2002年考研数学三真题及全面解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)

(1) 设常数1

2a ≠，则21lim ln .(12)n

n n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦

(2)

交换积分次序：

111

42210

4

(,)(,)y

y

dy f x y dx dy f x y dx +=

⎰

⎰⎰.

(3) 设三阶矩阵12

22

12304A -⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则 a =

.

(4)

则2

X 和2

Y 的协方差22cov(,)X Y =.

(5) 设总体X 的概率密度为

(),,

(;)0,

x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若

而12,,

,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为

二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )

(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξ

ξ→-=.

(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.

(2) 设幂级数1n

n n a x ∞

=∑与1n

n n b x ∞

=∑

1

3，则幂级数221n n i n

a x

b ∞

=∑的收敛半

径为 ( ) (A) 5 (B)

(C) 13 (D)15

(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )

(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解

(C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解

(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的 特征向量，则矩阵(

)

1

T

P AP

-属于特征值λ的特征向量是 ( )

(A) 1

P α- (B) T

P α (C)P α (D)()

1T

P α-

(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )

(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2

χ分布

(C)2X 和2Y 都服从2

χ分布 (D)22

/X Y 服从F 分布

三、(本题满分5分)

求极限 2

00

arctan(1)lim

(1cos )

x

u x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰

⎰

四、(本题满分7分)

设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y z

xe ye ze -=所确定，求du .

五、(本题满分6分)

设2

(sin ),sin x f x x =

求()x dx . 六、(本题满分7分)

设1D 是由抛物线2

2y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线2

2y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.

(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ；

(2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值. 七、(本题满分7分)

(1)验证函数()()369

3()13!6!9!3

!n

x x x x y x x n =+++++

++-∞<<+∞满足微分方程

x y y y e '''++=

(2)利用(1)的结果求幂级数(

)303!n

n x n ∞

=∑的和函数.

八、(本题满分6分)

设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使

()()()()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=⎰

⎰.

九、(本题满分8分)

设齐次线性方程组

1231231230,0,0,

n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪+++

+=⎩

其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.

十、(本题满分8分)

设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件2

20A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值

(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分8分)

假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量

1,1-1,11,1;1,1;

U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若

试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +. 十二、(本题满分8分)

假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .