高中数学导数复习(基础版)

第一章导数及其应用

1.1 导数的概念

1．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f ′(－1)＝4，则实数a的值是()

A.19

3B．

16

3 C.

13

3 D.

10

3

解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，

∴f′(－1)＝lim

Δx→0f(－1＋Δx)－f(－1)

Δx

＝lim

Δx→0a(－1＋Δx)3＋3(－1＋Δx)2＋2－(－a＋5)

Δx

＝lim

Δx→0

(aΔx2－3aΔx＋3a＋3Δx－6)

＝3a－6＝4，解得a＝10

3，故选D.

答案：D

2．(2019·杭州二中月考)设函数f(x)可导，则lim

Δx→0f(1＋Δx)－f(1)

3Δx等于()

A．f ′(1) B．3f ′(1) C.1

3f ′(1) D.f ′(3)

解析：lim

Δx→0f(1＋Δx)－f(1)

3Δx＝

1

3lim

Δx→0

f(1＋Δx)－f(1)

Δx＝

1

3f ′(1)．

答案：C

3．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3 s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为() A．1 000 m/s B．500 m/s C．1 600 m/s D.800 m/s

解析：设运动方程为s＝1

2at

2，

∴Δs

Δt＝

1

2a(t0＋Δt)

2－

1

2at

2

Δt＝at0＋

1

2aΔt，

∴瞬时速度v＝lim

Δx→0Δs

Δt＝at0＝5×10

5×1.6×10－3＝800 m/s，故选D.

答案：D

4．设f(x)在R上可导，已知f(－x)在x＝a处的导数为A，则f(x)在x＝－a处的导数为________．解析：∵f(－x)在x＝a处的导数为A，

∴A＝lim

Δx→0f[－(a＋Δx)]－f(－a)

Δx，

∴f (x )在x ＝－a 处的导数f ′(－a )＝lim Δx →0 f (－a －Δx )－f (－a )

－Δx ＝－A . 答案：－A

5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3

2t 2＋2t ＋1，求速度为零的时刻．

解：∵Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )＝13(t ＋Δt )3－32(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫

13t 3－32t 2＋2t ＋1＝

t 2Δt ＋t Δt 2＋13Δt 3－3t Δt －3

2Δt 2＋2Δt ， ∴Δs Δt ＝t 2＋t Δt ＋13Δt 2－3t －3

2Δt ＋2， ∴lim Δt →0 Δs Δt

＝t 2

－3t ＋2， 由t 2－3t ＋2＝0，得t ＝1或t ＝2. 所以速度为零的时刻为1秒末和2秒末． 6．用定义求函数f (x )＝1

x

在x ＝1处的导数． 解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝

1

1＋Δx

－1 ＝

1－1＋Δx 1＋Δx ＝(1－1＋Δx )(1＋1＋Δx )

1＋Δx (1＋1＋Δx )

＝1－(1＋Δx )1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－Δx

1＋Δx (1＋1＋Δx )，

∴Δy Δx ＝

－1

1＋Δx (1＋1＋Δx )

，

∴lim Δx →0 Δy

Δx ＝lim Δx →0

－11＋Δx (1＋1＋Δx )

＝－1

2.

即函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.

1.1.2 导数的几何意义

1．(2019·鄂东南九校期中)设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )

A ．(1,0)

B ．(2,8)

C ．(1,0)或(－1，－4) D.(2,8)或(－1，－4) 解析：f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)

Δx

＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3

Δx

＝3x 2

＋1. 由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4，设P 0(x 0，y 0)，则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．故选C.

答案：C

2．下列曲线中，在x ＝1处切线的倾斜角为3π

4的是( )

A ．y ＝x 2－3

x B ．y ＝x ln x C ．y ＝sin πx D.y ＝x 3－2x 2 解析：∵曲线在x ＝1处切线的倾斜角为3

4π，∴切线的斜率k ＝－1，

在y ＝x 3

－2x 2

中，k ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3－2(1＋Δx )2－(－1)Δx

＝lim Δx →0 (－1＋Δx ＋Δx 2

)＝－1，故选D. 答案：D

3.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．1 C.12

D.0

解析：由题可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，∴f (5)＋f ′(5)＝2，故选A. 答案：A

4．曲线y ＝x 3＋2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )

A ．(－2，－8)

B ．(1,3)或(－1,1)

C ．(2,8) D.)8

1

,21(--

解析：设P (x 0，y 0)．

则f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3＋2－(x 30＋2)

Δx

＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )

3

Δx ＝lim Δx →0 [3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20＝3，∴x 0＝±1，

∴P (1,3)或P (－1,1)．故选B. 答案：B

5．设曲线y ＝x 2＋x ＋1

x 在点(1,3)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则实数a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.1

2