数学期望的性质

梁烨 0417

数学期望的性质

.

)(,.1c c E c =则有是常数设).

()(,,.2X cE cX E c X =则有是常数是一个随机变量设).

()()(,,.3Y E X E Y X E Y X +=+则是两个随机变量设).()()(,,.4Y E X E XY E Y X =则是相互独立的随机变量设4证明()(,)d d ()()d d X Y E XY xyf x y x y xyf x f y x y +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞

∞-==)

()(d )(d )(Y E X E y y yf x x xf Y X Note:性质3和4可推广到n 个随机变量的情形.

例12

(,),,().X N Y aX b E Y μσ=+设～求:解(),

E X μ=()()()E Y E aX b aE X b a b μ=+=+=+所以

Note ：正态分布r.v 的线性组合的期望为其期望的线性组合.

2例).

(),(~X E p n b X ，求设:解引入计数随机变量

11,2,,0i i A X i n

i A ⎧==⋅⋅⋅⎨⎩第次试验中事件发生第次试验中事件不发生其中.)(p A P =则且分布为p X E X i i =-)(,)10(故.1∑==n i i X X )

()(21n X X X E X E +⋅⋅⋅++=12()()()n E X E X E X np

=++⋅⋅⋅+=Note ：该解法具有一般性，引入计数变量可简化计算：将一复杂变量分解成n 个相互独立的服从（0-1）分布的变量之和.

例3个

旅客有位旅客自机场开出一民航送客车载有10,20客下车就不如到达一个车站没有旅车站可以下车,).

(,,X E X 求表示停车的次数以停车(,)

设每位旅客在各个车站下车是等可能的并设各

旅客是否下车相互独立

依题意

.10,2,1,)109(1)1(,)109()0(2020⋅⋅⋅=-====i X P X P i i 因此())10,,2,1(109120 =⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=i X E i 故)

()(1021X X X E X E +⋅⋅⋅++=)

()()(1021X E X E X E +⋅⋅⋅++=次）(784.8])20

9(1[1020=-=:解引入随机变量

.10,,2,1,1

,0⋅⋅⋅=⎩⎨⎧=i i i X i 站有人下车在第，站没有人下车，在第.1021X X X X +⋅⋅⋅++=易知