和,叫做多项式3多项式的降幂排列与升幂排列4同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类顷． 3、整式的运算1整式的加减：几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：2如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号,把括号和它前面的“+”号去掉;括号里各项都不变符号,括号前是“一”号,把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．3合并同类项： 同类项的系数相加,所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变． 4、乘法公式1.平方差公式:()()22b a b a b a -=-+2.完全平方公式:,2)(222b ab a b a +±=±5、因式分解1.多项式的因式分解,就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2.分解因式的常用方法有：提公因式法和运用公式法 二、考点训练 1、－错误!的系数是 ,是 次单项式； 2、多项式3x 2－1－6x 5－4x 3是 次 项式,其中最高次项是 ,常数项是 ,三次项系数是 ,按x 的降幂排列 ； 3、如果3m 7x n y+7和-4m 2-4y n 2x 是同类项,则x= ,y= ；这两个单项式的积是＿＿;4、下列运算结果正确的是 ①2x 3-x 2=x ②x 3x 52=x 13 ③-x 6÷-x 3=x 3 ④-210-1=10A ①②B ②④C ②③D ②③④5、若x 2＋2m －3x ＋16 是一个完全平方式,则m 的值是6、代数式a2－1,0,错误!,x+错误!,－错误!,m,错误!,错误!错误!–3b中单项式是,多项式是,分式是 ;三、例题剖析1、设ａ－ｂ＝－2,求错误!－ａｂ的值;2、若()()qxxpxx+-++3822的积中不含有2x和3x项,求p、q的植;3、从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形如图1,然后将剩余部分剪拼成一个矩形如图2,上述操作所能验证的等式是A．a2-b2=a+ba-b B.a-b2=a2-2ab+b2C.a+b2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=aa+b四、综合应用1、将连续的自然数1至36按右图的方式排成一个正方形阵列,用一个小正方形任意圈出其中的9个数,设圈出的9个数的中心的数为a,用含有a 的代数式表示这9•个数的和为__________．2、用火柴棒按下图中的方式搭图形．1按图示规律填空：2按照这种方式搭下去,搭第n个图形需要_________根火柴棒．3、右边是一个有规律排列的数表,请用含n的代数式n•为正整数,表示数表中第n行第n列的数：______________．专题三分式一、考点扫描1．分式：整式A除以整式B,可以表示成错误!的形式,如果除式B中含有字母,那么称错误!为分式．注：1若B≠0,则错误!有意义；2若B=0,则错误!无意义；2若A=0且B≠0,则错误!=02．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式,分式的值不变．3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去,这种变形称为分式的约分．4．通分：根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分．5．分式的加减法法则：1同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加2异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法则进行计算．6．分式的乘除法法则：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．7．通分注意事项：1通分的关键是确定最简公分母,最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；2易把通分与去分母混淆,本是通分,却成了去分母,把分式中的分母丢掉．8．分式的混合运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的．9．对于化简求值的题型要注意解题格式,要先化简,再代人字母的值求值．二、考点训练1、已知分式25,45xx x---当x≠______时,分式有意义；当x=______时,分式的值为0．2、若将分式错误!a、b均为正数中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍,则分式的值为A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的错误!C．不变 D．缩小为原来的错误!3、分式错误!,当x 时分式值为正；当整数x= 时分式值为整数; 4、计算11()x x xx-÷-所得正确结果为5、若04322=-+y xy x ,则yx y x -+22= ; 6、若112323,2x xy y xyx xy y+--=--则分式=___三、例题剖析 1、求值：2、有一道题“先化简,再求值：22241244x x x x x -+÷+--（）,其中x =”小玲做题时把“x =”错抄成了“x =,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事 3、已知：P=22x y x y x y---,Q=x+y 2 －2yx-y,小敏、小聪每人在x －2,y —2的条件下分别计算了P 和Q 的值,小敏说P 的值比Q 大,小聪说C 的值比P 大．请你判断谁的结论正确,并说明理由．3、已知：2242610,1x x x x x -+=++求的值。
初中数学专题规律探索型问题课件
（三）猜想数值结果
当一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变 化规律呈现出某种特征时，可以猜想在新的条件下，数 值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想 到结果的数值。
例如：1、如图，在梯形ABCD中AB∥CD,AB=b,CD=a,E为AD边上 的一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时， 发现如下事实： (1)当DE/AE=1时，有EF=(a+b)/2；
(2)当DE/AE=2时，有EF=(a+2b)/3；
(3)当DE/AE=3时，有EF=(a+3b)/4；
当DE/AE=k时，参照上述结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并 证明之
（四）阅读理解型探究规律
阅读理解类型的问题和一般试题相比较，不仅考察学生对 数学知识的理解水平，而且考察学生的阅读能力，因而试 题的篇幅较长，信息量较大。
黄店镇中学九年级数学组 王志海
规律探索型问题:就是对材料信息的加工
提炼和运用，从而得出数学概念和规律，或者将 实际问题抽象为数学问题，建立数学模型的一类 问题。 对规律归纳和发现能反映出一个人的应用数 学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。求 解规律探索型问题要求学生有敏锐的观察力，能 从特殊的情况出发，经过周密的思考，全面的分 析，去推得一般的结论。这类试题意在检测解题 者驾驭数学的创新意识和才能，因此，成为了这 几年的热点内容。
2
3
…
N
探索问题。
若你是一家餐厅的大堂经理，由你负责在一个宽 敞明亮的大厅里组织一次规模盛大的西式冷餐会，你 会选择哪种餐桌的摆法？ 说明：新颖的问题可以立刻吸引学生的注意力，我们 需要的是等待学生讨论后的完美答案。因此要一步步 加大题目的开放性，不仅在探索过程中培养了学生的 创造能力，也使之对数学的生活化和生活的数学化都 有较好的体验。
初三数学复习第一专题实数
D ．0.865 ×1011
9． C
10．（2013?绵阳） 2013 年，我国上海和安徽首先发现 “ H7N9”禽流感， H7N9 是一种新型禽流感，其病毒颗
粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为
0.00000012 米，这一直径用科学记数法表示为（
）
A ． 1.2 ×10-9 米
B． 1.2 ×10-8 米
3 8 ，0.131131113 …，-π，
25 ，
1
，无理数的个数有 （
）
7
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
1． B
考点二、实数的有关概念。
例 2 （ 2013?遵义）如果 +30m 表示向东走 30m，那么向西走 40m 表示为（
）
A ． +40m
B． -40m
C． +30m
D ．-30m
解： 根据题意得， a+1=0， b-1=0 ，解得 a=-1 ， b=1，所以，（ ab） 2013=（-1 ×1） 2013=-1．
故选 C．
点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为
0 时，这几个非负数都为 0．
对应训练
11．（2013?攀枝花） 已知实数 x，y，m 满足 x 2 +|3x+y+m|=0 ，且 y 为负数， 则 m 的取值范围是 （ ）
，记做 ± a ，其中正数 a 的
平方根叫做 a 的算术平方根，记
做
，正数有
个平方根，它们互为
， 0 的平方根是
，负数
平方根。
2、若 x 3=a,则 x 叫做 a 的
，记做 3 a ，正数有一个
如何在初中数学中培养学生的数感
如何在初中数学中培养学生的数感[摘要] 《数学课程标准》倡导“以学生的终身发展为本”的理念，注重培养学生的自主学习和创新能力，本文从课堂教学的实践出发，从创设良好的学习环境，激发学习兴趣，培养学生的自信心以及加强思维训练等方面，来培养初中学生的数感。
【关键词】初中数学培养创新能力《全日制义务教育数学课程标准》中，第一次明确地把数感作为数学学习的内容提出来，这是前所未有的。
《数学课程标准》中有六个核心概念，它们是：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。
数感摆在首要位置，可见，让学生在数学学习过程中建立数感，是新课程十分强调和重视的问题。
那么数感的重要性体现在哪里呢？1 数感的建立是提高每一个学生数学素养的重要标志1.1 通过估算，培养数学素养。
以某校开展“从我做起，保护环境、爱护地球”活动为例，为增加说服力，教师可以这样设计问题，要求学生估算解答：“全国的初中学生如果每人每天浪费一小张纸，一年全国初中学生要浪费多少吨纸？要用多少辆卡车运输？”这道题里的初中学生数、一小张纸有多大多重、一辆卡车能运几吨等数据都必须做出合理的估计，并在此基础上进行估算，若全国有1.3亿初中学生，纸张就算一人一天浪费30克的16开的小纸张，而一辆卡车的载重量为5吨，那么在这些基本数据的基础上进行计算，真是“不算不知道，一算吓一跳”。
根据题意，全国的初中学生一年浪费的纸张达14235吨，要用2847辆卡车才能运完。
同时还可以结合题目让学生谈谈如何保护环境、爱护地球。
这样的活动在提高学生估算能力的基础上，使学生养成从数学的角度观察和认识事物的习惯，并逐步学会把简单的实际问题表示为数学问题。
1.2 介绍古代记数方法，丰富数学知识。
人们可以用不同的方式表示数，抽象的数字符号不是表示数的唯一方式。
人类早期对数的认识是从实物、代替物、图形，逐渐发展为数字符号的。
数感，使人眼中看到的世界有了量化的意味，当我们遇到可能与数学有关的具体问题时，就能自然地、有意识地与数学联系起来，或者试图进一步用数学的观点和方法来处理解决，即会“数学地”思考，了解古代记数方法和演变过程，可以丰富学生的数学知识，有助于培养他们的数学素养。
中考数学善于学习 养成习惯有“数感”
中考数学善于学习养成习惯有“数感”佚名擅长学习数学的同窗能够对数学学习曾经构成习气，进而有〝数感〞知道哪里需求补充学习、怎样有效学习。
而如何构成这种习气呢？下面七各方面可以着重实际练习。
我们要锻炼学数学的才干，要改动单纯接受的学习方式，学会采用接受学习与探求学习、协作学习、体验学习等多样化的方式停止学习，要在教员的指点下逐渐学会〝提出效果—实验探求—展开讨论—构成新知—运用反思〞的学习方法。
在初三数学学习中尤其要做到七个注重：注重构建知识网络——微观掌握数学框架要学会构建知识网络，数学概念是构建知识网络的动身点，也是数学中考考察的重点。
因此，我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类、定义、性质和判定，并会运用这些概念去处置一些效果。
注重夯实数学双基——微观掌握知识技艺在温习进程中夯实数学基础，要留意知识的不时深化，注重强化题组训练——感悟数学思想方法除了做基础训练题、平面几何每日一题外，还可以做一些综合题，并且养成解题后反思的习气。
反思自己的思想进程，反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣，反思各种方法的纵横联络。
而总结出它所用到的数学思想方法，并把思想方法相近的标题编成一组，不时提炼、不时深化，做到举一反三、举一反三。
逐渐学会观察、实验、剖析、猜想、归结、类比、联想等思想方法，自动地发现效果和提出效果。
注重树立〝病例档案〞——做到万无一失预备一本数学学习〝病例卡〞，把往常犯的错误记上去，找出〝病因〞开出〝处方〞，并且经常地拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎样矫正，这样到中考时你的数学就没有什么〝病例〞了。
我们要在教员的指点下做一定数量的数学习题，积聚解题阅历、总结解题思绪、构成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法。
注重常用公式技巧——做到思想矫捷准确对经常运用的数学公式要了解来龙去脉，要进一步了解其推理进程，并对推导进程中发生的一些能够变化自行探求。
初中数学知识要点和典型例题
初中数学知识要点及典型例题第一章实数中考要求及命题趋势1.正确理解实数的有关概念；2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质；3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。
4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算5.会用多种方法进行实数的大小比较。
6.用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。
实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。
应试对策牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。
第一讲实数的有关概念【回顾与思考】知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值课标要求：1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2． 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。
3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4． 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。
考查重点：1． 有理数、无理数、实数、非负数概念；2．相反数、倒数、数的绝对值概念；3．在已知中，以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。
实数的有关概念(1)实数的组成{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，(3)相反数实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．(4)绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离(5)倒数实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数．【例题经典】理解实数的有关概念例1 ①a 的相反数是-15,则a 的倒数是_______．②实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示:则化简│b-a │．③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________．例2.(-2)3与-23( )．(A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16 分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。
专题1.2 以数字及图形规律探究问题为背景的选择填空题(解析版)
【考查知识点】探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
这种类题型的题目主要考查了学生分析问题解决问题的能力，也考察了初中数学中的各种数学思想。
【解题思路】掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。
解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.【典型例题】【例1】（2016湖北荆州卷）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A．671 B．672 C．673 D．674【答案】B考点：图形的变化问题【名师点睛】图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.【例2】（2016山东滨州卷）观察下列式子： 1×3+1=22； 7×9+1=82； 25×27+1=262； 79×81+1=802； …可猜想第2016个式子为 ． 【答案】（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2．考点：规律探究题.【名师点睛】数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条件的格式. 对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.【例3】（2016湖北鄂州卷）如图，直线l ：y=－34x ，点A 1坐标为（－3，0）．过点A 1作x 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 2，再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 2016的坐标为 ．【答案】（− 3520142015，0）考点：一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【名师点睛】坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.【例4】（2016福建泉州卷）找出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为 ．【答案】226．考点：规律探究题.【名师点睛】数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.【方法归纳】1.图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.2.对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.3.对于坐标变化规律问题,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.4. 对于数形结合规律型问题，解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.【针对练习】1. （2016甘肃威武卷）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为x n，则x n+x n+1= ．【答案】（n+1）2【解析】试题分析：x1=1，x2=3=1+2，x3=6=1+2+3，x4=10=1+2+3+4，···，∴x n=1+2+3+···+n=()12n n+.∴x n+1+x n=()()122n n+++()12n n+=（n+1）2.考点：探索规律.2．（2016贵州铜仁卷）如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要个铜币．【答案】12n（n+1）+1．考点：规律型：图形的变化类．3．（2016山西卷）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．【答案】4n+1【解析】试题分析：由图可知，涂有阴影的正方形有5+4（n-1）=4n+1个考点：找规律4．（2016云南曲靖卷）等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C 的横坐标是 ．【答案】77．考点：坐标与图形变化-旋转；等腰三角形的性质．5．（2016四川广安卷）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了()na b +（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出20162()x x-展开式中含2014x 项的系数是 ．【答案】﹣4032． 【解析】试题分析：20162()x x-展开式中含2014x 项的系数，根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即﹣2016×2=﹣4032．故答案为：﹣4032．考点：整式的混合运算；阅读型；规律型．6．（2016辽宁抚顺卷）如图，△A 1A 2A 3，△A 4A 5A 5，△A 7A 8A 9，…，△A 3n ﹣2A 3n ﹣1A 3n （n 为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n ，顶点A 3，A 6，A 9，…，A 3n 均在y 轴上，点O 是所有等边三角形的中心，则点A 2016的坐标为 ．【答案】（0，4483）．考点：等边三角形的性质；规律型：点的坐标．7．（2016四川资阳卷）设一列数中相邻的三个数依次为m 、n 、p ，且满足p=m 2﹣n ，若这列数为﹣1，3，﹣2，a ，﹣7，b…，则b= ． 【答案】128． 【解析】试题分析：根据题意得：a=23﹣（﹣2）=11，则b=211﹣（﹣7）=128．故答案为：128． 考点：规律型：数字的变化类．8．（2016福建三明卷）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点1P （0，1），2P （1，1），3P （1，0），4P （1，－1），5P （2，－1），6P （2，0），…，则点60P 的坐标是 .【答案】（20,0）. 【解析】试题分析：观察图形可得，点60P 在x 轴上，它的横坐标为60÷3=20，所以点60P 的坐标是（20,0）. 考点：规律探究题.9．（2016福建龙岩卷）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1+S 2+S 3+…+S 10= ．【答案】.考点：1探索规律；2圆；3勾股定理. 10．（2016湖北黄石卷）观察下列等式：第1个等式：122111-=+=a ，第2个等式233212-=+=a ，第3个等式：322313-=+=a ，第4个等式：255214-=+=a ， 按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：=n a ___________________； （2）=++++n a a a a 321__________________. 【答案】（1）n n n n -+=++111；（2）11-+n .考点：规律探究题.11．（2016河北卷）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A 出发后射向OB 边.若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A=90°-7°=83°.当∠A ＜83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1=∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A=_____°. ……若光线从点A 发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角∠A 的最小值=_______°. 【答案】76°，6°. 【解析】试题分析：先求∠2=83°，∠AA1A2=180°-83°×2=14°，，进而求∠A=76°；根据题意可得原路返回，那么最后的线垂直于BO ，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍......，2∠1=180°-14°×n ，在利用外角性质，∠A=∠1-7°=83°-7°×n ，当n=11时，∠A=6°。
中考数学专题复习题目好
第123（a 4567（a 8个23（45 6 73 8c= 5＞c＞b ＞c＞ax|－≤X≤4x＜4，得出=－1=171、2l－2A3、4再用5、(2)(3)45，2 3、A 2=a2 C. 12345（1（2 67（1时，0．34 5 61 23 3总2=(2)(3)12A34A5AD6105a a=aa=；题是（）B．② C．③7a ＋3则，123⑴⑵4 51A）0是(2) 2123⑵⑶3⑴⑵≥0，2．若b2 x＋4）以保证2、3 (m4 A C 3 5、A C66 y y 0 =．l5题）7、一元一次不等式组的解．（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。
8．求不等式（组）的正整数解，整数解等特解，可先求出这个不等式的解集，再从中找出所需特解． 9、列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：①设未知数；②找不等关系；③列不等式（组）④解不等式（组）⑤检验，其中检验是正确求解的必要环节．二、考点训练1、（2004、北碚）关于x 的不等式2x －a≤－1的解集如图所示，则a 的取值是（ ） （ ）A.0B.－3C.－2D.－12、若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）3、（2004、湟中）. 设 A 、B 、 C 表表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图1－1－2所示，那么“ A ”、“B ”、“ C ”这三种物体按质量从大到小的顺序排应为（ ） A 、A B C B 、C B AC 、 B A CD 、B C A 4、已知关于x 的不等式(1－a)x ＞3的解集为x<31-a，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＜0D ．a＜15、已知关于x 的方程 3x －（2a －3）=5x+（3a+6）的解是负数，则a 的取值范围是________6、使不等式x －5＞4x —l 成立的值中的最大的整数是（ ）A ．2B ．－1C ．－2D ．07、（2004、汉中，3分）把不等式组x+1>0x-10⎧⎨≤⎩的解集表示在数轴上，确的是图l －l－6中的（ ）8、（2004、海淀模拟，3分）若不等式组15b＞b 2、3、4、y 1、（12.3. 4. 56(1x A 1x 2.（1（23.（1（2（316、中，ABCDAD7、AD8、1、，-1），．1P2，P3，，BC∥°后，请ABCD x轴、y1、1 (1)当k<0 y是x y随随x的方法叫做待定系数法可用待定系数法求一次函数、二次函数和反比例函数的解析式 二、考点训练1、若函数y=（m 2-1）x 235m m +-为反比例函数，则m=________． 2、若一次函数y=2x222m m --+m-2的图象经过第一、第二、三象限，则m= ．3、（2006年常德市）已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）是反比例函数y=•的图象上的三点，且x 1<x 2<0<x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3<y 2<y 1 B ．y 1<y 2<y 3 C ．y 2<y 1<y 3 D ．y 2<y 3<y 14、已知矩形的面积为10，则它的长y 与宽x 之间的关系用图象大致可表示为（ ）5、（2006年威海市）如图，过原点的一条直线与反比例函数y=kx（k<0）的图像分别交于A 、B 两点，若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点的坐标为（ ）A ．（a ，b ）B ．（b ，a ）C ．（-b ，-a ）D ．（-a ，-b ） （第5题） （第6题）6、（06年长春市）如图，双曲线y=8x的一个分支为（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④7、如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，则kx+b>0的解集是（ ） A ．x>0 B ．x>2 C ．x>-3 D ．-3<x<28、（2006年贵阳市）函数y 1=x+1与y 2=ax+b 的图象如图所示，•这两个函数的交点在y 轴上，那么y 1、y 2的值都大于零的x 的取值范围是_______． 9、（2005年杭州市）已知一次函数y=kx-k ，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图像经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限10、（2006年绍兴市）如图，一次函数y=x+5的图象经过点P （a ，b ）和点Q （c ，d ），•则a （c-d ）-b （c-d ）的值为________．1112 1、（（22、高yy=kx+bAAOCB y轴上，AB边翻折，E处，．123、y 451、AC 22所示，x=1；其中正．43个单）2 D. ，-3）函数y=-4则②c>0；D 78 9y=ax2+c 的三个．x时的x为且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面积．四、综合应用1、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.2、（06年常州市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a（x-1）2+k•的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD•是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．专题十二二次函数的应用一、考点扫描二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二、例题剖析1、（2006年旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．2、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）1523…y（件）2521…若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？3、在距离地面2m高的某处把一物体以6、（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下． 三、综合应用1、如图10，点A 在抛物线214y x =上，过点A 作与x 轴平行的直线交抛物线于点B ，延长AO,BO 分别与抛物线218y x =-相交于点C,D ，连接AD,BC ，设点A 的横坐标为m ，且m>0．（1）当m=1时，求点A,B,D 的坐标； （2）当m 为何值时，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直；（3）猜想线段AB 与CD 之间的数量关系，并证明你的结论．2、如图，已知抛物线234y x bx c =-++与坐标轴交于A 、B 、C 三点，点A 的横坐标为-1，过点C(0,3)的直线334y x t=-+与x轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH ⊥OB 于点H ．若PB=5t ，且0<t<1．（1）确定b c ，的值：__________b c ==，； （2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P 用含t 的式子表示）：(______)(______)(______)B Q P ，，，，，；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．专题十三 函数的综合应用 一、考点扫描函数应用 1.:2.:3.:4.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩一次函数图像及性质二次函数图像及性质反比例函数图像及性质综合应用二、考点训练1．在函数y=2x，y=x+5，y=x 2的图象中是中心对称图形，且对称中心是原点的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列四个函数中，y 随x 的增大而减少的是（ ）A ．y=2xB ．y=-2x+5C ．y=-3xD ．y=-x 2-2x-13．函数y=ax 2-a 与y=a x（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ 4．函数y=kx-2与y=k x（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）5．如图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图象，观察图象写出Axy BC O D图6 6．7．8．1、2xy1y2y /1．2．3 4．5．67 D．x（kg）1=k1x+a1y1，．不第x（件）21件3．②③L23吨4吨k≠0）的解为次函数（k时，y 1=0；当x______时，y 1<0；当x______时，y 1>y 2．3、如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b 的图象．（1）根据图象，求k ，b 的值；（2）在图中画出函数y=-2x+2的图象； （3）求x 的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．4、育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商购买，每件需要8元；方案2：•学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x 件，方案1与方案2的费用分别为y 1，y 2（元）．（1）分别写出y 1，y 2的函数表达式； （2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由． 5、如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象），•根据图象解答下 列问题： （1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？ （3）问快艇出发多长时间赶上轮船？ 四、综合应用1、如图所示，设田地自动喷灌水管AB高出地面1.5米，在B•处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流是抛物线状，喷头B•和水流最高点C•的连线与水平地面成45°角，点C 比B 高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D 到点A 的距离是多少？。
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数感
前言
——由薄到厚，再由厚到薄：分析与综合，发散与收敛de辩证统一恒等变形是中学代数de基本功，对形de感觉如对称性、结构意识在初高中那种按部就班de教学模式中很难培养。
恒等变形能力de缺失会让学生在选拔考中难以出类拔萃，在中高考压轴题上也容易吃亏。
面对计算量大，分类讨论繁琐de题，对于速度慢de孩子不仅时间不够用，还容易忙中出错。
小册子讲de是代数、函数以及方程不等式恒等变形de结构意识。
这些内容在小册子里de讲法虽然与课堂上讲de不一样，但讲de是同一件事情。
正如一尊美丽de雕像，从不同de角度看，它是不同de，但都是同一尊雕像。
小册子既注重基础又侧重能力，题目活而不难，巧而不偏，新而不怪。
高观点低起点，从入门到提高，注重思维，培养创新能力，书中很多解题心法是提升数学实力de不二法门。
读完小册子，回顾一下什么是结构，如何完形填空，核心是有相同特征de 数或式子配对。
这些东西你弄清楚后，便会发现小册子里讲de东西并不多，它们之间de逻辑关系很简单。
如果你把所有de例题仔细研读完，便会发现这不多de基本知识，应用起来却很广泛，用得好能帮你解决不少问题。
学数学就是由少到多，再由多到少de过程，这与读书先由薄到厚，在由厚到薄是一样de道理。
刚开始学新东西容易眼花缭乱，等学通了想透了，你会发现基本de观点并不多，抓住这么几点感觉就到位了；更进一步，应用你学到de 基本原理去解决问题，你会发现基本原理只有那么几条，应用起来却变化无穷，而你不知道de知识却如汪洋大海，茫茫无边，这就是知道de越多，不知道de就越多de道理。
但你不必深陷题海，应当进入下一个学习周期，去学习新de内容。
目录
前言：由薄到厚，再由厚到薄——分析与综合，发散与收敛de辩证统一第一章：有理数计算入门心法——找片段、定符号、代数和
第二章：整式加减入门与提高——一步去三重括号、结构意识训练
第三章：一元一次方程结构意识训练
第四章：一元一次不等式结构意识训练与检查方法
第五章：整式乘法结构意识训练与特殊值代入检验法
第六章：寻找阿喀琉斯之踵——在等待中寻找简算机会。
第七章：综合除法，待定系数法与双十字相乘法——结构意识de综合提高第八章：因式分解之轮换对称——结构意识培养de巅峰
第九章：较繁琐de整式乘除——交叉线口算各项系数
第十章：分式——消元、换元、对称性是必杀技
第十一章：分式难题突破——利用轮换对称破了冲虚道长de太极剑
第十二章：二次根式——消元、换元、配共轭是好手段
第十三章：函数与二次不等式——口算函数解析式和不等式解集
第十四章：三角函数——消元、换元、记住常用数据是纵云梯
第十五章：综合题——分析结构，填系数，整理结果三步舞曲
第十六章：关于数感de一些问题
附录：初高中数学知识存在de“脱节”
后记：气蒸云梦泽，波撼岳阳城
第一章：有理数计算入门心法
单看加减乘除简单，但综合起来未必简单，主要体现在符号糅杂de 复杂题。
计算题带上了绝对值，准确度就会成问题。
加减整体去括号de 方法是数括号外 负号个数，奇负偶正；乘除同级去括号de 方法是数括号外除号个数，奇除偶乘。
找片段，定符号，代数和，这是结构意识de 入门功夫，必须修炼到位。
2020 例 1：123456 1 125 3
4 5 673 2020 分析：此题我们首先找片段123456和 1 125 3 5
673 4 我们把两个大片段de 符号确定第一个显然为正，第二个负因数为奇数个积为负。
①常规方法：第一个片段我们设法直接化归为连乘 1234561 2 4 1 4 1 5 2 5
2 1 5 36 5
3 6 3 6 3
4 6 深入思考 a b c a b c a bc a b c 这是乘除同级去括号
de 方法。
我们数除号个数奇除偶乘：2是÷，3是÷，4外面de 除号个数 2个是÷，5是 1 1 36 5 ÷因为外面 3个除号，6是÷，然后化归到连乘1 34 6 2 5 2020 2020 52019 81 ②第二个片段要配对： 1 125 3 5 1 81 5
673 4
5
12020 1 1 36 81 ③再代数和：原式 1 34 6 52019 81 9 5 2 5 5 5 注：代数和就是省略了加号和括号，包括后面de 整式加减都是带符号走de 。