直线与椭圆的综合应用
第五节椭圆第二课时直线与椭圆的位置关系讲
第二课时直线与椭圆的位置关系一.课标要求，准确定位1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.会解简单的直线与椭圆相关的综合问题.二．考情汇总，名师解读1.会判断直线与圆锥曲线的位置关系，解决弦长、中点弦的计算问题；2.会从不同角度体现判别式、根与系数的关系、点差法、圆锥曲线的性质、线段垂直平分线的性质等知识在直线与圆锥曲线的位置关系中的作用．1．点与椭圆的位置关系，椭圆＋＝）在椭圆内⇔＋<1⇔＋＝⇔＋>1.，椭圆＋＝，联立得（|x或＝·|＝，＝＝·|＝·|＝·（程有解的情况下进行的，不要忽略判别式>0这一前提方法二：几何法对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．()1求椭圆的方程；()2若48.7AB CD+=求直线考向二 求面积或已知面积求参数17．已知椭圆C ：22221x y a b +=223过椭圆上一点只能作一条切线．若椭圆的方程为＋＝）处的切线方程为＋＝=，过点1参考答案：【点睛】本题考查椭圆方程的求解4．A【分析】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式设1122(,),(,)M x y N x y ，由22143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得因为直线l 与椭圆相交，所以0∆>，即22483(k m -）由题意得解得．所以椭圆的方程为．）由得．的坐标分别为，，则，，，．|MN|===．）到直线的距离的面积为．由，解得，经检验，所以．26．8140-+=x y 或2x =【分析】首先判断点P 与椭圆1C 的位置关系，分类讨论切线的斜率是否存在，设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程Δ0=【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，答案第21页，共21页所以CA CB ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，恒等关系的处理，考查转化思想以及计算能力．。
〖2021年整理〗《椭圆的综合问题及应用》完整版教学课件PPT
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反思感悟处理椭圆的中点弦问题的三种途径
1.根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其
中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与
系数的关系结合中点坐标公式求解.
2.点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦
的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的
方法.
3.中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的
另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.
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-16
2
,x1x2=
4 +1
12
2
,
4 +1
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由题意可知 ⊥ , ·=0 即
x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
2
12(1+ )
∴
2
4 +1
解得
−
2
32
2
+4=0,
4 +1
3
k2=4>4,
∴|AB|= 1 + 2 |x1-x2|
专题10 复数及其应用(解析版)(思维导图+知识梳理+方法技巧+易混易错)
专题17 圆锥曲线的综合应用一、知识速览二、考点速览知识点1 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置判断设直线方程为y kx m =+，椭圆方程为22221(0)x ya b a b+=>>联立2222,1,y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得一个关于x 的一元二次方程222222222()20b k a x a kmx a m a b +++-=①0∆>⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②0∆=⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③0∆<⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：=AB 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程22221x y a b-=与直线方程:l y kx b =+联立消去y 得到关于x 的一元二次方程()22222222220ba k x a mkx a m ab ----=，（1）当2220b a k -=，即bk a=±，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个交点； （2）当2220b a k -≠，即b k a≠±，设该一元二次方程的判别式为∆，若0∆>，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若0∆=，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若∆<0，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法若直线:l y kx m =+与双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则12A B x =-或12AB y =-（0k ≠）．（具体同椭圆相同） 知识点3 直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况相交（有两个公共点或一个公共点）； 相切（有一个公共点）； 相离（没有公共点）.2、以抛物线22(0)y px p =>与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率k 不存在，设直线方程为x a =，若0a >，直线与抛物线有两个交点；若0a =，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若0<a ，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率k 存在.设直线:l y kx b =+，抛物线22(0)y px p =>，直线与抛物线的交点的个数等于方程组22y kx by px=+⎧⎨=⎩，的解的个数，即二次方程2222()0k x kb p x b +-+=（或22220k y py bp -+=）解的个数. ①若0k ≠，则当0∆>时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当0∆=时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当0∆<时，直线与抛物线相离，无公共点.②若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点. 3、直线与抛物线相交弦长问题 （1）一般弦长设AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y . ①弦长公式：212122111AB k x y k +-+-（k 为直线AB 的斜率，且0k ≠）. ②0AB p k y =, 推导：由题意，知2222y px =，① 2112y px = ② 由①-②，得121212()(=2()y y y y p x x +--），故1212122y y py y x x -=+-，即0AB p k y =. ③直线AB 的方程为000()py y x x y -=-. （2）焦点弦长如图，AB 是抛物线22(0)y px p =>过焦点F 的一条弦， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，过点A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为点1A ，1B ，1M ， 根据抛物线的定义有1AF AA =，1BF BB =，11AB AF BF AA BB =+=+ 故11AB AF BF AA BB =+=+.又因为1MM 是梯形11AA B B 的中位线，所以1112AB AA BB MM =+=， 从而有下列结论；①以AB 为直径的圆必与准线l 相切.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(焦点弦长与中点关系)③12AB x x p =++.④若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=. ⑤A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即2124p x x =，212y y p =-.⑥11AF BF +为定值2P.一、直线与圆锥曲线位置关系1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆>；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 【答案】A【解析】将直线l ：()()211740+++--=m x m y m 变形为l ：(27)40m x y x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，于是直线l 过定点()3,1，而223171181212+=<，于是点()3,1在椭圆C ：2211812x y +=内部， 因此直线l ：()()211740+++--=m x m y m 与椭圆C ：2211812x y +=相交．故选：A ．【典例2】（2023·高三课时练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 【答案】A【解析】直线()12y k x =-+过定点()1,2，∵2142<⨯，∴()1,2在抛物线24x y =内部，∴直线()12y k x =-+与抛物线24x y =相交，故选：A ．【典例3】（2023·四川成都·高三模拟预测）已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩， 故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =， 故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点， 故命题p 成立不能推出命题q 成立， 故p 是q 的必要不充分条件，故选：B.【典例4】（2023上·江西南昌·高三校考阶段练习）已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=，若直线与双曲线左支交于两点，求实数k 的取值范围.【答案】1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为直线与双曲线224x y -=左支交于两点，所以两点横坐标皆小于2-，把1y kx =-代入224x y -=得：()221250k x kx -+-=，所以()()22125f x k x kx =-+-有两个小于2-的零点，因为()050f =-<，所以210k -<，所以()()()()()()22222210Δ4201022212122250k k k k k f k k ⎧-<⎪=+->⎪⎪⎨-<-⎪-⎪⎪-=--+⨯--<⎩，解得1k <<-，则实数k 的范围为1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.二、直线与圆锥曲线的弦长问题设11()M x y ，，22()N x y ，根据两点距离公式||MN =．（1）若M N 、在直线y kx m =+上，代入化简，得12||MN x -；（2）若M N 、所在直线方程为x ty m =+，代入化简，得12||MN y =-（3）构造直角三角形求解弦长，||MN 2121|||||cos ||sin |x x y y αα--==．其中k 为直线MN 斜率，α为直线倾斜角． 【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆2219x y +=，过左焦点F 作倾斜角为π6的直线交椭圆于A 、B两点，则弦AB 的长为 ． 【答案】2【解析】在椭圆2219x y +=中，3a =，1b =，则c ()F -，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由题意可知，直线AB 的方程为3223yx ，即x =-联立2299x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得21210y --=，1664121440∆=⨯+⨯=>，由韦达定理可得12y y +=，12112y y =-，所以，2AB =. 故答案为：2.【典例2】（2023·四川乐山·高三统考二模）已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线24y x =交于点A 、B ，以线段AB 为直径的圆经过定点()2,0D ，则AB =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【答案】C 【解析】记10m k=>，则直线l 的方程可表示为2x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立224x my y x=-⎧⎨=⎩可得2480y my -+=，216320m ∆=->，可得22m >，由韦达定理可得124y y m +=，128y y =，()()11112,4,DA x y my y =-=-，()()22222,4,DB x y my y =-=-，由已知可得DA DB ⊥，则()()()()212121212441416DA DB my my y y m y y m y y ⋅=--+=+-++()2228116162480m m m =+-+=-=，可得23m =， 所以，()22221212141163213163328AB m y y y y m m ++-+-=+⨯-=.故选：C.【典例3】（2023·新疆喀什·高三校考模拟预测）已知双曲线C 两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l 经过C 的右焦点，且与C 相交于A 、B 两点. （1）求C 的标准方程；（2）若直线l 与该双曲线的渐近线垂直，求AB 的长度.【答案】（1）223y x -=1；（2）3 【解析】（1）因为直线l 经过C 的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上， 因为双曲线C 两条准线之间的距离为1，所以有222112a a a c c c ⎛⎫--=⇒= ⎪⎝⎭， 又因为离心率为2，所以有122c a a c =⇒=代入212a c =中，可得2221,2413a cbc a ==⇒=-=-=，∴C 的标准方程为：2213y x -=；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为3y x =，所以直线l 的斜率为3 由于双曲线和两条直线都关于y 轴对称， 所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值， 所以直线与双曲线交于左右两支， 因此不妨设直线l 3方程为)32y x -与双曲线方程联立为： )222138413032y x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=-⎪⎩，设()()1122,,,A x y B x y ，则有1212113,28x x x x +=-=-，()()222121212123232323113144 3.348AB x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-=+--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x ，y 当成常量，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式(k 是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组⎩⎨⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．【典例1】（2022·江苏泰州·高三统考模拟预测）已知1l ，2l 是过点()0,2的两条互相垂直的直线，且1l 与椭圆22:14x y Γ+=相交于A ，B 两点，2l 与椭圆Γ相交于C ，D 两点． （1）求直线1l 的斜率k 的取值范围；（2）若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标． 【答案】（1）⎛⋃ ⎝⎭⎝；（2）证明见解析；定点20,5⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据题意直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0直线1l ，2l 分别为2y kx =+，12y x k=-+，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224116120k x kx +++=， 由()()2216412410k k ∆=-⨯+>得243k >，则k <或k > 同理2143k ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则k < 所以k的取值范围为⎛⋃ ⎝⎭⎝． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）得()224116120k kx +++=，所以1221641k x x k +=-+，则1228241Mx x k x k +==-+， 所以22282224141M M k y kx k k =+=-+=++，则2282,4141k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理22282,44k k N k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，则直线MN 的方程为22222222228441884141441k k k k y x k k k k k k -⎛⎫++-=+ ⎪++⎝⎭+++， 化简整理得21255k y x k -=+因此直线MN 经过一个定点20,5⎛⎫⎪⎝⎭．【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校联考模拟预测）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:m x =（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．【答案】（1）22195x y -=；（2）证明见解析 【解析】（1）设曲线E 上任意一点(,)Q x y=化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；（2）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--， 即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又k >0t >， 所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=， 将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭， 将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959kt t M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==||OM ==． 由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为k >0t >，所以9t k =， 因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．【典例3】（2022上·江苏苏州·苏州中学高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线21:4C y x =上，圆2222:(2)(02).C x y r r -+=<<（1）若1r =，Q 为圆2C 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若点P 的纵坐标为4，过P 的直线,m n 与圆2C 相切，分别交抛物线1C 于,A B （异于点P ），求证：直线AB 过定点． 【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）设()2,2P t t ，则21111PQ PC ≥-=≥，当()0,0P ，Q 为2PC 线段与圆2C 的交点时，min 1PQ = （2）题意可知()4,4P ，过P 点直线()44y k x -=-与圆2C 相切，r =，即()222416160r k k r --+-=，①设直线AB 为：()()441m x n y -+-=， 则与抛物线C 的交点方程可化为：()()()()()()24844444(4)4y y m x n y x m x n y -+--+-=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令44y z x -=-，则：()()2188440n z m n z m ++--=，② 题意有，①②方程同解，故有()()()[]()2233164164818444y r r m n m n -⎡⎤⎣=---+⨯=--+-⎦-， 即：2111m n -=，所以直线AB 为：()()1114412n x n y +-+-=，即6(11252)0x n x y -++-=， 由60112520x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得67x y =⎧⎨=-⎩，直线AB 恒过()6,7-．四、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得；3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【典例1】（2023上·四川·南江中学高三校联考阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点()830,1,(,)55C D ---．（1）求椭圆的方程． （2）设P 是椭圆上一点（异于,C D ），直线,PC PD 与x 轴分别交于,M N 两点．证明在x 轴上存在两点,A B ，使得MB NA ⋅是定值，并求此定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定值为12-.【解析】（1）设椭圆方程为221px qy +=，则164912525q p q =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()()()00,,,0,,0P x y A m B n ，(,0),(,0)M N M x N x ，则00(,1),(,1)M CM x CP x y ==+，由//CM CP ，得00(1)M x y x +=，而010y +≠，于是001M x x y =+，008383(,),(,)5555N DN x DP x y =+=++，同理008338()()()5555N x y x ++=+，而0305y +≠，于是000385535N x y x y -=+， 则000003855(,0),(,0)315x y x NA m MB n y y -=-=-++，00000000000038(583355()()31(1)(53))()5x y x ny n x my y m x MB NA n m y y y y -+-++-⋅=--=++++， 令00058333my y m ny n ++=--，而00(,)P x y 是椭圆上的动点，则583,33m n m n +=-=-，得4,4n m ==-，于是()()()2222200000020000003443(44)(4412(583)12]1533[1)(5)58)3(y x y y y y MB NA y y y y y y ⎡⎤-+--+---++⎣⎦⋅====-++++++， 所以存在()4,0A -和()4,0B ，使得MB NA ⋅是定值，且定值为12-.【典例2】（2023上·广东深圳·高三统考期末）点M 是平面直角坐标系xOy 上一动点，两直线1:l y x =，2:l y x =-，已知1MA l ⊥于点A ，A 位于第一象限；2MB l ⊥于点B ，B 位于第四象限.若四边形OAMB 的面积为2.（1）若动点M 的轨迹为C ，求C 的方程.（2）设(),M s t ，过点M 分别作直线MP ，MQ 交C 于点P ，Q .若MP 与MQ 的倾斜角互补，证明直线PQ 的斜率为一定值，并求出这个定值.【答案】（1）()2240x y x -=>；（2）证明见解析，定值为s t-.【解析】（1）设(),M x y ，依题意得0x >且x y x >>-，即0x y ->且0x y +>，设(),A n n ，则(),MA x n y n =--， 因为直线1l 的方向向量为()1,1， 所以()1,10MA x n y n ⋅=-+-=，2x y n +=，即,22x y x y A ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以)2x y x OA +⎛==， ),2x y x MA -⎛== 所以四边形OAMB 的面积为2222x y OA MA -⋅==，即动点M 的轨迹方程为()2240x y x -=>.（2）设直线():MP y t k x s -=-（1k <-或1k >），则():MQ y t k x s -=--，联立()224,,x y y t k x s ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩得()224x kx ks t ⎡⎤---=⎣⎦， 整理得()()()2221240k x k ks t x ks t -+----=，所以()221P k ks t s x k -+=-，即222222211P k s kt k s kt sx s k k --+=-=--，所以()22221P P k t ksy k x s t t k -+=-+=+-，同理得22221Q k s kt x s k +=--，22221Q k t ksy t k --=+-，所以直线PQ 的斜率44Q P Q P y y ks sk x x kt t--===--，得证.【典例3】（2023·河北衡水·高三模拟预测）已知点(1,2)M -在抛物线2:2(0)C y px p =>上，过点(0,1)N -的直线l 与C 相交于,A B 两点，直线,MA MB 分别与y 轴相交于点,D E . （1）当弦AB 的中点横坐标为3时，求l 的一般方程;（2）设O 为原点，若,DN mON EN nON ==，求证:mnm n+为定值. 【答案】（1）10x y --=或2330x y ++=；（2）证明见解析【解析】（1）由点(1,2)M -在抛物线2:2C y px =上，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.设直线l 的方程为()()11221(0),,,,y kx k A x y B x y =-≠.由241y xy kx ⎧=⎨=-⎩，得22(24)10k x k x -++=. 依题意22(24)410k k ∆=+-⨯⨯>，解得1k >-且0k ≠. 且121222241,k x x x x k k ++==. 因为弦AB 的中点横坐标为3，所以126x x +=，即2246k k +=，解得1k =或23k =-， 所以l 的一般方程为10x y --=或2330x y ++=.（2）直线MA 的方程为1122(1)1y y x x ++=--， 又111y kx =-，令0x =，得点D 的纵坐标为111(2)1D k x y x -+=-.所以111(2)0,1k x D x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，同理得点E 的坐标为221(2)0,1k x E x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭.由,DN mON EN nON ==，得11(1)11D k x m y x +=+=--，22(1)11E k x n y x +=+=--. 所以12121111(1)(1)x x m n k x k x --+=+++1212112(242)211x x k k x x k ⎛⎫+=-=+-= ⎪++⎝⎭. 所以11112mn m n m n==++，即mn m n +为定值12.五、圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【典例1】（2022上·江苏宿迁·如东中学高三校考期中）已知12,F F 为椭圆C 的左､右焦点，点3P ⎛ ⎝⎭为其上一点，且124PF PF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m ，使得34OA OBOM ，求m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为点3P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且124MF MF +=， 所以22241314a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,,A x y B x y 又()0,M m ， 由34OA OBOM 得，12123,30,4x x y y m ，123x x =-联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222418440k x kmx m +++-= 222(8)4(41)(4m 4)0km k ∆=-⨯+⨯->，即226416160k m -+>，22410k m ∴-+>，且12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又123x x =-22441kmx k ，则222122224443()4141km m x x x k k -⋅=-==++222216410k mkm，2221416m km ，代入22410k m -+>得22211014m m m -+->-， 2114m <<，解得111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【典例2】（2023·河北秦皇岛·高三校联考二模）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>实轴的一个端点是P ，虚轴的一个端点是Q ，直线PQ 与双曲线的一条渐近线的交点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求双曲线的方程；（2）若直线1(01)y kx k k=+<<与曲线C 有两个不同的交点,A B O 、是坐标原点，求OAB的面积最小值.【答案】（1）221x y -=；（2）【解析】（1）设点(),0P a ，点()0,Q b ，则直线PQ 的方程为1x y a b+=，与渐近线b y x a =联立，得1x ya b b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解之得22a x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线PQ 与双曲线的一条渐近线交点为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭，又直线PQ 与双曲线的一条渐近线的交点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以122122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1a b ==，因此双曲线方程为221x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，把1y kx k =+代入221x y -=，得()22211210k x x k----=，则()()422122224112Δ44110,1k k k x x k k k -+⎛⎫=+-+=>+= ⎪-⎝⎭ ，2122111k x x k--=-，12AB x =-==点O 到直线1y kx k=+的距离211k d k =+所以OAB 的面积为()()242422222242111111212222111k k k k kS AB d k k k k k k +-+-==⨯+=⨯+--()242241k k k k +-=-令24t k k =-，所以22111t S t t t+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 令1s t=，则2S s s =+因为01k <<，所以201k <<， 由221124t k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，得104t <≤，由1s t=，得4s ≥，由221124S s s s ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭16425S ≥+=即当21124,,,42s t k k ====时，等号成立，此时满足Δ0>，所以OAB 面积的最小值为5【典例3】（2023·全国·高三模拟预测）已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线C于A 、B 两点，且112AF BF+=． （1）求抛物线C 的方程；（2）若O 为坐标原点，过点B 作y 轴的垂线交直线AO 于点D ，过点A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为E ，AE 的中点为G ，求GB DG的取值范围．【答案】（1）22y x =；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，设直线AB 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2220y pmy p --=，222440p m p ∆=+>，由韦达定理可得122y y pm +=，212y y p =-，()()()12121212211111122m y y p p p AF BF my p my p my p my p x x +++=+=+=++++++()()()()22122222222221212212222221p m m y y p pm pm y y mp y y p m p m p p pp m ++++=====+++-+++，解得1p =， 所以，抛物线C 的方程为22y x =. （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，则10x >，由（1）可得122y y m +=，121y y =-，又因为直线AO 的方程为11211122y y y x x x y x y ===， 将2y y =代入直线AO 的方程可得212y x y =， 可得12122y y x ==-，即点21,2D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，221122DF y k y ==---， 因为AE DF ⊥，则211AE DF k k y =-=， 所以，直线AE 的方程为()1121y y x x y -=-， 联立()112212y y x x y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩可得2212220y y y x ---=，则122E y y y +=，故212E y y y =-，则()22122111212121212142E E x y y x y y y x x y y y x x =++=-++=+-+=++，由AE 的中点为G ，可得()12221,G x x y ++， 故G 、B 、D 三点共线，则1221212122111321222GB x x x x x GDx x x x ++-++==+++++．又由121y y =-，知221212144y y x x ==，故()()2111111221111111111141221411131346221222222x x x GB x x x GD x x x x x x x x ++++++===-=-++++++++1111,1222x ⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭. 故GB GD的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．六、圆锥曲线中的证明问题1、圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过3(1,)2和两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P 和Q （不同于B ，A ）.证明：点B 在以PQ 为直径的圆内.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）依题意，将点3(1,)2和的坐标代入椭圆22221x y a b +=，得222219142312a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=（2）由（1）知()()2,0,2,0A B -，显然点M 不在x 轴上，设()4,,0M t t ≠，()(),,,P P Q Q P x y Q x y ，直线,AM BM 斜率分别为,62AM BM t tk k ==，直线AM 的方程为()26ty x =+，BM 的方程为()22t y x =-，由()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()222227441080t x t x t +++-=，显然0∆>， 于是224108227P t x t --=+，解得2254227P t x t -=+，则()2182627P P t ty x t =+=+，由()2222143t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()2222344120t x t x t +-+-=，显然0'∆>，于是2241223Q t x t -=+，解得22263Q t x t -=+，则()26223Q Q t ty x t =-=-+，因此22222254218418(2,)(,)27272727t t t t BP t t t t --=-=++++，22222266126(2,)(,)3333t t tBQ t t t t--=--=-++++， 则()()2222222241218660()()027*******t t t t BP BQ t t t t t t --⋅=⨯-+⨯-=++++++<， 则有PBQ ∠为钝角， 所以点B 在以PQ 为直径的圆内.【典例2】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）点F 是抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点，O 为坐标原点，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，AB 4=，抛物线Γ的准线与x 轴交于点K ．（1）求抛物线Γ的方程；（2）设C 、D 是抛物线Γ上异于A 、B 两点的两个不同的点，直线AC 、BD 相交于点E ，直线AD 、BC 相交于点G ，证明：E 、G 、K 三点共线． 【答案】（1）24y x =；（2）详见解析.【解析】（1）抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点坐标为：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭过点F 作垂因为直于x 轴的直线l ，与抛物线Γ相交于A ，B 两点，且AB 4=， 不妨设,2,,222p p A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222p p =⋅，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线Γ的方程为24y x =； （2）如图所示：由（1）知()()1,2,1,2A B -，设()22121212,,,2,244y y C y D y y y ⎛⎫⎛⎫≠≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线AC 的方程为：()()12112421,21214y y x y x y y --=--=-+-，直线BD 的方程为：()()22222421,21214y y x y x y y ++=-+=---，联立得()()1242124212y x y y x y ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=-⎪-⎩，解得()1212121212424y y y y x y y y y y y y -+⎧=⎪-+⎪⎨+⎪=⎪-+⎩，则()12121212122,44y y y y y y E y y y y +⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭，所以()()()()1212121212121212121212122224441144EKy y y y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y y y +++-+-+===-+-++--+-+-+， 则直线BC 的方程为：()()12112421,21214y y x y x y y ++=-+=---，直线AD 的方程为：()()22222421,21214y y x y x y y --=--=-+-，联立得()()1242124212y x y y x y ⎧+=-⎪-⎪⎨⎪-=-⎪+⎩，解得()1221211221424y y y y x y y y y y y y -+⎧=⎪-+⎪⎨+⎪=⎪-+⎩，则()12122121212,44y y y y y y G y y y y +⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭，所以()()()()1212122121122112211221212224441144GKy y y y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y y y +++-+-+===-+-++--+-+-+，则EK GK k k =， 所以E ，K ，G 三点共线.七、圆锥曲线中的探索性问题“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．【典例1】（2023下·河南开封·通许一中高三校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点⎛- ⎝⎭和2⎛ ⎝⎭． （1）求C 的方程；（2）不过原点O 的直线l 与C 交于不同的,P Q 两点，且直线,,OP PQ OQ 的斜率成等比数列．在C 上是否存在一点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在；)12y x =+或)12y x =-或)12y x =-+或)12y x =-.【解析】（1）由题意可得2222112113241a ba b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为2212x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率一定存在，设直线的l 方程为0),(0y kx m k m ≠+≠=，设())(1122,,,P x y Q x y ，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214220k x kmx m +++-=， 需满足228(21)0k m ∆=-+>，则()2121222214,2121-+=-=++m km x x x x k k ， 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，故()2212212221y y m k x x m -=-；由于直线,,OP PQ OQ 的斜率成等比数列，即2()PQ OP OQ k k k =，即21212y y k x x =， 故()2222221m k k m -=-，解得212k =， 存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形，理由如下：四边形OPMQ 为平行四边形，则())(1122,,OM OP OQ x y x y =+=+, 故()1212,M x x y y ++，又点M 在椭圆C 上，故()()22121212x x y y +++=，因为()()2222122216221k m x x m k+==+，()()()()22222212121212244y y k x x m k x x km x x m m +=++=++++=⎡⎤⎣⎦所以221m m +=，即212m =， 当2211,22==k m ，满足228(21)0k m ∆=-+>，所以直线l 的方程为)21y x =+或)21y x =-或)21y x =+或)21y x =-.【典例2】（2023上·重庆·高三统考阶段练习）已知抛物线2:2C y px =经过点(2,6-，直线1:(0)l y kx m km =+≠与C 交于A ，B 两点（异于坐标原点O ）．（1）若0OA OB ⋅=，证明：直线1l 过定点．（2）已知2k =，直线2l 在直线1l 的右侧，12//l l ，1l 与2l 之间的距离5d =2l 交C 于M ，N 两点，试问是否存在m ，使得||||10MN AB -=？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．24【解析】（1）证明：将点(2,26-代入22y px =，得244p =，即6p ．联立212,,y x y kx m ⎧=⎨=+⎩得212120ky y m -+=，由0km ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212m y y k =，()222212121221212144y y y y m x x k =⋅==．因为0OA OB ⋅=，所以212122120m mx x y y k k+=+=恒成立，则12m k =-，所以1l 的方程为(12)y k x =-， 故直线1l 过定点(12,0)．（2）联立212,2,y x y x m ⎧=⎨=+⎩得224(412)0x m x m +-+=，则122123,,4x x m m x x +=-+⎧⎪⎨=⎪⎩且22(412)1648(32)0m m m ∆=--=->，即32m <， ()222121212||12124596AB x x x x x m =+-=++--设2:2l y x n =+，同理可得||596MN n =- 因为直线2l 在1l 的右侧，所以n m <， 则55d ==5n m =-． 所以||||596(5)9610MN AB m m ⎡-=---=⎣， 3962596m m --3124m =，因为313242<，所以满足条件的m 存在，3124m =.【典例3】（2023上·重庆·南开中学高三校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，渐近线方程为12y x =±，焦点到渐近线距离为1，直线:l y kx m =+与C 左右两支分别交于P ，Q ，且点2323m k ⎝⎭在双曲线C 上.记APQ △和BPQ 面积分别为1S ，2S ，AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k（1）求双曲线C 的方程；（2）若12432S S =，试问是否存在实数λ，使得1k -，k λ，2k .成等比数列，若存在，求出λ的值，不存在说明理由.4【解析】（1）由题可得222121b a c a b ⎧=⎪⎪==+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线C 的方程为2214x y -=； （2）由点⎝⎭在22:14x C y -=上可得：2243m k -=. 联立y kx m =+和22:14x C y -=整理得：()()222148410k x kmx m ---+=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有：122814km x x k +=-，21224(1)14m x x k -+⋅=-， ()22Δ1641640m k =-+=>，又由直线交左右两支各一点可得：21224(1)014m x x k -+⋅=<-，所以2140k ->，即214k <，所以12PQ x =-==， 又()2,0A -到直线:l y kx m =+的距离1d =()2,0B 到直线:l y kx m =+的距离2d =所以2212224311m k d d k k -==++，所以()12122211484322214S S PQ d PQ d k ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以23(14)1k -=（2140k ->），解得216k =， 又121212121221222()4y y y y k k x x x x x x =⋅=+-+--， 其中2222121212122243()()()1414m k y y kx m kx m k x x km x x m k k -=++=+++==--， 212212224(1)842()424141414m x x x x k k k -+-+--=+-=---， 所以1212122132()44y y k k x x x x ==-+--，假设存在实数λ，使得1k -，k λ，2k 成等比数列， 则有2212k k k λ=-，所以21364λ=，解得λ=λ=.易错点2 忽视直线与双曲线相交的特殊性点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。
高二数学圆锥曲线试题答案及解析
高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实根，，则点（）A．必在圆内B．必在圆上C．必在圆外D．以上三种情况都有可能【答案】A【解析】本题只要判断与2的大小，时，点在圆上；时，点在圆内；时，点在圆外.由已知，，椭圆离心率为，从而，点在圆内，故选A.【考点】1.点与圆的位置关系；2.二次方程根与系数的关系.2.若抛物线y2＝4x上的点A到其焦点的距离是6，则点A的横坐标是( )A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由抛物线的方程可知抛物线的准线为，根据抛物线的定义可知点到其准线的距离也为6，即，所以。
故A正确。
【考点】抛物线的定义。
3.设一个焦点为,且离心率的椭圆上下两顶点分别为,直线交椭圆于两点,直线与直线交于点.(1)求椭圆的方程；(2)求证：三点共线.【答案】(1)(2)详见解析.【解析】(1)利用椭圆的定义和几何性质；(2)直线与圆锥曲线相交问题，可以设而不求，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题目条件来证明.试题解析：(1)由题知，，∴，3分∴椭圆.4分(2) 设点，由(1)知∴直线的方程为，∴.5分∴，，8分由方程组化简得:,,.10分∴,∴三点共线.12分【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交问题；3.韦达定理.4.已知双曲线的右焦点为，若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由渐进线的斜率.又因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以.所以.故选A.本小题关键是对比渐近线与过焦点的直线的斜率的大小.【考点】1.双曲线的渐近线.2.离心率.3.双曲线中量的关系.5.点P是抛物线y2 = 4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 .【答案】【解析】抛物线y2 = 4x的焦点，点P到准线的距离与点P到点F的距离相等，本题即求点P到点的距离与到点的距离之和的最小值，画图可知最小值即为点与点间的距离，最小值为.【考点】抛物线的定义.6.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=-2px,将p代入可得y2=-4x．选A.【考点】抛物线的性质点评：本题主要考查抛物线的基本性质以及计算能力．在涉及到求抛物线的标准方程问题时，一定要先判断出焦点所在位置，避免出错．7.动点到两定点,连线的斜率的乘积为（）,则动点P在以下哪些曲线上（）（写出所有可能的序号）①直线②椭圆③双曲线④抛物线⑤圆A．①⑤B．③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤【答案】C【解析】由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零所以kPA •kPB=，整理得，点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2（x≠±a）；①当k＞0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（除去A，B两点）②当k=0，点P的轨迹是x轴（除去A，B两点）③当-1＜k＜0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A，B两点）④当k=-1时，点P的轨迹是圆（除去A，B两点）⑤当k＜-1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A，B两点）.故选C.【考点】圆锥曲线的轨迹问题．点评：本题考查圆锥曲线的轨迹问题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．8.已知F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则该椭圆的离心率等于【答案】－1【解析】根据题意，由于F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，且有△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则可知为点P到x轴的距离是Q到x轴距离的3：2倍，那么结合勾股定理可知该椭圆的离心率等于－1 ，故答案为－1 。
椭圆的简单几何性质(3)
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
一.直线复习
1.倾斜角、斜率、截距 (1) 直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，叫做这 条直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围是［0，π) (2)若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则k＝tanα，叫做这条直 线的斜率.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)
16 则弦长|AB|= _______ , 52 2
由点差法，易得椭圆不同两点所在直线为 y
2 2 m ( 13, 13) 13 13
3x.
又 y 4 x m, 得 M (m, 3m), 点M 在椭圆内有
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法：
弦长公式： |AB|=
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
直线与椭圆的位置关系综合应用 例1已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
x
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于A, B 两点 (A, B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右 顶点．求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
3．两条直线的平行与垂直 两条直线有斜率且不重合，则 l1∥l2k1=k2 两条直线都有斜率，l1⊥l2k1· k2=-1
若直线 l1 ： A1x+B1y+C1=0 ， l2 ： A2x+B2y+C2=0 ， 则 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 (无论直线的斜率是否存在， 此式均成立，所以此公式用起来更方便.) 4.点到直线的距离公式为：d
第十三单元§13.2直线与椭圆的综合应用
§13.2直线与椭圆的综合应用一椭圆的焦点弦1.a+c与a-c分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值.2.椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长,是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值.二直线与椭圆的位置关系的研究方法1.弦长问题,应用弦长公式及韦达定理,设而不求;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线的定义的运用,以简化运算.2.中点弦问题,除了利用韦达定理外,要注意灵活运用“点差法”,设而不求,简化运算.3.定值问题,常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关.也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明.4.定点问题,常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点.也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明.5.范围(最值)问题:(1)利用判别式构造不等关系,确定参数的取值范围(最值);(2)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,求出参数的取值范围(最值);(3)利用基本不等式,求出参数的取值范围(最值);(4)利用函数的值域,确定目标变量的取值范围(最值);(5)利用几何图形中的边角大小关系,确定参数的取值范围(最值).E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若+=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是().A. B.C. D.【解析】设左焦点为F1,连接AF1,BF1.则四边形BF1AF是平行四边形,故=,所以+=4=2a,所以a=2.设M(0,b),则≥,故b≥1,从而a2-c2≥1,所以0<c2≤3,所以0<c≤,所以椭圆E的离心率的取值范围是,故选A.【答案】AF1,F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线与椭圆交于M,N两点,则△MNF2的周长为().A.16B.8C.25D.32【解析】由椭圆的定义,得△MNF2的周长L=|MN|+|MF2|+|NF2|=(|MF1|+|MF2|)+(|NF1|+|NF2|)=2a+2a=4a=4×4=16.【答案】AF1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为().A.B.C.D.【解析】设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°.在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos 60°==-=,解得=,故E的离心率e=.【答案】CC:+=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在C上且k P A2=-1,那么k P A1=().A.B.C.1 D.2【解析】依题意知a=2,∴A1(-2,0),A2(2,0).设P(x,y),则k P A1k P A2=·-=-.∵y2=3-,∴k P A1×(-1)=---,解得k P A1=.【答案】B题型一椭圆中的定值问题【例1】已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.(1)求椭圆E的方程.(2)如图,设椭圆E的上,下顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,直线PA1,PA2分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T,证明:线段OT的长为定值.【解析】(1)由e==-=,得a=2b,①又2a+2b=6,即a+b=3,②联立①②,得a=2,b=1,故椭圆E的方程为+y2=1.(2)由(1)可知,A1(0,1),A2(0,-1),设P(x0,y0),显然,直线PA1,PA2的斜率均存在,则直线PA1的方程为y-1=-x,令y=0,得x N=--.直线PA2的方程为y+1=x,令y=0,得x M=.由切割线定理可得|OT|2=|OM||ON|=-=4,∴|OT|=2,即线段OT的长为定值2.【追踪训练1】已知椭圆C:+=1(a>b>0),过焦点垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形.(1)求椭圆的方程.(2)过点Q(-1,0)的直线l交椭圆于A,B两点,交直线x=-4于点E,=λ,=μ.判断λ+μ是否为定值,若是,计算出该定值;若不是,请说明理由.【解析】(1)由条件得解得∴椭圆的方程为+y2=1.(2)由题易知直线l斜率存在,令l:y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(-4,y0), 由得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0,∴x1+x2=-,x1x2=-.由=λ得(-1-x1,-y1)=λ(x2+1,y2),即--解得λ=-.由=μ得(-4-x1,y0-y1)=μ(x2+4,y2-y0),即---解得μ=-.∴λ+μ=-=-.将x1+x2=-,x1x2=-代入, ∴λ+μ=---=---=0.题型二椭圆中的定点问题【例2】已知A,B是椭圆+y2=1上的两点,且=λ,其中F为椭圆的右焦点.(1)求实数λ的取值范围.(2)在x轴上是否存在一个定点M,使得·为定值?若存在,求出定值和定点坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知条件知直线AB过椭圆右焦点F(1,0).当直线AB与x轴重合时,λ=3±2.当直线AB不与x轴重合时,可设AB:x=my+1,代入椭圆方程,并整理得(2+m2)y2+2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-.所以=-∈(-4,0].又由=λ,得-y1=λy2,所以==-λ-+2∈(-4,0],解得3-2<λ<3+2.综上,实数λ的取值范围是[3-2,3+2].(2)设M(a,0),则·=(x1-a)(x2-a)+y1y2=(my1+1-a)(my2+1-a)+y1y2=(1+m2)y1y2+m(1-a)(y1+y2)+(1-a)2=---+(1-a)2=--为定值,所以2a2-4a+1=2(a2-2),解得a=.故存在定点M,使得·为定值-.(经检验,当AB与x轴重合时也成立)【追踪训练2】设M是焦距为2的椭圆E:+=1(a>b>0)上一点,A,B是椭圆E的左、右顶点,直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.(1)求椭圆E的方程.(2)已知椭圆E:+=1(a>b>0)上点N(x0,y0)处的切线方程为+=1.若点P是直线x=2上任意一点,从点P向椭圆E作切线,切点分别为C,D,求证:直线CD恒过定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)设A(-a,0),B(a,0),M(m,n),则+=1,即n2=b2·-.=-,由k1k2=-,即·-=-,则a2=2b2.得-又c2=a2-b2=1,解得a2=2,b2=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)设点P(2,t),切点C(x1,y1),D(x2,y2),则两条切线PC,PD的方程分别为+y1y=1,+y2y=1.因为点P在切线PC,PD上,所以x1+y1t=1,x2+y2t=1,故C(x1,y1),D(x2,y2)均满足方程x+ty=1,即x+ty=1为直线CD的方程.令y=0,得x=1,故直线CD过定点(1,0).题型三椭圆中的范围与最值问题【例3】已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为,坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程.(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点,在线段OF上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),F(c,0)(c>0),由坐标原点O到直线x-y-c=0的距离为,得=,解得c=1.又e==,∴a=,b=1.∴椭圆的标准方程为+y2=1.(2)假设存在点M(m,0)(0<m<1)满足条件,∵直线l与x轴不垂直,∴设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2).得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.由-∵Δ>0恒成立,∴x1+x2=,x1x2=-.设线段PQ的中点为N(x0,y0),则x0==,y0=k(x0-1)=-.∵|MP|=|MQ|,∴MN⊥PQ,∴k M N·k P Q=-1,-·k=-1,∴m==.即-∵k2>0,∴0<m<.【追踪训练3】平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减,得-+-=0.因为--=-1,设P(x0,y0),又P为AB的中点,且OP的斜率为,所以y0=x0,即y1+y2=(x1+x2),解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2),即a2=2c2.又因为c=,所以a2=6.所以M的方程为+=1.(2)因为CD⊥AB,直线AB的方程为x+y-=0,设直线CD的方程为y=x+m,将x+y-=0代入+=1,得2x2-4x=0,解得x=0或x=.不妨令A(0,),B-,可得|AB|=.将y=x+m代入+=1,得3x2+4mx+2m2-6=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则|CD|=·-=-.又因为Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3,所以当m=0时,CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|·|CD|=.方法椭圆中的弦长计算1.有关弦的三个问题涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长;涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑利用圆锥曲线的定义求解.2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为一元二次方程之后,结合根与系数的关系,建立等式关系或不等式关系.(2)点差法:在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ是否为正数.【突破训练】如图,已知P为椭圆E:+=1(a>b>0)上的点,且a2+b2=5,过点P的动直线与圆F:x2+y2=a2+1相交于A,B两点,过点P作直线AB的垂线与椭圆E相交于点Q.(1)求椭圆E的离心率;(2)若AB=2,求|PQ|.【解析】(1)由题意知,+=1,a2+b2=5,a>b>0,解得a2=3,b2=2,所以椭圆E的离心率e=-=.(2)由题意知,圆F的圆心为原点,半径r=2,|AB|=2,所以原点到直线AB的距离d=-·-=1.因为点P的坐标为,所以直线AB的斜率存在,设为k.所以直线AB的方程为y-1=k-,即kx-y-k+1=0,所以d=-=1,解得k=0或k=2.当k=0时,直线PQ的方程为x=,所以|PQ|的值为点P纵坐标的两倍,即|PQ|=2×1=2.当k=2时,直线PQ的方程为y-1=--,代入椭圆E的方程+=1,消去y并整理,得34x2-10x-21=0.设点Q的坐标为(x1,y1),所以+x1=,解得x1=-,所以|PQ|=-=.1.(2018太原模拟)已知点F1、F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则该双曲线的离心率为().A. B. C.2 D.【解析】如图所示,点P与点F2关于直线y=x对称,∴OP=OF2=OF1=c,∴PF1⊥PF2.又∵tan∠PF1F2=,F1F2=2c,∴PF2=2b,PF1=2a.∵点P在双曲线上,∴|PF2|-|PF1|=2a⇒2b-2a=2a⇒b=2a⇒e==.【答案】D2.(2018山西省太原市五中月考)已知P为椭圆+=1上的一个点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.【解析】设圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4的圆心分别为F1(-3,0),F2(3,0),同时两圆心为椭圆的焦点,所以由椭圆定义得+=10.又根据圆外点到圆上点的最小距离等于圆外点与圆心连线长减半径,所以|PM|+|PN|≥-1+-2=+-3=10-3=7.【答案】73.(2018长沙月考)已知椭圆C:+=1(0<m<9)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为10,则m的值为.【解析】由0<m<9可知,焦点在x轴上,∵过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=12,∴|BF2|+|AF2|=12-|AB|.当AB垂直x轴时,|AB|最小,|BF2|+|AF2|的值最大,此时|AB|=,∴10=12-,解得m=3.【答案】34.(2018四川绵阳模考)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与线段AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点,若=6,则k的值为.【解析】依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<0,x2>0.且x1、x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=,由=6,知x0-x1=6(x2-x0),可得x0=(6x2+x1)=x2=.由点D在线段AB上知,x0+2kx0=2,得x0=,所以=,化简得24k2-25k+6=0,解得k=或k=.【答案】或5.(2018湖南六校联考)设椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是4+2.(1)求椭圆C1的方程.(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A、B,过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E,若点C满足AB⊥BC,AD∥OC,连接AC交DE于点P,求证:PD=PE.【解析】(1)由e=知,=,所以c= a.因为△PF1F2的周长是4+2,所以2a+2c=4+2,所以a=2,c=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),设D(x0,y0),所以E(x0,0).因为AB⊥BC,设C(2,y1),所以=(x0+2,y0),=(2,y1).由AD∥OC,得(x0+2)y1=2y0,即y1=,所以直线AC的方程为=,整理得y=(x+2).又点P在直线DE上,将x=x0代入直线AC的方程,可得y=,即点P的坐标为,所以P为DE的中点,所以PD=PE.6.(2018汉中市质检)已知直线l:y=kx+与y轴的交点是椭圆C:x2+=1(m>0)的一个焦点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为直线l:y=kx+与y轴的交点坐标为F(0,),所以椭圆C:x2+=1(m>0)的一个焦点坐标为F(0,),所以椭圆的焦半距c=,所以m=c2+1=3+1=4,故椭圆C的方程为+x2=1.(2)将直线l的方程y=kx+代入+x2=1并整理,得(k2+4)x2+2kx-1=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.假设以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,则·=0,即x1x2+y1y2=0.又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3,所以--+3=0,解得k=±.经检验知,此时Δ>0,符合题意.故存在k=±,使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.7.(2018河北衡水中学高三上学期五调)已知椭圆C:+=1(a>b>0),圆Q:(x-2)2+(y-)2=2的圆心Q在椭圆C上,点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2,且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于C,D两点,且M为CD的中点,求△MAB面积的取值范围.【解析】(1)∵椭圆C的右焦点F(c,0),=,∴c=2.∵点(2,)在椭圆C上,∴+=1.由a2-b2=4得a2=8,b2=4,∴椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可得l1的斜率不为零,当l1垂直x轴时,△MAB的面积为×4×2=4,当l1不垂直x轴时,设直线l1的方程为y=kx+,则直线l2的方程为y=-x+,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2+4kx-4=0,∴x1+x2=-,x1x2=-,则=-=.由圆心Q(2,)到l2的距离d1=<得k2>1,又MP⊥AB,QM⊥CD,∴GM∥AB,∴点M到AB的距离等于点Q到AB的距离,设为d2,即d2=-=,∴△MAB面积S=d2==4.令t=2k2+1∈(3,+∞),则∈,S=4-=4--∈,综上,△MAB面积的取值范围为.8.(2018四川巴蜀联盟)如图,点M在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B(A,B不重合)两点,求·的取值范围.【解析】(1)由已知得,2a=4,∴a=2.又点M在椭圆+=1(a>b>0)上,∴+=1,解得b2=2,∴所求椭圆的方程为+=1.(2)∵k O M=,∴k A B=-.设直线AB的方程为y=-x+m,联立方程消去y得13x2-4mx+2m2-4=0.-∵Δ=(4m)2-4×13(2m2-4)=8(12m2-13m2+26)>0,∴m2<26.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.·=x1x2+y1y2=7x1x2-m(x1+x2)+m2=-.结合0≤m2<26,可得·的取值范围是-.9.(2018福州模拟)已知点A(-4,0),直线l:x=-1与x轴交于点B,动点M到A,B两点的距离之比为2.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)设C与x轴交于E,F两点,P是直线l上一点,且点P不在C上,直线PE,PF分别与C交于另一点S,T,证明:A,S,T三点共线.【解析】(1)设点M(x,y),依题意,==2,化简得x2+y2=4,即轨迹C的方程为x2+y2=4.(2)由(1)知曲线C的方程为x2+y2=4,令y=0,得x=±2,不妨设E(-2,0),F(2,0),如图.设P(-1,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),则直线PE的方程为y=y0(x+2).由得(+1)x2+4x+4-4=0,所以-2x1=-,即x1=-,y1=.直线PF的方程为y=-(x-2).由--得(+9)x2-4x+4-36=0,所以2x2=-,即x2=-,y2=.所以k A S==-=,k A T==-=,所以k A S=k A T,所以A,S,T三点共线.10.(2018佛山质检)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的焦距为4,左、右焦点分别为F1、F2,且C1与抛物线C2:y2=x的交点所在的直线经过F2.(1)求椭圆C1的方程.(2)分别过点F1、F2作平行直线m、n,若直线m与C1交于A,B两点,与抛物线C2无公共点,直线n与C1交于C,D两点,其中点A,D在x轴上方,求四边形AF1F2D的面积的取值范围.【解析】(1)依题意得2c=4,则左、右焦点分别为F(-2,0)、F2(2,0).所以椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(2,),于是2a=|PF1|+|PF2|=4,从而a=2.又a2=b2+c2,解得b=2,所以椭圆C1的方程为+=1.(2)依题意,直线m的斜率不为0,设直线m:x=ty-2,由-消去x并整理,得y2-ty+2=0,由Δ=(-t)2-8<0,得t2<8.由-消去x并整理,得(t2+2)y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-,所以|AB|=|y1-y2|=-=.因为直线m与n之间的距离d=(即点F2到m的距离),由椭圆的对称性知,四边形ABCD为平行四边形,故S四边形AF1F2D=S四边形ABCD=··=.令=s∈[1,3),则S四边形AF1F2D===∈,所以四边形AF1F2D的面积的取值范围为.11.(2018广东省佛山市高三教学质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)设A(0,-1),直线l与椭圆C交于P,Q两点,且|AP|=|AQ|,当△OPQ(O为坐标原点)的面积S最大时,求直线l的方程.【解析】(1)依题意得+=1,e==,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)显然,直线l的斜率k存在.①当k=0时,可设直线l的方程为y=y0,P(-x0,y0),Q(x0,y0),则+=1.所以S=|2x0|·|y0|=|x0|·|y0|=2-≤2·-=2.当且仅当=2-,即=1时取等号,此时直线l的方程为y=±1.②当k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立消去y整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-2)=0.由Δ=(8km)2-4(1+4k2)·4(m2-2)>0,得8k2+2>m2,(*)则有x1+x2=-,x1x2=-,于是可得PQ的中点坐标为-.因为|AP|=|AQ|,所以--=-,化简得1+4k2=3m,结合(*)可得0<m<6.又点O到直线l的距离d=,·-=-,所以S=|PQ|·d=··-.即S=-=--,所以当m=3时,S取得最大值,此时k=±,直线l的方程为y=±x+3.综上所述,直线l的方程为y=±1或y=±x+3.。
高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.2第二课时 直线与椭圆的位置关系及应用》课件
又 A(－2,0)，∴―AM→·―A→N ＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)
＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1265＝0，
即可得∠MAN＝π2，故∠MAN 为定值．
二、应用性——强调学以致用 2．有一椭圆形溜冰场，长轴长是 100 m，短轴长是 60 m，现要
在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形 ABCD，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点 的位置．这时矩形的周长是多少？ [析题建模] 由题意结合对称性建立平面直角坐标系，根据 椭圆的对称性，可知矩形面积为点 A 的横、纵坐标之积的 4 倍，再结合椭圆方程求其横、纵坐标的值即可求矩形的周长．
(3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个 端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得． 这三种方法中以点差法最为常用，点差法中体现的设而不 求思想，还可以用于解决对称问题.因为这类问题也与弦中点和 斜率有关．
[对点练清]
已知点 P(4,2)是直线 l：x＋2y－8＝0 被焦点在 x 轴上的椭圆所
(1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
a2＝b2＋c2， [解] (1)由题意得ac＝ 36，
2c＝2 2，
所以椭圆 M 的方程为x32＋y2＝1.
解得 a＝ 3，b＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m， 由x32＋y2＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
即xy11－ －yx22＝－ba22xy11＋＋yx22.
因为 kAB＝－12，AB 中点为(4,2)， 所以－12＝－2×ba22，即 a2＝4b2，所以该椭圆的离心率为 e
直线与椭圆综合应用(含答案)
1、（北京文科19）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l ：y=x+2上， 且AB ∥l ．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y=x.设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以12AB x -=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离， 所以12.2ABCh SAB h === （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y=x+m. 由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-= 因为A ，B 在椭圆上， 所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-=所以12AB x =-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即BC =所以22222210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++所以当m=-1时，AC 边最长.（这时12640=-+＞）此时AB 所在直线的方程为y=x-1.2、（福建厦门理工学院附中·2010届高三12月考（文））已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平分弦AB ，求点B 的坐标和实数m 的值． 解：（Ⅰ）由2a ＝4，得a ＝2离心率为a c ，c ＝3………………………2分222c a b -=＝13、且过点(2,1)A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:10l x y --=与椭圆C 交于不同的两点,M N ，的值.【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 第2课时 直线与椭圆
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且 —F1→P⊥—F1→Q ，求直线l的方程.
解 易知椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1， 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
y＝kx－1， 由x22＋y2＝1， 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0， Δ＝8(k2＋1)>0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22＋－11，
所以直线 AB 的方程为 y＝12x－3 或 y＝x－3， 即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.
思维升华
(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立 直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关 系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解. (2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不 存在等特殊情形.
当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组
有两组不同的实数解.这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点.
(2)有且只有一个公共点；
解 当 Δ＝0，即 m＝±3 2时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组 有两组相同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有 一个公共点.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为
√A.相交
C.相离
B.相切 D.不确定
解析 由题意得直线y－1＝k(x－1)恒过定点(1，1)， 而点(1，1)在椭圆x92＋y42＝1 的内部，所以直线与椭圆相交.故选 A.
【一等奖教案】 椭圆与直线的位置关系
教学难点：准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域。 关键：教师引导的逻辑层次要清晰，学生的探求欲望要强烈。
3．教学大纲对这部分内容的要求 了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会进行简单的应用。
4
k k OA
2
OB
,求直线
l
的方程.
3.已知椭圆 C 的两个焦点 F1 (0, 2 2 ). F2(0,－ 2 2 ).离心率 e 6 .
3
①求椭圆 C 的方程；
②是否存在直线 l 使之与圆 x2+y2=1 相切，且切点是 l 与椭圆 C 相交弦的中点？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由.
常用的方法，大家务必掌握. 但是，这种解法显得较繁（特别是方程组 16(k2+4k+3)>0
2
16 k 8k 4 2 1 4k
显得较繁）。下面看解法二：
解二：设弦的两个端点分别为 P(x1,y1) , Q(x2,y2) 则 x1+x2=4, y1+y2=2 ∵在 P(x1,y1) , Q(x2,y2)椭圆上, 故有 x12+4y12=16 两式相减得(x1+x2 )(x1-x2 )+4( y1+y2) ( y1-y2)=0 ∵点 M（2，1）是 PQ 的中点, 故 x1≠x2，
x0
k
0
x
x
故 0
x0
1
∴y
3 y y 1
02
3
x ∴ k
02
A
0
0
2
2022年新高考全国Ⅰ卷数学试题及答案解析
2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合M ={x|√x <4}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =( )A. {x|0≤x <2}B. {x|13≤x <2}C. {x|3≤x <16}D. {x|13≤x <16}2. 若i(1−z)=1，则z +z −=( )A. −2B. −1C. 1D. 23. 在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3m⃗⃗⃗ −2n ⃗ B. −2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ C. 3m⃗⃗⃗ +2n ⃗ D. 2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km 2；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(√7≈2.65)( )A. 1.0×109m 3B. 1.2×109m 3C. 1.4×109m 3D. 1.6×109m 35. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 236. 记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T <π，且y =f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=( )A. 1B. 32C. 52D. 37. 设a =0.1e 0.1，b =19，c =−ln0.9，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. a <c <b8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A. [18,814]B. [274,814]C. [274,643]D. [18,27]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则()A. 直线BC1与DA1所成的角为90°B. 直线BC1与CA1所成的角为90°C. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45°10.已知函数f(x)=x3−x+1，则()A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线11.已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则()A. C的准线为y=−1B. 直线AB与C相切C. |OP|⋅|OQ|>|OA|2D. |BP|⋅|BQ|>|BA|212.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x).若f(32−2x)，g(2+x)均为偶函数，则()A. f(0)=0B. g(−12)=0 C. f(−1)=f(4) D. g(−1)=g(2)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．14.写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程______．15.若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=1，{S na n}是公差为13的等差数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．18. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B ．(1)若C =2π3，求B ；(2)求a 2+b 2c 2的最小值．19. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，△A 1BC 的面积为2√2．(1)求A 到平面A 1BC 的距离；(2)设D 为A 1C 的中点，AA 1=AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A −BD −C 的正弦值．20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组 40 60 对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)P(B −|A)与P(B|A −)P(B −|A −)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ． (ⅰ)证明：R =P(A|B)P(A −|B)⋅P(A −|B −)P(A|B −)；(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B −)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R 的估计值． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． P(K 2≥k)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82821.已知点A(2,1)在双曲线C：x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．答案解析1.【答案】D【解析】解：由√x <4，得0≤x <16，∴M ={x|√x <4}={x|0≤x <16}， 由3x ≥1，得x ≥13，∴N ={x|3x ≥1}={x|x ≥13}， ∴M ∩N ={x|0≤x <16}∩{x|x ≥13}={x|13≤x <16}． 故选：D ．分别求解不等式化简M 与N ，再由交集运算得答案． 本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由i(1−z)=1，得1−z =1i =−i−i 2=−i ， ∴z =1+i ，则z −=1−i ， ∴z +z −=1+i +1−i =2． 故选：D ．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z −，再求出z +z −． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：如图，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3n ⃗ −2m ⃗⃗⃗ ． 故选：B ．直接利用平面向量的线性运算可得12CB⃗⃗⃗⃗⃗ =32CD⃗⃗⃗⃗⃗ −CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而得解．本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：140km2=140×106m2，180km2=180×106m2，根据题意，增加的水量约为140×106+180×106+√140×106×180×1063×(157.5−148.5)=(140+180+60√7)×1063×9≈(320+60×2.65)×106×3=1437×106≈1.4×109m3.故选：C．先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有C72=21种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为1421=23．故选：D．先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T，则T=2πω，由2π3<T<π，得2π3<2πω<π，∴2<ω<3，∵y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，∴b=2，且sin(3π2ω+π4)=0，则3π2ω+π4=kπ，k∈Z．∴ω=23(k−14)，k∈Z，取k=4，可得ω=52．∴f(x)=sin(52x+π4)+2，则f(π2)=sin(52×π2+π4)+2=−1+2=1．故选：A．由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f(π2)可求．本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：构造函数f(x)=lnx+1x，x>0，则f′(x)=1x −1x2，x>0，当f′(x)=0时，x=1，0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=1处取最小值f(1)=1，∴lnx>1−1x，∴ln0.9>1−10.9=−19，∴−ln0.9<19，∴c<b；∵−ln0.9=ln109>1−910=110，∴109>e0.1，∴0.1e0.1<19，∴a<b；∵0.1e0.1>0.1×1.1=0.11，而−1n0.9=ln109<12(109−910)=19180<0.11，∴a>c，∴c<a<b．故选：C．构造函数f(x)=lnx+1x ，x>0，利用导数性质求出lnx>1−1x，由此能求出结果．本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：如图所示，正四棱锥P −ABCD 各顶点都在同一球面上，连接AC 与BD 交于点E ，连接PE ，则球心O 在直线PE 上，连接OA ， 设正四棱锥的底面边长为a ，高为ℎ，在Rt △PAE 中，PA 2=AE 2+PE 2，即l 2=(√2a2)2+ℎ2=12a 2+ℎ2，∵球O 的体积为36π，∴球O 的半径R =3，在Rt △OAE 中，OA 2=OE 2+AE 2，即R 2=(ℎ−3)2+(√2a2)2，∴12a 2+ℎ2−6ℎ=0，∴12a 2+ℎ2=6ℎ， ∴l 2=6ℎ，又∵3≤l ≤3√3，∴32≤ℎ≤92，∴该正四棱锥体积V(ℎ)=13a 2ℎ=13(12ℎ−2ℎ2)ℎ=−23ℎ3+4ℎ2， ∵V′(ℎ)=−2ℎ2+8ℎ=2ℎ(4−ℎ)，∴当32≤ℎ<4时，V′(ℎ)>0，V(ℎ)单调递增；当4<ℎ≤92时，V′(ℎ)<0，V(ℎ)单调递减， ∴V(ℎ)max =V(4)=643，又∵V(32)=274，V(92)=814，且274<814，∴274≤V(ℎ)≤643，即该正四棱锥体积的取值范围是[274,643]， 故选：C ．画出图形，由题意可知求出球的半径R =3，设正四棱锥的底面边长为a ，高为ℎ，由勾股定理可得l 2=12a 2+ℎ2，又R 2=(ℎ−3)2+(√2a 2)2，所以l 2=6ℎ，由l 的取值范围求出ℎ的取值范围，又因为a 2=12ℎ−2ℎ2，所以该正四棱锥体积V(ℎ)=−23ℎ3+4ℎ2，利用导数即可求出V(ℎ)的取值范围． 本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：如图，连接B 1C ，由A 1B 1//DC ，A 1B 1=DC ，得四边形DA 1B 1C 为平行四边形， 可得DA 1//B 1C ，∵BC 1⊥B 1C ，∴直线BC 1与DA 1所成的角为90°，故A 正确；∵A 1B 1⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C =B 1，∴BC 1⊥平面DA 1B 1C ，而CA 1⊂平面DA 1B 1C ， ∴BC 1⊥CA 1，即直线BC 1与CA 1所成的角为90°，故B 正确；设A 1C 1∩B 1D 1=O ，连接BO ，可得C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，即∠C 1BO 为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角，∵sin∠C 1BO =OC 1BC 1=12，∴直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为30°，故C 错误；∵CC 1⊥底面ABCD ，∴∠C 1BC 为直线BC 1与平面ABCD 所成的角为45°，故D 正确． 故选：ABD ．求出异面直线所成角判断A ；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断B ；分别求出线面角判断C 与D ． 本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：f′(x)=3x 2−1，令f′(x)>0，解得x <−√33或x >√33，令f′(x)<0，解得−√33<x <√33，∴f(x)在(−∞,−√33),(√33,+∞)上单调递增，在(−√33,√33)上单调递减，且f(−√33)=2√3+99>0,f(√33)=9−2√39>0，∴f(x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A 正确，选项B 错误；又f(x)+f(−x)=x 3−x +1−x 3+x +1=2，则f(x)关于点(0,1)对称，故选项C 正确；假设y =2x 是曲线y =f(x)的切线，设切点为(a,b)，则{3a 2−1=22a =b，解得{a =1b =2或{a =−1b =−2，显然(1,2)和(−1,−2)均不在曲线y =f(x)上，故选项D 错误． 故选：AC ．对函数f(x)求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项AB ；由f(x)+f(−x)=2，可判断选项C ；假设y =2x 是曲线y =f(x)的切线，设切点为(a,b)，求出a ，b 的值，验证点(a,b)是否在曲线y =f(x)上即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：∵点A(1,1)在抛物线C ：x 2=2py(p >0)上， ∴2p =1，解得p =12，∴抛物线C 的方程为x 2=y ，准线方程为y =−14，选项A 错误； 由于A(1,1)，B(0,−1)，则k AB =1−(−1)1−0=2，直线AB 的方程为y =2x −1，联立{y =2x −1x 2=y ，可得x 2−2x +1=0，解得x =1，故直线AB 与抛物线C 相切，选项B 正确；根据对称性及选项B 的分析，不妨设过点B 的直线方程为y =kx −1(k >2)，与抛物线在第一象限交于P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{y =kx −1y =x 2，消去y 并整理可得x 2−kx +1=0，则x 1+x 2=k ，x 1x 2=1，y 1y 2=(kx 1−1)(kx 2−1)=k 2x 1x 2−k(x 1+x 2)+1=1，|OP|⋅|OQ|=√x 12+y 12⋅√x 22+y 22≥√2x 1y 1⋅√2x 2y 2=2√x 1x 2y 1y 2=2=|OA|2，由于等号在x 1=x 2=y 1=y 2=1时才能取到，故等号不成立，选项C 正确；|BP||BQ|=√x 12+(y 1+1)2⋅√x 2+(y 2+1)2>√x 12+4y 1⋅√x 22+4y 2=√5x 12⋅√5x 22=5√(x 1x 2)2=5=|BA|2，选项D 正确． 故选：BCD ．对于A ，根据题意求得p 的值，进而得到准线；对于B ，求出直线AB 方程，联立直线AB 与抛物线方程即可得出结论；对于C ，设过点B 的直线方程为y =kx −1(k >2)，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两个之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项CD ． 本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：∵f(32−2x)为偶函数，∴可得f(32−2x)=f(32+2x)，∴f(x)关于x =32对称， 令x =54，可得f(32−2×54)=f(32+2×54)，即f(−1)=f(4)，故C 正确； ∵g(2+x)为偶函数，∴g(2+x)=g(2−x)，g(x)关于x =2对称，故D 不正确； ∵f(x)关于x =32对称，∴x =32是函数f(x)的一个极值点，∴g(32)=f′(32)=0， 又∴g(x)关于x =2对称，∴g(52)=g(32)=0，∴x =52是函数f(x)的一个极值点，f(x)关于x =32对称，∴x =−12是函数f(x)的一个极值点，∴g(−12)=f′(−12)=0，故B 正确； f(x)图象位置不确定，可上下移动，即没一个自变量对应的函数值是确定值，故A 错误． 故选：BC ．由f(32−2x)为偶函数，可得f(x)关于x =32对称，可判断C ；g(2+x)为偶函数，可得g(2+x)=g(2−x)，g(x)关于x =2对称，可判断D ；由g(32)=0，g(x)关于x =2对称，可得g(52)=0，得到x =52是f(x)的极值点，x =−12也是极值点，从而判断B ；f(x)图象位置不确定，可上下移动，故函数值不确定，从而判断A ．本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题．13.【答案】−28【解析】解：(x +y)8的通项公式为T r+1=C 8r x 8−r y r， 当r =6时，T 7=C 86x 2y 6，当r =5时，T 6=C 85x 3y 5，∴(1−yx)(x +y)8的展开式中x 2y 6的系数为C 86−C 85=8!6!⋅2!−8!5!⋅3!=28−56=−28． 故答案为：−28．由题意依次求出(x +y)8中x 2y 6，x 3y 5项的系数，求和即可． 本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)【解析】解：圆x 2+y 2=1的圆心坐标为O(0,0)，半径r 1=1， 圆(x −3)2+(y −4)2=16的圆心坐标为C(3,4)，半径r 2=4， 如图：∵|OC|=r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵k OC =43，∴l 1的斜率为−34，设直线l 1：y =−34x +b ，即3x +4y −4b =0，由|−4b|5=1，解得b =54(负值舍去)，则l 1：3x +4y −5=0；由图可知，l 2：x =−1；l 2与l 3关于直线y =43x 对称，联立{x =−1y =43x ，解得l 2与l 3的一个交点为(−1,−43)，在l 2上取一点(−1,0)，该点关于y =43x 的对称点为(x 0,y 0)，则{y 02=43⋅x 0−12y 0x 0+1=−34，解得对称点为(725,−2425).∴k l 3=−2425+43725+1=724，则l 3：y =724(x +1)−43，即7x −24y −25=0． ∴与圆x 2+y 2=1和(x −3)2+(y −4)2=16都相切的一条直线的方程为： x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)．故答案为：x =−1(填3x +4y −5=0，7x −24y −25=0都正确)．由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．分别求出三条切线方程，则答案可求．本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)【解析】解：y′=e x +(x +a)e x ，设切点坐标为(x 0,(x 0+a)e x 0)， ∴切线的斜率k =e x 0+(x 0+a)e x 0，∴切线方程为y −(x 0+a)e x 0=(e x 0+(x 0+a)e x 0)(x −x 0)， 又∵切线过原点，∴−(x 0+a)e x 0=(e x 0+(x 0+a)e x 0)(−x 0)，整理得：x 02+ax 0−a =0，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ=a2+4a>0，解得a<−4或a>0，即a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞)，故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)．设切点坐标为(x0,(x0+a)e x0)，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得x02+ax0−a=0，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ>0即可求出a的取值范围．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．16.【答案】13【解析】解：∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，∴不妨可设椭圆C：x24c2+y23c2=1，a=2c，∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，∴△AF1F2为等边三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，∴k DE=tan30°=√33，由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，设直线DE方程为y=√33(x+c)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx−32c2=0，由韦达定理可得，x1+x2=−8c13，x1x2=−32c213，|DE|=√k2+1|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√13+1⋅√(−8c13)2+128c213=4813c=6，解得c=138，由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=8×138=13．故答案为：13．根据已知条件，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式，求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解．本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)已知a1=1，{S na n }是公差为13的等差数列，所以S na n =1+13(n−1)=13n+23，整理得S n=13na n+23a n，①，故当n≥2时，S n−1=13(n−1)a n−1+23a n−1，②，①−②得：13a n=13na n−13na n−1−13a n−1，故(n−1)a n=(n+1)a n−1，化简得：a na n−1=n+1n−1，a n−1a n−2=nn−2，........，a3a2=42，a2a1=31；所以a na1=n(n+1)2，故a n=n(n+1)2(首项符合通项)．所以a n=n(n+1)2．证明：(2)由于a n=n(n+1)2，所以1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1a1+1a2+...+1a n=2(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2×(1−1n+1)<2．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵cosA1+sinA =sin2B1+cos2B，∴cosA1+sinA=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB，∴cos(B+A)=sinB，∴−cosC=sinB，C=2π3，∴sinB=12，∵0<B<π3，∴B=π6．(2)由(1)可得：−cosC =sinB >0，∴cosC <0，C ∈(π2,π)， ∴C 为钝角，B ，A 都为锐角，B =C −π2． sinA =sin(B +C)=sin(2C −π2)=−cos2C ，a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22C+cos 2Csin 2C=(1−2sin 2C)2+(1−sin 2C)sin 2C =2+4sin 4C−5sin 2Csin 2C=2sin 2C+4sin 2C −5≥2√2×4−5=4√2−5，当且仅当sinC =1√24时取等号．∴a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．【解析】(1)利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B ．(2)利用诱导公式把A 用C 表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论． 本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，可得V A 1−ABC =13V A 1B 1C 1−ABC =43，设A 到平面A 1BC 的距离为d ，由V A 1−ABC =V A−A 1BC ， ∴13S △A 1BC ⋅d =43，∴13×2√2⋅d =43，解得d =√2． (2)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1知BB 1⊥平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，又平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，又平面ABC ∩平面A 1BC =BC ， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥A 1B ，BC ⊥AB ，以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AA 1=AB ，∴BC ×√2AB ×12=2√2，又12AB ×BC ×AA 1=4，解得AB =BC =AA 1=2， 则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，A 1(0,2,2)，D(1,1,1)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y +z =0，令x =1，则y =0，z =−1，∴平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(1,0,−1)， 设平面BCD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， {m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b +c =0，令b =1，则a =0，c =−1， 平面BCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,−1)， cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=√2⋅√2=12， 二面角A −BD −C 的正弦值为√1−(12)2=√32．【解析】(1)利用体积法可求点A 到平面A 1BC 的距离；(2)以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A −BD −C 的正弦值．本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题．20.【答案】解：(1)补充列联表为：计算K 2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． (2)(i)证明：R =P(B|A)P(B −|A)：P(B|A −)P(B −|A −)=P(B|A)P(B −|A)⋅P(B −|A −)P(B|A −)=P(AB)P(A)P(AB −)P(A)⋅P(A −B −)P(A −)P(A −B)P(A −)=P(AB)⋅P(A −B −)P(AB −)⋅P(A −B)=P(AB)P(B)P(A −B)P(B)⋅P(A −B −)P(B −)P(AB −)P(B −)=P(A|B)P(A −|B)⋅P(A −|B −)P(A|B −)；(ⅱ)利用调查数据，P(A|B)=40100=25，P(A|B −)=10100=110，P(A −|B)=1−P(A|B)=35，P(A −|B −)=1−P(A|B −)=910， 所以R =2535×910110=6．【解析】(1)补充列联表，根据表中数据计算K 2，对照附表得出结论． (2)(i)根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；(ⅱ)利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题．21.【答案】解：(1)将点A 代入双曲线方程得 4a 2−1a 2−1=1，化简得a 4−4a 2+4=0，∴a 2=2，故双曲线方程为x 22−y 2=1，由题显然直线l 的斜率存在，设l ：y =kx +m ，设P(x 1,y 1)Q(x 2,y 2)， 则联立双曲线得：(2k 2−1)x 2+4kmx +2m 2+2=0， 故x 1+x 2=−4km 2k 2−1，x 1x 2=2m 2+22k 2−1，k AP +k AQ =y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=kx 1+m−1x 1−2+kx 2+m−1x 2−2=0，化简得：2kx 1x 2+(m −1−2k)(x 1+x 2)−4(m −1)=0， 故2k(2m 2+2)2k 2−1+(m −1−2k)(−4km2k 2−1)−4(m −1)=0，即(k +1)(m +2k −1)=0，而直线l 不过A 点，故k =−1； (2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan∠PAQ =2√2，∴2tan∠PAQ 21−tan 2∠PAQ 2=2√2，得tan∠PAQ 2=√22， 由2α+∠PAQ =π，∴α=π−∠PAQ2，得k AP =tanα=√2，即y 1−1x 1−2=√2，联立y 1−1x 1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23,y 1=4√2−53， 代入直线 l 得m =53，故x 1+x 2=203,x 1x 2=689，而|AP|=√3|x 1−2|,|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【解析】(1)将点A 代入双曲线方程得x 22−y 2=1，由题显然直线l 的斜率存在，设l ：y =kx +m ，与双曲线联立后，根据直线AP ，AQ 的斜率之和为0，求解即可；(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan∠PAQ =2√2，得tan∠PAQ 2=√22，联立y 1−1x 1−2=√2，及x 122−y 12=1，根据三角形面积公式即可求解．本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题．22.【答案】(1)解：∵f(x)=e x−ax，g(x)=ax−lnx，∴f′(x)=e x−a，g′(x)=a−1x，∵y=e x在x∈R上单调递增，函数y=−1x在x∈(0,+∞)上单调递增，∴函数f′(x)和函数g′(x)在各自定义域上单调递增，又∵函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有最小值，∴当f′(x)=0时，x=lna，当g′(x)=0时，x=1a，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，函数g(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(lna)=a−alna，g(x)min=1+lna，∵函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值∴a−alna=1+lna，解得：a=1．(2)证明：设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，由(1)得，函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴x1∈(−∞,0)，x2∈(0,1)，x3∈(1,+∞)，b=e x1−x1=e x2−x2=x2−lnx2=x3−lnx3，∴2x2=e x2+lnx2，e x1−x1=x2−lnx2，e x2−x2=x3−lnx3，∴e x1−x1=e lnx2−lnx2，e x2−x2=e lnx3−lnx3，∴f(x1)=f(lnx2)，f(x2)=f(lnx3)，∵lnx2∈(−∞,0)，lnx3∈(0,+∞)，∴x1=lnx2，x2=lnx3，∴x3=e x2，∴x1+x3=lnx2+e x2=2x2，∴x1，x2，x3成等差数列，∴存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】(1)先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f(x)和g(x)的单调性，从而求得f′(x)和g′(x)的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；(2)设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，得到有关x1，x2，x3的方程，然后化简利用函数f(x)的单调性求得x1，x3和x2的数量关系，进而得证命题．本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得x1、x3和x2的数量关系．。
教学设计直线和椭圆的位置关系的教案
教学设计直线和椭圆的位置关系教学目标：1. 理解直线和椭圆的基本概念。
2. 掌握直线和椭圆的位置关系的判定方法。
3. 能够应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题。
教学内容：第一章：直线和椭圆的基本概念1.1 直线的定义和性质1.2 椭圆的定义和性质第二章：直线和椭圆的位置关系的判定2.1 直线与椭圆相交的判定2.2 直线与椭圆相切的判定2.3 直线与椭圆相离的判定第三章：应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题3.1 直线与椭圆的位置关系在几何中的应用3.2 直线与椭圆的位置关系在物理中的应用3.3 直线与椭圆的位置关系在计算机图形学中的应用第四章：直线和椭圆的位置关系的综合练习4.1 判断直线与椭圆的位置关系4.2 解决实际问题第五章：总结和复习5.1 直线和椭圆的位置关系的总结5.2 复习直线和椭圆的基本概念教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。
2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示直线和椭圆的位置关系。
3. 提供丰富的练习题，让学生通过实践来巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 综合练习：评估学生在综合练习中的表现，包括判断直线与椭圆的位置关系和解决实际问题。
教学资源：1. 教学PPT：提供直线和椭圆的基本概念、位置关系判定和应用实例。
2. 练习题：提供丰富的练习题，包括判断题、选择题和解答题。
3. 综合练习：提供实际问题案例，让学生应用直线和椭圆的位置关系进行解决。
教学安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：3课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时六章：直线和椭圆的位置关系的深入探究6.1 直线与椭圆的交点个数的判定6.2 直线与椭圆的交点坐标的计算方法七章：直线和椭圆的位置关系的几何性质7.1 直线与椭圆的切线性质7.2 直线与椭圆的割线性质八章：直线和椭圆的位置关系在实际问题中的应用8.1 直线与椭圆的位置关系在工程中的应用8.2 直线与椭圆的位置关系在设计中的应用九章：直线和椭圆的位置关系的综合练习9.1 判断直线与椭圆的位置关系及交点个数9.2 解决实际问题十章：总结和复习10.1 直线和椭圆的位置关系的总结10.2 复习直线和椭圆的基本概念及位置关系的判定方法教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。
【高中数学】第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用
第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用基础过关练题组一 直线与椭圆的位置关系 1.直线y=x+1与椭圆x 25+y 24=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.(2020江西南昌二中高二上第一次月考)直线y=kx-k+1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定3.若直线y=kx+2与椭圆x 23+y 22=1有且只有一个交点,则斜率k 的值是 ( )A.√63B.-√63C.±√63D.±√334.已知直线y=kx+1和椭圆x 2+2y 2=1有公共点,则k 的取值范围是( ) A.k<-√22或k>√22 B.-√22<k<√22C.k ≤-√22或k ≥√22D.-√22≤k ≤√22题组二 直线与椭圆的相交弦问题 5.过椭圆x 2+2y2=4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.766.直线y=x+1被椭圆x 24+y 22=1所截得线段的中点的坐标是()A.(23,53)B.(43,73)C.(-23,13)D.(-132,-172)7.经过椭圆x 22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B 两点.设O 为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-3 B.-13C.-13或-3D.±138.(2019广东深圳中学高二上期中)若椭圆x 236+y 29=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为 .9.过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .10.(2020河北唐山一中高二上期中)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e 为√32,短轴长为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)过P(2,1)作弦且弦被P 平分,求此弦所在的直线方程及弦长.题组三 直线与椭圆位置关系的综合运用 11.设椭圆C:x 29+y 24=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限的交点为P,则直线PF 1的斜率为( ) A.13B.12C.√33D.√3212.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .13.已知P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆x 28+y 22=1上一点,Q,R,S 分别为P 关于y 轴,原点,x 轴的对称点.(1)求四边形PQRS 面积的最大值;(2)当四边形PQRS 面积最大时,在线段PQ 上任取一点M(不与端点重合),若过M 的直线与椭圆相交于A,B 两点,且AB 中点恰为M,求直线AB 斜率k 的取值范围.能力提升练题组一 直线与椭圆的相交弦问题 1.()已知椭圆x 2+y24=1 和点A (12,12),B (12,1),若椭圆的某弦的中点在线段AB 上,且此弦所在直线的斜率为k,则k 的取值范围为( ) A.[-4,-2] B.[-2,-1]C.[-4,-1]D.[-1,-12]2.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) A.y=2x-3 B.y=2x+1 C.y=-2x-3 D.y=-2x+33.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知中心在原点,焦点坐标为(0,±5√2)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为12,则该椭圆的方程为 .4.(2020山东师大附中高二上第五次学分认定,)设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为√32.(1)当直线y=x+m与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)设点M(2,1)是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点,求直线l的方程.5.(2020辽宁大连高二上期中,)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x 轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度.题组二直线与椭圆位置关系的综合运用6.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y24=1的交点的个数为()A.0或1B.2C.1D.07.(2018吉林省实验中学期末,)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为()A.√55B.√33C.√105D.3√3108.(多选)()已知椭圆C:x 24+y 22=1的左,右两个焦点分别为F 1,F 2,直线y=kx(k ≠0)与C交于A,B 两点,AE ⊥x 轴,垂足为E,直线BE 与C 的另一个交点为P,则下列结论正确的是( )A.四边形AF 1BF 2为平行四边形B.∠F 1PF 2<90°C.直线BE 的斜率为12k D.∠PAB>90°9.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知点P 是椭圆x 225+y 29=1上任意一点,则当点P 到直线4x-5y+40=0的距离达到最小值时,点P 的坐标为 . 10.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点F 1作斜率为12的直线l 与C 交于A,B 两点,若|OF 1|=|OA|,则椭圆C 的离心率为 . 11.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且过点(1,√22)和(√22,√32).(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,点A 为椭圆上一位于x 轴上方的动点,AF 2的延长线与椭圆交于点B,AO 的延长线与椭圆交于点C,求△ABC 面积的最大值,并写出取到最大值时直线BC 的方程.12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的焦点是F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,离心率为√22.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≥x 2)两点. (i)求|AF 2|·|BF 2|的最小值;(ii)点Q 是直线l 上异于F 2的一点,且满足|QA||QB|=|F 2A||F 2B|,求证:点Q 在一条定直线上.13.()已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22,过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线m 与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦长为√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在过点P(0,3)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,且|PA|=2|AB|?若存在,求直线l 的方程;若不存在,说明理由.答案全解全析 基础过关练1.A 解法一:直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x 25+y 24=1得,0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.解法二:联立直线与椭圆的方程,得{y =x +1,x 25+y 24=1,消去y 得,9x 2+10x-15=0,Δ=100-4×9×(-15)=640>0,所以直线与椭圆相交.2.A 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),因为19+14<1,所以点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.3.C 由{y =kx +2,x 23+y 22=1,消去y 并整理,得(2+3k 2)x 2+12kx+6=0, 由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k 2)=0, 解得k=±√63,故选C.4.C 由{y =kx +1,x 2+2y 2=1,得(2k 2+1)x 2+4kx+1=0. ∵直线与椭圆有公共点, ∴Δ=16k 2-4(2k 2+1)≥0, 解得k ≤-√22或k ≥√22.5.B 设直线AB 的方程为y=kx+b(k ≠0),易求直线AB 的方程为y=√3(x+√2).由{y =√3(x +√2),x 2+2y 2=4,消去y 并整理,得7x 2+12√2x+8=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-12√27,x 1x 2=87.由弦长公式,得|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+(√3)2×√(-12√27)2-4×87=167.6.C 联立方程,得{y =x +1,x 24+y 22=1,消去y 并整理,得3x 2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),中点M(x 0,y 0). ∴x 1+x 2=-43,x 0=x 1+x 22=-23,y 0=x 0+1=13,∴中点坐标为(-23,13). 7.B 由x 22+y 2=1,得a 2=2,b 2=1,c 2=a 2-b 2=1,则焦点坐标为(±1,0). 不妨设直线l 过右焦点,又倾斜角为45°,则直线l 的方程为y=x-1. 代入x 22+y 2=1得x 2+2(x-1)2-2=0,即3x 2-4x=0.设交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1x 2=0,x 1+x 2=43,y 1y 2=(x 1-1)(x 2-1)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1=1-43=-13,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0-13=-13.8.答案 -12解析 设弦两端点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).因为(4,2)是线段AB 的中点,所以x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,将A,B 两点代入椭圆方程,得{x 1236+y 129=1,x 2236+y 229=1,两式相减得x 22-x 1236+y 22-y 129=0,整理得y 2-y 1x 2-x 1=-x 2+x 14(y 2+y 1),即k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-12.9.答案 53解析 由题意知,右焦点的坐标为(1,0),直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与x 25+y 24=1联立,消去y,得3x 2-5x=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=53,x 1x 2=0,所以|AB|=√1+k 2·|x1-x 2|=√1+k 2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+22×√(53)2-4×0=5√53.设原点到直线的距离为d,则d=2=2√55.所以S △OAB =12|AB|·d=12×5√53×2√55=53.10.解析 (1)由e=ca=√32可设,a=2t,c=√3t(t>0),则b=t=2,因此a=4,所以椭圆的标准方程为x 216+y 24=1.(2)设以点P(2,1)为中点的弦与椭圆交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,将A,B 两点坐标分别代入椭圆的方程得{x 1216+y 124=1,x 2216+y 224=1,两式相减可得,(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0, ∴4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0, ∴弦所在直线的斜率k=y 2-y 1x 2-x 1=-12,∴以点P(2,1)为中点的弦所在直线的方程为x+2y-4=0, 联立椭圆的方程得x 2-4x=0,解得x=0或x=4, 因此弦长|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=2√5. 11.B 依题意得,a 2=9,b 2=4,∴c 2=5,因此以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=5.由{x 2+y 2=5,x 29+y 24=1,得{x 2=95,y 2=165, 又点P 在第一象限,∴P (3√55,4√55),又F 1(-√5,0), ∴斜率k PF 1=4√55-03√55+√5=12,故选B.12.答案 6解析 由x 24+y 23=1,可得F(-1,0).设P(x,y),-2≤x ≤2,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y), 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+x+y 2=x 2+x+3·(1−x 24)=14x 2+x+3=14(x+2)2+2, 当且仅当x=2时,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为6. 13.解析 (1)由P 在椭圆上得m 28+n 22=1,∵m>0,n>0,∴利用基本不等式得1=m 28+n 22≥2×√×√=mn 2,当且仅当m 28=n 22=12,即m=2,n=1时,等号成立,易知S 四边形PQRS =2m×2n=4mn ≤8,当m=2,n=1时取等号,故当m=2,n=1时,四边形PQRS 的面积取最大值,最大值为8.(2)由(1)得P(2,1),则Q(-2,1),设M 的坐标为(t,1),其中-2<t<2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有{x 128+y 122=1,x 228+y 222=1,两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)8=-(y 1-y 2)(y 1+y 2)2(*),∵M 为线段AB 的中点, ∴x 1+x 22=t,y 1+y 22=1, ∴(*)化为(x 1-x 2)t 4=-(y 1-y 2),∴k=-t4,故k ∈(-12,12).能力提升练1.A 设椭圆x 2+y24=1的某弦的两个端点分别为P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),中点为M(x 0,y 0),则{x 12+y 124=1,①x 22+y 224=1,②①-②,得(x 12-x 22)+14(y 12-y 22)=0,即k=y 1-y 2x 1-x 2=-4(x 1+x 2)y 1+y 2=-4x0y 0.∵点M 在线段AB 上, ∴x 0=12,12≤y 0≤1,∴k=-4x 0y 0=-2y 0,2≤2y 0≤4,故-4≤-2y 0≤-2,则k ∈[-4,-2],故选A.2.ACD 直线y=2x-3与直线l 关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l 关于x 轴对称,直线y=-2x+3与直线l 关于y 轴对称,因此A 、C 、D 中的直线被椭圆C 截得的弦长一定为7,而直线y=2x+1被椭圆C 截得的弦长大于7.故选ACD.3.答案y 275+x 225=1解析 设椭圆方程为y 2a2+x 2b2=1(a>b>0),则a 2=b 2+c 2=b 2+50.① 设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{b 2y 12+a 2x 12=a 2b 2,b 2y 22+a 2x 22=a 2b 2,∴b 2(y 1-y 2)(y 1+y 2)+a 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)=0. 又x 1+x 2=2×12=1,y 1+y 2=2×(-12)=-1,y 1-y2x 1-x2=3, ∴b 2×3×(-1)+a 2×1=0,即a 2=3b 2.② 联立①②得,a 2=75,b 2=25. 故该椭圆的方程为y 275+x 225=1.4.解析 (1)因为离心率e=ca=√32,所以c 2=34a 2,又因为椭圆的短半轴长b=2,a 2-b 2=c 2,所以a 2=16,b 2=4, 即椭圆方程为x 216+y 24=1,因此, {x 216+y 24=1,y =x +m ⇒5x 2+8mx+4m 2-16=0,因为直线y=x+m 与椭圆有公共点,所以Δ=64m 2-4×5×(4m 2-16)≥0,即m 2≤20,解得-2√5≤m ≤2√5.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).解法一:当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),联立方程{y -1=k(x -2),x 216+y 24=1⇒(4k 2+1)x 2+8k ·(1-2k)x+16k 2-16k-12=0,所以x 1+x 22=4k(2k -1)4k 2+1=2,解得k=-12,所以直线l 的方程为x+2y-4=0.解法二:x 216+y 24=1⇒x 2+4y 2=16,{x 12+4y 12=16,x 22+4y 22=16⇒(x 1-x 2)(x 1+x 2)+4(y 1-y 2)·(y 1+y 2)=0⇒y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 2-4(y 1+y 2)=-12, 所以斜率k=-12,所以直线l 的方程为x+2y-4=0.5.解析 (1)设M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(x p ,y p ),由已知得{x p =x,y p =54y,因为P 在圆上,所以x 2+(54y)2=25,即点M 的轨迹C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y=45(x-3)代入C 的方程,得x 225+(x -3)225=1,整理得x 2-3x-8=0,所以x 1+x 2=3,x 1x 2=-8,所以|AB|=√1+(45)2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=415.6.B 因为直线mx+ny=4和圆x 2+y 2=4没有交点,所以√22>2,所以m 2+n 2<4,而m 29+n 24≤m 24+n 24<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y 24=1必有两个交点,故选B.7.A 设F 1的坐标为(-c,0),F 2的坐标为(c,0),故过F 1且与x 轴垂直的直线方程为x=-c,代入椭圆方程可得y=±b 2a .可设A (-c,b 2a),C(x,y),由题意可得△ABF 2的面积是△BCF 2的面积的2倍,故AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即有(2c,-b 2a )=2(x-c,y),即{2c =2x -2c,-b2a=2y,则{x =2c,y =−b 22a,代入椭圆方程可得4c 2a2+b 24a2=1,即4c 2a2+a 2-c 24a 2=1,∴4e 2+14-14e 2=1,解得e=√55(负值舍去).故选A.8.ABC 由椭圆的对称性知,四边形AF 1BF 2是平行四边形,故A 正确;∵a 2=4,b 2=2,∴c 2=2, ∴∠F 1AF 2<90°,又∠F 1PF 2<∠F 1AF 2<90°, 故B 正确;由{x 2+2y 2=4,y =kx 得{x 2=41+2k 2,y 2=4k 21+2k2, 结合图形,不妨设k>0,则A (√2√2),B (2√2,2k√2),E (2√2,0),∴k BE =√1+2k 222+22=12k,故C 正确;取k=2,则A (23,43),B (-23,-43),E (23,0),∴直线BE 的方程为y=x-23,与椭圆方程联立得,P (149,89),∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-89,49),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-209,-209), ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1609-809>0,∴∠PAB>90°错误.故选ABC.9.答案 (-4,95)解析 设平行于4x-5y+40=0,且与椭圆相切的直线方程为4x-5y+c=0(c ≠40). 由{9x 2+25y 2=225,4x -5y +c =0,得25x 2+8cx+c 2-225=0, 令Δ=(8c)2-4×25×(c 2-225)=0得, c 2=625,解得c=±25.结合图形(图略)取c=25,此时,x 2+8x+16=0⇒x=-4.代入4x-5y+25=0得,y=95,∴P (-4,95).10.答案√53解析 如图所示,设右焦点为F 2,则|OF 1|=|OA|=|OF 2|,∴AF 1⊥AF 2, 又tan ∠AF 1F 2=12,∴|AF 1|=4√55c,|AF 2|=2√55c.因此,2a=|AF 1|+|AF 2|=6√55c ⇒e=ca=√53.11.解析 (1)将两点代入椭圆方程,得{1a 2+12b 2=1,12a 2+34b 2=1,解得{a 2=2,b 2=1,所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由A 在x 轴上方,可知直线AF 2的斜率不为0,所以设直线AF 2的方程为x=ty+1,联立{x 22+y 2=1,x =ty +1⇒(t 2+2)y 2+2ty-1=0,得{y 1+y 2=-2tt 2+2,y 1y 2=-1t 2+2,所以|AB|=√1+t 2·|y 1-y 2|=2√2(1+t 2)t 2+2. 设原点到直线AF 2的距离为d,则d=√2,所以S △ABC =2S △OAB =2×12×|AB|×d=2√2(1+t 2)t 2+2=2√2√1+t 2+12≤√2,当且仅当2=1√2,即t=0时,等号成立,此时直线AB 的方程为x=1,所以A (1,√22),B (1,−√22),C (-1,-√22),所以此时直线BC 的方程为y=-√22.12.解析 (1)因为椭圆的焦点是F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,所以半焦距c=1. 因为离心率为√22,所以a=√2,所以b=1.所以椭圆的方程是x 22+y 2=1.(2)(i)由(1)知F 2(1,0),当直线l 的斜率不存在时,不妨设A (1,√22),B (1,−√22),所以|AF 2|·|BF 2|=12.当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程可设为y=k(x-1).联立方程{x 22+y 2=1,y =k(x -1),消去y,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0.所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2.所以|AF 2|=√(x 1-1)2+y 12=√1+k 2|x 1-1|,|BF 2|=√(x 2-1)2+y 22=√1+k 2|x 2-1|.所以|AF 2|·|BF 2|=(1+k 2)|x 1x 2-(x 1+x 2)+1| =(1+k 2)|2k 2-21+2k2-4k 21+2k2+1|=1+k 21+2k 2 =12(1+11+2k 2). 因为11+2k 2∈(0,1],所以|AF 2|·|BF 2|的取值范围是(12,1]. 因为当直线l 的斜率不存在时,|AF 2|·|BF 2|=12,所以|AF 2|·|BF 2|的最小值是12.(ii)证明:由题意得,直线l 的斜率一定存在.因为点Q 在直线l 上,所以设点Q 的坐标是(m,k(m-1)). 因为|QA||QB|=|F 2A||F 2B|,所以点Q 一定在BA 的延长线上, 所以m -x 1m -x 2=x 1-11−x 2,即(m+1)(x 1+x 2)-2x 1x 2-2m=0. 所以4k 2(m+1)1+2k 2-2(2k 2-2)1+2k 2-2m=0.化简得m=2.所以点Q 的坐标是(2,k). 因此点Q 在定直线x=2上.13.解析 (1)由题易得,圆心(0,0)到直线m 的距离为√b 2-(√32)2,由直线m 的倾斜角为30°得√b 2-(√32)2=c 2,由e=ca=√22得a 2=2c 2,即b 2+c 2=2c 2,∴b 2=c 2,将其与√b 2-(√32)2=c2联立,得b=c=1,∴a=√2,∴椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)存在.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).①若直线l 垂直于x 轴,l 与椭圆交于(0,1),(0,-1), 取A(0,-1),B(0,1),满足|PA|=2|AB|.②若直线l 不垂直于x 轴,设方程为y=kx+3,代入椭圆方程x 22+y 2=1整理得,(2k 2+1)x 2+12kx+16=0,令Δ=16k 2-64>0,则k<-2或k>2,x 1+x 2=-12k2k 2+1(*),x 1x 2=162k 2+1(**),对于|PA|=2|AB|,包含两种情况: (i)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1-0,y 1-3)=2(x 2-x 1,y 2-y 1), ∴x 1=2(x 2-x 1),即x 2=32x 1,代入(*)(**)得{52x 1=-12k 2k 2+1,32x 12=162k 2+1,消去x 1得32(25×-12k2k 2+1)2=162k 2+1,解得k=±52,∴l 的方程为y=52x+3或y=-52x+3.(ii)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1-0,y 1-3)=2(x 1-x 2,y 1-y 2),∴x 1=2x 2, 代入(*)(**)得{3x 2=-12k 2k 2+1,2x 22=162k 2+1,消去x 2得,2(13×-12k2k 2+1)2=162k 2+1,有2k 2=2k 2+1,无解. 综上,l 的方程为x=0或5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
直线与椭圆的综合应用
直线与椭圆的综合应用直线0=++C By Ax 与椭圆12222=+by a x 联立得：0)(2)(2222222222=-+++B b C a ACx a x B b A a 所以我们有，结论一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a B b C a x x B b A a AC a x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a A a C b y y B b A a BC b y y 22222212212B b A a AB b a y x y x +=+ 结论二：22222222222))((2||B b A a C B b A a B A ab AB +-++= 结论三：0022222>-+⇒>∆C B b A a焦距为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知直线x-y+m=0与椭圆C 交于不同两点A,B,且线段AB 的中点M 不在圆椭圆的右顶点C,证明这样的直线l恒过定点,并求出该点坐标.8.已知椭圆C 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,F 1、F 2分别为其左、右焦点,P 在椭圆上任意一点,且P F P F 21⋅的最大值为1,最小值为-2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设A 为椭圆C 的右顶点,直线l 是与椭圆交于M 、N 两点的任意一条直线,若AN AM ⊥,证明直线l 过定点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),椭圆的右顶点为D,且满足0=⋅DB DA ,试判断直线l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.课后习题1.已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为4 （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于M 、N 两点，且MN =l 的方程.2.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 的面积.3.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为√22,直线y=k(x-1)与椭圆C 交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C 的方程. (2)当△AMN 的面积为√103时,求k 的值.4.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=√32. (1)求椭圆C 的方程.(2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A,B 两点.求△PAB 面积的最大值.6．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(0，－22)，F 2(0,22)，且离心率e ＝223. (1)求椭圆的方程；(2)直线l (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为－12，求直线l 斜率的取值范围．7.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,其中左焦点为F(-2,0).(1)求椭圆C 的方程.(2)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.8.设椭圆C ：+=1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.(1)求C 的方程. (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标.9.已知点P 坐标为（4，2），椭圆方程为193622=+y x ，问：是否存在过点P 的直线，使得直线与椭圆相交的交点的中点恰为P 点？10.设椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过M(2,√2),N(√6,1)两点,O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程.(2)若直线y=kx+4(k>0)与圆x 2+y 2=83相切,并且与椭圆E 相交于A,B 两点,求证:OA →⊥OB →.11.(2016·烟台高二检测)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为√33,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33. (1)求椭圆的方程.(2)设A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C,D 两点.若AC →·DB →+AD →·CB →=8,求k 的值.。
(完整word版)直线与椭圆的位置关系教学设计
价值目标
培养学生主动探究知识、合作交流的意识和运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力，激发提出问题和解决问题的勇气。
明
确
四
点
重点
直线与圆锥曲线位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用。
难点
等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。
德育点
培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解的意识。
提问学生作答
教师总结
引出如何具体判定直线与椭圆的三种位置关系的两种常用方法：
①：代数法
（方程思想）
②：几何法
（数形结合思想）
应用举例
巩固提高
变式练习：直线 与椭圆（或圆） 恒有公共点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
学生独立思考，完成后可以小组讨论、交流、分析，教师巡视，并给予中下等生指导，对学生发言的结果给予肯定。
本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》，着重是掌握如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化解题思维，提高解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。
教师提出高考对本章的要求并点明课题.
为研究直线与椭圆的位置关系做好铺垫，说明研究的必要性及本节内容在高考中的地位
进一步巩固“判断直线与椭圆的位置关系”的两种方法（代数法和几何法）
引申
拓展
发展
新知
问题3、直线与椭圆相交，形成一段弦，那么弦长公式是什么？完成学案第3题。
问题4：过椭圆 内一点M(2，1)作椭圆的弦，点M恰为该弦的中点，求该弦所在直线 的方程。
对问题3：教师提出问题，学生回答，得出条件。
对问题4：学生在再次讨论、交流合作完成.教师巡视、指导，师生共同合作完成
双曲线的定义2
问题反馈： 1：课本P48，如果A，B两处同时听到爆炸声，那么爆炸 点在什么曲线上？为什么？ 2：课本P48探究，你有什么发现？
三、关于圆锥曲线的轨迹方程 例3：如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆 上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于Q，当点P 在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
x2 y 2 3 例1：已知椭圆 1, 一条斜率为 的直线与椭圆交于A，B 4 9 2 两点，O为坐标原点，OA OB，求直线在y轴上的截距。
二、求双曲线的标准方程
x2 y 2 例2：与椭圆 1有公共焦点，且过（-1,0）点的双曲线标准 49 24 方程。
x2 y 2 练习：求与双曲线 1有公共焦点，且过（3 2，2）的双曲线方程。 16 4
小结：Biblioteka 你能归纳一下本节所学么？椭圆、双曲线习题课
教学目标
1.知识与技能：研究直线与椭圆的位置关系，深化 理解椭圆的性质和双曲线的标准方程，认识一类圆 锥曲线的轨迹方程。 2.过程与方法：通过一些例题的求解，加深对圆锥 曲线的理解。 3.情感态度价值观：直线与椭圆在高考中应用较广， 通过本节培养学生勇于探索的良好品质。
一、直线与椭圆的综合应用
高中数学平面解析几何2.5.2.2椭圆方程及性质的应用学案含解析
第2课时 椭圆方程及性质的应用必备知识·自主学习导思 1.直线与椭圆的位置关系有哪些？ 2．弦长公式是什么？设P(x 0，y 0)，椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)，则点P 与椭圆的位置关系如表所示：位置关系 满足条件 P 在椭圆外 x 20 a 2 ＋y 20 b 2 >1 P 在椭圆上 x 20 a 2 ＋y 20 b 2 ＝1 P 在椭圆内x 20 a 2 ＋y 20 b 2<1判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离． 3．弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m(k≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).弦长公式①：|AB|＝1＋k 2 ·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ． 弦长公式②：|AB|＝1＋1k2 ·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( ) (2)直线x 2 －y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5 .( )(3)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)与点P(b ，0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( )(4)直线y ＝k(x －a)(k≠0)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1的位置关系是相交．( )提示：(1)√.根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．(2)√.由x 2 －y ＝1得y ＝x 2 －1，代入x 24 ＋y 2＝1，解得两交点坐标A(0，－1)，B(2，0).|AB|＝（0－2）2＋（－1－0）2 ＝ 5 .(3)×.因为P(b ，0)在椭圆内部，过点P 作不出椭圆的切线．(4)√.直线y ＝k(x －a)(k≠0)过点(a ，0)且斜率存在，所以直线y ＝k(x －a)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1的位置关系是相交．2．直线y ＝kx －k ＋1(k≠0)与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解析】选A.直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1(k≠0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．3．(2020·沈阳高二检测)椭圆ax 2＋by 2＝1()a>0，b>0 与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32 ，则ba的值为( ) A ．33 B ．233 C ．932 D ．2327【解析】()x 1，y 1 ，B ()x 2，y 2 ，由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1y ＝1－x 得()a ＋b x 2－2bx ＋b －1＝0， 则x 1＋x 2＝2b a ＋b .设线段AB 的中点为C ，则x C ＝b a ＋b .将x C ＝b a ＋b 代入y ＝1－x 得到y C ＝aa ＋b.因为k OC ＝aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32 ，故b a ＝233 .4．(教材二次开发：习题改编)椭圆x 216 ＋y 24 ＝1上的点到直线x ＋2y － 2 ＝0的最大距离是________．【解析】设直线x ＋2y ＋c ＝0与椭圆x 216 ＋y 24＝1相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋c ＝0，x 216＋y 24＝1，消去x 整理得8y 2＋4cy ＋c 2－16＝0.由Δ＝16(32－c 2)＝0得c ＝±4 2 ．当c ＝4 2 时，符合题意(c ＝－4 2 舍去).即x ＋2y ＋4 2 ＝0与椭圆x 216 ＋y 24 ＝1相切，椭圆x 216 ＋y 24 ＝1上的点到直线x ＋2y － 2 ＝0的最大距离即为两条平行线之间的距离d ＝|－2－42|12＋22 ＝10 .答案：10关键能力·合作学习类型一 直线与椭圆的位置关系(数学运算) 【典例】1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个2．已知椭圆E ：x 28 ＋y 24 ＝1，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 有两个公共点，则实数m 的取值范围是__________． 【解析】4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2<4.所以－2<m<2，－2<n<2.所以点P(m ，n)在椭圆x 29 ＋y 24 ＝1内，故过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有2个交点．2．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ， 消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.因为直线l 与椭圆E 有两个公共点， 所以Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0， 解得－2 3 ＜m ＜2 3 ，所以实数m 的取值范围是(－2 3 ，2 3 ). 答案：(－2 3 ，2 3 )直线与椭圆位置关系的判断方法【补偿训练】在平面直角坐标系Oxy 中，经过点(0， 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22 ＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．【解析】由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋ 2 ，代入椭圆方程得x 22 ＋(kx ＋ 2 )2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2 x 2＋2 2 kx ＋1＝0， 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2 ＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22 或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22 ∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ . 类型二 弦长及中点弦问题(数学运算)【典例】过椭圆x 216 ＋y 24 ＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程． (2)求此弦长．【思路导引】(1)方法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 方法二：点差法(2)设弦的两端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，利用弦长公式求解．【解析】(1)方法一：设所求直线方程为y －1＝k(x －2).代入椭圆方程并整理， 得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k)x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8（2k 2－k ）4k 2＋1.又M 为AB 的中点，所以x 1＋x 22 ＝4（2k 2－k ）4k 2＋1 ＝2，解得k ＝－12 .故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 又M(2，1)为AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21 ＋4y 21 ＝16，x 22 ＋4y 22 ＝16. 两式相减得(x 21 －x 22 )＋4(y 21 －y 22 )＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.所以y 1－y 2x 1－x 2 ＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2） ＝－12 ，即k AB ＝－12 .又直线AB 过点M(2，1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)设弦的两端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0， 所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0， 所以|AB|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝⎛⎭⎫－122·42－4×0 ＝2 5 .直线被椭圆截得的弦长的求法思路 (1)求两交点坐标，转化为两点间距离． (2)用公式来求．设直线斜率为k ，直线与椭圆两交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝1＋k 2 ·|x 1－x 2|＝1＋1k2 ·|y 1－y 2|. 提醒：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.已知动点P 与平面上两定点A(－ 2 ，0)，B( 2 ，0)连线的斜率的积为定值－12 .(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN|＝423时，求直线l 的方程． 【解析】(1)设动点P 的坐标是(x ，y)，由题意得，k PA ·k PB ＝－12 .所以y x ＋2 ·y x －2 ＝－12 ，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22 ＋y 2＝1(x≠± 2 ).(2)设直线l 与曲线C 的交点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2 ，x 1·x 2＝0.|MN|＝1＋k 2 ·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2 ＝423，整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍). 所以k ＝±1，经检验符合题意． 所以直线l 的方程是y ＝±x ＋1， 即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.类型三 与椭圆有关的综合问题(逻辑推理、数学运算)【典例】已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝－x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值． 【思路导引】(1)根据已知条件求出a ，b ，从而得到椭圆方程． (2)依据以AB 为直径的圆的圆心到y 轴的距离等于半径，列方程求m. 【解析】(1)由题意可得M(0，b)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得12 a 2＝1，b ＝c ，且a 2－b 2＝c 2，解得b ＝c ＝1，a＝ 2 ，则椭圆E 的方程为x 22 ＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，－x ＋m ＝y ⇒3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0，有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＞0， 即－ 3 ＜m ＜ 3 ，x 1＋x 2＝4m3 ，x 1x 2＝2m 2－23 ，可得AB 中点横坐标为2m3 ，|AB|＝1＋1 ·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝ 2 ·16m 29－8m 2－83 ＝433－m 2 ，以AB 为直径的圆与y 轴相切， 可得半径r ＝12 |AB|＝2|m|3 ，即233－m 2 ＝2|m|3，解得m ＝±62 ∈(－ 3 ， 3 )，则m 的值为±62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论． (2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视． 【补偿训练】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线l ：y ＝ 3 x 与椭圆C 相交于A ，B两点(A 在B 上方)，若AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．【解析】由椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线l ：y ＝ 3 x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，AF ⊥BF ，可知三角形OAF 是正三角形，A ⎝⎛⎭⎫12c ，32c ，所以|FB|＝ 3 c ，由椭圆的定义可得 3 c ＋c ＝2a ， 可得e ＝c a ＝23＋1 ＝ 3 －1.答案： 3 －1备选类型 椭圆方程及其性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)过点(0， 2 )，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【思路导引】(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．(2)方法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d>r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d<r ，则点G 在圆内．方法二：只需判断GA → ·GB → 的符号，若GA → ·GB → ＝0，则点G 在圆上；若GA → ·GB →>0，则点G 在圆外；若GA → ·GB → <0，则点G 在圆内．【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2．所以椭圆E 的方程为x 24 ＋y 22＝1.(2)方法一：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为H(x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝m m 2＋2.所以|GH|2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋94 2＋y 20 ＝⎝⎛⎭⎫my 0＋54 2＋y 20 ＝(m 2＋1)y 20 ＋52 my 0＋2516 .|AB|24 ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20 －y 1y 2)， 故|GH|2－|AB|24 ＝52 my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516 ＝5m 22（m 2＋2） －3（1＋m 2）m 2＋2 ＋2516 ＝17m 2＋216（m 2＋2）>0，所以|GH|>|AB|2 ， 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 在以线段AB 为直径的圆外． 方法二：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则GA → ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1 ，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2 . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA → ·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94 ⎝⎛⎭⎫x 2＋94 ＋y 1y 2＝ ⎝⎛⎭⎫my 1＋54 ⎝⎛⎭⎫my 2＋54 ＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54 m(y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）>0，所以cos 〈GA → ，GB →〉>0.又GA → ，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角． 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 在以线段AB 为直径的圆外．解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－ 3 ，0)和F 2( 3 ，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32 . (1)求椭圆方程；(2)过点⎝⎛⎭⎫－65，0 作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 【解析】(1)由题意设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)，将c ＝ 3，a 2＝b 2＋c 2，代入椭圆方程得x 2b 2＋3 ＋y 2b 2 ＝1， 又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32 ，得1b 2＋3 ＋34b 2 ＝1，解得b 2＝1，所以a 2x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和椭圆的方程⎩⎨⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125 ky －6425＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，A(－2，0)，y 1y 2＝－6425（k 2＋4） ，y 1＋y 2＝12k 5（k 2＋4），则AM → ·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45 k(y 1＋y 2)＋1625 ＝0，所以∠MAN ＝π2.课堂检测·素养达标1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23 ＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m>1B ．m>1且m≠3C ．m>3D ．m>0且m≠3【解析】x 2m ＋y 23＝1中，m>0且m≠3，而直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，化简可得()m ＋3 x 2＋4mx ＋m ＝0， 所以Δ＝()4m 2－4m ()m ＋3 ＝12m ()m －1 >0， 可得m>1或m<0，又因为m>0且m≠3，得m>1且m≠3.2．如果椭圆x 236 ＋y 29 ＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －12＝0D ．x ＋2y －8＝0【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，斜率为k ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21 36＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减再变形得x 1＋x 236 ＋k y 1＋y 29 ＝0.又弦中点为(4，2)，故k ＝－12，故这条弦所在的直线方程为y －2＝－12 (x －4)，整理得x ＋2y －8＝0.3．过椭圆x 225 ＋y 29＝1的左焦点且斜率为1的弦AB 的长是____．【解析】椭圆的左焦点为(－4，0)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋4，x 225＋y 29＝1，得34x 2＋200x ＋175＝0， 所以x 1＋x 2＝－20034 ，x 1x 2＝17534 .所以|AB|＝ 2 ×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝ 2 ×⎝⎛⎭⎫－200342－4×17534 ＝9017. 答案：90174．已知椭圆x 2a 2 ＋y 22 ＝1(a ＞ 2 )的左、右焦点分别为F 1，F 2.过左焦点F 1作斜率为－2的直线与椭圆交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14 ，则a 的值是________．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21 b 2＝1，x 22 a 2＋y 22 b 2＝1，两式相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2 ＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2 ，所以x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－a 2b 2 ·y 1－y 2x 1－x 2，所以x 0y 0 ＝2a 2b 2 ＝4，所以a 2＝2b 2＝4， 所以a ＝2. 答案：25．(2020·南昌高二检测)已知直线y ＝kx －1与焦点在x 轴上的椭圆C ：x 24 ＋y 2b 2 ＝1(b>0)总有公共点，则椭圆C 的离心率取值范围是________． 【解析】因为椭圆焦点在x 轴上，所以b 2<4， 因为b>0，所以0<b<2；因为直线y ＝kx －1与椭圆总有公共点， 所以04 ＋（－1）2b 2 ≤1，因为b>0，所以b≥1， 综上1≤b<2，e ＝c a ＝1－b 2a2 ＝1－b 24 ∈⎝⎛⎦⎤0，32 .答案：⎝⎛⎦⎤0，32。
高考数学题型归纳,直线和椭圆综合应用
第二课时 直线与椭圆的综合问题考点一 弦中点问题[典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B.22 C.32D.55[解析] 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝ －b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a ＝ 1－b 2a 2＝32，故选C. [答案] C[解题技法]1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤 2．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．1．已知椭圆：x 29＋y 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x ＋y －5＝0B ．9x －y －4＝0C ．x ＋9y －5＝0D ．x －9y ＋4＝0解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 219＋y 21＝1，x229＋y 22＝1，两式作差得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)9＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0，因为x 2＋x 1＝1，y 2＋y 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－19，所以弦所在的直线方程为y －12＝－19⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋9y －5＝0. 2．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________．解析：设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37. 将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎨⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1，y 22a 2＋x22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25， 故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝1考点二 弦长问题[典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ 12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. [解题技法] 弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±12C. 2D ．±2解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m 消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝433－m 2＝423，解得m ＝±1.2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积． 解：(1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2， 又e ＝12，所以c a ＝12，c ＝1，所以b 2＝22－1＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－85，所以y 1＝3，y 2＝－335.所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×⎪⎪⎪⎪3＋335＝835.考点三 椭圆与向量的综合问题[典例] (2019·长春质检)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝⎛⎭⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝⎛⎭⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0， 则Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. [解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．1．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选C 根据题意不妨设B (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，因为BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，BF 1―→＝(－c ，－b )，BF 2―→＝(c ，－b )，|F 1F 2|2＝4c 2，所以b 2≥2c 2，又因为b 2＝a 2－c 2，所以a 2≥3c 2，所以0＜c a ≤33.2．已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝a 交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，求OM ―→·OP ―→的值．解：(1)因为|OA |＝|OF |，所以b ＝c ，又△AOF 的面积为1，所以12bc ＝1，解得b ＝c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆D 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线MC 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋2)， 代入x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1.又M (2,4k )， 所以OM ―→·OP ―→＝(2,4k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1＝4.同步练习题A 级1．(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.2．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2D ．2解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→，则该椭圆的离心率为( )A.32B.23C.22D.33解析：选B 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy－b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF ―→＝2FB ―→，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)， ∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，－2y 22＝－b 4a 2＋b2.∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23，故选B. 5．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为________．解析：由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由|AB |＝3，知点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a 2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 答案：328．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ， 弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1 ①，x 224＋y 222＝1 ②， ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝09．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R )上，过O的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△F AB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)因为S △F AB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )， 则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a2＋y 20＝1， k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2(x 2－x 20)x 2－x 20＝－1a 2＝－13， 所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＝63.10．(2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，ab ＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋4y 2＝4消去x ，可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m 2.∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.B 级1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段P Q 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M ⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥P Q ，求线段MN 所在的直线方程． 解：(1)由e ＝12，得a ＝2c ，易知|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a －2，由余弦定理，得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos A ＝|F 1F 2|2， 即4＋(2a －2)2－2×2×(2a －2)×12＝a 2，解得a ＝2，则c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k 3＋4k 2， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又M ⎝⎛⎭⎫0，18，则k MN ＝18＋3k3＋4k 20－4k 23＋4k 2＝－24k ＋3＋4k 232k 2. ∵MN ⊥P Q ，∴k MN ＝－1k ，得k ＝12或32，则k MN ＝－2或k MN ＝－23，故直线MN 的方程为16x ＋8y －1＝0或16x ＋24y －3＝0.2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧ x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1， 即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2，即k ＝±2， 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.。
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椭圆（2）－－直线与椭圆的综合应用考点一 如何处理直线与椭圆的位置关系例1 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b >0)的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143.(1)求椭圆C 的方程； （2）过点()0,4Q 的直线与椭圆无公共点，求该直线的斜率k 的取值范围； (3)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点， 且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．【解析】 (1)因为点P 在椭圆C 上， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.（2）过点()0,4Q 的直线方程为4y kx =+，代入椭圆22194x y +=，整理得，()2294721080k x kx +++=。
由于该直线与椭圆无公共点，所以，()()22724108940k k ∆=-⨯⨯+<，解之得，k <<所以，直线的斜率k 的取值范围是k << (3)解法一：设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心M 的坐标为(－2,1)，从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0.因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k4＋9k 2＝－2，解得k ＝89，此时，0∆>。
所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0。
解法二：已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 所以圆心M 的坐标为(－2,1)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意x 1≠x 2 且x 219＋y 214＝1① x 229＋y 224＝1② ①－②得()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=.③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2, 代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝89，即k ＝89。
由于圆心M (－2,1)在椭圆内，所以k ＝89符合题意。
所以直线l 的方程为y －1＝89(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0.总结反思：①处理直线与椭圆位置关系方法通常采用代数法，利用直线方程与椭圆方程联立得到的一元二次方程的判别式确定位置关系；②处理直线与椭圆相交弦的中点问题通常有两种方法：韦达定理及点差法。
其中点差法通常解决与中点弦（弦中点）有关的问题。
③在利用韦达定理处理与直线、椭圆相交的有关问题时，需保证判别式为正数；在利用点差法解决与中点弦（弦中点）有关的问题时可以通过弦中点是否在椭圆内部判定所求结果是否满足题意。
变式1(2011·陕西高考)设椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)方法一：过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为(32，－65)．方法二：设过点(3,0)且斜率为45的直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且线段AB 的中点为()00,M x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩。
由点A 、B 在椭圆上可得，221122221251612516x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，()()()()1212121202516x x x x y y y y +-+-+=，所以，()()0120122202516x x x y y y --+=，从而0121201625x y y x x y -=--。
另一方面，121245y y x x -=-，所以，00164255x y -=，即0045y x =-，① 又因为点()00,M x y 在过点()3,0，斜率为45的直线：()435y x =-上， 故()00435y x =-，② 联立①②，可解得，003265x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即36,25M ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
所以，过点()3,0，斜率为45的直线被椭圆C 截得线段的中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭。
考点二 如何求解与椭圆相关的最值问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，直线l ：2a x c =与x 轴交于点T ，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上一点。
（1）求证：A 、C 、T 三点共线；（2）如果3BF FC =，四边形APCB的面积最大值为23，求此椭圆的方程和点P 的坐标。
解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，① 则()0,A b ，()0,B b -，2,0a T c ⎛⎫⎪⎝⎭。
直线AT 的方程为：21x y a b c+=-，② 直线BF 的方程为：1x y c b+=-，③ 联立②③，可得点C 的坐标为2322222,a c b a c a c ⎛⎫⎪++⎝⎭，代入①得，()()222322222222222222241a c b a c a c a c a c a b a c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-++⎝⎭⎝⎭+==+， 满足①式，则点C 在椭圆上，A 、C 、T 三点共线。
（2）据题意可得，(),0F c ，(),BF c b =，2332222,a c c b FC a c a c ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭。
因为3BF FC =，所以232232233a c c c a c b b a c ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，化简得，222a c =，22b c =。
则()0,A c ，()0,B c -，4,33c c C ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆方程为222212x y c c +=，即22222x y c +=。
故3AC c =，21442233ABC c c S c ∆=⋅⋅=。
设点()00,P x y ，则2220022x y c +=。
直线AC 的方程为：220x y c +-=，所以，点P 到直线AC的距离d =，结合点P 在直线AC的上方，可知d =，从而0022112233APC x y c S d AC c ∆+-=⋅==⋅。
下面只需求出002x y +的最大值。
思考：如何求二元函数的最值？方法一：（三角代换）设0cos x θ=⋅，0sin y c θ=⋅。
所以002cos 2sin x y c θθθθ⎫+=⋅+⋅=⋅+⎪⎪⎝⎭，令sin 3ϕ=，cos 3ϕ=，ϕ为锐角。
故()()002sin cos cos sin sin x y ϕθϕθϕθ+⋅+=⋅+。
当2πϕθ+=，cos cos sin 2πθϕϕ⎛⎫=-==⎪⎝⎭sin sin cos 2πθϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭时，002x y +。
即当003x y c ==时，002x y +。
显然，此时点P 的坐标为,33c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，在椭圆弧AC 上，符合题意。
则()2max 2233APC c S c c ∆-=⋅=。
所以，四边形APCB 22243c +==，故21c =，2222a c ==，221b c ==。
此时椭圆方程为2212x y +=，点P 的坐标为⎝⎭。
方法二：（基本不等式）因为()2220000002422x y x y x y +=++⋅，结合不等式：2200002x y x y ≤+，可知()()()2222222222000000000000242242326x y x y x y x y x y x y c +=++⋅≤+++=+=，故002x y +≤，当且仅当002220022x y x y c=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即00x y ==时，002x y +。
则()2max APC S c ∆==。
所以，四边形APCB的面积最大值为22224223333c c c +==，故21c =，2222a c ==，221b c ==。
此时椭圆方程为2212x y +=，点P的坐标为33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭。
方法三：（线性目标函数） 令002x y t +=，即001122y x t =-+，代入椭圆2220022x y c +=， 可得 ()222002220t y y c -+-=，即222006420y ty t c -+-=。
据题意可得，()()22242420t t c∆=---≥，解之得t ≤。
当t =时，代入原方程解得，003x y ==。
则()2max 2233APC c S c c ∆-=⋅=。
所以，四边形APCB的面积最大值为22224223333c c c +==，故21c =，2222a c ==，221b c ==。
此时椭圆方程为2212x y +=，点P的坐标为⎝⎭。
反思总结：解决二元函数(),z f x y =最值的常用方法： ① 将二元函数化归为一元函数()(),z f x y g t ==； ② 利用基本不等式；③ 利用(),z f x y =的几何意义，如距离，斜率，线性目标函数等。
变式2 如图，设A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限内），ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．当点M 在线段AB 上运动时，求12S S 的最大值．解：（1）由题意可知， (),0A a ，()0,B b ，则点M 的坐标为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭。