2019届高中数学必修1教材必考基本知识点归纳

1
必修Ⅰ 集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ中潜在的命题点预测
预测1：函数的个数问题
教材习题：函数解析式2x y =，值域为[]4,1，这样的函数有几个？
变式1：函数解析式2x y =，值域为[]4,0，定义域为[]b ,1-，求b 的取值范围； 变式2：函数解析式2x y =，值域为[]4,0，定义域为[]b ,2-，求b 的取值范围； 变式3：函数解析式2x y =，值域为[]4,1，定义域为[]b a ,，求,a b 的值； 变式4：函数解析式2x y =，值域为[]4,0，定义域为[]b a ,，求,a b 的值； 变式5：函数解析式2x y =，值域为{}4,1，这样的函数有几个？
变式6：函数解析式2x y =，值域为{}2,9,4,1n ()
*N n ∈，这样的函数有几个？ 预测1-1：设a ＞1，函数log a y x =的定义域为[m ，n ],m ＜n ，值域为[0,1]，定义：区间
[m ，n ]的长度等于n m -．若区间[m ，n ]长度的最小值为5
6
，则实数a 的值为 6
提示：令log 1a x =，则x a =，或1a ．显然 111a a ->-，所以15
16
a -=，即6a =．
预测2：函数最值的定义问题
教材例题：已知函数)(x f y =的定义域是[]b a ,，b c a <<，当[]c a x ,∈时，)(x f 是单调增函数；当[]b c x ,∈时，)(x f 是单调减函数.试证明)(x f 在c x =取得最大值.
2
两个和最值定义有关的试题：
预测2-1：已知定义在R 上的函数)3()(2
-=ax x x f ，若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，
0=x 处取得最大值，则正数a 的范围 . 6
(0,]5
局部缩小策略，可通过不等式)0()2(f f ≤将a 的取值范围进行缩小
预测2-2：已知)(x f 是二次函数，且方程03)(=+x x f 的根是0和1，若函数图像开口向下，求证：)(x f 的最大值非负
由题易知：0)0(=f ,又因为)(x f 的图像开口向下，所以0)0()(max =≥f x f
预测3：反函数问题
预测题3-1：已知点P 在曲线x y ln =上运动，点Q 在曲线x e y =上运动，则PQ 的最小值为______ 变式：
预测题3-2：已知1>a ，若函数4)(-+=x a x f x 的零点为m ，函数
4log )(-+=x x x g a 的零点为n ，则
n
m 4
1+的取值范围是__________ ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,49 提示：令,0)(=m f 则m a m -=4，从而m m a =-)4(log ，变形得04)4()4(log =--+-m m a ，即0)4(=-m g ，而函数)(x g 在()+∞,0上单调递增，
所以n m =-4，即4=+n m ，且0,0>>n m ，则
m m 41+=,4
9454141)(41≥⎪⎭⎫ ⎝⎛
++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+n m m n m m n m 当且仅当n m =2时等号成立．
3
预测4：储蓄中的单复利问题
单利：本金为a 元，每期的利率为r ，存期为x ，则本利和为_________ 复利：本金为a 元，每期的利率为r ，存期为x ，则本利和为_________
预测5：函数的凹凸性问题
教材习题1：已知函数0(log )(>=a x x f a ，且1≠a ），若21,x x 都是正实数，判断
()()]([21
21x f x f +与)2
(21x x f +的大小，并加以证明
教材习题2：能否将对数式换成其他函数式？设对于任意R x x ∈21,，若函数
x x f 2)(=，判断()()]([21
21x f x f +与)2
(21
x x f +的大小，并加以证明
定义：定义在区间I 上的函数)(x f y =满足：如果任意的I x x ∈21,，都有
4
2
)
()()2(
2121x f x f x x f +≤+成立，则称函数)(x f y =是I 上的凹函数； 定义：定义在区间I 上的函数)(x f y =满足：如果任意的I x x ∈21,，都有
2
)
()()2(
2121x f x f x x f +≥+成立，则称函数)(x f y =是I 上的凸函数；
预测5-1：将对数的真数换成数列形式，结论如何？设{}n a 是正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和，比较
2
lg lg 2
++n n S S 和1lg +n S 的大小；
预测5-2：设()y f x =为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两个实数12,x x 都有
[]12121
(
)()()22
x x f f x f x +≤+成立，则()f x 称为I 上的凹函数。

（1）判断3
()(0)f x x x =>是否为凹函数？
（2）已知函数2()|3|(0)f x x ax a =-≠为区间[3,6]上的凹函数，请直接写出实数a 的取值范围(不要求写出解题过程)；
（3）设定义在R 上的函数3()f x 满足对于任意实数,x y 都有333()()()f x y f x f y +=⋅. 求证：3()f x 为R 上的凹函数. 解：（1）()f x 是凹函数
1212
12
1333
,(0,),()22
x x x x x x ∀∈+∞+≥
≥
+，即[]12121()()()22x x f f x f x +≤+ （2）(),0[1,)-∞⋃+∞
5
(3)112212313233,,()()(
)()2222
x x x x x x R f x f x f f ∀∈+=+++ 2212121233333()()2()()2()22222
x x x x x x
f f f f f +=+≥⋅=故3()f x 为R 上的凹函数
预测5-3：如图，)4,3,2,1)((=i x f i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，任意)()1()(])1([],1,0[2121x f x f x x f λλλλλ-+≤-+∈恒成立”的只有
A ．)(),(31x f x f
B ．)(2x f
C ．)(),(32x f x f
D ．)(4x f
A （虞涛：从课本到高考3.9有空整理好） 预测5-4：（2010年陕西高考理科21）
6
7
预测6：超越方程x a a x log 的根的个数问题。