第五章二次曲线的一般理论

221340;x ktx y xy y y k t=+⎧+--=⎨=+⎩与二次曲线交于一点{}{}()()00,,1,,1,v X Y k x y k ===第五章 二次曲线的一般理论§5.1 二次曲线与直线的相关位置1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得()()()222112110,00x x x x x x --------==即故直线在二次曲线上.2.试决定k 的值,使得(1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点;(2) 直线(3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点;(4) 已知直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩ 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k的值解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得()()22250245041604,x x k k k k -++>--+>-->∴<-时直线与二次曲线有两个不同的实交点.(2). 二次曲线的矩阵为12231/201/20----且 .()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120,k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2210,11210,650,4k k k k ∆=+---=-+=即即{}{}()()00,,1,,1,0,v X Y k x y ==121,5,k k ==()22211,2011011X Y X XY Y X Y I φ=++==-==时，：：，同时，()()()()()21211002002100200430,1,3,11).1,,10,2132).3,,,150,21,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为1111(1)/20(1)/21k k ----- 且令解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点.(4). 二次曲线的系数矩阵为221/2211/21k ----且:1:(1)X Y =-取00(,)(1,1),0,x y =<令即27[(1)(1)](2)(3)02k k k ++---+<解得 4924k >，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 4924k ∴>时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。

§5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的.()()()22221230;23426250;324230.x xy y x y x xy y x y xy x y ++++=++--+=--+=解:(1) ∴曲线有一个实渐进方向，是抛物型的.201;0:11:0,1010X Y I ===-或且〈，()()()()2222,3420,:2:32:3,3220,22X Y X XY Y X Y I φ=++==-±--==>时或且∴ 曲线有两个共轭的虚渐进方向,是椭圆型的.(3)∴曲线有两个渐进方向,是双曲型的.2. 判断下列二次曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线.()()()2222221224630;2442210;396620.x xy y x y x xy y x y x xy y x y -+--+=-++--=-+-+=解：(1)2111012I -==≠-，故为中心曲线; ()13111221222231212241,111120,,24A a a aI a a a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-===≠-有且∴ 曲线为无心曲线;()1311121222239333311,3,310a a a A a a a --⎡⎤⎢⎥=-===-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且有∴曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心.()()()()2222222215232360;22526350;3930258150;444420.x xy y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x y -+-+-=++--+=-++-=-++-=()5103131,32828302x y x y x y --=⎧⎪==-⎨-++=⎪⎩解由解得()1,2;-()313229,932a b ba=≠=≠当即时， ∴中心为313(,)2828()5230221,2,532022x y x y x y ⎧+-=⎪⎪=-=⎨⎪+-=⎪⎩由解得∴中心为 ()131112122223343,,1552a a a a a a ==-=-∴ 曲线没有中心.()13111212222342,a a a a a a ===-∴ 曲线为线心曲线,中心直线方程为2x-y+1=0.4. 当a,b 满足什么条件时，二次曲线226340x xy ay x by ++++-=（1） 有唯一中心；（2） 没有中心； （3） 有一条中心直线。

解：因为133/23/23/2/24A a b b =-，21393I a a==-， ∴ （1）当20I ≠即9,a b ≠为任意实数时，曲线有唯一中心；二次曲线没有中心； （3）当a=b=9时，二次曲线有一条中心直线。

5、试证明如果二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=， 有渐近线，则它的两渐近线方程是22001101200220(,)()2()()()0x x y y a x x a x x y y a y y Φ--≡-+--+-= 式中00(,)x y 为二次曲线的中心。

证：设渐进方向为X:Y,在渐进线上任取一点(,)x y ,则00x x Xy y Y-=-.由211122220X X a a a Y Y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2001112220020x x x x a a a y y y y ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭化简，得渐进线方程为：221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=6． 求下列二次曲线的渐进线。

()()()22222216310;232340;322240.x xy y x y x xy y x y x xy y x y --++-=-++-+=++++-=解：（1）由136013221155022x y x y ⎧-+=⎪⎪⎛⎫-⎨⎪⎝⎭⎪--+=⎪⎩解得中心为，，22113360,555521030.x x y y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+---= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=故渐进线方程为即与（2）由()()()()()22310225333202235323,21020.x y x y x y y x y x y ⎧-+=⎪⎪--⎨⎪-+-=⎪⎩-++++--=-+=解得中心为，，故得渐进线方程为x+5即与（3） 原方程变形为2()2()40x y x y +++-=，即为两条平行直线。

其渐进线方程为中心直线：x+y+1=0.7. 试证二次曲线成为线心曲线的充要条件是230I I ==成为无心曲线的充要条件是230,0I I ==.证：（1）若二次曲线为线心曲线，则13111223122223,0a a a I I a a a ====此时有，反之，()()()2,14,2,12,12,F --=----=-1即点不在二次曲线上，且F ()()92510,910280.2x y x y -+-=+-=即()()()()292,10,,2,15,2F F ===1即点2,1在二次曲线上,且F 2,1()222210,02.x xy y x y -----=经过点，()22430,x xy y x y +++++=经过点-2，-1；()22345783021;x xy y x y ++---=在点，()()1222131112231112122231222231222132333131313121212231322132323222322230,,,,0,,,a a a a a I I a a a a I a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλ========--=====1112若则有a 从而有或都有a 即曲线为线心曲线。

（2）若曲线为无心曲线，则()13111223122223,0,0a a a I I a a a =≠=≠从而否则由（1）知曲线为线心曲线，131112231222230,0,,a a a I I a a a =≠=≠反之，若则必有即曲线为无心曲线。

8、求以点（0，1）为中心，且通过点（2，3），（4，2）与（-1，-3）的二次曲线方程。

解：设所求的二次曲线方程为220ax bxy cy dx ey f +++++=，因为（0，1）是其中心，点（2，3），（4，2），（-1，-3）在曲线上，它们关于（0，1）的对称点（-2，-1），（-4，0），（1，5）也在曲线上，从而469230,a b c d e f +++++= 4220,a b c d e f ++--+=1684420,a b c d e f +++++= 1640,-a b f += 930,-3a ab c d e f +--+= 52550,a b c d e f +++++=由上六式解得 1,1,4,0.b d f a c e ==-=-===， ∴所求方程为40xy x --=.§5.3 二次曲线的切线1. 求以下曲线在所给点或经过所给点的切线方程. (1) 曲线 (2) 曲线 (3) 曲线解 (1) ∴ 所求切线方程为 (2) ()22,10,F --=()()()()22233222290,2x y x x y y ⎡⎤⎡⎤--------⋅-=⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()3301,1,10,220x F y +=⎧⎧-=⎨⎨-+=⎩⎩x=-1由解得且y=1()()()1230,29,0,2,0,23,2F F F =-=-=-且∴ 所求切线方程为()()()22110,1030.x y y y x y ++++=+=+-=即与(3)∴ 所求切线方程为 即0.x =2. 求以下曲线的切线方程,并求出且点的坐标.(1) 曲线22435630x xy y x y ++--+=的切线平行于直线40x y +=。