2007年高考理科数学试题及参考答案(陕西卷)1
2007年高考数学陕西理科试卷含详细解答
2007年高考数学陕西理科试卷含详细解答一、选择题（本大题共12小题，共0分）1．（2007陕西理1）在复平面内，复数z=i +21对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解题关键点】z=ii 515252-=-【结束】2．（2007陕西理2）已知全集U ＝{1，2，3， 4，5}，集合A ＝{}23Z <-∈x x ,则集合u A ð等于（）A.{}4,3,2,1B.{}4,3,2C.{}5,1D.{}5【答案】C【解题关键点】A={2，3，4}，CuA={1，5}【结束】3．（2007陕西理3）抛物线y=x 2的准线方程是（ ）A.4y+1=0B.4x+1=0C.2y+1=0D.2x+1=0【答案】A【解题关键点】P=21，准线方程为y=412-=-P ，即014=+y【结束】4．（2007陕西理4）已知sinα=55，则ααcos sin 44-的值为（ ） A.-51 B.-53 C.51 D.53【答案】B【解题关键点】ααcos sin 44-=αα22cos sin -=1sin 22-α=-535．（2007陕西理5）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S n =2,143=S n ,则S n 4=等于（ ）A.80B.30C.26D.16【答案】B 【解题关键点】设首项为a1,公比为q,则q q a n --1)1(1=2…①q q a n --1)1(13=14…② 由①/②=1/7可得2=q n 或-3（各项为正数，故舍去），接下来易求得S n 4 【结束】解析：选B6．（2007陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A.433 B.33 C.43 D.123【答案】C【解题关键点】正三棱锥的高为1，由平面几何知识知底面边长为3，体积为431)3(43312=⨯⨯【结束】7．（2007陕西理7）已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的浙近线相切的圆的半径是（ ） A.ab B.22b a + C.a D.b【答案】D 【解题关键点】圆的半径是（C ，0）到渐近线x a b y =的距离，所以R=b c bc a b a bc ==+⨯-22|0|8．（2007陕西理8）若函数f(x)的反函数为f )(1x -,则函数f(x-1)与f )1(1--x 的图象可能是（ ）A.B. C. D.【答案】A 【解题关键点】函数f(x-1)与f )1(1--x 的图象是f （x ）与f )(1x -的图象向右平移一个单位得到 【结束】9．（2007陕西理9）给出如下三个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad=bc;②设a,b ∈R ，则ab ≠0若b a ＜1，则a b＞1；③若2()log f x x x ==,则f （|x|）是偶函数.其中不正确命题的序号是（ ）A.①②③B.①②C.②③D.①③【答案】B【解题关键点】①ad=bc 不一定使a 、b 、c 、d 依次成等比数列，如取a=d=-1，b=c=1；②a 、b 异号时不正确【结束】10．（2007陕西理10）已知平面α∥平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，点A ∈m,点B ∈n ，记点A 、B 之间的距离为a,点A 到直线n 的距离为b,直线m 和n 的距离为c,则（ ）A.b ≤a ≤cB.a ≤c ≤bC. c ≤a ≤bD. c ≤b ≤a【答案】D【解题关键点】由图知c 最小，a 最大【结束】11．（2007陕西理11）f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf ‘(x)+f(x)≤0,对任意正数a 、b,若a ＜b ，则必有（ ）A.af(b) ≤bf(a)B.bf(a) ≤af(b)C.af(a) ≤f(b)D.bf(b) ≤f(a)【答案】A【解题关键点】设F （x ）=x x f )(，则0)()()(2''≤-=x x f x xf x F ，故F （x ）=x x f )(为减函数，由a ＜b 有)()()()(a bf b af b b f a a f ≤⇒≥【结束】12．（2007陕西理12）设集合S={A A A A 3210,,,}，在S 上定义运算为：A i ⊕A j =Ak,其中k 为i+j被4除的余数，i 、j=0,1,2,3.满足关系式A A x x 02)(=⊕=的x(x ∈S)的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解题关键点】由定义A x A A A A A A 1022211,,==⊕=⊕能满足关系式，同理x=A3满足关系式【结束】 二、填空题（本大题共4小题，共0分）13．（2007陕西理13）=⎪⎭⎫ ⎝⎛---++→11212lim 21x x x x x . 【答案】31【解题关键点】3121)2)(1(21211212lim lim lim 1121=+=+---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---++→→→x x x x x x x x x x x x 【结束】14．（2007陕西理14）已知实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-,033,022,042y x y x y x ，则=x+2y 的最大值为 .【答案】8.【解题关键点】画出可行域知在直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点（2，3）处取得最大值8【结束】15．（2007陕西理15）如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝32，若＝λ+μ（λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 .【答案】6. 【解题关键点】过C 作OA 与OC 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30=32得平行四边形的边长为2和4，=+μλ2+4=6【结束】16．（2007陕西理16）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）【答案】210.【解题关键点】分两类，（1）每校1人：12036=A ；（2）1校1人，1校2人：902623=A C ，不同的分配方案共有120+90=210【结束】。
2007年陕西省高考数学试卷(理科)及解析
2007年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第在象限D．第四象限2．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x∈Z||x﹣3|＜2}，则集合∁u A 等于（）A．{1，2，3，4}B．{2，3，4}C．{1，5}D．{5}Z3．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．4y+1=0 B．4x+1=0 C．2y+1=0 D．2x+1=04．（5分）已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．5．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=2，S30=14，则S40等于（）A．80 B．30 C．26 D．166．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（）A． B． C．a D．b8．（5分）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则函数f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）给出如下三个命题：①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；②设a，b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；③若f（x）=log2x，则f（|x|）是偶函数．其中不正确命题的序号是（）A．①②③B．①②C．②③D．①③10．（5分）已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A．b≤a≤c B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a11．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）12．（5分）设集合S={A0，A1，A2，A3，A4，A5}，在S上定义运算“⊕”为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（x ⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）=．14．（4分）已知实数x、y满足条件，则z=x+2y的最大值为．15．（4分）如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．16．（4分）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种．（用数字作答）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设函数f（x）=•，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点．（1）求实数m的值；（2）求f（x）的最小正周期．18．（12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2，BC=6．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．20．（12分）设函数f（x）=，其中a为实数．（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单调减区间．21．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．22．（12分）已知各项全不为零的数列{a k}的前k项和为S k，且S k=N*），其中a1=1．（Ⅰ）求数列{a k}的通项公式；（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b k}满足（k=1，2，…，n﹣1），b1=1，求b1+b2+…+b n．2007年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•陕西）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第在象限D．第四象限【分析】本题考查的是复数的计算．【解答】解：Z=，故选D．2．（5分）（2007•陕西）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x∈Z||x﹣3|＜2}，则集合∁u A等于（）A．{1，2，3，4}B．{2，3，4}C．{1，5}D．{5}Z【分析】由题意U={1，2，3，4，5}，集合A={x∈Z||x﹣3|＜2}，解出集合A，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，集合A={x∈Z||x﹣3|＜2}，∴A={2，3，4}，∴C u A={1，5}，故选C．3．（5分）（2007•陕西）抛物线y=x2的准线方程是（）A．4y+1=0 B．4x+1=0 C．2y+1=0 D．2x+1=0【分析】根据抛物线的方程，可求得q，进而根据抛物线的性质可知其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2，P=，准线方程为y=，即4y+1=0故选A．4．（5分）（2007•陕西）已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论．【解答】解：sin4α﹣cos4α=（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α）=sin2α﹣cos2α=2sin2α﹣1=﹣，故选B．5．（5分）（2007•陕西）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=2，S30=14，则S40等于（）A．80 B．30 C．26 D．16【分析】先由等比数列的前n项和公式列方程组解得q10，然后分别求出q40、，最后再次运用等比数列的前n项和公式求S40．【解答】解：由题意知等比数列{a n}的公比q＞0，且q≠1，则有，得1+q10+q20=7，即q20+q10﹣6=0，解得q10=2，则q40=16，且代入①得=﹣2，所以=﹣2×（1﹣16）=30．故选B．6．（5分）（2007•陕西）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【分析】由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积．【解答】解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1．∵底面是正三角形且球半径为1．∴底面边长为，∴底面积为，∴V=××1=．故选C．7．（5分）（2007•陕西）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（）A． B． C．a D．b【分析】由于双曲线的焦点在x轴上，所以其右焦点坐标为（c，0），渐近线方程为y=±x，则满足要求的圆的半径为右焦点到渐近线的距离，因此只需根据点到线的距离公式求之即可．【解答】解：由题意知，圆的半径是右焦点（c，0）到其中一条渐近线的距离，所以R=．故选D．8．（5分）（2007•陕西）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则函数f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】f（x）和f﹣1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f（x﹣a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．【解答】解：函数f（x﹣1）是由f（x）向右平移一个单位得到，f﹣1（x﹣1）由f﹣1（x）向右平移一个单位得到，而f（x）和f﹣1（x）关于y=x对称，从而f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x﹣1，排除B，D；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C选项排除；故选A．9．（5分）（2007•陕西）给出如下三个命题：①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；②设a，b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；③若f（x）=log2x，则f（|x|）是偶函数．其中不正确命题的序号是（）A．①②③B．①②C．②③D．①③【分析】①可取特殊值验证②a、b异号时，一定为负③由奇偶性定义判断．【解答】解：①ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=﹣1，b=c=1；②a、b异号时不正确．③f（|x|）=f（x）=f（﹣x）成立．故选B．10．（5分）（2007•陕西）已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A．b≤a≤c B．a≤c≤b C．c≤a≤b D．c≤b≤a【分析】此题根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大．【解答】解：由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的最短距离．而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于或等于c，判断a和b时，因为B是n上任意一点，则a大于b．故选D．11．（5分）（2007•陕西）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．12．（5分）（2007•陕西）设集合S={A0，A1，A2，A3，A4，A5}，在S上定义运算“⊕”为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本题为信息题，学生要读懂题意，运用所给信息式解决问题，对于本题来说，可用逐个验证法【解答】解：当x=A0时，（x⊕x）⊕A2=（A0⊕A0）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0当x=A1时，（x⊕x）⊕A2=（A1⊕A1）⊕A2=A2⊕A2=A4=A0当x=A2时，（x⊕x）⊕A2=（A2⊕A2）⊕A2=A0⊕A2=A2当x=A3时，（x⊕x）⊕A2=（A3⊕A3）⊕A2=A2⊕A2=A0=A0当x=A4时，（x⊕x）⊕A2=（A4⊕A4）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A1当x=A5时，（x⊕x）⊕A2=（A5⊕A5）⊕A2=A2⊕A2=A0则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为：3个．故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•陕西）=．【分析】先把通分，再消除零因子后简化为，由此能够求出的值．【解答】解：，故答案为．14．（4分）（2007•陕西）已知实数x、y满足条件，则z=x+2y的最大值为8．【分析】先由不等式组画出可行域，再把z=x+2y变形为，只需平移直线，即可发现当直线经过点A时z取得最大值．【解答】解：画出可行域△ABC，直线z=x+2y变形为，可见当直线经过点A时z取得最大．解得A（2，3），所以zmax=2+2×3=8．故答案为8．15．（4分）（2007•陕西）如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为6．【分析】过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，然后将向量用向量与向量表示出即可．【解答】解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由∠BOC=90°，∠AOC=30°，由=||=1，||=得平行四边形的边长为2和4，λ+μ=2+4=6．故答案为6．16．（4分）（2007•陕西）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有210种．（用数字作答）【分析】安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，分成两类解决，一类去三所学校，每校一人；另一类去两所学校，一校一人，一校两人．【解答】解：分两类，（1）每校1人：A63=120；（2）1校1人，1校2人：C32A62=90，不同的分配方案共有120+90=210．故答案为：210三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•陕西）设函数f（x）=•，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点．（1）求实数m的值；（2）求f（x）的最小正周期．【分析】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算及三角函数的周期及其求法，（1）由=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），我们易出求f（x）=•的解析式（含参数m），同由y=f（x）的图象经过点，将点的坐标代入可以得到一个关于m的方程，解方程即可求出m的值．（2）由（1）的结论，我们可以写出函数f（x）的解析式，利用辅助角公式易将其转化为一个正弦型函数，然后根据正弦型函数的周期T=，求出f（x）的最小正周期．【解答】解：（1）f（x）=•=m（1+sin2x）+cos2x，∵图象经过点，∴，解得m=1．（2）当m=1时，，∴18．（12分）（2007•陕西）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．【分析】（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰，即三轮都答对的概率；（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3，ξ=i表示前i﹣1轮均答对问题，而第i次答错，利用独立事件求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A i（i=1，2，3），则，，．∴该选手被淘汰的概率===．（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3.，=，P（ξ=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=．∴ξ的分布列为ξ123P∴=．19．（12分）（2007•陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2，BC=6．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．【分析】（Ⅰ）要证BD⊥平面PAC，只需证明BD垂直平面PAC内的两条相交直线PA，AC即可．（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，说明∠EFD为二面角A﹣PC﹣D的平面角，推出Rt△EFC∽Rt△PAC，通过解Rt△EFD，求二面角A﹣PC﹣D的大小．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．∴BD⊥PA．又，．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，∴∠EFD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．又∠DAC=90°﹣∠BAC=30°，∴DE=ADsinDAC=1，，又，∴，PC=8．由Rt△EFC∽Rt△PAC得．在Rt△EFD中，，∴．∴二面角A﹣PC﹣D的大小为．20．（12分）（2007•陕西）设函数f（x）=，其中a为实数．（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单调减区间．【分析】（Ⅰ）f（x）的定义域为R，说明分母不为零，利用判别式直接求a的取值范围；（Ⅱ）f（x）的定义域为R时，求导数，导数为0确定x的值，根据a的范围，确定导数的符合，求f（x）的单减区间．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，∴x2+ax+a≠0恒成立，∴△=a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，即当0＜a＜4时f（x）的定义域为R．（Ⅱ）由题意可知：，令f'（x）≤0，得x（x+a﹣2）≤0．由f'（x）=0，得x=0或x=2﹣a，又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2时，由f'（x）＜0得0＜x＜2﹣a；当a=2时，f'（x）≥0；当2＜a＜4时，由f'（x）＜0得2﹣a＜x＜0，即当0＜a＜2时，f（x）的单调减区间为（0，2﹣a）；当2＜a＜4时，f（x）的单调减区间为（2﹣a，0）．21．（14分）（2007•陕西）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB 与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根与系数的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．22．（12分）（2007•陕西）已知各项全不为零的数列{a k}的前k项和为S k，且S k=N*），其中a1=1．（Ⅰ）求数列{a k}的通项公式；（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b k}满足（k=1，2，…，n﹣1），b1=1，求b1+b2+…+b n．【分析】（Ⅰ）由，得a k（a k+1﹣a k﹣1）=2a k．再﹣a k﹣1=2．知a2m﹣1=1+（m﹣1）•2=2m﹣1．a2m=2+（m﹣1）•2=2m，m∈由a k+1N*．由此可知a k=k（k∈N*）．（Ⅱ）由题意知=．由此可求出b1+b2+b3+…+b n的值．【解答】解：（Ⅰ）当k=1，由及a1=1，得a2=2．当k≥2时，由，得a k（a k+1﹣a k﹣1）=2a k．因为a k≠0，所以a k+1﹣a k﹣1=2．=1+（m﹣1）•2=2m﹣1．从而a2m﹣1a2m=2+（m﹣1）•2=2m，m∈N*．故a k=k（k∈N*）．（Ⅱ）因为a k=k，所以．所以=．故b1+b2+b3+…+b n==．。
2007年高考理科数学试题及参考答案(陕西卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共300分，考试用时150分钟。
第Ⅰ卷1至5页，第Ⅱ卷6至16页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3.本卷共21题，每题6分，共126分。
在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 O 16 S 32 Fe 56 Cu 64 Zn 651.下列关于细胞基因复制与表达的叙述，正确的是A.一种密码子可以编码多种氨基酸B.基因的内含子能翻译成多肽C.编码区增加一个碱基对，只会改变肽链上的一个氨基酸D.DNA分子经过复制后，子代DNA分子中（C+T）/（A+G）＝12.下列关于动物新陈代谢的叙述，不正确的是A.在正常情况下，肝脏细胞可以将多余的脂肪合成为脂蛋白B.当血糖含量升高时，肌肉细胞可以将葡萄糖合成为糖元C.糖类分解时可以产生与必需氨基酸相对应的中间产物D.氨基酸脱氧基产生的不含氮部分可以合成为脂肪3.下列叙述正确的是A.当病毒侵入人体后，只有细胞免疫发挥防御作用B.大肠杆菌在葡萄糖和乳糖为碳源的培养基上，只有葡萄糖耗尽才能利用乳糖C.大水分供应充足的大田中，只有通风透光才能提高光能利用率D.当甲状腺激素含量偏高时，只有反馈抑制下丘脑活动才能使激素含量恢复正常4.下图表示玉米种子的形成和萌发过程。
据图分析正确的叙述是A.①与③细胞的基因型可能不同B.①结构由胚芽、胚轴、胚要和胚柄四部分构成C.②结构会出现在所有被子植物的成熟种子中D.④过程的初期需要添加必需矿质元素5.利用细胞工程方法，以SARS病毒核衣壳蛋白为抗原制备出单质克隆抗体。
2007年高考理科数学试题及参考答案(陕西卷)
青春的旋律·相约8090 活动现场流程安排(男)：亲爱的老师们，(女）：同学们（合）：，大家晚上好！(女）：相约青春(男)：相约活力(女)：相约90(合)：青春的旋律，相约90，文艺晚会现在开始！(女)：我们都有过快乐的童年(男)：我们都曾是快乐的孩子(女)：当纯真可爱的笑脸变得青涩明媚(男)：当柔嫩娇小的手脚变得健壮有力(女)：我们已经走过了那个金色的季节(男)：但是我们有时又多么想回到过去、多么想留住那一夏天的欢笑(女)：留住那段时光，那段纯洁的时光，那段快乐的时光。
(男)：那是一段童年的时光。
（男）：请欣赏舞蹈《七月火把节》表演者。
等男：走过金色的童年女：我们迎接充满活力的青春男：青春是一首动听的旋律，女：青春一副美丽的画卷，男：青春是一个耐人寻味的故事，女：青春是一段难以忘怀的记忆。
男：让我们怀着悸动的心，去憧憬人生中最灿烂的季节，女：让我们珍惜现在的花样年华，去谱写人生更精彩的乐章，男：对，就今晚让我们一起去聆听青春的美妙声音女：请欣赏歌伴舞《童话》表演者。
女：那些中学的回忆男：静静地填满生命的轨迹女：正如桌上我们课桌上曾经的那些的刻痕男：一年又一年女：记录了喜怒哀乐男：印证了悲欢离合女：留下了我们成长的痕迹男：勾起我们曾经的度过和经历7：45 （播放视频2）7：51 （落下幕布，升起投影背景布，乐队设备布好）女：在我们的17岁，梦想犹如一缕缕黑暗中的阳光，启迪心灵，释放满腔的热情；男：梦想犹如一幅幅屏风里的画卷，绚丽多彩，描述踌躇的心意；女：梦想带给我坚定.梦想带给我信心.梦想是一种无声的希冀.男：我会为了爱和这遥远的希冀，而努力奋斗,直到梦想的实现.女：梦想,是我不懈的动力、前进的灯塔、毕生的向往！女：下面请欣赏森林童话乐队带来的《dreams》7：52 （拉开幕布）《dreams》7：57 （落下幕布，撤设备）7：58 （拉开幕布）男：嘹亮的歌声，唱出青春的活力。
女：婀娜的舞姿，跳出蓬勃的朝气。
2007年高考理科数学试题及参考答案(陕西卷)
《公共关系学》实验教学大纲课程名称：公共关系学英文名称：Public Relations课程编码：学分: 2学分总学时：32学时实验学时：4学时适用专业：管理类先修课程：管理学；经济学；市场营销；市场调查与预测使用教材及实验指导书：也瑛，《公共关系学》，浙江大学出版社，2007年一、课程性质和任务公共关系实验是应用型的实验，通过实验不仅能够加深学生对课堂上理论知识的理解，更能提高他们应用知识的能力和水平，增强开展公共关系实务的能力，掌握开展公共关系专题活动的技巧和基本的公共关系技术。
二、教学要求与教学方法1、教学要求：通过实验要求学生能够将课堂上学习的理论知识加以深化和理解，增强学生的实践操作能力，提高学生的计算机操作水平及进行公共关系日常工作和专题活动的能力。
2、教学方法：讲授结合实验三、教学学时分配和安排课程总学时数为36学时，其中课堂教学32学时，实验4学时。
四、教学内容和要求序号周次实验内容学时实验一16 开展公共关系传播 2实验二18 应对公共关系危机 2实验一开展公共关系传播[目的要求]新闻发布会是一种权威地有效地传递组织信息的方式，通过实验了解传播是公共关系的重要职能和途径，熟悉新闻发布会的流程、注意事项。
[实验原理]理论联系实际，培养学生动手能力。
[实验内容]以小组（6-7人为一个小组，指定一个小组长）为单位选定某个主题策划一场新闻发布会，围绕该主题收集相关背景资料，以小组为单位提交新闻发布会的策划书和组织方案，在以后的课堂教学中进行模拟表演。
e. 准备宣传辅助材料。
f. 做好记者参观的准备。
g. 确定时间f. 小型宴会的安排（3）能出现意外情况的应急措施（4）行发布会甲组主持人主持会议，主讲人介绍新产品特点和工艺等；乙组成员代表公众和记者提问,甲方回答。
（5）行宴会答谢记者和与会者（6）甲乙两组成员共同对本次发布会从公共关系角度作出评估。
（五）公关工作与新闻媒介培训内容与步骤：组织为了加强与内外公众的沟通，经常编写，印发各种宣传材料。
2007年高考理科数学试题及参考答案(陕西卷)
第一章 质点运动学一、选择题1、质点作曲线运动，→r 表示位置矢量，s 表示路程，t a 表示切向加速度，下列表达式中[ ]（1）a dt dv =；（2）v dt dr =；（3）v dt ds =；（4）t a dtdv =。
（A ）只有（1），（4）是对的； （C ）只有（2），（4）是对的；（B ）只有（2）是对的； （D ）只有（3）是对的。
4、一小球沿斜面向上运动，其运动方程为245t t s -+=，则小球运动到最高点的时刻是[ ]（A ）t=4s ； （B ）t=8s ； （C ）t=2s ； (D) t=5s二、填空题1．已知质点的运动方程为：j t t i t t r )312()2146(32++-+=. 当 t ＝2 s 时，a = 。
4、飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动方程为30.1s t =，飞轮半径为R=4m ，当此点的速率30v m s =时，其切向加速度为__________,法向加速度为______________。
第二章 质点动力学1、质量为m 的小球在向心力作用下，在水平面内做半径为R ，速率为v 的匀速圆周运动，如图所示，小球自A 点逆时针运动到B 点的半周内，动量增量为 【 】j mv A 2)(- j mv B 2)( i mv C 2)( i mv D 2)(-3、质点在外力作用下运动时，下列说法中正确的是 [ ]（A ）外力的冲量为零，外力的功一定为零（B ）；外力的功为零，外力的冲量一定为零；（C ）外力的冲量不为零，外力的功也不为零；（D ）外力的功不为零，外力的冲量不一定为零。
6、 一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用。
若两质点所受外力的矢量和为零，则此系统 [ ]（A ）动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒；（B ）动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能断定；（C ）动量和角动量守恒、但机械能守恒与否不能断定（D ）动量守恒、但机械能和角动量守恒与否不能断定；。
2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析
2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C． D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1 C．D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．5．（4分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A． B．2 C．D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B． C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C． D．【分析】根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．【解答】解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．故选D．2．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1 C．D．2【分析】复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1=0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA 1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A． B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK ⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B． C．D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．14．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x ＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列为∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a=b 时取等号．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e x+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．21．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C 两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007•全国卷Ⅰ）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即a n的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b 1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k+1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k+1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．。
2007年高考理科数学试题及参考答案(陕西卷)
致：福建工程学院基建处福建工大工程建设监理公司塑胶跑道施工中十大“通病”纠正和注意事项厦门奥力体育场地设施工程有限公司二〇〇九年十月十六日塑胶跑道施工中十大“通病”纠正和注意事项第一部份概述当前，国内外施工混合型塑胶跑道总归纳只有以下三种施工做法：第一种方法：一次成型法。
就是把塑胶层分为二层，即在下层混合料施工时着手在上面扬撒彩色胶粒，于48小时后回收胶粒，并在上面刷滚一道防脱粒面漆。
这种做法目前绝对否定，因为无法做到优良等级的塑胶面层。
第二种方法：分层并扬撒颗粒成型法。
这种比第一种有所进步。
即把塑胶整体分为三层（底胶层、纯胶层、颗粒层），这种方法的缺点就是人工扬撒面层胶粒后并在上面滚刷保护层，这样仍然解决不了脱粒的通病。
第三种方法：分层并机械摊铺与挤压喷涂成型法。
即塑胶层分为底胶、中胶、面胶，除中胶采用人工施工外，底胶与面胶均采用机械作业，施工质量效果是当前最优质理想的等级。
我司施工过的龙岩学院、宁化体育中心等均受田联专家称赞好评（在施工组织设计中作评细介绍和说明）。
第二部分塑胶层施工及使用期中存在并要纠正的“通病”问题总结历史及中外塑胶跑道施工后出现的通病有以下几种：1.翘边：塑胶边缘存在于外道牙交接口水沟边缘、起跳板四周、沙坑边、落水孔内侧、升旗台四周边、水沟内侧与足球场人工草交接处等。
这些部位如设计缺乏详细说明书及图解，施工单位在施工前必须经业主和监理同意后进行开凿20×20左右沟槽让塑胶包溶进入，以防翘边缺陷。
2.脱层：即有基层与底胶、底胶与面胶的脱层现象。
基层与胶层脱胶的预防措施是施工时必须保证基层的绝对干燥，其基层的含水率控制在≤8%的幅度（施工时用油布约1m²左右将基层全部密封几个地方，经中午高温后如没有发现水痕就可施工）。
此外，材料的粘着力性能是防止脱层的基本办法。
厂家在生产过程中必须满足粘着力的技术要求配方和工艺，以满足产品性能的需要。
中间脱层除预防和制止以上原因外，必须改进施工工艺，我司的做法是第一层底胶用摊铺机施工之后接着进行用纯胶浇注入底胶孔隙内并随之进行平整度的修补，使底胶面与上胶层形成网状交联，不存在脱层的缺陷。
2007(理科)陕西卷1
2007（理科）陕西卷1第一部分（共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．Ｄ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｂ 5．Ｂ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．在复平面内，复数12z i=+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集{12345}U =，，，，，集合A {3|2}x x =∈-<Z ||，则集合U A ð等于（ ） A ．{1234}，，，B ．{234}，，C ．{15}，D ．{5}3．抛物线2y x =的准线方程是（ ） A ．410y +=B ．410x +=C ．210y +=D ．210x +=4．已知sin 5α=，则44sin cos αα-的值为（ ）A ．15-B ．35- C ．15D ．355．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，214n S =，则4n S 等于（ ） A ．80B ．30C ．26D ．166．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．4B ．3C 4D 127．已知双曲线2222:1x y C ab-=（0a >，0b >），以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（ ）A． B． C ．a D ．b8．若函数()f x 的反函数为1f x -（），则函数(1)f x -与1(1)f x --的图象可能是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9．给出如下三个命题：①四个非零实数a b c d ，，，依次成等比数列的充要条件是ad bc =； ②设,a b ∈R ，且 0ab ≠，若1a b<，则1b a >；③若2()log f x x =，则(||)f x 是偶函数． 其中不正确．．．命题的序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③10．已知平面α∥平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，点A m ∈，点B n ∈，记点A B ，之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则（ ） A ．b c a ≤≤B ．a c b ≤≤C ．c a b ≤≤D ． c b a ≤≤11．()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤12．设集合0123{}S A A A A =，，，，在S 上定义运算⊕为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，0123i j =，，，，，则满足关系式0()z x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1第二部分（共90分）x二、填空题： 13．1314．8 15．6 16．210二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．21211lim 21x x x x x +⎛⎫-=⎪+--⎝⎭→ ． 14．已知实数x y ，满足条件240220330x y x y x y ⎧-+⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤，，，则2z x y =+的最大值为 ．15．如图，平面内有三个向量OA OB OC ，，，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与O C的夹角为30°，且1OA OB ==，OC =．若()O C O A O B λμλμ=+∈R ，，则λμ+的值为．16．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种． （用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）设函数()f x =·a b ，其中向量(cos 2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合． 17．解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++ ，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x的最小值为1-AOBC由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，． 18．（本小题满分12分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为432555，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选择中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． （注：本小题结果可用分数表示）18．解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===， 1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴的分布列为1235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =．∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=．（Ⅱ）同解法一．19．（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABC D -中，90AD BC ABC ∠=，∥°，PA ⊥平面A B C D．326PA AD AB BC ====，，．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角P BD A --的大小．19．（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）PA ⊥平面A B C D ，BD ⊂平面A B C D ．BD PA ∴⊥．又tan 3AD ABD AB==tan B C B A C A B==30ABD ∴= ∠，60BAC =∠，90AEB ∴= ∠，即B D A C ⊥．又PA AC A = ．BD ∴⊥平面PAC ．（Ⅱ）过E 作E F P C ⊥，垂足为F ，连接D F ．D E ⊥平面PAC ，E F 是D F 在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知P C D F ⊥， EFD ∴∠为二面角A P C D --的平面角．又9030DAC BAC =-=∠∠，sin 1D E AD D AC ∴==，sin AE AB ABE ==又AC =EC ∴=，8P C =．由R t R t EFC PAC △∽△得2PA EC EF PC ==．在R t E F D △中，tan 9D E EFD EF==，arctan9EFD ∴=∠．∴二面角A P C D --的大小为arctan9．PC BADEAEDPCBF解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则(000)A ，，，0)B ，，0)C ，(020)D ，，，(004)P ，，，(004)AP ∴= ，，，0)AC = ，，(20)BD =- ，0BD AP ∴= ，0BD AC =．BD AP ∴⊥，BD AC ⊥，又PA AC A = ，BD ∴⊥平面PAC ． （Ⅱ）设平面PC D 的法向量为(1)x y =，，n则0CD = n ，0PD =n ，又(40)C D =-- ，，(024)P D =-，，，40240y y ⎧--=⎪∴⎨-=⎪⎩，，解得32x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，213⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭n 平面PAC 的法向量取为()20BD ==-m ， cos <m ，31>==m n n m n∴二面角A P C D --的大小为arccos31．20．设函数2()xef x x ax a=++，其中a 为实数．（I ）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （II ）当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单调减区间．20．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，20x ax a ∴++≠恒成立，240a a ∴∆=-<，04a ∴<<，即当04a <<时()f x 的定义域为R ．（Ⅱ）22(2)e ()()x x x a f x x ax a +-'=++，令()0f x '≤，得(2)0x x a +-≤．由()0f x '=，得0x =或2x a =-，又04a << ，02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；C当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<， 即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，； 当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，． 21．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2A OB △面积的最大值．21．（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当A B x ⊥轴时，AB =．（2）当A B 与x 轴不垂直时，设直线A B 的方程为y kx m =+．由已知2=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x km x m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()ABk x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696kk k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =，综上所述max2AB=．∴当A B 最大时，A O B △面积取最大值m ax1222S AB=⨯⨯=．22．（本小题满分12分）已知各项全不为零的数列{}n a 的前k 项和为k S ，且11()2k k k S a a k +=∈N *，其中11a =．（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）对任意给定的正整数(2)n n ≥，数列{}n b 满足1k kb b +=1k k n a +-（121k n =- ，，，），11b =，求12n b b b +++ ．22．解：（Ⅰ）当1k =，由111212a S a a ==及11a =，得22a =．当2k ≥时，由1111122k k k k k k k a S S a a a a -+-=-=-，得11()2k k k k a a a a +--=．因为0k a ≠，所以112k k a a +--=．从而211(1)221m a m m -=+-=- ．22(1)22m a m m =+-= ，*m ∈N ．故*()k a k k =∈N ．（Ⅱ）因为k a k =，所以111k kk b n k n k b a k ++--=-=-+．所以1121121(1)(2)(1)(1)1(1)21k kk k k k b b b n k n k n b b b b b k k -----+-+-==-- 11(1)(12)k kn C k n n-=-= ，，，． 故123n b b b b ++++ 12311(1)n nn n n n C C C C n -⎡⎤=-+-+-⎣⎦ {}012111(1)n nnn n n C C C C n n⎡⎤=--+-+-=⎣⎦ ．。
2007年全国统一高考数学试卷ⅰ(理科)解析
2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ（理科）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A ．B．C．D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A ．B．1 C．D．23．（4分）已知向量，，则与（）A ．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A ．B．C．D．5．（4分）设a，b∈R，集合，则b﹣a=（）A ．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A ．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A ．B．C．D．A ．B．2 C．D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A ．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A ．4 B．C．D．812．（4分）函数的一个单调增区间是（）A ．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_________种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x （x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=_________．15．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为_________．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）同角三角函数间的基本关系．考点：分根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．析：解解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1答：∴sinα=﹣故选D．点三角函数的基本关系是三角函数的基本，是高考必考内容．评：2．（4分）考复数代数形式的混合运算．点：复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．分析：解解．设a是实数，=是实数，则a=1，答：故选B．本题考查复数代数形式的运算，复数的分类，是基础题．点评：3．（4分）数量积判断两个平面向量的垂直关系．考点：专计算题．题：根据向量平行垂直坐标公式运算即得．分析：解解：∵向量，，得，答：∴⊥，故选A．本题单纯的考两个向量的位置关系，且是坐标考查，直接考垂直或平行公式．点评：4．（4分）考双曲线的简单性质．点：专计算题．分析：根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．解答：解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．5．（4分）考点：集合的相等；集合的确定性、互异性、无序性．分析：根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．解答：解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．点评：本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．6．（4分）考点：简单线性规划的应用．分析：要找出到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．解答：解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1=0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C点评：本题考查的知识点是二元一次不等式与平面区域，要想判断一个点是否在不等式组表示的区域内，仅需将点的坐标代入验证即可．7．（4分）考异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．解答：解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．8．（4分）考点：对数函数的单调性与特殊点．分析：因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．解答：解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a=1，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D点评：本题主要考查对数函数的单调性与最值问题．对数函数当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．9．（4分）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的判断．专题：压轴题．分析：本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．解答：解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B点评：本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断，属基本题．10．（4分）考点：二项式定理的应用．题：分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．解答：解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15，故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．11．（4分）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．解答：解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．点评：本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视．12．（4分）考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；转化思想；换元法．分析：化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．解答：解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A点本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）考点：排列、组合的实际应用．分析：由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．解答：解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．点评：排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题．14．（5分）考点：反函数．专题：计算题；方程思想．分析：由题意推出f（x）与函数y=log3x （x＞0）互为反函数，求解即可．解答：解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x （x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x （x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：=3x（x∈R）点评：本题考查反函数的知识，考查计算能力，是基础题．15．（5分）考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．16．（5分）考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题；压轴题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．答：已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）考点：正弦定理；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜．，所以．由此有，所以，cosA+sinC的取值范围为．点评：本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用．涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握．18．（12分）考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差．题：分析：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列为η200 250 300P 0.4 0.4 0.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．19．（14分）考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：综合题；转化思想．分析：解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．解答：解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（14分）考点：导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．解答：解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e x+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．点评：考查学生利用导数运算的能力，利用导数求闭区间上函数的最值的能力．21．（14分）考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可析：以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B （x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．解证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，答：由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．点本题综合考查椭圆的性质信其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细计算，注意公式的灵活运用，避免评：出现不应有的错误．22．（16分）考点：数列递推式；数学归纳法．专题：证明题；综合题；压轴题；归纳法．分析：（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证．解答：解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即a n的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k+1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k+1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．点评：本题主要考查求数列的通项公式的方法﹣﹣构造法和数学归纳法的一般过程．考查综合运用能力和计算能力．。
2007高考数学试题(陕西.理)含答案
2007普通高等学校招生全国统一考试（陕西）理科数学第一部分（共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．在复平面内，复数12z i=+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集{12345}U =，，，，，集合A {3|2}x x =∈-<Z ||，则集合U A ð等于（ ） A ．{1234}，，，B ．{234}，，C ．{15}，D ．{5}3．抛物线2y x =的准线方程是（ ） A ．410y +=B ．410x +=C ．210y +=D ．210x +=4．已知sin α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15-B ．35-C ．15D ．355．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，214n S =，则4n S 等于（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．166．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．4B ．3C ．4D ．127．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（ ）ABC ．aD ．b8．若函数()f x 的反函数为1f x -（），则函数(1)f x -与1(1)f x --的图象可能是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9．给出如下三个命题：①四个非零实数a b c d ，，，依次成等比数列的充要条件是ad bc =； ②设,a b ∈R ，且 0ab ≠，若1a b <，则1ba>； ③若2()log f x x =，则(||)f x 是偶函数． 其中不正确．．．命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①②C ．②③D ．①③10．已知平面α∥平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，点A m ∈，点B n ∈，记点A B ，之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则（ ） A ．b c a ≤≤ B ．a c b ≤≤ C ．c a b ≤≤ D ． c b a ≤≤ 11．()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤12．设集合0123{}S A A A A =，，，，在S 上定义运算⊕为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，0123i j =，，，，，则满足关系式0()z x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1第二部分（共90分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．21211lim 21x x x x x +⎛⎫-=⎪+--⎝⎭→ ． 14．已知实数x y ，满足条件240220330x y x y x y ⎧-+⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤，，，则2z x y =+的最大值为 ．15．如图，平面内有三个向量OAOBOC ，，，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角x为30°，且1OA OB ==，OC = ．若()OC OA OB λμλμ=+∈R，，则λμ+的值为．16．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种． （用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分） 设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合．18．（本小题满分12分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为432555，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选择中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． （注：本小题结果可用分数表示） 19．（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，90AD BC ABC ∠=，∥°，PA ⊥平面ABCD．326PA AD AB BC ====，，．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角P BD A --的大小．A OB C20．（本小题满分12分）设函数2()x e f x x ax a=++，其中a 为实数．（I ）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （II ）当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单调减区间． 21．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，坐标原点O 到直线l，求AOB △面积的最大值． 22．（本小题满分12分）已知各项全不为零的数列{}n a 的前k 项和为k S ，且11()2k k k S a a k +=∈N*，其中11a =． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）对任意给定的正整数(2)n n ≥，数列{}n b 满足1k k b b +=1k k na +-（121k n =- ，，，），11b =，求12n b b b +++ ．PC BADE2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数 学（理工农医类）参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ｄ 9．Ａ 10．Ａ 11．Ｃ 12．Ｂ二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．1314．8 15．6 16．210 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++ ，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，． 18．（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =， ∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=． （Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===， 1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=， 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴的分布列为11235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=． 解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =． ∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=． （Ⅱ）同解法一． 19．（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ．BD PA ∴⊥． 又tan AD ABD AB ==tan BCBAC AB== 30ABD ∴= ∠，60BAC = ∠，90AEB ∴= ∠，即BD AC ⊥．又PA AC A = ．BD ∴⊥平面PAC ．（Ⅱ）过E 作EF PC ⊥，垂足为F，连接DF ．DE ⊥平面PAC ，EF 是DF 在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC DF ⊥， EFD ∴∠为二面角A PC D --的平面角．又9030DAC BAC =-=∠∠，sin 1DE AD DAC∴==， sin AE AB ABE ==又AC =EC ∴=，8PC =．由Rt Rt EFC PAC △∽△得2PAEC EF PC == ． 在Rt EFD △中，tan 9DE EFD EF ==，arctan 9EFD ∴=∠． ∴二面角A PC D --的大小为arctan． AEDP CBF解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则(000)A ，，，0)B ，，0)C ，，(020)D ，，，(004)P ，，， (004)AP ∴= ，，，0)AC = ，，(0)BD =- ，，0BD AP ∴= ，0BD AC =．BD AP ∴⊥，BD AC ⊥，又PA AC A = ，BD ∴⊥平面PAC ． （Ⅱ）设平面PCD 的法向量为(1)x y =，，n则0CD = n ，0PD = n ，又(40)CD =-- ，，(024)PD =-，，， 40240y y ⎧--=⎪∴⎨-=⎪⎩，，解得2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，21⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，n平面PAC 的法向量取为()20BD ==-，m ， cos <m ，31>== m n n m n ． ∴二面角A PC D --的大小为arccos31． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，20x ax a ∴++≠恒成立，240a a ∴∆=-<，04a ∴<<，即当04a <<时()f x 的定义域为R ．（Ⅱ）22(2)e ()()x x x a f x x ax a +-'=++，令()0f x '≤，得(2)0x x a +-≤． 由()0f x '=，得0x =或2x a =-，又04a << ，02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<， 即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，；C当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，． 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥轴时，AB =． （2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．=223(1)4m k =+． 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+． 22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤． 当且仅当2219k k =，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 1222S AB =⨯⨯=． 22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1k =，由111212a S a a ==及11a =，得22a =． 当2k ≥时，由1111122k k k k k k k a S S a a a a -+-=-=-，得11()2k k k k a a a a +--=．因为0k a ≠，所以112k k a a +--=．从而211(1)221m a m m -=+-=- ． 22(1)22m a m m =+-= ，*m ∈N ．故*()k a k k =∈N ．（Ⅱ）因为k a k =，所以111k k k b n k n kb a k ++--=-=-+． 所以1121121(1)(2)(1)(1)1(1)21k k k k k k b b b n k n k n b b b b b k k -----+-+-==-- 11(1)(12)k kn C k n n-=-= ，，，．故123n b b b b ++++ 12311(1)n nn n n n C C C C n -⎡⎤=-+-+-⎣⎦ {}012111(1)n nn n n n C C C C n n⎡⎤=--+-+-=⎣⎦ ．Ｂ卷选择题答案：1．Ｄ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｂ 5．Ｂ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ。
2007年高考理科数学试题及参考答案(陕西卷)
创建国家卫生城市争做创卫先锋
-----崇文街小学215班高鹏飞家长誓词
我是城市小市民，我有责任，有义务，为创建卫生城市出一份力，添一份光，为我们的家园贡献自己的力量。
为此，我宣誓；
一，坚决从身边的点滴小事做起，告别那些不文明行为，不卫生习惯，管住我们的口，不随地吐痰；管住我们的手，不乱扔垃圾；管住我们的脚，不践踏花草。
二，耐心听别人讲话，公共场所不大声喧哗，上公交车自觉排队，不插队，做一个文明礼让小市民。
三，做文明事，讲文明话，在家做卫生主妇，在社会上做一个卫生好公民。
创建卫生城市，人人有责，人人受益。
从我做起，从小做起，从现在做起，从身边做起，无论在哪里，无论在什么时候，卫生文明就在我身边。
二O一二年六月
创建国家卫生城市争做创卫先锋
-----崇文街小学215班李彬瑜家长誓词
我是215班李彬瑜同学的家长，在全市创建国家卫生城市之际，我带领全家郑重宣誓：我们志愿以主人翁的姿态投入到全市创建国家卫生城市的活动中，爱我孝义，美我孝义；保护环境，珍爱家园；苗木设施，悉心爱护；讲究卫生，维护秩序。
痰不乱吐，屑不乱丢；车不乱停，人不乱行；灭除“四害”，保障健康；服从安排，履行职责；门前三包，自觉落实。
创建“国卫”，我者先行。
从我们做起，从现在做起，从身边点滴做起，争做创建国家卫生城市的参与者、美丽孝义的建设者、文明行为的传播者！
二O一二年六月。
2007年高考理科数学试题及参考答案(陕西卷)
论社会主义政治制度的特点和优势社会主义政治制度是我们实现经济发展、政局稳定、社会和谐的重要制度保证，坚持好、完善好和落实好这一政治制度是发展社会主义民主政治、建设社会主义政治文明的一个重大课题。
为了切实贯彻十六届四中全会精神，发挥好社会主义政治制度的优势，我们必须正确认识这种政治制度的特点和优势。
当代中国共产党要保持先进性，必须全面落实以人为本、全面、协调、可持续的科学发展观，始终抓好发展这个党执政兴国的第一要务，紧紧围绕全面建设小康社会的宏伟目标，把坚持党的先进性切实落实到发展生产力，促进社会、经济、文化的不断发展上，为社会主义民主政治制度的完善和发展创造更加雄厚的物质文化基础。
同时，又要求党不断提高领导水平和执政水平，把党的先进性要求转化为全党的实际行动、贯彻到党的全部执政活动中去，做到科学执政、民主执政、依法执政，大力发展社会主义民主政治，推进社会主义制度的不断完善和发展。
二、社会主义政治制度的优势社会主义制度是人类历史上新的真正的更高类型的民主制度，具有资产阶级及其他剥削阶级制度所不具有的优越性。
第一，保障了人民当家作主。
我国宪法规定：“中华人民共和国的一切权力属于人民。
”人民代表大会作为我国的根本政治制度保证了人民通过普遍的民主选举，产生自己的代表，组成各级人民代表大会，各级人民代表大会都对人民负责、受人民监督，有力地保证了全国各族人民依法实行民主选举、民主决策、民主管理、民主监督，享有宪法和法律规定的广泛的民主、自由和权利；保证了作为国家权力机关的人民代表大会定期选举或任命产生其他国家机关，并依法对其进行监督。
中国共产党领导的多党合作和政治协商制度保证了同各民主党派在国家重大问题上进行民主协商、科学决策，中国共产党和各民主党派互相监督，有利于改善中国共产党的领导。
人民政协作为社会主义政治制度的重要组成部分，保证了各民主党派、人民团体、各族各界人士参与国事，在国家政治生活中充分表达意见和主张的基本权利。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学(理科)试卷参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理科）试卷参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。
1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ｄ 9．Ａ10．Ａ 11．Ｃ 12．Ｂ二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13．13 14．8 15．6 16．210三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++， 由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1 由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，。
18．（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =， ∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++ 142433101555555125=+⨯+⨯⨯=。
（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===， 1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=， 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=。
ξ∴的分布列为1812571235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=。
2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1 C．D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（4分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（4分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．【解答】解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．故选D．2．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1 C．D．2【分析】复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b ﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b 的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x ﹣y+1=0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g （x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g （x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．14．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x 对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A 的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC 的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=e x﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x ≥0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e x+e﹣x．由于，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=e x+e﹣x﹣a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e x+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为，此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax 相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．21．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007•全国卷Ⅰ）已知数列{a n}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k 时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即a n的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k+1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k+1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．。
2007年高考理科数学试题及答案(全国卷1)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）数学（理科）试卷（河北 河南 山西 广西）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率)2,1,0()1()(1n k p p C k P k n k n ，⋯=-=-球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π= 其中R 表示球的半径一、选择题1．a 是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A ．51 B ．51-C ．135 D ．135-2．设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝ A ．21B ．1C ．23 D ．23．已知向量a ＝（－5，6），b ＝（6，5），则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为A ．112422=-y xB ．141222=-y x C ．161022=-y xD ．110622=-y x 5．设R ,∈b a ，集合{}=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+a b b a b a b a 则,,,0,,1 A ．1B ．－1C ． 2D ．－26．下面给出的四个点中，到直线x －y+1=0的距离为22，且位于x y 10,x y 10+-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是 A ．（1，1） B ．（－1，1） C ．（－1，－1） D ．（1，－1）7．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．51B ．52 C ．53 D ．54 8．设a>1，函数x x f log,)(=在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为21，则a= A ．2B ．2C ．22D ．49．)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件10．2n1(x )x-的展开式中，常数项为15，则n ＝A ．3B ．4C ．5D ．611．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，,l AK ⊥垂足为K ，且△AKF 的面积是A ．4B ．33C ．43D ．812．函数2cos2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是 A ．（π2π,33） B ．（2,6ππ） C ．（π0,3） D ．（－ππ,66）第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2007年高考理科数学试题及参考答案(陕西卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试 (陕西卷)数学（理科）考生注意：这份试卷共三道大题(28个小题).满分120分.考试时间120分钟.用钢笔直接答在试卷中，答卷前将密封线内的项目填写清楚.一．选择题：本大题共18小题；每小题3分，共54分.在每小题给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题中括号内.(1)3log 9log 28的值是 ( )(A)32 (B) 1 (C)23 (D) 2(2)已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是( )(A) 2(B) 3(C) 5(D) 7(3)如果函数y =sin(ωx )cos(ωx )的最小正周期是4π,那么常数ω为( )(A) 4(B) 2(C)21 (D)41 (4)在(312xx -)8的展开式中常数项是 ( )(A) －28(B) －7(C) 7(D) 28(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是( )(A) 6∶5(B) 5∶4(C) 4∶3(D) 3∶2(6)图中曲线是幂函数y =x n 在第一象限的图像.已知n 取±2，±21四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为 ( )(A) －2，，21-21，2 (B) 2，21，，21-－2(C) ，21-－2，2，21(D) 2，，21－2，－21 (7)若log a 2< log b 2<0，则( )(A) 0<a <b <1(B) 0<b <a <1(C) a >b >1(D) b >a >1(8)原点关于直线8x ＋6y =25的对称点坐标为( )(A) (23,2) (B) (625,825) (C) (3，4) (D) (4，3)(9)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(10)圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )(A) x 2＋y 2－x －2y －41=0 (B) x 2＋y 2＋x －2y ＋1=0 (C) x 2＋y 2－x －2y ＋1=0 (D) x 2＋y 2－x －2y ＋41=0 (11)在[0，2π]上满足sin x ≥21的x 的取值范围是 ( )(A) ]60[π，(B) ]656[ππ， (C) ]326[ππ，(D) ]65[ππ， (12)已知直线l 1和l 2夹角的平分线为y =x ，如果l 1的方程是ax ＋by ＋c =0(ab >0)，那么l 2的方程是( )(A) bx ＋ay ＋c =0 (B) ax －by ＋c =0 (C) bx ＋ay －c =0 (D) bx －ay ＋c =0(13)如果α，β∈(2π，π)且tg α<ctg β,那么必有 ( ) (A) α<β (B)β<α(C) α＋β<π23 (D) α＋β>π23(14)在棱长为1的正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 和N 分别 为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )(A)23 (B)1010 (C)53 (D)52 (15)已知复数z 的模为2，则|z －i |的最大值为( )(A) 1 (B) 2(C)5(D) 3(16)函数y =2xx e e --的反函数( )(A) 是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数(B) 是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数(C) 是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数(D) 是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数(17)如果函数f (x )=x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )=f (2－t )，那么( )(A) f (2)<f (1)<f (4) (B) f (1)<f (2)<f (4) (C) f (2)<f (4)<f (1)(D) f (4)<f (2)<f (1)(18)已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( )(A) 32(B)14(C) 5 (D) 6二．填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上.(19)]31)1(2719131[lim 1n n n -∞→-+++-的值为_______ (20)已知α在第三象限且tg α=2，则cos α的值是_________(21)方程xx3131++-=3的解是________(22) 设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则ST的值为_______(23)焦点为F 1(－2，0)和F 2(6，0)，离心率为2的双曲线的方程是___________三．解答题：本大题共5小题；共51分.解答应写出文字说明、演算步骤(24)(本小题满分9分)求sin 220º+ cos 280º＋3sin20ºcos80º的值. (25)(本小题满分10分) 设z ∈C ，解方程z －2|z |=－7+4i.(26)(本小题满分10分)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1－EBFD1的体积.(27)(本小题满分10分)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标.(28)(本小题满分12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a3=12，S12>0，S13<0.(Ⅰ)求公差d的取值范围；(Ⅱ)指出S1，S2，…S12中哪一个值最大，并说明理由.参考答案及评分标准说明：一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分.三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.五．只给整数分数.一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分54分.(1)A (2)D (3)D (4)C (5)D (6)B (7)B (8)D (9)D(10)D (11)B (12)A (13)C (14)D (15)D (16)C (17)A (18)C二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分15分.(19)41 (20)55- (21)x =－1 (22)12815 (23)1124)2(22=--y x三、解答题(24)本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力.满分9分. 解 sin 220º+cos 280º＋3sin 220ºcos80º=232160cos 1240cos 1+++- (sin100º－sin60º) ——3分 =1＋21(cos160º－cos40º)+23sin100º－43 ——5分 =41－21·2sin100ºsin60º＋23sin100º ——7分 =41－23sin100º＋23sin100º =41. ——9分 (25)本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识.满分10分. 解 设 z =x ＋yi (x ，y ∈R ). 依题意有x ＋yi －222y x +=－7+4i ——2分由复数相等的定义，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.47222y y x x ——5分 将②代入①式，得 x －2162+x =－7. 解此方程并经检验得 x 1=3， x 2=35. ——8分 ①②∴ z 1 =3＋4i ， z 2=35＋4i . ——10分 (26)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一 ∵ EB =BF =FD 1=D 1E =22)2(a a +=25a ， ∴ 四棱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形. ——2分 连结A 1C 1、EF 、BD 1，则A 1C 1∥EF .根据直线和平面平行的判定定理，A 1C 1平行于A 1－EBFD 1的底面，从而A 1C 1到底面EBFD 1的距离就是A 1－EBFD 1的高 ——4分设G 、H 分别是A 1C 1、EF 的中点，连结D 1G 、GH ，则FH ⊥HG ， FH ⊥HD 1根据直线和平面垂直的判定定理，有 FH ⊥平面HGD 1，又，四棱锥A 1－EBFD 1的底面过FH ，根据两平面垂直的判定定理，有A 1－EBFD 1的底面⊥平面HGD 1.作GK ⊥HD 1于K ，根据两平面垂直的性质定理，有GK 垂直于A 1－EBFD 1的底面. ——6分 ∵ 正方体的对角面AA 1CC 1垂直于底面A 1B 1C 1D 1,∴ ∠HGD 1=90º. 在Rt △HGD 1内，GD 1=22a ，HG =21a ，HD 1=21BD =23a .∴23a ·GK =21a ·22a ，从而GK =66a . ——8分∴ 11EBFD A V -=311EBFD S 菱形·GK =31·21·EF ·BD 1·GK =61·2a ·3a ·66a =61a 3 ——10分 解法二 ∵ EB =BF =FD 1=D 1E =22)2(aa +=25a ，∴ 四菱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形. ——2分 连结EF ，则△EFB ≌△EFD 1.∵ 三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1等底同高， ∴ 111EFD A EFB A V V --=.∴ EFB A EBFD A V V --=1112. ——4分 又 11EBA F EFB A V V --=，∴ 1112EBA F EBFD A V V --=， ——6分 ∵ CC 1∥平面ABB 1A 1，∴ 三棱锥F －EBA 1的高就是CC 1到平面ABB 1A 1的距离，即棱长a . ——8分 又 △EBA 1边EA 1上的高为a .∴ 11EBFD A V -=2·31·1EBA S ∆·a =61a 3. ——10分 (27)本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力.满分10分.解 由 ⎩⎨⎧==+-.0,012y y x得 顶点A (－1，0). ——2分 又，AB 的斜率 k AB =)1(102---=1.∵ x 轴是∠A 的平分线，故AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y =－(x ＋1) ① ——5分 已知BC 上的高所在直线的方程为x －2y ＋1=0，故BC 的斜率为－2，BC 所在的直线方程为y －2=－2(x －1) ② ——8分 解①，②得顶点C 的坐标为(5，－6). ——10分 (28)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.满分12分. 解(Ⅰ)依题意，有2)112(1212112-⨯+=a S ·d >0，2)113(1313113-⨯+=a S ·d <0.即⎩⎨⎧<+>+.06,011211d a d a ——4分 由a 3=12，得a 1＋2d =12. ③ 将③式分别代入①、②式，得⎩⎨⎧<+>+.03,0724d d 解此不等式组得 －.3724-<<d ——6分 (Ⅱ)解法一 由d <0可知 a 1> a 2> a 3>…> a 12> a 13.因此，若1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n +1<0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值. ——9分 由于 S 12=6(a 6+a 7)>0， S 13=13a 7<0， 即 a 6+a 7>0， a 7<0，由此得 a 6>－a 7>0. 因 a 6>0，a 7<0.故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大.(Ⅱ)解法二 S n =na 1＋d n n 2)1(- =n (12－2d )＋21n (n －1)d=2d [n －21(5－d 24)]2－2)]245(21[2d d -, ∵ d <0， ∴ [n －21(5－d24)]2最小时，S n 最大. ——9分 ①②当 －3724-<<d 时 6<21(5－d24)<6.5， ∴ 正整数n =6时[n －21(5－d24)]2最小，∴ S 6最大. ——12分 (Ⅱ)解法三 由d <0可知a 1> a 2> a 3>…> a 12> a 13.因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n >0，a n +1<0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值. ——9分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+>⨯+⇒⎩⎨⎧<>021213130211121200111312d a d a S S ⎪⎩⎪⎨⎧<+>->+⇒0602511d a d d a ⎩⎨⎧<>⇒.0076a a故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大. ——12分 注：如果只答出S 6的值最大，而未说明理由者，在(Ⅱ)中只给3分.。
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、
所对的边长分别为
、
、
，设命题p：
，命题q：
是等边三角形，那么命题p是命题q的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件．
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知函数
在
单调，则
的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图是网络工作者用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第一 行；数字2,3出现在第二行；数字6,5,4（从左到右）出现在第三行； 数字7,8,9,10出现在第四行，依此类推2011出现在（ ） A．第63行，从左到右第5个数 B．第63行，从左到右第6个数 C．第63行，从左到右第57个数 D．第63行，从左到右第58个数
，故f（x）在[0，2]上是减函数， ∴此时f（x）max= f（0）=0，符合题设 …………11分 （ii）当0<a<2时，
故 f（x）在[0，a]上是减函数，在在[a，2]上是增函数 ∴此时f（x）max=max{f（0），f（2）}=0， 又f（0）=0，∴f（2）≤0，即
解之得
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．已知
，且
，
，则
为（ ） A．
B．
C． D．
2．若 ，则下列不等式中不能成立的是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 是平面， 是两条不重合的直线，下列说法正确的是 （ ）
A．“若
”是随机事件 B．“若
”是必然事件 C．“若
”是必然事件 D．“若
（1）求 （2）若
， 为数列Байду номын сангаас的前 项和，存在正整数 ，使得 ，求实数 的取值范围。
21．（本题满分15分） 如图，在由圆O：
和椭圆C：
构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为
，直线
与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A， B． （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线
，使得
，若存在，求此时直线
，所以所求椭圆C的方程为
…………5分 （2）假设存在直线
，使得 易得当直线 垂直于 轴时，不符合题意，故设直线 方程为 ， 由直线 与圆O相切，可得 ……（1） …………7分
22．（本题满分15分）已知函数 （1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值；
（2）当函数f（x）的最大值为0时，求实数a的取值范围。 解：（1）当a=-1时，
的方程；若不存在，请说明理由．
22．（本题满分15分） 已知函数
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值； （2）当函数f（x）的最大值为0时，求实数a的取值范围。
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤．
18．（本题满分14分） 已知函数
，且
（1）当
时，函数
当0<x<1时，
当1<x<2时，
又函数f（x）是连续函数，所以f（x）在[0，2]上是增函数， …………4分 ∴函数f（x）的最大值f（x）max= f（2）=10 …………6分 （2）1°当a≤0时，f（0）=0，当0<x≤2时f（x）>0，此时不符合题 设，…………8分 2°当a>0时，
∵0≤x≤2 ∴3x+a>0 （i）当a≥2时，
程或演算步骤。 18．（本题满分14分）
已知函数
，且
（1）当 时，函数
的值域； （2）已知 是
的最大内角，且
,求
19．（本题满分14分） 如图，在直角
中，
，
为线段
上的点, ,将
沿直线 翻折成 ，使平面 平面 ,且 , 平面 （1）问 点在什么位置？ （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。
20．（本题满分14分） 已知数列 满足： ，
的值域； （2）已知
是
的最大内角，且
,求
19．（本题满分14分） 如图，在直角 中， ， 为线段
上的点, ,将 沿直线 翻折成 ，使平面 平面 ,且 , 平面 （1）问 点在什么位置？ （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。
解：取 的中点记为 ,连接 、 ，
易得 ， 由平面 平面 , 平面 ,得
2007年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分 钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考
证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能 答在试卷上。 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不 能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无 效。 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。
”是不可能事件 4．若
是方程
的解，则
属于区间（ ） A．（
,1） B．（
,
） C．（
,
） D．（0,
） 5．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体
的体积为（ ） A．
B．
C．
D．
A．在圆外 7．在
中，角
、
B．在圆上
C．在圆内
为虚数单位，已知 ，则点
与圆 的关系为（ ） D．不能确定
, 四边形 为平行四边形，得 ，而 , 所以 为 中点。…………7分
21．（本题满分15分）如图，在由圆O：
和椭圆C：
构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为
，直线
与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A， B． （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线
，使得
，若存在，求此时直线
的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）解得：
10．过双曲线 的一个焦点 引它到渐进线的垂线，垂足为 ，延长 交 轴于 ，若
，则该双曲线离心率为
（）
A．
B．
C．
D．3 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。 11．右图是2010年广州亚运会跳水比赛中，八位评委为某运动员
打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，这位 运动员的平均得分为 12．已知函数
，则
13．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 的值为
14．甲、乙、丙、三个人按任意次序站成一排，则甲站中间的概率 为
15．从原点 向圆
作两条切线，切点为
, 则
的值为 16．若不等式组
所表示的平面区域被直线
分为面积相等的两部分，则
的值为 17．设函数
，若不存在
，使得
与
同时成立，则实数
的取值范围是 三、解答题：本大题共5个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过