高中数学导数复习(基础版)
【高中数学】第5章 5.2.1 基本初等函数的导数
5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数素养目标学科素养1.能根据导数的定义推导常用函数的导数． 2．掌握基本初等函数的导数公式．(重点) 3．利用基本初等函数的导数公式解决有关问题．(难点)1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算情境导学高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s 关于时间t 的函数为s ＝f (t )，求它的瞬时速度，即f (t )的导数．根据导数的定义，运算比较复杂，是否有更好的求导方法呢？1．几个常用函数的导数 函数 用定义法求导数y ＝f (x )＝cy ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0c －c Δx＝0 y ＝f (x )＝xy ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )－x Δx＝1 y ＝f (x )＝x 2y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2xy ＝f (x )＝x 3y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2y ＝f (x )＝1xy ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2 y ＝f (x )＝xy ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx －x Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x ＝12x判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若f (x )＝2，则f ′(x )＝2.( ) × 提示：f ′(x )＝0.(2)若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x 2.( ) × 提示：f ′(x )＝2x .(3)若f (x )＝x －1，则f ′(x )＝－1x 2.(√)2．基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c (c 是常数)，则f ′(x )＝0；(2)若f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)，则f ′(x )＝αx α－1； (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；(5)若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x ln_a ； 特别地，f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ；(6)若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a ；特别地，f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) × 提示：∵sin π3＝32(常数)，∴⎝⎛⎭⎫sin π3′＝0. (2)(2x )′＝x 2x －1.( ) × 提示：(2x )′＝2x ln2. (3)(ln x )′＝1x.(√)1．函数f (x )＝0的导数是(A) A ．0 B ．1 C ．不存在D ．不确定2．若函数f (x )＝x ，则f ′(2)＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．不存在B 解析：f ′(x )＝1，∴f ′(2)＝1.3．若函数f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )在x ＝12处的切线斜率为( )A ．0B ．1C ．12D ．不存在B 解析：∵f ′(x )＝2x ，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫12＝2×12＝1. 4．若函数y ＝10x ，则y ′|x ＝1等于( ) A ．110B ．10C ．10ln 10D ．110ln 10C 解析：∵y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 5．给出下列命题： ①若y ＝ln 2，则y ′＝12；②若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③若y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④若y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C 解析：对于①，y ′＝0，故①错；对于②，∵y ′＝－2x 3，∴y ′|x ＝3＝－227，故②正确；显然③④正确，故选C ．【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝7x ；(5)y ＝log 5x .解：(1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25.(4)y ′＝(7x )′＝7x ln 7. (5)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解，公式法最简捷．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．比如对带根号的函数，一般先将其转化为分数指数幂，再利用公式(x α)′＝αx α－1进行求导．3．要特别注意“1x与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．若g (x )＝log 3x, 则g ′(x )＝1x ln 3.【例2】已知质点的运动方程是s ＝sin t . (1)求质点在t ＝π3时的速度；(2)求质点运动的加速度．解：(1)∵v (t )＝s ′(t )＝cos t ， ∴v ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12， 即质点在t ＝π3时的速度为12.(2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．1．求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数．解：∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x 4，∴f ′(1)＝－1331＝－13.2．求函数f (x )＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π4，22处的导数．解：∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22.探究题1 求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．解：因为f (x )＝cos x ， 所以f ′(x )＝－sin x .则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线斜率为 f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3， 即y ＝233x －239π＋12.探究题2 分别求双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的交点处的切线方程．解：易求得双曲线y ＝1x与抛物线y ＝x 2的交点为(1,1)．双曲线y ＝1x 在交点处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝－1，故切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y－2＝0.抛物线y ＝x 2在交点处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的切线的斜率，即对应函数在该点处的导数． (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．已知函数y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝________. 1e解析：设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝1x ，∴k ＝1x 0，∴y ＝1x 0·x .又点(x 0，y 0)在曲线y ＝ln x 上，∴y 0＝ln x 0，∴ln x 0＝x 0x 0，∴x 0＝e ，∴k ＝1e.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C 解析：易得y ′＝2x ，故函数y ＝x 2在x ＝1处的导数是2×1＝2.故选C ． 2．已知f (x )＝ln x ，则f ′⎝⎛⎭⎫1e 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．eD ．1eC 解析：由f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.所以f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝11e ＝e.故选C ． 3．函数f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0＝( ) A ． 2 B ．－ 2 C ．±1D ．±2D 解析：∵f ′(x )＝3x 2，∴3x 20＝6，∴x 0＝±2.故选D ． 4．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若f (x )＝0，则f ′(x )＝0 B ．若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝sin x C ．若f (x )＝1x ，则f ′(x )＝－1x 2D ．若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1xACD 解析：对A ，f (x )为常数，显然成立；对B ，f ′(x )＝－sin x ，故B 错误；对C ，D ，显然都成立．故选ACD ． 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x 3； (2)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ； (3)y ＝(3)x .解：(1)y ′＝(x 32)′＝32x .(2)∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(3)y ′＝[(3)x ]′＝(3)x ln 3＝12(3)x ln 3.1．由定义求出的常用函数的导数可作为公式直接使用． 2．熟记基本初等函数的导数公式．3．注意区别f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)及f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的导数：(a x )′＝a x ln a ，(log a x )′＝1x ln a.课时分层作业(十四) 基本初等函数的导数 (60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 几个常用函数的导数公式的应用1．(5分)已知f (x )＝x α(α∈Q *)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14D 解析：∵f (x )＝x α， ∴f ′(x )＝αx α－1， ∴f ′(1)＝α＝14.2．(5分)给出下列结论： ①若f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4；②若f (x )＝3x ，则f ′(x )＝133x ；③若f (x )＝3，则f ′(1)＝0. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．03．(5分)(多选)在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．⎝⎛⎭⎫－2，－12 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－2 AB 解析：切线的斜率k ＝tan 34π＝－1，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1，又f ′(x )＝－1x 2，∴－1x 20＝－1，∴x 0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选AB ．4.(5分)已知抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点的坐标为________．(0，－a 2) 解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)． 知识点2 基本初等函数的导数5．(5分)若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．π2C 解析：∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－sin π2＝－1. 6．(5分)已知函数f (x )＝2－x ，则f ′(x )＝( ) A ．－⎝⎛⎭⎫12x ln 2 B ．⎝⎛⎭⎫12x ln 2 C ．⎝⎛⎭⎫12x log 2e D ．⎝⎛⎭⎫12x 1ln 2A 解析：∵f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ， ∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. 7．(5分)给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x； ④⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B 解析：因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误.⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x 3，所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝＝12x x，所以④正确. 8.(5分)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝3x 的切线，则k 的值为________．eln 3 解析：设切点为(x 0，y 0)．因为y ′＝3x ln 3，①所以k ＝3x 0ln 3，所以y ＝3x 0ln 3·x .又因为(x 0，y 0)在曲线y ＝3x 上，所以3x 0ln 3·x 0＝3x 0，②所以x 0＝1ln 3＝log 3e. 所以k ＝eln 3.9.(5分)已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________.1 解析：因为f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x且x >0， f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)．故x ＝1. 10.(5分)直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________. ln 2－1 解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝ln x 0.∵y ′＝(ln x )′＝1x， ∴1x 0＝12， ∴x 0＝2，y 0＝ln 2.由ln 2＝12×2＋b ，得b ＝ln 2－1. 能力提升练能力考点 适度提升11．(5分)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xC 解析：f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝(－cos x )′＝sin x ，所以4为最小正周期，故f 2 020(x )＝f 4(x )＝cos x .A ．64B ．32C ．16D ．813.(5分)点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是________． 328 解析：与直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最小．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14.即P ⎝⎛⎭⎫12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－112＋12＝328.14.(5分)下列结论正确的有________．①若f (x )＝x 4，则f ′(2)＝32；②若f (x )＝1x，则f ′(2)＝－22； ③若f (x )＝1x 2·x，则f ′(1)＝－52； ④若f (x )＝x －5，则f ′(－1)＝－5.①③④ 解析：对于①，f ′(x )＝4x 3，f ′(2)＝4×23＝32，正确；15.(5分)曲线f (x )＝ln x 在点M (e ，1)处的切线的斜率是______，切线方程为________．1e x －e y ＝0 解析：∵f ′(x )＝(ln x )′＝1x， ∴f ′(e)＝1e.∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 16.(5分)已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________.1 解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x(x >0)， 所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x＝1， 解得x ＝1或x ＝－12. 因为x ＞0，所以x ＝1.17.(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝1x4； (2)y ＝x x ；(3)y ＝2sin x 2cos x 2. 解：(1)∵y ＝1x 4＝x －4，∴y ′＝－4x －5＝－4x5.(3)∵y ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝cos x .18.(10分)已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点．(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程；(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝4，过P 点的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0，过Q 点的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1， 设切点坐标为M (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.。
第5节 第1课时利用导数研究恒(能)成立问题--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
1
当 0<x<e2 时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当e2 <x≤e 时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
1
所以 g(x)的极大值亦即最大值为 g(e2 )=e2,
因此 a≤e2,故实数 a 的取值范围是(-∞,e2].
例2(2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=-2x+ln x,g(x)=xex-3x-m.
令 f'(x)>0,解得
1
x>2.所以
1
0<x<2,
1
1
f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增.
综上所述,当 a≤0 时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当 a>0
1
1
时,f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).
1
1
(2)当 a>0 时,由(1)可知 f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,
(2)如果f(x)有最大值g(a),则f(x) <0恒成立⇔g(a)<0,f(x)≤0恒成立⇔g(a)≤0.
[对点训练3](2024·湖北荆门模拟)设函数f(x)=ex-ax,x≥0且a∈R.
(1)求函数f(x)的单调性;
(2)若不等式f(x)≥x2+1恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)f'(x)=ex-a,x≥0.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
解 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且
高中数学5.2.1-基本初等函数的导数
5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数课标要求素养要求1.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.会使用导数公式表.在利用导数的定义求基本初等函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2； (4)y ＝f (x )＝1x ；(5)y ＝f (x )＝x .问题1 函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？ 提示 ∵Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝c －cΔx ＝0，∴y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0.问题2 函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示 由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x .问题3 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示 ∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x2－1，(5)(x )′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x，∴(x α)′＝αx α－1.1.几个常用函数的导数2.[微判断]1.若y＝2，则y′＝12×2＝1.(×)提示若y＝2，则y′＝0.2.若f(x)＝1x3，则f′(x)＝－3x4.(√)3.若f(x)＝4x，则f′(x)＝4x log5e.(×)提示若f(x)＝4x，则f′(x)＝4x ln 4.[微训练]1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于()A.0B.2xC.6D.9 解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.答案 C2.求下列函数的导数：(1)f(x)＝4x5；(2)g(x)＝cosπ4；(3)h(x)＝3x.解(1)f(x)＝x 54，∴f′(x)＝54x14；(2)g(x)＝cos π4＝22，∴g′(x)＝0；(3)h′(x)＝3x ln 3. [微思考]1.如何求函数f(x)＝1x4的导数？提示把f(x)＝1x4化为f(x)＝x－4，则f′(x)＝－4x－5.2.如何求f(x)＝2sin x2cosx2的导数？提示把f(x)＝2sin x2cosx2化为f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x.题型一利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝sin π3；(2)y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x；(3)y＝1x；(4)y＝4x3；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)y ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练1】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13；(2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12；(2)y ′＝(4x )＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ；(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x 2′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75. 题型二 利用导数公式解决切线问题 角度1 求切线的方程【例2－1】 函数y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线方程是( )A.y ＝4xB.y ＝－4x ＋4C.y ＝4x ＋4D.y ＝2x －4解析 ∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－x －2，∴k ＝y ′|x ＝12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－4，∴切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－4x ＋4. 答案 B角度2 求参数值【例2－2】 已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝________.解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，由题意得y ′|x ＝x 0＝1x 0＝k ，又y 0＝kx 0，而且y 0＝ln x 0，从而可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e . 答案 1e角度3 曲线上的点到直线的最小距离问题【例2－3】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0).因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 【训练2】 (1)求曲线y ＝x 在点B (1，1)处的切线方程； (2)求曲线y ＝ln x 的斜率等于4的切线方程. 解 (1)设所求切线的斜率为k . ∵y ′＝(x )′＝12x －12，k ＝y ′|x ＝1＝12，∴曲线y ＝x 在点B (1，1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0. (2)设切点坐标为(x 0，y 0).∵y ′＝1x ，曲线y ＝ln x 在点(x 0，y 0)处的切线的斜率等于4， ∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＝4，得x 0＝14，∴y 0＝－ln 4，∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－ln 4，∴所求切线方程为y ＋ln 4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即4x －y －1－ln 4＝0.题型三 导数公式的实际应用【例3】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p (单位：万元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋10%)t ，假定p 0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)解 由题意得p ′(t )＝1.1t ln 1.1所以p ′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.规律方法 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.【训练3】 从时刻t ＝0开始的t (s )内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q ＝cos t 表示.求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安) 解 由q ＝cos t 得q ′＝－sin t ， 所以q ′(5)＝－sin 5，q ′(7)＝－sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安.一、素养落地1.通过学习导数公式及应用导数公式求基本初等函数的导数，提升数学运算素养.2.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.3.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x . 二、素养训练1.函数y ＝x e 的导数是( ) A.y ′＝x e B.y ′＝e x e －1 C.y ′＝e x eD.y ′＝ln x解析 由(x α)′＝αx α－1得，y ′＝e x e －1. 答案 B2.若f (x )＝sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A.－12B.－32 C.12D.32 解析 f ′(x )＝cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos π6＝32.答案 D3.已知f (x )＝x 2，g (x )＝x .若m 满足f ′(m )＋g ′(m )＝3，则m 的值为________. 解析 f ′(x )＋g ′(x )＝2x ＋1，f ′(m )＋g ′(m )＝2m ＋1＝3，故m ＝1. 答案 14.曲线y ＝1x 在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13处的切线方程是________.解析 ∵y ′＝－1x 2，∴在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13处的斜率k ＝－19，∴在点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13的斜率为－19的切线方程为：y －13＝－19(x －3)，即x ＋9y －6＝0. 答案 x ＋9y －6＝05.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴在点(2，e 2)处的切线斜率为k ＝e 2， ∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2. 答案 12e 2基础达标一、选择题1.函数y ＝3x 在x ＝2处的导数为( ) A.9 B.6 C.9ln 3D.6ln 3解析 y ′＝(3x )′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3. 答案 C2.下列结论中，不正确的是( ) A.若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4 B.若y ＝3x ，则y ′＝3x3 C.若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3 D.若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3 解析 由(x n )′＝nx n －1知，选项A ，y ＝1x 3＝x －3，则y ′＝－3x －4＝－3x 4； 选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 A4.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定 解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线.所以有2条切线.答案 B5.若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A.4x －y －3＝0 B.x ＋4y －5＝0 C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0解析 由题意，知切线l 的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0).∵y ′＝4x 3，∴k ＝4x 30＝4，解得x 0＝1，∴切点为(1，1)，∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 答案 A 二、填空题6.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝______. 解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1.∴a ＝1. 答案 17.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 108.已知函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________.解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k ).又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1，0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案 21 三、解答题9.求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x4)＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2 x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.10.已知两条曲线y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解 不存在，理由如下：因为y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，所以y 1′＝cos x ，y 2′＝－sin x .设两条曲线的一个公共点为点P (x 0，y 0)，则两条曲线在点P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.若两条切线互相垂直，则cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，所以sin 2x 0＝2，显然不成立，所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直.能力提升11.如图所示，水波的半径以1 m/s 的速度向外扩张，当半径为5 m 时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是________m 2/s.解析 因为水波的半径以v ＝1 m/s 的速度向外扩张，水波面的圆面积S ＝πr 2＝π(v t )2＝πt 2.所以利用瞬时变化率，可求水波面的圆面积在时刻t 0时的瞬时膨胀率S ′|t ＝t 0＝2πt 0.当半径为5 m 时，t ＝5 s ，所以S ′|t ＝5＝2π×5＝10π，即半径为5 m 时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是10π m 2/s.答案 10π12.已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，B (2，1)，函数f (x )＝log 2x . (1)过坐标原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程.(2)在曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2上是否存在点P ，使得过点P 的切线与直线AB 平行？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设切点为(m ，log 2m )(m >0).因为f (x )＝log 2x ，所以f ′(x )＝1x ln 2.由题意可得1m ln 2＝log 2m m ，解得m ＝e ，所以切线方程为y －log 2e ＝1eln 2(x －e)，即y ＝1eln 2x .(2)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，B (2，1)的直线的斜率为k AB ＝43. 假设存在点P ，使得过点P 的切线与直线AB 平行，设P (n ，log 2n )，12≤n ≤2，则有1n ln 2＝43，得n ＝34ln 2.又12＝ln e<ln 2<ln e ＝1，所以34<34ln 2<32，所以在曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2上存在点P ，使得过点P 的切线与直线AB 平行，且点P 的横坐标为34ln 2.创新猜想13.(多选题)以下运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2 B.(cos x )′＝－sin x C.(2x )′＝2x ln 2 D.(lg x )′＝－1x ln 10解析 对于A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，所以A 不正确；对于B ，因为(cos x )′＝－sin x ，故B 正确；对于C ，因为(2x )′＝2x ln 2，所以C 正确；对于D ，因为(lg x )′＝1x ln 10，所以D 不正确.答案 BC14.(多空题)已知P 为曲线y ＝ln x 上的一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上的一动点，则当P 的坐标为________时，PQ 最小，此时最小值为________.解析 如图，当直线l 与曲线y ＝ln x 相切且与直线y ＝x ＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值.易知(ln x)′＝1x，令1x＝1，得x＝1，故此时点P的坐标为(1，0)，所以PQ的最小值为|1－0＋1|2＝ 2.答案(1，0)2高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结高中数学导数知识点总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，他能够提升我们的书面表达能力，因此十分有必须要写一份总结哦。
那么你真的懂得怎么写总结吗？以下是小编帮大家整理的高中数学导数知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
（一）导数第一定义设函数y = f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x（x0 + △x也在该邻域内）时，相应地函数取得增量△y = f （x0 + △x）— f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y = f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y = f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第一定义（二）导数第二定义设函数y = f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有变化△x（x — x0也在该邻域内）时，相应地函数变化△y = f（x）—f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y = f （x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y = f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第二定义（三）导函数与导数如果函数y = f（x）在开区间I内每一点都可导，就称函数f（x）在区间I内可导。
这时函数y = f（x）对于区间I内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y = f（x）的导函数，记作y'，f'（x），dy/dx，df（x）/dx。
导函数简称导数。
（四）单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤（1）求f（x）（2）确定f（x）在（a，b）内符号（3）若f（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤（1）求f（x）（2）f（x）>0的解集与定义域的'交集的对应区间为增区间；f （x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。
高中数学利用导数研究函数单调性基础知识梳理+常考例题汇总
∴(－2)＋(－1)＝a，即 a＝－3. 3.[变条件]本例(2)变为：若 g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数 a 的取值范围． 【解析】由 1 知 g(x)在(－2，－1)内为减函数时，实数 a 的取值范围是(－∞，－ 3]． 若 g(x)在(－2，－1)内为增函数，则 a≥x＋ 2 在(－2，－1)内恒成立，
2．已知函数 f(x)＝ x a －ln x－ 3 ，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处
4x
2
的切线垂直于直线 y＝ 1 x.
2
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间．
【解析】(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝ 1 － a － 1 ，
4 x2 x
由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝ 1 x，
【解析】f′(x)＝ 1 ·x＋ln x－k－1＝ln x－k，
x
①当 k≤0 时，因为 x>1，所以 f′(x)＝ln x－k>0，
所以函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．
②当 k>0 时，令 ln x－k＝0，解得 x＝ek，
当 1<x<ek 时，f′(x)<0；当 x>ek 时，f′(x)>0.
x
又∵y＝x＋ 2 在(－2，－ 2 )内单调递增，在(－ 2 ，－1)内单调递减，
x
∴y＝x＋ 2 的值域为(－3，－2 2 )，
x
∴实数 a 的取值范围是[－2 2 ，＋∞)， ∴函数 g(x)在(－2，－1)内单调时，a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－2 2 ，＋∞)， 故 g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数 a 的取值范围是(－3，－2 2 )． [解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)由可导函数 f(x)在 D 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为 f′(x)≥ 0(或 f′(x)≤0)对 x∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”
高中数学基础知识大筛查(1)-函数与导数
高三数学基础知识大筛查之一：函数与导数概念与定理1、映射与函数的定义：映射的定义：设A 、B 是两个集合，按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个．．．．元素，在集合B 中都有唯一．．的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B.函数的定义：如果A 、B 都是非空．．数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作y=f (x)，其中x ∈A ，y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f (x)的定义域，象集合C （C ⊆B ）叫做函数y=f (x)的值域.定义在非空数集上的映射称为“函数”。
函数与映射的区别与联系：函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2、单调性的定义：①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。
②设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在是减函数。
3、周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。
如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
4、)(x f 是奇函数⇔f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数⇔f(－x)= f(x)5.导数的定义：()f x 在点0x 处的导数记作0000()()()limx x x f x x f x xy f x =∆→+∆-∆''==.函数y=f (x)在x=x 0处的导数的相关意义：几何意义——过曲线y=f (x)上一点P （x 0，y 0）的切线的斜率. 6.定积分的定义：)(lim )(1i ni ban f nab dx x f ξ∑⎰=∞→-=，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。
高中数学 同步学案 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
导数的计算第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P81～83,思考并完成以下问题1．函数y ＝c,y ＝x,y ＝x －1,y ＝x 2,y ＝x 的导数分别是什么？能否得出y ＝x n的导数公式？2．正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？[新知初探]1．几种常用函数的导数函数导数 f(x)＝c(c 为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x 2f′(x)＝2x f(x)＝1xf′(x)＝－1x 2f(x)＝xf′(x)＝12x[点睛] 对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础,都是通过导数的定义求得的,都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢,在求导数时,可直接应用,不必再用定义去求导． 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x α(α∈Q *) f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝a x(a>0且a≠1)f′(x)＝a xln_a f(x)＝e xf′(x)＝e x f(x)＝log a x(a>0且a≠1)f′(x)＝1xln af(x)＝ln xf′(x)＝1x[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若y ＝2,则y′＝12×2＝1( )(2)若f′(x)＝sin x,则f(x)＝cos x( ) (3)f(x)＝1x 3,则f′(x)＝－3x 4( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝0,则y′＝0B ．若y ＝5x,则y′＝5C ．若y ＝x －1,则y′＝－x －2D ．若y ＝x 12,则y′＝12x 12答案：D3．若y ＝cos 2π3,则y′＝( )A ．－32B ．－12C ．0 D.12答案：C4．曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线方程为________． 答案：y ＝x ＋1利用导数公式求函数导数[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝3x；(5)y ＝log 5x.[解] (1)y′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5.(3)y′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25.(4)y′＝(3x)′＝3x ln 3. (5)y′＝(log 5x)′＝1xln 5.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式．[活学活用] 求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x.解：(1)y′＝(lg x)′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln 10′＝1xln 10.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2.(3)y′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝32x.(4)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 13x ′＝1xln 13＝－1xln 3.导数公式的综合应用[典例] (1)曲线y ＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A.12－3π9B.12＋3π9C.12＋3π6D.12－3π6(2)设曲线y ＝x 在点(2,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直,则a ＝( ) A.22B.24C ．－2 2D ．2 2[解析] (1)因为y′＝－sin x,切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12, 所以切线的斜率k ＝y′|x＝π3＝－sin π3＝－32, 所以切线方程为y －12＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3,令x ＝0,得y ＝12＋3π6,故选C.(2)因为y ＝x ＝x 12,所以y′＝12x －12＝12x ,所以切线的斜率k ＝y′|x ＝2＝122,由已知,得－a ＝－22,即a ＝22,故选D. [答案] (1)C (2)D1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤1．曲线y ＝x 23在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为( )A.53B.89C.2512D.412解析：选C 可求得y′＝23x －13,即y′|x ＝1＝23,切线方程为2x －3y ＋1＝0,与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0, 与x ＝2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53, 围成三角形面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫2＋12×53＝2512.2．当常数k 为何值时,直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点． 解：设切点为A(x 0,x 20＋k)．∵y′＝2x,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 20＋k ＝x 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，k ＝14，故当k ＝14时,直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切,且切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 12.层级一 学业水平达标1．若指数函数f(x)＝a x(a ＞0,a≠1)满足f′(1)＝ln 27,则f′(－1)＝( ) A ．2B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：选C f′(x)＝a x ln a,由f′(1)＝aln a ＝ln 27,解得a ＝3,则f′(x)＝3xln 3,故f′(－1)＝ln 33. 2．已知f(x)＝x 2·x,则f′(2)＝( ) A ．4 2B ．0 C. 2D ．5 2解析：选D 原函数化简得f(x)＝x 52,所以f′(x)＝52·x 32,所以f′(2)＝52×232＝5 2.故选D.3．已知f(x)＝x α,若f′(－1)＝－2,则α的值等于( ) A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2,则f(x)＝x 2,∴f′(x)＝2x, ∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．若曲线y ＝x 在点P(a,a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a 的值是( ) A ．4B ．2C ．16D ．8解析：选A ∵y′＝12x ,∴切线方程为y －a ＝12a(x －a)．令x ＝0,得y ＝a2,令y ＝0,得x ＝－a, 由题意知12·a2·a＝2,∴a ＝4.5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：选C ∵y′＝x 2,∴y′|x ＝1＝1,∴切线的倾斜角α满足tan α＝1,∵0≤α<π,∴α＝π4.6．已知f(x)＝1x ,g(x)＝mx,且g′(2)＝1f′2,则m ＝________.解析：∵f′(x)＝－1x 2,∴f′(2)＝－14.又∵g′(x)＝m,∴g′(2)＝m.由g′(2)＝1f′2,得m ＝－4.答案：－47．曲线y ＝ln x 在点M(e,1)处的切线的斜率是________,切线方程为____________． 解析：∵y′＝(ln x)′＝1x ,∴y′|x ＝e ＝1e .∴切线方程为y －1＝1e (x －e),即x －ey ＝0.答案：1ex －ey ＝08．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2,过第一象限的点(a,a 2)作抛物线C 的切线l,则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a,a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点, ∵y′＝2x,∴直线l 的方程为y －a 2＝2a(x －a)． 令x ＝0,得y ＝－a 2,∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0,－a 2)． 答案：(0,－a 2) 9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2.解：(1)y′＝(x 8)′＝8x8－1＝8x 7.(2)y′＝(4x)′＝4x ln 4. (3)y′＝(log 3x)′＝1xln 3.(4)y′＝(cos x)′＝－sin x. (5)y′＝(e 2)′＝0.10．已知P(－1,1),Q(2,4)是曲线y ＝x 2上的两点, (1)求过点P,Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y′＝2x,P(－1,1),Q(2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y′|x ＝－1＝－2, 过Q 点的切线的斜率k 2＝y′|x ＝2＝4,过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1),即2x ＋y ＋1＝0. 过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2),即4x －y －4＝0. (2)因为y′＝2x,直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1,切线的斜率k ＝y′|x＝x 0＝2x 0＝1, 所以x 0＝12,所以切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14, 与PQ 平行的切线方程为： y －14＝x －12,即4x －4y －1＝0.层级二 应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t,则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523 B.110523C.25523D.110523解析：选B ∵s′＝15t －45.∴当t ＝4时,s′＝15·1544＝110523 .2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x ＞0)的一条切线,则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y′＝1x ,∴令1x ＝12,得x ＝2,∴切点为(2,ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b,得b ＝ln 2－1.3．在曲线f(x)＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1,－1)解析：选D 因为f(x)＝1x ,所以f′(x)＝－1x 2,因为切线的倾斜角为34π,所以切线斜率为－1,即f′(x)＝－1x 2＝－1,所以x ＝±1,则当x ＝1时,f(1)＝1；当x ＝－1时,f(1)＝－1,则点坐标为(1,1)或(－1,－1)． 4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1解析：选B 对y ＝xn ＋1(n ∈N *)求导得y′＝(n ＋1)x n. 令x ＝1,得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1,∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0,得x n ＝n n ＋1, ∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×nn ＋1＝1n ＋1, 故选B. 5．已知f(x)＝a 2(a 为常数),g(x)＝ln x,若2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝1,则x ＝________. 解析：因为f′(x)＝0,g′(x)＝1x ,所以2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝2x －1x ＝1.解得x ＝1或x ＝－12,因为x ＞0,所以x ＝1.答案：16．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2, 又∵y′＝(ln x)′＝1x ,∴1x ＝2,解得x ＝12.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.即2x －y －1－ln 2＝0. 答案：2x －y －1－ln 2＝07．已知曲线方程为y ＝f(x)＝x 2,求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程． 解：设切点P 的坐标为(x 0,x 20)． ∵y ＝x 2,∴y′＝2x,∴k ＝f′(x 0)＝2x 0, ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B(3,5)代入上式,得5－x 20＝2x 0(3－x 0), 即x 20－6x 0＋5＝0,∴(x 0－1)(x 0－5)＝0,∴x 0＝1或x 0＝5, ∴切点坐标为(1,1)或(5,25),故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5), 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x 0,y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点． ∵y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a2x 20(x －x 0)．令x ＝0,得y ＝2a2x 0；令y ＝0,得x ＝2x 0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。
最新高中数学导数典型例题精讲(详细版)
导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1lim0n n→∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=.两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…). 函数极限的四则运算法则：若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x xg x b →=，则 (1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim 0x xf x ab g x b→=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅(3)()lim 0n n n a ab b b→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数))(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. .瞬时速度：00()()()lim limt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度：00()()()lim limt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()()lim lim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -='(4) xx 1)(ln ='；e a x xa log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1． ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.[解答过程] ()22()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=故填3.例2.设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时()()()//2211,0.11111.x x a x a x a a y y x x x x a ------⎛⎫=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题例3.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-2104x x <-≤．于是2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 例4.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.例5．过坐标原点且与x 2+y 2-4x +2y +25=0相切的直线的方程为 ( )A.y =-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x C.y =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =31x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2x y -++=∴-圆心为213830., 3.3k k k k =+-=∴==- 1,3.3y x y x ∴==-或故选A.解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222⎛⎫- ⎪⎝⎭由 ()()//22////113231(,)(,)22225(2)1,22(2)210,2.113,.313,.3x xx x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -⎛⎫⎡⎤-++= ⎪⎣⎦⎝⎭∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=故选A.例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得1,1222121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，0122121=+++a x x若△=0)1(244=+⨯-a ，即21-=a 时，解得211-=x ，此时点P 、Q 重合.∴当时21-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14y x =- .考点3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式;2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式. 典型例题例7．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.例8 .设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．思路启迪：利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求a 、b 的值．解答过程：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
高中数学一轮复习之函数之导数求和之倒序相加与错位相减法
高中数学一轮复习之函数之导数求和之倒序相加与错位相减法引言在高中数学的研究中，函数是一个非常重要的概念，而导数则是函数中的一种重要工具。
本文将介绍函数的导数求和的两种方法，即倒序相加法和错位相减法。
函数的导数求和之倒序相加法倒序相加法是一种常用的方法，用于计算函数的导数的和。
具体步骤如下：1. 首先，找到函数的导数表达式，并按照x的幂次从高到低的顺序列出。
2. 然后，将每个导数的表达式从高到低的顺序相加，并化简。
3. 最后，得到函数的导数的和。
例如，对于函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求其导数的和的过程如下：1. 求导数：f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。
2. 将导数的表达式按照x的幂次从高到低的顺序相加：9x^2 + 4x - 5。
3. 化简得到函数的导数的和：9x^2 + 4x - 5。
函数的导数求和之错位相减法错位相减法是另一种常用的方法，用于计算函数的导数的和。
具体步骤如下：1. 首先，找到函数的导数表达式，并按照x的幂次从高到低的顺序列出。
2. 然后，将相邻导数的表达式相减。
3. 最后，得到函数的导数的和。
例如，对于函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求其导数的和的过程如下：1. 求导数：f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。
2. 将相邻导数的表达式相减：(9x^2 - 4x) + (4x - 5)。
3. 化简得到函数的导数的和：9x^2 - 5。
结论函数的导数求和是高中数学中的重要内容。
本文介绍了倒序相加法和错位相减法这两种常用的方法。
通过这些方法，我们可以得到函数的导数的和，进一步理解函数的性质和变化规律。
在数学一轮复中，掌握这些方法对于应对考试和解决实际问题都具有重要意义。
高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！
高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！导数，也叫导函数值。
那么，高中数学导数公式及运算法则有哪些呢？高中数学导数公式有哪些1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2根据导数定义证明数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算方法函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
高中数学导数及其应用导数的计算几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
2021/12/8
第十页，共二十八页。
[规律方法] 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原 则，避免不必要的运算失误 3.要特别注意“1x与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
2021/12/8
第一章 导数及其应用(yìngyòng)。谢谢观看
No Image
12/8/2021
第二十八页，共二十八页。
2021/12/8
第十九页，共二十八页。
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－
2 x3
，∴y′|x＝3＝－
2 27
，
故②正确；显然③，④正确，故选C.]
2021/12/8
第二十页，共二十八页。
2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝14，则α等于(
(4)若y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2021/12/8
第六页，共二十八页。
2．若函数y＝10xn 10
D．10l1n 10
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
)
A．13
B．12
C．18
D．14
D [∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝14.]
2021/12/8
第二十一页，共二十八页。
3．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
【导学号：31062023】
【高中数学】5.2.1 基本初等函数的导数
5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数基础过关练题组一利用导数公式求函数的导数1.(2020浙江绍兴稽山中学高二下期中)已知f(x)=cos30°,则f'(x)的值为()A.-12B.12C.-√32D.02.已知函数f(x)=1x2,则f'(12)=()A.-14B.-18C.-8D.-163.函数y=√x在x=4处的导数是()A.116B.-116C.18D.-184.下列求导运算正确的是()A.(cos x)'=sin xB.(3x)'=3x log3eC.(lg x)'=1xln10D.(x-2)'=-2x-15.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),……,f n+1(x)=f n'(x),n∈N,则f2 019(x)=()A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x6.(多选)下列求导运算正确的是()A.(1x )'=1x2B.(√x)'=2√x C.(x a)'=ax a-1D.(log a x)'=(lnxlna )'=1xlna7.求下列函数的导数.(1)y=1x5;(2)y=2√x;(3)y=lg x;(4)y=5x;(5)y=cos(π2-x).题组二导数公式的应用8.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)曲线y=1x在点A(-1,-1)处的切线方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y+2=0D.x-y-2=09.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=010.(2020福建三明第一中学月考)以正弦曲线y=sin x 上一点P 为切点作切线l,则切线l 的倾斜角的范围是( ) A.[0,π4]∪[3π4,π) B.[0,π)C.[π4,3π4] D.[0,π4]∪(π2,3π4)11.已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)12.若曲线y=x -12在点(m,m -12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则m=( ) A.64 B.32 C.16 D.813.(多选)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x 0,使得f(x 0)=f'(x 0),则称x 0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( ) A.f(x)=x 2 B.f(x)=e -x C.f(x)=ln x D.f(x)=1x14.(2019广东东莞高二上期末)设曲线y=x n+1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ,令a n =lg 1x n ,计算a 1+a 2+a 3+…+a 2 019.答案全解全析 基础过关练1.D ∵f(x)=cos 30°=√32,∴f'(x)=0. 2.D f'(x)=-2x -3=-2x 3,则f'(12)=-2(12)3=-16,故选D.3.B y'=-12x -32,∴y'x=4=-12×4-32=-116,故选B. 4.C (cos x)'=-sin x,故A 不正确; (3x )'=3x ·ln 3,故B 不正确; (lg x)'=1x ·ln10,故C 正确;(x -2)'=-2x -2-1=-2x -3,故D 不正确.故选C.5.D f 0(x)=sin x,f 1(x)=f 0'(x)=(sin x)'=cos x,f 2(x)=f 1'(x)=(cos x)'=-sin x,f 3(x)=f 2'(x)=(-sin x)'=-cos x,f 4(x)=f 3'(x)=(-cos x)'=sin x,所以4为最小正周期,故f 2 019(x)=f 3(x)=-cos x.6.BCD 在A 中,(1x )'=(x -1)'=-1x 2,故A 错误;在B 中,(√x )'=(x 12)'=12×x -12=2√x,故B 正确;在C 中,(x a )'=ax a-1,故C 正确;在D 中,(log a x)'=(lnx lna)'=1xlna ,故D 正确.故选BCD.7.解析 (1)∵y=1x 5=x -5,∴y'=-5x -6.(2)∵y=2√x =x 2x 12=x 32,∴y'=32x 12.(3)∵y=lg x,∴y'=1xln10.(4)∵y=5x ,∴y'=5x ln 5.(5)∵y=cos (π2-x)=sin x,∴y'=cos x.8.C 由y=1x得y'=-x -2,因此切线的斜率为k=-(-1)-2=-1,∴切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0,故选C. 9.A ∵直线x+4y-8=0的斜率为-14,∴直线l 的斜率为4, 又y'=4x 3,∴4x 3=4,得x=1, 又当x=1时,y=x 4=1,∴直线l 的方程为y-1=4(x-1), 即4x-y-3=0.10.A ∵y=sin x,∴y'=cos x, ∵cos x ∈[-1,1],∴切线斜率的范围是[-1,1], ∴倾斜角的范围是[0,π4]∪[3π4,π),故选A.11.B 由f(x)=ln x,得f'(x)=1x, 则g(x)=f(x)-f'(x)=ln x-1x .易知函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上为增函数, 又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2-12=ln 2-ln √e >0,所以函数g(x)在区间(1,2)上有唯一零点.12.A 因为y'=-12x -32,所以曲线y=x -12在点(m,m -12)处的切线方程为y-m -12=-12·m -32(x-m),令x=0,得y=32m -12,令y=0,得x=3m,由题意可得,12×32m -12×3m=18,解得m=64.13.ACD 在A 中,若f(x)=x 2,则f'(x)=2x,则x 2=2x,这个方程显然有解,故A 符合要求;在B 中,若f(x)=e -x,则f'(x)=[(1e )x ]'=(1e )xln 1e=-e -x ,即e -x =-e -x ,此方程无解,故B 不符合要求;在C 中,若f(x)=ln x,则f'(x)=1x,由ln x=1x,数形结合可知该方程存在实数解,故C 符合要求;在D 中,若f(x)=1x,则f'(x)=-1x2,由1x=-1x2,可得x=-1,故D 符合要求.故选ACD.14.解析 因为y=x n+1,所以y'=(n+1)x n ,所以曲线y=x n+1(n ∈N *)在(1,1)处的切线斜率为k=n+1, 切线方程为y-1=(n+1)(x-1). 令y=0,得x=n n+1,即x n =nn+1,所以a n =lg 1x n=lg(n+1)-lg n, 所以a 1+a 2+a 3+…+a 2 019=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020-lg 1=1+lg 202.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学导数复习（基础版）
⾼中数学导数复习（基础版）第⼀章导数及其应⽤1.1导数的概念1．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a的值是()A.B．C.D.解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(－1)＝＝＝(aΔx2－3aΔx＋3a＋3Δx－6)＝3a－6＝4，解得a＝，故选D.答案：D2．(2019·杭州⼆中⽉考)设函数f(x)可导，则等于()A．f′(1)B．3f′(1)C.f′(1)D.f′(3)解析：＝＝f′(1)．答案：C3．⼦弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，⼦弹从枪⼝射出时所⽤的时间为t0＝1.6×10－3s，则⼦弹射出枪⼝时的瞬时速度为()A．1000m/sB．500m/sC．1600m/sD.800m/s解析：设运动⽅程为s＝at2，∴＝＝at0＋aΔt，∴瞬时速度v＝＝at0＝5×105×1.6×10－3＝800m/s，故选D.答案：D4．设f(x)在R上可导，已知f(－x)在x＝a处的导数为A，则f(x)在x＝－a处的导数为________．解析：∵f(－x)在x＝a处的导数为A，∴A＝，∴f(x)在x＝－a处的导数f′(－a)＝＝－A.答案：－A5．⼀质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t＋1，求速度为零的时刻．解：∵Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)3－(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋1－＝t2Δt＋tΔt2＋Δt3－3tΔt－Δt2＋2Δt，∴＝t2＋tΔt＋Δt2－3t－Δt＋2，∴＝t2－3t＋2，由t2－3t＋2＝0，得t＝1或t＝2.所以速度为零的时刻为1秒末和2秒末．6．⽤定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝＝＝＝，∴＝，∴＝＝－.即函数f(x)在x＝1处的导数为－.1.1.2导数的⼏何意义1．(2019·鄂东南九校期中)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平⾏于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)或(－1，－4)D.(2,8)或(－1，－4)解析：f′(x)＝＝＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平⾏于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．故选C.答案：C2．下列曲线中，在x＝1处切线的倾斜⾓为的是()A．y＝x2－B．y＝xlnxC．y＝sinπxD.y＝x3－2x2解析：∵曲线在x＝1处切线的倾斜⾓为π，∴切线的斜率k ＝－1，在y＝x3－2x2中，k＝＝(－1＋Δx＋Δx2)＝－1，故选D.答案：D3.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线⽅程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝()A．2B．1C.D.0解析：由题可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2，故选A.答案：A4．曲线y＝x3＋2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为()A．(－2，－8)B．(1,3)或(－1,1)C．(2,8)D.解析：设P(x0，y0)．则f′(x0)＝＝＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x＝3，∴x0＝±1，∴P(1,3)或P(－1,1)．故选B.答案：B5．设曲线y＝x2＋x＋在点(1,3)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则实数a＝()A．2B．－2C．－D.解析：f′(1)＝＝2，∴曲线y＝x2＋x＋在点(1,3)处的切线的斜率为2，⼜因为它与直线ax＋y＋1＝0垂直，∴a＝，故选D.答案：D6．(2019·陵川⾼⼆⽉考)已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.解析：∵f′(1)＝2，⼜＝＝(aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a ＝1.⼜f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴＝2.答案：27．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜⾓的余弦值为________．解析：依题意k＝＝＝－1，∴曲线在处的切线的倾斜⾓为π，其余弦值为cosπ＝－.答案：－※（选做题）8．已知直线l：y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切．求a的值及切点的坐标．解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，∵f′(x)＝＝3x2－4x.由导数的⼏何意义，得3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2.∴切点的坐标为或(2,3)，当切点为时，有＝4×＋a，∴a＝.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5.∴所求a的值为a＝，切点为；a＝－5，切点为(2,3)．1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1．若f(x)＝cos，则f′(x)等于()A.B．0C.D.－答案：B2．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝2x，则y′＝2x；④若f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，则f′(x)＝.其中正确的有()A．①②B．①②③C．②③④D.①②④答案：D3．正弦曲线y＝sinx上⼀点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜⾓的范围是()A.B．C.∪D.∪解析：设P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0，∴直线l的斜率k＝cosx0∈[－1,1]．⼜直线l的倾斜⾓α∈[0，π)，∴0≤α≤或≤α＜π.故选C.答案：C4．(2019·⼭⼤附中⾼⼆检测)在平⾯直⾓坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为⾃然对数的底数)，则点A的坐标是________．解析：∵y＝lnx，∴y′＝(x>0)，设A(x0，lnx0)则在点A处的切线⽅程为y－lnx0＝(x－x0)，化简为y＝x＋lnx0－1，过点(－e，－1)，∴－1＝(－e)＋lnx0－1，∴lnx0－＝0，∴x0＝e时⽅程成⽴，⼜∵y＝lnx0－递减，∴⽅程有唯⼀解x0＝e，A(e,1)．答案：(e,1)5．(2019·武威⼀中阶段测试)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．解析：设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln3，所以k＝3x0ln3，所以y＝(3x0ln3)·x，⼜因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，所以x0＝＝log3e.所以k＝eln3.答案：eln36．(2019·⾃贡富顺⼀中⾼⼆期中)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满⾜f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线⽅程．解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，⼜f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，⼜f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从⽽f(1)＝－.⼜f′(1)＝2×－＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线⽅程为y－－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.※（选做题）7．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－都相切，求实数a的值．解：由y＝x3，得y′＝3x2，设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则在点(x0，x)处的切线⽅程为y－x＝3x(x－x0)，∵点(1,0)在切线上，∴－x＝3x(1－x0)，解得x0＝0或x0＝.当x0＝0时，切线⽅程为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋x－相切，联⽴Δ＝0可得a＝－；当x0＝时，切线⽅程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－相切，同理可得a＝.综上所述，a的值为－或.1.3.1函数的单调性与导数1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f(x)的单调递增区间为()A．(－1,0)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(1，＋∞)D.(2，＋∞)解析：f(x)＝x2－2x－4lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)>0，得x>2，∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，故选D.答案：D2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－)∪(，＋∞)B．(－，)C．(－∞，－]∪[，＋∞)D．[－，]解析：∵f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上单调，∴f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成⽴，∴Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－≤a≤，即实数a的取值范围是[－，]故选D.答案：D3．(2019·南阳⼀中⾼⼆开学)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)解析：构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，⼜f′(x)>2.∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，∴x>－1.答案：B4．(2019·仲元中学⾼⼆期中)若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则实数b的取值范围是________．解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.答案：(0，＋∞)5．若函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式x·f(x)＜0的解集为______________．解析：∵f(x)在(0，＋∞)上满⾜f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，⼜f(x)为偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数，⼜f(－1)＝0，∴f(1)＝0，∴x·f(x)＜0的解集为0＜x＜1或x＜－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)6．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是________．解析：由f′(x)＝＝≥0，解得－1≤x≤1.即f(x)的单调递增区间为[－1,1]由题意得解得－1nx；(2)f(x)＝.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为x＞0，所以＞0，由f′(x)＞0得x＞，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0得x＜，⼜x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex＞0，(x－2)2＞0.由f′(x)＞0得x＞3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)＜0得x＜3，⼜定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3)．8．(2019·龙岩⼀中⾼⼆⽉考)已知函数f(x)＝x＋－2lnx，a∈R，讨论函数f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－－＝.①当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时，得x2－2x－a≥0，则f′(x)≥0.∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝4＋4a>0，即a>－1时，令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，解得x1＝1－，x2＝1＋>0.(ⅰ)若－10，＋∞)，∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上单调递增，在(1－，1＋)上单调递减．(ⅱ)若a>0，则x1<0，当x∈(0,1＋)时，f′(x)<0，当x∈(1＋，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(0,1＋)上单调递减，在区间(1＋，＋∞)上单调递增．综上所述：①a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②－1∞)上递增，在(1－，1＋)上递减；③a>0时，f(x)在(0,1＋)上递减，(1＋，＋∞)上递增．※（选做题）9．试求函数f(x )＝kx－lnx的单调区间．解：函数f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝.当k≤0时，kx －1＜0，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k＞0时，由f′(x)＜0，即＜0，解得0＜x＜；由f′(x)＞0，即＞0，解得x＞.∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，⽆单调递增区间；当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.1.3.2函数的极值与导数1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则实数a＝()A．2B．3C．4D．5解析：∵f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝27－6a＋3＝0，解得a＝5，故选D.答案：D2．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极⼩值，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(－∞，3)C．(0，＋∞)D.解析：y′＝3x2－2a.∵有极值，∴a>0.令3x2－2a＝0，解得x＝±.∵函数在(0,1)内有极⼩值．∴0＜＜1，解得0＜a＜.答案：D3．设a∈R，若函数y＝eax＋3x有⼤于零的极值点，则()A．a>－3B．a<－3C．a>－D.a<－解析：∵y＝eax＋3x，∴y′＝eax·a＋3，当a≥0时，y′>0，不符合题意；当a<0时，由y′＝0，得x＝ln.∵函数y＝eax＋3x有⼤于零的极值点，∴ln>0，解得a<－3，故选B.答案：B4．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e)上的极⼤值为()A．－eB．－1C．1－eD.0解析：∵f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x＝1，⼜∵当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜e时，f′(x)＜0，∴f(x)在x＝1处取得极⼤值，f(1)＝ln1－1＝－1.故选B.答案：B5．(2019·东厦中学⾼⼆质量检测)若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极⼩值，则a的取值范围为________．解析：f′(x)＝3x2－3a.当a≤0时，在区间(0,1)上⽆极值．当a>0时，令f′(x)>0，解得x>或x<－.令f′(x)<0，解得－cosx＋x在(0，π)上的极⼤值为________．解析：f′(x)＝－2sinx＋1，令f′(x)＝0，得x＝或x＝π.x，f′(x)，f(x)取值情况如下表：xπf′(x)＋0－0＋f(x) 极⼤值 极⼩值 ∴f(x)极⼤值＝f＝2cos＋＝2×＋＝＋.答案：＋7．已知函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的极⼩值点是x＝－1，则a＝________.解析：∵f(x)＝x3－2ax2＋a2x，∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝(3x－a)(x－a)．由f′(x)＝0，得x＝或x＝a.∵f(x)的极⼩值点是x＝－1，∴a<0，∴>a，∴为极⼩值点，即＝－1，∴a＝－3.答案：－38．已知函数f(x)＝x3－2x2＋x＋1.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线⽅程；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)f(2)＝23－2×22＋2＋1＝3，∵f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(2)＝3×22－4×2＋1＝5，∴所求切线⽅程为y－3＝5(x－2)，即y＝5x－7.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x) 极⼤值 极⼩值1 由上表知，f(x)的极⼤值为f＝，f(x)的极⼩值为f(1)＝1.9．设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)试确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，所以f′(x)＝2a(x－5)＋(x>0)．令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线⽅程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2或x2＝3.当0＜x＜2或x＞3时，f ′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极⼤值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极⼩值f(3)＝2＋6ln3.10．(2019·郑州⼀中⾼⼆期中)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有⼀个交点？解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－－－，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x) 极⼤值 极⼩值 所以f(x)的极⼤值是f－＝＋a，极⼩值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取⾜够⼤的正数时，有f(x)>0，x取⾜够⼩的负数时，有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴⾄少有⼀个交点．由(1)知f(x)极⼤值＝f－＝＋a，f(x)极⼩值＝f(1)＝a－1.因为曲线y＝f(x)与x轴仅有⼀个交点，所以f(x)极⼤值<0或f(x)极⼩值>0，即＋a<0或a－1>0，所以a<－或a>1，所以当a∈－∞，－∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有⼀个交点．11．已知f(x)＝(x2－a)ex，x∈R.(1)若a＝3，求f(x)的单调区间和极值；(2)已知x1，x2是f(x)的两个不同的极值点，且|x1＋x2|≥|x1x2|，求实数a的取值的集合M.解：(1)∵a＝3，∴f(x)＝(x2－3)ex，∴f′(x)＝(x2＋2x－3)ex.令f′(x)＝0，解得x＝－3或1.当x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－3,1)时，f′(x)<0.∴f(x)的增区间为(－∞，－3][1，＋∞)；减区间为[－3,1]．f(x)的极⼤值为f(－3)＝6e－3；极⼩值为f(1)＝－2e.(2)f′(x)＝(x2＋2x－a)ex，令f′(x)＝0.即x2＋2x－a＝0.由题意两根为x1，x2，∴x1＋x2＝－2，x 1x2＝－a，故－2≤a≤2.⼜Δ＝4＋4a>0，∴－1y＝的最⼤值为()A．e－1B．eC．e2D.解析：y′＝＝.由y′>0得，1－lnx>0，解得0得，1－lnx<0，解得x>e.∴y＝在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减．f(e)为极⼤值，也是最⼤值，且f(e)＝＝e－1.答案：A2．函数f(x)＝x3－3x2＋m在区间[－1,1]上的最⼤值是2，则常数m＝()A．－2B．0C．2D.4解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0；当0期中)已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若?x0∈[－1,4]使f(x0)＝2a成⽴，则实数a的取值范围是()A.B．C．[2,16]D.解析：f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，可化为x－x＋6x0＝a，设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2，∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.故选D.答案：D4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于M，N，则当|MN|最⼩时t的值为()A．1B．C.D.解析：|MN|＝f(t)－g(t)＝t2－lnt，令h(t)＝t2－lnt(t>0)，∴h′(t)＝2t－＝＝.当0当t>时，h′(t)>0，h(t)为增函数，∴h(t)min＝h＝－ln，故|MN|最⼩时t＝，故选D.答案：D5．已知函数f(x)＝x＋xlnx，若m∈Z且f(x)－m(x－1)>0对任意的x>1恒成⽴，则m的最⼤值是()A．2B．3C．4D.5解析：依题意可得，m1)，则g′(x)＝，令φ(x)＝x－2－lnx，(x>1)，则φ′(x)＝1－>0，所以φ(x)＝x－2－lnx在(1，＋∞)上单调递增，⼜φ(3)＝1－ln3<0，φ(4)＝2－2ln2>0，故存在x0∈(3,4)，使φ(x0)＝x0－2－lnx0＝0，从⽽g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，即g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，故m已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成⽴，则实数a的取值范围是________．解析：设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－或x＝0.⼜f(－1)＝1，f－＝，f(0)＝1，f(1 )＝9，故f(x)在[－1,1]上的最⼩值为1.故a≤1.答案：(－∞，1]7．(2019·承德⾼三模拟)定义在R上的函数f(x)满⾜f′(x)>1－f(x)，f(0)＝6，其中f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex＋5(其中e为⾃然对数的底数)的解集为________．解析：不等式exf(x)>ex＋5可化为exf(x)－ex－5>0.设g(x)＝exf(x)－ex－5，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，所以函数g(x)在定义域R上单调递增．⼜g(0)＝0，所以g(x)>0的解集为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)8．已知函数f(x)＝2lnx＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成⽴，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx.令g(x)＝2x2－2x2lnx(x>0)，则g′(x)＝2x(1－2lnx)．由g′(x)＝0得x＝e，且00；当x>e时，g′(x)<0，∴x＝e时，g(x)取最⼤值g(e)＝e，∴a≥e，即实数a的取值范围是[e，＋∞)．答案：[e，＋∞)9．已知函数f(x)＝x·(lnx＋ax＋1)－ax＋1.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的最⼤值为2，求实数a的值．解：(1)若f(x)在[1，＋∞)上是减函数，则f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成⽴，即f′(x)＝lnx＋2ax＋2－a≤0，∴a≤－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，∵x≥1，∴g′(x)>0，∴g(x)单调递增，∴g(x)≥g(1)，⼜g(1)＝－2，∴a≤－2.故实数a的取值范围为(－∞，－2]．(2)由f(1)＝2，要使f(x)max＝2，故f(x)的递减区间是[1，＋∞)，递增区间是(0,1)，∴f′(1)＝0，即ln1＋2a＋2－a＝0，∴a＝－2.10．(2019·镇海中学⾼⼆期末)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最⼩值．解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.令x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x) －ek－1 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最⼩值为f(0)＝－k；当0以f(x)在区间[0,1]上的最⼩值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．f(x)min＝f(1)＝(1－k)·e；综上，当k≤1时，f(x)min＝－k，当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1，当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)·e.11．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]都有f(x)，因为函数f(x)在x＝1及x＝2取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0.即解得a＝－3，b＝4.经检验，符合题意．(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以，当x＝1时，f(x)取得极⼤值f(1)＝5＋8c，⼜f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最⼤值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]有f(x)9，因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．12．(2019·北京卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋x.(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线⽅程；(2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x；(3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最⼤值为M(a)．当M(a)最⼩时，求a的值．解：(1)由f(x)＝x3－x2＋x得f′(x)＝x2－2x＋1.令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝.⼜f(0)＝0，f＝，所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线⽅程是y＝x与y－＝x－，即y ＝x与y＝x－.(2)证明：令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2,4]．由g(x)＝x3－x2得g′(x)＝x2－2x.令g′(x)＝0，得x＝0或x＝.当x变化时，g′(x)，g(x)的情况如下：x－2(－2,0)00，，44g′(x)＋－＋g(x)－6 0 － 0所以g(x)的最⼩值为－6，最⼤值为0.故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)由(2)知，当a<－3时，M(a)≥F(0)＝|g(0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)≥F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3.综上，当M(a)最⼩时，a＝－3.1.4⽣活中的优化问题举例1．已知某⽣产⼚家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该⽣产⼚家获取最⼤年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D.7万件解析：∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍)．⼜当0＜x＜9时，y′＞0，当x＞9时，y′＜0，∴x＝9时，y取得最⼤值．故选C.答案：C2．(2019·清⽔六中⾼⼆⽉考)要做⼀个圆锥形的漏⽃，其母线长为20cm，要使其体积最⼤，则⾼为()A.cmB．cmC.cmD.cm解析：设圆锥的⾼为xcm，则底⾯半径为cm.其体积为V＝πx(202－x2)(0′>0；当箱的底⾯边长为()A．5cmB．6cmC．7cmD.8cm解析：设⽔箱的底⾯边长为xcm，∵容积为256，∴⽔箱的⾼为，∴⽔箱的表⾯积f(x)＝4x·＋x2＝x2＋，f′(x)＝2x－.令f′(x)＝0，得x＝8，⼜当0＜x＜8时，f′(x)＜0，当x＞8时，f′(x)＞0，∴当x＝8时，f(x)取得最⼩值．答案：D4．某公司为了加⼤产品的宣传⼒度，准备⽴⼀块⼴告牌，在其背⾯制作⼀个形如△ABC的⽀架，要求∠ACB＝60°，BC的长度⼤于1m，且AC⽐AB长0.5m．为节省材料，要求AC的长度越短越好．(1)设BC ＝xm，AC＝ym，将y写成关于x的函数，并写出定义域；(2)当BC的长度为多少时，AC最短，求出最短长度．解：(1)由题设知BC＝xm(x>1)，AC＝ym，则AB＝y－.在△ABC中，由余弦定理，得2＝y2＋x2－2xycos60°.所以y＝，定义域为{x|x>1}．(2)y′＝＝.由y′＝0，得x＝1＋.因为当11＋时，y′>0，所以当x＝1＋时，y有最⼩值2＋.故AC的最短长度为(2＋)m，此时BC的长度为m.5．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每⽇的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满⾜关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每⽇可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每⽇销售该商品所获得的利润最⼤．解：(1)∵x＝5时，y＝11，∴＋10＝11，∴a＝2.(2)由(1)可知，该商品每⽇的销售量y＝＋10(x－6)2，∴商场每⽇销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，(3＜x＜6)．从⽽，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4) (x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极⼤值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极⼤值点，也是最⼤值点．∴当x＝4时，函数f(x)取得最⼤值，且最⼤值等于42.∴当销售价格为4元/千克时，商场每⽇销售该商品所获得的利润最⼤．第1页共2页。
高考数学复习知识点讲解教案第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算
− e ,即 =
= e,所以 e, 1 ,
.
e
由曲线 = ln 的对称性，知另一条切线的方程为 =
− .
e
[总结反思]
（1）曲线 = 在点 0 , 0 处的切线方程为 − 0 = ′ 0 − 0 ;
（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.
1.变化率与导数
（1）
概念
几何意
义
平均变化率：
0 +Δ − 0
Δ
对于函数 = ,把比值
=________________叫作函数
= 从
Δ
Δ
平均
0 到0 + Δ的_______变化率
斜率
函数 = 在区间[0 , 0 + Δ]上对应的图象的两端点连线的_______
=− +1
sin
π
3.［教材改编］ 曲线 =
在点 π, 0 处的切线方程为______________.
[解析] 由题得′ =
则切线方程为 =
cos −sin
，∴
2
1
−
π
切线的斜率 = ′|=π =
− π ，即 =
−
π
+ 1.
1
− ，
π
题组二 常错题
◆ 索引：求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆′ 0 与[ 0 ]′;忽视
2
2cos
−
2
2sin
= 2cos 2.
5.已知
=
2
−8
+ 3′ 2 ，则 2 =_____.
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
§14.导数知识要点1.导数(导函数的简称)的定义：设X 。
是函数y f(x)定义域的一点，如果自变量X 在X 。
处 有增量 x ，则函数值y 也引起相应的增量 y f (x 0 x) f(x 0)；比值 丄 止__x) f(xo)称为函数y 仁刈在点％。
到X 。
x 之间的平均变化率；如果极限 x X lim - lim f(X0 -------------- X)_f (Xo)存在，则称函数y f (x)在点x 。
处可导，并把这个极限叫做x 0 x x 0 x y f (x)在 x 0处的导数，记作 f (x 0)或 y |xX Q，即 f (x 。
)= lim y limf -(X° --- X)_.X 。
x x 。
x注：① X 是增量，我们也称为改变量”，因为X 可正，可负，但不为零.②以知函数y f(x)定义域为A ， y f '(x)的定义域为B ，则A 与B 关系为A B.注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数 ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数2.函数y⑴函数y 可以证明，如果 事实上，令x f (X)在点X o 处连续与点X o 处可导的关系：X o 处连续是y f (x)在点X o 处可导的必要不充分条件 y f (x)点x 0处连续. o.f (x)在点 y xof(x)在点X o 处可导，那么 X ，则XX o 相当于 是 lim f (x)X X 。
lim X 。
f(x 。
x) lim [ f(xX 。
X 。
) f(x 。
) f(x 。
)] 叫⑵如果y f (X 。
X ) f(x 。
) X f(x)点X o 处连续,f(x 。
)] 那么y例: f(x) |x|在点X o 。
处连续,f(X oX) f(X o ) lim lim f(X o )xx o x of(x)在点X o 处可导，是不成立的.y ，当X X0。
f (X 。
)o f(x 。
函数与导数的复习
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0.
所以对任意x R，有f(x)-x2+x=x0.
在上式中令x=x0,有f(x0)-x +x0=x0,
又因为f(x0)=x0，所以 =0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)-x2+x=0，即
简析：令 即可得（1）
令 ， 即可得（2）
设 ，则
即可得（3）
例４．函数ƒ(x)的定义域为R，并满足以下条件：
1对任意x R，ƒ(x)﹥０；
2对任意ｘ，ｙ R，有ƒ(xｙ)＝[ƒ(x)]
3ƒ( )﹥１
(Ⅰ)求ƒ(０)的值；
(Ⅱ)求证：ƒ(x)在Ｒ上是单调增函数；
(Ⅲ)若a﹥b﹥c﹥０，且b =ac,求证： ƒ(a)+ƒ(c)﹥2ƒ(b)
解：(1)由题意知 an=n+ ，∴bn=2000( )
(2)∵函数y=2000( )x(0<a<10)递减，∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2
则以bn、bn+1、bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，
即( )2+( )－1>0，解得a<－5(1+ )或a>5( －1) ∴5( －1)<a<10
如：
求： 的值域
3）消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x)；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法
3．值域：
常用求法 配方法、复合函数法、分离系数法（ 、单调性法、数形结合法、换元法（ ）、
完整版)高中数学导数知识点归纳总结
完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义：对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的增量。
函数的连续性和可导性的关系：如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必然连续。
但是，反过来并不成立，即函数在某点处连续并不一定可导。
导数的几何意义：函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。
因此，切线方程为：y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中，$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。
导数的四则运算法则：对于任意可导函数f(x)和g(x)，有以下四则运算法则：1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中，除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用：导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。
函数单调递增的条件是导数大于0，函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0，但反之不一定成立。
函数的最值可以通过求导数来确定。
注①：若点x是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立。
对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章导数及其应用1.1 导数的概念1．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则实数a的值是()A.193B．163 C.133 D.103解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(－1)＝limΔx→0f(－1＋Δx)－f(－1)Δx＝limΔx→0a(－1＋Δx)3＋3(－1＋Δx)2＋2－(－a＋5)Δx＝limΔx→0(aΔx2－3aΔx＋3a＋3Δx－6)＝3a－6＝4，解得a＝103，故选D.答案：D2．(2019·杭州二中月考)设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于()A．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D.f ′(3)解析：limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx＝13limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝13f ′(1)．答案：C3．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为() A．1 000 m/s B．500 m/s C．1 600 m/s D.800 m/s解析：设运动方程为s＝12at2，∴ΔsΔt＝12a(t0＋Δt)2－12at2Δt＝at0＋12aΔt，∴瞬时速度v＝limΔx→0ΔsΔt＝at0＝5×105×1.6×10－3＝800 m/s，故选D.答案：D4．设f(x)在R上可导，已知f(－x)在x＝a处的导数为A，则f(x)在x＝－a处的导数为________．解析：∵f(－x)在x＝a处的导数为A，∴A＝limΔx→0f[－(a＋Δx)]－f(－a)Δx，∴f (x )在x ＝－a 处的导数f ′(－a )＝lim Δx →0 f (－a －Δx )－f (－a )－Δx ＝－A . 答案：－A5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ＋1，求速度为零的时刻．解：∵Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )＝13(t ＋Δt )3－32(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－32t 2＋2t ＋1＝t 2Δt ＋t Δt 2＋13Δt 3－3t Δt －32Δt 2＋2Δt ， ∴Δs Δt ＝t 2＋t Δt ＋13Δt 2－3t －32Δt ＋2， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝t 2－3t ＋2， 由t 2－3t ＋2＝0，得t ＝1或t ＝2. 所以速度为零的时刻为1秒末和2秒末． 6．用定义求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx－1 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝(1－1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx (1＋1＋Δx )＝1－(1＋Δx )1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx )，∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )，∴lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.即函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.1.1.2 导数的几何意义1．(2019·鄂东南九校期中)设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1，－4) D.(2,8)或(－1，－4) 解析：f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝3x 2＋1. 由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4，设P 0(x 0，y 0)，则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．故选C.答案：C2．下列曲线中，在x ＝1处切线的倾斜角为3π4的是( )A ．y ＝x 2－3x B ．y ＝x ln x C ．y ＝sin πx D.y ＝x 3－2x 2 解析：∵曲线在x ＝1处切线的倾斜角为34π，∴切线的斜率k ＝－1，在y ＝x 3－2x 2中，k ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3－2(1＋Δx )2－(－1)Δx＝lim Δx →0 (－1＋Δx ＋Δx 2)＝－1，故选D. 答案：D3.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．1 C.12D.0解析：由题可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，∴f (5)＋f ′(5)＝2，故选A. 答案：A4．曲线y ＝x 3＋2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(1,3)或(－1,1)C ．(2,8) D.)81,21(--解析：设P (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋2－(x 30＋2)Δx＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0 [3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20＝3，∴x 0＝±1，∴P (1,3)或P (－1,1)．故选B. 答案：B5．设曲线y ＝x 2＋x ＋1x 在点(1,3)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则实数a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：f ′(1)lim Δx →0(1＋Δx )2＋(1＋Δx )＋11＋Δx－3Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋Δx －11＋Δx ＝2， ∴曲线y ＝x 2＋x ＋1x 在点(1,3)处的切线的斜率为2， 又因为它与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，∴a ＝12，故选D. 答案：D6．(2019·陵川高二月考)已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________. 解析：∵f ′(1)＝2，又lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－aΔx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.又f (1)＝a ＋b ＝3，∴b ＝2.∴b a ＝2. 答案：27．曲线y ＝12x 2－2x 在点)23,1(-处的切线的倾斜角的余弦值为________．解析：依题意k ＝lim Δx →0 12(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12Δx －1＝－1， ∴曲线在)23,1(-处的切线的倾斜角为34π，其余弦值为cos 34π＝－22.答案：－22※（选做题）8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δ x )3－2(x ＋Δ x )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δ x＝3x 2－4x . 由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5.∴所求a 的值为a ＝12127，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927；a ＝－5，切点为(2,3)．1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1．若f (x )＝cos π6，则f ′(x )等于( )A.32 B ．0 C.12 D.－12 答案：B2．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝x ，则y ′＝12x ；③若y ＝2x ，则y ′＝2x ；④若f (x )＝log a x (a＞0且a ≠1)，则f ′(x )＝log a ex .其中正确的有( )A ．①②B ．①②③C ．②③④ D. ①②④ 答案：D3．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析：设P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0，∴直线l 的斜率k ＝cos x 0∈[－1,1]．又直线l 的倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α≤π4或3π4≤α＜π.故选C.答案：C4．(2019·山大附中高二检测)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．解析：∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x (x >0)，设A (x 0，ln x 0)则在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，化简为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1，过点(－e ，－1)，∴－1＝1x 0(－e)＋ln x 0－1，∴ln x 0－ex 0＝0，∴x 0＝e 时方程成立，又∵y ＝ln x 0－ex 0递减，∴方程有唯一解x 0＝e ，A (e,1)． 答案：(e,1)5．(2019·武威一中阶段测试)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝3x 的切线，则k 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)．因为y ′＝3x ln 3，所以k ＝3x 0ln 3，所以y ＝(3x 0ln 3)·x ， 又因为(x 0，y 0)在曲线y ＝3x 上，所以3x 0ln 3·x 0＝3x 0， 所以x 0＝1ln 3＝log 3e.所以k ＝eln 3. 答案：eln 36．(2019·自贡富顺一中高二期中)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3. 令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32. 则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.※（选做题）7．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －94都相切，求实数a 的值．解：由y ＝x 3，得y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在点(x 0，x 30)处的切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， ∵点(1,0)在切线上，∴－x 30＝3x 20(1－x 0)，解得x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －94相切，联立Δ＝0可得a ＝－2516； 当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －94相切，同理可得 a ＝12.综上所述，a的值为－2516或12.1.3.1 函数的单调性与导数1．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为()A．(－1,0) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(1，＋∞) D.(2，＋∞)解析：f(x)＝x2－2x－4ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x－2－4x＝2(x2－x－2)x＝2(x＋1)(x－2)x，由f ′(x)>0，得x>2，∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，故选D.答案：D2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－3，3)C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－3，3]解析：∵f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上单调，∴f ′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围是[－3，3]故选D.答案：D3．(2019·南阳一中高二开学)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2.则f(x)>2x ＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)解析：构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)>2x＋4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(－1)，∴x>－1.答案：B4．(2019·仲元中学高二期中)若函数y＝－43x3＋bx有三个单调区间，则实数b的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.答案：(0，＋∞)5．若函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )＞0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式x ·f (x )＜0的解集为______________．解析：∵f (x )在(0，＋∞)上满足f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数，又f (－1)＝0，∴f (1)＝0，∴x ·f (x )＜0的解集为0＜x ＜1或x ＜－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1) 6．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由f ′(x )＝4(x 2＋1)－2x ·4x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2≥0，解得－1≤x ≤1.即f (x )的单调递增区间为[－1,1]由题意得⎩⎨⎧m ≥－1，2m ＋1≤1，m <2m ＋1.解得－1<m ≤0.答案：(－1,0]7．求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝x 2－ln x ； (2)f (x )＝ex x －2.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .因为x ＞0，所以2x ＋1x ＞0，由f ′(x )＞0得x ＞22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )＜0得x ＜22，又x ∈(0，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.(2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x ＞0，(x －2)2＞0.由f ′(x)＞0得x＞3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x)＜0得x＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3)．8．(2019·龙岩一中高二月考)已知函数f(x)＝x＋ax－2ln x，a∈R，讨论函数f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－ax2－2x＝x2－2x－ax2.①当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时，得x2－2x－a≥0，则f′(x)≥0.∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝4＋4a>0，即a>－1时，令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，解得x1＝1－1＋a，x2＝1＋1＋a>0.(ⅰ)若－1<a≤0，则x1＝1－1＋a≥0，∵x∈(0，＋∞)，∴f(x)在(0,1－1＋a)，(1＋1＋a，＋∞)上单调递增，在(1－1＋a，1＋1＋a)上单调递减．(ⅱ)若a>0，则x1<0，当x∈(0,1＋1＋a)时，f′(x)<0，当x∈(1＋1＋a，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(0,1＋1＋a)上单调递减，在区间(1＋1＋a，＋∞)上单调递增．综上所述：①a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②－1<a<0时，f(x)在(0,1－1＋a)上递增，(1＋1＋a，＋∞)上递增，在(1－1＋a，1＋1＋a)上递减；③a>0时，f(x)在(0,1＋1＋a)上递减，(1＋1＋a，＋∞)上递增．※（选做题）9．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．解：函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－1x＝kx－1x.当k≤0时，kx－1＜0，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k＞0时，由f′(x)＜0，即kx－1x＜0，解得0＜x＜1 k；由f′(x)＞0，即kx－1x＞0，解得x＞1k.∴当k ＞0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当k ＞0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞. 1.3.2 函数的极值与导数1．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则实数a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3. ∵f (x )在x ＝－3处取得极值， ∴f ′(－3)＝27－6a ＋3＝0， 解得a ＝5，故选D. 答案：D2．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞) D.)23,0(解析：y ′＝3x 2－2a .∵有极值，∴a >0. 令3x 2－2a ＝0，解得x ＝±2a3.∵函数在(0,1)内有极小值． ∴0＜2a 3＜1，解得0＜a ＜32.答案：D3．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13 D.a <－13 解析：∵y ＝e ax ＋3x ，∴y ′＝e ax ·a ＋3， 当a ≥0时，y ′>0，不符合题意； 当a <0时，由y ′＝0，得x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a .∵函数y ＝e ax ＋3x 有大于零的极值点， ∴1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a >0，解得a <－3，故选B.答案：B4．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A ．－eB ．－1C ．1－e D.0解析：∵f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又∵当0＜x ＜1 时，f ′(x )＞0，当1＜x ＜e 时，f ′(x )＜0，∴f (x )在x ＝1 处取得极大值，f (1)＝ln 1－1＝－1.故选B.答案：B5．(2019·东厦中学高二质量检测)若函数f (x )＝x 3－3ax ＋1在区间(0,1)内有极小值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a .当a ≤0时，在区间(0,1)上无极值．当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >a 或x <－a .令f ′(x )<0，解得－a <x <a .若f (x )在(0,1)内有极小值，则0<a <1.解得0<a <1. 答案：(0,1)6．函数f (x )＝2cos x ＋x 在(0，π)上的极大值为________． 解析：f ′(x )＝－2sin x ＋1，令f ′(x )＝0， 得x ＝π6或x ＝56π.x ，f ′(x )，f (x )取值情况如下表：∴f 答案：3＋π67．已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的极小值点是x ＝－1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x ， ∴f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝(3x －a )(x －a )． 由f ′(x )＝0，得x ＝a3或x ＝a .∵f (x )的极小值点是x ＝－1，∴a <0，∴a3>a ， ∴a 3为极小值点，即a3＝－1，∴a ＝－3. 答案：－38．已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)f (2)＝23－2×22＋2＋1＝3， ∵f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， ∴f ′(2)＝3×22－4×2＋1＝5，∴所求切线方程为y －3＝5(x －2)，即y ＝5x －7. (2)由(1)知f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝3127，f (x )的极小值为f (1)＝1.9．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)试确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以 f ′(x )＝2a (x －5)＋6x (x >0)．令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2或x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.10．(2019·郑州一中高二期中)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－13或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的极大值是f－13＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f－13＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.因为曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，所以f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，所以a<－527或a>1，所以当a∈－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．11．已知f(x)＝(x2－a)e x，x∈R.(1)若a＝3，求f(x)的单调区间和极值；(2)已知x1，x2是f(x)的两个不同的极值点，且|x1＋x2|≥|x1x2|，求实数a的取值的集合M.解：(1)∵a＝3，∴f(x)＝(x2－3)e x，∴f ′(x)＝(x2＋2x－3)e x.令f ′(x)＝0，解得x＝－3或1.当x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－3,1)时，f′(x)<0.∴f(x)的增区间为(－∞，－3][1，＋∞)；减区间为[－3,1]．f(x)的极大值为f(－3)＝6e－3；极小值为f(1)＝－2e.(2)f ′(x)＝(x2＋2x－a)e x，令f ′(x)＝0.即x2＋2x－a＝0.由题意两根为x1，x2，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝－a，故－2≤a≤2.又Δ＝4＋4a>0，∴－1<a≤2.∴M＝(－1,2]．1.3.3 函数的最大(小)值与导数1．函数y ＝ln xx 的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2 D.103 解析：y ′＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2. 由y ′>0得，1－ln x >0，解得0<x <e ； 由y ′<0得，1－ln x <0，解得x >e.∴y ＝ln xx 在(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减．f (e)为极大值，也是最大值，且f (e)＝ln ee ＝e －1. 答案：A2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋m 在区间[－1,1]上的最大值是2，则常数m ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D.4 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)， 当－1≤x <0时，f ′(x )>0；当0<x ≤1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为m ，所以m ＝2.故选C. 答案：C3．(2019·吉林省实验中学高二期中)已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋a ，若∃x 0∈[－1,4]使f (x 0)＝2a 成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－232，52 C ．[2,16] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－232，16 解析：f (x 0)＝2a ，即x 30－92x 20＋6x 0＋a ＝2a ， 可化为x 30－92x 20＋6x 0＝a ，设g (x )＝x 3－92x 2＋6x ，则g ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝ 3(x －1)(x －2)＝0，得x ＝1或x ＝2，∴g (1)＝52，g (2)＝2，g (－1)＝－232，g (4)＝16. 由题意，g (x )min ≤a ≤g (x )max ，∴－232≤a ≤16.故选D. 答案：D4．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1B ．12 C.52 D.22解析：|MN |＝f (t )－g (t )＝t 2－ln t ， 令h (t )＝t 2－ln t (t >0)，∴h ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎪⎫t －22⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22t .当0<t <22时，h ′(t )<0，h (t )为减函数， 当t >22时，h ′(t )>0，h (t )为增函数，∴h (t )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝12－ln 22，故|MN |最小时t ＝22，故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若m ∈Z 且f (x )－m (x －1)>0对任意的x >1恒成立，则m 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4 D.5 解析：依题意可得，m <⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x ln x x －1min ， 设g (x )＝x ＋x ln x x －1，(x >1)，则g ′(x )＝x －2－ln x(x －1)2， 令φ(x )＝x －2－ln x ，(x >1)，则φ′(x )＝1－1x >0， 所以φ(x )＝x －2－ln x 在(1，＋∞)上单调递增， 又φ(3)＝1－ln 3<0，φ(4)＝2－2ln 2>0， 故存在x 0∈(3,4)，使φ(x 0)＝x 0－2－ln x 0＝0，从而g (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，即g (x )min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0，故m <x 0∈(3,4)，即m 的最大值是3.故选B. 答案：B6．(2019·舒兰市一中高二月考)已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－23或x＝0.又f(－1)＝1，f－23＝4327，f(0)＝1，f(1)＝9，故f(x)在[－1,1]上的最小值为1.故a≤1.答案：(－∞，1]7．(2019·承德高三模拟)定义在R上的函数f(x)满足f ′(x)>1－f(x)，f(0)＝6，其中f′(x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x)>e x＋5(其中e为自然对数的底数)的解集为________．解析：不等式e x f(x)>e x＋5可化为e x f(x)－e x－5>0.设g(x)＝e x f(x)－e x－5，则g′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)－1]>0，所以函数g(x)在定义域R上单调递增．又g(0)＝0，所以g(x)>0的解集为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)8．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.令g(x)＝2x2－2x2ln x(x>0)，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0得x＝e 1 2，且0<x<e 12时，g′(x)>0；当x>e12时，g′(x)<0，∴x＝e 12时，g(x)取最大值g(e12)＝e，∴a≥e，即实数a的取值范围是[e，＋∞)．答案：[e，＋∞)9．已知函数f(x)＝x·(ln x＋ax＋1)－ax＋1.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的最大值为2，求实数a的值．解：(1)若f(x)在[1，＋∞)上是减函数，则f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即f′(x)＝ln x＋2ax＋2－a≤0，∴a≤－ln x＋2 2x－1.设g(x)＝－ln x＋22x－1，则g′(x)＝2＋1x＋2ln x(2x－1)2，∵x≥1，∴g′(x)>0，∴g(x)单调递增，∴g(x)≥g(1)，又g(1)＝－2，∴a≤－2.故实数a的取值范围为(－∞，－2]．(2)由f(1)＝2，要使f(x)max＝2，故f(x)的递减区间是[1，＋∞)，递增区间是(0,1)，∴f′(1)＝0，即ln 1＋2a＋2－a＝0，∴a＝－2.10．(2019·镇海中学高二期末)已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.令x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：所以，f(x))．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．f(x)min＝f(1)＝(1－k)·e；综上，当k≤1时，f(x)min＝－k，当1＜k＜2时，f(x)min＝－e k－1，当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)·e.11．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2取得极值， 则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0. 即⎩⎨⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得a ＝－3，b ＝4.经检验，符合题意． (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. 所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ， 又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ，则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2， 解得c <－1或c >9，因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 12．(2019·北京卷)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．解：(1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1. 令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83. 又f (0)＝0，f 83＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83，即y ＝x 与y ＝x －6427. (2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]．由g(x)＝14x3－x2得g′(x)＝34x2－2x.令g′(x)＝0，得x＝0或x＝8 3.当x变化时，g′(x)，g(x)的情况如下：故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)由(2)知，当a<－3时，M(a)≥F(0)＝|g(0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)≥F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3.综上，当M(a)最小时，a＝－3.1.4 生活中的优化问题举例1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1 3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件 D.7万件解析：∵y＝－13x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍)．又当0＜x＜9时，y′＞0，当x＞9时，y′＜0，∴x＝9时，y取得最大值．故选C.答案：C2．(2019·清水六中高二月考)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()A.33cm B．1033cm C.1633cm D.2033cm解析：设圆锥的高为x cm，则底面半径为202－x2cm.其体积为V＝13πx(202－x2)(0<x<20)，V′＝13π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝2033，x2＝－2033(舍去)．当0<x<2033时，V′>0；当2033<x <20时，V ′<0.所以当x ＝2033时，V 取最大值．答案：D3．做一个容积为256 cm 3的方底无盖水箱，要使用料最省，水箱的底面边长为( ) A ．5 cm B ．6 cm C ．7 cm D.8 cm 解析：设水箱的底面边长为x cm ， ∵容积为256，∴水箱的高为256x 2，∴水箱的表面积f (x )＝4x ·256x 2＋x 2＝x 2＋1 024x ，f ′(x )＝2x －1 024x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝8， 又当0＜x ＜8时，f ′(x )＜0， 当x ＞8时，f ′(x )＞0，∴当x ＝8时，f (x )取得最小值． 答案：D4．某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC 的支架，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1 m ，且AC 比AB 长0.5 m ．为节省材料，要求AC 的长度越短越好．(1)设BC ＝x m ，AC ＝y m ，将y 写成关于x 的函数，并写出定义域； (2)当BC 的长度为多少时，AC 最短，求出最短长度．解：(1)由题设知BC ＝x m(x >1)，AC ＝y m ，则AB ＝y －12.在△ABC 中，由余弦定理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝y 2＋x 2－2xy cos 60°.所以y ＝x 2－14x －1，定义域为{x |x >1}．(2)y ′＝2x (x －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14(x －1)2＝x 2－2x ＋14(x －1)2.由y ′＝0，得x ＝1＋32.因为当1<x <1＋32时，y ′<0；当x >1＋32时，y ′>0，所以当x ＝1＋32时，y 有最小值2＋ 3. 故AC 的最短长度为(2＋3)m ，此时BC 的长度为⎝⎛⎭⎪⎫1＋32m.5．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，第 21 页 共 21 页 每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)∵x ＝5时，y ＝11，∴a 2＋10＝11，∴a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， ∴商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2，(3＜x ＜6)．从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4∴当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．。