第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)

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(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案

第五章特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为：（1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即：如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则（1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

第五章特征值与特征向量测试题

特征值与特征向量测试题一、填空题：（每小题5分，共20分）1、设B A ,均为3阶方阵，满足AB B I =+，且A 有特征值0,3,3-，则B 的特征值为。

2、设A 为n 阶方阵，且0)(=+m I A ，m 为正整数，则=A 。

3、设B A ,均为n 阶方阵，且A 可逆，则AB 与BA 相似，这是因为存在可逆矩阵=P ，使得BA ABP P=-1。

4、若 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111 是矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2135212b a 的一个特征向量，则=a ，=b 。

二、选择题：（每小题5分，共20分）1、若矩阵A 可逆，则A 的特征值（）(A) 互不相等； (B) 全都相等； (C) 不全为零； (D) 全不为零。

2、已知A 是4阶矩阵，且2)3(=-A I r ，则3=λ是A 的（）特征值。

(A) 一重； (B) 二重； (C) 至少二重； (D) 至多二重。

3、n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是（）(A) A 有n 个互异的特征值；(B) A 有n 个互异的特征向量；(C) 对A 的每个i r 重特征值i λ，有i i r A I r =-)(λ；(D) 对A 的每个i r 重特征值i λ，有i r 个线性无关的特征向量。

4、下列矩阵中，不能与对角阵相似的是（）(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200110011； (B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201010101； (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200110101； (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220010001。

三、解答题：（每小题20分，共60分）1、判断矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101121002 是否可对角化；若可以，试求出相应的可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵。

2、设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ，对应于1λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101ξ，求A 。

3、设B A ,均为n 阶方阵，且n B r A r <+)()(，证明B A ,有公共的特征向量。

北师大版数学选修4-2练习：(第5章)矩阵的特征值与特征向量(1)(含答案)

第五章矩阵的特征值与特征向量同步练习(一)1、矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6261的特征值是( ) A 、3,221-=-=λλ B 、3,221-==λλC 、3,221=-=λλD 、3,221==λλ2、零为矩阵A 的特征值是A 为不可逆的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、非充分非必要条件3、给定矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32313132M 及向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=56α，对任意的向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x ，则=M n 。

4、矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2152的特征值是。

5、已知矩阵A 有特征值81=λ及对应特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111e ，并有特征值22=λ及对应向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212e ，则矩阵A= 。

6、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21001M ，则_______3120=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M 。

7、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A 的特征值为_____________。

8、求矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32521M 的特征值和特征向量。

9、给定矩阵M=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1652及向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=92α， (1)求M 的特征值及对应的特征向量；(2)确定实数a,b 使向量可表示为21e b e a +=α；(3)利用(2)中表达式间接计算ααn M M ,3。

10、对下列兔子、狐狐狸模型进行分析：①)1(9.015.02.03.11111≥⎩⎨⎧+=-=----n F R F F R R n n n n n n②)1(1.12.01.01.11111≥⎩⎨⎧+=+=----n F R F F R R n n n n n n(1)分别确定以上模型对应矩阵的特征值；(2)分别确定以上模型最大特征值对应的特征向量,及较小特征值对应的特征向量'e :(3)如果初始种群中兔子与狐狸的数量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30100000F R β,分别把第n 年种群中兔子与狐狸的数量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n F R β表示为和'的线性组合,即'+=b a n β； (4)利用(3)中表达式分析当n 越来越大时, n β的变化趋势。

《线性代数考研资料》第五章特征值与特征向量

4．（99，十题，8分）设矩阵，其行列式，又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值【分析】利用，把转化为是本题的关键【详解】根据题设有，又于是即也即由此可得
解此方程组，得又由，有故因此
5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。【详解1】经计算可得
第五章特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征向量为，求A 【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个线性无关特征向量后，由公式
可解出【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即，解得
3－r(-E-A)=1个，故A不可对角化
2．（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量（1）求与的关系式并写成矩阵形成：；（2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当时，求【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到【详解】（1）由题意，得
所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征值0的代数重数至少是2 已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1 因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数）（Ⅱ）令则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵

第五章特征值和特征向量、矩阵的对角化扩展例题及求解

的一个特征向量为

1
,求
a,
b,
c
和
的值。
1
[分析]当 A 是抽象的方阵时，求 A 的特征值、特征向量通常需要考虑特征值、特征向量的定
义或等价定义。本题主要考察 A* 和 A 的特征值之间的关系，以及它们有共同的特征向量。
[解]由于 A* ， AA* A E E ，对 A* 两边同时左乘 A ，即有：
1 2 3 2 2 0 fA() | E A | 1 4 3 1 4 3
1 a 5 1 a 5
10 0 ( 2) 1 3 3 ( 2)(2 8 18 3a)
1 a 1 5
[例
9]设
A

1
4
3 的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对角化。
1 a 5
[分析]本题主要考察可对角化的条件：n 阶方阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关
的特征向量，即 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量。
[解]先求特征方程。
（１）如果 2 是特征方程的二重根,则 2 满足方程 2 8 18 3a 0 ,故
a 2 ．
1 2 3
当 a 2 时,
A
的特征值为
2,2,6,矩阵
2E

A

1
2
3

的秩为
1,故

2
对应有两
1 2 3
个线性无关的特征向量,从而 A 可以相似对角化。
[证]设是 AmnBnm 对应于特征值的特征向量，则

第五章方阵的特征值与特征向量自测题答案

《线性代数》单元自测题答案第五章方阵的特征值与特征向量一、填空题：1．0； 2．36-； 3．6,111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 4.4-； 5.ξ1-p . 二、单选题：1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．D ； 5.D .三、计算题1．解：因A 的特征多项式22)1)(1()1)(1(0101010-+=--=---=-λλλλλλλλA E 所以A 的特征值为11-=λ，132==λλ当11-=λ时，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000101020101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，则属于11-=λ的全体特征向量为11ξk )0(1≠k 。

当132==λλ时，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000101000101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，则属于132==λλ的全体特征向量为3322ξξk k + (2k ，3k 不同时为０)。

2. 解因A 的特征多项式)1()1()1)(1(32401022322-+=-+=+--+--=-λλλλλλλλA E所以A 的特征值为，121-==λλ13=λ.对于121-==λλ，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000224000224321x x x 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012ξ，由于二重特征根121-==λλ的代数重数等于几何重数，故知A 可对角化.对于13=λ，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000424020222321x x x 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==120002111321ξξξP ，则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=-1000100011AP P .因此P 为所求的相似变换矩阵，Λ即为所求的对角矩阵.3.解：（1）由已知得4,,5-y 是A 的特征根，于是有 05242424254=----=--x A E ，解得4=x . 从而有 )4()5(1242424212+-=---=-λλλλλλA E ，故可得5=y .（2）当521==λλ时，解0)5(=-X A E ，得基础解系()()T T 101,02121-=-=ξξ.当43-=λ时，解0)4(=--X A E ，得基础解系()T 2123=ξ. 取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==210102211,,321ξξξP ，则Λ=-AP P 1。

线代课后第五章特征值和特征向量矩阵的对角化答案

第五章特征值和特征向量矩阵的对角化答案1.求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) 2331-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (2) 311201112-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 200111113⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭(4) 1234012300120001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(5) 452221111-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ (6) 220212020-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 【解析】(1) 令2331A -⎛⎫=⎪-⎝⎭,则矩阵A 的特征方程为22337031I A λλλλλ--==--=- 故A的特征值为12λλ==当1λ=时，由1()0I A x λ-=，即120303x x ⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝得其基础解系为(16,1Tx =，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A的对应于1λ=的全部特征向量。

当232λ=时，由2()0I A x λ-=，即12031032x x ⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得其基础解系为(26,1Tx =+，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A的对应于2λ=(2) 令311201112A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则矩阵A 的特征方程为 231121(1)(2)0112I A λλλλλλ---=--=--=--故A 的特征值为121,2λλ==(二重特征值)。

当11λ=时，由1()0I A x λ-=，即123211*********x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得其基础解系为()10,1,1Tx =，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应于11λ=的全部特征向量。

当22λ=时，由2()0I A x λ-=，即123111022101100x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得其基础解系为()21,1,0Tx =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于22λ=的全部特征向量。

第五章：特征值与特征向量选择题

B A B
C A B
D A1 B1
答案：D
23.若A B，则有
.
AE A E B
B A B
C 对于相同的特征值，矩阵A与B有相同的特征向量
D A与B均与同一个对角矩阵相似
答案：B
24.设A和B是同阶方阵，如果A与B 有相同的特征值，则
.
A A B
B A B
C A B
答案：D
37.设 A、B是n阶实对称矩阵，且 E A E B ，下列结论不正确的是
.
A A B
B A与B相似于同一个对角矩阵
C tr A tr B
D A与B的 n 个特征向量两两正交
答案：D
38.设 A为n阶对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵.在下列矩阵中，不能通过正交变
换化为对角矩阵的是
B2
C 1 2
D1 2 .
答案：C
1 0 0
16.设A 0 1 0 ,在下列矩阵中，与A矩阵相似的矩阵是
.
0 0 2
1 0 0
A B1= 0 1 0
0 0 2
1 1 0
B B2 = 0 1 0
0 0 2
1 0 0
C B3 = 0 1 1
0 0 2
1 0 1
D B4 = 0 2 0.
.
A AB BA
B AT B BT A
C BAB
D ABA
答案：D
39.设矩阵A
1 1
1 1 ,
B
2 2
2 2, C
2 2
2 2
,
则下列结论正确的是
.
A A B
BB C
C A C
D 以上都不对

第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案

矩阵A的特征值为0，-1/2，1，
矩阵A+E的特征值为1，1/2，2，
A E 1
3、 A 0 1 2 0
ab
a b 0（说明等于0的原因）
4、 A 2 21 2
A 2 2 A1 A 2
2
( A2 A) 2 2 A1
A A A( A E ) 0
A* 的特征值为-6，3，-2，
设 1 9、 P , P2 是A的属于特征值3的线性无关的两个向量 P1T P2 0 PT X T 1 P1 P3 0
x1 x2 x3 0
1 1 P2 1 , P3 0 0 1
第五章
矩阵的特征值和特征向量习题答案
向量的内积和正交化
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵实对称矩阵的对角化
练习题五
1 (1,1,1)T , 试求两个向量 2 , 3 , 已知向量 1、使 1 , 2 , 3 , 为 R 3 的一组正交基。
（方法一） 1 X
0
1 2 3 1
3 1 2 E AX 5 2 3X 1 0 1 1 0 1 x1 x3 0 1 1X x2 x3 0 0 0
1 1 1T
2 1 2 5 a 3 1 b 2
' 3
A3 5 A2 7 E 165
设矩阵 6、
5 0 0 1 2 4 A 2 x 2 与 0 4 0 相似， 0 0 y 4 2 1
P 1 AP 求x,y;并求一个正交矩阵P，使

北师大版数学选修4-2练习：(第5章)矩阵的特征值与特征向量(2)(含答案)

第五章矩阵的特征值与特征向量同步练习(二) 1、设21,是矩阵A 的两个不同的特征值,,是A 的分别属于21,的特征向量, 则有与是( )A 、线性相关B 、线性无关C 、对应分量成比例D 、可能有零向量2、矩阵4121M 的特征值为（）A 、3,221B 、3,221C 、3,221 D 、3,2213、矩阵1001M 的特征值为____________，对应的特征向量为________________。

4、矩阵2543A 的特征值是_________。

5、给定矩阵d c b a M ，设矩阵M 存在特征值，及其对应的特征向量y x，只有当 ________________时，方程组0y x d c b a才可能有非零解。

6、矩阵123211的特征值是。

7、当矩阵M 有特征值及对应的特征向量，即M ，则有n M 。

8、若矩阵A 有特征向量01i和10j ,且它们对应的特征值分别为1,221,(1)求矩阵A 及其逆矩阵1A ；(2)求逆矩阵1A 的特征值及特征向量；(3)对任意向量y x,求100A 和1A 。

9、自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。

因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。

但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。

现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为n n b a ,，有关系式n n n n n nb a b b a a 23211，其中4,611b a ，试分析20个时段后，这两个种群的数量变化趋势。

第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)

【解析】 B 2E 的特征值分别为 9, 9, 3 ．
1 1
特征值
9
（二重）的特征向量全体为
k1

1

k2

1
，其中
k1
,
k2
不同时为零；
0 1
0
特征值
3
的特征向量全体为
k3

1

，其中
k3

0
．
1
题型 5.2 抽象矩阵的特征值和特征向量
A 的属于特征值 0 的全部特征向量为 c11 c22 cn1n1 ,（ c1, c2 , , cn1 是不全
为零的任意常数．）
（02 年，数学三）设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵．已知 n 维列向量是 A 的属于特征值的特征向量，则矩阵 (P1AP)T 属于特征值的特征向量是 ( ) ．
【证明】略.
（90 年，数学四）设 A 为 n 阶矩阵，1 和 2 是 A 的两个不同的特征值，x1, x2 是分别属
于 1 和 2 的特征向量，试证明： x1 x2 不是 A 的特征向量．
【证明】略.
（90 年，数学五）设方阵 A 满足条件 AT A E ，其中 AT 是 A 的转置矩阵， E 为单位矩阵．试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．
年，数学四）设矩阵
A

k
1
k

，问当
k
为何值时，存在可逆矩阵 P ，使
4 2 3
得 P1AP 为对角矩阵？并求出 P 和相应的对角矩阵．
1 1 1
1 0 0

(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案

理工类线代习题第五章特征值和特征向量

* * *
以|A| = 5 是 B = AA 的特征值, 任意 n 维向量α 为对应的特征向量.
*
2. 三阶方阵 A 的特征值为 1, －1, 2, 则 B = 2 A − 3 A 的特征值为_______.
3 2
解. B = 2 A − 3 A 的特征值为:
3 2
2 ⋅ 13 − 3 ⋅ 12 = −1, 2 ⋅ ( −1) 3 − 3 ⋅ ( −1) 2 = −5, 2 ⋅ 2 3 − 3 ⋅ 2 2 = 4
ξ ,η 是 A 的分别属于 λ1 , λ2 的特征向量, 则
(A) 对任意 k1 ≠ 0, k 2 ≠ 0 , k1ξ + k 2η 都是 A 的特征向量. (B) 存在常数 k1 ≠ 0, k 2 ≠ 0 , k1ξ + k 2η 是 A 的特征向量. (C) 当 k1 ≠ 0, k 2 ≠ 0 时, k1ξ + k 2η 不可能是 A 的特征向量. (D) 存在惟一的一组常数 k1 ≠ 0, k 2 ≠ 0 , 使 k1ξ + k 2η 是 A 的特征向量. 解.
所以
r ( A − λE ) = 2 . 方程组 ( A − λE ) x = 0 基础解系所含解向量个数为 3 − r ( A − λE ) = 3 − 2 = 1
0 x1 = 0 相应的方程组为 . 取 x3 = 1, 得x 2 = 2 . 所以解向量为 2 , 对应于 λ = 1 的 x x − 2 = 0 3 2 1 0 全部特征向量为 k 2 . 1
η1和η 2
(B)
η1或η 2
(C) C1η1 + C 2η 2 ( C1 , C 2 为任意常数)
(D) C1η1 + C 2η 2 ( C1 , C 2 为不全为零的任意常数)

自考线性代数第五章特征值与特征向量习题

第五章特征值与特征向量一、单项选择题 1．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4 2．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（） A ．31α B ．51α C ．91α D ．251α 3．若2阶矩阵A 相似于矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3202，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵E -A 相似的矩阵是（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4101B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4101C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4201D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---42014.下列矩阵是正交矩阵的是（） A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cosD.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3361022336603361225．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（）A ．AB ．A E -C ．A E --D ．AE -2 6.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（）A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T7.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 =（）A.4B.5C.6D.78.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（） A.A T B.A 2 C.A -1D.A *9.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3D.2410.若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( ) A.A 与B 等价 B.A 与B 合同C.| A |=| B |D.A 与B 有相同特征值11.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2 D.4二、填空题1．已知3阶方阵A 的特征值为1，-3，9，则=A 31_________. 2．已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y ）正交，则y=_________.3.设2阶实对称矩阵A 的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为1α=(1，1)T ,2α=(1，k )T ，则数k=_____________________. 4.已知3阶矩阵A 的特征值为0，-2，3，且矩阵B 与A 相似，则|B +E |=_________. 5.向量)1,2,1,(),1,,2,3(-==t t βα_____________,=t 则正交。

东北大学线性代数第五章课后习题详解特征值与特征向量

基本教学要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量.2.了解相似矩阵的概念和性质.3.了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法.4.会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化.第五章矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量(P107)1. 定义定义5.1 设A为n阶矩阵，如果存在数λ0和非零向量ξ，使得Aξ=λ0ξ， (5.1) 则称λ0是A的特征值，ξ是A的属于特征值λ0的一个特征向量.特征值与特征向量的含义：非零向量ξ使Aξ=λ0ξ⇔(λ0E-A)x=ο有非零解ξ⇔det(λ0E-A)=0⇔λ0是方程det(λE-A)=0的根定义5.2设A为n阶矩阵，称行列式det(λE-A)为矩阵A的特征多项式，det(λE-A)=0为矩阵A的特征方程.易见，若A=diag(λ1,λ2,…,λn)，则λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值.2. 求特征值与特征向量的步骤步骤1：计算A的特征多项式det(λE-A)；步骤2：因式分解det(λE-A)，求出全部特征值λ1,λ2,…,λn；步骤3：解齐次线性方程组(λi E-A)x=ο(i=1,2,…,n)，求属于λi的特征向量.例5.1(例5.1 P 108) 例5.2(例5.2 P 109)两例说明，不同的矩阵可以有完全相同的特征值.例5.3(例5.3 P 110) 这是一种类型题3. 特征值与特征向量的性质(P 110)性质5.1 设λ1,λ2,…,λn 是n 阶矩阵A 的全部特征值，则nniii i 1i 1a===λ∑∑， (5.2)12n det A =λλλ. (5.3)其中a 11+a 22+…+a nn 称为矩阵A 的迹. (性质5.1 P 110)推论矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值都不为零. (推论 P 110)性质5.2 设λ是矩阵A 的特征值，ξ是A 的属于λ的特征向量，p(x )是关于x 的多项式，则p(λ)是矩阵p(A )的特征值，ξ是p(A )属于特征值p(λ)的特征向量. (性质5.2 P 110)例5.4(例5.4 P 111) 设三阶矩阵A 的特征值是1,2,3，求行列式|A *-3A+2E|. 解 A(A *-3A+2E)=|A|E-3A 2+2A =-3A 2+2A+6E |A *-3A+2E|=|-3A 2+2A+6E|/|A|=(-3×12+2×1+6)(-3×22+2×2+6)(-3×32+2×3+6)/6 =5×(-2)×(-15)/6=25.注意：如果A 不可逆，在本题的条件下是不能计算|A *-3A+2E|的.性质5.3 设λ1,λ2,…,λs 是矩阵A 的互异特征值，ξ1,ξ2,…,ξs 是分别属于它们的特征向量，那么ξ1,ξ2,…,ξs线性无关. (性质5.3 P 111)性质5.4设λ1,λ2是矩阵A的两个互异的特征值，ξ1,ξ2,…,ξs和η1,η2,…,ηt分别是属于λ1,λ2的线性无关的特征向量，那么ξ1,ξ2,…,ξs,η1,η2,…,ηt线性无关. (性质5.4 P111)证设数k1,k2,…,k s和l1,l2,…,l t使k1ξ1+k2ξ2+…+k sξs+l1η1+k2η2+…+k tηt=ο. (1)令ξ=k1ξ1+k2ξ2+…+k sξs，η=l1η1+k2η2+…+k tηt，则ξ,η分别是λ1,λ2的特征向量.若ξ≠ο，则η=-ξ≠ο，那么由已知条件可知，k1,k2,…,k s与l1,l2,…,l t都不全为零，但ξ+η=ο却与性质5.3矛盾.矛盾说明ξ=η=ο，式(1)成立当且仅当k1=k2=…=k s=l1=l2=…=l t=0，即ξ1,ξ2,…,ξs,η1,η2,…,ηt线性无关.推论矩阵A的全部互异特征值的所有线性无关的特征向量都是线性无关的. (P112)二、矩阵相似对角化(P112)1. 定义定义5.3设A,B为n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P-1AP = B，则称B是A的相似矩阵，或称A与B相似，称运算P-1AP是对A做相似变换，P是把A变为B的相似变换矩阵.A相似B ⇔∃P,∂P-1AP=B.2. 矩阵相似的性质定理5.1相似矩阵有相同的特征值. (定理5.1 P112).证因为A相似B ⇔∃P,∂P-1AP=B，所以det(λE-B)=det(λE-P-1AP)=det[P-1(λE-A)P]=det(P-1)det(λE-A)det(P)=det(λE-A).从而A与B有相同的特征值.定理5.1 的逆命题不成立.例如，1001⎛⎫⎪⎝⎭与⎛⎫⎪⎝⎭1011的特征值相同，但它们不相似.推论1若A与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn)相似，则λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值. (推论 P112) 推论2 若A与B相似，则det(A)=det(B).推论3设A与B相似，f(x)是多项式，则f(A)与f(B)相似，且det[f(A)]=det[f(B)].例5.5(例5.5 P112) 设矩阵224A=a31003⎛⎫⎪-⎪⎪⎝⎭与100B04000b⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭相似，求a,b的值.解A与B相似5b8,a1,4b3(62a)b 3.+==⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=⎩⎩例5.6 设A与D相似，且D=diag(-1,2,0,1)，求det(2A5-3A4+A2-4E).解A与D相似⇒2A5-3A4+A2-4E与2D5-3D 4+D 2-4E相似⇒|2A5-3A4+A2-4E|=|2D 5-3D 4+D 2-4E|=(2×(-1)5-3×(-1)4+(-1)2-4)(2×25-3×24+22-4)(-4)(2×15-3×14+12-4)=-211.3. 矩阵相似对角化(P113)分析：A与D=diag(λ1,λ2,…,λn)相似⇔∃P,∂P-1AP=D.若设P=(ξ1,ξ2,…,ξn)，则P-1AP=D ⇔A(ξ1,ξ2,…,ξn)= (ξ1,ξ2,…,ξn)D⇔Aξi=λiξi, i=1,2,…,n⇔ξi(i=1,2,…,n)是A的属于λi的特征向量，且ξ1,ξ2,…,ξn线性无关由此，有如下重要结论：定理5.2n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. (定理5.2 P114)推论如果n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值，则A 与对角矩阵相似. (推论 P 114)例如，例5.1中的A 不能与对角矩阵相似，而例5.2中的A 与diag(1,1,4)相似.例5.7 对于例5.2中的A ，求A 2014.解由于A 的3个特征向量ξ1=(2,-1,0)T ,ξ2 =(4,0,-1)T ,ξ3=(1,1,0)T 线性无关，所以A 与diag(1,1,4)相似. 令P=(ξ3,ξ1,ξ2)，则A=Pdiag(4,1,1)P -1，20142014120142014201420142014201420144A P 1P 112441241 1101114300110034241241 4101143001003422(41)4(41)1 413-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+--=-201420142(40.5)4(41).003⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪⎝⎭关于特征值与特征向量，还有如下结论.定理5.3 设λ0是n 阶矩阵A 的k 重特征值，则属于λ0的线性无关的特征向量的个数不大于k . (定理5.3 P 115)定理5.3表明，若λ是n 阶矩阵A 的k 重特征值，则n-R(λ0E-A)≤k ，且A 的线性无关特征向量的总数≤n .推论设λ1,λ2,…,λs 是n 阶矩阵A 的全部互异特征值，其重数分别为k 1,k 2,…,k s ，那么矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是属于λi (i=1,2,…,s )的线性无关的特征向量恰有k i 个，即R(λi E-A)=n-k i (i=1,2,…,s). (推论2 P 116)推论表明，矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，每个特征值的重数等于属于它的线性无关特征向量的个数.例如，例5.1、例5.2.例5.8(例5.6 P 116)把矩阵A 相似变换为对角矩阵的步骤：步骤1 求n 阶矩阵A 的全部互异特征值λ1,λ2,…,λs ；步骤 2 求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,…,ξn )；步骤3 相似变换矩阵P=(ξ1,ξ2,…,ξn )，P 使得12s 1k 2k 1s k E E P AP E -λ⎛⎫ ⎪λ⎪=⎪ ⎪ ⎪λ⎝⎭.三、实对称矩阵的相似对角化1. 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质定理5.4 实对称矩阵的特征值都是实数. (定理5.4 P 117)定理5.4表明：实对称矩阵的特征向量必为实向量，从而每个特征值的特征向量空间的“基础解系”可正交化.定理5.5 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的. (定理5.5 P 118)定理5.5表明：实对称矩阵不同特征值的特征向量空间的“基础解系”互相正交.例5.9(例5.7 P118) 设3阶实对称矩阵A不可逆，且满足1010A10100103⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求矩阵A的全部特征值与特征向量.解已知条件表明k(1,1,0)T(k≠0)是A的属于1的全部特征向量，k(0,0,1)T(k≠0)是A的属于3的全部特征向量. 由于A不可逆，所以1,3,0是A的全部特征值，且属于0的一个特征向量显然为(1,-1,0)T，属于0的全部特征向量为k(1,-1,0)T(k≠0).2. 实对称矩阵的正交相似对角化(P118)定理5.6设A为实对称矩阵，则必有正交矩阵Q，使Q -1A Q = Q T A Q为对角矩阵. (定理5.6 P118)定理5.6指出，实对称矩阵必相似对角矩阵，且可正交相似对角矩阵.结合定理5.3的推论，有如下结论.推论设λ0是n 阶实对称矩阵A 的k 重特征值，那么属于λ0的线性无关的特征向量恰有k 个. (推论 P 120)把实对称矩阵正交相似对角化的步骤(P 120)步骤1 求n 阶矩阵A 的全部互异特征值λ1,λ2,…,λs ；步骤 2 求齐次线性方程组(λ1E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,…,ξn )；步骤3 将每个基础解系分别正交化、规范化(即求n 个正交规范的线性无关的特征向量ε1,ε2,…,εn )；步骤4 正交相似变换矩阵为Q=(ε1,ε2,…,εn )，Q 使得12s 1k 2k1T s k E E Q AQ Q AQ E -⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭λλλ.例5.10(例5.8 P 121)例5.11(例5.9 P 122) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,-1,0，向量α1=(1,1,0)T ,α2=(0,0,1)T 分别是属于特征值1和-1的特征向量，求矩阵A 和A n .解易见，α3=(1,-1,0)T是属于特征值0的特征向量，正交相似变换矩阵22220Q 22220001⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭使得TT1A Q 0Q122220222201 22220022220001100122002222012120 22002222012120.001001001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=-=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nn Tn n n 1A Q 0Q 122220222201 22220022220001(1)001220022220 22002222000(1)00112120 12120.00(1)⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭四、习题(P 127) 选择题 1. C 2. B 3. D 4. B提示：方法一两矩阵相似 ⇒ 0,2,b 是3个特征值⇒ |2E-A|=0, |bE-A|=0⇒ 13r r 21a102a 0a 2b a a 2b a 4a 01a 11a 1+------=---=-=----13c c 2b 1a 1b a 1a 0aa 2ab 01a b 1b a b 1--------=-=-=------⇒ a=0, b 任意 ⇒ 选B方法二两矩阵相似 ⇒ 0,2,b 是3个特征值13r r 1a 1101a b a a ba 1a11a1-λ-----λ--=λ-λ----λ---λ-31c c 100a b2a 1a2+=λ-λ----λ- 2222222[(b)(2)2a ][(b 2)2(b a )]b 2b 4b 48a b 2b 4b 48a ()()22=λλ-λ--=λλ-+λ+-++-+++--++=λλ-λ-当a=0，得λ1=0,λ2=(b+2+|b-2|)/2,λ3=(b+2-|b-2|)/2. 此时，若b ≥2，得λ1=0,λ2=b,λ3=2；若b<2，得λ1=0,λ2=2,λ3=b. 故选B .当a=2,b=0，得λ1=0,λ2=4,λ3=-2，排除C,D. 5. B提示：1Q P 111⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭11111Q AQ 11P AP 1111---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111112111111111212⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6. D提示：方法一设λ是A 的特征值，则λ2+λ=0 (λ2+λ是A 2+A 的特征值)⇒ λ=0或1 (说明A 的特征值只能是0或1)R(A)=3 ⇒ 0是A 的单特征值 ⇒ -1是A 的3重特征值⇒ 选D方法二 R(A)=3 ⇒ 0是A 的单特征值A 2+A=O ⇒ A(A+E)=O ⇒ R(A)+R(A+E)≤4⇒R(E+A)=1 ⇒-1是A的3重特征值⇒选D二、填空题1. 提示：设λ是βαT的非零特征值，ξ是βαT属于λ的特征向量⇒(βαT)ξ=λξ⇒(βαT)(βαT)ξ=λ(βαT)ξ⇒2(βαT)ξ=λ(βαT)ξ⇒2λξ=λ2ξ⇒λ(λ-2)ξ=ο⇒λ=0或2⇒βαT的非零特征值为2关于本题：一般地，若n维列向量α,β满足βαT=a≠0，则βαT的非零特征值为a. 此外，αTβ=a≠0 ⇒α≠ο,β≠ο⇒βαT≠O, R(β)=R(α)=1⇒1≤R(βαT) ≤min(R(β), R(αT))=1⇒R(βαT)=1 ⇒0是βαT的n-1重特征值⇒a是βαT的单特征值⇒R(aE-A)=n-12. 提示：B相似于diag(2,3,4,5)⇒|B-E|=(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=243. 提示：|A|≠0 ⇒A可逆⇒λ-1是A-1的特征值⇒|A|/λ是A*的特征值⇒|A|2/λ2是(A*)2的特征值⇒(|A|2+1)/λ2是(A*)2+E的特征值4. 1个为n，n-1个为0.5. 提示：AA*=5E ⇒B的特征值都为5，任意非零的n维向量皆为B的特征向量三、解答题1.-3.参考：P108-109的例5.1-例5.2、P116的例5.6P121的例5.84.提示：|E-A|=0 ⇒t为任意实数5.提示：参考P110的例5.36.提示：反证法假设A 相似于diag(λ1,λ2,…,λn )，则[diag(λ1,λ2,…,λn )]n =[diag(λ1k ,λ2k ,…,λn k )]相似于A k ，所以λi k =0, i=1,2,…,n ⇒ λi =0, i=1,2,…,n ⇒ A=O这与A ≠O 产生矛盾，故A 不能与对角阵相似.7.提示：|λE-A T |=|λE-A|=0.8.提示：假若ξ1+ξ2是A 的属于λ的特征向量，则A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2)，即 (λ1-λ)ξ1+(λ2-λ)ξ2=ο.由于ξ1,ξ2线性无关，则有λ=λ1, λ=λ2，这与λ1≠λ2矛盾.故ξ1+ξ2不是A 的特征向量.9.提示：A 与B 相似 ⇔∃P ,∂P -1AP=B ，因而(1) |B|=|P -1AP|=|A|；(2) (P -1AP)T =B T ，即P T A T (P -1)T =B T ，所以A T 与B T 相似.(3)由(1)可知，|A|≠0的充分必要条件是|B|≠0，即A 是可逆矩阵的充分必要条件是B 为可逆矩阵.另由P -1AP=B ，(P -1AP)-1=B -1，即P -1A -1P=B -1，所以A -1与B -1相似.10.提示：|A|≠0 ⇒ A -1(AB)A=BA ⇒ AB 与BA 相似11.提示：A 与B 相似，C 与D 相似 ⇔∃P ,Q ，∂P -1AP=B, Q -1CQ=D ，⇒ 11--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P B P C Q D Q ⇒ ⎛⎫ ⎪⎝⎭A C 与⎛⎫⎪⎝⎭BD B 相似12.提示：A αi =i αi (i=1,2,3)⇒ 1231231A(,,)2(,,)3⎛⎫ ⎪ααα=ααα ⎪ ⎪⎝⎭⇒ 11231231A (,,)2(,,)3-⎛⎫ ⎪=αααααα ⎪ ⎪⎝⎭=…13.提示：已知条件 ⇒ A 与diag(1,2,…,n)相似⇒ 2A+E 与diag(3,5,…,2n+1)相似 ⇒ |2A+E|=(2n+1)!!14.提示：方法一A 可逆 ⇔ |A|=λ1λ2…λn ≠0 ⇔ λ1,λ2,…,λn 都不为零方法二 A 可逆 ⇔ |A|≠0 ⇔ |0E-A|≠0⇔ 0不是A 的特征值15.提示：A ξ=λξ且|A|≠0 ⇒ λ≠0且A -1ξ=λ-1ξ，A *ξ=λ-1|A|ξ⇒ λ-1是A -1的特征值，λ-1|A|是A *的特征值16.提示：令123(1,1,1)0⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x x x ，即x 1+x 2+x n =0. 解之得关于特征值λ=3的线性无关特征向量ξ2=(-1,1,0)T ,ξ3=(0,1,-1)T .于是，()()11123212331A 1106110 11131111013101--λ⎛⎫⎪=ξξξλξξξ ⎪ ⎪λ⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪==⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.提示：112112A ...11511-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭18.提示：(1)方法一 A 的特征值为-1,1,x ，B 的特征值为1,1,y A 与B 相似 ⇒ x=1,y=-1 方法二 A 与B 相似 ⇒ x y 2x 1x y y 1=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(2)略19.提示：123220E A 1431431a51a5λ--λ--λ+λ-=λ-=λ---λ---λ-2110100(2)143(2)1331a 511a 533(2)(2)(8183a)1a 5-=λ-λ-=λ-λ---λ----λ-λ-=λ-=λ-λ-λ++--λ- 若λ=2为二重根，则22-8×2+18+3a=0，得a=-2，此时1231232E A 123000123000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⇒ R(2E-A)=1.故当a=-2时，A 能与对角矩阵相似.若λ=2不是二重根，则令64-4(18+3a)=0，即a =-2/3，此时λ=4是二重根.但3231034E A 1030131231000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⇒ R(4E-A)=2.故当a =-2/3时，A 不能与对角矩阵相似.20.提示：充分性设A 与对角矩阵D 1相似，B 与对角矩阵D 2相似，且D 1=D 2，那么∃P ,Q,∂P -1AP=D 1, Q -1BQ=D 2，且P -1AP=Q -1BQ ，因此， A=PQ -1BQ P -1=PQ -1B(PQ -1)-1，即A 与B 相似.必要性设A 与B 相似，则∃P ,∂P -1AP=B ，因此|λE -B|=|λE -A|.所以A,B 有相同的特征值.21.提示：方法一A 2=A ⇒ A(A-E)=O ⇒ R(A)+R(A-E )≤n .另 E =A+(E-A) ⇒ n=R(E)≤R(A)+R(E-A)于是R(A)+R(A-E)=n ，而这表明A x =ο的基础解系的秩与(E-A)x =ο的基础解系的秩之和为n ，因此A 有n 个线性无关的特征向量，所以A 能与对角阵相似.方法二 A 2=A ⇒ A 的特征值为0或1(例5.3 P 110) A(A-E)=O ⇒ R(A)+R(E-A )≤n设R(A)=r ，则A x =ο的基础解系的秩为n-r ，而(E-A)x =ο的基础解系的秩为n-R(E-A)≥R(A)=r ，因此A 有n 个线性无关的特征向量，故A 能与对角阵相似.22.提示：R(A)+R(B)<n ⇒ A R R(A)R(B)n B ⎛⎫≤+<⎪⎝⎭⇒ A x 0B ⎛⎫= ⎪⎝⎭有非零解ξ，即A ξ=ο, B ξ=ο⇒ ξ是A 和B 属于特征值0的公共特征向量23.提示：R(A)=2 ⇒ 0是A 的特征值余下参看P 118例5.724.提示：n 阶矩阵A 的每行元素之和都为a⇒ A(1,1,…,1)T =a(1,1,…,1)T⇒ (1,1,…,1)T 是A 属于特征值a 的特征向量若A 可逆，则a -1是A -1的特征值. 由A(1,1,…,1)T =a(1,1,…,1)T ⇒ A -1(1,1,…,1)T =a -1(1,1,…,1)T ，所以A -1的每行元素之和都为a -1.24. 提示：设该地区第i 年农村人口有x i 万，城市人口有y i 万，i=1,2,…,10，则11000.80.1,0.20.9200,100.i i i i x x y y x y ++⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪==⎩ 所以，1010100.80.12000.20.9100x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又0.80.110.20.90.7⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以……. 附加题：1.设A 为三阶矩阵，且E-A,2E-A,E+A 都是不可逆矩阵，求行列式|A|. 提示：E-A,2E-A,E+A 都不可逆⇒ |E-A|=0, |2E-A|=0, |E+A|=0 ⇒ 1,2,-1是A 的全部特征值 ⇒ |A|=-22.已知矩阵012301000010A 0001a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭， (1)求A 的特征多项式；(2)如果λ0是A 的特征值，证明(1, λ0, λ02, λ03)是A 属于λ0的特征向量.提示：(1)4323210E A a a a a λ-=λ+λ+λ+λ+；(2)432003020100E A a a a a 0λ-=λ+λ+λ+λ+=002200330012301010010010A 0001a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪λλ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪λλ ⎪ ⎪⎪λ----λ⎝⎭⎝⎭⎝⎭02000230034001λ⎛⎫⎛⎫⎪⎪λλ ⎪ ⎪==λ ⎪ ⎪λλ ⎪ ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭. 020301()⎛⎫⎪λ ⎪⇒≠ο ⎪λ ⎪λ⎝⎭是A 属于λ0的特征向量.3.设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 是线性方程组A x =ο的两个解，求矩阵A.提示：A 实对称，A(1,1,…,1)T =3(1,1,…,1)T , A α1=ο, A α2=ο，110P 121111-⎛⎫ ⎪⇒=- ⎪ ⎪-⎝⎭且13P AP 00-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇒ A=Pdiag(3,0,0)P -1=…4.试构造一个三阶实对称矩阵A ，使其特征值为1,1,-1，且特征值1有特征向量ξ1=(1,1,1)T , ξ2=(2,2,1)T .提示：ξ3垂直ξ1,ξ2，易见ξ1=(1,-1,0)T ，或计算ξ3=ξ1×ξ2.正交化ξ1,ξ2及单位化ξ1,ξ2,ξ3，得正交相似变换矩阵Q=(ξ1,ξ2,ξ3)，使A=QDQ -1=QDQ T =……5.设矩阵303A 10x 303⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭与对角阵相似，求x .提示：()()2123E A 424,2λ-=λ-λ+⇒λ=λ=λ=-，()R 4E A 13031014E A 10x 00x 1x 1303000-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→-+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.6. 设m m 101m f (x)a x a xa -=+++，证明：若n 阶矩阵A 使f(A)=O ，那么A 的特征值λ使f(λ)=0.提示：若λ是A 的特征值，则f(λ)是f(A)的特征值.另f(A)=O ，所以f(A)的特征值全部为零，所以f(λ)=0.7. 设ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，P 是可逆矩阵，求矩阵P -1AP 的属于特征值λ的一个特征向量.提示：A ξ=λξ ⇒ P -1A ξ=λP -1ξ ⇒ P -1AP(P -1ξ)=λ(P -1ξ) 故P -1ξ是P -1AP 属于特征值λ的一个特征向量.8.设A 是正交矩阵，且detA<0，证明：-1是A 的特征值.提示：方法一A 是正交矩阵 ⇒ A T A=E ⇒ [detA]2=1 由于detA<0 ⇒ detA=-1⇒ det(E+A)=det[(E+A T )A]=det(E+A T )detA=-det(E+A) ⇒ det(E+A)=0，即-1是A 的特征值方法二 A ξ=λξ ⇒ A T A ξ=λA T ξ ⇒ A T ξ=λ-1ξ因为A 与A T 有相同的特征值 ⇒ λ=λ-1 ⇒ λ2=1 ⇒ λ=±1 detA<0 ⇒ -1是A 的特征值9. 已知A,B 分别是m×n 和n×m 矩阵，证明AB 与BA 有相同的非零特征值.提示：n nm m mE B EBE AB OE AB A E -==-λλλ 121c c An 0m1E BA BOE -≠-=λλλλm n m n n 1E E BA E BA -=⋅-=-λλλλ⇒ AB 与BA 有相同的非零特征值10.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，对应的特征向量依次为ξ1=(1,1,1)T ,ξ2=(1,2,4)T , ξ3=(1,3,9) T ，又向量β=(1,1,3)T .(1)用ξ1,ξ2, ξ3表示β； (2)求A n β (n 为正整数).提示：()1231A2,P ,,3⎛⎫ ⎪=ξξξ ⎪ ⎪⎝⎭(1)设β=P x ⇒ x =P -1β，()1002P 01020011⎛⎫⎪β→- ⎪ ⎪⎝⎭， ⇒ x =(2,-2,1)T ⇒ β=2ξ1-2ξ2+ξ3.(2)方法一 nn11A P 2P 3-⎛⎫⎪β=β ⎪ ⎪⎝⎭nn 1n n 1n 2n 1n 3n 2n 21223 P 2x P 222332233++++++⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二 n n123A A (22)β=ξ-ξ+ξn n n112233n 1n n 1n n 2n 1123n 3n 222223 223223.223++++++=λξ-λξ+λξ⎛⎫-+ ⎪=ξ-ξ+ξ=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭五、计算实践实践指导：(1)理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量. (2)了解相似矩阵的概念和性质.(3)了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法. (4)会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化.例5.1 设A 为二阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，且A α1=ο, A α2=2α1+α2，则A 的特征值为 0, 1 . （2008 数一）解 A α1=ο, A α2=2α1+α2⇒ A α1=0α1, A(2α1+α2)=2α1+α2 ⇒ 0,1是A 的两个特征值例5.2 三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2，α1=(1,-1,1)T 是A 的属于λ1的一个特征向量，记B=A 5-4A 3+E ，(Ⅰ)验证α1是B 的特征向量，并求B 的全部特征值和特征向量； (Ⅱ)求矩阵B . （2007 数一）解 (Ⅰ) A α1=λ1α1⇒ A k α1=λ1k α1⇒ B α1=(λ15-4λ13+1)α1=-2α1所以α1是B 的属于-2的特征向量.因为A 与对角矩阵D=diag(1,2,-2)相似，所以B 与D 5-4D 3+E 相似，故三阶对称矩阵B 的全部特征值为-2,1,1. 属于-2的特征向量为k(1,-1,1)T (k≠0)，属于1的特征向量与α1垂直，为k 1(1,0,-1)T +k 2(1,2,1)T ,其中k 1,k 2为任意不全为零的实数.(Ⅱ)11231232111111B ( )1( )3263261--⎛⎫⎪=αααααα ⎪ ⎪⎝⎭T 1231232111111()1( )3263261011101110-⎛⎫⎪=αααααα ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭例 5.3 已知三阶矩阵A 与3维向量x 使向量组x ,A x ,A 2x 线性无关，且满足A 3x =3A x -2A 2x .设P=(x ,A x ,A 2x )，求三阶矩阵B 使A=PBP -1，并计算行列式|A+E|. （2001 数一）解分析：A=PBP -1 ⇒ PB=AP⇒ PB=(A x ,A 2x ,A 3x ) ⇒ B=P -1(A x ,A 2x ,A 3x )(A x ,A 2x ,A 3x )=(A x ,A 2x ,3A x -2A 2x )=(x ,A x ,A 2x )000103012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=P 000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⇒ B=P -1 P 000103012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=000103012⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭⇒ |A+E|=|B+E|=-4例5.4 设A 是n 阶矩阵，2,4,…,2n 是A 的n 个特征值.计算行列式|A-3E|的值. 解 2,4,…,2n 是A 的n 个特征值⇒ A 与diag(2,4,…,2n)相似 ⇒ A-3E 与diag(2,4,…,2n)-3E 相似⇒ |A-3E|=-(2n-3)!!例5.5 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-E|= 24 .解因为A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，所以B -1的特征值为2,3,4,5，且B -1与diag(2,3,4,5)相似.故B -1-E 与diag(1,2,3,4)相似，|B -1-E|=24.例5.6 设A,B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则必有 (A) λE-B=λE-A ；(B) A 与B 有相同的特征值与特征向量； (C) A 与B 都相似于一个对角阵； (D)对任意常数t ，tE-A 与tE-B 相似. 提示：选D.由A 与B 相似，推不出A =B ，故排除A ；由A 与B 相似，能推出A 与B 有相同的特征值，但推不出有相同的特征向量，故排除B ；由A 与B 相似，推不出A,B 与对角矩阵相似，故排除C ；由A 与B 相似，即∃P , ∂P -1AP=B ，能推出P -1(tE-A)P=tE-B ，故选D .例5.7 设λ1,λ2是矩阵A 的的两个不同特征值，对应的特征向量为分别为α1,α2，则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是(A) λ1≠0； (B) λ2≠0； (C) λ1=0； (D) λ2=0. 解选B.方法一 (α1, A(α1+α2))=(α1, λ1α1+λ2α2)=(α1,α2)1210⎛⎫ ⎪⎝⎭λλ故α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是121R 20λ⎛⎫=⎪λ⎝⎭，即λ2≠0. 故选B .方法二 k 1α1+ k 2A(α1+α2)=ο⇔ (k 1+ k 2λ1)α1+k 2λ2α2=ο12,⇔αα线性无关11222k k 0k 0+λ=⎧⎨λ=⎩()()()2121122121122111120k k 0,A 0A ,A λ≠⇒==⎧⎪⇒αα+α⎪⇒⎨λ=⇒α+α=λα+λα=λα⎪⎪⇒αα+α⎩线性无关线性相关若若故选B .例5.8 设矩阵A 与B 相似，且1112A 242,B 232a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.(1)求a,b 的值； (2)求可逆矩阵P 使P -1AP=B .解因为A 与B 相似，所以()a 5b 46a 14b a 5b 6a 5b 4A 2E 0⎧+=+⎧⎪⎨-==⎧⎩⎪⇒⎨⎨=+=+⎧⎩⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⎩或 . 求解 (2E-A)ξ=ο2E-A 111000000-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭⇒ ξ1=(1,-1,0)T , ξ2=(1,0,1)T (6E-A)ξ=ο6E-A 210301000⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭⇒ ξ3=(1,-2,3)T于是所求可逆矩阵111P 102013⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭.例5.9 设A 是三阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，且满足A α1=α1+α2+α3, A α2= 2α2+α3, A α3=2α2+3α3，(1)求矩阵B ，使A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B ；(2)求矩阵A 的特征值；(3)求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角矩阵.解 (1)A α1=α1+α2+α3, A α2= 2α2+α3, A α3=2α2+3α3⇒ A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)100122113⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123,,100B 122B 114113A B ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⇒⎪ ⎪⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩线性无关矩阵的特征值为，，ααα (2)矩阵A 的特征值为1,1,4.(3)解方程组(E-B)η=ο和(4E-B)η=ο，得η1=(-1,1,0)T , η2=(-2,0,1)T , η3=(0,1,1)T .()()11231231,,B ,,14-⎛⎫⎪ηηηηηη= ⎪ ⎪⎝⎭()()()()111231*********,,,,A ,,,,14--⎛⎫⎪⇒ηηηααααααηηη= ⎪ ⎪⎝⎭()()()()123123123121323120P ,,,,,,101011 ,2,--⎛⎫ ⎪⇒=αααηηη=ααα ⎪ ⎪⎝⎭=-α+α-α+αα+α ⇒ P -1AP=diag(1,1,4)例5.10 设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α1=(1,2,-1)T ,α2=(0,-1,1)T 是线性方程组A x =ο的两个解. （2006 数三）(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ=Λ；(Ⅲ)求A 及(A-1.5E)6，其中E 为三阶单位矩阵.解 (Ⅰ) α1=(1,2,-1)T ,α2=(0,-1,1)T 是线性方程组A x =ο的两个解()121220R A 10A A ,A ,A ≤⎧⎪⇒⎨⎧α=οα=ο⇒⎨⎪αα⎩⎩是的重特征值是属于的特征向量 A 的各行元素之和均为3()A O R A 1131A 133A 1A 3131≠⇒≥⎧⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒⎨ ⎪ ⎪ ⎪=⇒⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩是的特征值，是的特征向量属于所以R(A)=1，且0,0,1是A 的全部特征值，c 1α1+c 2α2(c 1,c 2是不同时为0的实数)是A 属于0的全部特征向量；c 3(1,1,1)T (c 3是不为0的实数)是A 属于1的的全部特征向量.(Ⅱ)将α1,α2正交化和规范化，得T T 12(0,22,22),(66,66,66)η=-η=-，所求正交矩阵63063263Q 263263263⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，T 0Q AQ 03⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅲ) AQ=QA T 003AQ 003003003111A 003Q 111111003⎛⎫ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 66T66T 33 A E Q E Q 223233729Q Q E E.226432⎛⎫⎛⎫-=Λ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫ ⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭六、知识扩展 1.设矩阵123A 1431a 5-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. （2004 数一）提示：|λE -A|=(λ-2)(λ2-8λ+18+3a)若λ=2是二重根，则(λ2-8λ+18+3a)|λ=2=0，得a=-2，这时R(2E-A)=1，说明A 可相似对角化.若λ=2不是二重根，则λ2-8λ+18+3a 为完全平方项，从而64-4(18+3a)=0，得a=-2/3，这时λ=4是二重根，而R(4E-A)=2，说明A 不可相似对角化.2.设3维列向量α,β满足αT β=2，则矩阵βT α的非零特征值为 2 . （2009 一）3.设α,β为3维列向量，若αβT 相似于diag(2,0,0)，则βT α= 2 . （2009 二）。

工程数学线性代数周勇朱砾答案(5章)

习题五1求特征值和特征向量1特征方程出现重根即2重根要对应2个线性无关的特征向量
习题五
1、求特征值和特征向量
（1）特征方程
得特征根；
当时，
得基础解系特征向量为
当时，，
得基础解系特征向量为
（2）特征方程
得特征根；
当时，
得基础解系特征向量为，
当时，，
得基础解系特征向征方程
得A特征根；
则特征根；
由性质特征根；
由，
可知与的特征值相等，得。
3、因A有三个线性无关的特征向量，
而，
得特征根为，
（出现重根，即2重根要对应2个线性无关的特征向量）
当时
当时，方程有两个基础解系。

第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案

1 2 3 (2) 2 1 3
3 3 6
1 2 3
E A 2 1 3
3 3 6
3 82 9 ( 1)( 9)
1 1, 2 0, 3 9
1E AX
2 2 3
2 2 3X
3 3 7
1 1 0
0 0 1X
0 0 0
x1 x2
x3 0
1 1 1 0T
8 3X
3 3
x1
x2
1
2 1T
X k33 (k3 R, k3 0)
5、已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求: A3 5A2 7E
解：
f ( A) A3 5A 7E
' f () 3 5 7
1' '2
3 5
'3 11
A3 5A2 7E 165
9、设 P1, P2 是A的属于特征值3的线性无关的
两个向量
PP11TT
P2 P3
0 0
x1 x2 x3 0
P1T X
x1 x2 x3
1 1 P2 1 , P3 0
0 1
（方法一） 1 1 1
P (P1, P2 , P3) 1 1 0 1 0 1
1 3
5 2 4
2 8 2 X
4 2 5
1 0
0 1
1 1
X
0 0
2 0
3 2 1 2T
x1 x3
x2
1 2
x3
e3
3 3
2 3
1 3
2 T
3
P e1 e2 e3
P1AP
8、解：
A 1(2)3 6 0
A可逆

第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)

(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案

第五章 特征值与特征向量测试题

北师大版数学选修4-2练习：(第5章)矩阵的特征值与特征向量(1)(含答案)

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