理工线代A期末练习题
2018-2019-1-线代A卷
11 1 1
6. 行列式 D 1 1
2 22
3 32
4 42 =
.
1 23 33 43
7. 设 A 是四阶方阵， A 是 A 的伴随矩阵， A 的行列式 A =1，则行列式
3 A 1 A* =
.
1 0 4
8.
设 A 是 43矩阵,
且 R A 3 ,
而
B
0
2
0
,
则 R AB
.
5 0 3
1 2 2
C． r m 时， AX 0 必有非零解 D． r n 时， AX 0 必有非零解
5. 如果实二次型 xT Ax 是正定的，则以下关于矩阵 A 的叙述错．误．（ ）
A．一定是正定矩阵
B．特征值一定大于零
C．顺序主子式有可能小于零
D．行列式一定大于零
得分
二．填空题：（每小题 3 分，共 15 分）
D. 12 ）
A. AB 1 A1B1
B. ABT AT BT
C. A B 1 A1 B1
D. A BT AT BT
3. 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 行与第 2 行交换得 B ，再把 B 的第 2
行加到第 3 行得 C ，则满足 QA C 的可逆矩阵 Q 为（ ）
题号 一 二 三 四 题分 15 15 60 10 得分
注意：学号、姓名和所在年级班级不写、不写全或写在密封线外者，试卷作废。
得分
一．选择题：（每小题 3 分，共 15 分）
1. 逆序数[4731265] (
).
A.9
B.10
C.11
2. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵, 则下列等式正确的是（
17．设 1, 2 为 2 阶实矩阵 A 的两个不同的特征值，1, 2 是分别与特征
理工大往年线代期末考试试题(1)
0
0
0
2
故 r(1, 2, 3, 4 ) = r(1,2,3,4 ) = 4 ，即 1, 2 , 3, 4 线性无关。
2 1 −1 1
六、(本题10 分)
求向量组 1
=
1 4
,
2
=
1 2
,
3
=
−2 2
,
4
=
1 −2
的秩及其极大无关组。
3
0
−9
(C)、A −1 A−1 ；
注： A−1 = A −1 A ，即 A = A A−1 ，故 ( A )−1 = A −1 A 。
(D)、A A−1 。
( B ) 11、设 A, B Rnn ，则下面结论错误的是
(A)、r(AB) r(A) ；
(B)、r(A) r(A + B) ；
(C)、r( AB) = r(BT AT ) ；
( A)、相同的特征向量；
(B)、不同的特征向量；
(C)、相同的特征向值；
(D)、不同的特征值。
5、实二次型 f ( X ) = x12 + 5x22 + x32 − 4x1x2 − x2x3 为( B )
( A)、半正定；
(B)、正定；
(C)、负定；
(D)、不定。
244
《线性代数》 历届试题详解
f (X ) = 2x12 + 3x22 + 3x32 + 4x2x3 = X T AX = Y T (PT AP)Y = 2y12 + 5y22 + y32 。
247
《线性代数》 历届试题详解
2014～2017 年线性代数试题详解
一、单项选择题
理工大学线性代数考试试卷及参考答案(A)
考试时间：年月日
课程名称：线性代数适用专业年级：
考生学号：考生姓名：
………………………………………………………………………………………………………
一、单项选择（20分＝4分 5）：来自1．（ ） ,( ) ,
( ) , ( ) ．
2．设 为同阶方阵，则（）成立
（ ） ,( ) ,
５．二次型 ，当满足（）时，是正定二次型．
( ) ； （ ） ； （ ） ； （ ） ．
二、填空题（20分＝4分 ）：
6． ，则 _______．
7．设 为四阶方阵，若 ＝ ，则其伴随矩阵 的行列式 =_______．
8．若 ，当 _______时， 2．
9．设 ，其中 ，则 ________．
10．设 为正定矩阵，则 _______．
( ) , ( ) ．
3．设 为 矩阵，齐次线性方程组 仅有零解的充分必要条件是 的（）．
( )列向量组线性无关，（ ）列向量组线性相关，
（ ）行向量组线性无关，（ ）行向量组线性相关．
4．向量 线性无关，而 线性相关，则（）。
( ) 必可由 线性表出，（ ） 必不可由 线性表出，
（ ） 必可由 线性表出，（ ） 必不可由 线性表出．
七、解答题(6分)：
16．解：设 则有
， 的特征值为 2’
对应于 的特征向量可以计算得： 单位化得 1’
对应于 的特征向量可以计算得： 单位化得 1’
作正交变化 得到 ，由正交变化得刚性知面积为 。2’
七、解答题(6分)：
16．求曲线 所围成的图形的面积。
2005级线性代数期末考试参考答案（A卷）
一、单项选择（20分＝4分 5）：
【期末试题】2018-2019秋线性代数(理工)
三、证明题（共 19 分）
1. （7 分）证明：向量组 ������1, ������2, ������3 线性无关的充分必要条件是向量组 ������1 + ������2, ������2 + ������3, ������3 + ������1 线性无关. 2.（6 分）设方阵 ������ 使得 ������3 = 2������, 证明 ������2 − ������ 可逆，并求 ������2 − ������ 的逆矩阵. 3.（6 分）设 ������ 阶方阵 ������ 满足 ������2 = ������. 则 ������ 是齐次线性方程组 ������������ = 0 解的充分必要条件 为：存在向量 ������ 使得 ������ = ������ − ������������.
0
相似,
则
������������ =
__________.
1 2 3 4 0 0 4 y
1 0 0
x
0
0
1
1
110 2. 若存在3维列向量不能由向量组 (0) , (������) , (2) 线性表出，则 ������ = __________.
121
1 2 4 ������1 3. 若二次型 (������1, ������2, ������3) (0 2 2) (������2) 正定，则 ������ 的取值范围为 __________.
0 0 ������ ������3 4. 设������为3阶实对称阵,������2 − ������ = 2������, ������������(������) = 0,则二次型 ������������������������ 的规范形为 __________.
2012-2013(1)线性代数(理工)A试卷 重理工资料库
2、 5、 14
A B B A
3、 (2, 3, 4,6) 6、 20
三、计算题（第 1-6 小题每小题 6 分，第 7、8 小题每小题 8 分，共 52 分）
1、设行列式 D
3 5 2 1
1 1 0 5
1 2 3 4 1 3 1 3
，计算 A31 3 A32 2 A33 2 A34 的值，其中 Aij 表示行列式中元素 aij 的代数余子式。
（D） 8 A B ）
5、设 A 为 4 阶方阵，当 R( A) 3 时，则 R( A* ) 为（ （A） 3 （B） 2 （C） 1 （D） 0
6、设 A 、 B 为 n 阶方阵，且 R( A) R( B) ，则（ （A） R( A B) 0 （B） R( A B) 2R( A)
。
三、计算题（第 1-6 小题每小题 6 分，第 7、8 小题每小题 8 分，共 52 分）
1、设行列式 D
ห้องสมุดไป่ตู้
3 5 2 1
1 1 0 5
1 2 3 4 1 3 1 3
，计算 A31 3 A32 2 A33 2 A34 的值，其中 Aij 表示行列式中元素 aij 的代数余子式。 （6 分）
x 2 0 5、设 A （6 分） 2 x 0 的一个特征值为 1 ，求 x 。 x 9 2
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重理工资料库
重庆理工大学考试试卷
2012～ 2013 学年第一学期
班级 学号 姓名 考试科目 线性代数（理工） A卷 闭 卷 共 3 页
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 密· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·封· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 学生答题不得超过此线
河南理工大学2018-2019 学年第一学期线性代数a(A卷)期末试卷
２. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300040002A ，BA A ABA +=2，求B 。
（本小题 ８分）３. 已知3R 中一组基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=611,123,411321ααα，求从基⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,011,001到321,,ααα的过渡矩阵。
（本小题８分）４. 设T a )10,2,(1=α，T )5,1,2(2-=α，T)4,1,1(3-=α，T b )1,,1(-=β，根据b a ,的不同取值，讨论线性方程组βααα=++332211x x x 解的情况，并在有无穷多解时求其通解。
（本小题１２分）河南理工大学 2018-2019 学年第 一 学期《线性代数a 》试卷答案（A 卷）一、 填空题（每题4分）1. 02. 13.38 4. 1或2 5. 28 6. )3,2,(zy x二、 选择题（每题4分）1. B2. D3. C4. D5. C6. C三、 计算题 1.910000100001022219322123212231222193229232922392229131214143219====---÷+++r r r r r r c c c c c D……2分 ……4分 ……8分2.可逆A A ∴≠=,024 且 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3141211A 等式两端同时在右侧乘以1-A 则 ,)(,,AB E A A B AB B A AB =-=-+= ……2分可逆E A E A -∴≠==-,06231５.已知二次型32232221222x x x x x f -++=（１）判定二次型的正定性；（２）求一个正交变换把二次型化成标准形。
（本小题 １６分）且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--21311)(1EA……4分AEAB1)(--=∴……6分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=∴-2334234221311)(1AEAB……8分3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==614121131),,(321αααA，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==111111),,(321βββB可逆BB∴≠=,01……2分,),,(),,(321321Aeee=ααα,),,(),,(321321Beee=βββ……4分,),,(),,(1321321-=∴Beeeβββ,),,(),,(1321321AB-=∴βββααα,·1AB-过渡矩阵为所以要求的……6分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-61411211111614112111131111),~21r rAB（⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---6141713111~12r r所以过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6147131……8分4.设),,(321ααα=A，则,4--=aA……2分时线性方程组有唯一解可逆时，即当0≠AA时线性方程组有唯一解4-≠∴a……4分当4-=a时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=↔145101124112145101121124),,,(~21321bbrrβααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+++-bbbbbbrrrrrr3211112511211112~~23121325……6分线性方程组无解时当),,()(,,4βARARba≠≠-=∴……8分线性方程组有无穷多解时当,3),()(,,4<==-=βARARba……10分此时),,,(321βααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111211112~21r r～令1,21,321=--==xcxcx则此时，方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121121321cccxxx……12分5.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21121A……2分)3()1(]1)2)[(1(2112122=--=---=-----=-λλλλλλλλEA所以特征值121==λλ，33=λ……4分（1）因为特征值全为正，所以二次型正定……6分（2）当121==λλ时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+111111~32r rEA特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11,121ξξ21,ξξ正交……8分当33=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=--0001100021101100023~23r r E A 特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103ξ ……10分 321,,ξξξ两两正交单位化得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11021,00121ξξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110213ξ ……12分所以正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121021210001P 所求的正交变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212121021210001y y y x x x ……14分标准形为2322213y y y f ++= ……16分1.。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
2017-2018(1)线性代数期末考试-A卷参考答案
A. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα都不是零向量;B. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任意两个向量都不成比例;D. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任一部分组线性无关.6. 若二次型222123123(,,)(1)(1)(2)f x x x k x k x k x =++-+-正定，则k 的取值范围为 ( A ). A. 2k > ; B. 1k >; C. 12k << ;D. 1k >-.二、填空题 （共22分,第1-6小题每小题3分，第7小题4分）1. 行列式是一个 数值 ，矩阵是一个 数表 。
（请填“数表或数值”）2. 100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=210104350⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 行列式111111x x x= (x +2)(x -1)2 或x 3-3x +2 ．4. n 元齐次线性方程组A x =0只有零解的充要条件是 R(A)=n ．5. 设向量1-2-1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，β=22λ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭正交，则λ= -6 ．6. 任意n +1个n 维向量 线性相关 .填（“线性相关”或“线性无关”）7. 已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1,1,2,-则_-2_,A =1*132__.2A A -+=三、计算题 （共60分）1. （10分） 设122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，1) 判断A 是否可逆；（4分）2) 如果A 可逆，请用初等行变换求出-1A .（6分）解：1） 由于||=-270A ≠，所以A 可逆。
(4分)2）用初等行变换求得11/92/92/92/91/9-2/92/9-2/91/9A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（6分）2. （10分）计算行列式2004310050100232D =.解：将D 的第三行的-3倍加到第四行，得：2004200431003100501050100232-15202D ==（2分）对200431005010-15202按第三列展开，得：204310-1522D = （3分）将204310-1522第二行的-2倍加到第三行，得： 204310-2102D = （2分） 按第二列展开得2488-212D ==。
2021-2022-2-线性代数A期末试题
课程编号：100172105 北京理工大学2021-2022学年第二学期线性代数A 期末试题(试题共2页, 九道大题。
解答题必须有解题过程。
)一 (14分)、已知矩阵211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . （1）求A I 32*−的值，其中*A 是A 的伴随矩阵；（2）若矩阵101011111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，且满足11*2A XA A X A B −−=+，求矩阵X .二（10分）、设方程与线性方程组1231232123040160x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩有公共解，求a 的值及所有公共解。
三（10分）、已知线性空间22⨯R的一个基123410111111,,,00001011⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A 与一组向量123421234311,,,11102110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦B B B B . （1）证明：1234B ,B ,B ,B 也是线性空间22⨯R的一个基；（2）求基1234A ,A ,A ,A 到基1234B ,B ,B ,B 的过渡矩阵；（3）若矩阵C 在基1234A ,A ,A ,A 下的坐标为(0,1,0,1)TX =，求C 在基1234B ,B ,B ,B 下的坐标。
四（10分）、在3R 上定义变换σ：12312231((,,))(2,,3)x x x x x x x x σ=+−.（1）证明：σ 是3R 上的一个线性变换；（2）求 σ 在3R 的自然基321εεε,,下的矩阵。
五（10分）、已知12321x x x a ++=−1234(1,1,1,1), (2,2,1,1), (2,1,2,1), (1,0,1,0)=−−=−−=−−=−αααα（1）求向量组1234,,,αααα的秩和一个极大无关组;（2）用所求的极大无关组线性表出向量组的其余向量。
18级理工类线性代数A(B卷-期末卷)
2．设 A 与 B 为 n 阶方阵，则下列结论正确的是（
）.
（1） A 或 B 可逆, 则 AB 可逆；
（2） A 或 B 不可逆, 则 AB 不可逆；
（3） A 与 B 均可逆, 则 A + B 必可逆；
（4） A 与 B 均可逆, 则 A + B 必不可逆．
3．设 A 为 mn 矩阵， Ax = 0 是非齐次线性方程组 Ax = b 所对应的齐次线性方程组，
分
证明： (E − J )−1 = E − 1 J ．
n −1
P5 P6
学院
B卷
闭卷 □√ 开卷 □
总分
题号
一
二
三
四
五
六七
八
九
得分
阅卷人
得
一、填空题（共 18 分，每小题 3 分）
分
a11 a12 a13
4a11 2a12 − 3a11 − a13
1．设 a21 a22 a23 = 1，则 4a21 2a22 − 3a21 − a23 =
.
a31 a32 a33
4a31 2a32 − 3a31 − a33
2
得
六、计算题（共 16 分，每小题 8 分） 3 −5 2 1
分
1 1 0 −5
1.设行列式 D = −1 3
1
3 的 (i, j) 元的代数余子式为 Aij ，
2 − 4 −1 −3
求 A11 + A12 + A13 + A14 .
2 0 1
得 分
五、（12
分）求
A
=
3
1
3
的所有特征值和特征向量.
α2 + α3 = ( 0,1, 2, 3)T ， k 表示任意常数，则线性方程组 Ax = b 的通解为（
线性代数考题(理工)汇总
线性代数（理工）试题（一）一、单项选择题(每小题3分,共18分)1. 行列式412175943-的元素a 23的代数余子式23A 是（ ）. A. 3 B. 3- C. 5 D. 5-2. 设A 为3阶方阵,且1=A , 则 =A 3( ).A. 3B. 27C. 3-D. 27-3. 若B A ,为)2(≥n n 阶方阵,则下列各式正确的是( ).A.B A B A +=+B.T T T B A AB =)(C.BA AB =D.BA AB = 4. 设矩阵n m A ⨯的秩n m A r <=)(，下述结论中正确的是（ ）.A. A 的任意m 个列向量必线性无关；B. A 的任意一个m 阶子式不等于零；C. 齐次方程组0=Ax 只有零解；D. 非齐次方程组b Ax =必有无穷多解. 5. 设4321,,,αααα是一组n 维向量,其中321,,ααα线性相关, 则( ) A. 4321,,,αααα必线性相关, B. 21,αα必线性相关, C. 32,αα必线性无关, D. 321,,ααα中必有零向量. 6. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11101011A 的特征值为 ( ). A. 0,1,1 B. 2,1,1-- C. 2,1,1 D. 2,1,1- 二、填空题(每小题3分, 共24分)7.=-ααααsin cos cos sin .8. 设14111112--=D , ij A 为D 中ij a 的代数余子式, 则=++333231A A A . 9. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5321A , 则A 的逆矩阵=-1A . 10. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300220111A , 则=A A T . 11. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=443120131211A , 则A 的秩 =)(A r . 12. 设21,λλ是3阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值, T )2,0,1(1=α,T a ),3,2(2=α是对应于21,λλ的特征向量, 则=a .13. 二次型31212322213218232),,(x x x x x x x x x x f --++=的矩阵=A .14. 若二次型31212322213212224),,(x x x tx x x x x x x f +-++=是正定的，那么t 应满足的不等式为 .三、计算下列行列式 (2612⨯=分分)(1)D 2512371459274612---=--. (2)n x y y y yx y y D yy x y yyyx=.四．(8分)解下列矩阵方程:设,2,321011330B A AB A +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= 求B .五. （8分）求出向量组1234{,,,}αααα的秩和一个极大线性无关组，其中T )2,0,1,2,1(1--=α,T )6,6,2,4,2(2--=α，T )3,2,0,1,2(3-=α,T)4,3,3,3,3(4=α六.（12分） λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++4243212321321x x x x x x x x x λλλ，有唯一解，无解，有无穷解？若有无穷解时，求其通解.七.（12分）已知二次型322322213214),,(x x x x x x x x f +++=， （1）写出二次型f 的矩阵,（2）用正交变换把二次型f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵.八. 证明题 (6分)设向量组123,,ααα线性无关，且1122233312,23,4βααβααβαα=+=+=-试证明：向量组123,,βββ线性无关.线性代数（理工）试题（二）一、单项选择题（每题3分，共 24分）1.已知-10a 111-1-1A =1-11-11-1-11，则A 中元素a 的代数余子式13A 是（ ）。
线代期末考试A卷及答案
2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （A ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。
(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．设1111011x x x xx x++=+，则实数x =A ．1 ；B ．-1；C ．0；D ．4. 2.设A 为n 阶方阵，则kA =A ．A k n； B. A k ； C. A k ； D. nA k )(. 3.设B A ,均为n 阶矩阵，且AB =O ，则下列命题中一定成立的是( ) A. A =O 或B =O ； B. A ,B 都不可逆；C. A +B =O ；D. A ,B 至少有一个不可逆.4.下列矩阵中与矩阵123218001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是 A ．()456； B.123456⎛⎫⎪⎝⎭； C.12111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D.122101402⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A. A 2必为1； B. A 必为1； C. T A A=-1； D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组.6．设非齐次线性方程组Ax =b 的导出组为Ax =0，则下列结论中正确的是（ ）A.若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解；B.若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解；C.若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解；D.若Ax =b 有唯一解，则Ax =0仅有零解。
__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………27．已知λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则1-A 有一特征值是（ ）A.49； B. 94； C. 13； D. 19 .8．设n 维向量α与β满足α,β()=0，则有（ ）A. α,β 全为零向量；B. α,β中至少有一个是零向量；C. α与β的对应分量成比例；D. α与β 正交. 9.设向量组A 与向量组B 等价，则有（ ）A. B A R R <B. B A R R >C. B A R R =D. 不能确定A R 和B R 的大小.10.设齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 为m n ⨯矩阵，()()R A s s n =<，则此方程组基础解系的秩为A ．m s - ； B. s n - ； C. n s - ； D. m n -.二、填空题。
重庆理工大学线性代数理工类_A卷_2010年5月
10、二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − x22 + x32 的正惯性指数是 ( A. 0 B. 1 C.2
重庆理工大学考试试题卷
2009～2010 学年第二学期
班级 学号 姓名 考试科目 线性代数（理工类） A卷 闭卷 共 2 页
·················· 密············ ·················· ············封············ ············线················ ················ 学生答题不得超过此线
重庆理工大学考试答题卷
2009～2010 学年第二学期
班级 学号 姓名 考试科目 线性代数（理工类） A卷 闭卷 共 2 页
·················· 密············ ·················· ············封············ ············线················ ················ 学生答题不得超过此线
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
⎛ 0 0 1 ⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎟⎛ 1 2 ⎞ ⎟⎜ ⎜ ⎟ =_______。 11、 ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ − 1 1 ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 0 ⎟⎜ 2 3 ⎟⎝ 0 1 ⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎝
0⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎜ 12、设矩阵 A = ⎜ 0 − 2 0 ⎟ ，则 A−1 = ⎜ 0 0 − 1⎟ ⎠ ⎝
12、 17、 18、
13、 19、 20、
三.、计算题。 （每小题 8 分，共 48 分）
21、 22、
23、
重庆理工大学线性代数A卷(13-14经管)含答案
得 时对应的特征向量为 ；（4分）
当 时，由 ，
得 时对应的特征向量为 。（6分）
解： （2分）
令 得 （4分）
于是标准形为 ，所用的可逆线性变换为 （6分）
四、证明题（5分）
有
于是 ，（3分）
故 可逆，并且 （5分）
（7）设 是齐次线性方程组 的基础解系，下列向量组中不能构成 的基础解系的是（）
（A） （B）
（C） （D）
（8）设 为 矩阵，若 ，则齐次线性方程组 的基础解系中包含的解向量的个数是（）
（A）2（B）3（C）4（D）5
（9）设 为三阶方阵， 的特征值分别为 ，则在下列矩阵中为可逆矩阵的是（）
（A） （B） （C） （D）
学生答题不得超过此线
题号
一
二
三
四
总分
总分人
分数
得分
评卷人
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。
（1）下列各项中，为某五阶行列式中带负号的一项是（）.
（A） （B） （C） （D）
（2）设行列式 ， ，则 与 的关系为（）
（A） （B） （C） （D）
（3）对于三阶行列式 ，则有 等于（）
（A） （B） （C） （D）
（4）设 、 为三阶矩阵， ,则 （）
（A） （B） （C） （D）
（5）若 阶矩阵 、 都可逆，且 ，则下列（）结论错误。
（A） （B） （C） （D）
（6）设 为 阶方阵，如果 经过若干次初等变换成矩阵 ，则（）成立．
（A） （B） （C）若 ，则必有 （D）若 ，则必有
学生答题不得超过此线
（7）求向量组
的秩和一个最大无关组。
线性代数A及答案
2005学年第2学期线性代数期末考试试卷（ A 卷 ）一. 填空题 (本题共有10个小题, 每小题3分)1. 设305021311121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的秩()r A =__________. 2. 设A 为3阶方阵，行列式2A =,则3A =________.3. 设矩阵20003101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则x =_________. 4. 设A 是n 阶方阵且240A A E +-=, 则()1A E --=_________.5.()222,,2332f x y z x y z ayz =+++是正定二次型，则a 的取值范围是______.6. 若向量()1,2,0与(),,0x y 线性无关，则x 与y 的关系应为__________.7. 向量[]1,4,0,2T∂=与[]2,2,1,3Tβ=-的距离和内积分别为_________和___________.8. 设10246311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则a =___________.9. 设0是矩阵10102010A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值，则a =___________. 10. 在MA TLAB 软件中，det(A ) 表示求__________.二. 选择题（本题共有5个小题, 每个小题都给出代号 (A), (B), (C), (D) 的四个结论, 其中只有一个结论是正确的。
每小题3分。
）1. 设A 是n 阶方阵，则下列4个式子中表明A 是正交矩阵的式子为（ ）(A) 1AA E -=(B) AA E = (C) 1TA A -=(D) 1A =±2. 已知,A B ,C 为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（ ）(A) AB BA = (B) ()()AB C A BC =(C)()A B C AC BC +=+(D) ()C A B CA CB +=+3. 已知方程组Ax b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是（ ）(A) 若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解。
线性代数A卷 本科(48学时)答案 (1)
a3
1 证明：由 A A 4 E O 可得 A( A E ) 4 E ,且 A [ ( A E )] E ,…………3 分 4
2
an
an
则
1 A ( A E ) 1 0 ,所以 A 0 ,则 A 为可逆矩阵 4
(a1
1 )a2 a3 .....an ..........2分 a k 2 k
根据实际情况可得 0
1 k 3 1 （ k 3 0 ）……………………….…….2 分 0
x1 600 x5 , x 2 200 x5 , x3 400, x 4 500 x5
x5 500 …4
则
A E
1 ( A 2 E ) 1 0 ,所以 A E 0 故 A E 可逆………1 分 2 1 1 E )[ ( A 2 E )] E ,故 ( A E ) 1 ( A 2 E ) ……….1 分 2 2
又因为 ( A
1 0 1 ，求 X . 2、设 A 1 2 0 ，且 AX E A 2 X （期中 E 为 3 阶单位矩阵） 1 0 1
0 1 k1 1 k 2 0 （ k1 , k 2 不同时为零）………………3 分 1 0
② 解 ( A E ) x 0 ,得属于 3 1 的特征向量为：
1 0 0 1 0
得 分
1 1 0 0 0
0 0 800 1 0 1 1 0 300 r 0 0 1 1 500 0 0 1 600 0 1 0 0 400 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
线性代数理科类参考答案
线性代数（理科类）期末考试参考答案2019年01月09日本次考试中，M n (F )为数域F 上n 阶矩阵全体构成的线性空间；F n 为数域F 上所有n 阶列向量构成的线性空间；R 为实数域，C 为复数域；A T 为A 的转置；tr A 为A 的主对角线元素之和；Col (A )为A 的列向量生成的子空间；N (A )为Ax =0的解空间；I n 为n 阶单位阵.第一部分：填空题（每空4分，共48分）(1)设V 1是列向量(1,0,−1,0)T ，(0,1,2,1)T 和(2,1,0,1)T 生成的R 4的子空间，V 2列是向量(−1,1,1,1)T ，(1,−1,−3,−1)T 和(−1,1,−1,1)T 生成的R 4的子空间，则dim (V 1+V 2)=3,dim (V 1∩V 2)=1.(2)设λ是一个非零常数,考虑方程组λx 1+x 2+x 3+x 4=1x 1+λx 2+x 3+x 4=λx 1+x 2+λx 3+x 4=λ2x 1+x 2+x 3+λx 4=λ3，当λ=1,此方程组有无穷解。
此时，方程组的通解是(1000)+k 1(−1100)+k 2(−1010)+k 3(−1001).(3)设A =1000110011101111,则M 4(R )的子空间T (A )={B ∈M 4(R )|BA =AB }的维数是3。
(4)设n 阶方阵A =(I r B0−I n −r ),则存在n 阶可逆方阵P =(I r −12B O I n −r)和对角阵Λ=(I r OO −I n −r)，使得P −1AP =Λ.(5)定义M 2(R )上的线性变换φ满足φ(A )=(1111)A (2001),则Im φ的维数是2，Ker φ的维数是2。
(6)给定矩阵A ∈M 2(R )和4个非零向量α1,α2,α3,α4∈R 2满足这4个向量分别是Col (A T ),N (A ),Col (A ),N (A T )的基。
理工线代A期末练习题
5、设 A 为 n 阶可逆矩阵， A* 为 A 的伴随矩阵，若
.
是矩阵 A 的一个特征值，则 A* 的一个
特征值可表示为
.
6、若 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1， 2，3，则 A E
.
7、 n 阶方阵 A 满足 A 2 3 A E 0 ，则 A 1
.
1 31 8、若 0 5 x 0 ，则 x __________.
Ax 0 的基础解系，则 Ax b 的通解是
（
）
(A) k1 1 k2 ( 1
2)
1
2
(B)
2
k1 1 k2 ( 1
2)
1
2
2
(C)
k1 1 k2 2
1
2
2
(D)
22、对于正交矩阵，以下叙述 错误 的是
k1 1 k2 2
1
2
2
（
）
(A) 、若 A 为正交矩阵， 则 A 1 (B) 、若 A, B 为同阶正交矩阵， 则 AB 为正交矩阵，
3、若 n 阶方阵 A 满足 A2 2 A 4E 0 ，证明 A E 可逆，并求 ( A E ) 1.
4、设 A 是 m n 实矩阵 ,
0 是 m 维实列向量，证明： r ( A) r ( AT A) ；（ 2）非齐次线
性方程组 AT Ax A T 有解 .
5、设向量
,
1
2,
3,
4 线性无关 , 且
是
.
30 0
20、矩阵 A 0 4
为正定矩阵，则 的取值范围是
.
0
1
三、计算题：
1113
1131
1、（ 1）
1311
线性代数课程期末考试试卷(A卷)1
信息学院本科生2009－2010学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A 卷）专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩:说明：A T 表示矩阵A 的转置，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，O 是零矩阵, A −1表示可逆矩阵A 的逆矩阵, |A |表示方阵A 的行列式, 〈α, β〉表示向量α, β的内积.一、 客观题：1−3小题为判断题，在对的后面括号中填“√”，错的后面括号中填“⨯”，4−8为单选题，将正确选项前的字母填在括号中. (每小题2分，共16分)1. 方阵,A B 满足，则必有)AB BA =22()(A B A B A B -=+-。
( )2. 若方阵A 有0k A =（0k >为整数）, 则必有||0A =。
( )3. ,A B 为同型矩阵，且秩(A)＝秩(B)，则0AX = 与0是同解方程组。
( )BX =4. n 阶实对称矩阵A 正定，则以下结论错误的是( ) (A) 可以找到一个正交矩阵F ，使T F AF 为对角矩阵。
(B) 的所有的特征值均为正值。
A (C) 是不可逆矩阵。
A (D) 对某个12(,,,)0T n X x x x =≠ ，必有。
0T X AX >5. n 维向量,αβ正交，则内积,β=( ) (A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 0 6. 下列说法不正确的是 ( )(A) 存在满足的两个非零阶矩阵和。
0PQ =(1n n >)P Q (B) 维实线性空间V 中任何个线性无关的向量都构成V 的一个基底。
(1)n n >n (C) 设V 是一个任意的维欧式空间，T 是V 中一个任意的线性变换，则V 中的零向量在T 作用下的象一定也是零向量。
n (D) 是线性空间V 中线性变换，向量组T 12,,,m ααα 线性无关，则12,,,T m T T αα α线性无关。
)7. 下列说法不正确的是 ( )(A) 相似矩阵有完全相同的特征多项式。
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一、选择题：1、设A 为3阶方阵，且2A =，则12-A （ ）； (A )－4 (B ) －1 (C ) 1 (D ) 42、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001021,403124,2311C B A ，则下列运算有意义的是（ ）；(A ) ABC (B ) BAC (C ) ACB (D ) CBA 3、设A 为45⨯矩阵，秩()3A =，则（ ）；(A )A 中4阶子式都不为0； (B )A 中存在不为0的4阶子式； (C )A 中3阶子式都不为0； (D )A 中存在不为0的3阶子式. 4、 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则必可推出（ ）； (A )其中至少存在一个向量为零向量； (B )其中至少存两个向量成比例；(C )其中至少存在一个向量可以表示为其他向量的线性组合； (D )其中每个向量都可以表示为其他向量的线性组合.5、若AB=AC ，能推出B=C ，其中A ，B ，C 为同阶方阵，则A 应满足条件（ ）； (A ) 0≠A (B ) 0=A (C )0=A (D ) 0≠A .6、设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ ）；x Ax A 2)(= x x A B 2)(1=- 1()0.5C A x x -= x x A D 4)(2=.7、设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为3,2,2. 则1-B （ ）；121)(A 71)(B 7)(C 12)(D . 8、排列134782695的逆序数是（ ） (A)9 ； (B)10 ； (C)1 ； (D)12 . 9、设A 为3阶方阵，且行列式A =21，则A -2的值为（ ） （A ）-4； （B ）4； （C ）-1； （D ）1.10、设n 阶方阵A 满足20A E -=，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（ ）（A ）A E =； （B ）A E =-； （C ）1A A -=； （D ）1A =.11、若向量组123a a a ,,线性无关，向量组234a a a ,,线性相关，则（ ）(A) 1a 必可由234a a a ,,线性表示； (B)2a 必可由134a a a ,,线性表示； © 3a 必可由124a a a ,,线性表示；(D)4a 必可由123a a a ,,线性表示.12、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=（ ） (A) 2；（B ） 1； (C) 0； （D ） -1.13、设A 是3阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，|A |=21，则()132A A -*-等于（ ） （A ）-12； （B ）43-； （C ）1627-； （D ）432-. 14、设A 为⨯m n 矩阵，且<m n , 则齐次线性方程组0Ax =（ ）.(A) 无解； (B)只有唯一解； (C)一定有无穷多解； (D)不能确定.15、已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）.A .5B .-5C .-3D .316、设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（ ） A ．21+ββB ．()212351ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-17、设A 为三阶矩阵，且3A =，则*A 行列式的值为 ( ) (A) 3 (B)9 (C)27 (D) 8118、已知54⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则()Tr A 等于 （ ）(A) 1 (B) 5 (C) 3 (D) 419、设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是 ( )(A) 若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆 (B) 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆 (C) 若A + B 可逆, 则A －B 可逆 (D) 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆 20、下面说法错误的是 （ ）(A) 两个n 阶矩阵A 和B 相似，必等价； (B) 两个n 阶矩阵A 和B 等价，必相似； (C) 两个n 阶矩阵A 和B 相似，特征值相同； (D) 两个n 阶矩阵A 和B 等价，秩相等.21、已知12ββ、是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12αα、是对应齐次方程组0Ax =的基础解系，则Ax b =的通解是 （ ）(A)1211212()2k k ββααα-+++ (B) 1211212()2k k ββαββ-+++(C) 1211222k k ββαβ+++ (D) 1211222k k ββαα+++22、对于正交矩阵，以下叙述错误的是 （ ） (A)、若A 为正交矩阵，则1±=A (B)、若B A ,为同阶正交矩阵，则AB 为正交矩阵，(C)、若A 为正交矩阵，则1-A 为正交矩阵 (D)、若B A ,为同阶正交矩阵，则B A +为正交矩阵23、若A 相似于B ，则下列命题中错误的是 （ ）（A ）B A ,具有相同的特征值 （B ）B A ,具有相同的行列式 （C ）B A ,具有相同的特征向量 （D ）若B A ,可逆，则1A -相似于1B - 24、设二次型11212235(,)(,)12x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则该二次型的矩阵为 （ ） (A)3512⎛⎫ ⎪⎝⎭(B) 3062⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C)3602⎛⎫ ⎪⎝⎭(D) 3332⎛⎫ ⎪⎝⎭ 25、若二次型232221321)3()2()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则 （ ） (A)1->k (B)1>k (C)2>k (D)3>k二、填空题1、若A 是5阶方阵，且,2=A 则12--A ＝ .2、A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T . 3、设),(21E B A +=则当且仅当=2B 时，.2A A = 4、若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1010101y x A 的秩为1，则x+y= .5、设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 .6、若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则A E += .7、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A.8、若022150131=---x ，则x =__________. 9、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 .10、已知向量T )4,2,3,1(=α与Tk k )2,3,1,(--=β正交，则=k _.11、在函数211()12xf x xx x x-=--中，3x 的系数是 . 12、k = 时，向量β=（1,k,5）可由向量1(2,1,1)αα==-2（1，-3，2）,线性表示.13、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ，则1-A = . 14、 设()(1012),0102=-=T αβ，矩阵αβ=A ，则=)(A r .15、设A 为n m ⨯的矩阵，则齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是 . 16、设),(b A A 和是b Ax =的系数矩阵与增广矩阵，则b Ax =有解的充分必要条件是 .17、二次型221231213(,,)224f x x x x x x x =+-的矩阵是 .18、二次型32212221321422),,(x x x x x x x x x f +++=的秩r ＝ . 19、设二次型232221321)3()2()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则k 的取值范围是 .20、矩阵3000401A λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为正定矩阵，则λ的取值范围是 . 三、计算题：1、（1）1113113113113111（2）3111513420111533------（3）nn x n n x n x n x n n D n n121121)1(21121121-+-++-+-=-2、设 101123A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，231122011B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 112211130C ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算 2()T TBA A C -.3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B 求（1）A AB 23-；（2）B A T ； （3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A . 4、求下列矩阵的逆矩阵022301) 110 2) 000121000 0a cb abc A Bd d a d =-=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦其中不为 5、设矩阵1202041102A a b ⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，讨论A 的秩()r A . 6、已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12111α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=24222α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=16033α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40304α (1)若023321=+-+βααα，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此极大无关组线性表示.7、给定向量组()11,1,0,0,Tα=-()21,1,0,1,Tα=--()32,0,1,1,Tα=()40,2,1,1.Tα=---；求（1）求向量组1234,,,αααα的秩1234(,,,)R αααα； （2）求向量组1234,,,αααα的一个最大无关组； （3）将其余向量用此最大无关组线性表示.8、 设1(1,2,1)Tα=，T )4,,2(2λα=，3(1,1,1)T α=-，T)1,1,1(=β，问： （1） 当λ取何值时，β可由321,,ααα线性表示且表示法唯一,并求其线性表示 （2） 当λ取何值时，β不可由321,,ααα线性表示;(说明理由)9、求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 10、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+++=+++ax x x x x x x x x x x x 4321432143219105363132（1）a 为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.11、当b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=--=+-+bx x x x a x x x x x x x x x x x 43214321432432153122221、无解；2、有唯一解；3、有无穷解，并在此情况下求出全部解(以解向量的形式给出). 12、若3阶矩阵A 相似于B ，矩阵A 的特征值是1、2、3，求行列式2B 的值.13、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）判断A 是否与对角矩阵相似，说明理由；（3）若可以对角化，写出对角矩阵Λ以及正交矩阵P ，使得1P AP -=Λ.14、设矩阵220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）判断A 是否与对角矩阵相似，说明理由；（3）若可以对角化，写出对角矩阵Λ以及变换矩阵P ，使得1P AP -=Λ.15、已知矩阵相似与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,00030000300011011x B A（1） 求x ； （2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=. 16、 给定二次型2221231122233(,,)2245=++++f x x x x x x x x x x ，（1）把二次型化为标准形，并写出相应的非退化线性变换四、证明题：1、若A 是n 阶方阵，且AA E T=，，1-=A 证明 0A E +=.其中I 为单位矩阵. 2、设n 阶方阵A 满足2A A =， 证明A 的特征值只可能是0和1.3、若n 阶方阵A 满足2240A A E +-=，证明A E -可逆，并求1()A E --.4、设A 是n m ⨯实矩阵,0≠β是m 维实列向量，证明：)()(A A r A r T =；（2）非齐次线性方程组βT T A Ax A =有解.5、设向量432,,,1αααα线性无关,且11234212343123441234,,,αββββαββββαββββαββββ=---=-+--=--+-=---+证明向量组4321,,,ββββ线性无关.。