《相似三角形的判定3》课件
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《相似三角形的判定》PPT课件3
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
AB BC CA k. A'B' B'C' C'A'
AE、A′E'分别是边
∠ABC和∠A′B'C'的角平分线.
A
求证： BE k
E
B'E'
证明：∵△ABC∽△A'B'C'，
B
D
C
又∴∵∠AEB、ACA=′E∠'分B'A别'C是' .边∠ABC和∠A′B'C'的角平分线，
AE A' E'
k
A
A
'
一般地，我们有：
B F DE
C B' F' D E' C' 相似三角形对应线段的比等于相似比.
'
例题讲解
①
②
例1 如图，在△ABC中A，EAD3⊥BC,垂足为D，EF//BC,分别交
AB,AC,AD于点E,F,G，AB③ 5 , AD④=15.求AG的长.
E B
A
①
②
G F③
A
解：如图，分别作出△ABC 和 表示k的比例式是什么？
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
AB , AC , BC A' B' A'C' B'C'
BD A '
B' D'
C ∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ， ∴△ABD ∽△A' B' D' . AD AB k C' A' D' A' B'
相似三角形的判定3两边及夹角ppt课件
练习：下列每个图形中，是否存在相似三角形？若存
在，用字母表示出来，并写出对应的比例式。 A
A
D 50° E
D
70°E
B 70°
B 50°
C
C
A
DC
A 4
C
E3
E
6
B
B
2 D
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Q
B
PC
这是探索结论的题型，要先观察，猜测
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例2.如图，在△ABC中，D在AC上，已知 AD=2 cm，AB=4cm，AC=8cm，
求证：△ABD∽△ABC.
A D
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
典例：
变式：已知：如图，△ABC和△ADE中，
知识回顾 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
我们学习了哪些判定三角形相似的方法
，请你用符号语言叙述。 A
A
D
A D
D
E
E
F
B
CE
F （2B）∵DE∥BC C B
∴△ADE∽△ABC
C
（1）∵∠A=∠D, ∠B= ∠E,
在，用字母表示出来，并写出对应的比例式。 A
A
D 50° E
D
70°E
B 70°
B 50°
C
C
A
DC
A 4
C
E3
E
6
B
B
2 D
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Q
B
PC
这是探索结论的题型，要先观察，猜测
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例2.如图，在△ABC中，D在AC上，已知 AD=2 cm，AB=4cm，AC=8cm，
求证：△ABD∽△ABC.
A D
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
典例：
变式：已知：如图，△ABC和△ADE中，
知识回顾 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
我们学习了哪些判定三角形相似的方法
，请你用符号语言叙述。 A
A
D
A D
D
E
E
F
B
CE
F （2B）∵DE∥BC C B
∴△ADE∽△ABC
C
（1）∵∠A=∠D, ∠B= ∠E,
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 ？ =？ AB 3 AC 3
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
B′
(两边对应成比例且夹角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C
A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相似三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A'C '
相似.
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 ？ =？ AB 3 AC 3
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
B′
(两边对应成比例且夹角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C
A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相似三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A'C '
相似.
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
相似三角形的判定 第4课时 相似三角形的判定定理3 课件 (共24张PPT) 沪科版数学九年级上册
证明 在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D=AB，过点D作
DE∥B'C'，交A'C'于点E，则
△A'DE∽△A'B'C' .
∴
AD AB
DE BC
AE AC
．
又∵ AB BC AC ，A'D=AB， AB BC AC
∴
DE BC
BC ，AE BC AC
AC ． AC
∴DE=BC，A'E=AC．
情境引入 新知探索 例例题辨析析 练习巩固 总结归纳 作业布置
典例 1 在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两
个三角形是否相似，并说明理由. (1)AB=5，AC=3，∠A=45°，A'B' =10，A'C' =6，∠A' =45°；
(2)∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B'=45°； (3)AB=2，BC= 2 ，AC= 10 ，A'B' = 2 ，B'C' =1，A' C' = 5 .
22.2 相似三角形的判定
第 4 课时 相似三角形的判定定理3
●我们每个人手里都有一把自学成才的钥匙： 理想、勤奋、毅力、虚心和科学方法。 ——华罗庚
1 理解相似三角形判定定理3的推导过程
学习 目标
2 掌握相似三角形的判定定理3.（重点） 3 能熟练运用相似三角形的判定定理3.（难点）
4
课堂学习总结感悟与知识提升
△ABC∽△A'B'C'
导情入境引新入课 新知探索 例题辨析 练习巩固 总结归纳
第4课时 相似三角形的判定(3) 公开课一等奖课件
27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定 第4课时 相似三角形的判定(3)
知识与技能 使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定 理的证明方法并会运用． 过程与方法 1．类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，继续渗 透和培养学生对类比思想的认识和理解． 2．通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知 识证明新命题的能力． 情感、态度与价值观 通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物 辩证法的观点．
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
三、练习新知 1．如图，锐角△ABC 的边 AB，AC 上的高 CE，BF 相交于点 D，请写 出图中的两对相似三角形．
知识与技能 使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定 理的证明方法并会运用． 过程与方法 1．类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，继续渗 透和培养学生对类比思想的认识和理解． 2．通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知 识证明新命题的能力． 情感、态度与价值观 通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物 辩证法的观点．
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
三、练习新知 1．如图，锐角△ABC 的边 AB，AC 上的高 CE，BF 相交于点 D，请写 出图中的两对相似三角形．
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
E 36
2
F
A
54
30 C
AE BE ∴ ＝ FE CE
∵∠1＝∠2 ∴△AEB∽△FEC
3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是 AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 ？ =？ AB 3 AC 3
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
A E
D
B
C
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
B′
(两边对应成比例且夹角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C
A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
相似.
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
A E
D
B
C
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相似三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A'C '
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条 边与另一个三角形的两 条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个 三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , •
∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. 求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE. ∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
探索三角形相似的条件(3)课件
B
AB 8, BC 2 10, AC 2 2;
AB 4, BC 10, AC 2; AB AC BC 2 2.
AB AC BC 1
C
A′
B′
C′
△ ABC与△ ABC相似.
2.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm， BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm， A′C′＝30cm．求证：△ABC与△A′B′C′相似．
练一练
已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9.
否
(2)AB=4， BC=8， AC＝10. DE＝20， EF＝16， DF＝8. 是
(3) AB=12， BC=15， AC＝24. DE＝16， EF＝20， DF＝30. 否
由此得出，BC=2B′C′
从而 B 'C ' 1 A' B ' A'C ' .
BC 2 AB AC
因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
当堂练习
1.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来
支持你的判断?
解：这两个三角形相似．
设1个小方格的边长为1，则 A
A 证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴
1 DE=
1 BC,DF=
AC,EF=
1
AB
D
E
2
2
2
B
C
BC DF EF 1
F
DE AC AB 2
∴ △ABC∽△FED
课堂小结
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
∴△ABC∽△ A ' B '角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C
A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相似三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A 'C '
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条 边与另一个三角形的两 条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个 三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , •
∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. 求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE. ∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 ？ =？ AB 3 AC 3
相似.
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条 边与另一个三角形的两 条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个 三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , •
∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. 求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE. ∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
B′
(两边对应成比例且夹角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C
A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 ？ =？ AB 3 AC 3
相似.
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条 边与另一个三角形的两 条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个 三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , •
∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. 求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE. ∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
B′
(两边对应成比例且夹角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C
A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 ？ =？ AB 3 AC 3
相似.
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
A E
D
B
C
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
B′
(两边对应成比例且夹角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C
A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
E 36
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 ？ =？ AB 3 AC 3
相似.
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
A E
D
B
C
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
B′
(两边对应成比例且夹角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C
A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
E 36
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
相似.
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相似三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A'C '
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
E 36
2
F
A
54
30 C
AE BE ∴ ＝ FE CE
∵∠1＝∠2 ∴△AEB∽△FEC
3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是 AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
A E
D
B
C
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
Hale Waihona Puke 三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
人教版七年级数学下册《相似三角形的判定(3)》名师课件
活动1 类比探究
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∠C＝90°，
AB AB
AC AC
,
∠C′＝90°，
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
证明：设 AB AC =k，则AB=kAB, AC =kAC. AB AC
由勾股定理，得BC AB2 AC2 , BC AB2 AC2 .
由此能得出三角形相似的判定定理：两个角分别相等的两个三角形 相似.
几何语言：如图，在△ABC与△A1B1C1中， ∵∠A＝∠A1，∠B＝∠B1， ∴△ABC ∽△A1B1C1.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究一： 三边成比例的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识★▲
活动3 例题讲解，相似三角形判定3的应用
(2)∵∠C＝∠C′＝90°，
AC AC
BC BC
，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
(3)
∵∠C＝90°，∠C′＝90°，
AB AB
AC AC
,
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个 重点、难点知识★▲ 三角形相似吗？
例1：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判 定这两个三角形相似的是( ) A．∠A＝55°，∠D＝35° B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
解析：选项A：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，∴∠B＝35°， ∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D，∴Rt△ABC∽Rt△DEF（有一锐角相等 的两个直角三角形相似）；
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
E 36
2
F
A
54
30 C
AE BE ∴ ＝ FE CE
∵∠1＝∠2 ∴△AEB∽△FEC
3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是 AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
Aபைடு நூலகம்E
D
B
C
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相似三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A 'C '
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条 边与另一个三角形的两 条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个 三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , •
相似三角形的判定定理(第三课时判定定理3)公开课课件
=
= 3,
Hale Waihona Puke ′′418
=
= 3.
′′
6
A'
B
C
B'
∴
≠
=
.
′′ ′′ ′′
△ 和△ ′ ′ ′ 的三组对应边的比不相等，它们不相似．
C'
要使两三角形相
似，不改变的
长， ’’的
长应改为多少？
练习巩固
练一练
2.在方格纸中,每个小方格的顶点叫做格点,以格点连线为边的图形叫
即∠ = ∠
D
B
C
练习巩固
练一练 1.根据下列条件，判断△ 和△ ′ ′ ′ 是否相似，并说明理由．
= 21 , = 12, = 18, ’’ = 8, ’’ = 4, ’’ = 6.
A
解
21
∵
=
,
′′
8
12
② = 12， = 15， = 24，11 = 20，11 = 40，11 = 25
③∠ = ∠1 = 75°，∠ = 50°，∠1 = 55°
④∠ = ∠1 = 90°， = 10， = 6，11 = 15，11 = 9
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
小结评价
谈谈你的收获
课后作业
谢谢
数 学 公 开 课
第三课时
判定定理3
复习旧知
相似三角形的判定方法
预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的
延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
判定定理1
两角分别相等的两个三角形相似.
判定定理2
= 3,
Hale Waihona Puke ′′418
=
= 3.
′′
6
A'
B
C
B'
∴
≠
=
.
′′ ′′ ′′
△ 和△ ′ ′ ′ 的三组对应边的比不相等，它们不相似．
C'
要使两三角形相
似，不改变的
长， ’’的
长应改为多少？
练习巩固
练一练
2.在方格纸中,每个小方格的顶点叫做格点,以格点连线为边的图形叫
即∠ = ∠
D
B
C
练习巩固
练一练 1.根据下列条件，判断△ 和△ ′ ′ ′ 是否相似，并说明理由．
= 21 , = 12, = 18, ’’ = 8, ’’ = 4, ’’ = 6.
A
解
21
∵
=
,
′′
8
12
② = 12， = 15， = 24，11 = 20，11 = 40，11 = 25
③∠ = ∠1 = 75°，∠ = 50°，∠1 = 55°
④∠ = ∠1 = 90°， = 10， = 6，11 = 15，11 = 9
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
小结评价
谈谈你的收获
课后作业
谢谢
数 学 公 开 课
第三课时
判定定理3
复习旧知
相似三角形的判定方法
预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的
延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
判定定理1
两角分别相等的两个三角形相似.
判定定理2
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 ？ =？ AB 3 AC 3
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
E 36
2
F
A
54
30 C
AE BE ∴ ＝ FE CE
∵∠1＝∠2 ∴△AEB∽△FEC
3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是 AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A 'C '
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
A E
D
B
C
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 ？ =？ AB 3 AC 3
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B
45
1
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
E 36
2
F
A
54
30 C
AE BE ∴ ＝ FE CE
∵∠1＝∠2 ∴△AEB∽△FEC
3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是 AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A 'C '
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
A E
D
B
C
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
相似.
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
B′
(两边对应成比例且夹角 C′ 相等，两三角形相似)
想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
C
A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么
位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 ？ =？ AB 3 AC 3
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条 边与另一个三角形的两 条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个 三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , •
∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. 求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE. ∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
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BC AB AC , , A'B' A'C' B'C'
A A/
,你有什么发现?
(3)△ABC和△ A’B’C’ 相似吗? B
C
B/
C/
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A A , B B
/
/
A
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
A/
分析:要证两个三角形相似， 目前只有四个途径。一是 B C B/ C/
已知：在△ABC 和△ A’B’C’,中, 若∠A=∠A’，∠B=∠B’， 求证：△ABC∽△ A’B’C’
A
D
利用相似三角形的 利用相似三角形的 条件不够 可以证明！ 定义？ 预备定理？
B
C
E
F
把小的三角形移动到大的三角形上。 怎样创造具备预备定理条件的图 形？
是否相似？
判定定理 3 ：如果一个三角形的两个角与另一 已知 :在△ ABC 和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E, 个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 求证 : △ABC 与△ DEF. 形相似。 (两角对应相等，两三角形相似 )
A
F
D
B
E
C
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
综合提高
如图, ⊿ABC中,CD是边AB上的高, 且AD:CD=CD:BD, 求∠C的大小.
C
ADLeabharlann B应用新知：画一画
4.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C 的一点，过点P作直线截ΔABC，使截得的 三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线 共有 （ C ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
B (两个角分别对应相等的两个三角形相似)
C B' C'
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800，
∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF A
400
D
800
600
800 C
600
B
E
F
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400，∠B=800， ∴ ∠C=1800－∠A －∠B =1800－400 －800 ＝600 ∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600 ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。
观察
观察两副三角尺，其中同样角度（30° 与60°，或45°与45°）的两个三角尺,它们 一定相似吗？
如果两个三角形有两组角对应相等， 它们一定相似吗？
(1)作△ABC和△ A’B’C’,使得∠A＝∠A’,
∠B＝∠B’，这时它们的第三个角满足∠C＝ ∠C’吗? (2)分别度量这两个三角形的边长,计算
应用新知：
4、判断题：
想一想
(1)所有的直角三角形都相似 .
(× )
(2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.(√ )
(3)所有的等边三角形都相似.
(4)所有的等腰直角三角形都相似.
(√ )
(√ )
(5)顶角相等的两个等腰三角形相似.
(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似.
(√ )
(× )
填一填
应用新知：
选一选
3.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相 似的三角形证明.
5 30 45 1 30 105 4 2 30 9 2 105 45 5 2.5 6 30 4.5 4 3 30
（1）与（4）与（5）----“两角”定理 （2）与（6）--“两边夹角”定理
ADE ACB 85
又 A A=35
E C
B
△ADE △ACB
AD AE AC AB
即ADAB=AEAC
例4、在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ACD=∠ABC。求证：AC2=AB· AD
证明： AC平分DAB
BAC＝CAD
又 ACD＝ABC
例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
求证：ΔACD ∽ ΔABC
∽ ΔCBD 。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 此结论可以称为“母子相似定理”,今 后可以直接使用. C
用数学符号表示：
D E C B/
A
A/
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
B
C/
P48 判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
----“两角”定理
相似三角形的识别
用数学符号表示：
A A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
2、课堂练习
（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500， ∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？ / A A/ A A 550
550 750 500
750
B
C
B/
C/
B A
C
B/ A/
C/
（ 2 ） 已 知 等 腰 三 角 形 ΔABC 和 ΔA/B/C/中，∠ A、∠ A/分别是顶角， 求 证 ： ① 如 果 ∠ A=∠A/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 ② 如 果 ∠ B=∠B/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 B
即PA·PB=PC·PD
C
例3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点， 若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD· AB= AE· AC
解： 在△ADE中，ADE=180 A AED 180 35 60 =85
A D
35° 85° 60° 85°
三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理； 四是上节课学习的“两边夹角”定理。 为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？ （把小的三角形移动到大的三角形上）。 怎样实现移动呢?
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/， 连结DE。 已知：在△ABC 和△ A’B’C’,中, ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/（SAS） ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。 若∠A=∠A’，∠B=∠B’， 求证：△ABC∽△ A’B’C’
应用新知：
证一证
4.如图, ∠B=90°,AB=BE=EF=FC=1,求证: (1) ⊿AEF∽⊿ CEA. (2) ∠1+ ∠2= 45 °
A
3 1
1
2
B
1
E
1
F
1
C
已知零件的外径为25cm，要求 它的厚度x，需先求出它的内孔 直径AB，现用一个交叉卡钳 （AC和BD的长相等）去量 （如图），若OA：OC=OB： OD=3，CD=7cm。求此零件的 厚度x。
（1）如图3，点D在AB上，当∠ ACD ＝∠ B 时， △ACD∽△ABC。 (或者∠ ACB＝∠ ADB) （2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 DE//BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似。 (或者∠ C＝∠ ADE)
A D D B 图 3 C B 图 4 D
●
(或者∠ B＝∠ ADE)
D
E
泰勒斯测量金字塔高度的示意图:
A′
A′
A B C B′ C′ B
A C
B′ C′
如果人体高度 AC ＝ 1.7 米，人影长 BC ＝ 2.2 米，而 B′C′ ＝ 176 米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？
可证△ABC∽△A’B’C’ AC BC 即 A'C' B'C' 所以A’ C’=1.7x176÷2.2=136m
A
E
C
• P48 练习 1、2
C
A
D
B
例2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一
点P，求证：PA·PB=PC·PD 证明：连接AC、BD。 ∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角， ∴∠ A=∠D。 A 同理∠C=∠B （或∠APC＝∠DPB） 。 ∴△PAC∽△PDB。 O· ∴
D P B
PA PC PD PB
A
D
B
延伸练习
已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是
BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。 答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF. A A E F
F
E
B
D
C
D
C
课外思考题： 如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连 结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 （提示：图有两种可能） ΔABC相似？ A A D E B C B C
A
D
△ACD △ABC
B
C
AC AD ＝ AB AC ACAC＝ABAD
即AC ＝AB AD
2
练一练
• 1、在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥BA 于点D。证明：AC2＝AD· AB
A A/
,你有什么发现?
(3)△ABC和△ A’B’C’ 相似吗? B
C
B/
C/
已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,
A A , B B
/
/
A
求证:ΔABC∽ △A/B/C/
A/
分析:要证两个三角形相似， 目前只有四个途径。一是 B C B/ C/
已知：在△ABC 和△ A’B’C’,中, 若∠A=∠A’，∠B=∠B’， 求证：△ABC∽△ A’B’C’
A
D
利用相似三角形的 利用相似三角形的 条件不够 可以证明！ 定义？ 预备定理？
B
C
E
F
把小的三角形移动到大的三角形上。 怎样创造具备预备定理条件的图 形？
是否相似？
判定定理 3 ：如果一个三角形的两个角与另一 已知 :在△ ABC 和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E, 个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 求证 : △ABC 与△ DEF. 形相似。 (两角对应相等，两三角形相似 )
A
F
D
B
E
C
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
综合提高
如图, ⊿ABC中,CD是边AB上的高, 且AD:CD=CD:BD, 求∠C的大小.
C
ADLeabharlann B应用新知：画一画
4.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C 的一点，过点P作直线截ΔABC，使截得的 三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线 共有 （ C ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
B (两个角分别对应相等的两个三角形相似)
C B' C'
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800，
∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF A
400
D
800
600
800 C
600
B
E
F
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400，∠B=800， ∴ ∠C=1800－∠A －∠B =1800－400 －800 ＝600 ∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600 ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。
观察
观察两副三角尺，其中同样角度（30° 与60°，或45°与45°）的两个三角尺,它们 一定相似吗？
如果两个三角形有两组角对应相等， 它们一定相似吗？
(1)作△ABC和△ A’B’C’,使得∠A＝∠A’,
∠B＝∠B’，这时它们的第三个角满足∠C＝ ∠C’吗? (2)分别度量这两个三角形的边长,计算
应用新知：
4、判断题：
想一想
(1)所有的直角三角形都相似 .
(× )
(2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.(√ )
(3)所有的等边三角形都相似.
(4)所有的等腰直角三角形都相似.
(√ )
(√ )
(5)顶角相等的两个等腰三角形相似.
(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似.
(√ )
(× )
填一填
应用新知：
选一选
3.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相 似的三角形证明.
5 30 45 1 30 105 4 2 30 9 2 105 45 5 2.5 6 30 4.5 4 3 30
（1）与（4）与（5）----“两角”定理 （2）与（6）--“两边夹角”定理
ADE ACB 85
又 A A=35
E C
B
△ADE △ACB
AD AE AC AB
即ADAB=AEAC
例4、在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ACD=∠ABC。求证：AC2=AB· AD
证明： AC平分DAB
BAC＝CAD
又 ACD＝ABC
例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
求证：ΔACD ∽ ΔABC
∽ ΔCBD 。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 此结论可以称为“母子相似定理”,今 后可以直接使用. C
用数学符号表示：
D E C B/
A
A/
∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
B
C/
P48 判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
----“两角”定理
相似三角形的识别
用数学符号表示：
A A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
2、课堂练习
（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500， ∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？ / A A/ A A 550
550 750 500
750
B
C
B/
C/
B A
C
B/ A/
C/
（ 2 ） 已 知 等 腰 三 角 形 ΔABC 和 ΔA/B/C/中，∠ A、∠ A/分别是顶角， 求 证 ： ① 如 果 ∠ A=∠A/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 ② 如 果 ∠ B=∠B/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/。 B
即PA·PB=PC·PD
C
例3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点， 若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD· AB= AE· AC
解： 在△ADE中，ADE=180 A AED 180 35 60 =85
A D
35° 85° 60° 85°
三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理； 四是上节课学习的“两边夹角”定理。 为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？ （把小的三角形移动到大的三角形上）。 怎样实现移动呢?
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/， 连结DE。 已知：在△ABC 和△ A’B’C’,中, ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/（SAS） ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。 若∠A=∠A’，∠B=∠B’， 求证：△ABC∽△ A’B’C’
应用新知：
证一证
4.如图, ∠B=90°,AB=BE=EF=FC=1,求证: (1) ⊿AEF∽⊿ CEA. (2) ∠1+ ∠2= 45 °
A
3 1
1
2
B
1
E
1
F
1
C
已知零件的外径为25cm，要求 它的厚度x，需先求出它的内孔 直径AB，现用一个交叉卡钳 （AC和BD的长相等）去量 （如图），若OA：OC=OB： OD=3，CD=7cm。求此零件的 厚度x。
（1）如图3，点D在AB上，当∠ ACD ＝∠ B 时， △ACD∽△ABC。 (或者∠ ACB＝∠ ADB) （2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 DE//BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似。 (或者∠ C＝∠ ADE)
A D D B 图 3 C B 图 4 D
●
(或者∠ B＝∠ ADE)
D
E
泰勒斯测量金字塔高度的示意图:
A′
A′
A B C B′ C′ B
A C
B′ C′
如果人体高度 AC ＝ 1.7 米，人影长 BC ＝ 2.2 米，而 B′C′ ＝ 176 米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？
可证△ABC∽△A’B’C’ AC BC 即 A'C' B'C' 所以A’ C’=1.7x176÷2.2=136m
A
E
C
• P48 练习 1、2
C
A
D
B
例2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一
点P，求证：PA·PB=PC·PD 证明：连接AC、BD。 ∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角， ∴∠ A=∠D。 A 同理∠C=∠B （或∠APC＝∠DPB） 。 ∴△PAC∽△PDB。 O· ∴
D P B
PA PC PD PB
A
D
B
延伸练习
已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是
BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。 答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF. A A E F
F
E
B
D
C
D
C
课外思考题： 如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连 结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 （提示：图有两种可能） ΔABC相似？ A A D E B C B C
A
D
△ACD △ABC
B
C
AC AD ＝ AB AC ACAC＝ABAD
即AC ＝AB AD
2
练一练
• 1、在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥BA 于点D。证明：AC2＝AD· AB