连续梁的整体刚度矩阵

第9章 矩阵位移法
§9-1 概述 §9-2 单元刚度矩阵（局部坐标系） §9-3 单元刚度矩阵（整体坐标系） §9-4 连续梁的整体刚度矩阵（先讲） §9-5 刚架的整体刚度矩阵 §9-6 结构整体结点荷载 §9-7 计算步骤和算例
▲ 竖向杆件坐标变换的简化技巧 §9-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析 §9-9 桁架及组合结构的整体分析
▲结点荷载向量的集成原理相同 6
[例1] 形成连续梁的整体刚度矩阵
（0） 1
i1
1
（1）
2
2 （2）
i2
3
3 （3） 4 （4）
i3
i4
4
5
5 （5）
i5
6
解：1）编号及建立坐标 2）单元刚度矩阵
（连续梁每个结点只一个位移）
0
[k
①
]

4i1 2i1
1 定位向量
1
2i1 0
4i1

1
▲杆件单元归纳
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自由梁单元： （用于刚架） 1
3
e
2
e
k
（6×6）
6
忽略轴向变形 2 e
4
4
的梁单元：
5
1
3

12
EI l3
k e （4×4）

EI 6 l2
12
EI l3
EI

6 l2
6
EI l2
4 EI l
6
EI l2
2 EI l
12
EI l3
6
EI l2
EI 12 l3
(
)
结点3：
M32 M3
即
2i22 4i23 M3
统一用矩阵表示：
整体刚度方程：
观察单元与整体刚度方程 的结点位移码对应关系， 可理解“单元集成法”。
（1 2 3）
结点位移码
4i1

2i1
0
2i1 4i1 4i2
2i2
0 2i2 4i2

12 3
2 2i1
4i1

单刚②
对号入座 原理相同
(
（2
2 4i2 3 2i2
对号入座
3）
2i2
4i2

整体刚度矩阵
结点 位移码
（1 2 3）
4i1
2i1
0 1

2i1
4i14i2
2i2

2 3
0
2i2
4i2
结点荷载向量的集成原理相同 5
)
▲“对号入座”形成整体刚度矩阵（总刚）步骤
1.将定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上； 2.将单元刚度矩阵中已知支座位移为零的行和列（相 应于定位向量中0编号的行列）划去；—— 先处理法
3.整体刚度矩阵[K]为n×n 方阵，n 即结构未知量数；
4.将各单元刚度矩阵[k]e按照其定位向量“对号入座” 集合入整体刚度矩阵，形成[K]（空白的位置以0填充)。
1
[k
②
]
4i2 2i2
2 定位向量
2i2 1
4i2

2
2
[k
③
]

4i3 2i3
3
2i3 2
4i3

3
3
[k
④
]
4i4 2i4
4
2i4 3
4i4

4
4
⑤
[k]
4i5 2i5
5
2i5 4
4i5

5
7
0
[k
①
]
4i1 2i1
— 即三个转角位移
4.写出单元的杆端弯矩
（转角位移方程）
（单元刚度方程）
单元①
M12 4i11 2i12 M 21 2i11 4i12
矩阵表示
MM1221


4i1 2i1
2i1 4i1

12

单元②
M 23 4i22 2i23 M32 2i22 4i23
1
2
3
4
5
结点 位移码
4i1 +4i2 2i2
0
0
0
1
2i2 4i2+4i3 2i3
0
0
2
[K] 0
2i3 4i3+4i4 2i4
0
3
0
0
2i4 4i4+4i5 2i5
4
0
0
0
2i5 4i5
5
8
[例2] 形成连续梁的整体刚度矩阵（E、L为常量）。
（0,0） （0,1）
解：1）编号及建立坐标
1
2
6
EI l2
6
EI l2

2 EI l

6
EI l2

4 EI

l
桁架单元：
1
e
EA
k 2
e
l
（2×2）

EA l

EA l

EA
l
连续梁单元：
1
e
k 2
e

4
EI l
（2×2）
2
EI l
2
EI l

4
EI l

2
§9-4 连续梁的整体刚度矩阵 (整体分析)
一、传统位移法(结合矩阵表示)
1.编号、建立坐标。
M1 ①
（连续梁每个结点只一个位移）
i1
（局部坐标与整体坐标一致） 1
M2 ②
i2
2
M3 3
2.已知原始结点荷载
M1
M2
M3
T

— 即三个结点力偶荷载
3.基本未知量（结点位移）
1
2
3
T

矩阵表示
M M
23 32


4i2 2i2
2i2 4i2

23

3
5.由结点平衡 建立位移法方程
M1 ①
i1
1
M2 ②
i2
2
M3 3
结点1：
M12 M1
结点2：M 21＋M 23 M 2
即
4i11 2i12 M1
即 2i11 (4i1＋4i2 )2 2i23 M 2
1 定位向量
2i1 0
4i1

1
1
[k
②
]
4i2 2i2
2
[k
③
]

4i3 2i3
3
2i3 2
4i3

3
3
[k
④
]
4i4 2i4
4
2i4 3
4i4

4
2
2i2 1
4i2

2
4
[k
⑤
]
4i5 2i5
5
2i5 4
4i5

5
3）整体刚度矩阵
（连续梁每个结点有二个位移） 1
I1
I2
2
2）单元刚度矩阵
（2,0） 3
0
00
1 定位向量
12EI1 6EI1 -12EI1 6EI1
L3
L2
L3
L2
0
①1
k =
6EI1 L2
4EI1 -6EI1 2EI1
L
L2
L
0
-12EI1 -6EI1 12EI1 -6EI1
L3

23

移
向 量
荷 载 向 量
4
二、单元集成法(直接刚度法)
1.定位向量
M1 ①
—— 由单元的结点位移码
i1
（整体码）组成的向量。 1
M2 ②
i2
2
M3 3
(
)
①

1 2
②

2 3
2.整体刚度矩阵集成
定位向量
（1 2）
(
单刚①
)
1 4i1 2i1


MM12 M 3

1 2 3
整体刚度矩阵
结
结
点
点
位
（1 2）
单 元 ①
MM1221


4i1 2i1
2i1 4i1

12

（2 3）
单 元 ②
M M
23 32


4i2 2i2
2i2 4i2