12.4相对论的动量和能量
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2
2
E E0 Ek
经典动能-动量关系
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第十二章 相对论简介
[例题]设有两静止质量为m0的粒子，以大小相同、方
向相反的速率3c/5相撞，碰后合成一个复合粒子.试计 算这个复合粒子的静止质量和运动速度. [解] 动量守恒
3 3 m c m c m复 v 5 5
故碰后复合粒子速度 v＝0 能量守恒
2. 静止能量
E0 m0c 2
是物质的最小能量，是物质内能的总和.
3. 质能关系的另一种形式
ΔE Δmc2
说明质量与能量是不可分割, 物质和运动不可分割.
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第十二章 相对论简介 4.动能
Ek mc2 m0c 2
当 v << c 时
Ek mc m0c
m0 c (
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第十二章 相对论简介
§12.4.4 动量中心
在狭义相对论中，若相对于某参考系质点系 中各质点动量的矢量和为零，即
mi vi 0
则该参考系称作动量中心系.
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第十二章 相对论简介
§12.4 相对论的动量和能量
§12.4.1 相对论的动量 §12.4.2 相对论的质能公式
§12.4.3 动量-能量公式
§12.4.4 动量中心
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第十二章 相对论简介
§12.4 相对论的动量和能量
§12.4.1 相对论的动量
1. 相对论动量
相对论的四维动量为
( p0 , p1 , p2 , p3 ) (m0u0 , m0u1 , m0u2 , m0u3 )
其中 p ( 1,2,3) 为动量的三个空间分量
u1 v x / 1 2
u2 v y / 1 2
矢量式
p
m0v
u3 v z / 1 2
1 2
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mv
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第十二章 相对论简介 2. 质速关系 质速关系 m
m0 1
mc2 mc2 m复c 2
2m 0 c 2 1 ( 3c / 5) 2 / c 2 m复 c 2
2m 0
5 m0 复合粒子静止质量 m复 0＝ 1 ( 3c / 5)2 / c 2 2
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第十二章 相对论简介 与动能相应的质量转化为静止质量，从而 使碰撞后复合粒子的静质量增大了，但相对论 质量保持守恒！ 实际上m复0＝2m是两个粒子的动质量，等 于复合后粒子的静质量，质量是守恒的.
验结果确实如此.
原子弹和氢弹技术都是狭义相对论质能关系的应用， 而它们的成功也是狭义相对论的验证.
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第十二章 相对论简介
§12.4.3 动量-能量公式
p mv ＝ m 0 v
E mc 2 ＝ m0 c 2
1 (v / c Baidu Nhomakorabea2
1 (v / c )2
4 2 2 c v c 2 2 2 2 2 4 E p c m0 m 0c 2 2 1 v / c
2
2
2
m0 c 2 1 v2 / c2
2
m0 c 2
1
2
1 v / c
1)
2 4 v 3 v m 0 c 2 (1 2 4 1) 2c 8c
1 2 m0 v 2
与经典一致
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第十二章 相对论简介
5.实验证明
最早对相对论质量—能量关系提供的实验证明之一， 是1932年由考克罗夫特（J.D.Cockcroft）和瓦尔顿 （G.T.S.Walton）提供的.他们利用加速器加速质子并轰 击锂（Li）靶.锂原子核吸收质子形成不稳定的核随即蜕 变为两个粒子，它们以高速沿相反的方向运动. 在这一核反应中，反应前后的总能量和总质量必然 守恒，因而减少的质量和静止的能量必转化为动能.实
dEk Fds
dt
则有：
dp Fdt
dEK ds v dp dt
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第十二章 相对论简介 即： dE
k
vdp vd (mv) v dm mvdv
2
由 m
2
m0 1 2
2 2
两边平方整理得：
2 2 0
2
m (c v ) m c
两边微分得： 即：
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第十二章 相对论简介
§12.4.2 相对论的质能公式
1. 运动粒子的总能量
E mc
2
m0c 2 1
2
——质能关系式
质能关系的推导：当力 F 作用在静止质量为 m0 的物体上时，由动能定理得： dEk F ds
如果外力与位移同方向，则： 设力作用时间为 两式相除得：
2 2
(c v )2mdm m 2vdv 0
2 2
mvdv (c v )dm
dEk c dm
2
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代入上式得：
第十二章 相对论简介
两边积分得：
即：
Ek
0
dEk c dm
2 m0
m
Ek m c m0c E E0
2 2
E Ek E0
2 E 2 E0 p2c 2
对光子 m0=0
E h
E h h p c c
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第十二章 相对论简介
2 由E 2 E0 p2c 2
当 v<<c 时
( E E0 )(E E0 ) p2c 2
E E0 2m0c
p Ek 2m
2
m0为静止质量
m/m0
5 4 3 2 1
0
光子静止质量为零. m>m0 已被实验证实. 1901年考夫曼发现电子的 质量是随速度增加而增加 的.（1909，布塞勒）（回 旋加速器的设计） 3. 动力学方程
v/c
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
dp m0 d d ( v) F ( mv ) dt dt dt 1 2
2
E E0 Ek
经典动能-动量关系
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第十二章 相对论简介
[例题]设有两静止质量为m0的粒子，以大小相同、方
向相反的速率3c/5相撞，碰后合成一个复合粒子.试计 算这个复合粒子的静止质量和运动速度. [解] 动量守恒
3 3 m c m c m复 v 5 5
故碰后复合粒子速度 v＝0 能量守恒
2. 静止能量
E0 m0c 2
是物质的最小能量，是物质内能的总和.
3. 质能关系的另一种形式
ΔE Δmc2
说明质量与能量是不可分割, 物质和运动不可分割.
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第十二章 相对论简介 4.动能
Ek mc2 m0c 2
当 v << c 时
Ek mc m0c
m0 c (
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第十二章 相对论简介
§12.4.4 动量中心
在狭义相对论中，若相对于某参考系质点系 中各质点动量的矢量和为零，即
mi vi 0
则该参考系称作动量中心系.
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第十二章 相对论简介
§12.4 相对论的动量和能量
§12.4.1 相对论的动量 §12.4.2 相对论的质能公式
§12.4.3 动量-能量公式
§12.4.4 动量中心
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第十二章 相对论简介
§12.4 相对论的动量和能量
§12.4.1 相对论的动量
1. 相对论动量
相对论的四维动量为
( p0 , p1 , p2 , p3 ) (m0u0 , m0u1 , m0u2 , m0u3 )
其中 p ( 1,2,3) 为动量的三个空间分量
u1 v x / 1 2
u2 v y / 1 2
矢量式
p
m0v
u3 v z / 1 2
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第十二章 相对论简介 2. 质速关系 质速关系 m
m0 1
mc2 mc2 m复c 2
2m 0 c 2 1 ( 3c / 5) 2 / c 2 m复 c 2
2m 0
5 m0 复合粒子静止质量 m复 0＝ 1 ( 3c / 5)2 / c 2 2
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第十二章 相对论简介 与动能相应的质量转化为静止质量，从而 使碰撞后复合粒子的静质量增大了，但相对论 质量保持守恒！ 实际上m复0＝2m是两个粒子的动质量，等 于复合后粒子的静质量，质量是守恒的.
验结果确实如此.
原子弹和氢弹技术都是狭义相对论质能关系的应用， 而它们的成功也是狭义相对论的验证.
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第十二章 相对论简介
§12.4.3 动量-能量公式
p mv ＝ m 0 v
E mc 2 ＝ m0 c 2
1 (v / c Baidu Nhomakorabea2
1 (v / c )2
4 2 2 c v c 2 2 2 2 2 4 E p c m0 m 0c 2 2 1 v / c
2
2
2
m0 c 2 1 v2 / c2
2
m0 c 2
1
2
1 v / c
1)
2 4 v 3 v m 0 c 2 (1 2 4 1) 2c 8c
1 2 m0 v 2
与经典一致
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第十二章 相对论简介
5.实验证明
最早对相对论质量—能量关系提供的实验证明之一， 是1932年由考克罗夫特（J.D.Cockcroft）和瓦尔顿 （G.T.S.Walton）提供的.他们利用加速器加速质子并轰 击锂（Li）靶.锂原子核吸收质子形成不稳定的核随即蜕 变为两个粒子，它们以高速沿相反的方向运动. 在这一核反应中，反应前后的总能量和总质量必然 守恒，因而减少的质量和静止的能量必转化为动能.实
dEk Fds
dt
则有：
dp Fdt
dEK ds v dp dt
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第十二章 相对论简介 即： dE
k
vdp vd (mv) v dm mvdv
2
由 m
2
m0 1 2
2 2
两边平方整理得：
2 2 0
2
m (c v ) m c
两边微分得： 即：
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第十二章 相对论简介
§12.4.2 相对论的质能公式
1. 运动粒子的总能量
E mc
2
m0c 2 1
2
——质能关系式
质能关系的推导：当力 F 作用在静止质量为 m0 的物体上时，由动能定理得： dEk F ds
如果外力与位移同方向，则： 设力作用时间为 两式相除得：
2 2
(c v )2mdm m 2vdv 0
2 2
mvdv (c v )dm
dEk c dm
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代入上式得：
第十二章 相对论简介
两边积分得：
即：
Ek
0
dEk c dm
2 m0
m
Ek m c m0c E E0
2 2
E Ek E0
2 E 2 E0 p2c 2
对光子 m0=0
E h
E h h p c c
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第十二章 相对论简介
2 由E 2 E0 p2c 2
当 v<<c 时
( E E0 )(E E0 ) p2c 2
E E0 2m0c
p Ek 2m
2
m0为静止质量
m/m0
5 4 3 2 1
0
光子静止质量为零. m>m0 已被实验证实. 1901年考夫曼发现电子的 质量是随速度增加而增加 的.（1909，布塞勒）（回 旋加速器的设计） 3. 动力学方程
v/c
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
dp m0 d d ( v) F ( mv ) dt dt dt 1 2