点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面方程的距离公式
点到平面方程的距离公式点到平面的距离是空间解析几何的重要内容之一、在解决实际问题中经常会遇到求点到平面的距离的情况，例如在建筑设计中，需要确定一根柱子与地面的距离，或者在机械制造中，需要确定一台机器与地面的距离。
本文将详细讨论点到平面的距离的公式及其推导。
平面方程的标准形式为Ax+By+Cz+D=0。
其中A、B、C为平面的法向量分量，(x,y,z)为平面上的任意一点。
为求点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。
首先，任意一点P(x0,y0,z0)到平面的距离可以看作是该点到平面上一点Q(x,y,z)的距离的最小值。
我们设距离最小值对应的点为Q(x,y,z)。
由点到平面的距离定义可知，点Q到平面Ax+By+Cz+D=0的距离等于点到平面的垂直距离。
也就是说，Q点与平面的法向量垂直。
知道了Q点与平面的法向量垂直，在解决问题中，我们经常会利用向量的内积关系来求解。
设平面的法向量为n，平面上一点为M(x,y,z)，则点P到平面的垂直距离等于两个向量nP和PQ的内积除以向量nP的模长。
表示为:d=，nP·PQ，/，nP其中，点P到平面的垂直距离就是d，向量nP是平面的法向量，向量PQ是向量nP的投影。
接下来，我们将推导点到平面的距离公式。
首先，根据平面的法向量分量，可以得到平面的法向量为n=(A,B,C)。
设平面上任一点为M(x,y,z)，点P为P(x0,y0,z0)。
平面的法向量与向量PQ垂直，可以得到两个向量的内积为0，即:nP·P Q=0将向量nP和PQ展开，可以得到:(A,B,C)·(x-x0,y-y0,z-z0)=0展开后整理得到:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0通过整理，可以得到:Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0由平面的标准形式可知:Ax+By+Cz+D=0其中D=-(Ax0+By0+Cz0)将其代入上式中，可以得到:Ax+By+Cz=D这是平面的方程。
点到平面距离的若干求解方法
点到平面距离的若干求法1 定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
(注:本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5AA '⊥平面A B C D '''' ∴B D ''⊥AA '又 在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''= AA '⊂平面AA E ', A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E ' A H '⊂平面AA E ' ∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D '' AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义，A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。
本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。
2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。
3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。
在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。
3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。
具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。
3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。
具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。
高中数学总结归纳 点面距离的几种求法
1点面距离的几种求法立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面求点A 到平面PBD 的距离.解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作AH⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22,则PO=17,∴AH=1734617223=⋅=⋅PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346.二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴=∆11D AB S 2223)2(43a a =⋅. 由111111D AB A B AA D V V --=,易得A 1到面AB 1D 1a 33. 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C. (1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小;2(3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离.解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,所以CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由B AA C ABCA V V 11--=,可得点C 到面A 1ABB1的距离为3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为3.总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.。
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。
在实际应用中，点到面的距离计算常常用于计算三维模型的碰撞检测、物体运动轨迹的计算等方面。
本文将介绍几种常用的点到面距离计算方法。
一、点到平面的距离公式点到平面的距离公式是最基本的点到面距离计算方法。
假设点P(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则有：d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，|.|表示绝对值，sqrt(.)表示开方运算。
这个公式的推导可以通过向量的方法得到，具体可以参考相关的线性代数教材。
二、点到三角形的距离计算点到三角形的距离计算是点到面距离计算的一个特例，因为三角形是一个平面图形。
假设点P(x,y,z)到三角形ABC的距离为d，则有：d = |(P-A)·n| / |n|其中，·表示向量的点积运算，n为三角形ABC的法向量，|.|表示向量的模长。
这个公式的推导也可以通过向量的方法得到。
三、点到网格模型的距离计算在实际应用中，我们通常需要计算点到网格模型的距离，而不是单个平面或三角形的距离。
这个问题可以通过以下步骤解决：1. 遍历网格模型的所有三角形，计算每个三角形到点的距离。
2. 找到距离最小的三角形，将其距离作为点到网格模型的距离。
这个方法的实现比较简单，但是需要遍历整个网格模型，计算量较大。
四、点到包围盒的距离计算包围盒是一个能够完全包含三维模型的最小立方体或最小球体。
点到包围盒的距离计算可以通过以下步骤解决：1. 判断点是否在包围盒内部，如果是，则距离为0。
2. 如果点在包围盒外部，计算点到包围盒各个面的距离。
3. 找到距离最小的面，将其距离作为点到包围盒的距离。
这个方法的实现比较简单，但是需要先计算包围盒，然后再计算点到包围盒的距离。
总结点到面的距离计算是计算机图形学中的一个重要问题，涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。
高一数学点到平面距离的求法
高一数学点到平面距离的求法一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。
1、用定义直接构造法例1、如图，三棱锥S-ABC中，是等腰三角形，，,且面ABC，SA=3a。
求点A到平面SBC的距离。
解：作交BC于D,连结SD、平面ABC,根据三垂线定理有又,平面SAD。
又平面SBC，平面SBC平面ADS，且平面SBC平面ADS=SD 过点A作于H，则AH平面SBC。
在中，SA=3a,，故点A到平面SBC的距离为。
【点评】利用构造法关键是定位点在面内的射影。
常常要寻找过已知点且与所给面垂直的面，再过已知点作两垂面交线的垂线。
2、转移构造法（1）利用平行线转换点例2、在直三棱柱中，,（b>a）（1）求证：(2)求点到平面的距离、解：(1)连结,则，又，故。
知，得,知。
（2）由（1）得、过作于G, , 从而、故即为所求的距离。
易求。
【点评】利用直线与平面平行，把所求的点到平面的距离转移到平行线上另一点到平面的距离来求，是我们常用的方法。
（2）对称转移或利用定比分点例3、如图，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA^平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点、求P到平面BQD的距离、解：过A作垂足为E，连结QE。
∵平面BQD经过线段PA的中点，∴P到平面BQD 的距离等于A到平面BQD的距离、在△AQE中，作AH^QE于H、∵BD^AE，BD^QE，∴BD^平面AQE、∴BD^AH，AH^平面BQE，即AH 为A到平面BQD的距离、在Rt△AQE中，∵AQ=c，AE=，∴AH=、例4、已知正方体的棱长为1，为上底面的中心。
求点到平面的距离。
析：点到平面的距离为线段的长，易求得、又为的中点，故点到平面的距离为。
【点评】转移构造常利用已知平面点分某条斜线段所成的比，体现着转化的思想。
二、由点向平面引垂线，垂足无法确定或难确定时1、等体积法（利用三棱锥的体积公式）例5、已知在棱长为1的正方体中，E、F分别是、CD的中点，求点B到平面的距离。
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(31 2221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。
求“点面距离”常用的几种基本方法
易得 A1 E = 2． 所 以 由 OK · A1 E = OE · A1 O，OE = 1，
A1
O
=
槡3，OK
=
槡3 2
．
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法二（ 等体积法） ： 欲求 C 点到平面 A1 ABB1 的距离， 只需求出三棱锥 C － A1 AB 的高即可．
数学学习与研究 2019. 9
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法三 （ 直 接 法 ） ： 直 接 找 出 C 点 到 平 面 A1 ABB1 的 距离．
如图 4 所 示，过 B 作 BF ∥ A1 E 交 A1 B1 于 F，连 接 CF，则：
} } AB⊥A1 E，AB⊥BF，
AB⊥平面 BCF，
由 AB⊥BC，
A1 ACC1 ⊥底面 ABC 交于 ACA1 O⊥平面 ABC． 所以∠A1 AO 为 A1 A 与面 ABC 所成的角． 因为 AA1 ⊥A1 C，AA1 = A1 C，所以 ∠A1 AO = 45°．
图3
图4
（ Ⅱ） 如图 4 所示，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 A1 E，则由 A1 O⊥平面 ABCA1 E⊥AB． 所以∠A1 EO 是侧面 A1 ACC1 与 底面 ABC 所成二面角的平面角． 由 AB⊥BCEO∥BC，又因
（ a）
（ b）
图1
（ 3） 如图 1 （ b） 所示，M 为线段 AB 的中点，M∈α，A，B
两点分别在平面 α 的异侧，则 A，B 两点分别到平面 α 的距
离 AO，BO1 相等，即 AO = BO1 ． 所以 A，B 两点到平面 α 的距 离可以相互转化．
三、等体积法
透视点到平面距离的求法
透视点到平面距离的求法一、定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
(注:本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5Q AA '⊥平面A B C D '''' ∴B D ''⊥AA '又Q 在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=IAA '⊂平面AA E ', A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E 'Q A H '⊂平面AA E ' ∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''I AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义，A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
点面距离的求解
①法一：依据判定找过已知点且与已知平面垂直的平 面，后再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂 直的性质可知，此垂线垂直于已知平面，且垂足落在 交线上
例1：如图：在四面体P-ABC中， PC⊥平面ABC， AB=BC=CA=PC=a， 求B到面PAC的距离。
P
M A C
分析：由PC⊥平面ABC，PC 面PAC可得， 面ABC⊥面PAC，又BM⊥面PAC。而三角形ABC为等边三角形 3 故 BM =
《点面距离》 1 6
比例法 借助平行，进行比例转化，来求解距离。
P M
M N
O
N
Q
Q
O
P
如图PM∩平面
=O，PQ⊥平面 于Q，MN⊥平面 于
PO
《点面距离》 1 7
N，则 MN = MO
PQ
例10如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AC∩BD=O，AD=5，BC=10。若BC 平面 ，点O到平 面 的距离为7，求AD到平面 的距离。
BA
n
B
∴点B到平面的距离为
AB n n
(实质是 BA 在法向量 n 方向上的正投影的数量绝对值)
C
A
《点面距离》
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例9如图，已知平面 A1 B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面 ABC，等边△ AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且 ∠ ACB = 90 ，设AC= 2a, BC = a 求A到平面VBC的距 离。 z V 则 A(0, a,0), B( a, a,0), C(0, a,0), O ，易 解：取AC的中点O。连结 B1B1(0,0, 3 a) 设平面VBC的一个法向量 n = 知 OB1 平面ABC，过O作直线, y, z ), ( x 又 CB1 = (0, a, 3a), 由 n BC , n CB1 C1 OE∥BC交AB于E，取O为空间直角 A1 得(x,y,z)•(-a,0,0)=0, (x,y,z)•(0,OB 坐标系的原点，OE、OC、 1 所在的 B1 a, 3a )= 0 直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如 取z=1, 得 n = (0, 3,1) 图所示的空间直角坐标系。 A O C 点A到平面VBC的距离，即 AB1 E B 在平面VBC的法向量 n 上的投影 x 的绝对值 设 AB1 = a, 3a). 所求的距离为 d (0, 则 d = AB1 cos AB1 , n
高中数学：点到平面的距离的求法
高中数学：点到平面的距离的求法
方法二：间接法（利用等体积法构造关于所求距离的方程）
小结：两种方法的优缺点：
直接法需要脑力思考较多，所以证明过程比较计算过程长，但整题计算量小；
间接法是通过构造含有所求距离的方程，最后通过解方程的思想计算出点到平面的距离，相对来说更侧重计算。
方法三：点到直线距离公式的向量推导方法
已知直线：和点，为点到直线的距
离。
现不妨设且，则直线的斜率为，其方向
向量为，从而易知其法向量，又设点为直线上的任一点（如图所示），于是有：
由平面向量的有关知识，可得：
显然，当或时，上述公式仍成立。
上述推导方法利用了向量的数量积知识来进行推导出了点到直线的距离公式，这是一种比较重要有数学思想方法。
我们还可将这种思想方法进一步推广到在立体几何中，如何利用空间向量解决求点到平面的距离问题。
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求点到平面的距离的方法
求点到平面的距离的方法
在学习几何学时，有些对于求点到平面的距离的问题会困惑很多学生。
其实，从数学的角度来看，求点到平面的距离是一个广泛而普遍的问题，而且其解决方案也有很多。
下面，我将介绍求点到平面的距离的几种方法。
第一种方法是直线和平面交点法。
首先，我们需要找到平面上与某一点最近的直线。
然后求出该直线和平面的交点，直线和点所组成的三角形的高即是点到平面的距离。
第二种方法是利用向量来求解。
根据几何学习的知识，我们知道，点到平面的距离是点到平面的垂线的长度。
从而可以通过向量的计算求出垂线的长度，从而求出点到平面的距离。
第三种方法称为“分段法”。
首先，我们需要将平面上的点进行分隔，每个分隔的点都可以用一条直线来描述，从而可以计算出每个点到每条直线的距离。
之后，该点到整个平面的距离就可以得到，因为点到平面的距离就等于点到每条直线的最短距离。
最后，我再介绍一种求点到平面的距离的方法，称为“三维空间中的点分层法”。
首先，将该点投影到三维空间中，然后求出点到每个层的距离，最后加总求出该点到整个空间的距离。
以上就是求点到平面的几种方法。
这些方法在现实生活中都有着广泛的应用，比如在测量物体时会使用。
同时，在解决一些几何学问题时，也会需要用到这些算法。
总之，求点到平面的距离的方法不仅有助于我们更好地理解它，也很实用，有助于我们更好地应用。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法一、五种方法1.定义法对于求点到面的距离问题,首先是根据点到面的距离的定义来求，过该点直接作平面的垂线,再在构造的直角三角形中,求出这条垂线段的长度.2.平移转化点到面的距离不好求时,可以通过求过该点且平行于平面的直线上另外一点(这个点到平面的距离比较好求)到该平面的距离,来解决问题.3.垂面法在用定义法求点到面的距离,垂足往往比较特殊，很难直接找到，此时就需要借助面面垂直的性质来完成，如图，过A 向平面β作垂线，可以先找到一个过点A 且垂直于面β的平面α，于是只需过A 向交线做垂线，垂足为B ，则AB 即为点A 到面β的距离，这种做点到面距离的方法具有很强的操作性，经常使用.4．等体积法利用体积公式求出距离.5．向量法如图，已知平面α的法向量为→n ，α⊥PQ ，垂足为Q ，A 为平面α内任一点，则平面外一点P 到平面α的距离为：||||||→→→→⋅=n n AP PQ,二、例题分析例1．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4．当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为（）．A．4πB．6πC．8πD．10π解析：如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以π4PMA ∠=，因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，注意1AB =，3AD =，记点M 的轨迹为圆弧EF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则π2PAF PBF ∠=∠=，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()24π28πS ==.故选：C例2．如图．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，平面1A BC ⊥平面11ABB A ．(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面ABD 与平面CBD 夹角的正弦值．解析（1）方法1：垂面法：由于平面1A BC ⊥平面11ABB A ，而B A 1为交线，故过A 向B A 1作垂线，垂足为E ，显然2=AE 方法2：等体积法：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，取1A B 的中点E ，连接AE，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，则有⊥AE平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，即有AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则1AA BC ⊥，因为11,,AA AE A AA AE =⊂ 平面11ABB A ，于是BC ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，因此BC AB ⊥，1111142223323A ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，111112332A A BC A BC V S h h -=⋅=⨯⨯⨯，又11A ABC A A BC V V --=，解得h ，所以点A 到平面1A BC例3．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，2PD DC ==，AD =为BC 的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值.解析：（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又2PD DC ==，AD =M 为BC 的中点，所以(0,0,0)D，A，2,0)M ，(0,0,2)P ，所以2)PA =-，2,2)PM =-，DA = 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ，所以()()()),,220,,2,2220n PA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩ ，取1x =，解得z =，2y =，所以2n = ，所以D 到平面APM 的距离为DA n n ⋅ （2）所以平面ABD与平面CBD .例4.如图,长方体111l ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,4l AA =,点E 为棱l AA 的中点.(1)求证:BE ⊥平面11EB C ;(2)求点A 到平面1CEB 的距离.解析：(2)方法一：取1CB 的中点,F BC 的中点P ,连接1,,,,EF AP PF PB PE ,可得//AE PF ,且AE PF =,则四边形APFE 为平行四边形,可得//AP EF ,又因为AP 平面1,CEB EF ⊂平面1CEB ,所以//AP 平面1CEB ,所以点A 到平面1CEB 的距离等于点P 到平面1CEB 的距离,易知11P CEB E PCB V V --=,在1CEB ∆中,2222222112223,222,4225CE EB CB =++==+=+,所以22211CE EB CB +=,从而1CEB ∆为直角三角形.设点P 到平面1CEB 的距离为dP ,所以111133CEB P PCB S d S AB ∆∆⨯⨯=⨯⨯,即1111321423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯,解得63P d =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63;方法二：等体积法设点P 到平面1CEB 的距离为h ,因为112,5,3B E B C CE ===,所以三角形1CEB 是直角三角形,1126,2CEB AEB S S ∆∆==,而11A CEB C AEB V V --=,可得11262233h ⨯=⨯⨯,解得63h =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63.例5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:∵1A C ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ∴1A C BC ⊥，∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,且1,A C AC ⊂面111,ACC A A C AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A ,∵BC ⊂面11BCC B ∴面11ACC A ⊥面11BCC B ,过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于点O ,且面11ACC A ⋂面111BCC B CC =,∴1A O ⊥面11BCC B ,∵1A 到面11BCC B 的距离为11,1A O ∴=,在Rt 11A CC ∆中,111111,2,A C A C CC AA A C AC ⊥===,设CO x =,则2212,11(2)4C O x x x =-+++-=,解得:1x =,∴1112AC A C A C ===,∴1A C AC =.（2）11113cos cos ,13||n AB n AB n AB θ⋅∴===。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法大关一中 胡兴兆点到平面的距离是高中立体几何的一项基本要求，点到平面的距离涉及先面平行、线面垂直、面面垂直等关系，也是高考经常遇见的一个知识点。
下面就用几个列子说明点到平面的距离的几种求法。
一、直接法1、 直接过点作平面的垂线。
例1 已知：直线l 与平面α交于点O,点A 在直线l 上, OA=2cm.l 与α所成的角为300，求点A 到平面α的距离。
解：过点A 作AB ⊥α，垂足为B ，则∠AOB=300，在直角三角形ABO 中,AB=OA ⨯sin ∠AOB =3⨯sin300=3⨯21=23∴点A 到平面α的距离为23cm 。
2、直接过点作平面内某一直线的垂线。
例2 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是边长为1的 正三角形，侧棱与底面垂直，M 是BC 的中点， 且MC 1=MA ，求点B 到平面AMC 1的距离. 解：过B 作BF ⊥C 1M 交C 1M 的延长线于F,M 是等边三角形ABC 中BC 边上的中点，∴ AM ⊥BCC 1C ⊥平面ABC, AM ⊂平面ABC∴ AM ⊥C 1CC 1M BC=C∴ AM ⊥平面BCC 1BF ⊂平面BCC 1∴BF ⊥A又 BF ⊥C 1F,C 1F AM=M∴BF ⊥平面AMC 1∴BF 的长就是点B 到平面AMC 1的距离，M FBAB 1C 1A 1ClA BO易知：AM=MC 1=23,MC=MB=21,CC 1=22在∆BFM 和∆C 1CM 中，∠BFM=∠C 1CM=900∠BMF=∠C 1CM,∴ ∆BFM ∽∆C 1CM, ∴BF cc 1=BMMC 1, ∴ BF=11MC CC ⨯BM=232122⨯=66, ∴点B 到平面AMC 1的距离是66。
二、等体积法例 已知三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱垂直于底面，且C 1C=AC=BC=2,求点C 到平面C 1AB 的距离。
分析：点C 到平面C 1AB 的距离就是三棱锥C-C 1AB 的高。
马井堂-点到平面的距离的几种求法(教师用)
点到平面的距离的几种求法求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法．例：已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ ＝．图1 图2２．不直接作出所求之距离，间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题，Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４，ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ，Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5 图6（３）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ，则三棱锥Ｂ-ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ，可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２，Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7 图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝，ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝为所求之距离．。
“点到平面距离”的几种求法
“点到平面距离”的几种求法
雷启荣
【期刊名称】《雅安职业技术学院学报》
【年(卷),期】2000(000)001
【摘要】"空间距离"是立体几何中较为重要的一类问题。
而"点到平面距离"则又是此类问题中较为常见的一种,且其求解方法多变,现归纳常用的几种解法如下:一、直接法:例1:正三角形的边长是6cm,从它所在平面外的一点到它的三个顶点的距离都等于4cm,求这点到这个平面的距离。
【总页数】2页(P64-65)
【作者】雷启荣
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.点到平面的距离的求法 [J], 王锐;侯雪阳;
2.求点到平面的距离的另种求法 [J], 陈思利
3.点到平面的距离的几种求法 [J], 何小龙
4.E~n中点到K维平面的距离的几种求法 [J], 傅朝金
5.平面上点到直线的距离公式的几种求法 [J], 李玉强
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SXB037高考数学必修_点到平面距离的求法
点到平面距离的求法求点到平面的距离是立体几何中的一类重要问题，是研究线面、面面距离的基础，且在线面角、二面角及体积计算等问题中应用广泛.一、几何法求点面距离过点向平面作垂线，确定垂足, 则该垂线段的长即为所求的点到面的距离. 其求解步骤为“一作，二证，三 求”,解题关键在于确定垂足.1.根据线面垂直的定义及有关条件,直接确定垂足.例1.如图,正三角形ABC 的边长为6cm ，点D 到△ABC 各顶点的距离都是4cm ，求点D 到这个三角形所在平面的距离．简解: 如图1,过点D 作DH ABC ⊥平面,垂足为H,连结HA ，HB ，HC.则易证Rt DHA Rt DHB Rt DHC ∆≅∆≅∆62322.HA HB HCH AH AE Rt DHA D ABC cm ∴==∴∴=∴==∆=∴为正三角形ABC 的中心延长AH 交BC 于点E,则E 为BC 的中点在中点到平面的距离为2.找垂面,利用面面垂直的性质定理来确定垂足: 找过已知点与己知平面垂直的平面,并确定交线,再过已知点向交线作垂线,垂足确定,则已知点到垂足的距离即为点到平面的距离. 解题关键在于找或作出过已知点的垂面，常从已知平面中的特殊线出发,找或作出线的垂面,则所得的垂面与已知平面垂直.例2.在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，（1）求点D 到平面D 1BC 的距离；(2）若M 、N 分别为AB 、BC 的中点，求点D 到平面A 1C 1NM 的距离；(3）AM=3 MB ，BN=NC ，求点D 到平面D 1MN 的距离。
OD 1C 1B 1A 1图2DCBANOD 1C 1B 1A 1图3EDCBAM FQ ND 1C 1B 1A 1图4EDCBAM简解:（1）如图2, 连结DC 1交D 1C 于O ，则DC 1⊥D 1C ∵BC ⊥平面D 1C ，∴平面BCD 1⊥平面D 1C ∴DO 上平面BCD∴DO 的长度为点D 到平面D 1MN 的距离图1EH DCBA又DO=2212 2.D D BC ∴点到平面的距离为（2）如图3, 连结BD, B 1D 1，分别交MN ，A 1C 1于点E 、F ，易证MN ⊥平面DBB 1D 1∴平面DBB 1D 1⊥平面A 1C 1NM ，EF ⋂=111且面A C NM 面BD作DO ⊥EF 于O,则11,DO AC NM O ⊥平面垂足为 故DO 的长就是点D 到平面A 1C 1NM 的距离如右图, 在矩形11BDD B 中, 取BD 的中点G ，连结FG, 则FG DB ⊥易证Rt FGE Rt DOE ∆∆与相似故DO DEFG EF=,又32,4,32EF FG DE === 4DO ∴=,即点D 到平面A 1C 1NM 的距离为4.（3）如图4,取AB 中点Q, 连结QC, 则MN //QC 在正方形ABCD 中, 易证QC DN ⊥ 又1DD QC ⊥ 1QC D DN ∴⊥平面MN ∴⊥1D DN 平面11D MN D DN ∴⊥平面平面,且交线为1D N过D 作DE ⊥ND 1，则DE ⊥1D MN 平面,垂足为E 在111,4,25,6Rt D DN DD DN D N ∆===中1142545.D D DN DE D N ⋅⨯∴===即点D 到平面D 1MN 的距离为45.二、向量法求点面距离如下图，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则由cos ,AB n AB n AB n⋅<>=⋅和cos ,AC AB AB n =⋅<>AB n ABAB n⋅=⋅=AB n n⋅可知，点A 到平面α的距离为AC =AB n n⋅.例3. 已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，求点A 1到平面DBEF 的距离. 解: 如图7，建立空间直角坐标系D-xyz ，则DB ＝（1，1，0） ，DF ＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1）设平面DBEF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则有0n DB n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即01 y+z=02x y +=⎧⎪⎨⎪⎩令x ＝1, 得 y=－1, z=21, 即取n ＝（1，－1，21）， 则点A 1到平面DBEF 的距离11.n DA h n⋅==评注: 1. 对本题而言，若采用几何方法，则点A 1在平面DBEF 内的射影难以确定，求解难度较大;2. 应用向量法求点面距离的关键是“求出平面的法向量”.三、求点面距离的其它方法1.体积法: 将点到面的距离转化为某三棱锥的高, 利用三棱锥的各侧面均可做底面，以各侧面为底面算出的 体积相等来求.2.转移法: 利用线面平行“等量转移”或利用面的斜线“按比例转移”点面距离.例4. 如图8, 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，且∠ABC=600，PC ⊥平面ABCD ，PC=a ，E 是PA 的中点, 求E 到平面PBC 的距离.EDCPBA图8HEDCPBA图9QF EDCP B A图10OEDCPBA图11分析: 由于点E 在平面PBC 内的射影不易作出, 故需考虑间接求解. 可利用平面的斜线“按比例转移”点面距离:点A 到平面PBC 的距离是点E 到平面PBC 距离的2倍; 或利用线面平行“等量转移”点面距离: 点E 到平面PBC 的距离等于AB 中点F 到平面PBC 的距离; 亦可应用体积法来求解.解一: 如图9, 由AP 是平面PBC 的斜线, P 为斜足, 且E 为AP 的中点,可知点A 到平面PBC 的距离是点E 到平面PBC 距离的2倍.PC ⊥平面ABCD ，又PC PBC ⊂平面PBC ABCD ∴⊥平面平面,交线为BC在菱形ABCD 中,作AH ⊥BC 于点H,则AH PBC ⊥平面,AH 的长即为点A 到平面PBC 的距离.易求得AH =,即点A 到平面PBC ,故点E 到平面PBC .解二: 如图10, 取AB 中点F, 连结EF, 则EF//PB ，故EF//平面PBC.E F PBC ∴点与点到平面的距离相等PC ⊥平面ABCD ，又PC PBC ⊂平面PBC ABCD ∴⊥平面平面,交线为BC过F 作FQ BC ⊥,垂足为Q, 则FQ PBC ⊥平面,.a Rt BQF FQ ∆=在中∴点E 到平面PBC .解三: 如图11, 应用体积法来求点到平面的距离. 连结AC ，BD 交于点O. ,E B E PBC h h 设点到平面的距离为点B 到平面PCE 的距离为,则由E PBC B PEC V V --=，得1133PBC E PCE B S h S h ∆∆⨯⨯=⨯⨯(1)由题意, 可得21,2PBC S a ∆=21124PCE PCA S S a ∆∆==(2)在菱形ABCD 中,AC BD ⊥又PC ⊥平面ABCD PC BD ∴⊥,.BD PAC O ∴⊥平面垂足为2B h BO ∴==(3)将(2),(3)代入(1)中, 得.E h =∴点E 到平面PBC . 评注: 当点在平面内的射影不易作出, 或虽能作出但过程较复杂时, 常采用转移法或体积法来求点到平面的距离. 本题也可采用向量法求点面距离.。
点到平面的距离坐标法
点到平面的距离坐标法
点到平面的距离坐标法是一种用于计算点到平面距离的方法。
它基于平面的一般式方程，该方程描述了平面的位置和方向。
一般式方程的形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面到坐标原点的距离。
要计算一个点P(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离，可以按照以下步骤进行：
1. 将平面方程的系数A、B、C、D代入公式
d=|Ax+By+Cz+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)，其中d表示点P到平面的距离。
2. 将点的坐标代入平面方程，计算出点P在平面上的投影点
Q(x,y,z')，其中z'=(-Ax-By-D)/C。
3. 计算点P和点Q之间的欧几里得距离，即
d=sqrt((x-x)^2+(y-y)^2+(z-z')^2)。
点到平面的距离坐标法是一种简单而实用的方法，可以用于机器人、计算机视觉等领域的应用。
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点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(312221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA→→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。