冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

1 f (x)e j(xb)/ adx
a
1
j b
ea
j x
f (x)e a dx
a
1
e
j
b a
F
(
)
a
a
a 0,则有绝对值.
频移特性
f (t) F () f (t)e j0t F ( 0 )
证明:
FT[ f (t)e j0t ]
f
(t)e j0te jt dt
F (
0 )
|a| a a为非零实常数 时域中a倍的压缩等效于频域中a倍的扩展; 时域中a倍的扩展等效于频域中a倍的压缩.
1
0
t
压缩 1
/4 0 /4 t
2F (2 )
2
0
1 2
F
( 2
)
2
0
4
4
扩展
等效脉冲宽度和等效频带宽度
f (0)和F (0)分别为f (t)和F ()曲线的最大值 f (0) F (0) F (0)B 2f (0)
* f (t)为实奇函数 R() 0
F () jX () 2 j0 f (t) sin(t)dt
实偶函数 X () 0 实奇函数 R() 0
任意实信号f (t) fo (t) fe (t)
F () R() jX ()
fe (t) fo (t)
R() jX ()
2. f (t)为虚函数f (t) jg(t)
线性(叠加性)
fi (t) Fi () (i 1,2,...,n)
n
n
ai fi (t) ai Fi ()
i 1
i 1
sgn(t)
1
0
t
1
u(t) 1
0
t
u(t) 1 [sgn(t) 1] 2
u(t) 1 [ 2 2 ()] 2 j
对称性
f (t) F () F (t) 2f ()
2
t
c f (t)
2
0
2
2
t
c
c
F()
2 0 2
F ( )
1
c 0
c
2
2
若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称
(t)
1
f (t)
1
F ( )
1
F ( ) 2 ()
奇偶虚实性
f (t) F () | F () | e j() R() jX ()
1. f (t)为实函数
F () f (t)e jt dt
证明:
f (t) 1 F ()e j td
2
f (t) 1 F ()e j td
2
f () 1 F (t)e j tdt
2
FTF (t) 2f ()
例如：
1. (t) 1
1 2 () 2 ()
2.G
(t)
Sa(
2
)
Sa(t)
1 2
2G
()
G
()
f (t)
1
2
0
在时域分析中,一个系统的零状态响应是 系统激励与系统冲激响应的卷积.
yzs (t) e(t) h(t) 根据时域卷积定理,该系统零状态响应的 FT为:
E f 2 (t)dt | F ( f ) |2 df
1 | F () |2 d
2
3.8 卷积特性(卷积定理)
时域卷积定理 频域卷积定理
时域卷积定理
f1(t) F1(); f2 (t) F2 () f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
时域卷积对应频域乘积!
F () jg(t)e jtdt
g(t) sin(t)dt j g(t) cos(t)dt
F () F ();
R() R(); X () X ()
同时,无论f (t)为实或复函数,都有
f (t) F() f (t) F () f (t) F ()
尺度变换特性
f (t) F() f (at) 1 F( )
j
频域积分: f (t) f (0) (t)
F ()d
jt
对于时域积分，
t f ( )d g(t) g() F () F (0) ()
j
此处g(t)令为f (t)的原函数;
其中F (0)
－
f
(t
)e
jt
dt
0
f (t)dt g() g() －
g(t) F () [g() g()] () j
B 2
脉宽与带宽的关系仍然是反比关系.
时移特性
f (t) F ()
f (t t0 ) F ()e jt0 信号平移后,相位谱产生附加变换 t0,
幅度谱不变.
f (at b)
1
F
(
)e
j
b a
|a| a
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证明:
FT[ f (at b)] f (at b)e jtdt
a0
x at b
F () f (t)e jtdt
(t) 1
f (t)
(t)
F ( ) 1
t
1 2 ()
f (t)
F ( )
1
2 ()
t
思考：
(t) j (t) 1
u(t) () 1 j
3.7傅里叶变换的基本性质
线性(叠加性) 对称性 奇偶虚实性 尺度变换特性 时移特性 & 频移特性 微分特性 & 积分特性
0
0
0
1
卷积
1
2
2
0
1 2
[F
(
0
)
F
(
0
)]
微分特性
f (t) F() 时域微分: f (t) jF()
f (n) (t) ( j)n F () 频域微分: ( jt) f (t) F()
( jt)n f (t) F (n) ()
积分特性
f (t) F ()
时域积分: t f ( )d F () F (0) ()
对于频域积分也有类似结论，同学们可自行推导。
用FT积分特性求阶跃的 FT
f (t) (t) F() 1
t
y(t) u(t) ( )d
Y () FT[u(t)] F () ()F (0) j
1 () j
Parseval定理
Parseval关系:
能量可由f (t)或它的频谱| F () |求得.
f (t) cos(t)dt j f (t) sin(t)dt
F () F ();
R() R(); X () X ()
F () f (t) cos(t)dt j f (t) sin(t)dt
* f (t)为实偶函数 X () 0
F () R() 20 f (t) cos(t)dt
同理
FT[ f (t)e j0t ] F ( 0 )
例如：
频谱搬移:利用复指数与三角函数
之间的欧拉公式.
f
(t)
cos(0t)
1 2
[F
(
0 )
F
(
0
)]
f
(t) sin(0t)
j 2
[F (
0 )
F (
0 )]
FT [ f (t) cos0t]
FT[ f (t)]
1
FT [cos 0t ]