材料力学第7章-弯曲变形

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例 4-2 用奇异函数法计算wA，EI为常数
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例 4-3 建立通用挠曲轴微分方程，写出位移边界条件
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§5 计算梁位移的叠加法
叠加法 逐段分析求和法 例题
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叠加法
方法
w A ?
分解载荷 分别计算位移
)dxdxCx
D
约束处位移应满足的 条件－位移边界条件
梁段交接处位移应满足 的条件－位移连续条件
利用位移边界条件与连续条件确定积分常数
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积分法求梁位移
A =?
EI = 常数
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挠曲轴的绘制
绘制依据
满足基本方程
w M ( x) EI
❖ 满足位移边界 条件与连续条件
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§1 引 言
弯曲变形及其特点 挠度与转角
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弯曲变形及其特点
挠曲轴
变弯后的梁轴，称为挠曲轴 挠曲轴是一条连续、光滑曲线
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
定义
x a (x a) (x a) x a 0 (x a) x a0 0 (x a)
奇异函数（或麦考利函数）
Fn(x) x an (n 0)
x andx 1 x an1 C n1
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弯矩通用方程
用奇异函数建立最后梁段 DE 的弯矩方程：
M FAyxMe
例 5-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求 wB=?
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例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状
F=qa
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F=qa 15
§4 计算梁位移的奇异函数法
奇异函数 弯矩通用方程 梁位移通用方程 例题
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奇异函数
当需分段建立 M 或 EI 方程时，用积分法求解需要 确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算
xl1 0F
xl2
q 2
xl3
2
适用于各梁段。
源自文库
例如对于 BC 段（ l1, l2）
由于 x-l2 0 xl3 0 M FAyxMe
x-l1 0 1
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梁位移通用方程
M
FAyx Me
x l1
0F
x l2
q 2
x l3
2
d2w dx2
1 EI
FAy
x
M
e
x l1
0F
x l2
绘制方法与步骤
画M图 ❖ 由 M 图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的
凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状 由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置
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例题
例 3-1 用积分法求梁的最大挠度，EI 为常数
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例 3-2 建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件，EI 为常数
逐段分析求和法
分解梁
分别计算各梁段的 变形在需求位移处引 起的位移
w1 Ba
B
Fa l 3EI
w1
Fal 3EI
a
Fa2l 3EI
w2
Fa 3 3EI
求总位移
ww1
w2
Fa 2 3EI
(
l
a)
()
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在分析某梁段的变形在 需求位移处引起的位移 时，其余梁段视为刚体
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例题
dx
dw （rad）
dx
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§2 梁变形基本方程
挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程
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挠曲轴微分方程
1 M （纯弯） EI
（推广到非纯弯） 1 M ( x) ( x) EI
1
(x)
w 1 w2
3/2
w
1 w2
3/2
M(x) EI
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坐标轴 w 向下时：
d2w dx 2
M(x EI
)
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§3 计算梁位移的积分法
挠曲轴微分方程的积分与 边界条件
积分法求梁位移 挠曲轴的绘制 例题
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挠曲轴微分方程的积分与边界条件
d2w dx 2
M(x EI
)
dw
dx
ME(Ix )dx C
w
M(x EI
求位移之和
w A,F
Fl 3 3EI
()
w A,q
ql 4 8 EI
()
wA
wA,F
w
A,q
Fl 3 3EI
ql 4 8EI
()
当梁上作用几个载荷时，任一横截面 的总位移，等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和
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理论依据
EI
d2w dx 2
M
(
x
)
（小变形,比例极限内）
第 7 章 弯曲变形
本章主要研究：
弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计
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§1 引言 §2 梁变形基本方程 §3 计算梁位移的积分法 §4 计算梁位移的奇异函数法 §5 计算梁位移的叠加法 §6 简单静不定梁 §7 梁的刚度条件与合理设计
－挠曲轴微分方程
w－弯矩引起的挠度 ❖ smax < sp
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挠曲轴近似微分方程
w
1 w2
3/2
M(x) EI
小变形时： w2 << 1
d2w dx 2
M(x) EI
－挠曲轴近似微分方程
d2w dx 2
M(x EI
)
应用条件：
s max s p ❖ 小变形 坐标轴 w 向上
研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静 不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础
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挠度与转角
转角
－挠度
挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移
w w (x)－挠曲轴方程
转角－横截面的角位移
( x) －转角方程
挠度与转角的关系
（忽略剪力影响）
' tan' dw（小变形）
q 2
x l3
2
dw dx
1 EI
FAy 2
x
2
Me
x l1
F 2
x l2
2
q 6
x l3
3
C
w
1 EI
FAy 6
x
3
Me 2
x l1
2
F 6
x l2
3 q 24
x l3
4
Cx
D
适用于任一梁段 , 仅包括两个积分常数 , 由边界条件确定
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例题
例 4-1 用奇异函数法计算A ，EI 为常数
M ( x)MF ( x)Mq ( x)
（小变形）
上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合
EI
d2w dx 2
MF (x)
w wF ( x)
EI d2w dx 2
Mq ( x)
w wq ( x)
故：w wF ( x) wq ( x)
叠加法适用条件：小变形，比例极限内
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