2018年初升高衔接教材--数学

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2018年初升高中衔接教材教案讲义大全(含答案)

2018年初高中衔接数学教材亲爱的高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。

由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。

面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。

一、数与式的运算一）、必会的乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：（2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)1．计算（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=（3）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=2．利用立方和、立方差公式进行因式分解（1）27m 3-n 3=（2）27m 3-81n 3=（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++ 【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知2310x x -+=，求331x x +的值．解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅333()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc---++=++=- ①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．二）、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：(1)(2)1)x ≥解：(1) 原式=2|1|211-+==*(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)83(2)(3)(4) -+解：(1)83=46282383=⨯⨯=(2) 原式623==--(3) 原式=(4) 原式==说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(或被开方数有分母(．(化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(，其中2+2-)．有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。

2018初高中数学衔接

2018初高中数学衔接2018初高中数学衔接春天的菠菜2018初高中数学衔接初中数学与高中数学在知识内容上存在一些空缺或者是衔接上的不当，这已是中学老师们人人皆知并习以为常的事．所以，在讲授高中新课（集合，函数等）之前，应当补充一些衔接知识，以使初三学生能顺利地过渡到高中数学的学习中来．笔者以为，不做任何衔接的教学行为是不负责任的．当然也有部分老师（顶着压力）做衔接，但衔接的内容多少有些盲目，讲了几节后为赶教学进度（发现比别的老师落下好多课呢）而又放弃或草草了事，似乎只是为了衔接而衔接．对于中学老师，一提到初高中衔接，大概就是因式分解解一元二次不等式解分式不等式，却很少去思考：还有哪些衔接内容？为什么要衔接这些？初高中数学到底存在哪些差异？新高一学生在数学学习上最欠缺什么？……总体来讲，初中内容浅、少、易，贴近生活，简单、形象、具体；高中内容深、多、难，有些稍远离生活，复杂、深奥、抽象．从初中到高中，教材在逻辑性、抽象性、概括性以及空间想象等方面对学生的要求都大大提高．具体地讲，因式分解解一元二次不等式、分式不等式需要衔接：一方面，集合一章中有大量的不等式的解集问题，涉及到不等式的求解；其次，求函数的（自然）定义域就是求使解析式有意义的x的取值范围，最终也化为不等式（组）的求解；而求解不等式又往往需要因式分解．这样一想（理顺）就自然了．必要性弄清楚，讲解时就坦荡了（不必顾虑耽误课时，磨刀不误砍柴工，这是为后面的学习打基础呢）．这里所说的衔接主要指初中数学与高中数学必修1的衔接，以帮助初三学生尽快适应高中数学学习，找到适合自己的学习方法，初步形成应对高中数学学习的能力为目的．至于初中数学与必修2（立体几何，解析几何）、必修4（三角函数，向量）的衔接自然也是存在的，但可暂时缓一缓．只要一开始衔接好了，后面的衔接多数可以自我应对，没必要再集中处理，用到时现场解决即可．需要衔接的内容还有函数（这对绝大多数新高一学生来说是道坎儿）：高中所讲函数十分抽象（用集合与对应的语言所描述），学生还没完全弄明白符号f（x）的含义，函数这块各种各样的新名词、新问题、新方法就劈头盖脸地袭来——求定义域、求解析式、求值域、分段函数、复合函数、抽象函数、单调性、最大（小）值、奇偶性、换元法、分离常数法、赋值法……，让你（高一新生）猝不及防，无力招架，结局只能是——高中数学太难，我太笨，学不会！于是，亦有必要在衔接部分通过一些简单函数（如y|x|，y1/x等）让学生在复习初中所学知识的过程中提前感知高中所和研究的函数问题．另外，二次函数也是个难题．初中数学里，二次函数是重点内容，是（河南省）中考的压轴题，是热点；高中数学里，二次函数是基础内容，相关知识要求熟练掌握．这本没有什么毛病，但问题在于初高中数学对二次函数的着力点不同：中考不要求记忆顶点坐标公式，不要求掌握两根式（解析式的一种形式），不常求解二次函数在给定范围上的最值问题（绝不是重点），殃及的还有一元二次方程的韦达定理（不要求记忆）……而这些在高中老师眼里统统都是常识，必须熟练，熟练，再熟练！二次函数虽是中考压轴题，但也只是一个载体（仅提供点的坐标关系），在此基础上讨论几何图形的相关问题，最终还是几何，二次函数也就是个空壳儿．突然想起了一个笑话——数学中的两不讲．初中老师说：这个知识点，到高中老师会讲，我们就不讲了；高中老师说：这个知识点，你们初中老师讲过的，我们就不讲了．笑话归笑话，却真实反映了初高中数学存在的断层．近几年，全国多数省份将面临新一轮的课程改革，教材也推翻重来，有较大变动．史宁中教授在谈到十年课改的突出问题时列出的第四点就是初高中内容不衔接，应对之策是新教材必修1中加入了常用逻辑用语相等关系与不等关系二次函数与一元二次方程、不等式（网传目录）等衔接内容，但显然力度不够．以上种种，促使笔者决心自主编写一本初高中数学衔接的教案，初步设想如下：以数学思想（化与化归，函数与方程，分类与讨论，数形结合）引领衔接内容的展开，重点内容（如十字相乘法分解因式，一元二次不等式的解法，二次函数等）精讲，讲透，多练；拓展内容（如解高次方程、高次不等式、含参不等式等）一定要把握好度，让学生留下印象，点到为止．衔接内容重在渗透思想与方法，切忌贪多求快，一下子塞给学生很多结论（毕竟还是衔接，而不是机械的知识前移；衔接可以为后续内容助力分压，但也无法承载太多的内容与压力）．具体目录见下表一级目录二级目录重要程度主要内容与意图思想方法1.数与式1.1代数变形与求值复习过渡梳理常见变形公式．这是代数学习的基础内容，是高中学习方程、不等式、函数等数学知识的基础，与分数指数幂一节相衔接化与化归1.2分母有理化与分子有理化选讲算作代数变形的一部分．分母有理化是复习初中所学，分子有理化是适度拓展，为后续单调性的证明埋下伏笔1.3因式分解重点着重训练十字相乘法，为求解一元二次不等式打牢基础1.4解高次方程选讲作为因式分解的巩固练习．可先猜根再分解，亦可直接大除法2.常见不等式的解法2.1一元二次不等式的解法重点十字相乘法，配方法，求根公式法都要讲解，各有特点，为后续集合化简，求函数的定义域打基础函数与方程化与化归分类讨论数形结合2.2分式不等式的解法分类讨论法，等价化法都要讲，交由学生自主评价分类讨论化与化归2.3高次不等式的解法选讲穿针引线法要讲清楚原理数形结合化与化归2.4含参不等式的解法选讲只涉及最简单的例子，巩固分类讨论思想分类讨论3.几类简单函数的图象3.1绝对值型函数复习过渡以函数y|x|串联分段函数，图象平移，解绝对值方程、不等式等内容数形结合3.2分式型函数重点讲分离常数法，图象平移，回过头来用图象解分式不等式数形结合3.3取整函数选讲高考鲜有涉及，却是训练巩固数形结合思想的绝佳素材数形结合4.二次函数4.1基础知识点，公式重点初中不要求记忆的相关知识点与公式函数与方程4.2配方法重点算作代数变形的一部分4.3给定范围求最值重点为利用单调性求函数值域埋下伏笔数形结合4.4动轴定区间，定轴动区间问题选讲也可放在单调性之后讲数形结合分类讨论4.5简单的恒成立与存在成立问题选讲也可放在函数综合问题中讲一些老师看了这个目录后坦言：新学期时间紧，任务重，哪有那么多的时间衔接？按笔者的设计，除去选讲内容，仍需6-7个课时，约一周时间．目前的教学环境下谁敢花一周时间只讲初高中衔接呢？进度就在那里，像一只无形的大手样约束着你，还有月考范围，期中考试范围……这些都是（无奈的）实情．也有部分老师认为集中讲解不如在正常课程的安排下逐步渗透的好，这属于不同教学方式的比较，我们自当另论．对于初高中衔接，学校里若要集中讲解，必须各校区、全年级统一进行（这需要领导的魄力），否则只能是个别（负责任，有想法的）老师结合自己所教班级情况的个人行为．不管哪种形式，做了总比不做的好．接下来的正文里，笔者将尽可能详细地阐释想法，希望能引发你的讨论与共鸣；将尽可能多地提供例题和练习，希望你能择优录取，进行再加工与整合．接下来的正文像是论文，但又会夹杂诸多不成熟的个人观点，仅供参考；笔者更愿意它是一份教案，一份详案，让每一位想上并且有条件上初高中衔接的数学老师直接拿来主义．愿笔者梦想成真！。

2018年初高中数学衔接教材含答案60

初高中数学衔接教材{新课标人教A版}典型试题举一反三理解记忆成功衔接第一部分如何做好初高中衔接 1-3页第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9页第四部分分章节讲解 10-66页第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。

但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。

在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。

相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。

渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。

造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。

下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。

希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。

不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。

确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。

而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。

高中数学思维方法与初中阶段大不相同。

初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。

因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。

高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。

初升高数学衔接教材(完整)

第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a,a0,| a | 0,a0,a, a0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或 f ( x) a 。

③ f (x) g ( x) f 2 ( x)g 2 (x) 。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例 1.求不等式3x 5 4 的解集例 2. 求不等式2x 1 5的解集例 3. 求不等式x 3 x 2 的解集例 4. 求不等式 | x＋ 2| ＋ | x－ 1| ＞ 3 的解集．例 5. 解不等式 | x－ 1| ＋ |2 －x| ＞ 3－x．例 6. 已知关于x 的不等式| x－5|＋| x－3|＜ a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2） | x+1|<| x－2|（3） | x－ 1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5)5x 7 83、因式分解乘法公式（ 1）平方差公式( a b)( a b)a2b2（ 2）完全平方公式( a b) 2a22ab b2（ 3）立方和公式( a b)(a2ab b2 )a3b3（ 4）立方差公式( a b)(a2ab b2 )a3b3（ 5）三数和平方公式( a b c)2a2b2c22(ab bc ac)33223（ 7）两数差立方公式(a b)3a33a2b 3ab2b3因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例 1分解因式：（ 1）x2－3x＋ 2；（2）6x27 x2（ 3）x2(a b) xy aby2；（4）xy1 x y ．2．提取公因式法例 2. 分解因式：（ 1）a2b 5 a 5 b（ 2）x39 3x23x3．公式法例 3. 分解因式：（1）a416（ 2）3x 2 y2x y 24．分组分解法例 4. （ 1）x2xy 3y 3x（2）2x2xy y24x 5y65．关于x的二次三项式ax2+bx+c( a≠0)的因式分解．若关于 x 的方程ax2bx c0(a 0) 的两个实数根是x1、 x2，则二次三项式 ax2bx c(a0) 就可分解为a( x x1 )( x x2 ) .例 5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）x22x 1；（2）x24xy 4 y2．练习（1）x25x 6（ 2）x2a 1 x a（ 3）x211x18（4）4m212m9（5）57x6x2（6）12x2xy 6 y2（ 7 ）6 2 p q 211 q 2 p 38） a35a2 b 6ab 29 ）4 x22（（4x 2（10）x4 2 x21（ 11）x2y 2 a 2b22ax2by（12）a 24ab4 2 6 12b9(13)x2－2x－ 1b a（14）a31；（ 15）4x413x29 ；（16）b2c22ab 2ac 2bc ；（17）3x25xy 2 y2x 9 y4第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1)根的判别式对于一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠0），有:（ 1）当＞0 时，方程有两个不相等的实数根x＝ b b24ac；1， 22a（ 2）当＝ 0 时，方程有两个相等的实数根12b；x ＝ x＝－2a （3）当＜ 0 时，方程没有实数根．(2)根与系数的关系（韦达定理）如果 ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠0）的两根分别是 x1， x2，那么 x1＋ x2＝b，x1·x2＝c．这一关系也被称为韦达a a定理．2、二次函数y ax2bx c 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b 2。

(完整版)初高中数学衔接教材(已整理)

目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题：下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ：；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练习1.1.4 .分式1.分式的意义形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ；（4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。

初高中数学衔接教材(已整理精品)

. ... .初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．初中升高中数学教材变化分析解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

2018年浙江初高中数学衔接教材

2018年浙江省初高中数学衔接教材乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (a + b )(a — b ) = a 2 — b 2 ；(a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b 2. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.1 .十字相乘法例1分解因式:(1) %2—3%+2；(2) %2+4x —12；(3) x 2 — (a + b )xy + aby 2 ； (4) %y — 1 + % — y .解：(1)如图1. 1 — 1,将二次项%2分解成图中的两个%的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3%，就是%2—3%+2中的一次项，所以，有%2一3 %+2 = (% 一 1)(% 一2).(1)平方差公式(2)完全平方公式 (1) 立方和公式 (a + b )(a 2 — ab + b 2) = a 3 + b 3 ； (2) 立方差公式 (a — b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 — b 3 ；(3) 三数和平方公式 (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ac )； (4) 两数和立方公式 (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 ； (5) 两数差立方公式(a — b)3 = a 3 — 3a 2b + 3ab 2 — b 3.对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.1/—2%/ - ay 1图；I %图：1;1X12 图 1. 1—2说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1-1中的两个％用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2)由图1. 1-3,得x2+4x—12 = (x—2)(x+6).(3)由图1. 1—4,得x 2 —(a + b) xy + aby 2 = (x - ay)(x - by)(4)xy — 1 + x — y = xy+(x—y) —1=(x—1) (y+1)(如图1. 1—5 所示).一、填空题：1、把下列各式分解因式:(1)x 2 + 5 x—6 =。

初中升高中数学衔接教材

初升高数学衔接教材第1课集合的概念一、集合与元数 1、集合的概念(1) 集合：某些指定对象集在一起就形成一个集合(简称集) (2) 元素：集合中每一个对象叫做这个集合的元素； (3) 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A,B,C,P ,Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c,p,q ……2、集合中的元素有四个特性：______________、__________、____________、__________。

3、集合与元素的关系属于：如果a 是A 的元素，就说a_______集合A ，记作____________；不属于：如果a 是A 的元素，就说a_______集合A ，记作____________； 4、集合的表示法：①列举法：把集合的元素______________，并用___________表示集合的方法。

②描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法，具体表示是：______________。

③venn 图：用平面上封闭曲线的内部代表集合。

设a,b 是两个实数，而且a<b ，我们规定： (1) 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ； (2) 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；(3)满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[)(],,,a b a b(4)满足x a ≥的所有实数表示为[),a +∞，满足x>a 的所有实数表示为(),a +∞满足x a ≤的所有实数表示为(],a -∞，满足x<a 的所有实数表示为(),a -∞ (5)全体实数表示为(),-∞+∞，“∞”读作“无穷大”，-∞读作“负无穷大”，+∞读作“正无穷大”。

7、集合的分类(1) 有限集：含有有限个元素的集合； (2) 无限集：含有无限个元素的集合；(3)空集：不含任何元素的集合，记作φ，如：{}2|10x R x ∈+=1.1.1 如何用数学语言刻划一个集合【例1】在一堂课中，老师分别请下列学生举起右手：(1) 高个子的学生；(2)中国人；(3)小学生；(4)来自杨家坪中学的学生。

2018年初高中数学衔接教材--数与式的运算

3．分式
[1]分式的意义形如为分式．
A B
的式子，若B中含有字母，且 B 0
，则称
A B
[2]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如，与 2 2
3 a
与
a
，
2 3 3 2 3 ， a x b 与 a x b 互为有理化因式．与 a x b y ， a x b 与
2 3 3 2 ，等等．
x
y
例3 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： 3 （1 ）
2 3
63 3
（2 ）
94 5
5 2
74 3
3 2 2
5、因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、
十字相乘法，另外还应了解求根法。
例题1公式法：用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 8 x3 3 (2)
0.125 27b
【例2】提取公因式分解因式： (1) 3a3b 81b4 (2)
不等式的解为 1 x 3
2x 3 5
变式训练：1、 2、
x 3 5
2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： [1]平方差公式： a2 b2 a b a b ； 2 2 2 a b a 2 ab b 2 [2]完全平方和公式：； 2 2 a b a 2 ab b [3]完全平方差公式：．

初升高数学衔接教材(完整)

第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。

③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习（1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1）当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ，。

初升高衔接教材(数学)：初升高衔接教材(数学)

3.函数 y x 2 4 x 的最小值为（）
A. 2
B. 3 C. 4 D. 6
4.若关于 x 的不等式 x a 3 的解为 2 x 4 ，则实数 a 的值为（）
A. 1
B. 0 C. 1 D. 2
5.不等式 x 2 0 的解为________.
6.已知 (x 2)2 y 3 0 ，则 (x y)2015 =________.
【衔接高中知识】
高中阶段需要掌握更多的多项式乘法公式:例如立方和(差)公式,两数和(差)的立方公式, n 个数的和的完
全平方公式,甚至二项式定理、杨辉三角等.
立方和公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 立方差公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 三数和平方公式 (a b c)2 a2 b2 +c2 2(ab ac bc) 两数和立方公式 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 两数差立方公式 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
【归纳初中知识】 1.1 多项式的乘法法则多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 1.2 乘法公式初中阶段只需掌握两个基本公式: 平方差公式和完全平方公式.
平方差公式 (a b)(a b) a 2 b2 完全平方公式 (a b)2 a2 2ab b2
去掉绝对值符号,得到代数式在各段的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零, 得到的值作为分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式, 最后应求出解集的并集. 零点分段法是解含绝对值符号不等式的常用解法,这种解法体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化.
【精讲典型例题】
【精讲典型例题】【例 1】计算：

2018年初中升高中数学衔接教材专题讲义精讲剖析学案汇编

2018年高中数学初高中衔接专题讲义精讲剖析学案汇编目录1.1 公式法与分组分解法1.2 十字相乘法2.1 一元二次方程根的判别式2.2 根与系数的关系韦达定理3.1 二次函数的图像与性质3.2 二次函数的最值问题4.1 简单的二次方程组的解法4.2 一元二次不等式的解法5.1 解直角三角形5.2 三角形的重心垂心外心和内心第1讲公式法与分组分解法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。

在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。

【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．（3）立方和公式；（4）立方差公式；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式． 3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘． 4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）．22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b ±=±+2233()()a b a ab b a b +-+=+2233()()a b a ab b a b -++=-公式法主要由乘法公式与因式分解的逆向关系，套用公式进行因式分解。

初高中数学衔接教材(已整理精品)

初高中数学连接教材我们在初中已经进修过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; （2）完整平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以经由过程证实得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+; （2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-;（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式,有兴致的同窗可以本身去证实．例1 盘算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）; （2）(4m +22)164(m m =++);(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完整平方法,则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不管a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值（）（A ）老是正数（B ）老是负数（C ）可所以零（D ）可所以正数也可所以负数2．因式分化因式分化的重要办法有：十字相乘法.提取公因式法.公式法.分组分化法,别的还应懂得求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分化因式：（1）x2－3x ＋2; （2）x2＋4x －12; （3）22()x a b xy aby -++; （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1,将二次项x2分化成图中的两个x 的积,再将常数项2分化成－1与－2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x,就是x2－3x ＋2中的一次项,所以,有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．解释：往后在分化与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来暗示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3,得 x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4,得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．教室演习一.填空题：1.把下列各式分化因式：（1）=-+652x x __________________________________________________. （2）=+-652x x __________________________________________________. （3）=++652x x __________________________________________________. （4）=--652x x __________________________________________________. （5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）=+-18112x x __________________________________________________. （7）=++2762x x __________________________________________________. （8）=+-91242m m __________________________________________________. （9）=-+2675x x __________________________________________________. （10）=-+22612y xy x __________________________________________________. 2.()() 3 42++=+-x x x x3.若()()422-+=++x x b ax x 则=a , =b . 二.选择题：（每小题四个答案中只有一个是准确的）1.在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x （5）44152++x x 中,有雷同因式的是（） A.只有（1）（2） B.只有（3）（4） C.只有（3）（5） D.（1）和（2）;（3）和（4）;（3）和（5）2.分化因式22338b ab a -+得（）－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2－2 6 11 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －11x y 图1．1－5A.()()3 11-+a aB.()()b a b a 3 11-+C.()()b a b a 3 11--D.()()b a b a 3 11+- 3.()()2082-+++b a b a 分化因式得（） A.()()2 10-+++b a b a B.()()4 5-+++b a b a C.()()10 2-+++b a b a D.()()5 4-+++b a b a4.若多项式a x x +-32可分化为()()b x x --5,则a .b 的值是（）A.10=a ,2=bB.10=a ,2-=bC.10-=a ,2-=bD.10-=a ,2=b 5.若()()b x a x mx x ++=-+ 102个中a .b 为整数,则m 的值为（） A.3或9 B.3± C.9± D.3±或9± 三.把下列各式分化因式1.()()3211262+---p q q p2.22365ab b a a +-3.6422--y y4.8224--b b 2．提取公因式法例2 分化因式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++ 解：（1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++ 教室演习：一.填空题：1.多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________.2.()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________.3.()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4.()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5.()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6.523623913x b a x ab --分化因式得_____________________. 7．盘算99992+= 二.断定题：（准确的打上“√”,错误的打上“×” ）1.()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （）2.()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （）3.()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （）4.()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （） 3：公式法例3分化因式：（1）164+-a （2）()()2223y x y x --+ 解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++ 教室演习一.222b ab a +-,22b a -,33b a -的公因式是______________________________. 二.断定题：（准确的打上“√”,错误的打上“×” ）1.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x ………………………… （）2.()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-………………………………… （）3.()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （）4.()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （）5.()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （）五.把下列各式分化1.()()229n m n m ++--2.3132-x 3.()22244+--x x 4.1224+-x x 4．分组分化法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．教室演习：用分组分化法分化多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分化．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x .2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分化为12()()a x x x x --.例5 把下列关于x 的二次多项式分化因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．解：（1）令221x x +-=0,则解得11x =-21x =-,∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0,则解得1(222)x y =-+,1(222)x y =--, ∴2244x xy y +-=[2(12)][2(12)]x y x y +-++．练习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为（）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分化因式：（1）x2＋6x ＋8; （2）8a3－b3;（3）x2－2x －1; （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分化因式：（1） 31a +; （2）424139x x -+;（3）22222b c ab ac bc ++++; （4）2235294x xy y x y +-++-． 2．在实数规模内因式分化：（1）253x x -+ ; （2）2223x x --;（3）2234x xy y +-; （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ,b ,c 知足222a b c ab bc ca ++=++,试剖断ABC ∆的外形． 4．分化因式：x2＋x －(a2－a)．5. （测验测验题）已知abc=1,a+b+c=2,a²+b²+c²=,求1-c ab 1++1-a bc 1++1-b ca 1+的值.1.一元二次方程.一元二次不等式与二次函数的关系2.一元二次不等式的解法步调一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设响应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆,则不等式的解的各类情形如下表：0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2 （0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅例1解不等式：（1）x2＋2x －3≤0; （2）x －x2＋6＜0; （3）4x2＋4x ＋1≥0; （4）x2－6x ＋9≤0; （5）－4＋x －x2＜0．例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x 解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1例3已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或,可知 0a <,且方程20ax bx c ++=的两根分离为2和3,∴5,6bcaa-==, 即 5,6b ca a=-=．因为0a <,所以不等式20bx ax c ++>可变成 20b cx x a a++< , 即－2560,x x ++< 整顿,得所以,不等式20bx ax c +->的解是x ＜－1,或x ＞65．解释：本例应用了方程与不等式之间的互相关系来解决问题．练习1．解下列不等式：（1）3x2－x －4＞0; （2）x2－x －12≤0; （3）x2＋3x －4＞0; （4）16－8x ＋x2≤0． 2.解关于x 的不等式x2＋2x ＋1－a2≤0（a 为常数）．功课：1.若0<a<1,则不等式(x －a)(x －a1)<0的解是 ( )A.a<x<a1B.a1<x<aC.x>a1或x<aD.x<a1或x>a2.假如方程ax2＋bx ＋b ＝0中,a ＜0,它的两根x1,x2知足x1＜x2,那么不等式ax2＋bx ＋b ＜0的解是______. 3．解下列不等式：（1）3x2－2x ＋1＜0; （2）3x2－4＜0; （3）2x －x2≥－1; （4）4－x2≤0．(5)4+3x －2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;4．解关于x 的不等式x2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）． 5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质心坎：性质：外心：性质：重心：性质：垂心：例1 求证：三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D.E.F 分离为△ABC 三边BC.CA.AB 的中点, 求证AD.BE.CF 交于一点,且都被该点分成2：1. 证实贯穿连接DE,设AD.BE 交于点G,D.E 分离为BC.AE 的中点,则DE//AB,且12DEAB , GDE ∽GAB ,且类似比为1：2,2,2AG GD BGGE .设AD.CF 交于点'G ,同理可得,'2','2'.AG G D CG G F 则G 与'G 重合, AD.BE.CF 交于一点,且都被该点分成2:1.例2 已知ABC 的三边长分离为,,BC a AC b AB c ,I 为ABC 的心坎,且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分离为D E F 、、,求证：2bc aAEAF. 证实作ABC 的内切圆,则D E F 、、分离为内切圆在三边上的切点,,AE AF 为圆的从统一点作的两条切线,AE AF ,同理,BD=BF,CD=CE.即2bc aAEAF.例3 若三角形的心坎与重心为统一点,求证：这个三角形为正三角形. 已知O 为三角形ABC 的重心和心坎. 求证三角形ABC 为等边三角形. 证实如图,连AO 并延伸交BC 于D.O 为三角形的心坎,故AD 等分BAC , ABBD ACDC（角等分线性质定理）O 为三角形的重心,D 为BC 的中点,即BD=DC.1AB AC,即ABAC .同理可得,AB=BC.ABC 为等边三角形.例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知ABC 中,,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE交于H 点. 求证CH AB .证实以CH 为直径作圆,D E 、在以CH 为直径的圆上, FCB DEH .同理,E.D 在以AB 为直径的圆上,可得BED BAD . BCH BAD ,又ABD 与CBF 有公共角B ,90o CFBADB。

2018年暑假初高中衔接教材数学

2018年暑假初高中衔接教材数学目录第一课: 绝对值第二课: 乘法公式第三课: 二次根式（1）第四课: 二次根式（2）第五课: 分式第六课: 分解因式（1）第七课: 分解因式（2）第八课:根的判别式第九课:根与系数的关系（韦达定理）（1）第十课:根与系数的关系（韦达定理）（2）第十一课:二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质第十二课:二次函数的三种表示方式第十三课:二次函数的简单应用第十四课：分段函数第十五课: 二元二次方程组解法第十六课: 一元二次不等式解法（1）第十七课: 一元二次不等式解法（2）1.怎样培养好对学习的良好习惯？不要再被动的因为要学习而学习，而是要主动的需求学习的方法，怎么培养对学习的兴趣？以下几点可供参考：（一）培养良好的学习习惯现代教育倡导自主性学习和研究性学习，坚信能力是练出来的，因此我们在课程安排和教学常规中，设置有课前三分钟准备、晚修分段学习、教学三清（即堂堂清、周周清、月月清）等，这样设置的目的，就是为了培养同学们良好的修习养身习惯。

我希望同学们领会意图，配合学校的安排。

在课前三分钟，提前回到自己的座位，把课本和学习用品准备好，把自己的思想从课间活动拉回来，在科任老师和科代表的指导下，或朗读课文、定理、定律，或背诵名句、单词、公式，或做小测练……课堂上，聚精会神听老师讲课，深入思考和积极回答问题，善于做笔记，做到眼晴看、耳朵听、嘴巴说、脑筋想、手头记，充分调动和发挥各器官功能……晚修分时段学习，合理安排各科学习时间，做到复习、作业、预习三不误，照顾到当天学习及第二天学习的全部学科，做到均衡发展，要主动到走廊上请教下班辅导的老师，维护课室里面安静的晚修秩序，提高晚修的效率。

（二）抓好预习环节预习，即课前的自学。

指在教师讲课之前，自己先独立地阅读新课内容。

初步理解内容，是上课做好接受新知识的准备过程。

有些学生由于没有预习习惯，对老师一堂课要讲的内容一无所知，坐等教师讲课，老师讲什么就听什么，老师叫干什么就干什么，学习就很辛苦。

2017-2018初升高衔接数学讲义

第1章代数式与恒等变形1.1四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。

在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。

而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。

知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。

一计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。

变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。

三利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。