四年级奥数详解答案第10讲和倍问题

四年级奥数详解答案第10讲和倍问题[实用]

四年级奥数详解答案第10讲第十讲和倍问题一、知识概要1. 概念：已知几个数的和，以及几个数之间的倍数关系，求这几个数是多少的问题，我们称之为和倍问题。

2. 基本公式：和÷(倍数+1)=小数二、典型题目精讲1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈的年龄是小红的4倍,小红和妈妈各是多少岁分析：和倍问题应用题，关键是先确定标准数(即一倍数)。

一般以数量中的小数为标准数。

本题因为小红的年龄小。

所以，小红的年龄是标准数，妈妈的年龄是小红的4倍，即为四位数，则年龄和(40)正好对应的是五倍数(如图所示)求出一倍数，故一除即得。

解：40÷(4+1) =40÷5 =8(岁)……(小红)8×4=32(岁)……(妈妈)答：小红和妈妈分别是8岁、32岁。

2. 某汽车场共有大、小货车115辆，大货车比小货车的5倍还多7辆，大货车和小货车各有多少辆分析：如图所示，大货车减去7辆后就成为5倍数。

这7辆可以从总数(115辆)中减去，这样，这个题就转化成跟上题一样的了。

解：(115-7)÷(5+1)=108÷6=18(辆)……(小货车)18×5+7=90+7=97(辆) ………(大货车)答：大货车和小货车分别有97辆、18辆3. 在悉尼奥运会上，中国队与荷兰队共获金牌40枚，中国队的金牌总数比荷兰的3倍少8枚。

中国队、荷兰队各获金牌多少枚分析：这个题例题相仿佛，只要给中国队添加8枚，中国队就成为三倍数，相应地，和也增加8枚。

解：(40+8)÷(3+1)=48÷4=12(枚)12×3-8=36-8=28(枚) (或40-12=28(枚))答：中国队、荷兰队分别获金牌28枚、12枚。

4. 已知两数之和是649，其中一个数的个位数是0，如果把这个数个位的0去掉，则与另一个数相等，求这两个数。

分析：一个数末尾去掉一个“0”，就等于把这个数缩小10倍。

四年级和倍问题及答案

四年级和倍问题及答案【篇一：四年级奥数和倍问题练习一】甲、乙两个车间共生产机床664台，甲车间的产量是乙车间的3倍，两个车间各生产机床多少台？2、前进电机厂一、二月份共生产电机400台，二月份生产的台数比一月份生产台数的5倍还少68台，两个月各生产多少台？3、三块布共长220米，第二块布是第一块布的3倍，第三块布是第二块布的2倍，三块布各长多少米？4、甲、乙、丙三数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？5、甲、乙二人共存款3510元，甲的存款是乙的2倍，甲、乙各存款多少元？6、某厂有职工1850人，如果男工再增加50人就相当于女工人数的3倍，求该厂男、女职工各有多少人？7、甲、乙两个粮仓共存粮462吨，已知甲仓存粮比乙仓的4倍还多32吨，两仓各存多少吨粮？8、两个数相除商是8，被除数、除数与商的和是170，求被除数是多少？9、张村、王村、李村到化肥厂购买化肥156吨，王村买的比张村的2倍还多2吨，李村买的比张村的4倍还少7吨，张村、王村、李村各买化肥多少吨？10、甲、乙、丙三数之和是1160，甲是乙的一半，乙是丙的2倍，甲、乙、丙各是多少？256－147－53373－129＋29 189－（89＋74）【篇二：四年级奥数详解答案第10讲和倍问题】txt>? 第十讲和倍问题一、知识概要1. 概念：已知几个数的和，以及几个数之间的倍数关系，求这几个数是多少的问题，我们称之为和倍问题。

二、典型题目精讲1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈的年龄是小红的4倍,小红和妈妈各是多少岁？分析：和倍问题应用题，关键是先确定标准数(即一倍数)。

一般以数量中的小数为标准数。

本题因为小红的年龄小。

所以，小红的年龄是标准数，妈妈的年龄是小红的4倍，即为四位数，则年龄和(40)正好对应的是五倍数(如图所示)求出一倍数，故一除即得。

答：小红和妈妈分别是8岁、32岁。

2. 某汽车场共有大、小货车115辆，大货车比小货车的5倍还多7辆，大货车和小货车各有多少辆？分析：如图所示，大货车减去7辆后就成为5倍数。

高斯小学奥数四年级下册含答案第10讲_排列组合应用

第十讲排列组合应用上一讲学习了基本的排列组合公式，本讲主要解决一些实际问题．在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，再考虑应该用排列还是组合来进行计算．排列和组合的区分在这一讲是我们学习的难点和重点．接下来我们通过一些生活中的例子，进一步来体会一下排列和组合的区别．例题19支球队进行足球比赛：（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场．每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场．那么一共要举行多少场比赛？「分析」每场比赛有两支队伍参加，现在要从几支队伍里挑呢？挑的时候这两支队伍有没有顺序？每场比赛中，两支队伍获得的分数之和最多是多少呢？练习1棋王争霸赛在8名选手间展开：（1）如果实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？（2）如果实行双循环赛制，共要进行多少场比赛？例题2围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？（2）如果从中选出3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？「分析」同样都是选出3个人，这两个问题之间有什么区别？练习2一次厨艺大赛中，主办方给定的菜谱中有7道菜，请问：（1）如果要求从这7道菜中选做2道菜，共有多少种不同的选法？（2）如果要求从这7道菜中选做1道作为主菜，另外1道作为副菜，共有多少种不同的选法？从公式：n n n m m n C A A =÷，可以看出：n n nm m n A C A =⨯，所以计算从m 个元素中选出n 个元素的排列数时也可以分成两步：先计算从m 个元素中选出n 个元素的组合数，再计算这n 个元素的排列数即可．接下来我们通过例题看看排列与组合之间有什么联系．例题3王老师带着小高、卡莉娅、萱萱一行四人去参加一次聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12个．（1）小高是第一个取球的人，他一共选出了4个球，准备回头分给大家，那么一共有多少种选法？（2）小高回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法？（3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？「分析」（1）、（2）恰好是（3）的两个步骤，所以不难通过（1）、（2）的结果来计算（3）．（1）、（2）应该按照排列来算还是按照组合来算呢？能不能跳过（1）、（2）直接计算（3）呢？练习3先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？例题4周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生．（1）如果随意选择，一共有多少种选择方法？（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？「分析」（1）是从几名同学出选5名？（2）选2名男生有几种选法？选3名女生有几种选法？练习4老师要从9名男生和7名女生中挑出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？接下来我们学习圆周排列．从m 个不同的元素中取出n 个（ n m ）元素，并按照一定的顺序排成一个圆周，就是圆周排列．圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列是首尾相邻的，旋转后相同的排法视为一种排法．如下图，1、2、3的三种排列：123、231、312，在圆周排列中都是一个排列；另外三种排列：132、321、213，在圆周排列中也是一个排列，而且这两个圆周排列是不同的．例题5从7个人中选出5个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法?「分析」从7个人中选出5个人的圆周排列，还能按照直线上的排列57A 种方法来计算吗？在我们组合问题里面，选取出来的和没有选取出来的两个部分之间是否有区别和顺序呢？例题6（1）6个人分成A 、B 两队拔河，要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？（2）6个人分成两队拔河，要求每个队都是3个人，一共有多少种分队的方法？「分析」这两个问题都是要分成两个队，每个队3个人，有什么区别吗？课堂内外杨辉三角刘杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．端点数为1的杨辉三角具有如下几个性质：（1）每个数等于它上方两数之和；（2）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；（3）第n 行的数字有n 项；（4）第n 行数字和为()21n -；（5）第n 行的第m 个数和第-n m 个数相等，即m n m n n C C -=这是组合数性质之一；（6）每个数字等于上一行的左右两个数字之和．可用此性质写出整个杨辉三角．即第n +1行的第i 个数等于第n 行的第i -1个数和第i 个数之和，即11i i i n n n C C C -+=+这也是组合数的性质之一；（7）第n 行的m 个数课表示为1m n C -，即为从n 个不同元素中取1m -个元素的组合数．作业1.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，请问这次聚会大家一共握了多少次手？2. 要从15名士兵中选出2名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？3. 先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共多少种不同的可能？4. 卡莉娅走进一家商店要买些新衣服，现在从她看中的5件上衣和4条裤子中选出3件上衣和2条裤子，一共有多少种选法？5．6个人围坐在一张圆桌旁，有多少种坐法？第十讲排列组合应用1. 例题1答案：36场，108分；72场详解：区分单循环制和双循环制，（1）单循环是9支球队中选取2支队伍即可，2支队伍不需要排序，是组合问题，即()29982136C =⨯÷⨯=场比赛．如果是分出胜负的则一场比赛会得3分，如果不分胜负则一场比赛会得2分，所以如果要让得分最多，那么36场都应该是分出胜负的，即363108⨯=分．（2）双循环制是9支球队中选取2支队伍后要排序，分主客场的，是排列问题，即299872A =⨯=场比赛．也可以根据第一问36272⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两支队伍比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系． 2. 例题2答案：336；56详解：（1）从8名同学中选3名同学在早上、中午、晚上做值日，那么选出的这三人改变顺序为不同种选法，为排列问题，38876336A =⨯⨯=种选法．（2）从8名同学中选3人参加比赛，改变这三人的顺序任为一种选法，为组合问题，()3887632156C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法． 3. 例题3答案：495种；24种；11880种详解：（1）只需要从12个不同的球中选出来4个，不需要排列，是组合问题，即()41212111094321495C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选法；（2）把4个球分给大家，这四个球会分给不同的人，所以需要排序，是组合问题，即44432124A =⨯⨯⨯=种分法；（3）其实这一问就是按照上面的两个步骤完成后的方法数，分步是用乘法原理，即441244952411880C A ⨯=⨯=种可能；另外一种做法就是从12个球中选出来4个，排列即排列问题，即412121*********A =⨯⨯⨯=种可能．4. 例题4答案：15540种；5400种详解：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来5个人即可，()52020191817165432115504C =⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从10名男生中选取2名男生，再从10名女生中选取3名女生，这是一个分步的过程，所以一共有()()2310101092110983215400C C ⨯=⨯÷⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯=种选择方法．5. 例题5答案：504种详解：圆桌问题的两种做法，第一种：7个人中选出来5个人按照一定顺序去排列，这是一个排列问题，即57A ；圆桌是可以旋转的，如果这5个人的顺序是ABCDE 、BCDEA 、CDEAB 、DEABC 、EABCD 这五种排序的方法其实都是一种坐法，所以一共有575504A ÷=种不同的坐法；第二种：先从7个人中选出5个人，有5721C =种方法，再把选出的5个人排在圆桌上，有55524A ÷=种方法，一共有2124504⨯=种方法．6. 例题6答案：20种；10种详解：（1）从6个人中选择3个人，即()3665432120C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法，此时已经将两个队伍排序，所以一共有20种分队的方法；（2）从6个人中选择3个人，此时两个队伍是有区别的，可是此题两队没有区别，所以是36210C ÷=种分队的方法．7. 练习1答案：28场；56场简答：（1）单循环是8名选手中选取2名选手即可，2名选手不需要排序，是组合问题，即()28872128C =⨯÷⨯=场比赛．（2）双循环制是8名选手中选取2名选手后要排序，分主客选手，是排列问题，即288756A =⨯=场比赛．也可以根据第一问28256⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两名选手中比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系．8. 练习2答案：21种；42种简答：（1）()27762121C =⨯÷⨯=种选法．（2）277642A =⨯=种选法．9. 练习3答案：720种简答：两种方法，第一种：先从10个人选出3个人不排序，即310C ，接下来给这三个人排序，即33A ，这是一个分步的过程，所以共有33103720C A ⨯=种不同的可能；第二种：从10个人中选出3个人，需要排序，即排列问题，310720A =种不同的可能．10. 练习4答案：1820种；588种简答：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来4人即可，()4161615141343211820C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从9男生中选取3男生，再从7女生中选取1女生，这是一个分步的过程，所以一共有3197588C C ⨯=种选择方法．11. 作业1答案：45简答：从10人中任选2人就会有一次握手，共有()210109245=⨯÷=C 次握手．12. 作业2答案：210 简答：从15人中选出2人，分别担任正、副班长，共有2151514210=⨯=A 种方法．13. 作业3答案：720 简答：333103101098720⨯==⨯⨯=C A A 种方法．14. 作业4答案：60简答：从5件上衣中选3件，有()()3554332110=⨯⨯÷⨯⨯=C 种方法；从4条裤子中选2条，有()()2443216=⨯÷⨯=C 种方法；所以共有10660⨯=种选法．15. 作业5答案：120简答：先有1人坐定，剩下的5个人随便排：5554321120=⨯⨯⨯⨯=A 种坐法．。

第10讲和倍问题

4、某校四、五年级共有学生218人，五年级学生人数比四年级的3倍少22人。问四、五年级各有学生多少人？四年级：
1倍
？
共218人
3倍
五年级：
？
少22人
四年级：（218＋22）÷（3＋1）=60人五年级： 60×3－22=158人或218－60=158人
练习1 两箱鸡蛋共重72千克，如果从第一箱取出13千克放入第二箱，那么第二箱鸡蛋的重量是第一箱的2倍。原来第一箱和第二箱各有鸡蛋多少千克？
科技书：文艺书：
？
1倍
？
4倍
共2000本
2、小卫家里养了20只兔子，其中大兔只数是小兔的4倍。小卫家养的小兔和大兔各有多少只？
小兔子：大兔子：
1倍
？
4倍
共20只
？
3、体育室有足球和篮球共76只，足球的只数比篮球的3倍还多4只，足球和篮球各有多少只？
篮球：足球：
？
1倍
？
3倍
共76只
多 4只
小兔子：大兔子：小兔子： 20÷（4＋1）=4只大兔子： 4×4=16只
1倍 4倍
共20只
或20－4=16只
3、体育室有足球和篮球共76只，足球的只数比篮球的3倍还多4只，足球和篮球各有多少只？
篮球：足球：
？
1倍
？
3倍
共76只
多 4只
篮球：（76－4）÷（3＋1）=18只足球： 18×3＋4=58只或76－18=58只
第一箱：第二箱：共72千克
现在第一箱：72÷（2＋1）=24千克原来第一箱： 24＋13=37千克原来第二箱： 72－37=35千克
练习2 甲桶有油68千克，乙桶有油32千克，从乙桶里倒出几千克油到甲桶，甲桶的油是乙桶的4倍？

高斯小学奥数四年级上册含答案第10讲_游戏策略

第十讲游戏策略对策论又称博弈论，研究的现象与政治、经济、军事乃至人们的日常生活学习都有密切的联系．一般地，在具有竞争或对抗性质的行为中，参加竞争对抗的各方具有不同的目标．为了达到各自的目标，各方既要制定出对自己最有利的方案，又要考虑到对手所有可能采取的方案．对策论就是研究竞争对抗中各方是否存在最佳行动方案，以及如何找到这个最佳方案．我们将要学习的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题．如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话，那么“对策问题”所研究的就是一个“活的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置，我们将这种状态称作“必胜状态” （否则称为“必败状态” ）．那么在给定的游戏规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的关键．需要强调的是，我们的目标不是“可能胜” ，而是“必胜”！我们不能存在侥幸心理，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略．有12 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1 枚，最多取3 枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？「分析」直接考虑12 枚棋子并不容易，大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略，看看能否找到规律．练习1有15 枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1 枚，最多取2 枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢．那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？情况很复杂时，我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试，在逐渐变复杂的过程中，寻找规律进而解决题目．这其实是一种非常重要的数学思想，高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的．利用互补的想法，我们有更一般的结论．“有m 枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1 至n 枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后的一枚棋子谁胜．”其取胜策略是：每次取走棋子数除以n 1 的余数枚棋子，让对方面对n 1 的倍数枚棋子——必败状态，则可保证取到最后的一枚棋子而获胜．现有2014 根火柴．甲、乙两个人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取出4 根．如果谁无法取出火柴谁就赢，请问谁一定能赢？策略是什么？「分析」本题中每人每次最少要取出2 根火柴，如果恰好剩下1 根火柴，就已经无法再次取出了．能否像例题1 那样，从火柴较少的情况入手，找出规律呢？现有2009 个糖豆，甲、乙两个人轮流取从中出糖豆，每次至少从中取出2 个，最多取出5 个，谁无法取出糖豆谁就赢．如果甲先取，请问谁一定能赢？策略是什么？在一定能分出胜负的对策问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态．处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手．反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手．在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键．例题 3 甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可．规定取到最后一个球的人赢，甲先取球．如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．「分析」直接考虑5个和8个并不容易，你能像之前一样，从最简单的情况开始分析，找到规律吗？甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆有2009 枚，一堆有2014 枚．甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可．规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币．如果甲先拿，那么谁有必胜策略？请说明理由．例题 4 如下图，方格 A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45° 走 1 步，最终将棋子走到方格 B 的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？「分析」在棋盘中，有一些是必胜格，有一些是必败格．一方想要获胜，必须每次都把棋子走到必胜格子中，使得对手下一步无论采取什么操作，都不得不进入必败格子．本题中方格 B 就是必胜格．那么其他的格子中哪些是必胜格？哪些是必败格？例题 5如下图，方格 A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿 45 角走 1 步，最终将棋子走到方格 B 的人获胜．请问：（1）谁一定能获胜？必胜策略是什么？（2）如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？分析」第（ 1）问中，每次只能走 1 步，那么 B 为必胜格，则它相邻的左、下、左下三个格子全是必败格；第（ 2）问中，每次可以走任意多步，那么 B 为必胜格，则由 B 可以直接找出多少个必败格呢？例题 6桌上有一块巧克力，它被直线划分成 3 行 7 列的 21 个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：① 每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；B A②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜．如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？在对策问题中，要想取得胜利，必须使自己能始终保持在必胜状态中，而使对手总是处于必败状态．明确了这一点，我们就知道了解决对策问题的关键在于弄清楚什么是必胜状态，什么是必败状态．“知己知彼，百战不殆．”哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利．田忌赛马田忌很喜欢赛马．有一回他和齐威王约定，进行一次比赛．将马分成上、中、下三等，比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马．由于齐威王每个等级都比田忌的强，三场比下来，田忌都失败了．田忌觉得很扫兴，垂头丧气地准备离开赛马场．这时，田忌发现，他的好朋友孙膑也在人群里．孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀，说：“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少呀⋯⋯”孙膑还没说完，田忌瞪了他一眼，说：“想不到你也来挖苦我！” 孙膑说：“我不是挖苦你，你再同他赛一次，我有办法让你取胜．” 田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换几匹马？” 孙膑摇摇头，说：“一匹也不用换．”田忌没有信心地说：“那还不是照样输！孙膑胸有成竹地说：“你就照我的主意办吧．齐威王正在得意洋洋地夸耀自己的马，看见田忌和孙膑过来了，便讥讽田忌：“怎么，难道你还不服气？”田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！” 齐威王轻蔑地说：“那就来吧！” 一声锣响，赛马又开始了．孙膑让田忌先用下等马对齐威王的上等马，第一场输了．接着进行第二场比赛．孙膑让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场．齐威王有点儿心慌了．第三场，田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场．这下，齐威王目瞪口呆了．比赛结果，田忌胜两场输一场，赢了齐威王．还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜．1. 10 枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，两个小朋友玩翻硬币游戏．规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻．两人轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜．请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？2. 现有200 个石子．甲、乙两个人轮流从中取出石子，每次最少从中取出 2 个，最多取出4 个，谁无法取出石子谁就赢．如果甲先取，那么谁有必胜的策略？必胜策略是什么？3. 甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取．规定取到最后一个球的人输，甲先取球．（1）如果开始时两堆各有两个球，那么谁有必胜策略？请说明理由；（2）如果开始时两堆分别有两个球和三个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．4. 甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）的对角线不能与已经画出的对角线相交，谁不能继续画谁输．甲先画，请问谁有必胜策或向右上方沿 45 角走 1步，最终将棋子走到方格 B 的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？ BA．规定新画甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右5. 枚棋子，第十讲游戏策略1. 例题 1 答案：（1）乙有必胜策略；（2）甲有必胜策略详解：（1）如果剩不到 4 枚棋子，先取的人把所有棋子取走后获胜；如果剩 4 枚棋子，无论先取的人如何取，所剩的棋子数都不到4枚，所以后取的人获胜；如果有12枚棋子，甲取 1 枚时乙取 3 枚，甲取 2 枚时乙取 2 枚，甲取 3 枚时乙取 1 枚，在每次甲取完后，乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取 4 枚棋子，这样乙可以拿到最后 1 枚，乙胜．（2）如果剩 1 枚，那么先取的人必败；如果剩 2 至 4 枚，先取的人可以剩 1 枚不取，所以后取的人败．12枚的情况与 4 枚的情况类似，甲先取 3 枚，剩下9 枚．之后乙取 1 枚时甲取 3 枚，乙取 2 枚时甲取 2 枚，乙取 3 枚时甲取 1 枚，甲保证两人一个回合共取 4 枚棋子．最后 1 枚必然被乙拿到，甲胜．2. 例题 2答案：甲有必胜策略详解：根据上题经验，第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴，2014 6 335L L 4 ，所以2014 根火柴的情况与 4 枚火柴的情况相同． 4 枚火柴时甲先取 2 根火柴即可获胜，因此2014 根火柴时甲也先取 2 根火柴，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取 6 根火柴．2014 2 6 335L L2 ，最后剩下的 2 根火柴留给了乙，甲无法取出火柴，甲获胜．3. 例题 3 答案：甲必胜详解：甲先从8 个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多．之后每次乙取几个球，甲就在另一堆中取相同数量的球，甲获胜．4. 例题 4答案：甲必胜详解：我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×” ．从方格 B 逆推，能一步走到 B 的格子都要标记“×” ．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子 1 和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子 1 和格子 3 都是必败格子．如果把棋子移到格子 2 中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2 是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子5. 例题 5 答案：（1）甲必胜；（2）甲必胜详解：（1）我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×” ．从方格 B 逆推，能一步走到 B 的格子都要标记“×” ．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子 1 和格子 3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子 1 和格子 3 都是必败格子．如果把棋子移到格子 2 中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子 2 是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．（ 2）与第（ 1）问方法类似，得到下图．甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．6. 例题 6答案：切走 12 个小方块详解：当只剩 1 行（或 1 列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了．当剩 2 行（或 2 列）时，如果剩 2 2 的方块，那么先切的人切完后成为 1 2 的方块，所以后切的人必胜；如果剩 2 3、2 4 、⋯等情况，先切的人只要切剩下一个 2 2 的方块就可以取胜．当剩 3 行（或 3 列）时，如果剩 3 3的方块，先切的人切一刀后只能剩下 1 3或 2 3的方块，此时后切的人获胜．当有 3 7 块时，先切的人切走 3 4 12块，给对手留下一个 3 3 的正方形，接着每次都给对手留下一个 1 1或 2 2 的正方形即可获胜．7. 练习 1答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜详解：（1）甲取 1 枚时乙取 2 枚，甲取 2 枚时乙取 1 枚，乙只要保证两人一个回合共取 3 枚棋子，即可拿到最后 1 枚获胜．（2）甲先取 2 枚，剩下 13 枚．之后乙取 1 枚时甲取 2 枚，乙取 2 枚时甲取 1 枚，甲保证两人一个回合共取 3 枚棋子，最后 1 枚必然被乙拿到，甲胜．8. 练习 2答案：甲必胜详解： 2009 2 5 287 ，甲先取 5 个糖豆，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取 7 个糖豆，最后剩下的 2 个糖豆留给了乙，甲无法再次取出糖豆，甲获胜．9. 练习 3答案：甲必胜简答：甲先从 2014 个金币中取出 5 个金币，使两堆金币一样多．之后每次乙拿几个金币，甲就在另一堆中拿相同数量的金币，最后肯定甲拿走最后一个金币，甲获胜．10. 练习 4答案：甲必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．11. 作业 1 答案：先翻动的人必胜简答：先翻硬币的小朋友翻 1 枚硬币，以后对手翻 1 枚时自己翻 2 枚，对手翻 2 枚时自己翻 1 枚，保证两人一个回合共翻 3 枚，即可保证自己翻到最后 1 枚．12. 作业 2 答案：乙必胜简答：甲取 2 个乙就取 4 个，甲取 3 个乙也取 3 个，甲取 4 个乙就取 2个．200 6 33L L 2 ，最后剩下 2 个石子，甲取完，乙无法再取，乙获胜．13. 作业 3 答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜简答：（1）甲取1个乙就取 2 个，甲取2个乙就取1个．（2）必胜策略是从三个球的那堆中取 1 个球，之后乙取 1 个甲就取 2 个，乙取 2 个甲就取 1 个．14. 作业 4 答案：甲必胜简答：策略是先画一条经过正十二边形中心的对角线，以它为对称轴，把图形分成对称的两部分．之后乙每画一条对角线，甲就在对称的位置上画出对角线．最后肯定是乙不能继续画，甲胜．15. 作业 5 答案：乙必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．。

第10讲倍数问题(邓中奎)

第十讲倍数问题知识要点在有关倍数的问题中，用线段图可以直观形象地表示题目中的数量关系，使解题思路变得具体和清晰。

学习用画图的方法解题是一种很好的解题策略，大家应该逐步培养这样的思维方式，学会把复杂问题简单化，在观察、比较、想象和推理中，寻找解答问题的对策，形成解决问题的技能和能力。

教学目标：1.使学生理解、掌握几倍求和（差）应用题的数量关系、结构特征和解题方法并能正确地进行计算。

2.会根据差和对应差求一份数及和与对应和求一份数。

3. 提高学生分析、解决实际问题的能力。

教学重点：和倍问题及差倍问题教学难点：和倍问题及差倍问题教学方法：引导式教学过程：引入有个成语叫闻鸡起舞，大家知道么？传说东晋时期，将领祖狄年青时就很有抱负，为了报效祖国，他们在半夜一听到鸡鸣，就披衣起床，拔剑练武，刻苦锻炼。

闻鸡起舞，原意为听到鸡叫就起床舞剑，后比喻人勤奋好学！小朋友们也是勤奋好学的人，对不对！鸡分为公鸡和母鸡，下蛋的是母鸡，打鸣的是公鸡。

现在张大妈有个问题需要小朋友帮忙解决一下。

（开始讲解第一题）例题精讲例1、张大妈养了一群鸡，有4只是公鸡，母鸡的只数是公鸡的5倍，那么张大妈一共养了多少只鸡？你能用两种方法解答吗？解析：方法一：母鸡的数量是公鸡的4倍，则公鸡数量为4×5=20（只），张大妈一共养鸡数量即是母鸡和公鸡之和，20+4=24（只）；方法二：将公鸡看成1份，一份有四只，母鸡是公鸡的5倍，母鸡有5份，母鸡和公鸡一共有6份，则总数为4×6=24（只）。

注：“倍”是用来表示数量关系的，不是单位名称，所以不能把倍当成单位名称写在算式得数后面。

答案：方法一：4×5=20（只），20+4=24（只）；方法二：4×6=24（只）例2、超市里有面粉8袋，大米的袋数是面粉的4倍，那么大米比面粉多多少袋？你能用两种方法解答吗？解析：方法一：大米袋数是面粉的4倍，则大米袋数为8×4=32(袋)，大米比面粉多多少袋，则用大米袋数减面粉袋数，32—8=24（袋）；方法二：将面粉看成一份，每份8袋，大米袋数是面粉的4倍，即面粉有4份，大米比面粉多3份，再乘以每份多少袋，8×（4—1）=24（袋）答案：方法一：8×4=32(袋)，32—8=24（袋）；方法二：8×（4—1）=24（袋）例3、红花与黄花共28朵，红花朵数是黄花的3倍。

【奥数专项】人教版小学数学奥数思维拓展四年级上册和倍问题(试题)含答案与解析

奥数专项——和倍问题（试题）一．选择题（共5小题）1．两个数的和是42，且较大数是较小数5倍的一组是（）。

A．8和40B．35和7C．10和322．已知〇＝★+★+★+★，〇+★＝70，那么〇＝（）A．9B．36C．14D．563．田田今年8岁，爷爷的年龄比田田的4倍多36岁，爷爷今年（）岁A．44B．68C．664．小阳有26张卡片，小光的卡片数是小阳的3倍。

小阳的卡片数比小光的卡片数少（）张。

A．52B．78C．1045．小明的年龄与妈妈的年龄的和是48岁，已知妈妈的年龄是小明年龄的3倍，小明今年（）岁。

A．12B．13C．14二．填空题（共10小题）6．在学校组织的迎新年绘画展中，三年级和四年级一共展出了96幅画，三年级展出的数量是四年级的一半，三年级展出了幅画。

7．师傅和徒弟两人一共完成了360个零件，师傅做的是徒弟的2倍。

师傅做了个；徒弟做了个。

8．妙想和爷爷一共81岁，爷爷的年龄比妙想年龄的6倍还多4岁，妙想岁，爷爷岁。

9．男生和女生一共有60人，女生人数是男生人数的2倍。

写出一个等量关系：。

10．有甲、乙两个粮仓，甲仓有粮20吨，乙仓有粮13吨。

从甲仓中运出吨粮食到乙仓里，才能使乙仓的粮食的重量是甲仓的2倍。

11．琪琪原来的邮票数是兰兰的5倍，后来两人各收集27张邮票，现在琪琪的邮票张数是兰兰的2倍。

琪琪原来有张邮票，兰兰原来有张邮票。

12．被减数、减数、差的和是138，减数是差的2倍，减数是，差是。

13．学校有杨树和松树共56棵，其中松树是杨树的6倍，则松树有棵。

14．甲、乙两数的和是104，甲数的2倍和乙数的3倍一共是256。

甲数是，乙数是。

15．花店有菊花、玫瑰花、郁金香共78支，其中菊花是郁金香的6倍，玫瑰花是郁金香的3倍少2支。

菊花有支。

三．应用题（共6小题）16．学校图书馆新购进一批书，文艺书和故事书一共有180本，其中文艺书的本数是故事书的4倍，文艺书和故事书各有多少本？17．学校组织同学们参加植树活动。

小学四年级奥数倍数问题(经典版)

【解析】列式：28(31)7÷+=（米）【巩固】小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的【解析】小花现在的钱数：(1410)(12)+÷+【巩固】小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的【解析】小华：72(17)9÷+=（岁），(2)从第二盘拿2个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：4+(2+2)=8(个)或4+2×2=8(个)(3)第二盘拿走2个后剩下的苹果：8÷(2-1)= 8(个)(4)第一盘原有苹果：8×2-2=14(个)答：第一盘有苹果14个．【巩固】一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？【解析】先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）长是：6×2=12（厘米）这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）【巩固】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

【例 3】师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？【解析】引导学生画图时，一定要注意“多5个”的画图方法，并找和与份数之间的关系．【详解】从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数，师傅加工的个数就比3份数还多5个，如果师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(1055)-个，这样这道题就转化为例5类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做5个，师、徒共做： 1055100-=(个)，徒弟做了：100(31)25÷+=(个),师傅做了：253580⨯+=(个)．【巩固】实验小学共有学生956人，男生比女生2倍少4人.问：实验小学男学生和女学生各有多少人？【解析】女生：(9564)3320+÷=（人），男生：956320636⨯-=（人）-=（人）或32024636【巩固】两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？【解析】把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍。

(四年级奥数专题)第十讲-和倍、差倍问题

第十讲和倍、差倍问题一、学习目标1、认识和倍、差倍问题。

2、运用数量间的倍数关系，学会运用线段图求1倍数。

二、重难点突破解决和倍或差倍的问题时，先确定一个数量为1倍数，这样另一个数量就相当于它的几倍，然后根据这些数量间的倍数关系，确定和（差）与1倍数的关系，求得1倍数，再求几倍数。

三、例题精讲【例题1】三块钢板共重1026千克，第一块的质量是第二块的4倍，第三块和第一块一样重，这三块钢板各重多少千克？思路点拨：【例题2】甲、乙、丙三人共有人民币195元，已知甲的钱数十乙的4倍，比丙多12元。

求甲、乙、丙各有人民币多少元？思路点拨：【例题3】两个数的差是279，去掉被减数个位上的0，被减数和减数相等，被减数和减数格式多少？思路点拨：【例题4】有三堆玩具，第二堆比第一堆多10个，第三堆比第二堆多20个，第三堆是第一堆的3倍。

三堆玩具各有多少个？思路点拨：【例题5】甲、乙、丙三数和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结果都是商5余1。

则乙数是多少？思路点拨：四、巩固精练【精练1】甲、乙、丙三箱茶叶共重1711千克，甲箱茶叶的质量比乙箱的3倍少12千克，丙箱茶叶比甲箱少15千克。

这三箱茶叶各重多少千克？【精练2】王爷爷家养鸡、鸭、鹅共161只，养的鸡只数是鸭的5倍，养的鹅和鸭一样多。

王爷爷家鸡、鸭、鹅各多少只？【精练3】某校四年级四个班总共有176名学生，其中一班和二班共有87人，一班和三班共有82人，二班和三班共有85人，四班有多少人？【精练4】商店运来一批白糖和红糖，红糖的质量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖的质量相等。

商店原有红糖和白糖各有多少千克？。

【寒假奥数专题】人教版小学数学四年级上册和倍问题(试题)含答案与解析

寒假奥数专题：和倍问题（试题）一．填空题（共12小题）1．商店一共卖出苹果和梨180筐，其中苹果的筐数是梨的5倍，苹果有筐，梨有筐．2．在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是200，差是减数的4倍，差是．3．方方家养了一群鸡共35只，其中公鸡的只数是母鸡的4倍，方方家养的公鸡有只．4．把20厘米长的铁丝剪成两段，使其中一段长是另一段的4倍．这两段铁丝分别长厘米和厘米．5．姐姐和妹妹一共有250本课外读物，姐姐的课外读物比妹妹的4倍还多50本，姐姐原有本课外读物，妹妹原有本课外读物．6．甲乙两数的和是120，甲数是乙数的3倍，甲数是，乙数是．7．小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔，经过次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．8．两个数相除商是6，被除数、除数与商相加的和是216，被除数是，除数是．9．甲、乙、丙三个数的和是64，甲是乙的4倍，丙又是乙的3倍，问甲是，乙是．10．一共有红、绿两种铅笔45支，红铅笔是绿铅笔的4倍，绿铅笔有支．11．两个自然数的积是798，其和为59，那么这两个自然数中较小的一个数．12．动物园里有大猴和小猴一共有96只，其中小猴的只数是大猴的3倍，有只大猴．二．应用题（共9小题）13．甲、乙合作赶制1800朵珠花，甲做的数量是乙的3倍，甲、乙各做了多少朵珠花？14．果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？（列方程解）15．黄河三角洲保护区内共有植物393种，其中怪柳林和柳林大约共有1万公顷，怪柳林的面积大约是柳林的4倍。

保护区内大约有怪柳林和柳林各多少万公顷？16．六（3）班杨老师和李老师带着21位同学一起去参观博物馆，买门票一共用去500元。

已知每张成人票的价钱是每张儿童票的2倍。

每张学生票多少元？每张成人票多少元？17．甲、乙两个车间，甲车间有195人，乙车间有165人。

小学四年级奥数第10讲变化规律(二)后附答案

第10讲变化规律（二）一、知识要点乘、除变化规律见下表（m≠0）我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。

二、精讲精练【例题1】两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？练习1：1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？2.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化？【例题2】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？练习2：1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？2.两个数相除，商是9，余数是3。

如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？余数是多少？【例题3】两数相乘，积是48。

如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？练习3：1.两数相乘，积是20。

如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少？2.两数相除，商是19。

如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？【例题4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。

原来两个数相加的正确答案是多少？练习4：1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。

正确的和是多少？2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得的和是285。

正确的和是多少？【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。

正确的差是多少？练习5：1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，这样算得的差是198。

正确的差是多少？2.小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的差是268。

正确的差是多少？三、课后作业1.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？2.两个数相除，商是8，余数是600。

第10讲：和倍问题

你还记得公式吗？
和÷（倍数+1）=较小数和-较小数=较大数
上节什课么学？了较小数×倍数=较大数
例题三
少先队员种柳树和杨树共80棵，杨树的棵数比柳树的2倍多8棵，柳树和杨树各种了多少棵？
？棵
柳树：杨树：
2倍多8棵 3份量多8棵 80棵 3份量=80-8=72（棵）
柳树：（80-8）÷（2+1）= 24（棵）杨树： 80 -24 = 56（棵）或 24 × 2 +8 =56（棵）
男生： 50 -10 = 40（人）或 10 × 4 = 40（人）
答：男生40人，女生10人。
小结
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题，可以借助线段图帮助理解。解答和倍应用题的基本数量关系：
和÷（倍数＋1）＝较小数（1倍数）和－较小数（1倍数）＝较大数（几倍数）较小数（1倍数）× 倍数=较大数（几倍数）
2. 我们往往把“比、是”后面的量看成1倍数，“比”、 “是”前面的量看成几倍数。弄清题中的数量关系，根据数量关系列式计算。
答：柳树种了24棵，杨树种了56棵。
练习三
米德、卡尔两人共有17张邮票，米德的张数比卡尔的2倍少4张，米德和卡尔各有多少张邮票？
？张
卡尔： 2倍
米德：
3份量少4张 17张 3份量=17+4=21（张）
少4张卡尔：（17+4）÷（2+1）= 7（张）米德： 17 -7 = 10（张）或 7× 2 -4 = 10（张）
练习一
一个长方形周长是48厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的长与宽？
2份量
1份量
宽:
长:

思维拓展第10课时《生活中的和倍问题》(教案)人教版四年级上册数学

思维拓展第10课时《生活中的和倍问题》（教案）人教版四年级上册数学教学内容：本节课主要学习生活中的和倍问题。

和倍问题是指两个数的和与两个数的倍数之间的关系。

通过解决生活中的实际问题，让学生掌握和倍问题的解题方法，并能够运用到实际生活中。

教学目标：1. 理解和倍问题的概念，知道和倍问题是研究两个数的和与两个数的倍数之间的关系。

2. 学会解决和倍问题的方法，能够根据题目给出的信息列出方程，并求解。

3. 能够将和倍问题的解题方法应用到实际生活中，解决一些简单的实际问题。

教学难点：1. 理解和倍问题的概念，并能够准确地找出两个数的和与两个数的倍数之间的关系。

2. 学会根据题目给出的信息列出方程，并求解。

教具学具准备：1. 教学PPT2. 黑板3. 教学卡片4. 练习题教学过程：1. 导入：通过生活中的实际问题引入和倍问题的概念，让学生初步感知和倍问题的存在。

2. 新课导入：通过讲解和倍问题的概念，让学生了解和倍问题是研究两个数的和与两个数的倍数之间的关系。

3. 解题方法讲解：通过讲解解题方法，让学生学会根据题目给出的信息列出方程，并求解。

4. 练习：通过练习题，让学生巩固所学的和倍问题的解题方法。

5. 应用：通过解决生活中的实际问题，让学生将所学的和倍问题的解题方法应用到实际生活中。

板书设计：1. 和倍问题的概念2. 和倍问题的解题方法3. 练习题4. 应用题作业设计：1. 练习题2. 应用题课后反思：本节课通过解决生活中的实际问题，让学生学习和倍问题的解题方法，并能够运用到实际生活中。

在教学过程中，要注意引导学生理解题目给出的信息，准确地找出两个数的和与两个数的倍数之间的关系，并能够根据题目给出的信息列出方程，求解。

在练习和应用环节，要注意让学生独立完成，培养他们解决问题的能力。

重点关注的细节：和倍问题的解题方法讲解和倍问题的解题方法是本节课的重点和难点，学生能否掌握解题方法直接影响到他们解决实际问题的能力。

(完整版)四年级奥数和倍问题

第 13 讲和倍问题已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。

解答和倍应用题的基本数量关系是：例题 2 果园里有梨树、桃树和苹果树共 1200 棵，其中梨树的棵数是和÷（倍数＋ 1）= 小数【例题 1】学校有科技书和故事书共 480 本，科技书的本数苹果树的 3 倍，桃树的棵数是苹果树的 4 倍。

求梨树、桃树和苹果是故事书的 3 倍。

两种书各有多少本？树各有多少棵？1.李大伯养鸡、鸭、鹅共 960 只，养鸡的只数是鹅的 3 倍，养鸭的1.用锡和铝制成的合金是 720 千克，其中铝的重量是锡的 5 倍。

铝只数是鹅的 4 倍。

鸡、鸭、鹅各养了多少只？和锡各用了多少千克？2.甲、乙、丙三数之和是 360 ，已知甲是乙的 3 倍，丙是乙的 2 倍。

2.甲、乙两数的和是112. 甲数除以乙数的商是 6 ，求甲乙两数。

求甲、乙、丙各是多少。

3.一块长方形黑板的周长是96 分米，长是宽的 3 倍。

这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560 支，圆珠笔的支数是钢笔的 3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。

铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？【例题 4 】少先队员种柳树和杨树共216 棵，杨树的棵数比柳树的 3 倍多 20 棵，两种树各种了多少棵？例 3 三个书厨共放了 330 本书，第二个书厨里的书是第一个的 2 倍，练习 4 ：1.粮站有大米和面粉共6300 千克，大米的重量比面粉第三个书厨里的书是第二个的 4 倍。

每个书厨里各放了多少本书？的 4 倍还多 300 千克，大米和面粉各有多少千克？1 ．甲、乙、丙三个数之和是400 ，已知甲是乙的 3 倍，丙是甲2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168 分，小华的得的 4 倍。

求甲、乙、丙各是多少。

分比小明的 2 倍少 42 分。

两人各得多少分？3.学校购买了 720 本图书分给高、中、低三个年级，高年级分2 ．三块钢板共重621 千克，第一块的重量是第二块的3 倍，第得的比低年级的 3 倍多 8 本，中年级分得的比低年级的 2 倍多 4 本。

高斯小学奥数四年级下册含答案第10讲_排列组合应用

第十讲排列组合应用上一讲学习了基本的排列组合公式，本讲主要解决一些实际问题．在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，再考虑应该用排列还是组合来进行计算．排列和组合的区分在这一讲是我们学习的难点和重点．接下来我们通过一些生活中的例子，进一步来体会一下排列和组合的区别．例题19支球队进行足球比赛：（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场．每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场．那么一共要举行多少场比赛？「分析」每场比赛有两支队伍参加，现在要从几支队伍里挑呢？挑的时候这两支队伍有没有顺序？每场比赛中，两支队伍获得的分数之和最多是多少呢？练习1棋王争霸赛在8名选手间展开：（1）如果实行单循环赛制，共要进行多少场比赛？（2）如果实行双循环赛制，共要进行多少场比赛？例题2围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？（2）如果从中选出3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？「分析」同样都是选出3个人，这两个问题之间有什么区别？练习2一次厨艺大赛中，主办方给定的菜谱中有7道菜，请问：（1）如果要求从这7道菜中选做2道菜，共有多少种不同的选法？（2）如果要求从这7道菜中选做1道作为主菜，另外1道作为副菜，共有多少种不同的选法？从公式：n n n m m n C A A =÷，可以看出：n n nm m n A C A =⨯，所以计算从m 个元素中选出n 个元素的排列数时也可以分成两步：先计算从m 个元素中选出n 个元素的组合数，再计算这n 个元素的排列数即可．接下来我们通过例题看看排列与组合之间有什么联系．例题3王老师带着小高、卡莉娅、萱萱一行四人去参加一次聚会，主持人要求每个人领取一个彩球，这些球的颜色各不相同，共有12个．（1）小高是第一个取球的人，他一共选出了4个球，准备回头分给大家，那么一共有多少种选法？（2）小高回到座位后，把这4个球分给大家，一共有多少种分法？（3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？「分析」（1）、（2）恰好是（3）的两个步骤，所以不难通过（1）、（2）的结果来计算（3）．（1）、（2）应该按照排列来算还是按照组合来算呢？能不能跳过（1）、（2）直接计算（3）呢？练习3先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共有多少种不同的可能？例题4周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生．（1）如果随意选择，一共有多少种选择方法？（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？「分析」（1）是从几名同学出选5名？（2）选2名男生有几种选法？选3名女生有几种选法？练习4老师要从9名男生和7名女生中挑出4人参加数学竞赛，共有多少种不同的选择方法？如果4人中要求有3名男生、1名女生呢？接下来我们学习圆周排列．从m 个不同的元素中取出n 个（ n m ）元素，并按照一定的顺序排成一个圆周，就是圆周排列．圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列是首尾相邻的，旋转后相同的排法视为一种排法．如下图，1、2、3的三种排列：123、231、312，在圆周排列中都是一个排列；另外三种排列：132、321、213，在圆周排列中也是一个排列，而且这两个圆周排列是不同的．例题5从7个人中选出5个人围着圆桌坐成一圈，有多少种不同的坐法?「分析」从7个人中选出5个人的圆周排列，还能按照直线上的排列57A 种方法来计算吗？在我们组合问题里面，选取出来的和没有选取出来的两个部分之间是否有区别和顺序呢？例题6（1）6个人分成A 、B 两队拔河，要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？（2）6个人分成两队拔河，要求每个队都是3个人，一共有多少种分队的方法？「分析」这两个问题都是要分成两个队，每个队3个人，有什么区别吗？课堂内外杨辉三角刘杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．端点数为1的杨辉三角具有如下几个性质：（1）每个数等于它上方两数之和；（2）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；（3）第n 行的数字有n 项；（4）第n 行数字和为()21n -；（5）第n 行的第m 个数和第-n m 个数相等，即m n m n n C C -=这是组合数性质之一；（6）每个数字等于上一行的左右两个数字之和．可用此性质写出整个杨辉三角．即第n +1行的第i 个数等于第n 行的第i -1个数和第i 个数之和，即11i i i n n n C C C -+=+这也是组合数的性质之一；（7）第n 行的m 个数课表示为1m n C -，即为从n 个不同元素中取1m -个元素的组合数．作业1.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，请问这次聚会大家一共握了多少次手？2. 要从15名士兵中选出2名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？3. 先从10名同学中选出3人作为班委，再在这3人中确定出班长、学习委员和生活委员（一人只能担任一个职位），共多少种不同的可能？4. 卡莉娅走进一家商店要买些新衣服，现在从她看中的5件上衣和4条裤子中选出3件上衣和2条裤子，一共有多少种选法？5．6个人围坐在一张圆桌旁，有多少种坐法？第十讲排列组合应用1. 例题1答案：36场，108分；72场详解：区分单循环制和双循环制，（1）单循环是9支球队中选取2支队伍即可，2支队伍不需要排序，是组合问题，即()29982136C =⨯÷⨯=场比赛．如果是分出胜负的则一场比赛会得3分，如果不分胜负则一场比赛会得2分，所以如果要让得分最多，那么36场都应该是分出胜负的，即363108⨯=分．（2）双循环制是9支球队中选取2支队伍后要排序，分主客场的，是排列问题，即299872A =⨯=场比赛．也可以根据第一问36272⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两支队伍比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系． 2. 例题2答案：336；56详解：（1）从8名同学中选3名同学在早上、中午、晚上做值日，那么选出的这三人改变顺序为不同种选法，为排列问题，38876336A =⨯⨯=种选法．（2）从8名同学中选3人参加比赛，改变这三人的顺序任为一种选法，为组合问题，()3887632156C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法． 3. 例题3答案：495种；24种；11880种详解：（1）只需要从12个不同的球中选出来4个，不需要排列，是组合问题，即()41212111094321495C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选法；（2）把4个球分给大家，这四个球会分给不同的人，所以需要排序，是组合问题，即44432124A =⨯⨯⨯=种分法；（3）其实这一问就是按照上面的两个步骤完成后的方法数，分步是用乘法原理，即441244952411880C A ⨯=⨯=种可能；另外一种做法就是从12个球中选出来4个，排列即排列问题，即412121*********A =⨯⨯⨯=种可能．4. 例题4答案：15540种；5400种详解：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来5个人即可，()52020191817165432115504C =⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从10名男生中选取2名男生，再从10名女生中选取3名女生，这是一个分步的过程，所以一共有()()2310101092110983215400C C ⨯=⨯÷⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯=种选择方法．5. 例题5答案：504种详解：圆桌问题的两种做法，第一种：7个人中选出来5个人按照一定顺序去排列，这是一个排列问题，即57A ；圆桌是可以旋转的，如果这5个人的顺序是ABCDE 、BCDEA 、CDEAB 、DEABC 、EABCD 这五种排序的方法其实都是一种坐法，所以一共有575504A ÷=种不同的坐法；第二种：先从7个人中选出5个人，有5721C =种方法，再把选出的5个人排在圆桌上，有55524A ÷=种方法，一共有2124504⨯=种方法．6. 例题6答案：20种；10种详解：（1）从6个人中选择3个人，即()3665432120C =⨯⨯÷⨯⨯=种选法，此时已经将两个队伍排序，所以一共有20种分队的方法；（2）从6个人中选择3个人，此时两个队伍是有区别的，可是此题两队没有区别，所以是36210C ÷=种分队的方法．7. 练习1答案：28场；56场简答：（1）单循环是8名选手中选取2名选手即可，2名选手不需要排序，是组合问题，即()28872128C =⨯÷⨯=场比赛．（2）双循环制是8名选手中选取2名选手后要排序，分主客选手，是排列问题，即288756A =⨯=场比赛．也可以根据第一问28256⨯=场比赛得到，因为单循环制的时候两名选手中比赛一场，而双循环是比赛两场，所以是2倍的关系．8. 练习2答案：21种；42种简答：（1）()27762121C =⨯÷⨯=种选法．（2）277642A =⨯=种选法．9. 练习3答案：720种简答：两种方法，第一种：先从10个人选出3个人不排序，即310C ，接下来给这三个人排序，即33A ，这是一个分步的过程，所以共有33103720C A ⨯=种不同的可能；第二种：从10个人中选出3个人，需要排序，即排列问题，310720A =种不同的可能．10. 练习4答案：1820种；588种简答：（1）随意选择，即从所有人中随便选出来4人即可，()4161615141343211820C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种选择方法；（2）首先从9男生中选取3男生，再从7女生中选取1女生，这是一个分步的过程，所以一共有3197588C C ⨯=种选择方法．11. 作业1答案：45简答：从10人中任选2人就会有一次握手，共有()210109245=⨯÷=C 次握手．12. 作业2答案：210 简答：从15人中选出2人，分别担任正、副班长，共有2151514210=⨯=A 种方法．13. 作业3答案：720 简答：333103101098720⨯==⨯⨯=C A A 种方法．14. 作业4答案：60简答：从5件上衣中选3件，有()()3554332110=⨯⨯÷⨯⨯=C 种方法；从4条裤子中选2条，有()()2443216=⨯÷⨯=C 种方法；所以共有10660⨯=种选法．15. 作业5答案：120简答：先有1人坐定，剩下的5个人随便排：5554321120=⨯⨯⨯⨯=A 种坐法．。

小学4年级暑假奥数：倍数综合-讲义-教师

第10讲倍数综合【学习目标】1、进一步了解倍数问题；2、学会解复杂的倍数问题。

【知识梳理】1、和倍：和÷（倍数+1）=小数；和-小数=大数=小数×倍数；2、差倍：差÷（倍数-1）=小数；差+小数=大数=小数×倍数。

【典例精析】【例1】某果园实验基地生产苹果、梨、橘子共4500吨，梨的质量是苹果质量的2倍，橘子的质量是梨的3倍。

苹果、梨、橘子的质量分别是多少吨？苹：4500÷(1+2+6)=500(吨）梨：500×2=1000(吨）橘：1000×3=3000(吨）【趁热打铁-1】新华书店卖出文艺书、科技书、故事书共18000本，卖出的科技书是文艺书的2倍，卖出的故事书是科技书的6倍。

卖出的这三种书各多少本？文：18000÷(1+2+12)=1200(本）科：1200×2=2400(本）故：2400×6=14400(本）【例2】某仓库共有货物119件，分成四堆放在仓库里，第一队存放件数的2倍等于第二堆存放件数的一半，比第三堆存放件数少2件，比第四堆存放件数多2件。

问：每堆存放货物多少件？①：(119-2+2)÷(1+4+1+1)=17(件）②：17×4=68(件）③：17+2=19(件）④：17-2=15(件）【趁热打铁-2】甲、乙、丙三人共有人民币195元，已知甲的钱数是乙的4倍，比丙的多12元。

求甲、乙、丙各有人民币多少元。

乙：(195+12)÷(1+4+4)=23(元）甲：23×4=92(元）丙：92-12=80(元）【例3】数学小组比美术小组多5人，科技小组的人数是数学与美术小组人数和的2倍，比数学与美术小组人数的和多15人。

这三个兴趣小组各有多少人？美+数：15÷(2-1)=15(本）科：15×2=30(本）美：(15-5)÷2=5(本）数：(15+5)÷2=10(本）【趁热打铁-3】有大、中、小3筐苹果，中筐比小筐多装4千克，大筐装的是小筐与中筐和的3倍，比中筐和小筐的和多24千克。

四年级奥数知识点

3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加． 4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数 ”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）例题精讲
模块一：分组凑整思想【例 1】 91.8186.789.6270.490.288.891.5
【练习3】 1.1208－569－208 2.283+69－183 3.132－85+68 4.2318+625－1318+375
【练习2】 1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264 3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379 5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.
【巩固】 2006＋200.6＋20.06＋2.006＋ 994＋99.4＋9.94＋0.994＝
【例 3】计算 56.43＋12.96＋13.57－4.33 －8.96－5.67
模块二、加补凑整思想【例 5】 (1) 0.999990.99990.9990.990.9 (2)199.819.971.996 (3)999999999.799.79.7 0.7
【巩固】 199.819.971.996
第四讲体育比赛中的数学问题
一、知识点总结 1.单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。（通俗的说就是除了不和自己比赛，其他人都要比）

四年级奥数和倍问题

弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本以后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？变式题：1.四（1）班和四（2）班共有图书160本，四（1）班图书的本数是四（2）班的3倍，四（1）班和四（2）班各有图书多少本？2.一个停车场共停大车、小车27辆，其中大车比小车的2倍少3辆，停车场停大车、小车各多少辆？3.有两筐苹果，第一筐73个，第二筐77个，从第二筐中拿出多少个苹果放入第一筐，就能使第一筐的苹果数是第二筐的2倍？4.一块长方形菜地，长是宽的2倍，周长是90米，它的面积是多少平方米？水果商店有香蕉和橘子一共240箱，香蕉卖出40箱后，又运进橘子70箱，这时橘子的箱数正好是香蕉的2倍。

水果店原来有香蕉和橘子各多少箱？变式题：1.甲、乙两人共有10000元，甲用去2000，乙用去800元，乙剩下的钱是甲的2倍，甲和乙原来各有多少钱？2.朝阳小学有篮球、足球和排球共95个，其中排球的个数是篮球个数的2倍，足球的个数比排球个数少5个，这个学校有篮球、足球和排球各多少个？3.新世纪小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？幼儿园里有红、黄、蓝、绿四种颜色的球一共370个，如果红球的个数加上2、黄球的个数减去3，蓝球的个数乘2，绿球的个数除以2，四种颜色的球的个数正好相等，那么红、黄、蓝、绿四种球原来各有多少个？变式题：1.两层书架上共有173本书，从第一层拿走38本书后，第二层的书是第一层书的2倍还多6本，那么，第二层有多少本书？2.一个养殖厂牛、羊的总数量为3561，如果牛减少60头，羊增加100只后，牛的头数比羊的只数的2倍还多1，养殖厂原有牛、羊各多少？定义新运算基础题：如果a△b=3×a-2×b①求3△2和2△3。

此题这个运算“△”有交换律吗？②求（16△7）△3和16△（7△3）。

此题这个运算“△”有结合律吗？变式题：1.如果a※b=a×b+a+b，请解答下面各题。

10 四同第十讲和差倍问题二(杨思)

10 四同第十讲和差倍问题二(杨思)第十讲和差倍问题（二）教学课题：和差倍问题（二）教学课时：两课时教学目标：1、让学生掌握稍复杂的和差倍问题中的“暗和”和“暗差”，以及年龄问题。

2、让学生掌握年龄问题的特点在于年龄差不变，两人年龄同增同减。

教学重难点：1、让学生掌握利用线段图的方法分析数量之间的关系及和（差）与倍数的对应关系。

让学生掌握稍复杂的和差倍问题中的“暗和”和“暗差”，以及年龄问题。

教具准备：直尺本周通知：教学过程：一、复习引入师：因为小明家院子右边的小鸡一共有36只，也比较多，强壮的小鸡都抢食吃以至于那些弱小的鸡被饿死了不少，只知道活着的的小鸡比死掉的小鸡的3倍多4个，那么还有多少只小鸡活着？师：上节课我们已经学过比较简单的和差倍问题，今天我们就一起来探讨一下生活中还存在哪些更加有趣更加复杂的和差倍问题。

（板书课题）二、新课教授（一）“暗和”、“暗差”和倍差倍问题例1：小红有铅笔30支，小华有铅笔15支，小华给小红几支后，小红的支数是小华的8倍？师：这也是一个和倍问题，像这种问题我们应该首先从结果入手，结果是小红的支数是小华的8倍，然后又知道两个数的和45，就回归到了和倍问题。

师：那么小华的支数就是（30+15）÷（8+1）=5（支）。

师：小华是因为给了一些笔之后才有5支，那么之前有15支，给了多少呢？生：15-5=10(支)小结：根据题意画出线段图。

这道题主要是经过一番变化之后才变成和倍问题，那么我们在解决这类题目的时候关键是从结果入手，再来反推产生这种结果是怎样变化的。

例2：甲、乙两个仓库各有一批水泥，甲仓库的袋数是乙仓库的3倍，如果从甲仓库取出180袋放入乙仓库，那么两仓库的水泥袋数就相等了。

请问甲、乙两仓库各有多少袋水泥？师：根据题意画出线段图。

师：从甲仓库取出180袋放入乙仓库后两仓库相等，说明甲、乙两仓库相差的量是：180×2=360（袋），师：那么差量所对应的倍数差是：3-1=2，所以乙仓库：360÷2=180（袋），那么甲仓库：180×3=540（袋）小结：这是一道差倍问题，关键在于找出两个量的差，将它转化为差倍问题。

四年级奥数详解答案 第10讲 和倍问题