初中全等三角形模型总结—全面完整版2018.5.23
全等三角形的10个模型(一)
全等三角形的10个模型（一）引言概述：全等三角形是指两个或多个三角形的对应边和对应角完全相等的情况。
全等三角形在几何学中有广泛的应用，不仅在证明和推导定理时起到重要的作用，还在实际问题的解决中提供了有力的工具。
本文将介绍十个关于全等三角形的模型。
这些模型旨在帮助读者更好地理解和运用全等三角形的性质和应用。
正文：1. 模型一：完全相等的三边- 全等三角形的基本条件就是三边相等。
- 通过边的对应关系确定两个三角形是否全等。
- 证明时可利用边长相等的性质进行推导。
2. 模型二：完全相等的两边和夹角- 如果已知两个三角形的两边和夹角都相等，则这两个三角形全等。
- 通过边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
3. 模型三：完全相等的两角和夹边- 如果已知两个三角形的两角和夹边都相等，则这两个三角形全等。
- 边角边（SAS）或角边角（ASA）的条件可以判定两个三角形相等。
4. 模型四：等腰三角形和全等条件- 等腰三角形是指两边相等或两角相等的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是等腰三角形，且两个等腰三角形的两边或两角都相等，则这两个三角形全等。
5. 模型五：直角三角形和全等条件- 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
- 如果两个三角形中有一个是直角三角形，且两个直角三角形的两边或两个锐角均相等，则这两个三角形全等。
总结：通过十个模型的介绍，我们可以看到全等三角形是几何学中一个重要而广泛应用的概念。
理解全等三角形的性质和应用对于解决几何问题具有重要意义。
在实际问题中，我们常常可以利用全等三角形的模型来推导和证明定理，从而得出更深入的结论。
全等三角形的相关模型总结汇总
全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC（1）.例题应用：①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.图1 图2①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠..求证：︒=∠+∠180C A图3练习二：已知如图4，四边形ABCD 中，..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：图4练习三：如图5，,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠∆平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'''E D A ∆的位置，使点'E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5 图6练习四：如图7，90A AD BC =︒，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC． 求证：CP 平分∠DCB．图7练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．图8练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。
求证：BE －AC=AE 。
练习七： 如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC 。
全等三角形八大基本模型
全等三角形八大基本模型全等三角形是初中数学中非常重要的内容，掌握全等三角形的基本模型有助于解决各类题目。
下面我们将详细介绍八大基本模型，以便于大家更好地理解和应用。
一、引言全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
在解决全等三角形问题时，我们需要掌握基本模型，以便于快速判断三角形是否全等。
全等三角形的基本模型有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、两角一边（AAS）、一边一角一边（SAS）、两边一角（SSA）和角一边一角（AAA）。
二、边边边（SSS）全等三角形当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。
判断方法：比较三边长度是否相等。
三、边角边（SAS）全等三角形当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。
判断方法：比较两边长度和夹角是否相等。
四、角边角（ASA）全等三角形当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形全等。
判断方法：比较两个角和一边是否相等。
五、角角边（AAS）全等三角形当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形全等。
判断方法：比较两个角和一边是否相等。
六、两角一边（AAS）全等三角形当两个三角形有两个角和一个边相等时，这两个三角形全等。
判断方法：比较两个角和一个边是否相等。
七、一边一角一边（SAS）全等三角形当两个三角形的一边和一角分别相等时，这两个三角形全等。
判断方法：比较一边和一角是否相等。
注意：此条件仅在角的另一边也相等时成立。
八、两边一角（SSA）全等三角形当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。
判断方法：比较两边长度和夹角是否相等。
注意：此条件仅在角的另一边也相等时成立。
九、角一边一角（AAA）全等三角形当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形全等。
判断方法：比较两个角和一边是否相等。
注意：此条件仅在边的另一端角也相等时成立。
十、总结全等三角形八大基本模型是我们解决全等三角形问题的基石。
全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结一、角平分线模型（一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE1射线ACA、例题1 如图，在△ ABC中，/ C=90°, AD平分/ CAB BC=6cm BD=4cm 那么点D到直线AB的距离是cm.2、如图，已知，/ 1 = 7 2，/ 3=7 4,求证：AP平分/ BAC.B模型巩固1、如图，在四边形ABCD中, BC> AB, AD= CD BD平分7 ABC 求证：7 A+7 C= 180° .（二）角平分线+垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线0B于F 辅助线：过点E作EF//射线OB例1、如图，在△ ABC中，7 ABC= 37 C, AD是7 BAC的平分线，BE X AD于F .1求证：BE -（AC AB）.例2、如图，在△ ABC中，/ BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB= AD,作CM L AD交AD 1的延长线于M.求证：AM —(AB AC).2(三)角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使0B= OA从而使△ OAQ A OBC .A、例题1、如图，在△ ABC中，/ BAC=60，/ C=40°, AP平分/ BAC交BC于P, BQ平分/ ABC交AC于Q,求证：AB+ BP= BQ+ AQ .2、如图，在△ ABC中，AD是/ BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+ PC与AB+ AC的大小，并说明理由.B模型巩固1、在厶ABC中，AB> AC, AD是/ BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）求证：AB- AO PB- PC .2、如图，△ ABC中，AB= AC, / A= 100°,/ B的平分线交AC于D,求证：AD+ BD= BC .3、如图，△ ABC中，BC= AC, / C= 90°,/ A的平分线交BC于D,求证：AC+ CD= AB .二、等腰直角三角形模型(一)旋转中心为直角顶点,在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：(1 )将厶ABD逆时针旋转90°,得厶ACM也△ ABD从而推出厶ADM为等腰直角三角形(2) 辅助线作法：过点C作MCL BC,使CM= BD连结AM.二)旋转中心为斜边中点动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.(1 )使BF= AE (或AF= CE,导出△ BDF 也△ ADE.(2)使/ EDF^Z BAC= 180 °，导出△ BDF 也△ ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ ABC中，/ BAC= 90°，点M N在斜边BC上滑动，且/ MAN= 45 试探究BM MN CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°, 60°角的直角三角板ADE和ABC按如图所示放置，E、A C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M 连接ME MC.试判断△ EMC勺形状，并证明你的结论.B模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ ABC中, AB= AC, / BAC= 90° , O为BC中点，若M N分别在线段AC AB上移动，且在移动中保持AN= CM.（1）试判断△ OMN勺形状，并证明你的结论.（2）当M N分别在线段AC AB上移动时，四边形AMON勺面积如何变化2、在正方形ABCD中, BE= 3, EF= 5, DF= 4，求/ BAE+Z DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（ 1 ）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ ABC中，AC= BC, Z ACB= 90°, P为三角形ABC内部一点, 满足PB= PC AP= AC 求证：Z BCP= 15三、三垂直模型(弦图模型)A、例题已知：如图所示，在△ ABC中，AB= AC, / BAC= 90°, D为AC中点，AF丄BD于点E,交BC 于F,连接DF .求证：/ ADB=Z CDF .变式1、已知：如图所示，在厶ABC中，AB= AC, AM k CN AF丄BM于E,交BC于F,连接NF. 求证：(1)Z AMB=Z CNF； (2) BMI= AF+ FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P,求证：( 1 ) PM= PN；( 2) PB= PF＋AF .四、手拉手模型〔、△ ABE和△ ACF均为等边三角形结论：(〔)△ ABF^A AEC .(2)Z BOE=Z BAE= 60°.(3)OA平分/ EOF .(四点共圆证)拓展：△ ABC^n^ CDE均为等边三角形结论：(1) AD= BE;(2)Z ACB=Z AOB(3) A PCQ为等边三角形；(4)PQ// AE;(5)AP= BQ(6)CO平分/ AOE (四点共圆证)(7)OA= OB+ OC(8)OE= OC+ OD .(7)，(8)需构造等边三角形证明 )例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM BM CM以AB为一边向外作等边三角形厶ABE将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接EN(1) 求证：△ AMB^A ENB(2) 若AM+BM+C的值最小，则称点皿为厶ABC的费尔马点.若点皿为厶ABC的费尔马点，试求此时/ AMB / BMC / CMA的度数；(3) 小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以厶ABC的AB AC为一边向外作等边△ ABE和等边△ ACF连接CE BF,设交点为M则点M 即为△ ABC的费尔马点•试说明这种作法的依据.2、\ ABD^D^ ACE均为等腰直角三角形结论：(1) BE= CD (2) BE丄CD .3、四边形ABEF和四边形ACH［均为正方形结论：(1) BD= CF; (2) BD丄CF .变式1、四边形ABEF和四边形ACHD匀为正方形,AS丄BC交FD于T, 求证：（1）T 为FD中点；（2）SV A BC SV A DF .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD匀为正方形，T为FD中点，TA交BC于S, 求证：AS丄BC .360 4、如图，以△ ABC 的边AB AC 为边构造正多边形时，总有: 五、半角模型1条件：，且+ =180， 两边相等.2 思路：1、旋转辅助线：①延长 CD 到E ,使ED=BM 连AE 或延长CB 到F ,使FB=DN 连AF②将△ ADN 绕点A 顺时针旋转90°得厶ABF,注意：旋转需证 F 、B结论：（1） MN= BM+ DN ；（2） CV CMN =2 AB ; 1 2 180M 三点共线360 (3) AM AN分别平分/ BMN / MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP丄MN交MN于点P②将△ ADN △ ABM分别沿AN AM翻折，但一定要证明MA、例题例1、在正方形ABCD中，若M N分别在边BC CD上移动，且满足求证：（1）Z MAN= 45°;P、N 三点共线MN= BM+ DN⑵ CV CMN =2 AB ;(3) AM AN分别平分/ DNM .变式：在正方形ABCD中，已知/ MAN= 45°，若M N分别在边CB DC的延长线上移动, AH L MN垂足为H,(1)试探究线段MN BM DN之间的数量关系；(2)求证：AB= AH例2、在四边形ABCD中, Z B+Z D= 180°, AB= AD,若E、F分别为边BC CD上的点，且1满足EF= BE+ DF,求证：EAF BAD .2变式：在四边形ABCD中，/ B= 90°，/ D= 90°, AB= AD,若E、F分别为边BC CD上的 -口1点，且EAF — BAD，求证：EF= BE+ DF .2。
全等三角形八大模型归纳
全等三角形八大模型归纳全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指两个三角形的对应边相等且对应角相等。
全等三角形具有许多性质和特点，可以归纳为八大模型，分别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL、LLL、LLA、LAL。
下面将分别介绍这八种模型的特点和应用。
第一种模型是SSS，即三边全等。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在实际生活中的应用非常广泛，比如在建筑、工程设计中，需要测量房屋的各个边长是否相等，以确保建筑物的稳定性和均衡性。
第二种模型是SAS，即两边夹角边全等。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型常常用于证明两个三角形全等的情况，可以通过辅助线的引入来简化证明过程。
第三种模型是ASA，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在解题过程中也经常用到，特别是在证明题中，可以根据已知条件找到相等的角和边，从而得出结论。
第四种模型是AAS，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形也是全等的。
这种情况在证明过程中比较常见，可以通过找到两个角和一边相等来得出结论。
第五种模型是HL，即斜边和直角边全等。
当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种情况在解决直角三角形的问题时经常用到，可以利用勾股定理和全等三角形的性质来求解。
第六种模型是LLL，即三边全等。
这种模型和SSS模型类似，只不过LLL模型更加具体，强调了三个边全部相等的情况。
在实际问题中，可以通过测量三角形的三边长度来判断两个三角形是否全等。
第七种模型是LLA，即两边和一个角全等。
当两个三角形的两个边和一个非夹角的角相等时，这两个三角形是全等的。
这种情况在解题过程中也会经常遇到，可以通过找到两个边和一个非夹角的角相等来证明两个三角形全等。
第八种模型是LAL，即一边和两个角全等。
当两个三角形的一条边和两个角分别相等时，这两个三角形也是全等的。
全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）. 求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形. （2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：（1）BE＝CD；（2）BE⊥CD .3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形结论：（1）BD＝CF；（2）BD⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF S S .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等.思路：1、旋转辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线结论：（1）MN＝BM＋DN；C AB；（2）=2CMN（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 .A、例题例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝BM＋DN，求证：（1）∠MAN＝45°；C AB；（2）=2CMN（3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM .变式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，AH⊥MN，垂足为H，（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；（2）求证：AB＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。
全等三角形常见模型知识点总结和重难点精析
全等三角形常见模型知识点总结和重难点精析一、概述全等三角形是八年级数学中的重要内容，它涉及到三角形的边、角以及它们的性质和定理。
全等三角形的定义、性质和应用场景对于学生来说是非常重要的基础知识。
在实际问题中，全等三角形常常被用来解决几何问题，例如测量、建筑设计等。
二、基础知识点1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
2、全等三角形的性质：a) 全等三角形的对应边相等;b) 全等三角形的对应角相等;c) 全等三角形的周长和面积都相等。
3、全等三角形的判定方法：a) 边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等;b) 边角边(SAS)：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;c) 角边角(ASA)：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;d) 角角边(AAS)：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
三、重难点精析1、易错点：在实际应用中，学生常常会忽视全等三角形的对应关系，导致解题错误。
因此，在应用全等三角形时，一定要明确对应关系。
2、难点解析：对于一些较为复杂的几何问题，如何准确找到全等三角形并选择合适的判定方法进行证明，是学生的难点。
这种情况下，需要学生通过多练习、多思考来提高解题能力。
四、例题精选例1：已知△ABC≌△DEF，其中AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，则第三组对应边为____，对应角为____。
解析：根据全等三角形的性质，可知第三组对应边为AC=DF，对应角为∠ACB=∠F。
例2：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，AC=CD，求△ABC各角的度数。
解析：设∠BAC=x，∵AB=AC，∴∠B=∠C=90°-x/2.又∵AD=BD，∴∠BAD=∠BDA=90°-x/4.∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA=90°-x/2.∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴x+3×(90°-x/2)=180°，解得x=45°。
全等三角形经典模型总结解析
全等三角形相關模型總結一、角平分線模型(一）角平分線の性質模型輔助線：過點G作GE⊥射線ACA、例題1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那麼點D到直線AB の距離是cm.2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC.B、模型鞏固1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現A、例題輔助線：延長ED交射線OB於F 輔助線：過點E作EF∥射線OB 例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BACの平分線，BE⊥AD於F .求證：1()2BE AC AB=-.例2、如圖，在△ABC中，∠BACの角平分線AD交BC於點D，且AB＝AD，作CM⊥AD交ADの延長線於M. 求證：1()2AM AB AC=+.（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC .A、例題1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC於P，BQ平分∠ABC 交AC於Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如圖，在△ABC中，AD是∠BACの外角平分線，P是AD上異於點Aの任意一點，試比較PB＋PC與AB＋ACの大小，並說明理由.B、模型鞏固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BACの平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.求證：AB－AC＞PB－PC .2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠Bの平分線交AC於D，求證：AD＋BD＝BC .3、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠Aの平分線交BC於D，求證：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋轉中心為直角頂點，在斜邊上任取一點の旋轉全等：操作過程：（1）將△ABD逆時針旋轉90°，得△ACM ≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結AM.（二）旋轉中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動の旋轉全等：操作過程：連結AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，導出△BDF ≌△ADE.A、例題1、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN＝45°，試探究BM、MN、CN之間の數量關係.2、兩個全等の含有30°，60°角の直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BDの中點M，連接ME、MC.試判斷△EMCの形狀，並證明你の結論.B、模型鞏固1、已知，如圖所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC中點，若M、N分別線上段AC、AB上移動，且在移動中保持AN＝CM.（1）試判斷△OMNの形狀，並證明你の結論.（2）當M、N分別線上段AC、AB上移動時，四邊形AMONの面積如何變化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF為多少度.（三）構造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、對稱和絃圖也可以構造等腰直角三角形.（四）將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：A、例題應用1、如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為三角形ABC內部一點，滿足PB＝PC，AP＝AC，求證：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦圖模型）A、例題已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點，AF⊥BD於點E，交BC於F，連接DF .求證：∠ADB＝∠CDF .變式1、已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM於E，交BC於F，連接NF .求證：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .變式2、在變式1の基礎上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交於點P，求證：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .Fpg四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均為等邊三角形結論：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四點共圓證）拓展：△ABC和△CDE均為等邊三角形結論：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四點共圓證）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需構造等邊三角形證明）Fpg 例、如圖①，點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CMの值最小，則稱點M為△ABCの費爾馬點．若點M為△ABCの費爾馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMAの度數；（3）小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費爾馬點の簡便方法：如圖②，分別以△ABC のAB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M 即為△ABCの費爾馬點．試說明這種作法の依據．2、△ABD 和△ACE 均為等腰直角三角形結論：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四邊形ABEF 和四邊形ACHD 均為正方形結論：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .變式1、四邊形ABEF 和四邊形ACHD 均為正方形，AS ⊥BC 交FD 於T ，求證：（1）T 為FD 中點；（2）ABC ADF SS .變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點，TA交BC於S，求證：AS⊥BC .4、如圖，以△ABCの邊AB、AC為邊構造正多邊形時，總有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型條件：1,+=1802αββθβ=︒且，兩邊相等.思路：1、旋轉輔助線：①延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF②將△ADN繞點A順時針旋轉90°得△ABF，注意：旋轉需證F、B、M三點共線結論：（1）MN＝BM＋DN；（2）=2CMNC AB；（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND .2、翻折（對稱）輔助線：①作AP⊥MN交MN於點P②將△ADN、△ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線 .A、例題例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN＝BM＋DN，求證：（1）∠MAN＝45°；C AB；（2）=2CMN（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM .變式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分別在邊CB、DCの延長線上移動，AH⊥MN，垂足為H，（1）試探究線段MN、BM、DN之間の數量關係；（2）求證：AB＝AH例2、在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，且滿足EF＝BE＋DF，求證：12EAF BAD ∠=∠.變式：在四邊形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，且12EAF BAD∠=∠，求證：EF＝BE＋DF .。
人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结(精选
人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结(精选.)人教版八年级数学全等三角形常见模型总结要点梳理：全等三角形的判定与性质：一般三角形：边角边（SAS）、判角边角（ASA）、定角角边（AAS）、边边边（SSS）。
直角三角形：斜边、直角边定理（HL）。
性质：对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的垂高相等）。
备判定：三角形全等必须有一组对应边相等。
注类型一：角平分线模型应用1.角平分性质模型：利用角平分线的性质。
例题解析：例1：如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是多少？答案】作DE⊥XXX于点E，DE=3cm。
例2：如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC。
答案】如图2，由角平分线的性质可知，PM=PN，PN=PQ，故PM=PQ，又因为PA是角BAC的平分线，所以XXX平分∠BAC。
类型二：角平分线模型应用2.角平分线，分两边，对称全等（截长补短构造全等）。
例题解析：例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠XXX于P，BQ平分∠XXX于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
答案】如图1，过O作OD∥BC交AB于D，∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又因为OD∥BP，所以∠PBO=∠DOB，又∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠XXX∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。
如图，将△ADE逆时针旋转60°，使△ADE≌△ABC，从而得到△MDE≌△MAC，因为M为BD的中点，所以ME=MC，因此△EMC为等腰三角形，且∠MDE=∠MAC=30°，所以△EMC为等腰直角三角形。
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全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：辅助线：过点G 作 GE射线AC（1） .例题应用：①如图 1，在ABC中，C900， AD 平分 CAB , BC 6cm, BD 4cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.②如图 2，已知，1 2 ，34 .求证： AP平分 BAC .图 1图2① 2（提示：作 DE AB 交 AB 于点 E ）②12 ， PM PN ，3 4 ， PN PQ ， PM PQ, PA平分 BAC .(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形 ABCD 中， BC>AB ， AD=CD ，BD 平分BAC ..求证：A C180图3练习二：已知如图4，四边形 ABCD 中，B D 1800 , BC CD.求证： AC 平分BAD .图 4练习三：如图5，Rt ABC 中， ACB900， CD AB, 垂足为 D ， AF 平分CAB ,交 CD 于点 E ，交 CB 于点 F.(1)求证： CE=CF.(2)将图 5 中的△ ADE 沿 AB 向右平移到A' D ' E '的位置，使点 E'落在BC边上，其他条件不变，如图 6 所示，是猜想：BE'于 CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图 5图6练习四：如图7，∠ A90 ， AD ∥ BC ， P 是 AB的中点， PD平分∠ ADC．求证： CP平分∠ DCB．A D214E3PB C图 7练习五：如图8，AB＞ AC，∠ A 的平分线与 BC的垂直平分线相交于D，自 D 作 DE⊥ AB，DF⊥ AC，垂足分别为 E， F．求证： BE=CF．图 8练习六：如图9 所示，在△ ABC 中， BC 边的垂直平分线DF 交△ BAC 的外角平分线AD 于点 D， F 为垂足， DE ⊥AB 于 E，并且 AB>AC 。
求证： BE－ AC=AE 。
（完整版）全等三角形经典模型总结
（完整版）全等三角形经典模型总结全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD 上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN ＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC 中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA 的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF S S V V .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n∠=∠=?-五、半角模型条件：1,+=1802αββθβ=?且，两边相等 . 思路：1、旋转辅助线：①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得△ABF ，注意：旋转需证F 、B 、M 三点共线结论：（1）MN ＝BM ＋DN ；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP ⊥MN 交MN 于点P②将△ADN 、△ABM 分别沿AN 、AM 翻折，但一定要证明M 、P 、N 三点共线 .A 、例题例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN ＝BM ＋DN ，求证：（1）∠MAN ＝45°；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM .变式：在正方形ABCD 中，已知∠MAN ＝45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动，AH ⊥MN ，垂足为H ，（1）试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；（2）求证：AB ＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F 分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。
全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）. 求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形. （2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .林老师编辑整理四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）林老师编辑整理例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF SS .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等.思路：1、旋转辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线结论：（1）MN＝BM＋DN；（2）=2CMNC AB；（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 .A、例题例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝BM＋DN，求证：（1）∠MAN＝45°；C AB；（2）=2CMN（3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM .变式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，AH⊥MN，垂足为H，（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；（2）求证：AB＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。
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全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF S S V V .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型 条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等 . 思路：1、旋转辅助线：①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得△ABF ，注意：旋转需证F 、B 、M 三点共线结论：（1）MN ＝BM ＋DN ；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP ⊥MN 交MN 于点P②将△ADN 、△ABM 分别沿AN 、AM 翻折，但一定要证明M 、P 、N 三点共线 .A 、例题例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN ＝BM ＋DN ， 求证：（1）∠MAN ＝45°；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM .变式：在正方形ABCD 中，已知∠MAN ＝45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动， AH ⊥MN ，垂足为H ，（1）试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；（2）求证：AB ＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。
全等三角形的相关模型总结
全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC（1）.例题应用：①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.图1 图2①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠..求证：︒=∠+∠180C A图3练习二：已知如图4，四边形ABCD 中，..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：图4练习三：如图5，,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠∆平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'''E D A ∆的位置，使点'E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5 图6练习四：如图7，90A AD BC =︒，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC．求证：CP 平分∠DCB．图7练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．图8练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。
求证：BE －AC=AE 。
练习七： 如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC 。
全等三角形的相关模型总结汇总
全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC（1）.例题应用：①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.图1 图2①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠..求证：︒=∠+∠180C A图3练习二：已知如图4，四边形ABCD 中，..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：图4练习三：如图5，,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠∆平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'''E D A ∆的位置，使点'E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5 图6练习四：如图7，90A AD BC =︒，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC． 求证：CP 平分∠DCB．图7练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．图8练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。
求证：BE －AC=AE 。
练习七： 如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC 。
全等三角形模型归纳含过程
全等三角形模型归纳含过程全等三角形是指两个三角形的三边和三个角度分别相等，它们的形状和大小完全相等。
在实际生活中，全等三角形经常被用作建筑设计、地图制作、工程测量等领域。
在本文中，我们将对全等三角形进行归纳并分析全等三角形含过程。
一、全等三角形的构成全等三角形是由两个三角形组成的，这两个三角形必须满足三边和三个角度分别相等，才能构成全等三角形。
其中，三边相等的三角形叫做等边三角形，三个角度相等的三角形叫做等角三角形。
1. 全等三角形的形状和大小完全相等。
3. 全等三角形的任意两边或对应角之间的比值相等。
1. SSS判定法：若两个三角形的三条边分别相等，则它们是全等的。
1. 如何在平面内画出一个全等三角形？步骤：（1）绘一条任意方向的基准线。
（2）在基准线的一侧，取任意一点作为三角形的一个定点。
（4）以这个边为一边，以该定点为端点，划线画出一个与已知角度相等的角（6）以该线段为一边，将三角形的第二个定点连出来。
（7）用尺子和画圆工具检查已知线段和角度是否能够满足全等三角形的条件。
（8）如果满足条件，用铅笔和尺子标出三角形的三个定点和三条边。
（9）用直尺连接三个定点，形成一个具有各边角度相等的全等三角形。
2. 如何用全等三角形判断矩形？（1）画出矩形的ABCD。
（2）连接AC，BD两条对角线。
（3）AB= CD（5）∠BAD =∠BCD = 90度（6）根据RHS判定法，根据已知的两条直角边和一个直角可判断出此时的两个三角形为全等三角形。
（3）由平行四边形的特点可得：AB和CD平行，AD和BC平行，对角线相交于一点O。
（4）根据SAS判定法：∠CAB = ∠DCB，∠ACB = ∠BDC， AB = CD。
（5）故三角形ABC全等于三角形DCB，故ABCD为平行四边形。
总之，全等三角形是一个非常重要的几何概念，它有着广泛的应用领域。
全等三角形的构成、性质、判定方法以及含过程等，都需要我们认真理解和掌握。
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初中全等三角形模型总结——全面完整版
（模型总结+精选例题+优选练习题）
第一部分 模型总结
一、公共边模型
△ABD ≌△ABC ， △EFD ≌△ABC △ABD ≌△ABC
△ABE ≌△FDC △ABD ≌△ACD
二、公共角模型
△ABE ≌△ABD
三、平行X 型
△ABO ≌△OCD
四、非平行X 型
△ABE ≌△ABD
A B E
D
O
A B
D
C
O A B
D
五、母子等腰三角形
△ABD ≌△AEC ，△ABE ≌△ACD
六、旋转模型
图1
△ ABC ≌△AB`C
第二部分 精选例题
例1．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，F 在DC 的延长线上，AM =CF ，FM 交DA 的延长线上于
E .交BC 于N,求证:AE=CN.
思路分析:欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中, 设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现 △AME ≌△FCN 可证.
题设告知AM=CF,AD ∥BC,AB ∥CD.由两平行条件, 可找两对角相等.
∵∠1=∠2(对顶角相等)
∴∠2=∠E(等量代换)
∴AE=CN (全等三角形的对应边相等)
例2.△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，过C 的一条直线CE ⊥AE 于E ，BD ⊥CE 的延长线于D ，求证：AE =BD +DE .
思路分析：从本例的结论知是求线段和的问题， 由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角 度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由 此可发现△ACE 与△CBD 好像(猜测)全等.那么
AE =CD =CE +DE .又BD =CE .那么,此时已水落石出.
B C
A
E D C '
B'A
B C '
B '
B
A
AC=BC（已知）
∠1=∠3 （已证）
∠AEC=∠CDB（已证）
∴△ACE≌△CBD（AAS）
∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）
∵AE=CE=CE+DE
∴AE=BD+DE（等量代换）
例3．如图，AD是△ABC的中线，DE，DF分别平分∠ADB和∠ADC，连接EF，求证：EF<BE+CF. 定对象：△ABC
定角度：三角形全等
分析:由结论EF<BE+CF很容易与定理
“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图
形，BE，CF，EF条件分散，不在一个三角形中，
必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中
在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角
的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转
180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在
DA上截取DB＇=BD),连结EB＇,B＇F,此时△BDE与△B＇DE完全重合,所以△BDE≌△B＇DE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B＇E(全等三角形的对应边相等).
在△EFB＇中,EF<B＇E+B＇F(三角形的两边之和大于第三边).
∴EF<BE+CF(等量代换).
例4如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，
AD= 4，G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长．
定对象：如图
定角度：三角形全等
分析：(1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE；△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG．
例5已知：如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠ACB=105°，
∠CAD＝10°，∠D=25°．求∠EAC，∠DFB，∠DGB的度数．
例6.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝20 cm ，则△DBE 的周长等于多少？
分析：对象：△DBE 的周长 角度：（1）BD ，DE ，BE 的长
解： 因为DE ⊥AB ，所以AED ACD ∠=∠因为AD 是∠BAC 的平分线，所以EAD CAD ∠=∠
又因为AD 为公共边 所以AED ACD ≅ 则AE=AC DE=DC 所以△DBE 的周长=BE+DE+BD=AB-AE+BC=20
例7如图13—3—8所示，已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：EF ⊥AD ．
分析：对象：△ABC 角度：（1）AD 是∠BAC 的平分线，（2）DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 证明：因为DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，所以0
90AED AFD ∠=∠= 又因为AD 是∠BAC 的
平分线，所以EAD FAD ∠=∠由于AD 是公共边 所以AED AFD ≅ 则AE=AF 因为AD 是∠BAC 的平分线 所以EF ⊥AD 。
第三部分 优选分层练习题
B １．已知:如图,AB=AC,DB=DC,F 是AD 的延长线上的一点, 求证:BF=CF.
B ２．已知:如图,AB =AC,DB =DC,F 是AD 延长线上一点,且B,F,
C 在一条直线上, 求证:F 是BC 的中点.
B 3． 已知:如图,AB =AC,DB =DC,F 是AD 上的一点,
求证:点F到AB,AC的距离相等.
C4.已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,
求证:点F到AB,AC的距离相等.
B5．已知：如图,在△ABC中,AD为∠A的平分线,E为BC的中点,
过E作EF∥AD交AB于G,交CA的延长线于F,求证:BG=CF.
C6.如图,已知,在△ABC中,∠A=2∠B,CD是∠C的平分线.
求证:BC=AC+AD.
A7.已知BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，（1）说明⊿AB C≌⊿ACE的理由？
（2）∠D=∠E吗？为什么？
A8.如图，将△ABC 绕其顶点A
（1）、△ABC 与△ADE
（2）、求∠BAD 的度数。
A9如图所示：△ABC ≌△
ADC ，∠D=∠B ，AD=CB ，那么，∠DAC=---------，∠DCA=-------DA//-------
B 10.如图所示：BD ⊥AB ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。
求证：AC ⊥CE
11.过ABC ∆的顶点，A ，在A ∠内作任一射线，过B.C 分别向此射线作垂线BP,CQ,P.Q 为垂足，设M 为的BC 中点
求证;MP=MQ
图1
12. ABC ACD ∆≅∆且D ∠与E ∠对应，顶点C 与B 对应，
则其对角是---------对，对应边为---------
图2
D
E
D
13. ,ABD ACE C ∆≅∆∠和B ∠是对应角，那末DC=----------,
A,AE B ，AD C, EB D, AE
图3 14. 已知; ,ABC ADE ∆∆都是等边三角形，求证：BD=CE
X
图4 15. 已知：过ABC ∆的顶点A 作AF AB ⊥且AC=AB 再作AH AC ⊥且AH=AC ，
BF 交AC 于E,CF 交AB 于D,BH,CF 相交于点O 求证；BH=CF
16.已知：ABC ∆中，AB=AC,在AC 上取D 点，又在AC 的延长线上取E 点，是使CE=BD,连DE 交BC 与G
求证：DG=GE 图1 17.已知：在ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，BD=5,BC=4则 点
D 到AB 的距离是------
A ， 5
B ， 4
C , 3
D ，2
B
C
B
E
A。