函数解析式与复合函数常见题型知识点练习

函数解析式与复合函数常见题型练习

一． 解析式的求法

1. 代入法

例1、()21f x x =+，求(1)f x +

2. 待定系数法

例2、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()0f x =的两实根平方和为10，

图像过点(0,3)，求()f x 解析式

3. 换元法

例3、2134(31)x x

f x +-+=

，求()f x 解析式

4. 配凑法

例4、2(31)965f x x x +=-+，求()f x 解析式

5. 消元法（构造方程组法，赋值法）

例5、2()()1f x f x x +-=-，求()f x 解析式

6. 利用函数的性质求解析式

例6、已知函数()y f x =是定义在区间33,22[]-上的偶函数，且32[0,]x ∈时，25()x f x x -+=- (1)求()f x 解析式

(2)若矩形ABCD 顶点,A B 在函数()y f x =图像上，顶点,C D 在x 轴上，求矩形ABCD 面积的最大值

例7、已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值，最小值为-5

（1）证明：(1)(4)0f f +=

（2）试求()y f x =，[1,4]x ∈的解析式

（3）试求()y f x =在[4,9]x ∈上的解析式

二、复合函数的性质

1、复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：

)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,

)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.

求复合函数单调区间的步骤是：

(1)求函数的定义域；

(2)用换元法把复合函数分解成常见函数；

(3)求各常见函数的单调区间；

(4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间；

(5)按复合函数单调性的规律，求出复合函数的单调区间．

例8、 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)

例9、求复合函数213

log (2)y x x =-的单调区间

例10、求y=2x 6x 7--的单调区间和最值。

例11、 求y=12x x 221--⎪⎭⎫ ⎝⎛的单调区间。

2、复合函数[])(x g f y =的奇偶性

若函数[])(),(),(x g f x g x f 的定义域都是关于原点对称的,那么由 )(),(u f y x g u ==的奇偶性得到[])(x g f y =的奇偶性的规律是:

即当且仅当)(x g u =和)(u f y =都是奇函数时,复合函数[])(x g f y =是奇函数. 作业：

1、若函数(1)f x -定义域为(3,4]，则函数f 的定义域为

2、已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是

3、已知2211()f x x x x

-=+，则(1)f x += 4、已知2(1)34f x x x +=++，则()f x =

5、已知函数()f x 的图像与函数1()2h x x x

=+

+的图像关于点A(0,1)对称 （1）求函数()f x 的解析式

（2）若()()a g x f x x =+，且()g x 在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围 6、设()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，求[2

,0]x ∈-时()f x 的解析式

7、()f x =R,则求m 的取值范围

8、已知函数211()log 1x f x x x +=

--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。 9、求函数)5,0[,)3

1(42∈=-x y x x 的值域。 10、求函数11()()142x x y =-+在[]3,2x ∈-上的值域。