函数解析式与复合函数常见题型知识点练习

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(完整版)函数解析式的练习题兼答案

函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；1．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=x+2，则f（x）=（）A．x+1 B．2x﹣1 C．﹣x+1 D．x+1或﹣x﹣1【解答】解：f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，f[f（x）]=x+2，可得：k（kx+b）+b=x+2．即k2x+kb+b=x+2，k2=1，kb+b=2．解得k=1，b=1．则f（x）=x+1．故选：A．(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；9．若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（）A．f（x）=9x+8 B．f（x）=3x+2C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣4【解答】解：令t=3x+2，则x=，所以f（t）=9×+8=3t+2．所以f（x）=3x+2．故选B．(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；18．已知f（）=，则（）A．f（x）=x2+1（x≠0）B．f（x）=x2+1（x≠1）C．f（x）=x2﹣1（x≠1）D．f（x）=x2﹣1（x≠0）【解答】解：由，得f（x）=x2﹣1，又∵≠1，∴f（x）=x2﹣1的x≠1．故选：C．19．已知f（2x+1）=x2﹣2x﹣5，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=4x2﹣6 B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=x2﹣2x﹣5【解答】解：方法一：用“凑配法”求解析式，过程如下：；∴．方法二：用“换元法”求解析式，过程如下：令t=2x+1，所以，x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2﹣2×（t﹣1）﹣5=t2﹣t﹣，∴f（x）=x2﹣x﹣，故选：B．(4)消去法：已知f(x)与f 或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).21．若f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，则f（2）=（）A．﹣ B．2 C．D．3【解答】解：∵f（x）对任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）=2x+1，∴用﹣x代替式中的x可得f（﹣x）﹣2f（x）=﹣2x+1，联立可解得f（x）=x﹣1，∴f（2）=×2﹣1=故选：C函数解析式的求解及常用方法练习题一．选择题（共25小题）2．若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）的值为（）A．6 B．9 C．16 D．273．已知指数函数图象过点，则f（﹣2）的值为（）A．B．4 C．D．24．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]=4x+8，则f（x）=（）A． B．﹣2x﹣8 C．2x﹣8 D．或﹣2x﹣85．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），若f（1）=2，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=4x B．f（x）=2x C． D．6．已知函数，则f（0）等于（）A．﹣3 B．C．D．37．设函数f（x）=，若存在唯一的x，满足f（f（x））=8a2+2a，则正实数a的最小值是（）A．B．C．D．28．已知f（x﹣1）=x2，则f（x）的表达式为（）A．f（x）=x2+2x+1 B．f（x）=x2﹣2x+1C．f（x）=x2+2x﹣1 D．f（x）=x2﹣2x﹣110．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，当x＜0时f（x）=（）A．B．C．D．11．已知f（x）=lg（x﹣1），则f（x+3）=（）A．lg（x+1）B．lg（x+2）C．lg（x+3）D．lg（x+4）12．已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（）A．0 B．1 C．log23 D．313．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+414．如果，则当x≠0且x≠1时，f（x）=（）A．B．C．D．15．已知，则函数f（x）=（）A．x2﹣2（x≠0）B．x2﹣2（x≥2）C．x2﹣2（|x|≥2）D．x2﹣216．已知f（x﹣1）=x2+6x，则f（x）的表达式是（）A．x2+4x﹣5 B．x2+8x+7 C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣1017．若函数f（x）满足+1，则函数f（x）的表达式是（）A．x2B．x2+1 C．x2﹣2 D．x2﹣120．若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x﹣1），则g（x）的表达式为（）A．g（x）=2x+1 B．g（x）=2x﹣1 C．g（x）=2x﹣3 D．g（x）=2x+7 22．已知f（x）+3f（﹣x）=2x+1，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=x+ B．f（x）=﹣2x+C．f（x）=﹣x+D．f（x）=﹣x+ 23．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．324．若函数f（x）满足：f（x）﹣4f（）=x，则|f（x）|的最小值为（）A．B．C．D．25．若f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，则f（2）的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．二．解答题（共5小题）26．函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．27．已知f（x）=2x，g（x）是一次函数，并且点（2，2）在函数f[g（x）]的图象上，点（2，5）在函数g[f（x）]的图象上，求g（x）的解析式．28．已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，（1）求g（x）的解析式；（2）求g（5）的值．29．已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．30．已知定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=2x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式．函数解析式的求解及常用方法练习题参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）2．【解答】解：幂函数f（x）的图象过点（2，8），可得8=2a，解得a=3，幂函数的解析式为：f（x）=x3，可得f（3）=27．故选：D．3．【解答】解：指数函数设为y=a x，图象过点，可得：=a，函数的解析式为：y=2﹣x，则f（﹣2）=22=4．故选：B．4．【解答】解：设f（x）=ax+b，a＞0∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=4x+8，∴，∴，∴f（x）=2x+．故选：A．5．【解答】解：∵f（x）=a x（a＞0，a≠1），f（1）=2，∴f（1）=a1=2，即a=2，∴函数f（x）的解析式是f（x）=2x，故选：B．6．【解答】解：令g（x）=1﹣2x=0则x=则f（0）===3 故选D7．【解答】解：由f（f（x））=8a2+2a可化为2x=8a2+2a或log2x=8a2+2a；则由0＜2x＜1；log2x∈R知，8a2+2a≤0或8a2+2a≥1；又∵a＞0；故解8a2+2a≥1得，a≥；故正实数a的最小值是；故选B．8．【解答】解：∵函数f（x﹣1）=x2∴f（x）=f[（x+1）﹣1]=（x+1）2=x2+2x+1 故选A．10．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣（1﹣x），又f（x）是奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=（1﹣x）．故选D．11．【解答】解：f（x）=lg（x﹣1），则f（x+3）=lg（x+2），故选：B．12．【解答】解：函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=f（）=log23．故选：C．13．【解答】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1 ∴f（x）=3x﹣1故答案是：A 14．【解答】解：令，则x=∵∴f（t）=，化简得：f（t）=即f（x）=故选B15．【解答】解：=，∴f（x）=x2﹣2（|x|≥2）．故选：C．16．【解答】解：∵f（x﹣1）=x2+6x，设x﹣1=t，则x=t+1，∴f（t）=（t+1）2+6（t+1）=t2+8t+7，把t与x互换可得：f（x）=x2+8x+7．故选：B．17．【解答】解：函数f（x）满足+1=．函数f（x）的表达式是：f（x）=x2﹣1．（x≥2）．故选：D．20．【解答】解：用x﹣1代换函数f（x）=2x+3中的x，则有f（x﹣1）=2x+1，∴g（x+2）=2x+1=2（x+2）﹣3，∴g（x）=2x﹣3，故选：C．22．【解答】解：∵f（x）+3f（﹣x）=2x+1…①，用﹣x代替x，得：f（﹣x）+3f（x）=﹣2x+1…②；①﹣3×②得：﹣8f（x）=8x﹣2，∴f（x）=﹣x+，故选：C．23．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．24．【解答】解：∵f（x）﹣4f（）=x，①∴f（）﹣4f（x）=，②联立①②解得：f（x）=﹣（），∴|f（x）|=（），当且仅当|x|=2时取等号，故选B．25．【解答】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，∴，①﹣②×2得﹣3f（2）=3，∴f（2）=﹣1，故选：B．二．解答题（共5小题）26．【解答】解：（Ⅰ）由得，解得m=﹣1，a=2，故函数解析式为f（x）=﹣1+log2x，（Ⅱ）g（x）=2f（x）﹣f（x﹣1）=2（﹣1+log2x）﹣[﹣1+log2（x﹣1）]=，其中x＞1，因为当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log2x﹣1在（0，+∞）上单调递增，则，故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．27．【解答】解：设g（x）=ax+b，a≠0；则：f[g（x）]=2ax+b，g[f（x）]=a•2x+b；∴根据已知条件有：；∴解得a=2，b=﹣3；∴g（x）=2x﹣3．28．【解答】解：（1）∵已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，∴，且g（x）≠﹣3．解得g（x）=（x≠﹣1）．（2）由（1）可知：=．29．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+mx+n，且f（0）=f（1），∴n=1+m+n．…（1分）∴m=﹣1．…（2分）∴f（x）=x2﹣x+n．…（3分）∵方程x=f（x）有两个相等的实数根，∴方程x=x2﹣x+n有两个相等的实数根．即方程x2﹣2x+n=0有两个相等的实数根．…（4分）∴（﹣2）2﹣4n=0．…（5分）∴n=1．…（6分）∴f（x）=x2﹣x+1．…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）=x2﹣x+1．此函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．…（8分）∴当时，f（x）有最小值．…（9分）而，f（0）=1，f（3）=32﹣3+1=7．…（11分）∴当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域是．…（12分）30．【解答】解：（1）∵定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数，∴f（x）=g（x）+x3，故f（﹣x）=g（﹣x）+（﹣x）3=﹣g（x）﹣x3=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（2）∵x＞0时，f（x）=2x，∴g（x）=2x﹣x3，当x＜0时，﹣x＞0，故g（﹣x）=2﹣x﹣（﹣x）3，由奇函数可得g（x）=﹣g（﹣x）=﹣2﹣x﹣x3．。

复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质

复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质复合函数练习题：计算复合函数的导数与相关性质复合函数是数学中一种重要的概念，它在微积分、代数以及其他数学领域中都有广泛的应用。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解复合函数的导数计算以及相关的性质。

练习题一：设函数f(x) = x^2和g(x) = √x，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。

解答：首先，我们先求f(g(x))的导数。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。

因此，我们需要先求出f'(x)和g'(x)。

对于函数f(x) = x^2，我们可以直接求导得到f'(x) = 2x。

对于函数g(x) = √x，我们也可以直接求导得到g'(x) = 1 / (2√x)。

接下来，将f'(x)和g'(x)代入链式法则公式中，我们可以得到f(g(x))的导数为f'(g(x)) * g'(x) = 2g(x) * (1 / (2√g(x))) = √g(x)。

同样的方法，我们使用链式法则来求g(f(x))的导数。

根据链式法则，g'(f(x)) * f'(x)。

将g(x)和f'(x)代入公式中，我们可以得到g(f(x))的导数为g'(f(x)) * f'(x) = (1 / (2√f(x))) * 2f(x) = (√f(x) / f(x))。

练习题二：设函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。

解答：首先，求出函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1的导数。

对于函数f(x) = sin(x)，我们可以直接求导得到f'(x) = cos(x)。

对于函数g(x) = x^2 + 1，我们可以直接求导得到g'(x) = 2x。

复合函数练习题附答案

复合函数练习题附答案21、已知函数f的定义域为[0,1]，求函数f的定义域。

析：由已知，x?[0,1],故x?[?1,1]。

所以所求定义域为[?1,1]2、已知函数f的定义域为[?3,3]，求f的定义域析：由已知x的范围为[?1,1],那么3?2x的范围为[1,5],从而f 的定义域为[1,5]3、已知函数y?f的定义域为，求f的定义域。

由f 的定义域可知f的定义域为,则求f的定义域应满足析：132x?1?,解得x??224、设f?x??lg2?x?x??2?，则ff??的定义域为?x?2??x?A. ??4,00,4?B. ??4,?11,4?C. ??2,?11,2?D. ??4,?22,4??x?0，即?0,得?2?x?2.那么由题意应有2?x析：?-2?x??4?x?4??2,解得?,综上x??,选B?2x??1或x?12??2x?5．函数y＝log1的单调递减区间是2A． B．C． D．析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。

对于对数型复合函数，应先求定义域，即x2?3x?2?0,得定义域为?.由于外函数是以0?1?1为底，故为减函数。

则求y的减区间，只需要求内函数的增23区间。

内函数为t?x2?3x?2，其对称轴为x?,在函数y的定义域内，t在上2为增函数，所以选择B6．找出下列函数的单调区间.y?a?x2?3x?2；解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。

令t??x2?3x?2,则y?at,t??x2?3x?2。

由于a?1,则外函数为增函数，由同增异减可知，t的增区间即为y的增区间。

而内函数t的333,即t在上位增函数，在上位减函数，从而函22233数y的增区间为，减区间为22对称轴为x?y?2x2?2x?3.解：设t??x2?2x?3，则y?2t.因?x2?2x?3?0,得?1?x?3.由?x2?2x?3对称轴为x?1.即内函数t的增区间为[?1,1],减区间为[1,3]。

函数解析式问题常见题型

求函数解析式问题的归类解析函数解析式分类总结如下：一、已知)(x f 的解析式求))((x g f例1已知)1(12)(2>-+=x x x x f ，2)(+=x x g ，求))((x g f 解析式。

解：用2+x 代替)(x f 中的x 得761)2(2)2())((22-+=-+++=x x x x x g f ,因))((x g f 中的f 作用对象为2+x ，故12>+x ，解得1->x所以)1(76))((2->-+=x x x x g f评析：此类问题只需用内函数的解析式代替外函数中的x 即得,注意由外函数的定义域即内函数的值域,求出复合函数的定义域.二、已知))((x g f 的解析式求)(x f 的解析式例2已知1)12(2-+=-x x x f ,求)(x f 的解析式解：令t x =-12，则21+=t x ，代入1)12(2-+=-x x x f 得, 41234121)21()(22-+=-+++=t t t t t f ，即41234)(2-+=x x x f 评析：换元法是解此类问题的常用方法，注意外函数的定义域即内函数的值域求外函数的定义域。

例3已知221)1(xx x x f +=+，求)(x f 解：2)1(1)1(222-+=+=+x x xx x x f ，用x 代替x x 1+得 ∴2)(2-=x x f ， 21-≤+x x 或21≥+xx ，∴)(x f 的定义域为2-≤x 或2≥x ∴)22(2)(2≥-≤-=x x x x f 或评析：本题应用了配凑法，注意定义域的变化。

此类问题的求解关键是理顺关系,注意前者与后者式子的意义，因题制宜采用换元法、配凑法求解。

三、已知)()(x g x f +解析式求)(x f 解析式例4已知x xf x f =+)1(2)(，求)(x f 解析式解：用x 1代替x x f x f =+)1(2)( ①中的x 得xx f x f 1)(2)1(=+ ② ①-2×②得332)(x x x f -= 评析：解此类问题观察所给式子的特点,再构造一个关于)(),(x g x f 的方程，将)(),(x g x f 看作两个未知量，用方程法解出)(x f 。

初中数学知识点函数的运算与复合函数

初中数学知识点函数的运算与复合函数初中数学知识点：函数的运算与复合函数函数是数学中常见且重要的概念之一，它描述了两个集合之间的某种特定关系。

在初中数学中，我们学习了函数的运算以及复合函数的概念与性质。

本文将详细介绍函数的运算和复合函数的相关知识点。

一、函数的运算1. 函数的加减运算给定两个函数f(x)和g(x)，它们的和函数是指对应自变量x的函数值相加得到的一个新函数，记作f(x)+g(x)。

同样，差函数是指对应自变量x的函数值相减得到的一个新函数，记作f(x)-g(x)。

2. 函数的乘法运算给定两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数是指对应自变量x的函数值相乘得到的一个新函数，记作f(x)·g(x)。

需要注意的是，乘法运算只适用于定义域相同的函数。

3. 函数的除法运算给定两个函数f(x)和g(x)，其中g(x)≠0，它们的商函数是指对应自变量x的函数值相除得到的一个新函数，记作f(x)/g(x)。

二、复合函数1. 复合函数的定义给定两个函数f(x)和g(x)，将g(x)的输出作为f(x)的输入，得到一个新的函数h(x)，则称h(x)为f(x)与g(x)的复合函数，记作h(x) = f[g(x)]。

2. 复合函数的运算法则复合函数的运算遵循以下法则：（1）f[g(x)] ≠ g[f(x)]，即复合函数的次序不能颠倒。

（2）如果f(x)和g(x)均为可逆函数，则复合函数h(x)也是可逆函数，并且其逆函数为[g⁻¹∘f⁻¹](x)。

3. 复合函数的应用复合函数在数学中具有广泛的应用，特别是在实际问题的建模过程中。

通过将一种函数的输出作为另一种函数的输入，可以得到更为复杂的函数关系，从而更好地描述实际问题的特征和规律。

三、例题解析为了更好地理解函数的运算和复合函数的概念，下面通过一个例题来进行解析。

例题：已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x²-1，求函数h(x)=f[g(x)]。

函数解析式的几种基本方法及例题

求函数解析式的几种基本方法及例题：1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。

（注意定义域）例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).（2）已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3.（2） 2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+x x2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

（注意所换元的定义域的变化）例2 （1）已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f(2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x Q x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x(2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t tt f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。

应用此法解题时往往需要解恒等式。

例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a四、构造方程组法：已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

第05讲函数解析式的求法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：1、待定系数法：假设函数解析式的类型〔函数是二次函数、指数函数和对数函数等〕时，可以用待定系数法.2、代入法：假设原函数)(x f 的解析式，求复合函数)]([x g f 的解析式时，可以用代入法.3、换元法：假设复合函数)]([x g f 的解析式，求原函数)(x f 的解析式时，可以用换元法.换元时，注意新“元〞的范围.4、解方程组法：假设抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，可以用解方程组的方法.5、实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析式. 【方法讲评】【例1】()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x .【点评】〔1〕此题由于函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.〔2〕由于3(1)2(1)217f x f x x +--=+对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的5217ax b a x ++=+实际上是一个恒等式，所以可以比拟等式两边的系数分别相等列方程组.【例2】函数)sin(ϕ+ω=x A y 〔0,||)2πϖφ><的图形的一个最高点为〔2，2〕，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过〔6，0〕，求这个函数的解析式.【解析】由题得)A y wx φ=∴=+【点评】(1)对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过条件找到关于待定系数的方程〔组〕.(2)对于三角函数)sin(ϕ+ω=x A y 来说，一般利用最小正周期得到ω的方程，利用最值得到A 的方程，利用最值点得到ϕ的方程.【反响检测1】()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且(0)1f =,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式.【例3】函数2()21f x x x =+-，求函数(1)f x -的表达式. 【解析】由题得22(1)2(1)(1)123f x x x x x -=-+--=-【点评】此题就是原函数的解析式，求复合函数的解析式，所以只需直接用“1x -〞代换原函数中的“x 〞即可.这就是代入法求函数的解析式.【例4】函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求当)0,(-∞∈x 时，)(x f 的函数解析式.【点评】此题就是某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式. 一般先在所求的函数的图像上任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.这是高中数学常见到的一种题型，要好好地理解和掌握. 学科.网【反响检测2】设函数1()f x x x=+的图象为1C ，1C 关于点(2,1)A 对称的图象为2C ，求2C 对应的函数()g x 的表达式.【例5】(1)lg f x x +=，求()f x .【解析】令21t x +=〔1t >〕，那么21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，所以2()lg (1)1f x x x =>-.【点评】〔1〕此题就是复合函数的解析式，求原函数的解析式.一般先换元，再求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式.〔2〕换元时，一定要注意新元的取值范围，它就是所求函数的定义域.【反响检测3】 (1cos )cos 2,f x x -=求()2x f 的解析式.方法四解方程组法使用情景抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量.解题步骤利用构造另一个方程，得到一个方程组，解方程组即可.【例6】()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．【解析】12()()3f x f x x += ①，把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-．【点评】在的方程中有自变量x 和1x ，它们互为倒数，所以可以把方程中x 的地方统一换成1x，从而又得到一个关于1(),()f x f x 的方程，解关于1(),()f x f x的方程组即可.【反响检测5】定义在区间(1,1)-上的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x 的表达式. 方法五实际问题法使用情景实际问题解题步骤一般情况下根据函数的意义求出函数的解析式，要注意函数的定义域.【例7】某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车分开A 地的路程()x km 表示为时间()t h 〔从A 地出发是开场〕的函数，再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数．【点评】实际问题中求函数的解析式难度比拟大，一般要认真读题，再根据函数的意义、自变量的意义及其它们之间的关系建立它们之间的函数关系.在写函数的解析式时，要注意函数的定义域.【反响检测6】某公司消费一种产品的固定本钱为0.5万元，但每消费100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数()252x R x x =- ()05x ≤≤万元，其中x 是产品售出的数量〔单位：百件〕.〔1〕把利润表示为年产量的函数()f x ；〔2〕年产量为多少时，当年公司所得利润最大.高中数学常见题型解法归纳及反响检测第05讲：函数解析式的求法参考答案【反响检测1答案】21()212f x x x =++ 【反响检测1详细解析】(0)bx c a ++≠2设二次函数的解析式为f(x)=ax 【反响检测2答案】12(4)4y x x x =-+≠- 【反响检测2详细解析】设(,)x y 是函数()g x 图象上任一点，那么关于(2,1)A 对称点为(4,2)x y --在()y f x = 上，即：1244y x x -=-+-即：124y x x =-+- 故1()2(4)4y g x x x x ==-+≠-. 【反响检测3答案】242()241(f x x x x =-+≤≤【反响检测5答案】21()lg(1)lg(1)(11)33f x x x x =++-+-<< 【反响检测5详细解析】【反响检测6答案】〔1〕()()()219105;242120.255x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩〔2〕当年产量为475件时，公司所得利润最大.〔2〕当05x ≤≤时，()()2121.56254.7522f x x =--+∴当年产量为475件时，公司所得利润最大， ∵该产品最多卖出500件，∴根据问题的实际意义可得，当年产量为475件时，公司所得利润最大.。

函数解析式求法总结及练习题

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b=+=++=++函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ， ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或．二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式．解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ．三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ．x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ．四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点．则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ，点),(y x M '''在)(x g y =上， x x y '+'='∴2．把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ．整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ．解 x x f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x 1，得：xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：xx x f 323)(--=．例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式解 )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴，又11)()(-=+x x g x f ① ，用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f ，即11)()(+-=-x x g x f ② ，解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ，x x x g -=21)( 小结：消元法适用于自变量的对称规律。

高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析

高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设，求的值。

【答案】【解析】先求出来，再由求出，一定要注意定义域选择好解析式．又，而【考点】分段函数的求值2.已知函数,若,则实数的值为 .【答案】【解析】当时，则有，解得或（舍去）；当时，则有，解得，所以．【考点】分段函数的求值．3.已知函数的定义域为集合.（1）若函数的定义域也为集合，的值域为，求；（2）已知,若,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）对数定义域真数大于零求定义域，有真数范围，求值域；（2解不等式（注意移项通分）化分式不等式为整式不等式，，对大小关系分三类讨论，再分别求满足的值.试题解析：（1）由，得，， 2分， 3分当时，，于是，即， 5分，。

7分（2））由，得，即． .8分当时，，满足； 9分当时，，因为，所以解得， 11分又，所以；当时，，因为，所以解得，又，所以此时无解； 13分综上所述，实数的取值范围是． 14分【考点】1.函数定义域值域；2.分类讨论思想；3.集合运算.4.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数5.设，则【答案】【解析】由分段函数有.【考点】分段函数的定义域不同解析式不同.6.已知函数，则【答案】【解析】假设，则，所以=，即.【考点】本题考查的是复合函数的知识点，本题的解法是常用的思维方式，要切记.7.已知 (且)在上是的减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】是定义域内的减函数，又是定义域内的增函数，由复合函数的单调性知(且)在定义域内单调递减，所以对于此题只需恒成立，即恒成立，，，又所以.故选B.【考点】复合函数的单调性8.函数，则（）A．５B．４C．３D．２【答案】D【解析】，所以答案选.【考点】分段函数的求值9.如果函数f(x)的定义域为，且f(x)为增函数，f(xy)=f(x)+f(y)。

（1）证明：；（2）已知f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围。

复合函数知识点总结题型

复合函数知识点总结题型一、复合函数的定义1.1 复合函数的概念复合函数是指一个函数作用于另一个函数的结果，即一个函数的输入值是另一个函数的输出值。

设有两个函数f(x)和g(x)，那么复合函数可以表示为f(g(x))或g(f(x))。

例如，若f(x) = 2x，g(x) = x^2，则f(g(x)) = 2x^2，g(f(x)) = (2x)^2。

1.2 复合函数的符号表示复合函数一般用圆括号来表示，如f(g(x))或g(f(x))，表示函数g和f的复合函数。

若有多个函数进行复合，如f(g(h(x)))，则可以用括号表示复合次序，从内到外进行计算。

1.3 复合函数的定义域和值域复合函数的定义域和值域需要满足前一个函数的值域和后一个函数的定义域的交集，即f(g(x))的定义域是g(x)的定义域，f(g(x))的值域是f的值域。

二、复合函数的性质2.1 复合函数的可交换性对于函数f(x)和g(x)，一般情况下f(g(x)) ≠ g(f(x))，即复合函数的次序一般是不能交换的。

但对于一些特殊的函数，如幂函数、指数函数等，复合函数的次序可以交换。

2.2 复合函数的代数性质复合函数具有分配律、结合律等代数性质，如(f+g)(x) = f(x) + g(x)、(f·g)(x) = f(x)·g(x)等。

2.3 复合函数的可逆性如果两个函数f和g满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称f和g是互逆的函数。

在这种情况下，f和g都是可逆的函数，且f(g(x))和g(f(x))互为逆函数。

三、复合函数的求导3.1 复合函数的导数法则复合函数的求导可以使用链式法则，即对于复合函数f(g(x))，其导数为f'(g(x))·g'(x)。

链式法则是求导复合函数的一般方法，可以推广到多重复合函数的情况。

3.2 复合函数的高阶导数对于复合函数的高阶导数，可以依次求导，或者使用高阶链式法则进行求导。

高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习

高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。

【例1】【例2】【例3】【例4】二、待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

【例1】【解析】【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ①f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b②由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得解得故f（x）= x2+7x.【例3】三、换元（或代换）法：道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。

实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】【解析】【例2】【例3】【例4】（1）在（1（2）1（3）【例5】（1（2）由【例6】四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】解则解得，上，(五)配凑法【例1】：2x当然，上例也可直接使用换元法即由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

【例2】：分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。

实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。

和换元法一样，最后结果要注明定义域。

函数-高考数学常见题型大全

函数常见题型总结一．函数的概念及表达式题型一：函数的概念函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。

例1：下列各组函数中，函数)(x f 与)(x g 表示同一函数的是（1）)(x f ＝x ，)(x g ＝xx 2；（2）)(x f ＝3x －1，)(t g ＝3t －1；（3）)(x f ＝0x ，)(x g ＝1；（4）)(x f ＝2x ，)(x g ＝2(x ；题型二：函数的表达式1.解析式法例2：已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -=（）（A ）74-（B ）54-（C ）34-（D ）14-2.图象法例3：如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．题型三：求函数的解析式.1.换元法例4：已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f =例5：已知f（x 6）＝log 2x，那么f（8）等于2.待定系数法例6：已知二次函数f (x)满足条件f (0)=1及f (x+1)-f (x)=2x。

则f (x)的解析式____________3.构造方程法例7：已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=11-x ,则f(x)=例8：若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有（）A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<二．函数的定义域题型一：求函数定义域问题1.求有函数解析式的定义域问题例9：函数y =的定义域是（）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]32.求抽象函数的定义域问题例10：已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，函数()(21)g x f x =-，则函数()g x 的定义域为()A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(3,1)-D ．((3)f -，f （1）)例11：若函数y ＝)13(-x f 的定义域是[1，2]，则y ＝)12(-x f 的定义域是．题型二：已知函数定义域的求解问题例12：如果函数34)(2++=kx kx x f 的定义域为R，则实数k 的取值范围是.例13：已知函数()f x =的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是_____________例14：已知函数()2()lg 2f x x x a =++，（1）若它的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若它的值域为R ，求实数a 的取值范围．三．函数的值域1.二次函数类型（图象法）:例19：函数()2f x x =-的最小值为．2.单调性法例20：求函数51)(--=x x x f []4,1∈x 的最大值和最小值。

函数解析式求法例题及练习

函数解析式求法例题及练习函数解析式的求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例如，设f(x)是一次函数，且f[f(x)] = 4x + 3，求f(x)。

解：设f(x) = ax + b(a ≠ 0)，则f[f(x)] = af(x) + b = a(ax + b) + b= a^2x + ab + b。

根据题意，有a^2 = 4，即a = 2或a = -2.当a= 2时，b = 1；当a = -2时，b = 3.因此，f(x) = 2x + 1或f(x) = -2x + 3.二、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，常用配凑法。

但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。

例如，已知f(x + 1) = x^2 + 2(x ≥ -1)，求f(x)的解析式。

解：由题意可得f(x + 1) = (x + 1)^2 - 2，即f(x) = x^2 - 2(x ≥ -2)。

三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例如，已知f(x + 1) = x + 2x，求f(x + 1)。

解：令t= x + 1，则t ≥ 1，x = (t - 1)^2.由题意可得f(x + 1) = x + 2x，即f(t) = (t - 1)^2 + 2(t - 1) = t^2 - 1，因此f(x) = x^2 - 1(x ≥ 1)。

四、函数性质法：已知函数奇偶性及部分解析式，求f(x)解析式。

本类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。

例如，已知定义在R上的偶函数f(x)，当x ≥ 2时，f(x) = x -2x^2，求f(x)解析式。

解：当x。

0，依题有f(-x) = (-x) + 2x^2 = x + 2x^2.又因为f(x)是定义在R上的偶函数，故f(-x) = f(x)。

求函数解析式的方法和例题

求函数解析式的方法和例题一、常见的求函数解析式的方法：1. 图像法，通过观察函数的图像特点，可以推测出函数的解析式。

例如，对于一次函数y=kx＋b，可以通过观察函数的图像特点来确定k和b的值。

2. 常数法，对于一些特殊的函数，可以通过代入不同的自变量值，利用函数的性质和已知条件来求解函数的解析式。

例如，对于指数函数y=a^x，可以通过代入x=0、x=1等值来求解a的值。

3. 反函数法，对于已知函数的反函数，可以通过求解反函数来得到原函数的解析式。

例如，对于对数函数y=loga(x)，可以通过求解反函数来得到对数函数的解析式。

4. 组合函数法，对于复杂的函数，可以通过将函数进行分解，然后分别求解各个部分函数的解析式，最后组合得到原函数的解析式。

例如，对于复合函数y=f(g(x))，可以先求解g(x)和f(x)，然后将其组合得到y的解析式。

二、求函数解析式的例题：例题1，已知一次函数y=2x+3，求函数的解析式。

解，根据一次函数的一般形式y=kx+b，可以得到k=2，b=3，因此函数的解析式为y=2x+3。

例题2，已知指数函数y=2^x，且y(1)=4，求函数的解析式。

解，代入x=1，得到2^1=2，因此a=2，所以函数的解析式为y=2^x。

例题3，已知对数函数y=log2(x)，求函数的解析式。

解，对数函数的底数为2，因此函数的解析式为y=log2(x)。

例题4，已知复合函数y=(x+1)^2，求函数的解析式。

解，将函数进行分解，得到g(x)=x+1，f(x)=x^2，因此函数的解析式为y=(x+1)^2。

以上就是关于求函数解析式的方法和例题的介绍。

希望对大家有所帮助，也希望大家在学习数学的过程中能够灵活运用这些方法，提高数学解题能力。